Talaan ng mga pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar. Mga Function at Graph

1) Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar.

Ang saklaw ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y = f(x) tinukoy. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang zero ng function ay ang halaga ng argument kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga pagitan ng sign constancy ng isang function.

Ang function na constant-sign interval ay mga set ng mga value ng argument kung saan ang mga value ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Pagtaas ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit na (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x . Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, at at ang b ay mga tunay na numero.

Numero ngunit tinatawag na slope ng isang tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya na ito sa positibong direksyon ng x-axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear na Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D (y) \u003d R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga para sa o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang coefficients a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.

Kaalaman basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph hindi gaanong mahalaga kaysa sa pag-alam sa talahanayan ng multiplikasyon. Para silang isang pundasyon, lahat ay nakabatay sa kanila, lahat ay binuo mula sa kanila, at lahat ay bumaba sa kanila.

Sa artikulong ito, inilista namin ang lahat ng pangunahing pag-andar ng elementarya, ibigay ang kanilang mga graph at ibigay ang mga ito nang walang derivation at mga patunay. mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ayon sa scheme:

pag-uugali ng function sa mga hangganan ng domain ng kahulugan, vertical asymptotes (kung kinakailangan, tingnan ang pag-uuri ng artikulo ng mga break point ng isang function);
pantay at kakaiba;
convexity (convexity pataas) at concavity (convexity pababa) na mga pagitan, inflection point (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo function convexity, convexity direksyon, inflection point, convexity at inflection kundisyon);
pahilig at pahalang na mga asymptotes;
isahan na mga punto ng pag-andar;
mga espesyal na katangian ng ilang mga pag-andar (halimbawa, ang pinakamaliit na positibong panahon para sa mga pag-andar ng trigonometriko).

Kung interesado ka sa o, maaari kang pumunta sa mga seksyong ito ng teorya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay: pare-pareho ang function (constant), ugat ng nth degree, power function, exponential, logarithmic function, trigonometric at inverse trigonometric function.

Pag-navigate sa pahina.

Permanenteng pag-andar.

Ang isang pare-parehong function ay ibinibigay sa hanay ng lahat ng tunay na numero sa pamamagitan ng formula , kung saan ang C ay ilang tunay na numero. Ang pare-parehong pag-andar ay nagtatalaga sa bawat tunay na halaga ng independiyenteng variable x ang parehong halaga ng umaasa na variable y - ang halaga С. Ang isang pare-pareho ang pag-andar ay tinatawag ding isang pare-pareho.

Ang graph ng isang constant function ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0,C) . Halimbawa, ipakita natin ang mga graph ng mga pare-parehong function y=5 , y=-2 at , na sa figure sa ibaba ay tumutugma sa itim, pula at asul na mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng isang pare-parehong pag-andar.

Domain ng kahulugan: ang buong hanay ng mga tunay na numero.
Ang pare-parehong pag-andar ay pantay.
Saklaw ng mga halaga: set na binubuo ng isang solong numero C .
Ang pare-parehong pag-andar ay hindi tumataas at hindi bumababa (kaya naman ito ay pare-pareho).
Walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa convexity at concavity ng pare-pareho.
Walang asymptote.
Ang function ay dumadaan sa punto (0,C) ng coordinate plane.

Ang ugat ng nth degree.

Isaalang-alang ang pangunahing pag-andar ng elementarya, na ibinibigay ng formula , kung saan ang n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa.

Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero.

Magsimula tayo sa nth root function para sa kahit na mga halaga ng root exponent n .

Halimbawa, nagbibigay kami ng isang larawan na may mga larawan ng mga graph ng mga function at , tumutugma ang mga ito sa itim, pula at asul na mga linya.

Ang mga graph ng mga pag-andar ng ugat ng isang pantay na antas ay may katulad na anyo para sa iba pang mga halaga ng tagapagpahiwatig.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa even n .

Ang ugat ng nth degree, n ay isang kakaibang numero.

Ang root function ng nth degree na may kakaibang exponent ng root n ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Halimbawa, nagpapakita kami ng mga graph ng mga function at , ang itim, pula, at asul na mga kurba ay tumutugma sa kanila.

Para sa iba pang mga kakaibang halaga ng root exponent, ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng ugat ng nth degree para sa odd n .

