Nangangailangan ng kaalaman sa mga pangunahing formula ng trigonometry - ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine, ang pagpapahayag ng tangent sa pamamagitan ng sine at cosine, at iba pa. Para sa mga nakalimutan o hindi nakakakilala sa kanila, inirerekomenda naming basahin ang artikulong "".
Kaya, alam natin ang mga pangunahing trigonometric formula, oras na para isabuhay ang mga ito. Paglutas ng mga equation ng trigonometriko sa tamang diskarte, ito ay isang kapana-panabik na aktibidad, tulad ng, halimbawa, paglutas ng isang Rubik's cube.
Batay sa mismong pangalan, malinaw na ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nasa ilalim ng tanda ng isang trigonometric function.
May mga tinatawag na simpleng trigonometric equation. Ganito ang hitsura nila: sinх = a, cos x = a, tg x = a. isaalang-alang, kung paano lutasin ang gayong mga trigonometric equation, para sa kalinawan, gagamitin natin ang pamilyar na trigonometriko na bilog.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
higaan x = a
Anumang trigonometriko equation ay malulutas sa dalawang yugto: dinadala namin ang equation sa pinakasimpleng anyo at pagkatapos ay lutasin ito bilang pinakasimpleng trigonometric equation.
Mayroong 7 pangunahing pamamaraan kung saan nalulutas ang mga trigonometric equation.
Variable substitution at substitution method
Paglutas ng mga trigonometrikong equation sa pamamagitan ng factorization
Pagbawas sa isang homogenous na equation
Paglutas ng mga equation, sa pamamagitan ng paglipat sa kalahating anggulo
Panimula ng isang pantulong na anggulo
Lutasin ang equation na 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0
Gamit ang mga formula ng pagbabawas na nakukuha natin:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Palitan natin ang cos(x + /6) ng y para sa pagiging simple at makuha ang karaniwang quadratic equation:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Ang mga ugat kung saan y 1 = 1, y 2 = 1/2
Ngayon ay bumalik tayo
Pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga ng y at nakakuha ng dalawang sagot:
Paano malutas ang equation na sin x + cos x = 1 ?
Ilipat natin ang lahat sa kaliwa upang ang 0 ay manatili sa kanan:
sin x + cos x - 1 = 0
Ginagamit namin ang mga pagkakakilanlan sa itaas upang gawing simple ang equation:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Gawin natin ang factorization:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Kumuha kami ng dalawang equation
Ang isang equation ay homogenous na may paggalang sa sine at cosine kung ang lahat ng mga termino nito tungkol sa sine at cosine ay may parehong antas ng parehong anggulo. Upang malutas ang isang homogenous na equation, magpatuloy bilang mga sumusunod:
a) ilipat ang lahat ng mga miyembro nito sa kaliwang bahagi;
b) alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;
c) itumbas ang lahat ng mga salik at mga bracket sa 0;
d) sa mga panaklong, ang isang homogenous na equation ng isang mas mababang antas ay nakuha, na, sa turn, ay hinati ng isang sine o cosine sa isang mas mataas na antas;
e) lutasin ang nagresultang equation para sa tg.
Lutasin ang equation na 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Gamitin natin ang formula na sin 2 x + cos 2 x = 1 at alisin ang bukas na dalawa sa kanan:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Hatiin sa cosx:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Pinapalitan namin ang tg x ng y at kumuha ng quadratic equation:
y 2 + 4y +3 = 0 na ang mga ugat ay y 1 =1, y 2 = 3
Mula dito nakita namin ang dalawang solusyon sa orihinal na equation:
x 2 \u003d arctg 3 + k
Lutasin ang equation na 3sin x - 5cos x = 7
Lumipat tayo sa x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Inilipat ang lahat sa kaliwa:
2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Hatiin sa cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Para sa pagsasaalang-alang, kunin natin ang isang equation ng form: a sin x + b cos x \u003d c,
kung saan ang a, b, c ay ilang di-makatwirang coefficient at ang x ay hindi kilala.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:
Ngayon ang mga coefficient ng equation, ayon sa trigonometric formula, ay may mga katangian ng sin at cos, ibig sabihin: ang kanilang modulus ay hindi hihigit sa 1 at ang kabuuan ng mga parisukat = 1. Ipaalam sa amin tukuyin ang mga ito ayon sa pagkakabanggit bilang cos at kasalanan, kung saan ay ang tinatawag na auxiliary angle. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
cos * sin x + sin * cos x \u003d C
o sin(x + ) = C
Ang solusyon sa simpleng trigonometric equation na ito ay
x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kung saan
Dapat pansinin na ang mga pagtatalaga ng cos at kasalanan ay mapagpapalit.
