Isa sa pinakamahirap na paksa para sa mga mag-aaral ay ang paglutas ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng modulus sign. Tingnan natin para sa isang simula kung ano ang konektado sa? Bakit, halimbawa, ang mga quadratic equation na karamihan sa mga bata ay nag-click tulad ng mga nuts, ngunit sa isang malayo mula sa pinaka kumplikadong konsepto bilang isang module ay may napakaraming problema?
Sa palagay ko, ang lahat ng mga paghihirap na ito ay nauugnay sa kakulangan ng malinaw na nabalangkas na mga patakaran para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus. Kaya, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, tiyak na alam ng mag-aaral na kailangan muna niyang ilapat ang discriminant formula, at pagkatapos ay ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation. Ngunit paano kung ang isang module ay nakatagpo sa equation? Susubukan naming malinaw na ilarawan ang kinakailangang plano ng pagkilos sa kaso kapag ang equation ay naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng modulus sign. Nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa para sa bawat kaso.
Ngunit una, tandaan natin kahulugan ng modyul. Kaya, ang modulus ng numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung a di-negatibo at -a kung ang numero a mas mababa sa zero. Maaari mong isulat ito tulad nito:
|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0
Sa pagsasalita tungkol sa geometric na kahulugan ng module, dapat tandaan na ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang tiyak na punto sa numero ng axis - nito sa 
coordinate. Kaya, ang module o ang absolute value ng isang numero ay ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa pinagmulan ng numerical axis. Palaging ibinibigay ang distansya bilang positibong numero. Kaya, ang modulus ng anumang negatibong numero ay isang positibong numero. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na sa yugtong ito, maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito. Ang anumang numero ay maaaring nasa module, ngunit ang resulta ng paglalapat ng module ay palaging isang positibong numero.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng mga equation.
1. Isaalang-alang ang isang equation ng anyong |x| = c, kung saan ang c ay isang tunay na numero. Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang kahulugan ng modulus.
Hinahati namin ang lahat ng tunay na numero sa tatlong grupo: ang mga mas malaki sa zero, ang mas mababa sa zero, at ang pangatlong grupo ay ang numero 0. Isinulat namin ang solusyon sa anyo ng isang diagram:
(±c kung c > 0
Kung |x| = c, pagkatapos x = (0 kung c = 0
(walang ugat kung may< 0
1) |x| = 5, dahil 5 > 0, pagkatapos x = ±5;
2) |x| = -5, kasi -lima< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, pagkatapos x = 0.
2. Isang equation ng anyong |f(x)| = b, kung saan b > 0. Upang malutas ang equation na ito, kinakailangan upang mapupuksa ang modulus. Ginagawa namin ito ng ganito: f(x) = b o f(x) = -b. Ngayon ay kinakailangan upang malutas nang hiwalay ang bawat isa sa mga nakuha na equation. Kung sa orihinal na equation b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, dahil 4> 0, pagkatapos
x + 2 = 4 o x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, dahil 11 > 0, pagkatapos
x 2 - 5 = 11 o x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 walang ugat
3) |x 2 – 5x| = -8 , dahil -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Isang equation ng anyong |f(x)| = g(x). Ayon sa kahulugan ng modyul, ang naturang equation ay magkakaroon ng mga solusyon kung ang kanang bahagi nito ay mas malaki sa o katumbas ng zero, i.e. g(x) ≥ 0. Pagkatapos ay mayroon tayong:
f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x - 10. Ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat kung 5x - 10 ≥ 0. Dito magsisimula ang solusyon ng naturang mga equation.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Solusyon:
2x - 1 = 5x - 10 o 2x - 1 = -(5x - 10)
3. Pagsamahin ang O.D.Z. at ang solusyon, nakukuha namin:
Ang ugat x \u003d 11/7 ay hindi magkasya ayon sa O.D.Z., ito ay mas mababa sa 2, at x \u003d 3 ay natutugunan ang kundisyong ito.
Sagot: x = 3
2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.
1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang interval method:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Solusyon:
x - 1 \u003d 1 - x 2 o x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1
3. Pagsamahin ang solusyon at O.D.Z.:
Ang mga ugat na x = 1 at x = 0 lamang ang angkop.
Sagot: x = 0, x = 1.