Pag-andar ng kapangyarihan.

Ang power function ay ibinibigay ng isang formula ng form .

Isaalang-alang ang uri ng mga graph ng isang power function at ang mga katangian ng isang power function depende sa halaga ng exponent.

Magsimula tayo sa isang power function na may integer exponent a . Sa kasong ito, ang anyo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan at ang mga katangian ng mga pag-andar ay nakasalalay sa kahit o kakaibang exponent, gayundin sa sign nito. Samakatuwid, isinasaalang-alang muna namin ang mga function ng kapangyarihan para sa mga kakaibang positibong halaga ng exponent a , pagkatapos ay para sa kahit na positibo, pagkatapos ay para sa mga kakaibang negatibong exponent, at sa wakas, para sa kahit na negatibong a .

Ang mga katangian ng power function na may fractional at irrational exponent (pati na rin ang uri ng mga graph ng naturang power function) ay nakadepende sa halaga ng exponent a. Isasaalang-alang natin ang mga ito, una, kapag ang a ay mula sa zero hanggang isa, pangalawa, kapag ang a ay mas malaki kaysa sa isa, pangatlo, kapag ang a ay mula sa minus one hanggang zero, at pang-apat, kapag ang a ay mas mababa sa minus one.

Sa pagtatapos ng subsection na ito, para sa kapakanan ng pagkakumpleto, inilalarawan namin ang isang power function na may zero exponent.

Power function na may kakaibang positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may kakaibang positibong exponent, iyon ay, na may a=1,3,5,… .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa a=1 mayroon kami linear function y=x .

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang positibong exponent.

Power function na may kahit na positibong exponent.

Isaalang-alang ang isang power function na may pantay na positibong exponent, iyon ay, para sa a=2,4,6,… .

Bilang halimbawa, kumuha tayo ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya. Para sa a=2 mayroon kaming isang quadratic function na ang graph ay parisukat na parabola.

Mga katangian ng isang power function na may pantay na positibong exponent.

Power function na may kakaibang negatibong exponent.

Tingnan ang mga graph ng exponential function para sa mga kakaibang negatibong halaga ng exponent, iyon ay, para sa isang \u003d -1, -3, -5, ....

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng exponential function bilang mga halimbawa - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya, - berdeng linya. Para sa isang = -1 mayroon kami baligtad na proporsyonalidad, na ang graph ay hyperbola.

Mga katangian ng isang power function na may kakaibang negatibong exponent.

Power function na may kahit na negatibong exponent.

Lumipat tayo sa power function sa a=-2,-4,-6,….

Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng power function - itim na linya, - asul na linya, - pulang linya.

Mga katangian ng isang power function na may kahit na negatibong exponent.

Isang power function na may rational o irrational exponent na ang value ay mas malaki sa zero at mas mababa sa isa.

Tandaan! Kung ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay itinuturing na ang pagitan ay ang domain ng power function. Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang mga simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional positive exponents bilang set . Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Isaalang-alang ang isang power function na may rational o irrational exponent a , at .

Nagpapakita kami ng mga graph ng power function para sa a=11/12 (itim na linya), a=5/7 (pulang linya), (asul na linya), a=2/5 (berdeng linya).

Isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent na mas malaki sa isa.

Isaalang-alang ang isang power function na may non-integer na rational o irrational exponent a , at .

Ipakita natin ang mga graph ng mga power function na ibinigay ng mga formula (itim, pula, asul at berdeng mga linya ayon sa pagkakabanggit).

Para sa iba pang mga halaga ng exponent a , ang mga graph ng function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng power function para sa .

Isang power function na may totoong exponent na mas malaki sa minus one at mas mababa sa zero.

Tandaan! Kung ang a ay isang negatibong fraction na may kakaibang denominator, kung gayon ang ilang mga may-akda ay isinasaalang-alang ang pagitan . Kasabay nito, itinakda na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Ngayon ang mga may-akda ng maraming mga aklat-aralin sa algebra at ang mga simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Susunod kami sa ganoong pananaw, iyon ay, isasaalang-alang namin ang mga domain ng power function na may fractional fractional negative exponents bilang set, ayon sa pagkakabanggit. Hinihikayat namin ang mga mag-aaral na kunin ang pananaw ng iyong guro sa banayad na puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Dumaan kami sa power function , kung saan .

