Mga Katulad na Dokumento
Pagpapanumbalik ng mga graph mula sa ibinigay na vertex adjacency matrice. Konstruksyon para sa bawat graph ng matrix ng adjacency ng mga gilid, saklaw, reachability, counterreachability. Maghanap para sa komposisyon ng mga graph. Pagpapasiya ng mga lokal na antas ng graph vertices. Hanapin ang base ng mga graph.
gawaing laboratoryo, idinagdag noong 01/09/2009
Paglalarawan ng isang ibinigay na graph sa pamamagitan ng mga set ng vertices V at arcs X, mga listahan ng adjacency, incidence at adjacency matrix. Ang weight matrix ng kaukulang undirected graph. Pagpapasiya ng pinakamaikling puno ng landas gamit ang algorithm ng Dijkstra. Paghahanap ng mga puno sa isang graph.
term paper, idinagdag noong 09/30/2014
Ang konsepto ng "graph" at ang representasyon ng matrix nito. Mga katangian ng adjacency at incidence matrice. Mga katangian ng mga ruta, chain at cycle. Ang problema sa paghahanap ng mga gitnang vertice ng isang graph, ang mga katangian ng panukat nito. Paglalapat ng teorya ng graph sa larangan ng agham at teknolohiya.
term paper, idinagdag noong 05/09/2015
Algorithm para sa paglipat sa isang graphical na representasyon para sa isang hindi nakadirekta na graph. Ang bilang ng mga vertex sa isang hindi nakadirekta na graph. Pagbasa mula sa adjacency matrix. Mga ugnayan sa pagitan ng mga vertex sa isang matrix. Pagtukoy sa mga coordinate ng vertex depende sa bilang ng mga sektor.
gawaing laboratoryo, idinagdag noong 04/29/2011
Ang paglalarawan ng matematika ng awtomatikong sistema ng kontrol gamit ang mga graph. Pagguhit ng isang graph at ang pagbabago nito, pag-alis ng mga pagkakaiba. Pag-optimize ng mga nakadirekta at hindi nakadirekta na mga graph, compilation ng adjacency at incidence matrice.
gawaing laboratoryo, idinagdag noong 03/11/2012
Mga graph na nakadirekta at hindi nakadirekta: pangkalahatang mga katangian, mga espesyal na vertice at mga gilid, mga kalahating degree ng mga vertex, adjacency, saklaw, naaabot, mga matrice ng pagkakakonekta. Mga de-numerong katangian ng bawat graph, lalim at lapad ng pagtawid, batayan ng mga cycle.
term paper, idinagdag noong 05/14/2012
Sinusuri ang bisa ng mga pagkakakilanlan o inklusyon gamit ang set algebra at Euler-Venn diagram. Pagpapakita ng isang graph at isang matrix ng isang relasyon na may mga katangian ng reflexivity, transitivity, at antisymmetry. Paggalugad ng hindi nakadirekta na graph.
pagsubok, idinagdag noong 05/05/2013
Ang set ay isang koleksyon ng mga elemento na pinagsama ng ilang katangian. Ang mga operasyon ay tinukoy sa mga set, na sa maraming aspeto ay katulad ng arithmetic. Ang mga operasyon sa mga set ay binibigyang kahulugan sa geometriko gamit ang mga diagram ng Euler-Venn.
abstract, idinagdag 02/03/2009
Konstruksyon ng pseudograph diagram, incidence matrix at vertex neighborhood matrix. Pagpapanumbalik ng puno mula sa isang vector gamit ang Prufer algorithm. Pagbuo ng isang talahanayan ng katotohanan para sa isang function at perpektong conjunctive at disjunctive normal na mga form.
pagsubok, idinagdag noong 09/25/2013
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng discrete mathematics. Pagkalkula ng pinakamaikling landas sa pagitan ng mga pares ng lahat ng vertices sa isang nakadirekta at hindi nakadirekta na graph gamit ang Floyd algorithm. Pagsusuri ng problema at mga pamamaraan para sa solusyon nito. Pag-unlad at mga katangian ng programa.