Lutasin ang equation na sin 3x - cos 3x = 1
Sa equation na ito, ang mga coefficient ay:
a \u003d, b \u003d -1, kaya hinahati namin ang parehong bahagi sa \u003d 2
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Panimula 2
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation 5
Algebraic 5
Paglutas ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometriko function na may parehong pangalan 7
Factoring 8
Pagbawas sa isang homogenous na equation 10
Panimula ng auxiliary angle 11
I-convert ang produkto sa kabuuan 14
Pangkalahatang pagpapalit 14
Konklusyon 17
Panimula
Hanggang sa ikasampung baitang, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ng maraming mga pagsasanay na humahantong sa layunin, bilang isang panuntunan, ay hindi malabo na tinukoy. Halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation at inequalities, mga fractional na equation at equation na mababawasan sa mga quadratic, atbp. Nang walang pagsusuri nang detalyado ang prinsipyo ng paglutas ng bawat isa sa mga halimbawang nabanggit, napapansin namin ang pangkalahatang bagay na kinakailangan para sa kanilang matagumpay na solusyon.
Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong matukoy kung anong uri ng gawain, tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na humahantong sa layunin, at isagawa ang mga pagkilos na ito. Malinaw na ang tagumpay o kabiguan ng mag-aaral sa pag-master ng mga pamamaraan ng paglutas ng mga equation ay nakasalalay sa kung gaano niya magagawang matukoy nang tama ang uri ng equation at matandaan ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito. Siyempre, ipinapalagay nito na ang mag-aaral ay may mga kasanayan upang magsagawa ng magkaparehong pagbabago at pagkalkula.
Ang isang ganap na naiibang sitwasyon ay nangyayari kapag ang isang mag-aaral ay nakatagpo ng mga trigonometric equation. Kasabay nito, hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometriko. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag naghahanap ng isang kurso ng aksyon na hahantong sa isang positibong resulta. At dito nahaharap ang estudyante sa dalawang problema. Mahirap matukoy ang uri sa pamamagitan ng hitsura ng equation. At nang hindi nalalaman ang uri, halos imposibleng piliin ang nais na formula mula sa ilang dosenang magagamit.
Upang matulungan ang mga mag-aaral na mahanap ang kanilang paraan sa pamamagitan ng kumplikadong labirint ng mga trigonometric na equation, unang ipinakilala ang mga ito sa mga equation, na, pagkatapos na ipakilala ang isang bagong variable, ay nabawasan sa mga parisukat. Pagkatapos ay lutasin ang mga homogenous na equation at bawasan sa kanila. Ang lahat ay nagtatapos, bilang isang patakaran, na may mga equation, para sa solusyon kung saan kinakailangan upang i-factor ang kaliwang bahagi, pagkatapos ay i-equating ang bawat isa sa mga kadahilanan sa zero.
Ang pag-unawa na ang isa at kalahating dosenang mga equation na nasuri sa mga aralin ay malinaw na hindi sapat upang hayaan ang mag-aaral na maglayag nang nakapag-iisa sa trigonometric na "dagat", ang guro ay nagdagdag ng ilang higit pang mga rekomendasyon mula sa kanyang sarili.
Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:
Dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong mga anggulo";
Dalhin ang equation sa "parehong mga function";
I-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.
Ngunit, sa kabila ng kaalaman sa mga pangunahing uri ng trigonometric equation at ilang mga prinsipyo para sa paghahanap ng kanilang solusyon, maraming mga mag-aaral pa rin ang nakatagpo ng kanilang sarili sa isang dead end sa harap ng bawat equation na bahagyang naiiba sa mga nalutas na dati. Ito ay nananatiling hindi malinaw kung ano ang dapat pagsikapan ng isa, pagkakaroon ng isa o isa pang equation, kung bakit sa isang kaso kinakailangan na ilapat ang mga formula ng dobleng anggulo, sa isa pa - ang kalahating anggulo, at sa pangatlo - ang mga formula ng karagdagan, atbp.
