Sa modernong lipunan, ang kakayahang gumana sa mga equation na naglalaman ng isang squared variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga parisukat na equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapang pampalakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.
Hatiin natin ang expression sa mga component factor
Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na nilalaman ng ibinigay na expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic equation.
Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ekspresyong ito, anuman ang hitsura ng mga ito, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay walang isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, kung saan ang halaga ng mga variable ay hindi mahirap hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.
Kung ang expression ay mukhang mayroon itong dalawang termino sa kanang bahagi ng expression, mas tiyak na ax 2 at bx, ito ay pinakamadaling mahanap ang x sa pamamagitan ng bracketing ng variable. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Dagdag pa, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.
Halimbawa
x=0 o 8x - 3 = 0
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.
Maaaring ilarawan ng mga equation ng ganitong uri ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto, na kinuha bilang pinagmulan. Narito ang mathematical notation ay kumukuha ng sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pag-equate sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, malalaman mo ang oras na lumipas mula sa sandaling tumaas ang katawan hanggang sa sandaling bumagsak ito, pati na rin ang maraming iba pang dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.
Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon
Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.
X2 - 33x + 200 = 0
Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, binabago namin ang expression at nabubulok ito sa mga kadahilanan. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.
Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng ikatlo at ikaapat na order.
Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).
Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -isa; 3.
I-extract ang square root
Ang isa pang kaso ng isang hindi kumpletong equation ng pangalawang order ay isang expression na nakasulat sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahagi ng ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inililipat sa kanang bahagi, at pagkatapos nito, ang square root ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng terminong c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.
Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.
Pagkalkula ng lugar ng lupa
Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit sa lahat dahil sa pangangailangan na matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakamalaking katumpakan.
Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation na pinagsama-sama sa batayan ng mga problema ng ganitong uri.
Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, ang haba nito ay 16 metro na higit sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site, kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.
Pagbaba sa negosyo, sa una ay gagawin natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ang lapad ng seksyon bilang x, kung gayon ang haba nito ay magiging (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay tinutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.
Ang solusyon ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay ganoon lang, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagama't ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang salik, ang produkto ng mga ito ay hindi katumbas ng 0, kaya iba pang mga pamamaraan ang ginagamit dito.
diskriminasyon
Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon ang hitsura ng expression na ito ay magiging ganito: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng isang expression sa form na naaayon sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c= -612.
Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary value na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga nais na halaga sa second-order equation, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng opsyon. Kung sakaling D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula
Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.
Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang laki ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugang ang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m. Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18+16=34, at ang perimeter 2(34+ 18) = 104 (m 2).
Mga halimbawa at gawain
Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng pagbabago, iyon ay, nakukuha natin ang anyo ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at itinutumbas ito sa zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawang 1.
2) Ngayon ay magbubunyag tayo ng mga bugtong ng ibang uri.
Alamin natin kung may mga ugat x 2 - 4x + 5 = 1 dito sa lahat? Upang makakuha ng kumpletong sagot, dinadala namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, hindi kinakailangan upang malutas ang quadratic equation, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang theorem ni Vieta. Ipinangalan ito sa isang lalaking nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at nagkaroon ng napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.
Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.
Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.
3x2 + 21x - 54 = 0
Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:
x 2 + 7x - 18 = 0
Gamit ang Vieta theorem, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Sa paggawa ng tseke, titiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang magkasya sa expression.
Graph at Equation ng isang Parabola
Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mathematical puzzle nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang gayong pag-asa, na iginuhit sa anyo ng isang graph, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito hanggang sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Ang mga visual na representasyon ng mga function ay nakakatulong upang malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na ibinigay lamang x 0 = -b / 2a. At, pinapalitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng parabola vertex na kabilang sa y-axis.
Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis
Mayroong maraming mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Mula sa graph ng isang parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang baligtad ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling mag-plot.
Mula sa kasaysayan
Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw, hindi lamang ang mga kalkulasyon ng matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa magagandang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.
Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang mga matematikong Mesopotamia ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga kilala ng sinumang mag-aaral sa ating panahon.
Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, kinuha ng pantas mula sa India, Baudhayama, ang solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang gawain ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.
Sa pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation", ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.
Isaalang-alang natin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at notasyon ng isang quadratic equation, itakda ang mga kasamang termino, pag-aralan ang pamamaraan para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong mga equation, kilalanin ang formula ng mga ugat at ang discriminant, magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient, at ng kurso ay magbibigay kami ng isang visual na solusyon ng mga praktikal na halimbawa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Quadratic equation, mga uri nito
Kahulugan 1Quadratic equation ay ang equation na nakasulat bilang a x 2 + b x + c = 0, saan x– variable, a , b at c ay ilang mga numero, habang a ay hindi zero.
Kadalasan, ang mga quadratic equation ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa katunayan ang isang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.
Magbigay tayo ng isang halimbawa upang ilarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, atbp. ay mga quadratic equation.
Kahulugan 2
Mga numero a , b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, habang ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, a c tinatawag na libreng miyembro.