Ang ilang mga problema ay maaaring maginhawa at biswal na malutas gamit ang Euler-Venn diagram. Halimbawa, ang mga gawain sa mga set. Kung hindi mo alam kung ano ang mga diagram ng Euler-Venn at kung paano buuin ang mga ito, basahin muna.
Ngayon tingnan natin ang mga karaniwang problema sa set.
Gawain 1.
Isang survey ang isinagawa sa 100 mag-aaral sa isang paaralan na may malalim na pag-aaral ng mga wikang banyaga. Tinanong ang mga mag-aaral ng tanong: "Anong mga wikang banyaga ang iyong pinag-aaralan?". Lumabas na 48 na estudyante ang nag-aaral ng English, 26 - French, 28 - German. 8 estudyante ang nag-aaral ng English at German, 8 - English at French, 13 - French at German. 24 na mag-aaral ay hindi nag-aaral ng Ingles, o Pranses, o Aleman. Ilang mga mag-aaral na nakakumpleto ng survey ang nag-aaral ng tatlong wika nang sabay-sabay: Ingles, Pranses at Aleman?
Sagot: 3.
Desisyon:
- maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Ingles ("A");
- maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Pranses ("F");
- maraming mga mag-aaral na nag-aaral ng Aleman ("N").
Ilarawan natin sa tulong ng Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kondisyon.
Tukuyin natin ang gustong lugar A=1, F=1, H=1 bilang "x" (sa talahanayan sa ibaba, lugar No. 7). Ipinapahayag namin ang natitirang bahagi ng mga rehiyon sa mga tuntunin ng x.
0) Rehiyon A=0, F=0, H=0: 24 na mag-aaral - ibinigay ayon sa kondisyon ng problema.
1) Rehiyon A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x na mga mag-aaral.
2) Rehiyon A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x na mga mag-aaral.
3) Rehiyon A=0, F=1, H=1: 13 mag-aaral.
4) Rehiyon A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x mag-aaral.
5) Rehiyon A=1, F=0, H=1: 8 mag-aaral.
6) Rehiyon A=1, F=1, H=0: 8 mag-aaral.
| № mga lugar | PERO |
F |
H |
Dami mga mag-aaral |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
ika-13 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8's |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8's |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
X |
Tukuyin natin ang x:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Lumabas na 3 mag-aaral ang nag-aaral ng tatlong wika nang sabay-sabay: Ingles, Pranses at Aleman.
Ganito ang magiging hitsura ng Euler-Venn diagram sa kilalang x:
Gawain 2.
Sa Mathematics Olympiad, hiniling sa mga mag-aaral na lutasin ang tatlong problema: isa sa algebra, isa sa geometry, at isa sa trigonometry. 1000 mga mag-aaral ang lumahok sa Olympiad. Ang mga resulta ng Olympiad ay ang mga sumusunod: 800 kalahok ang nakalutas ng problema sa algebra, 700 sa geometry, 600 sa trigonometry. 300 tao ang nakalutas ng mga problema sa algebra, geometry at trigonometry. Ilang estudyante ang hindi nakalutas ng anumang problema?
Sagot: 100.
Desisyon:
Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:
- isang hanay ng mga problema sa algebra ("A");
- isang hanay ng mga problema sa geometry ("G");
- hanay ng mga problema sa trigonometrya ("T").
Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:
Tukuyin natin ang bilang ng mga mag-aaral para sa lahat ng posibleng lugar.
Tukuyin natin ang gustong lugar A=0, G=0, T=0 bilang "x" (sa talahanayan sa ibaba, lugar No. 0).
Hanapin natin ang iba pang lugar:
1) Rehiyon A=0, D=0, T=1: walang mga mag-aaral.