4. Isang equation ng anyong |f(x)| = |g(x)|. Ang nasabing equation ay katumbas ng sumusunod na dalawang equation f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ang equation na ito ay katumbas ng sumusunod na dalawa:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 o x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1
Sagot: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (pagbabago ng variable). Ang paraan ng solusyon na ito ay pinakamadaling ipaliwanag sa isang partikular na halimbawa. Kaya, hayaan ang isang quadratic equation na may modulus na ibigay:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Sa pamamagitan ng property ng module x 2 = |x| 2 , kaya ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
|x| 2–6|x| + 5 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Paglutas ng equation na ito, nakukuha natin na t \u003d 1 o t \u003d 5. Bumalik tayo sa kapalit:
|x| = 1 o |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Sagot: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Tingnan natin ang isa pang halimbawa:
x 2 + |x| – 2 = 0. Sa pamamagitan ng katangian ng modyul x 2 = |x| 2, kaya
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Gawin natin ang pagbabago |x| = t ≥ 0, kung gayon:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin, t \u003d -2 o t \u003d 1. Bumalik tayo sa kapalit:
|x| = -2 o |x| = 1
Walang mga ugat x = ± 1
Sagot: x = -1, x = 1.
6. Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Ang mga nasabing equation ay kinabibilangan ng mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module". Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng module.
1) |3 – |x|| = 4. Kami ay kumilos sa parehong paraan tulad ng sa mga equation ng pangalawang uri. kasi 4> 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang equation:
3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.
Ngayon ipahayag natin ang module x sa bawat equation, pagkatapos |x| = -1 o |x| = 7.
Nalulutas namin ang bawat isa sa mga nagresultang equation. Walang mga ugat sa unang equation, dahil -isa< 0, а во втором x = ±7.
Sagot x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Nilulutas namin ang equation na ito sa katulad na paraan:
3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Walang mga ugat.
Sagot: x = -3, x = 1.
Mayroon ding unibersal na paraan para sa paglutas ng mga equation na may modulus. Ito ang paraan ng spacing. Ngunit isasaalang-alang pa natin ito.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Ang ganap na halaga ng isang numero a ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto PERO(a).
Upang maunawaan ang kahulugang ito, pinapalitan namin sa halip na isang variable a anumang numero, halimbawa 3 at subukang basahin itong muli:
Ang ganap na halaga ng isang numero 3 ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto PERO(3 ).
Nagiging malinaw na ang module ay hindi hihigit sa karaniwang distansya. Subukan nating makita ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong A( 3 )
Ang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate hanggang point A( 3 ) ay katumbas ng 3 (tatlong yunit o tatlong hakbang).
Ang modulus ng isang numero ay ipinahiwatig ng dalawang patayong linya, halimbawa:
Ang modulus ng numero 3 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |3|
Ang modulus ng numero 4 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |4|
Ang modulus ng bilang 5 ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod: |5|
Hinanap namin ang modulus ng numero 3 at nalaman na ito ay katumbas ng 3. Kaya isinulat namin:
Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng tatlo ay tatlo"
Ngayon subukan nating hanapin ang modulus ng numero -3. Muli, bumalik kami sa kahulugan at pinapalitan ang numero -3 dito. Lamang sa halip ng isang tuldok A gumamit ng bagong punto B. punto A nagamit na natin sa unang halimbawa.
Ang modulus ng numero ay 3 tawagan ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto B(—3 ).
Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isa pa ay hindi maaaring negatibo. Samakatuwid, ang modulus ng anumang negatibong numero, bilang isang distansya, ay hindi rin magiging negatibo. Ang module ng numerong -3 ay magiging numero 3. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong B(-3) ay katumbas din ng tatlong unit:
Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng isang numero minus tatlo ay tatlo"
Ang modulus ng numero 0 ay 0, dahil ang punto na may coordinate 0 ay tumutugma sa pinagmulan, i.e. distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto O(0) katumbas ng zero:
"Ang modulus ng zero ay zero"
Gumagawa kami ng mga konklusyon:
- Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibo;
- Para sa isang positibong numero at zero, ang modulus ay katumbas ng numero mismo, at para sa isang negatibo, sa kabaligtaran na numero;
- Ang magkasalungat na numero ay may pantay na mga module.
Kabaligtaran ng mga numero
Ang mga numero na naiiba lamang sa mga palatandaan ay tinatawag kabaligtaran. Halimbawa, ang mga numero −2 at 2 ay magkasalungat. Sila ay naiiba lamang sa mga palatandaan. Ang numero −2 ay may minus sign, at 2 ay may plus sign, ngunit hindi namin ito nakikita, dahil ang plus, tulad ng sinabi namin kanina, ay tradisyonal na hindi nakasulat.