Kahulugan 1. Ang isang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometric functions.
Kahulugan 2. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga anggulo kung ang lahat ng trigonometric function na kasama dito ay may pantay na argumento. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga function kung ito ay naglalaman lamang ng isa sa mga trigonometric function.
Kahulugan 3. Ang antas ng isang monomial na naglalaman ng trigonometric function ay ang kabuuan ng mga exponent ng mga kapangyarihan ng trigonometriko function na kasama dito.
Kahulugan 4. Ang isang equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga monomial dito ay may parehong antas. Ang antas na ito ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng equation.
Kahulugan 5. Trigonometric equation na naglalaman lamang ng mga function kasalanan at cos, ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng monomial na may kinalaman sa trigonometriko function ay may parehong antas, at ang trigonometriko function mismo ay may pantay na mga anggulo at ang bilang ng mga monomial ay 1 mas malaki kaysa sa pagkakasunud-sunod ng equation.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
Ang solusyon ng trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto: ang pagbabago ng equation upang makuha ang pinakasimpleng anyo nito at ang solusyon ng resultang pinakasimpleng trigonometric equation. Mayroong pitong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
ako. algebraic na pamamaraan. Ang pamamaraang ito ay kilala mula sa algebra. (Paraan ng pagpapalit ng mga variable at pagpapalit).
Lutasin ang mga equation.
1)
Ipakilala natin ang notasyon x=2 kasalanan3 t, nakukuha namin
Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin: 
o 
mga. maaaring isulat
Kapag isinusulat ang solusyon na nakuha dahil sa pagkakaroon ng mga palatandaan 
degree 
walang kwenta ang pagsusulat.
Sagot: 
Magpakilala 
Kumuha kami ng isang quadratic equation 
. Ang mga ugat nito ay mga numero 
at 
. Samakatuwid, ang equation na ito ay bumababa sa pinakasimpleng trigonometric equation 
at 
. Ang paglutas ng mga ito, nakita namin iyon 
o 
.
Sagot: 
; 
.
Magpakilala 
hindi nakakatugon sa kondisyon 
ibig sabihin 
Sagot: 
Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation:
Kaya, ang paunang equation na ito ay maaaring isulat bilang:
, ibig sabihin.
Nagpapahiwatig 
, nakukuha namin 
Ang paglutas ng quadratic equation na ito, mayroon tayong:
hindi nakakatugon sa kondisyon 
Isinulat namin ang solusyon ng orihinal na equation:
Sagot: 
Pagpapalit 
binabawasan ang equation na ito sa isang quadratic equation 
. Ang mga ugat nito ay mga numero 
at 
. Bilang 
, kung gayon ang ibinigay na equation ay walang mga ugat.
Sagot: walang ugat.
II. Solusyon ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric function ng parehong pangalan.
a) 
, kung
b) 
, kung
sa) 
, kung 
Gamit ang mga kundisyong ito, isaalang-alang ang solusyon ng mga sumusunod na equation:
6) 
Gamit ang sinabi sa aytem a), makikita natin na ang equation ay may solusyon kung at kung lamang 
.
Ang paglutas ng equation na ito, nakita namin 
.
Mayroon kaming dalawang grupo ng mga solusyon: 
.
7) Lutasin ang equation: 
.
Gamit ang kondisyon ng bahagi b) hinuhusgahan natin iyon 
.
Ang paglutas ng mga quadratic equation na ito, nakukuha natin:
.
8) Lutasin ang equation 
.
Mula sa equation na ito ay hinuhusgahan natin na . Ang paglutas ng quadratic equation na ito, nakita natin iyon 
.
III. Factorization.
Isinasaalang-alang namin ang pamamaraang ito na may mga halimbawa.
9) Lutasin ang equation 
.
Desisyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng equation sa kaliwa: .
Binabago at ginagawa namin ang expression sa kaliwang bahagi ng equation: 
.