2) Rehiyon A=0, D=1, T=0: walang mga mag-aaral.
3) Rehiyon A=0, D=1, T=1: 100 mag-aaral.
4) Rehiyon A=1, D=0, T=0: walang mga mag-aaral.
5) Rehiyon A=1, D=0, T=1: 200 mag-aaral.
6) Rehiyon A=1, D=1, T=0: 300 mag-aaral.
7) Rehiyon A=1, D=1, T=1: 300 mag-aaral.
Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:
| № mga lugar | PERO |
G |
T |
Dami mga mag-aaral |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
X |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:
Tukuyin natin ang x:
x=U-(A V G V T), kung saan ang U ang uniberso.
A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.
Nakuha namin na ang 100 mga mag-aaral ay hindi nakalutas ng isang problema.
Gawain 3.
Sa Physics Olympiad, hiniling sa mga mag-aaral na lutasin ang tatlong problema: isa sa kinematics, isa sa thermodynamics, at isa sa optika. Ang mga resulta ng Olympiad ay ang mga sumusunod: 400 kalahok ang nalutas ang problema sa kinematics, 350 sa thermodynamics, 300 sa optics. Nalutas ng 100 tao ang mga problema sa kinematics, thermodynamics at optika. Ilang estudyante ang nakalutas ng dalawang problema?
Sagot: 350.
Desisyon:
Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:
- isang hanay ng mga gawain sa kinematics ("K");
- isang hanay ng mga problema sa thermodynamics ("T");
- hanay ng mga problema sa optika ("O").
Ilarawan natin gamit ang Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kundisyon:
Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:
Tukuyin natin ang bilang ng mga mag-aaral para sa lahat ng posibleng lugar:
0) Lugar K=0, T=0, O=0 : hindi tinukoy.
1) Rehiyon K=0, T=0, O=1: 50 mag-aaral.
2) Rehiyon K=0, T=1, O=0: walang mga mag-aaral.
3) Rehiyon K=0, T=1, O=1: 50 mag-aaral.
4) Rehiyon K=1, T=0, O=0: walang mga mag-aaral.
5) Rehiyon K=1, T=0, O=1: 100 mag-aaral.
6) Rehiyon K=1, T=1, O=0: 200 mag-aaral.
7) Rehiyon K=1, T=1, O=1: 100 mag-aaral.
Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:
| № mga lugar | Upang |
T |
O |
Dami mga mag-aaral |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:
Tukuyin natin ang x.
x=200+100+50=350.
Natanggap, 350 mag-aaral ang nalutas ang dalawang problema.
Gawain 4.
Sa mga dumaraan ay nagsagawa ng survey. Ang tanong ay tinanong: "Anong uri ng alagang hayop ang mayroon ka?". Ayon sa resulta ng survey, lumabas na 150 ang may pusa, 130 ang may aso, at 50 ang may ibon. 60 tao ang may pusa at aso, 20 may pusa at ibon, 30 may aso at ibon. 70 tao ang walang alagang hayop. 10 tao ang may pusa, aso, at ibon. Ilang dumaan ang nakibahagi sa survey?
Sagot: 300.
Desisyon:
Una, tinutukoy namin ang mga hanay at ipinakilala ang notasyon. May tatlo sa kanila:
- maraming tao na may pusa ("K");
- maraming tao na may aso ("C");
- maraming tao na may ibon ("P").
Ilarawan natin gamit ang Euler-Venn diagram kung ano ang ibinigay sa atin ayon sa kundisyon:
Ilarawan natin kung ano ang kailangan nating hanapin:
Tukuyin natin ang bilang ng mga tao para sa lahat ng posibleng lugar:
0) Lugar K=0, S=0, P=0: 70 tao.
1) Lugar K=0, S=0, P=1: 10 tao.
2) Lugar K=0, S=1, P=0: 50 tao.
3) Lugar K=0, S=1, P=1: 20 tao.