Higit pang mga halimbawa ng magkasalungat na numero:
Ang magkasalungat na numero ay may pantay na mga module. Halimbawa, hanapin natin ang mga module para sa −2 at 2
Ipinapakita ng figure na ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa mga punto A(−2) At B(2) katumbas ng dalawang hakbang.
Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin
Paglutas ng mga Equation at Inequalities gamit ang Modulus madalas na nagiging sanhi ng mga problema. Gayunpaman, kung naiintindihan mong mabuti kung ano ang ang ganap na halaga ng isang numero, At kung paano wastong palawakin ang mga expression na naglalaman ng modulo sign, pagkatapos ay ang presensya sa equation expression sa ilalim ng module sign hindi na nagiging hadlang sa solusyon nito.
Medyo teorya. Ang bawat numero ay may dalawang katangian: ang ganap na halaga ng numero, at ang tanda nito.
Halimbawa, ang numerong +5, o 5 lang, ay may sign na "+" at ganap na halaga na 5.
Ang numerong -5 ay may sign na "-" at may ganap na halaga na 5.
Ang ganap na halaga ng mga numero 5 at -5 ay 5.
Ang ganap na halaga ng numerong x ay tinatawag na modulus ng numero at tinutukoy ng |x|.
Tulad ng nakikita natin, ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero mismo, kung ang numerong ito ay mas malaki kaysa o katumbas ng zero, at sa numerong ito na may kabaligtaran na tanda, kung negatibo ang numerong ito.
Ang parehong naaangkop sa anumang mga expression na nasa ilalim ng module sign.
Ganito ang hitsura ng panuntunan sa pagpapalawak ng module:
|f(x)|= f(x) kung f(x) ≥ 0, at
|f(x)|= - f(x) kung f(x)< 0
Halimbawa |x-3|=x-3 kung x-3≥0 at |x-3|=-(x-3)=3-x kung x-3<0.
Upang malutas ang isang equation na naglalaman ng isang expression sa ilalim ng modulus sign, kailangan mo muna palawakin ang module sa pamamagitan ng panuntunan sa pagpapalawak ng module.
Pagkatapos ang aming equation o hindi pagkakapantay-pantay ay binago sa dalawang magkaibang equation na umiiral sa dalawang magkaibang numerical interval.
May isang equation sa isang numerical interval kung saan ang expression sa ilalim ng modulus sign ay hindi negatibo.
At ang pangalawang equation ay umiiral sa pagitan kung saan negatibo ang expression sa ilalim ng modulus sign.
Isaalang-alang natin ang isang simpleng halimbawa.
Lutasin natin ang equation:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Buksan natin ang modyul.
|x-3|=x-3 kung x-3≥0, i.e. kung x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x kung x-3<0, т.е. если х<3
2. Nakakuha kami ng dalawang numerical interval: x≥3 at x<3.
Isaalang-alang kung anong mga equation ang binago sa orihinal na equation sa bawat pagitan:
A) Para sa x≥3 |x-3|=x-3, at ang aming equation ay ganito ang hitsura:
Pansin! Ang equation na ito ay umiiral lamang sa pagitan ng x≥3!
Buksan natin ang mga bracket, bigyan ang mga katulad na miyembro:
at lutasin ang equation na ito.
Ang equation na ito ay may mga ugat:
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3
Pansin! dahil ang equation na x-3=-x 2 +4x-3 ay umiiral lamang sa pagitan ng x≥3, kami ay interesado lamang sa mga ugat na kabilang sa pagitan na ito. Ang kundisyong ito ay nakakatugon lamang sa x 2 =3.
B) Sa x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Pansin! Ang equation na ito ay umiiral lamang sa pagitan ng x<3!
Buksan natin ang mga bracket at magbigay ng like terms. Nakukuha namin ang equation:
x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3
Pansin! dahil ang equation na 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 ay umiiral lamang sa pagitan ng x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Kaya: mula sa unang agwat kukuha lamang tayo ng ugat x=3, mula sa pangalawa - ang ugat x=2.
Hindi namin pinipili ang math ang kanyang propesyon, at siya ang pumili sa amin.
Ang Russian mathematician na si Yu.I. Manin
Mga Equation ng Modulo
Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga equation na naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang equation, kailangang malaman ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng modyul. Natural, ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation ng ganitong uri.