Halimbawa, sa quadratic equation 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 ang pinakamataas na koepisyent ay 6 , ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng termino ay katumbas ng − 11 . Bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag ang coefficients b at/o c ay negatibo, pagkatapos ay ginamit ang shorthand form 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ngunit hindi 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Linawin din natin ang aspetong ito: kung ang coefficients a at/o b pantay 1 o − 1 , kung gayon ay maaaring hindi sila magkaroon ng tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagsulat ng ipinahiwatig na mga numerical coefficient. Halimbawa, sa quadratic equation y 2 − y + 7 = 0 ang senior coefficient ay 1 at ang pangalawang coefficient ay − 1 .
Binawasan at hindi pinababang mga quadratic equation
Ayon sa halaga ng unang koepisyent, ang mga quadratic equation ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawas.
Kahulugan 3
Pinababang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 . Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang coefficient, ang quadratic equation ay hindi nababawasan.
Narito ang ilang mga halimbawa: ang mga quadratic equation x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ay nababawasan, sa bawat isa kung saan ang leading coefficient ay 1 .
9 x 2 - x - 2 = 0- unreduced quadratic equation, kung saan ang unang coefficient ay iba sa 1 .
Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring ma-convert sa isang pinababang equation sa pamamagitan ng paghahati sa parehong mga bahagi nito sa unang coefficient (katumbas na pagbabagong-anyo). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat gaya ng ibinigay na hindi nabawasang equation o hindi rin magkakaroon ng mga ugat sa lahat.
Ang pagsasaalang-alang sa isang partikular na halimbawa ay magbibigay-daan sa amin na malinaw na ipakita ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.
Halimbawa 1
Ibinigay ang equation na 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Kinakailangang i-convert ang orihinal na equation sa pinababang anyo.
Solusyon
Ayon sa pamamaraan sa itaas, hinahati natin ang parehong bahagi ng orihinal na equation sa nangungunang koepisyent 6 . Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 at higit pa: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Mula rito: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.
Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation
Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito, tinukoy namin iyon isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation a x 2 + b x + c = 0 ay eksaktong parisukat, dahil a = 0 ito ay mahalagang transforms sa isang linear equation b x + c = 0.
Sa kaso kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero (na posible, parehong indibidwal at magkasanib), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.
Kahulugan 4
Hindi kumpletong quadratic equation ay isang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kung saan kahit isa sa mga coefficient b at c(o pareho) ay zero.
Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero.
Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng quadratic equation ay binibigyan ng tiyak na mga pangalan.
Para sa b = 0, ang quadratic equation ay nasa anyo a x 2 + 0 x + c = 0, na kapareho ng a x 2 + c = 0. Sa c = 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang a x 2 + b x + 0 = 0, na katumbas a x 2 + b x = 0. Sa b = 0 at c = 0 ang equation ay kukuha ng anyo a x 2 = 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba sa buong quadratic equation na ang kanilang kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho nang sabay-sabay. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.
Halimbawa, ang x 2 + 3 x + 4 = 0 at − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ay mga kumpletong quadratic equation; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.
Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation
Ginagawang posible ng kahulugang ibinigay sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong quadratic equation:
- a x 2 = 0, ang mga coefficient ay tumutugma sa naturang equation b = 0 at c = 0 ;
- a x 2 + c \u003d 0 para sa b \u003d 0;
- a x 2 + b x = 0 para sa c = 0 .
Isaalang-alang ang sunud-sunod na solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.
Solusyon ng equation a x 2 \u003d 0
Tulad ng nabanggit na sa itaas, ang naturang equation ay tumutugma sa mga coefficient b at c, katumbas ng zero. Ang equation a x 2 = 0 maaaring i-convert sa isang katumbas na equation x2 = 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation sa numero a, hindi katumbas ng zero. Ang halatang katotohanan ay ang ugat ng equation x2 = 0 ay zero dahil 0 2 = 0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p , hindi katumbas ng zero, totoo ang hindi pagkakapantay-pantay p2 > 0, mula sa kung saan ito ay sumusunod na kapag p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p2 = 0 hinding-hindi maaabot.
Kahulugan 5
Kaya, para sa hindi kumpletong quadratic equation a x 2 = 0, mayroong isang natatanging ugat x=0.
Halimbawa 2
Halimbawa, lutasin natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation − 3 x 2 = 0. Ito ay katumbas ng equation x2 = 0, ang tanging ugat nito ay x=0, pagkatapos ang orihinal na equation ay may isang solong ugat - zero.
Ang solusyon ay buod tulad ng sumusunod:
− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
Solusyon ng equation a x 2 + c \u003d 0
Susunod sa linya ay ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 + c = 0. Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa, pagpapalit ng sign sa kabaligtaran at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang numero na hindi katumbas ng zero:
- magtiis c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 = − c;
- hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a, nakukuha natin bilang resulta x = - c a .
Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang nagresultang equation ay katumbas din ng orihinal, at ginagawang posible ng katotohanang ito na makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a at c depende sa halaga ng expression - c a: maaari itong magkaroon ng minus sign (halimbawa, kung a = 1 at c = 2, pagkatapos - c a = - 2 1 = - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a = -2 at c=6, pagkatapos - c a = - 6 - 2 = 3); ito ay hindi katumbas ng zero dahil c ≠ 0. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .
Sa kaso kapag - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p pagkakapantay-pantay p 2 = - c a ay hindi maaaring totoo.