.
.
1)
2) 
kasi 
at 
huwag kunin ang halaga na null
sabay-sabay, tapos pinaghihiwalay namin ang magkabilang bahagi
mga equation para sa 
, 
Sagot: 
10) Lutasin ang equation:
Desisyon.
o 
Sagot: 
11) Lutasin ang equation
Desisyon:
1)
2)
3)
, 
Sagot: 
IV. Pagbawas sa isang homogenous na equation.
Upang malutas ang isang homogenous na equation, kailangan mo:
Ilipat ang lahat ng miyembro nito sa kaliwang bahagi;
Alisin ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;
I-equate ang lahat ng salik at bracket sa zero;
Ang mga panaklong equated sa zero ay nagbibigay ng isang homogenous na equation ng mas mababang antas, na dapat na hatiin sa 
(o 
) sa senior degree;
Lutasin ang resultang algebraic equation para sa 
.
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
12) Lutasin ang equation:
Desisyon.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 
, 
Ipinapakilala ang notasyon 
, pangalan
ang mga ugat ng equation na ito ay: 
mula dito 1) 
2) 
Sagot: 
13) Lutasin ang equation:
Desisyon. Gamit ang mga formula ng double angle at ang pangunahing trigonometric identity, binabawasan namin ang equation na ito sa kalahating argumento:
Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, mayroon kaming:
Hinahati ang homogenous na huling equation sa pamamagitan ng 
, nakukuha namin
itatalaga ko 
, nakukuha namin ang quadratic equation 
, na ang mga ugat ay mga numero 
Sa gayon 
Pagpapahayag 
naglalaho sa 
, ibig sabihin. sa 
, 
.
Ang aming solusyon sa equation ay hindi kasama ang mga numerong ito.
Sagot: 
, .
V. Panimula ng isang pantulong na anggulo.
Isaalang-alang ang isang equation ng form
saan a, b, c- mga coefficient, x- hindi kilala.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng 
Ngayon ang mga coefficient ng equation ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin: ang modulus ng bawat isa sa kanila ay hindi lalampas sa isa, at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1.
Pagkatapos ay maaari nating lagyan ng label ang mga ito nang naaayon 
(dito 
- auxiliary angle) at ang aming equation ay nasa anyo: .
Pagkatapos 
At ang kanyang desisyon
Tandaan na ang ipinakilalang notasyon ay maaaring palitan.
14) Lutasin ang equation: 
Desisyon. Dito 
, kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 
Sagot: 
15) Lutasin ang equation
Desisyon. Bilang 
, kung gayon ang equation na ito ay katumbas ng equation
Bilang 
, tapos may anggulo na ganyan 
, 
(mga. 
).
Meron kami 
Bilang 
, pagkatapos ay nakuha namin sa wakas:
.
Tandaan na ang isang equation ng form ay may solusyon kung at kung lamang 
16) Lutasin ang equation:
Upang malutas ang equation na ito, pinapangkat namin ang mga function ng trigonometriko na may parehong mga argumento
Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa dalawa
Binabago namin ang kabuuan ng mga trigonometric function sa isang produkto:
Sagot: 
VI. I-convert ang produkto sa kabuuan.
Ang kaukulang mga formula ay ginagamit dito.
17) Lutasin ang equation:
Desisyon. I-convert natin ang kaliwang bahagi sa kabuuan:
VII.Pangkalahatang pagpapalit.
, 
ang mga formula na ito ay totoo para sa lahat 
Pagpapalit 
tinatawag na unibersal.
18) Lutasin ang equation: 
Solusyon: Palitan at 
sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng 
at magpakilala 
.
Nakakakuha tayo ng rational equation 
, na na-convert sa square 
.
Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero 
.
Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang equation 
.
Nahanap namin iyon 
.
Tingnan ang halaga 
ay hindi nakakatugon sa orihinal na equation, na na-verify sa pamamagitan ng pagsuri - pagpapalit sa ibinigay na halaga t sa orihinal na equation.
Sagot: 
.
Magkomento. Ang equation 18 ay maaaring malutas sa ibang paraan.
Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 (i.e. sa pamamagitan ng 
): 
.