Mga pangunahing konsepto at katangian
Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero ipinapahiwatig at tinukoy bilang mga sumusunod:
Ang mga simpleng katangian ng modyul ay kinabibilangan ng mga sumusunod na ugnayan:
Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay nagtataglay para sa anumang kahit na antas.
Gayundin, kung , saan , pagkatapos at
Mas kumplikadong mga katangian ng module, na maaaring epektibong magamit sa paglutas ng mga equation na may mga module, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:
Teorama 1.Para sa anumang analytic function At ang hindi pagkakapantay-pantay
Teorama 2. Ang pagkakapantay-pantay ay kapareho ng hindi pagkakapantay-pantay.
Teorama 3. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang ang karaniwang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign.
Paglutas ng mga Equation gamit ang Modulus
Ang pinakakaraniwang paraan sa matematika ng paaralan para sa paglutas ng mga equation na may modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay generic, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na mga kalkulasyon. Kaugnay nito, dapat ding magkaroon ng kamalayan ang mga mag-aaral sa iba, mas mahusay na mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation. Sa partikular, kailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga theorems, ibinigay sa artikulong ito.
Halimbawa 1 Lutasin ang equation. (isa)
Solusyon. Ang equation (1) ay malulutas sa pamamagitan ng "classical" na paraan - ang module expansion method. Upang gawin ito, sinisira namin ang numerical axis tuldok at pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.
1. Kung ang , kung gayon , , , at equation (1) ay may anyong . Sumusunod ito mula rito. Gayunpaman, dito , kaya ang nahanap na halaga ay hindi ang ugat ng equation (1).
2. Kung , pagkatapos ay mula sa equation (1) makuha namin o .
Simula noon ang ugat ng equation (1).
3. Kung , pagkatapos ay ang equation (1) ay kumukuha ng anyo o . Tandaan na .
Sagot: , .
Kapag nilulutas ang mga sumusunod na equation sa module, aktibong gagamitin namin ang mga katangian ng mga module upang mapataas ang kahusayan ng paglutas ng mga naturang equation.
Halimbawa 2 lutasin ang equation.
Solusyon. Simula at pagkatapos ito ay sumusunod mula sa equation. Kaugnay nito, , , at ang equation ay nagiging. Mula dito nakukuha natin. pero , kaya ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 3 lutasin ang equation.
Solusyon. Simula noon . Kung, kung gayon, at ang equation ay nagiging.
Mula dito nakukuha natin.
Halimbawa 4 lutasin ang equation.
Solusyon.Isulat muli natin ang equation sa isang katumbas na anyo. (2)
Ang resultang equation ay nabibilang sa mga equation ng uri.
Isinasaalang-alang ang Theorem 2, maaari nating sabihin na ang equation (2) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha natin.
Sagot: .
Halimbawa 5 Lutasin ang equation.
Solusyon. Ang equation na ito ay may anyo. kaya lang , ayon sa Theorem 3, dito mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay o .
Halimbawa 6 lutasin ang equation.
Solusyon. Ipagpalagay natin na . kasi , pagkatapos ang ibinigay na equation ay tumatagal ng anyo ng isang quadratic equation, (3)
saan . Dahil ang equation (3) ay may iisang positibong ugat at , pagkatapos . Mula dito nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng orihinal na equation: At .
Halimbawa 7 lutasin ang equation. (4)
Solusyon. Mula noong equationay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation: at , pagkatapos kapag nilutas ang equation (4) ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang dalawang mga kaso.
1. Kung , kung gayon o .
Mula dito nakukuha natin ang , at .
2. Kung , kung gayon o .
Simula noon .
Sagot: , , , .
Halimbawa 8lutasin ang equation . (5)
Solusyon. Simula at , noon . Mula dito at mula sa Eq. (5) sinusundan nito iyon at , i.e. dito mayroon tayong sistema ng mga equation
Gayunpaman, ang sistemang ito ng mga equation ay hindi pare-pareho.
Sagot: walang ugat.
Halimbawa 9 lutasin ang equation. (6)
Solusyon. Kung italaga natin at mula sa equation (6) makuha natin
O kaya . (7)
Dahil ang equation (7) ay may anyo , ang equation na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha natin. Mula noon o .
Sagot: .
Halimbawa 10lutasin ang equation. (8)
Solusyon.Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat
(9)
Isinasaalang-alang ang equation (8), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (9) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation
Gayunpaman, sa pamamagitan ng Theorem 3, ang sistema sa itaas ng mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.