Ang lahat ay naiiba kapag - c a > 0: tandaan ang square root, at magiging halata na ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a ay ang numero - c a, dahil - c a 2 \u003d - c a. Madaling maunawaan na ang bilang - - c a - ay ang ugat din ng equation x 2 = - c a: sa katunayan, - - c a 2 = - c a .
Ang equation ay walang ibang mga ugat. Maaari nating ipakita ito gamit ang kabaligtaran na pamamaraan. Una, itakda natin ang notasyon ng mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 at − x 1. Ipagpalagay natin na ang equation na x 2 = - c a ay mayroon ding ugat x2, na iba sa mga ugat x 1 at − x 1. Alam natin iyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation sa halip na x ang mga ugat nito, binabago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa numero.
Para sa x 1 at − x 1 isulat ang: x 1 2 = - c a , at para sa x2- x 2 2 \u003d - c a. Batay sa mga katangian ng numerical equalities, binabawasan namin ang isang tunay na pagkakapantay-pantay mula sa isa pang termino ayon sa termino, na magbibigay sa amin ng: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gamitin ang mga katangian ng mga pagpapatakbo ng numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ito ay kilala na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa sinabi, sinusundan iyon x1 − x2 = 0 at/o x1 + x2 = 0, na pareho x2 = x1 at/o x 2 = − x 1. Ang isang malinaw na kontradiksyon ay lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x2 naiiba mula sa x 1 at − x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang ibang mga ugat maliban sa x = - c a at x = - - c a .
Binubuod namin ang lahat ng mga argumento sa itaas.
Kahulugan 6
Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c = 0 ay katumbas ng equation x 2 = - c a , na:
- hindi magkakaroon ng mga ugat sa - c a< 0 ;
- magkakaroon ng dalawang ugat x = - c a at x = - - c a kapag - c a > 0 .
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation a x 2 + c = 0.
Halimbawa 3
Nabigyan ng quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang solusyon nito.
Solusyon
Inilipat namin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay kukuha ng anyo ang equation 9 x 2 \u003d - 7.
Hinahati namin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9
, dumating tayo sa x 2 = - 7 9 . Sa kanang bahagi ay nakikita natin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ay ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 hindi magkakaroon ng mga ugat.
Sagot: ang equation 9 x 2 + 7 = 0 walang ugat.
Halimbawa 4
Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation − x2 + 36 = 0.
Solusyon
Ilipat natin ang 36 sa kanang bahagi: − x 2 = − 36.
Hatiin natin ang dalawang bahagi sa − 1
, nakukuha namin x2 = 36. Sa kanang bahagi ay isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon
x = 36 o
x = - 36 .
Kinukuha namin ang ugat at isulat ang huling resulta: isang hindi kumpletong quadratic equation − x2 + 36 = 0 may dalawang ugat x=6 o x = -6.
Sagot: x=6 o x = -6.
Solusyon ng equation a x 2 +b x=0
Suriin natin ang ikatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation, kung kailan c = 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0, ginagamit namin ang paraan ng factorization. I-factorize natin ang polynomial, na nasa kaliwang bahagi ng equation, na inaalis ang common factor sa mga bracket. x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) = 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng set ng mga equation x=0 at a x + b = 0. Ang equation a x + b = 0 linear, at ang ugat nito: x = − b a.
Kahulugan 7
Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0 magkakaroon ng dalawang ugat x=0 at x = − b a.
Pagsamahin natin ang materyal sa isang halimbawa.
Halimbawa 5
Kinakailangang hanapin ang solusyon ng equation 2 3 · x 2-2 2 7 · x = 0 .
Solusyon
Ilabas natin x sa labas ng mga bracket at kunin ang equation na x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x=0 at 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ngayon ay dapat mong lutasin ang resultang linear equation: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
Sa madaling sabi, isinusulat namin ang solusyon ng equation tulad ng sumusunod:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 o x = 3 3 7
Sagot: x = 0 , x = 3 3 7 .
Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation
Upang makahanap ng solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:
Kahulugan 8
x = - b ± D 2 a, kung saan D = b 2 − 4 a c ay ang tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation.
Ang pagsulat ng x \u003d - b ± D 2 a ay mahalagang nangangahulugang x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.
Magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano nakuha ang ipinahiwatig na pormula at kung paano ilapat ito.
Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation
Ipagpalagay na tayo ay nahaharap sa gawain ng paglutas ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:
- hatiin ang magkabilang panig ng equation sa numero a, naiiba sa zero, nakuha namin ang pinababang quadratic equation: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
- piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng resultang equation:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng anyo: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0; - ngayon posible na ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi, binabago ang tanda sa kabaligtaran, pagkatapos nito makuha namin ang: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- sa wakas, binabago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.
Kaya, dumating tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , na katumbas ng orihinal na equation a x 2 + b x + c = 0.
Tinalakay namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (ang solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation). Ang karanasang natamo ay ginagawang posible upang makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:
- para sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ang equation ay may anyo na x + b 2 · a 2 = 0, pagkatapos ay x + b 2 · a = 0.
Mula dito, ang tanging ugat na x = - b 2 · a ay kitang-kita;
- para sa b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, ang tama ay: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2 , na siyang katulad ng x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , i.e. ang equation ay may dalawang ugat.