Bilang 
, tapos may number 
, Ano 
at 
. Kaya ang equation ay nagiging: 
o 
. Mula dito makikita natin iyan 
saan 
.
19) Lutasin ang equation 
.
Desisyon. Dahil ang mga pag-andar 
at 
may pinakamalaking halaga na katumbas ng 1, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 2 kung 
at 
, sa parehong oras, iyon ay 
.
Sagot: 
.
Kapag nilutas ang equation na ito, ang boundedness ng mga function at ginamit.
Konklusyon.
Paggawa sa paksang "Mga solusyon ng trigonometric equation", kapaki-pakinabang para sa bawat guro na sundin ang mga sumusunod na rekomendasyon:
I-systematize ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometriko equation.
Piliin para sa iyong sarili ang mga hakbang upang maisagawa ang pagsusuri ng equation at ang mga palatandaan ng pagiging angkop ng paggamit ng isa o ibang paraan ng solusyon.
Pag-isipan ang mga paraan ng pagpipigil sa sarili ng aktibidad sa pagpapatupad ng pamamaraan.
Matutong gumawa ng "iyong" mga equation para sa bawat isa sa mga pinag-aralan na pamamaraan.
Application No. 1
Lutasin ang homogenous o reducible equation.
1. | Sinabi ni Rep. |
Sinabi ni Rep. |
|
Sinabi ni Rep. |
|
5. | Sinabi ni Rep. |
Sinabi ni Rep. |
|
7. | Sinabi ni Rep. |
Sinabi ni Rep. |
|
Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation.
Ang solusyon ng trigonometriko equation ng anumang antas ng pagiging kumplikado sa huli ay bumababa sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometric equation. At dito, ang trigonometriko na bilog muli ay naging pinakamahusay na katulong.
Alalahanin ang mga kahulugan ng cosine at sine.
Ang cosine ng isang anggulo ay ang abscissa (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa pag-ikot ng isang naibigay na anggulo.
Ang sine ng isang anggulo ay ang ordinate (iyon ay, ang coordinate sa kahabaan ng axis) ng isang punto sa unit circle na tumutugma sa pag-ikot sa isang naibigay na anggulo.
Ang positibong direksyon ng paggalaw sa kahabaan ng trigonometric na bilog ay itinuturing na counterclockwise. Ang pag-ikot ng 0 degrees (o 0 radians) ay tumutugma sa isang puntong may mga coordinate (1; 0)
Ginagamit namin ang mga kahulugang ito upang malutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.
1. Lutasin ang equation
Ang equation na ito ay nasiyahan sa lahat ng naturang mga halaga ng anggulo ng pag-ikot , na tumutugma sa mga punto ng bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng .
Markahan natin ang isang punto ng ordinate sa y-axis:
Gumuhit ng pahalang na linya parallel sa x-axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at may ordinate. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian:
Kung tayo, na iniwan ang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot sa bawat radian, ay lumibot sa isang buong bilog, pagkatapos ay darating tayo sa isang punto na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot bawat radian at pagkakaroon ng parehong ordinate. Ibig sabihin, ang anggulo ng pag-ikot na ito ay nakakatugon din sa ating equation. Maaari tayong gumawa ng maraming "idle" na mga pagliko hangga't gusto natin, bumalik sa parehong punto, at lahat ng mga halaga ng anggulo na ito ay masisiyahan ang ating equation. Ang bilang ng mga "idle" na rebolusyon ay tinutukoy ng titik (o). Dahil maaari nating gawin ang mga rebolusyong ito sa parehong positibo at negatibong direksyon, (o ) maaaring tumagal sa anumang mga halaga ng integer.
Iyon ay, ang unang serye ng mga solusyon sa orihinal na equation ay may anyo:
, , - set ng mga integer (1)
Katulad nito, ang pangalawang serye ng mga solusyon ay may anyo:
, saan , . (2)
Tulad ng iyong nahulaan, ang seryeng ito ng mga solusyon ay batay sa punto ng bilog na tumutugma sa anggulo ng pag-ikot ng .
Ang dalawang serye ng mga solusyon na ito ay maaaring pagsamahin sa isang entry:
Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kahit), pagkatapos ay makukuha natin ang unang serye ng mga solusyon.