(10)
Paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin . Dahil ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) ay katumbas ng equation (8), ang orihinal na equation ay may iisang ugat .
Sagot: .
Halimbawa 11. lutasin ang equation. (11)
Solusyon. Hayaan at , pagkatapos ay ang equation (11) ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay .
Mula dito sinusundan iyon at . Kaya, dito mayroon tayong sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang solusyon sa sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay ay At .
Sagot: , .
Halimbawa 12.lutasin ang equation. (12)
Solusyon. Ang equation (12) ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagpapalawak ng mga module. Upang gawin ito, isaalang-alang ang ilang mga kaso.
1. Kung , kung gayon .
1.1. Kung , pagkatapos at , .
1.2. Kung , kung gayon . pero , samakatuwid, sa kasong ito, ang equation (12) ay walang mga ugat.
2. Kung , kung gayon .
2.1. Kung , pagkatapos at , .
2.2. Kung , kung gayon at .
Sagot: , , , , .
Halimbawa 13lutasin ang equation. (13)
Solusyon. Dahil ang kaliwang bahagi ng equation (13) ay di-negatibo, kung gayon at . Kaugnay nito, , at equation (13)
kumukuha ng anyo o .
Ito ay kilala na ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation at , paglutas na nakukuha natin, . kasi , pagkatapos ang equation (13) ay may isang ugat.
Sagot: .
Halimbawa 14 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (14)
Solusyon. Mula noon at , pagkatapos at . Samakatuwid, mula sa sistema ng mga equation (14) nakakakuha tayo ng apat na sistema ng mga equation:
Ang mga ugat ng mga sistema ng equation sa itaas ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation (14).
Sagot: ,, , , , , , .
Halimbawa 15 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (15)
Solusyon. Simula noon . Kaugnay nito, mula sa sistema ng mga equation (15) nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation
Ang mga ugat ng unang sistema ng mga equation ay at , at mula sa pangalawang sistema ng mga equation ay nakuha natin at .
Sagot: , , , .
Halimbawa 16 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (16)
Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa unang equation ng system (16) na .
Simula noon . Isaalang-alang ang pangalawang equation ng system. Sa abot ng, tapos , at ang equation ay nagiging, , o .
Kung papalitan natin ang halagasa unang equation ng system (16), pagkatapos , o .
Sagot: , .
Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa solusyon ng mga equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign, maaari kang magpayo ng mga tutorial mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.
1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga gawain ng tumaas na pagiging kumplikado. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.
3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.
Mayroon ka bang anumang mga katanungan?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.
Among mga halimbawa sa bawat modyul madalas may mga equation kung saan kailangan mong hanapin mga ugat ng module sa module, iyon ay, isang equation ng form
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Kung k=0 , ibig sabihin, ang kanang bahagi ay katumbas ng isang pare-pareho (m) kung gayon mas madaling maghanap ng solusyon mga equation na may mga module nang grapiko. Nasa ibaba ang pamamaraan deployment ng double modules sa mga karaniwang halimbawa ng kasanayan. Unawaing mabuti ang algorithm para sa pagkalkula ng mga equation na may mga module, upang hindi magkaroon ng mga problema sa kontrol, mga pagsubok, at para lamang malaman.
Halimbawa 1 Lutasin ang equation module sa module |3|x|-5|=-2x-2.
Solusyon: Palaging simulan ang pagpapalawak ng mga equation mula sa panloob na module
|x|=0 <->x=0.
Sa puntong x=0, ang equation na may modulus ay nahahati sa 2 .
Para sa x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Para sa x>0 o katumbas, pagpapalawak ng modulus na nakukuha namin
|3x-5|=-2x-2 .
Solusyonan natin ang equation para sa mga negatibong variable (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Mula sa unang equation, nakuha namin na ang solusyon ay hindi dapat lumampas sa (-1) , i.e.
Ang paghihigpit na ito ay ganap na nabibilang sa lugar kung saan namin nilulutas. Ilipat natin ang mga variable at constant sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa una at pangalawang sistema
at humanap ng solusyon 
Ang parehong mga halaga ay kabilang sa pagitan na isinasaalang-alang, iyon ay, sila ay mga ugat.
Isaalang-alang ang isang equation na may mga module para sa mga positibong variable
|3x-5|=-2x-2.