4) Lugar K=1, S=0, P=0: 80 tao.
5) Lugar K=1, T=0, O=1: 10 tao.
6) Rehiyon K=1, T=1, O=0: 50 tao.
7) Rehiyon K=1, T=1, O=1: 10 tao.
Isulat natin ang mga halaga ng mga lugar sa talahanayan:
| № mga lugar | Upang |
C |
P |
Dami Tao |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
I-plot natin ang mga halaga para sa lahat ng mga lugar gamit ang isang tsart:
Tukuyin natin ang x:
x=U (uniberso)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Natanggap na 300 katao ang nakibahagi sa survey.
Gawain 5.
120 tao ang pumasok sa isang espesyalidad sa isa sa mga unibersidad. Ang mga aplikante ay kumuha ng tatlong pagsusulit: sa matematika, sa computer science at sa wikang Ruso. Ang matematika ay pumasa sa 60 tao, computer science - 40. 30 aplikante ang pumasa sa matematika at computer science, 30 - matematika at Russian, 25 - computer science at Russian. 20 katao ang pumasa sa lahat ng tatlong pagsusulit, at 50 katao ang bumagsak. Gaano karaming mga aplikante ang nakapasa sa wikang Ruso?
Para sa isang visual na representasyon ng mga set, ginagamit ang mga diagram ng Euler-Venn (pinangalanan para sa mga mathematician na sina Leonhard Euler (1707-1783) at John Venn (1834-1923)). Ang mga set ay tinutukoy ng mga lugar sa eroplano, at sa loob ng mga lugar na ito ang mga elemento ng set ay may kondisyong matatagpuan. Kadalasan, ang lahat ng mga set sa isang diagram ay inilalagay sa loob ng isang parihaba, na isang unibersal na hanay. Kung ang isang elemento ay nabibilang sa higit sa isang set, ang mga lugar na nauugnay sa mga naturang set ay dapat mag-overlap upang ang karaniwang elemento ay maaaring sabay na nasa mga kaukulang lugar. Ang pagpili ng hugis ng mga lugar na naglalarawan ng mga hanay sa mga diagram ay maaaring maging arbitrary (mga bilog, polygon, atbp.).
Halimbawa, sa tulong ng mga diagram ng Euler-Venn maipapakita na ang isang set ay isang subset ng isang set (Fig. 3).
Ilarawan natin ang mga operasyon sa itaas sa mga set sa tulong ng mga diagram ng Euler-Venn: a) ang unyon ng mga set at; b) itakda ang intersection; c) ang pagkakaiba ng set (nang wala); d) pagdaragdag ng isang set sa isang unibersal na set (Fig. 4, a, b, sa, G).
Halimbawa 1 Patunayan ang pagkakakilanlan gamit ang Euler–Venn diagram.
Desisyon
Buuin natin ang complement ng isang set sa isang unibersal na set (Fig. 5, a). Ang set ay tumutugma sa may kulay na lugar (Larawan 5, b). Kaya, makikita na sa mga diagram ng Euler-Venn, ang mga set at ay inilalarawan sa parehong paraan, samakatuwid.
Halimbawa 2 Ipakita mo yan.
Desisyon
Bumuo tayo ng isang set na tumutugma sa kaliwang bahagi ng ibinigay na pagkakakilanlan. Ang set ay kinakatawan ng shaded area sa Fig. 6, a. Ang set ay tumutugma sa shaded area sa Fig. 6, b.
Ang set ay naglalarawan ng lugar na may kulay sa parehong nakaraang mga diagram, kaya ito ay ipinapakita sa Fig. 6, sa mas madilim na lugar.
Bumuo tayo ng isang set na tumutugma sa kanang bahagi ng ibinigay na pagkakakilanlan.
Ang mga set at kinakatawan ng may kulay na lugar sa Fig. 7, a at 7, b ayon sa pagkakabanggit.