Kung kukunin natin ang entry na ito (iyon ay, kakaiba), pagkatapos ay makukuha natin ang pangalawang serye ng mga solusyon.
2. Ngayon, lutasin natin ang equation
Dahil ang abscissa ng punto ng bilog na yunit ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa anggulo, minarkahan namin sa axis ang isang punto na may abscissa :
Gumuhit ng patayong linya parallel sa axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Makakakuha tayo ng dalawang puntos na nakahiga sa isang bilog at pagkakaroon ng abscissa. Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at mga radian. Alalahanin na kapag gumagalaw nang pakanan, nakakakuha tayo ng negatibong anggulo ng pag-ikot:
Isinulat namin ang dalawang serye ng mga solusyon:
,
,
(Nakarating tayo sa tamang punto sa pamamagitan ng pagpasa mula sa pangunahing buong bilog, iyon ay.
Pagsamahin natin ang dalawang seryeng ito sa isang post:
3. Lutasin ang equation
Ang linya ng mga tangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate (1,0) ng unit circle na kahanay sa OY axis
Markahan ang isang punto dito na may ordinate na katumbas ng 1 (hinahanap namin ang tangent kung saan ang mga anggulo ay 1):
Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan gamit ang isang tuwid na linya at markahan ang mga punto ng intersection ng linya sa bilog ng yunit. Ang mga punto ng intersection ng linya at ng bilog ay tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot sa at :
Dahil ang mga puntos na tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot na nagbibigay-kasiyahan sa aming equation ay nasa pagitan ng mga radian, maaari naming isulat ang solusyon tulad ng sumusunod:
4. Lutasin ang equation
Ang linya ng mga cotangent ay dumadaan sa punto na may mga coordinate ng unit circle na kahanay sa axis.
Minarkahan namin ang isang punto na may abscissa -1 sa linya ng mga cotangent:
Ikonekta ang puntong ito sa pinanggalingan ng tuwid na linya at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa bilog. Ang linyang ito ay mag-intersect sa bilog sa mga puntong tumutugma sa mga anggulo ng pag-ikot ng at radians:
Dahil ang mga puntong ito ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa sa pamamagitan ng isang distansya na katumbas ng , kung gayon maaari nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito tulad ng sumusunod:
Sa ibinigay na mga halimbawa, na naglalarawan ng solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, ginamit ang mga tabular na halaga ng mga function ng trigonometriko.
Gayunpaman, kung mayroong isang hindi talahanayan na halaga sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay papalitan namin ang halaga sa pangkalahatang solusyon ng equation:
MGA ESPESYAL NA SOLUSYON:
Markahan ang mga punto sa bilog na ang ordinate ay 0:
Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng 1:
Markahan ang isang punto sa bilog, ang ordinate nito ay katumbas ng -1:
Dahil kaugalian na ipahiwatig ang mga halaga na pinakamalapit sa zero, isinusulat namin ang solusyon tulad ng sumusunod:
Markahan ang mga punto sa bilog, na ang abscissa ay 0:
5.
Markahan natin ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng 1:
Markahan ang isang punto sa bilog, na ang abscissa ay katumbas ng -1:
At ilang mas kumplikadong mga halimbawa:
1.
Ang sine ay isa kung ang argumento ay
Ang argumento ng ating sine ay , kaya nakuha natin:
Hatiin ang magkabilang panig ng equation ng 3:
Sagot:
2.
Ang cosine ay zero kung ang cosine argument ay
Ang argumento ng aming cosine ay , kaya nakuha namin:
Ipinapahayag namin , para dito lumipat muna kami sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan:
Pasimplehin ang kanang bahagi:
Hatiin ang parehong bahagi ng -2:
Tandaan na ang tanda bago ang termino ay hindi nagbabago, dahil ang k ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga ng integer.
Sagot:
At sa konklusyon, panoorin ang video tutorial na "Pagpili ng mga ugat sa isang trigonometric equation gamit ang isang trigonometric na bilog"
Ito ay nagtatapos sa pag-uusap tungkol sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation. Sa susunod ay pag-usapan natin kung paano i-solve.