Upang magkaroon ng magandang ideya sa uri ng mga graph ng mga function ng kapangyarihan para sa , nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga graph ng mga function (itim, pula, asul, at berdeng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Mga katangian ng isang power function na may exponent a , .

Isang power function na may non-integer real exponent na mas mababa sa minus one.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga graph ng power functions para sa , ang mga ito ay inilalarawan sa itim, pula, asul at berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit.

Mga katangian ng power function na may non-integer na negatibong exponent na mas mababa sa minus one.

Kapag ang a=0 at mayroon tayong function - ito ay isang tuwid na linya kung saan ang punto (0; 1) ay hindi kasama (ang expression na 0 0 ay napagkasunduan na huwag ilakip ang anumang kahalagahan).

Exponential function.

Ang isa sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay ang pagpapaandar ng exponential.

Ang graph ng exponential function, kung saan at may ibang anyo depende sa halaga ng base a. Alamin natin ito.

Una, isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay tumatagal ng isang halaga mula sa zero hanggang isa, iyon ay, .

Halimbawa, ipinakita namin ang mga graph ng exponential function para sa a = 1/2 - ang asul na linya, a = 5/6 - ang pulang linya. Ang mga graph ng exponential function ay may katulad na hitsura para sa iba pang mga halaga ng base mula sa pagitan.

Mga katangian ng isang exponential function na may base na mas mababa sa isa.

Bumaling tayo sa kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa, iyon ay, .

Bilang isang paglalarawan, nagpapakita kami ng mga graph ng exponential function - ang asul na linya at - ang pulang linya. Para sa iba pang mga halaga ng base, higit sa isa, ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na hitsura.

Mga katangian ng exponential function na may base na mas malaki sa isa.

Logarithmic function.

Ang susunod na basic elementary function ay ang logarithmic function , kung saan , . Ang logarithmic function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento, iyon ay, para sa .

Ang graph ng logarithmic function ay tumatagal sa ibang anyo depende sa halaga ng base a.

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga likas na katangian at ang kaukulang mga graph ay isa sa mga pangunahing kaalaman sa matematika, katulad ng kahalagahan sa talahanayan ng multiplikasyon. Ang mga pag-andar ng elementarya ay ang batayan, suporta para sa pag-aaral ng lahat ng mga teoretikal na isyu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang artikulo sa ibaba ay nagbibigay ng pangunahing materyal sa paksa ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya. Ipapasok namin ang mga termino, bigyan sila ng mga kahulugan; Pag-aralan natin nang detalyado ang bawat uri ng elementarya na pag-andar at pag-aralan ang kanilang mga katangian.

Ang mga sumusunod na uri ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay nakikilala:

Kahulugan 1

pare-pareho ang pag-andar (pare-pareho);
ugat ng nth degree;
function ng kapangyarihan;
exponential function;
logarithmic function;
trigonometriko function;
fraternal trigonometriko function.

Ang isang pare-parehong pag-andar ay tinutukoy ng formula: y = C (C ay ilang tunay na numero) at mayroon ding pangalan: pare-pareho. Tinutukoy ng function na ito kung ang anumang tunay na halaga ng independent variable x ay tumutugma sa parehong halaga ng variable y – ang halaga C .

Ang graph ng isang pare-pareho ay isang tuwid na linya na parallel sa x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0, C). Para sa kalinawan, nagpapakita kami ng mga graph ng mga pare-parehong function y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (minarkahan ng itim, pula at asul sa drawing, ayon sa pagkakabanggit).

Kahulugan 2

Ang elementarya na function na ito ay tinukoy ng formula na y = x n (n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa).

Isaalang-alang natin ang dalawang variation ng function.

Ang ugat ng nth degree, n ay isang even na numero

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang pagguhit, na nagpapakita ng mga graph ng naturang mga pag-andar: y = x , y = x 4 at y = x 8 . Ang mga function na ito ay color-coded: itim, pula at asul, ayon sa pagkakabanggit.

Ang isang katulad na pagtingin sa mga graph ng function ng isang pantay na antas para sa iba pang mga halaga ng indicator.