Ang set ay ipinapakita ng shaded area sa Fig. 7, sa.
Paghahambing ng Fig. 6, sa at fig. 7, sa, nakikita natin na ang mga diagram ng Euler-Venn ay inilalarawan sa parehong paraan, samakatuwid .
Mga tanong at gawain para sa malayang solusyon
1. Gumuhit ng mga set gamit ang Euler-Venn diagram:
2. Ilarawan ang mga set na tumutugma sa mga may kulay na bahagi sa fig. walo, a, b, sa, G, gamit ang Euler-Venn diagram:
3. Gamitin ang Euler-Venn diagram upang ipakita na:
1.4. Mga katangian ng mga set na operasyon
Ang mga set na operasyon na ipinakilala sa itaas ay may mga sumusunod na katangian.
1. - commutativity.
2.
- Pagkakaisa.
3.
- pamamahagi.
4. - indempotency.
5.
- mga batas ng pagkakakilanlan.
6. ,, ay mga pantulong na batas.
7. - Mga batas ni De Morgan.
8. - mga batas sa pagsipsip.
9.
- ang mga batas ng gluing.
10.
- Mga Batas ng Poretsky.
Halimbawa 1 Batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga set, pasimplehin ang expression.
Desisyon
= /de Morgan's law/ =
= = /batas sa pamamahagi/ =
= = /batas ng commutativity/ =
= = /batas sa pamamahagi/ =
/batas ng commutativity/ =
/dagdag na batas/ =
= /mga batas ng commutativity at pagkakakilanlan/ =
= = /kahulugan ng simetriko pagkakaiba/ =.
Tulad ng nabanggit na, ang cardinality ng isang finite set ay ang bilang ng mga elemento nito. Ang sumusunod na theorem ay nagbibigay ng isang simpleng panuntunan para sa pagkalkula ng cardinality ng unyon ng dalawang set.
Theorem of inclusions and exclusions. Ang kapangyarihan ng pagsasama ng dalawang hanay ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga hanay na ito at ang kapangyarihan ng kanilang intersection, ibig sabihin.
Patunay
Ang patunay ng paninindigan ay pinaka-maginhawang inilarawan nang grapiko. Gaya ng ipinapakita sa fig. 9, ang set ay binubuo ng mga subset:, at kung saan ay walang mga karaniwang elemento. Samakatuwid, at.
Ipakilala natin ang notasyon:
Q.E.D.
Halimbawa 2 Ang bawat isa sa 63 unang taong mag-aaral na nag-aaral ng computer science sa unibersidad ay maaaring dumalo sa karagdagang mga lektura. Kung 16 sa kanila ang kumukuha din ng kursong accounting, 37 din ang kumukuha ng kursong negosyo, at 5 ang nag-aaral sa parehong disiplinang ito, ilan sa mga estudyante ang hindi pumapasok sa mga nabanggit na karagdagang klase?
Desisyon
Ipakilala natin ang notasyon:
Samakatuwid, ang bilang ng mga mag-aaral na hindi pumapasok sa mga karagdagang kurso.
Puna 1. Ang inclusion at exclusion theorem ay maaaring mabalangkas para sa kaso ng tatlong set:
Halimbawa 3 Mayroong 42 mag-aaral sa kurso. Sa mga ito, 16 ay nakikibahagi sa athletics section, 24 sa football section, 15 sa chess section, 11 sa parehong athletics at football section; 8 - kapwa sa athletics at chess; 12 - kapwa sa football at chess; at 6 sa lahat ng tatlong seksyon. Ang iba sa mga estudyante ay mahilig sa turismo. Ilang estudyante ang turista?
Desisyon
Ipakilala natin ang notasyon:
Mula sa kalagayan ng problema: ,,,,,, at.
Mula sa kung saan, ibig sabihin, ang bilang ng mga mag-aaral na kasangkot sa turismo.