Kapag nag-solve ng marami mga problema sa matematika, lalo na ang mga nangyari bago ang grade 10, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na isinagawa na hahantong sa layunin ay malinaw na tinukoy. Kasama sa mga naturang problema, halimbawa, ang mga linear at quadratic equation, linear at quadratic inequalities, fractional equation at equation na bumababa sa mga quadratic. Ang prinsipyo ng matagumpay na solusyon ng bawat isa sa mga nabanggit na gawain ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang maitatag kung anong uri ng gawain ang nalutas, tandaan ang kinakailangang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa nais na resulta, i.e. sagutin at sundin ang mga hakbang na ito.
Malinaw, ang tagumpay o kabiguan sa paglutas ng isang partikular na problema ay higit sa lahat ay nakasalalay sa kung gaano katama ang uri ng equation na nalutas, kung gaano katama ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito ay muling ginawa. Siyempre, sa kasong ito, kinakailangan na magkaroon ng mga kasanayan upang maisagawa ang magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.
Iba't ibang sitwasyon ang nangyayari sa trigonometriko equation. Hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometric. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag tinutukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na hahantong sa tamang sagot.
Minsan mahirap matukoy ang uri nito sa pamamagitan ng hitsura ng isang equation. At nang hindi nalalaman ang uri ng equation, halos imposibleng pumili ng tama mula sa ilang dosenang mga formula ng trigonometriko.
Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:
1. dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";
2. dalhin ang equation sa "parehong mga function";
3. i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.
Isipin mo mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
I. Pagbawas sa pinakasimpleng trigonometric equation
Scheme ng solusyon
Hakbang 1. Ipahayag ang trigonometric function sa mga tuntunin ng mga kilalang bahagi.
Hakbang 2 Maghanap ng argumento ng function gamit ang mga formula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
kasalanan x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Hakbang 3 Maghanap ng hindi kilalang variable.
Halimbawa.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Desisyon.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Sagot: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Pagpapalit ng variable
Scheme ng solusyon
Hakbang 1. Dalhin ang equation sa isang algebraic form na may paggalang sa isa sa mga trigonometric function.
Hakbang 2 Tukuyin ang resultang function ng variable na t (kung kinakailangan, ipakilala ang mga paghihigpit sa t).
Hakbang 3 Isulat at lutasin ang resultang algebraic equation.
Hakbang 4 Gumawa ng reverse substitution.
Hakbang 5 Lutasin ang pinakasimpleng trigonometric equation.
Halimbawa.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Desisyon.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Hayaan ang kasalanan (x/2) = t, kung saan |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2 ay hindi nakakatugon sa kondisyon |t| ≤ 1.
4) kasalanan (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Sagot: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Paraan ng pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng equation
Scheme ng solusyon
Hakbang 1. Palitan ang equation na ito ng isang linear gamit ang mga formula ng pagbabawas ng kapangyarihan:
kasalanan 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga pamamaraan I at II.
Halimbawa.
cos2x + cos2x = 5/4.
Desisyon.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Sagot: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Mga homogenous na equation
Scheme ng solusyon
Hakbang 1. Dalhin ang equation na ito sa form
a) a sin x + b cos x = 0 (homogeneous equation ng unang degree)
o sa view
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ng pangalawang degree).
Hakbang 2 Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
at kunin ang equation para sa tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Hakbang 3 Lutasin ang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Desisyon.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Hayaan ang tg x = t, pagkatapos
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 o t = -4, kaya
tg x = 1 o tg x = -4.
Mula sa unang equation x = π/4 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Sagot: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Paraan para sa pagbabago ng isang equation gamit ang mga trigonometric formula
Scheme ng solusyon
Hakbang 1. Gamit ang lahat ng uri ng trigonometric formula, dalhin ang equation na ito sa isang equation na maaaring malutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan I, II, III, IV.
Hakbang 2 Lutasin ang resultang equation gamit ang mga kilalang pamamaraan.
Halimbawa.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Desisyon.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) kasalanan 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
Mula sa unang equation 2x = π/2 + πn, n Є Z; mula sa pangalawang equation cos x = -1/2.