Kahulugan 3

Properties ng function root ng nth degree, n ay isang even number

ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng lahat ng hindi negatibong tunay na numero [ 0 , + ∞) ;
kapag x = 0 , ang function y = x n ay may halaga na katumbas ng zero;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kahit na o kakaiba);
saklaw: [ 0 , + ∞);
itong function na y = x n na may pantay na mga exponent ng root ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
ang function ay may convexity na may paitaas na direksyon sa buong domain ng kahulugan;
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;
ang graph ng function para sa even n ay dumadaan sa mga puntos (0 ; 0) at (1 ; 1) .

Ang ugat ng nth degree, n ay isang kakaibang numero

Ang ganitong function ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang mga graph ng mga function y = x 3 , y = x 5 at x 9 . Sa pagguhit, ang mga ito ay ipinahiwatig ng mga kulay: itim, pula at asul na mga kulay ng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit.

Ang iba pang mga kakaibang halaga ng exponent ng root ng function na y = x n ay magbibigay ng graph ng isang katulad na anyo.

Kahulugan 4

Properties ng function root ng nth degree, n ay isang kakaibang numero

ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero;
kakaiba ang function na ito;
ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero;
ang function na y = x n na may mga kakaibang exponent ng root ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
ang function ay may concavity sa interval (- ∞ ; 0 ] at convexity sa interval [ 0 , + ∞) ;
ang inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0);
walang mga asymptotes;
ang graph ng function para sa odd n ay dumadaan sa mga puntos (- 1 ; - 1), (0 ; 0) at (1 ; 1) .

Pag-andar ng kapangyarihan

Kahulugan 5

Ang power function ay tinukoy ng formula y = x a .

Ang uri ng mga graph at katangian ng function ay depende sa halaga ng exponent.

kapag ang isang power function ay may integer exponent a, ang anyo ng graph ng power function at ang mga katangian nito ay depende sa kung ang exponent ay even o odd, at kung ano ang sign na mayroon ang exponent. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga espesyal na kaso na ito nang mas detalyado sa ibaba;
ang exponent ay maaaring fractional o hindi makatwiran - depende dito, ang uri ng mga graph at ang mga katangian ng function ay nag-iiba din. Susuriin namin ang mga espesyal na kaso sa pamamagitan ng pagtatakda ng ilang kundisyon: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
maaaring magkaroon ng zero exponent ang power function, susuriin din namin ang kasong ito nang mas detalyado sa ibaba.

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang a ay isang kakaibang positibong numero, halimbawa, a = 1 , 3 , 5 …

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang mga graph ng naturang mga function ng kapangyarihan: y = x (itim na kulay ng graph), y = x 3 (asul na kulay ng tsart), y = x 5 (pulang kulay ng graph), y = x 7 (berdeng graph). Kapag a = 1 , nakakakuha tayo ng linear function na y = x .

Kahulugan 6

Mga katangian ng isang power function kapag ang exponent ay isang kakaibang positibo

ang function ay tumataas para sa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
ang function ay convex para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] at malukong para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) (hindi kasama ang linear function);
ang inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0) (hindi kasama ang linear function);
walang mga asymptotes;
function passing points: (- 1 ; - 1), (0 ; 0), (1 ; 1) .

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang a ay isang kahit na positibong numero, halimbawa, a = 2 , 4 , 6 ...

Para sa kalinawan, ipinapahiwatig namin ang mga graph ng naturang mga function ng kapangyarihan: y \u003d x 2 (itim na kulay ng graph), y = x 4 (asul na kulay ng graph), y = x 8 (pulang kulay ng graph). Kapag a = 2, nakakakuha tayo ng quadratic function na ang graph ay isang quadratic parabola.

Kahulugan 7

Mga katangian ng isang power function kapag positibo ang exponent:

domain ng kahulugan: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
bumababa para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
ang function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;
function passing points: (- 1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1) .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga exponential function graph y = x a kapag ang a ay isang kakaibang negatibong numero: y = x - 9 (itim na kulay ng graph); y = x - 5 (asul na kulay ng tsart); y = x - 3 (pulang kulay ng tsart); y = x - 1 (berdeng graph). Kapag ang isang \u003d - 1, nakakakuha tayo ng inverse proportionality, ang graph kung saan ay isang hyperbola.