Posibleng tapusin na ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression b 2 - 4 ac 4 · isang 2 na nakasulat sa kanang bahagi. At ang tanda ng pagpapahayag na ito ay ibinibigay ng tanda ng numerator, (ang denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 − 4 a c. Ang ekspresyong ito b 2 − 4 a c binigay ang isang pangalan - ang discriminant ng isang quadratic equation at ang letrang D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan nila kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at, kung gayon, kung gaano karaming mga ugat - isa o dalawa.
Bumalik tayo sa equation x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Isulat muli natin ito gamit ang discriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Balikan natin ang mga konklusyon:
Kahulugan 9
- sa D< 0 ang equation ay walang tunay na ugat;
- sa D=0 ang equation ay may iisang ugat x = - b 2 · a ;
- sa D > 0 ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Batay sa mga katangian ng mga radical, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat bilang: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. At kapag binuksan namin ang mga module at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha namin ang: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.
Kaya, ang resulta ng aming pangangatwiran ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D kinakalkula ng formula D = b 2 − 4 a c.
Ginagawang posible ng mga formula na ito, kapag mas malaki sa zero ang discriminant, upang matukoy ang parehong tunay na pinagmulan. Kapag ang discriminant ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kapag ang discriminant ay negatibo, sinusubukang gamitin ang quadratic root formula, haharap tayo sa pangangailangang kunin ang square root ng isang negatibong numero, na magdadala sa atin nang higit sa totoong mga numero. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng mga tunay na ugat, ngunit posible ang isang pares ng kumplikadong conjugate root, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.
Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula
Posibleng malutas ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng kaagad na paggamit ng root formula, ngunit karaniwang ginagawa ito kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.
Sa karamihan ng mga kaso, ang paghahanap ay karaniwang sinadya hindi para sa kumplikado, ngunit para sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng quadratic equation, una upang matukoy ang discriminant at siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man ay aming tapusin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang kalkulahin ang halaga ng mga ugat.
Ang pangangatwiran sa itaas ay ginagawang posible na magbalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.
Kahulugan 10
Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kailangan:
- ayon sa pormula D = b 2 − 4 a c hanapin ang halaga ng discriminant;
- sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- para sa D = 0 hanapin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - b 2 · a ;
- para sa D > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng formula x = - b ± D 2 · a.
Tandaan na kapag ang discriminant ay zero, maaari mong gamitin ang formula x = - b ± D 2 · a , ito ay magbibigay ng parehong resulta tulad ng formula x = - b 2 · a .
Isaalang-alang ang mga halimbawa.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation
Ipinakita namin ang solusyon ng mga halimbawa para sa iba't ibang mga halaga ng discriminant.
Halimbawa 6
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x - 6 = 0.
Solusyon
Isinulat namin ang mga numerical coefficient ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at c = − 6. Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm, i.e. Simulan natin ang pagkalkula ng discriminant, kung saan pinapalitan natin ang mga coefficient a , b at c sa discriminant formula: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Kaya, nakuha namin ang D > 0, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, pinapalitan ang naaangkop na mga halaga, nakukuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pinapasimple namin ang resultang expression sa pamamagitan ng pag-alis ng salik sa tanda ng ugat, na sinusundan ng pagbawas ng fraction:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7
Sagot: x = - 1 + 7 , x = - 1-7 .
Halimbawa 7
Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang quadratic equation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Solusyon
Tukuyin natin ang discriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ganitong halaga ng discriminant, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
Sagot: x = 3, 5.
Halimbawa 8
Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Solusyon
Ang mga numerical coefficient ng equation na ito ay magiging: a = 5 , b = 6 at c = 2 . Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang discriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Ang computed discriminant ay negatibo, kaya ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na ugat.
Sa kaso kapag ang gawain ay upang ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga operasyon na may mga kumplikadong numero:
x \u003d - 6 ± - 4 2 5,
x \u003d - 6 + 2 i 10 o x \u003d - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 i o x = - 3 5 - 1 5 i .
Sagot: walang tunay na mga ugat; ang kumplikadong mga ugat ay: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .
Sa kurikulum ng paaralan, bilang pamantayan, walang kinakailangang maghanap ng mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung ang discriminant ay tinukoy bilang negatibo sa panahon ng solusyon, ang sagot ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.
Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient
Ginagawang posible ng root formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 ac) na makakuha ng isa pang formula, na mas compact, na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng mga solusyon sa mga quadratic equation na may even coefficient sa x (o may coefficient ng anyo 2 a n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ipakita natin kung paano hinango ang formula na ito.
Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng solusyon sa quadratic equation a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kumilos kami ayon sa algorithm: tinutukoy namin ang discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , at pagkatapos ay gamitin ang root formula:
x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - isang · ca.
Hayaang ang expression n 2 − a c ay denoted bilang D 1 (minsan ito ay denoted D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay kukuha ng anyo:
x \u003d - n ± D 1 a, kung saan D 1 \u003d n 2 - a c.
Madaling makita na D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D, na nangangahulugan na ang tanda ng D 1 ay maaari ding magsilbi bilang isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Kahulugan 11
Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang quadratic equation na may pangalawang coefficient na 2 n, ito ay kinakailangan:
- hanapin ang D 1 = n 2 − a c ;
- sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- para sa D 1 = 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula x = - n a ;
- para sa D 1 > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat gamit ang formula x = - n ± D 1 a.