Mayroon kaming x = π/4 + πn/2, n Є Z; mula sa pangalawang equation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Bilang resulta, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Sagot: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Ang kakayahan at kasanayan upang malutas ang mga trigonometric equation ay napaka 
mahalaga, ang kanilang pag-unlad ay nangangailangan ng malaking pagsisikap, kapwa sa bahagi ng mag-aaral at ng guro.
Maraming problema ng stereometry, physics, atbp. ang nauugnay sa solusyon ng mga trigonometric equation. Ang proseso ng paglutas ng mga naturang problema, kumbaga, ay naglalaman ng maraming kaalaman at kasanayan na nakukuha kapag pinag-aaralan ang mga elemento ng trigonometry.
Ang mga equation ng trigonometric ay sumasakop sa isang mahalagang lugar sa proseso ng pagtuturo ng matematika at pag-unlad ng personalidad sa pangkalahatan.
Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi mo alam kung paano lutasin ang mga equation ng trigonometriko?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Aralin ng kumplikadong aplikasyon ng kaalaman.
Mga layunin ng aralin.
- Isaalang-alang ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
- Pag-unlad ng mga malikhaing kakayahan ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation.
- Hikayatin ang mga mag-aaral na kontrolin ang sarili, kontrol sa isa't isa, pagsusuri sa sarili ng kanilang mga aktibidad na pang-edukasyon.
Kagamitan: screen, projector, reference na materyal.
Sa panahon ng mga klase
Panimulang usapan.
Ang pangunahing paraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation ay ang kanilang pinakasimpleng pagbawas. Sa kasong ito, ang mga karaniwang pamamaraan ay ginagamit, halimbawa, factorization, pati na rin ang mga pamamaraan na ginagamit lamang para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Mayroong napakaraming mga trick na ito, halimbawa, iba't ibang mga pamalit na trigonometriko, mga pagbabagong-anyo ng anggulo, mga pagbabagong-anyo ng mga pag-andar ng trigonometriko. Ang walang pinipiling aplikasyon ng anumang mga pagbabagong trigonometriko ay kadalasang hindi nagpapasimple sa equation, ngunit nagpapalubha nito nang napakasama. Upang bumuo sa pangkalahatang mga termino ng isang plano para sa paglutas ng equation, upang balangkasin ang isang paraan upang bawasan ang equation sa pinakasimpleng isa, ito ay kinakailangan una sa lahat upang pag-aralan ang mga anggulo - ang mga argumento ng trigonometriko function na kasama sa equation.
Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang isang wastong napiling paraan ay kadalasang nagbibigay-daan sa isang makabuluhang pagpapasimple ng solusyon, kaya ang lahat ng mga pamamaraan na aming pinag-aralan ay dapat palaging itago sa zone ng aming pansin upang malutas ang mga trigonometrikong equation sa pinakaangkop na paraan.
II. (Gamit ang isang projector, inuulit namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.)
1. Isang paraan para sa pagbabawas ng isang trigonometric equation sa isang algebraic.
Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang lahat ng trigonometriko function sa pamamagitan ng isa, na may parehong argumento. Magagawa ito gamit ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan at ang mga kaakibat nito. Nakukuha namin ang isang equation na may isang trigonometric function. Isinasaalang-alang ito bilang isang bagong hindi alam, nakakakuha kami ng isang algebraic equation. Nahanap namin ang mga ugat nito at bumalik sa lumang hindi alam, nilulutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.
2. Paraan ng factorization.
Upang baguhin ang mga anggulo, ang mga formula ng pagbabawas, mga kabuuan at mga pagkakaiba ng mga argumento, pati na rin ang mga formula para sa pag-convert ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga trigonometriko function sa isang produkto at vice versa ay kadalasang kapaki-pakinabang.
sinx + sin3x = sin2x + sin4x
3. Paraan para sa pagpapakilala ng karagdagang anggulo.
4. Paraan ng paggamit ng universal substitution.
Ang mga equation ng form na F(sinx, cosx, tgx) = 0 ay binabawasan sa algebraic equation gamit ang unibersal na trigonometric substitution
Pagpapahayag ng sine, cosine at tangent sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo. Ang trick na ito ay maaaring humantong sa isang mas mataas na order equation. Ang desisyon kung saan mahirap.