Kahulugan 8

Mga katangian ng power function kapag ang exponent ay kakaibang negatibo:

Kapag x \u003d 0, nakakakuha kami ng discontinuity ng pangalawang uri, dahil lim x → 0 - 0 xa \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ para sa isang \u003d - 1, - 3, - 5, .... Kaya, ang tuwid na linya x = 0 ay isang patayong asymptote;

saklaw: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
kakaiba ang function dahil y (- x) = - y (x) ;
ang function ay bumababa para sa x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
ang function ay convex para sa x ∈ (- ∞ ; 0) at malukong para sa x ∈ (0 ; + ∞) ;
walang mga inflection point;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kapag a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

function passing points: (- 1 ; - 1), (1 ; 1) .

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga halimbawa ng power function graphs y = x a kapag ang a ay isang kahit na negatibong numero: y = x - 8 (chart sa itim); y = x - 4 (asul na kulay ng graph); y = x - 2 (pulang kulay ng graph).

Kahulugan 9

Mga katangian ng power function kapag negatibo ang exponent:

domain ng kahulugan: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kapag x \u003d 0, nakakakuha kami ng discontinuity ng pangalawang uri, dahil lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ para sa isang \u003d - 2, - 4, - 6, .... Kaya, ang tuwid na linya x = 0 ay isang patayong asymptote;

ang function ay kahit na dahil y (- x) = y (x) ;
ang function ay tumataas para sa x ∈ (- ∞ ; 0) at bumababa para sa x ∈ 0 ; +∞ ;
ang function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
walang mga inflection point;
ang pahalang na asymptote ay isang tuwid na linya y = 0 dahil:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kapag a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

function passing points: (- 1 ; 1), (1 ; 1) .

Sa simula pa lang, bigyang-pansin ang sumusunod na aspeto: sa kaso kapag ang a ay isang positibong fraction na may kakaibang denominator, kinuha ng ilang may-akda ang pagitan - ∞ bilang domain ng kahulugan ng power function na ito; + ∞ , na nagtatakda na ang exponent a ay isang hindi mababawasang bahagi. Sa ngayon, ang mga may-akda ng maraming mga publikasyong pang-edukasyon sa algebra at ang simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan, kung saan ang exponent ay isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Dagdag pa, susundin namin ang ganoong posisyon: kinukuha namin ang set [ 0 ; +∞) . Rekomendasyon para sa mga mag-aaral: alamin ang pananaw ng guro sa puntong ito upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo.

Kaya tingnan natin ang power function y = x a kapag ang exponent ay isang rational o irrational na numero sa kondisyon na 0< a < 1 .

Ilarawan natin sa mga graph ang mga function ng kapangyarihan y = x a kapag a = 11 12 (chart sa itim); a = 5 7 (pulang kulay ng graph); a = 1 3 (asul na kulay ng graph); a = 2 5 (berdeng kulay ng graph).

Iba pang mga halaga ng exponent a (ipagpalagay na 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Kahulugan 10

Mga katangian ng power function sa 0< a < 1:

saklaw: y ∈ [ 0 ; +∞);
ang function ay tumataas para sa x ∈ [ 0 ; +∞);
ang function ay may convexity para sa x ∈ (0 ; + ∞) ;
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;

Suriin natin ang power function y = x a kapag ang exponent ay isang non-integer na rational o irrational na numero sa kondisyon na a > 1 .

Inilalarawan namin ang mga graph ng power function y = xa sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon sa halimbawa ng mga naturang function: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (itim, pula, asul, berdeng kulay ng mga graph, ayon sa pagkakabanggit) .

Ang iba pang mga halaga ng exponent a sa ilalim ng kundisyon a > 1 ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 11

Mga katangian ng power function para sa isang > 1:

domain ng kahulugan: x ∈ [ 0 ; +∞);
saklaw: y ∈ [ 0 ; +∞);
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
ang function ay tumataas para sa x ∈ [ 0 ; +∞);
ang function ay malukong para sa x ∈ (0 ; + ∞) (kapag 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;
function passing points: (0 ; 0), (1 ; 1) .