Sa pagpapalawak ng module, nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation 
Mula sa unang equation, na karaniwan para sa dalawang sistema, nakuha namin ang pamilyar na kondisyon
na, sa intersection sa set kung saan kami ay naghahanap ng isang solusyon, ay nagbibigay ng isang walang laman na set (walang intersection point). Kaya ang tanging ugat ng module na may module ay ang mga halaga
x=-3; x=-1.4.
Halimbawa 2 Lutasin ang equation sa modulo ||x-1|-2|=3x-4.
Solusyon: Magsimula tayo sa pagpapalawak ng panloob na module
|x-1|=0 <=>x=1.
Ang isang submodule function ay nagbabago ng sign sa isa. Sa mas maliit na halaga ito ay negatibo, sa mas malaking halaga ito ay positibo. Alinsunod dito, kapag pinalawak ang panloob na module, nakakakuha kami ng dalawang equation sa module
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Siguraduhing suriin ang kanang bahagi ng equation na may modulus, dapat itong mas malaki kaysa sa zero.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Nangangahulugan ito na hindi na kailangang lutasin ang una sa mga equation, dahil ito ay isinulat para sa x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 o x-3=4-3x;
4-3=3x-x o x+3x=4+3;
2x=1 o 4x=7;
x=1/2 o x=7/4.
Nakakuha kami ng dalawang halaga, ang una ay tinanggihan, dahil hindi ito kabilang sa nais na pagitan. Ang huling equation ay may isang solusyon x=7/4.
Halimbawa 3 Lutasin ang equation sa modulo ||2x-5|-1|=x+3.
Solusyon: Buksan natin ang panloob na module
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
Hinahati ng puntong x=2.5 ang numerical axis sa dalawang pagitan. Kaugnay nito, function ng submodule nagbabago ng sign kapag dumadaan sa 2.5. Isulat natin ang kundisyon sa solusyon sa kanang bahagi ng equation na may modulus.
x+3>=0 -> x>=-3.
Kaya ang solusyon ay maaaring mga halaga na hindi bababa sa (-3). Palawakin natin ang modulus para sa negatibong halaga ng panloob na modulus
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Ang modyul na ito, kapag pinalawak, ay magbibigay din ng 2 equation
-2x+4=x+3 o 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 o 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 o x=7 .
Ang halagang x=7 ay tinanggihan, dahil naghahanap kami ng solusyon sa pagitan [-3;2.5]. Ngayon palawakin ang panloob na module para sa x>2.5 . Kumuha kami ng equation na may isang module
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Kapag pinalawak ang module, nakukuha namin ang mga sumusunod na linear equation
-2x+6=x+3 o 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 o 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 o x=9 .
Ang unang halaga x=1 ay hindi nakakatugon sa kundisyon x>2.5. Kaya sa pagitan na ito mayroon kaming isang ugat ng equation na may module x=9, at mayroon lamang dalawa sa kanila (x=1/3). Sa pamamagitan ng pagpapalit, maaari mong suriin ang kawastuhan ng mga kalkulasyon na ginawa
Sagot: x=1/3; x=9.
Halimbawa 4 Maghanap ng mga solusyon ng dobleng module ||3x-1|-5|=2x-3.
Solusyon: Palawakin ang panloob na module ng equation
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Hinahati ng puntong x=2.5 ang numerical axis sa dalawang pagitan, at ang ibinigay na equation sa dalawang kaso. Isinulat namin ang kondisyon para sa solusyon, batay sa uri ng equation sa kanang bahagi
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
Ito ay sumusunod na kami ay interesado sa mga halaga >=1.5 . Sa ganitong paraan modular equation tingnan ang dalawang pagitan
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Ang resultang module, kapag pinalawak, ay nahahati sa 2 equation
-3x-4=2x-3 o 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 o 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 o x=-7 .
Ang parehong mga halaga ay hindi nahuhulog sa pagitan, iyon ay, hindi sila mga solusyon sa equation na may mga module. Susunod, palawakin ang modulus para sa x>2.5 . Nakukuha namin ang sumusunod na equation
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Sa pagpapalawak ng module, nakakakuha tayo ng 2 linear equation
3x-6=2x-3 o –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 o 2x+3x=6+3;
x=3 o 5x=9; x=9/5=1.8.
Ang pangalawang halaga na natagpuan ay hindi nakakatugon sa x>2.5 na kundisyon, tinatanggihan namin ito.
Sa wakas mayroon kaming isang ugat ng equation na may mga module x=3 .
Nagsasagawa kami ng tseke
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Ang ugat ng equation na may modulus ay nakalkula nang tama.
Sagot: x=1/3; x=9.