Puna 2. Kapag nilulutas ang mga problema sa itaas, maginhawang gamitin ang mga diagram ng Euler-Venn.
Mga gawain para sa malayang solusyon
Patunayan ang mga pagkakakilanlan gamit ang mga katangian ng set operations:
2. 33 tao ang pumunta sa silid-kainan para sa tanghalian. 10 tao ang nag-order ng sopas, 16 - pilaf, 30 - compote, 7 tao ang nag-order ng lahat ng tatlong pinggan, 8 tao ang nag-order ng sopas at pilaf, 14 na tao ang nag-order ng sopas at compote. Ilang tao ang nag-order ng pilaf at compote?
3. Sa grupo ng mag-aaral, 12 tao ang nag-aaral ng English, 13 - German, 16 - French, 4 - English at German lang, 3 - English at French lang, 5 - lahat ng tatlong wika. Walang mga English-only na estudyante sa grupo. Dalawang tao ang nag-aaral lamang ng Aleman, anim na tao ang nag-aaral lamang ng Pranses. Ang isang mag-aaral sa grupo ay hindi nag-aaral ng alinman sa mga nakalistang wika. Ilang estudyante ang nasa pangkat?
Ang pag-iisip ng tao ay inayos sa paraang ang mundo ay kinakatawan bilang binubuo ng magkakahiwalay na "mga bagay". Matagal nang alam ng mga pilosopo na ang mundo ay isang solong hindi mapaghihiwalay na kabuuan, at ang pagpili ng mga bagay sa loob nito ay hindi hihigit sa isang arbitrary na kilos ng ating pag-iisip, na ginagawang posible upang bumuo ng isang larawan na naa-access sa rational analysis. Ngunit kahit na ano pa man, ang pagpili ng mga bagay at ang kanilang mga hanay ay isang natural na paraan ng pag-aayos ng ating pag-iisip, kaya hindi nakakagulat na pinagbabatayan nito ang pangunahing kasangkapan para sa paglalarawan ng eksaktong kaalaman - ang matematika.
Ang konsepto ng isang set ay isa sa mga pangunahing hindi natukoy na konsepto ng matematika. Ang pinakamababang alam tungkol sa isang set ay binubuo ito ng mga elemento. Para sa katiyakan, pinagtibay namin ang mga sumusunod na pormulasyon.
Kahulugan. sa ilalim ng karamihan S mauunawaan natin ang anumang koleksyon ng mga tiyak at nakikilalang mga bagay, na maiisip bilang isang solong kabuuan. Ang mga bagay na ito ay tinatawag na mga elemento ng set. S.
Kahulugan. Ang isang set ay nauunawaan bilang isang asosasyon sa isang solong kabuuan ng ilang medyo natatanging mga bagay (mga bagay), na tinatawag na mga elemento ng set na kanilang nabuo.
Ang mga set ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin: A, B, C, …; at ang mga elemento ng mga set ay nasa maliliit na titik: a, b, c, … .
Kung ang bagay X ay isang elemento ng set M, tapos sinasabi nila yan X nabibilang M: hm. Kung hindi, sinasabi nila iyon X hinde kabilang M: hm.
Sa intuitive na kahulugan na ito, na kabilang sa German mathematician na si G. Cantor, ang katotohanan na ang koleksyon ng mga bagay ay itinuturing mismo bilang isang bagay, ay ipinaglihi bilang isang solong kabuuan, ay mahalaga. Tulad ng para sa mga bagay mismo, na maaaring isama sa set, mayroong malaking kalayaan tungkol sa kanila.
Halimbawa 1
Ito ay maaaring isang set ng mga estudyante sa unibersidad, isang set ng prime, at iba pa.
Kahulugan. Isang grupo ng PERO tinatawag na subset ng set AT, kung anumang elemento mula sa PERO ay isang elemento AT(nakatukoy). Kung ang PERO ay isang subset AT at AT ay hindi isang subset PERO, tapos sinasabi nila yan PERO ay isang mahigpit (wastong) subset AT(nakatukoy).