Halimbawa 9
Kinakailangang lutasin ang quadratic equation 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.
Solusyon
Ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation ay maaaring katawanin bilang 2 · (− 3) . Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kung saan ang a = 5 , n = − 3 at c = − 32 .
Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ang resultang halaga ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinutukoy namin ang mga ito sa pamamagitan ng kaukulang formula ng mga ugat:
x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,
x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 o x = - 2
Magiging posible na magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas masalimuot.
Sagot: x = 3 1 5 o x = - 2 .
Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation
Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.
Halimbawa, ang quadratic equation 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.
Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay ginagawa sa pamamagitan ng pag-multiply o paghahati ng parehong bahagi nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay nagpakita kami ng pinasimple na representasyon ng equation na 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa 100.
Ang ganitong pagbabago ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi relatibong prime number. Pagkatapos, kadalasan, ang parehong bahagi ng equation ay nahahati sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito.
Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Tukuyin natin ang gcd ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Hatiin natin ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .
Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng quadratic equation, ang mga fractional coefficient ay karaniwang inaalis. Sa kasong ito, i-multiply sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng LCM (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay isusulat ito sa isang mas simpleng anyo x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Sa wakas, napapansin namin na halos palaging inaalis ang minus sa unang koepisyent ng quadratic equation, binabago ang mga palatandaan ng bawat termino ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) ng parehong bahagi sa -1. Halimbawa, mula sa quadratic equation - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa pinasimple na bersyon nito 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.
Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient
Ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation x = - b ± D 2 · a ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga numerical coefficient nito. Batay sa formula na ito, mayroon kaming pagkakataon na magtakda ng iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at coefficient.
Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga formula ng Vieta theorem:
x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.
Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, posible na agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3, at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.
Makakahanap ka rin ng ilang iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
paglalarawan ng bibliograpiya: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation // Young scientist. - 2016. - Hindi. 6.1. - S. 17-20..02.2019).
Ang aming proyekto ay nakatuon sa mga paraan ng paglutas ng mga quadratic equation. Ang layunin ng proyekto: upang matutunan kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa mga paraan na hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Gawain: hanapin ang lahat ng posibleng paraan upang malutas ang mga quadratic equation at matutunan kung paano gamitin ang mga ito sa iyong sarili at ipakilala ang mga kaklase sa mga pamamaraang ito.
Ano ang "quadratic equation"?
Quadratic equation- equation ng form palakol2 + bx + c = 0, saan a, b, c- ilang mga numero ( isang ≠ 0), x- hindi kilala.
Ang mga numerong a, b, c ay tinatawag na coefficients ng quadratic equation.
- a ay tinatawag na unang koepisyent;
- b ay tinatawag na pangalawang koepisyent;
- c - libreng miyembro.
At sino ang unang "nag-imbento" ng mga quadratic equation?
Ang ilang mga algebraic technique para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay kilala noon pang 4000 taon na ang nakakaraan sa Ancient Babylon. Ang nahanap na sinaunang Babylonian clay tablets, na may petsa sa pagitan ng 1800 at 1600 BC, ay ang pinakamaagang ebidensya ng pag-aaral ng quadratic equation. Ang parehong mga tablet ay naglalaman ng mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga uri ng quadratic equation.
Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang degree sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at earthworks ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomy at matematika mismo.
Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga teksto ng Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan. Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga cuneiform na teksto ay kulang sa konsepto ng isang negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Babylonian mathematician mula noong mga ika-4 na siglo B.C. ginamit ang square complement method upang malutas ang mga equation na may mga positibong ugat. Mga 300 B.C. Nakaisip si Euclid ng isang mas pangkalahatang paraan ng solusyong geometriko. Ang unang mathematician na nakahanap ng mga solusyon sa isang equation na may mga negatibong ugat sa anyo ng isang algebraic formula ay isang Indian scientist. Brahmagupta(India, ika-7 siglo AD).
Binalangkas ni Brahmagupta ang isang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:
ax2 + bx = c, a>0
Sa equation na ito, ang mga coefficient ay maaaring negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.
Sa India, karaniwan ang mga pampublikong kompetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.
Sa isang algebraic treatise Al-Khawarizmi isang klasipikasyon ng mga linear at quadratic na equation ang ibinigay. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:
1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 = bx.
2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 = c.
3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", ibig sabihin, ax2 = c.
4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", ibig sabihin, ax2 + c = bx.
5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng numero", ibig sabihin, ax2 + bx = c.
6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", ibig sabihin, bx + c == ax2.
Para kay Al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri, ang Al-Khwarizmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero. solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na gawain, hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni Al-Khwarizmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na numerical na halimbawa, at pagkatapos ang kanilang mga geometric na patunay.
Ang mga form para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng Al-Khwarizmi sa Europa ay unang inilarawan sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202. Italyano na matematiko Leonard Fibonacci. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero.
Ang aklat na ito ay nag-ambag sa pagkalat ng algebraic na kaalaman hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansang Europeo. Maraming mga gawain mula sa aklat na ito ang inilipat sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-14-17 siglo. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form x2 + bx = c kasama ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga sign at coefficient b, c, ay nabuo sa Europe noong 1544. M. Stiefel.
Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Mga matematikong Italyano Tartaglia, Cardano, Bombelli kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Lamang sa siglo XVII. salamat sa trabaho Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay nasa modernong anyo.
Isaalang-alang ang ilang mga paraan upang malutas ang mga quadratic equation.
Mga karaniwang paraan upang malutas ang mga quadratic equation mula sa kurikulum ng paaralan:
- Factorization ng kaliwang bahagi ng equation.
- Buong parisukat na paraan ng pagpili.
- Solusyon ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng formula.
- Graphical na solusyon ng isang quadratic equation.
- Solusyon ng mga equation gamit ang Vieta's theorem.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang solusyon ng pinababa at hindi pinababang mga quadratic na equation gamit ang teorem ng Vieta.
Alalahanin na upang malutas ang ibinigay na mga quadratic equation, sapat na upang makahanap ng dalawang numero na ang produkto nito ay katumbas ng libreng termino, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.
Halimbawa.x 2 -5x+6=0
Kailangan mong maghanap ng mga numero na ang produkto ay 6 at ang kabuuan ay 5. Ang mga numerong ito ay magiging 3 at 2.
Sagot: x 1 =2, x 2 =3.
Ngunit maaari mong gamitin ang paraang ito para sa mga equation na may unang koepisyent na hindi katumbas ng isa.
Halimbawa.3x 2 +2x-5=0
Kinukuha namin ang unang coefficient at i-multiply ito sa libreng term: x 2 +2x-15=0
Ang mga ugat ng equation na ito ay mga numero na ang produkto ay - 15, at ang kabuuan ay - 2. Ang mga numerong ito ay 5 at 3. Upang mahanap ang mga ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang nakuha na mga ugat sa unang koepisyent.
Sagot: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Solusyon ng mga equation sa pamamagitan ng paraan ng "transfer".
Isaalang-alang ang quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, kung saan a≠0.
Ang pagpaparami ng parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang equation na a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Hayaan ang ax = y, kung saan ang x = y/a; pagkatapos ay dumating tayo sa equation na y 2 + by + ac = 0, na katumbas ng ibinigay. Nahanap natin ang mga ugat nito sa 1 at sa 2 gamit ang Vieta theorem.
Sa wakas ay nakukuha natin ang x 1 = y 1 /a at x 2 = y 2 /a.
Sa pamamaraang ito, ang coefficient a ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, samakatuwid ito ay tinatawag na "paglipat" na paraan. Ginagamit ang pamamaraang ito kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang teorem ng Vieta at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Halimbawa.2x 2 - 11x + 15 = 0.
"Ilipat" natin ang koepisyent 2 sa libreng termino at gawin ang kapalit na makuha natin ang equation na y 2 - 11y + 30 = 0.
Ayon sa inverse theorem ni Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Sagot: x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. Mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation.
Hayaang ibigay ang quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.
1. Kung a + b + c \u003d 0 (i.e., ang kabuuan ng mga coefficient ng equation ay zero), kung gayon x 1 \u003d 1.
2. Kung a - b + c \u003d 0, o b \u003d a + c, pagkatapos ay x 1 \u003d - 1.
Halimbawa.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Dahil a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.
Sagot: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Halimbawa.132x 2 + 247x + 115 = 0
kasi a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), pagkatapos ay x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132
Sagot: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Mayroong iba pang mga katangian ng mga coefficient ng isang quadratic equation. ngunit ang kanilang paggamit ay mas kumplikado.
8. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang nomogram.
Fig 1. Nomogram
Ito ay isang luma at kasalukuyang nakalimutang paraan para sa paglutas ng mga quadratic equation, na inilagay sa p. 83 ng koleksyon: Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
Talahanayan XXII. Nomogram para sa Paglutas ng Equation z2 + pz + q = 0. Ang nomogram na ito ay nagpapahintulot, nang hindi nilulutas ang quadratic equation, na matukoy ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga coefficient nito.
Ang curvilinear scale ng nomogram ay binuo ayon sa mga formula (Larawan 1):
Ipagpalagay OS = p, ED = q, OE = a(lahat sa cm), mula sa Fig. 1 pagkakatulad ng mga tatsulok SAN at CDF nakukuha natin ang proporsyon
kung saan, pagkatapos ng mga pagpapalit at pagpapagaan, ang equation ay sumusunod z 2 + pz + q = 0, at ang sulat z nangangahulugang ang label ng anumang punto sa curved scale.
kanin. 2 Paglutas ng isang quadratic equation gamit ang isang nomogram
Mga halimbawa.
1) Para sa equation z 2 - 9z + 8 = 0 binibigyan ng nomogram ang mga ugat na z 1 = 8.0 at z 2 = 1.0
Sagot: 8.0; 1.0.
2) Lutasin ang equation gamit ang nomogram
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Hatiin ang mga coefficient ng equation na ito ng 2, makuha natin ang equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Ang nomogram ay nagbibigay ng mga ugat z 1 = 4 at z 2 = 0.5.
Sagot: 4; 0.5.
9. Geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.
Halimbawa.X 2 + 10x = 39.
Sa orihinal, ang problemang ito ay binabalangkas tulad ng sumusunod: "Ang parisukat at sampung ugat ay katumbas ng 39."
Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid x, ang mga parihaba ay itinayo sa mga gilid nito upang ang kabilang panig ng bawat isa sa kanila ay 2.5, samakatuwid, ang lugar ng beach ay 2.5x. Ang resultang figure ay pagkatapos ay pupunan sa isang bagong parisukat ABCD, pagkumpleto ng apat na pantay na mga parisukat sa mga sulok, ang gilid ng bawat isa sa kanila ay 2.5, at ang lugar ay 6.25
kanin. 3 Graphical na paraan upang malutas ang equation x 2 + 10x = 39
Ang lugar S ng parisukat ABCD ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga lugar: ang orihinal na parisukat x 2, apat na parihaba (4∙2.5x = 10x) at apat na nakalakip na parisukat (6.25∙4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Ang pagpapalit ng x 2 + 10x sa numero 39, nakuha namin na S \u003d 39 + 25 \u003d 64, na nagpapahiwatig na ang gilid ng parisukat na ABCD, i.e. segment AB \u003d 8. Para sa nais na bahagi x ng orihinal na parisukat, nakukuha namin
10. Solusyon ng mga equation gamit ang theorem ni Bezout.
Ang teorama ni Bezout. Ang natitira pagkatapos hatiin ang polynomial P(x) sa binomial na x - α ay katumbas ng P(α) (iyon ay, ang halaga ng P(x) sa x = α).
Kung ang bilang na α ay ang ugat ng polynomial P(x), kung gayon ang polynomial na ito ay mahahati ng x -α nang walang natitira.
Halimbawa.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Hatiin ang P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, o x-3=0, x=3; Sagot: x1 =2, x2 =3.
Konklusyon: Ang kakayahang mabilis at makatwiran na lutasin ang mga quadratic equation ay kailangan lamang para sa paglutas ng mas kumplikadong mga equation, halimbawa, fractional rational equation, equation ng mas mataas na kapangyarihan, biquadratic equation, at sa high school na trigonometric, exponential at logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aralan ang lahat ng mga pamamaraan na natagpuan para sa paglutas ng mga quadratic equation, maaari naming payuhan ang mga kaklase, bilang karagdagan sa mga karaniwang pamamaraan, upang malutas sa pamamagitan ng paraan ng paglipat (6) at lutasin ang mga equation sa pamamagitan ng pag-aari ng mga coefficient (7), dahil mas madaling ma-access ang mga ito para sa pag-unawa. .
Panitikan:
- Bradis V.M. Apat na digit na mathematical table. - M., Edukasyon, 1990.
- Algebra grade 8: textbook para sa grade 8. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ika-15 ed., binago. - M.: Enlightenment, 2015
- https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Isang gabay para sa mga guro. / Ed. V.N. Mas bata. - M.: Enlightenment, 1964.
Mga layunin:
- Ipakilala ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation;
- "buksan" ang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng ibinigay na quadratic equation;
- upang bumuo ng interes sa matematika, na nagpapakita sa pamamagitan ng halimbawa ng buhay ni Vieta na ang matematika ay maaaring maging isang libangan.
1. Pagsusuri ng takdang-aralin
No. 309 (g) x 1 \u003d 7, x 2 \u003d
No. 311 (g) x 1 \u003d 2, x 2 \u003d -1
No. 312 (g) walang ugat
2. Pag-uulit ng pinag-aralan na materyal
Bawat isa ay may mesa sa mesa. Maghanap ng tugma sa pagitan ng kaliwa at kanang column ng talahanayan.
| Verbal na salita | Literal na pagpapahayag |
| 1. Square trinomial | A. ah 2 = 0 |
| 2. Diskriminasyon | B. ax 2 + c \u003d 0, c< 0 |
| 3. Isang hindi kumpletong quadratic equation na may isang ugat na katumbas ng 0. | V. D > 0 |
| 4. Hindi kumpletong quadratic equation, ang isang ugat ay 0 at ang isa ay hindi katumbas ng 0. | G. D< 0 |
| 5. Hindi isang kumpletong quadratic equation, ang mga ugat nito ay pantay-pantay sa absolute value, ngunit kabaligtaran sa sign. | D. ax 2 + in + s \u003d 0 |
| 6. Hindi kumpletong quadratic equation na walang tunay na ugat. | E. D \u003d sa 2 + 4ac |
| 7. Pangkalahatang view ng quadratic equation. | J. x 2 + px + q \u003d 0 |
| 8. Ang kondisyon kung saan ang quadratic equation ay may dalawang ugat | Z. palakol 2 + sa + s |
| 9. Ang kondisyon kung saan walang mga ugat ang quadratic equation | AT. ax 2 + c \u003d 0, c\u003e 0 |
| 10. Ang kondisyon kung saan ang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat | SA. ax 2 + in = 0 |
| 11. Pinababang quadratic equation. | L. D = 0 |
Itala ang mga tamang sagot sa talahanayan.
1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5 B; 6-ako; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-J.
3. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal
Lutasin ang mga equation:
a) -5x 2 + 8x -3 \u003d 0;
Solusyon:
D \u003d 64 - 4 (-5) (-3) \u003d 4,
x 1 \u003d x 2 \u003d \u003d a + b + c \u003d -5 + 8-3 \u003d 0
b) 2 x 2 + 6x - 8 = 0;
Solusyon:
D \u003d 36 - 4 2 (-8) \u003d 100,
x 1 \u003d \u003d x 2 \u003d a + b + c \u003d 2 + 6-8 \u003d 0
c) 2009 x 2 + x - 2010 = 0
Solusyon:
a + b + c \u003d 2009 + 1 + (-2010) \u003d 0, pagkatapos ay x 1 \u003d 1 x 2 \u003d
4. Pagpapalawak ng kurso sa paaralan
ax 2 + in + c \u003d 0, kung a + b + c \u003d 0, kung gayon x 1 \u003d 1 x 2 \u003dIsaalang-alang ang solusyon ng mga equation
a) 2x 2 + 5x +3 = 0
Solusyon:
D \u003d 25 -24 \u003d 1 x 1 \u003d x 2 \u003d a - b + c \u003d 2-5 + 3 \u003d 0
b) -4x 2 -5x -1 \u003d 0
Solusyon:
D \u003d 25 - 16 \u003d 9 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d a - c + c \u003d -4- (-5) - 1 \u003d 0
c) 1150x 2 + 1135x -15 = 0
Solusyon:
a - b + c \u003d 1150-1135 + (-15) \u003d 0 x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d
ax 2 + in + c \u003d 0, kung a-b + c \u003d 0, kung gayon x 1 \u003d - 1 x 2 \u003d
5. Bagong tema
Suriin natin ang iyong unang gawain. Anong mga bagong konsepto ang nakita mo? 11 - f, ibig sabihin.
Ang ibinigay na quadratic equation ay x 2 + px + q \u003d 0.
Ang paksa ng ating aralin.
Punan natin ang sumusunod na talahanayan.
Ang kaliwang column ay nasa kanilang mga notebook at isang estudyante ang nasa pisara.
Solusyon sa equation ax 2 + in + s \u003d 0
Kanang column, mas handa na estudyante sa pisara
Solusyon sa equation x 2 + px + q \u003d 0, na may \u003d 1, b \u003d p, c \u003d q
Ang guro (kung kinakailangan) ay tumutulong, ang natitira sa mga kuwaderno.
6. Praktikal na bahagi
X 2 - 6 X + 8 = 0,
D \u003d 9 - 8 \u003d 1,
x 1 \u003d 3 - 1 \u003d 2
x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,
D \u003d 9 - 8 \u003d 0,
x 1 \u003d -3 - 1 \u003d -4
x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,
D \u003d 100 - 51 \u003d 49
x 1 \u003d 10 - 7 \u003d 3
x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 - 20 X – 69 = 0,
D \u003d 100 - 69 \u003d 31
Batay sa mga resulta ng aming mga kalkulasyon, pinupunan namin ang talahanayan.
equation number R x 1+ x 2 q x 1 x 2 1 -6 6 8 8
Ihambing natin ang mga nakuhang resulta sa mga coefficient ng quadratic equation.
Anong konklusyon ang mabubuo?
7. Kaligirang pangkasaysayan
Sa unang pagkakataon, ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation ay itinatag ng sikat na French scientist na si Francois Viet (1540–1603).
Si François Viet ay isang abogado sa pamamagitan ng propesyon at nagtrabaho bilang isang tagapayo sa hari sa loob ng maraming taon. At kahit na ang matematika ay kanyang libangan, o, tulad ng sinasabi nila, isang libangan, salamat sa pagsusumikap, nakamit niya ang magagandang resulta dito. Ipinakilala ng Vieta noong 1591 ang mga pagtatalaga ng liham para sa mga hindi alam at coefficient ng mga equation. Ginawa nitong posible na isulat ang mga ugat at iba pang katangian ng equation na may mga pangkalahatang formula.
Ang kawalan ng algebra ng Vieta ay nakilala lamang nito ang mga positibong numero. Upang maiwasan ang mga negatibong solusyon, pinalitan niya ang mga equation o naghahanap ng mga artipisyal na solusyon, na tumagal ng maraming oras, kumplikado ang solusyon, at madalas na humantong sa mga pagkakamali.
Nakagawa si Vieta ng maraming iba't ibang mga pagtuklas, ngunit siya mismo ang higit sa lahat ay pinahahalagahan ang pagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation, iyon ay, ang relasyon na tinatawag na "Vieta's theorem".
Isasaalang-alang natin ang teorama na ito sa susunod na aralin.
8. Paglalahat ng kaalaman
Mga tanong:
- Aling equation ang tinatawag na reduced quadratic equation?
- Anong formula ang maaaring gamitin upang mahanap ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation?
- Ano ang tumutukoy sa bilang ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation?
- Ano ang discriminant ng isang ibinigay na quadratic equation?
- Paano nauugnay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation at ang mga coefficient nito?
- Sino ang gumawa ng koneksyon na ito?
9. Takdang-Aralin
Clause 4.5, No. 321 (b, f) No. 322 (a, d, g, h)
Punan ang talahanayan.
Ang equation Mga ugat Ang kabuuan ng mga ugat Produktong ugat X 2 - 8x + 7 \u003d 0 1 at 7 8 7
Panitikan
CM. Nikolsky et al., "Algebra 8" textbook series "MSU-school" - M .: Education, 2007.