Kahulugan. Ang isang set na walang mga elemento ay tinatawag na walang laman (na tinutukoy ng Æ), ito ay isang subset ng anumang set. Isang grupo ng U ay tinatawag na unibersal, ibig sabihin, lahat ng itinuturing na set ay ang subset nito.
Isaalang-alang ang dalawang kahulugan ng set equality.
Kahulugan. Mga set PERO at AT ay itinuturing na pantay kung sila ay binubuo ng parehong mga elemento, isulat A=B, kung hindi PERO¹ AT.
Kahulugan. Mga set PERO at AT ay itinuturing na pantay kung 
May mga sumusunod mga paraan upang tukuyin ang mga hanay :
1) enumeration ng mga elemento: M = (a 1 , a 2 , …, isang k} , ibig sabihin, isang listahan ng mga elemento nito;
2) katangiang panaguri: M = (x | P(x)} (isang paglalarawan ng mga katangiang katangian na dapat taglayin ng mga elemento nito);
pamamaraan ng pagbuo: M = { x | x= f} , na naglalarawan kung paano kunin ang mga elemento ng set mula sa natanggap na mga elemento o iba pang mga bagay. Sa kasong ito, ang mga elemento ng set ay lahat ng mga bagay na maaaring
1) ay itinayo gamit ang gayong pamamaraan. Halimbawa, ang set ng lahat ng integer na mga kapangyarihan ng dalawa.
Magkomento. Kapag tinukoy ang mga hanay sa pamamagitan ng enumeration, ang mga pagtatalaga ng mga elemento ay karaniwang nakapaloob sa mga kulot na bracket at pinaghihiwalay ng mga kuwit. Ang isang enumeration ay maaaring tumukoy lamang ng mga finite set (ang bilang ng mga elemento ng isang set ay finite, kung hindi ang set ay tinatawag na infinite). Ang isang katangian na panaguri ay isang kondisyon na ipinahayag sa anyo ng isang lohikal na pahayag o pamamaraan na nagbabalik ng isang lohikal na halaga. Kung ang kundisyon ay natutugunan para sa isang ibinigay na elemento, kung gayon ito ay kabilang sa tinukoy na hanay, kung hindi, hindi ito kabilang. Ang isang proseso ng pagbuo ay isang pamamaraan na, kapag inilunsad, ay bumubuo ng ilang mga bagay na mga elemento ng set na tinukoy. Ang mga infinite set ay tinutukoy ng isang katangian na panaguri o isang proseso ng pagbuo.
Halimbawa 2
1) M = (1, 2, 3, 4)- enumeration ng mga elemento ng set.
2) ay isang katangiang panaguri.
Kahulugan. Cardinality ng isang Finite Set PERO ay ang bilang ng mga elemento nito.
Ang cardinality ng isang set ay tinutukoy ng: | A|.
Halimbawa 3
|| = 0; |{}| = 1.
Kahulugan. Ang mga set ay sinasabing katumbas kung ang kanilang mga kardinal ay pareho.
Kahulugan. Ang set ng lahat ng subset ng set A ay tinatawag na Boolean P(A).
Ito ay kilala na kung ang set PERO naglalaman ng n mga elemento, pagkatapos ay ang set P(A) naglalaman ng 2 n mga elemento. Sa bagay na ito, ginagamit din namin ang set-degree set notation PERO bilang 2 A.
Halimbawa 4
A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .
Sa geometrically, ang mga set ay maaaring katawanin gamit ang Euler-Venn diagram. Ang pagbuo ng diagram ay binubuo sa imahe ng isang malaking parihaba na kumakatawan sa unibersal na hanay U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga set. Ang mga numero ay dapat mag-intersect sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, posible na lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.
Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong set mula sa mga umiiral na.
Kahulugan. Unyon ng mga hanay PERO at AT ay tinatawag na isang set na binubuo ng lahat ng mga elemento na kabilang sa kahit isa sa mga set PERO,AT(Larawan 1.1):
kanin. 1.1. Euler-Venn diagram para sa pagkakaisa
Kahulugan. Itakda ang intersection PERO at AT ay tinatawag na isang set na binubuo ng lahat ng mga at tanging mga elemento na nabibilang nang sabay-sabay bilang isang set PERO, at marami AT(Larawan 1.2):
kanin. 1.2. Euler-Venn diagram para sa intersection
Kahulugan. itakda ang pagkakaiba PERO at AT ay ang set ng lahat ng iyon at tanging mga elementong iyon PERO, na hindi kasama sa AT(Larawan 1.3):
kanin. 1.3. Euler-Venn diagram para sa pagkakaiba
Kahulugan. Symmetric set difference PERO at AT ay ang hanay ng mga elemento ng mga set na ito na nabibilang lamang sa set PERO, o ang set lang AT(Larawan 1.4):
kanin. 1.4. Euler-Venn diagram para sa simetriko na pagkakaiba
Kahulugan. Ang ganap na pandagdag ng set PERO ay ang set ng lahat ng elementong iyon na hindi kabilang sa set PERO(Larawan 1.5):
kanin. 1.5. Euler-Venn diagram para sa ganap na pandagdag
Halimbawa 5
Gamit ang Euler-Venn diagram, pinatutunayan namin ang pagkakakilanlan:
Isaalang-alang ang kaliwang bahagi ng kaugnayan at gawin ang mga aksyon sa pagkakasunud-sunod:
1) hanapin ang intersection ng mga set AT at Sa() (Larawan 1.6, a);
2) hanapin ang unyon ng nagresultang set sa set PERO() (Larawan 1.6, b).
Isaalang-alang ang kanang bahagi ng relasyon 
:
1) hanapin ang unyon ng mga hanay PERO at AT(Larawan 1.6, c);
2) hanapin ang unyon ng mga hanay PERO at Sa(bigas.
1.6, d);
3) hanapin ang intersection ng huling dalawang set at ( ) (Larawan 6, e):
Sa parehong mga kaso (Larawan 1.6, b) at (Larawan 1.6, e) nakakakuha tayo ng pantay na hanay. Samakatuwid, ang orihinal na kaugnayan ay wasto.
kanin. 1.6. Patunay ng pagkakakilanlan gamit ang mga diagram ng Euler-Venn
Isaalang-alang ang mga pangunahing pagkakakilanlan ng algebra ng mga set. Para sa mga arbitrary na hanay PERO,AT, at Sa ang mga sumusunod na relasyon ay wasto (Talahanayan 1.11):
Talahanayan 1.11 Basic set algebra identity
|
Unyon |
interseksyon |
|
1. Commutativity ng unyon |
isa'. Commutativity ng intersection |
|
2. Pagkakaisa ng unyon |
2'. Pagkakaugnay ng intersection |
|
3. Distributivity ng isang unyon patungkol sa isang intersection |
3'. Distributivity ng isang intersection na may paggalang sa isang unyon |
|
4. Mga batas ng pagkilos na may mga walang laman at unibersal na hanay |
4'. Mga batas ng pagkilos na may mga walang laman at unibersal na hanay |
|
5. Ang batas ng idempotent union |
5'. Batas ng idempotency ng intersection |
|
6. Batas ni De Morgan |
6'. Batas ni De Morgan |
|
7. Batas ng Pagsipsip
|
7'. batas ng pagsipsip
|
|
8. Ang batas ng pagbubuklod
|
walo'. Ang batas ng pagbubuklod
|
|
9. Batas Poretsky
|
siyam'. Batas ng Poretsky
|
|
10. Batas ng double complement |
|