Kung ang a ay isang negatibong bahagi na may kakaibang denominator, sa mga gawa ng ilang mga may-akda ay may pananaw na ang domain ng kahulugan sa kasong ito ay ang pagitan - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) na may proviso na ang exponent a ay isang irreducible fraction. Sa ngayon, ang mga may-akda ng mga materyal na pang-edukasyon sa algebra at ang simula ng pagsusuri ay HINDI TINUTUKOY ang mga function ng kapangyarihan na may isang exponent sa anyo ng isang fraction na may kakaibang denominator para sa mga negatibong halaga ng argumento. Dagdag pa, sinusunod namin ang ganoong pananaw: kinukuha namin ang set (0 ; + ∞) bilang domain ng mga function ng kapangyarihan na may mga fractional na negatibong exponent. Mungkahi para sa mga mag-aaral: Linawin ang pananaw ng iyong guro sa puntong ito upang maiwasan ang hindi pagkakasundo.

Ipinagpapatuloy namin ang paksa at sinusuri ang pag-andar ng kapangyarihan y = x a ibinigay: - 1< a < 0 .

Narito ang isang drawing ng mga graph ng mga sumusunod na function: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (itim, pula, asul, berdeng mga linya, ayon sa pagkakabanggit ).

Kahulugan 12

Mga katangian ng power function sa - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kapag - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

saklaw: y ∈ 0 ; +∞ ;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
walang mga inflection point;

Ang drawing sa ibaba ay nagpapakita ng mga graph ng power functions y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (itim, pula, asul, berdeng mga kulay ng mga kurba, ayon sa pagkakabanggit).

Kahulugan 13

Mga katangian ng power function para sa a< - 1:

domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kapag a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
ang function ay bumababa para sa x ∈ 0; +∞ ;
ang function ay malukong para sa x ∈ 0; +∞ ;
walang mga inflection point;
pahalang na asymptote - tuwid na linya y = 0 ;
function passing point: (1 ; 1) .

Kapag ang isang \u003d 0 at x ≠ 0, nakukuha namin ang function na y \u003d x 0 \u003d 1, na tumutukoy sa linya kung saan ang punto (0; 1) ay hindi kasama (napagkasunduan namin na ang expression 0 0 ay hindi ibibigay anumang halaga).

Ang exponential function ay may form y = a x , kung saan ang a > 0 at a ≠ 1 , at ang graph ng function na ito ay mukhang iba batay sa halaga ng base a . Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso.

Una, suriin natin ang sitwasyon kapag ang base ng exponential function ay may halaga mula zero hanggang isa (0< a < 1) . Ang isang mapaglarawang halimbawa ay ang mga graph ng mga function para sa a = 1 2 (asul na kulay ng curve) at a = 5 6 (pulang kulay ng curve).

Ang mga graph ng exponential function ay magkakaroon ng katulad na anyo para sa iba pang mga halaga ng base, sa kondisyon na 0< a < 1 .

Kahulugan 14

Mga katangian ng exponential function kapag ang base ay mas mababa sa isa:

saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
isang exponential function na ang base ay mas mababa sa isa ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
walang mga inflection point;
ang pahalang na asymptote ay ang tuwid na linya y = 0 na may variable na x na may posibilidad na + ∞ ;

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang base ng exponential function ay mas malaki kaysa sa isa (a > 1).

Ilarawan natin ang espesyal na kaso na ito sa graph ng mga exponential function na y = 3 2 x (asul na kulay ng curve) at y = e x (pulang kulay ng graph).

Ang iba pang mga halaga ng base, na higit sa isa, ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph ng exponential function.

Kahulugan 15

Mga katangian ng exponential function kapag ang base ay mas malaki sa isa:

ang domain ng kahulugan ay ang buong hanay ng mga tunay na numero;
saklaw: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
isang exponential function na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay tumataas para sa x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ang function ay malukong para sa x ∈ - ∞ ; +∞ ;
walang mga inflection point;
pahalang na asymptote - tuwid na linya y = 0 na may variable na x na tumutukoy sa - ∞ ;
function passing point: (0 ; 1) .

Ang logarithmic function ay may anyo na y = log a (x) , kung saan a > 0 , a ≠ 1 .

Ang ganitong function ay tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento: para sa x ∈ 0 ; +∞ .

Ang graph ng logarithmic function ay may ibang anyo, batay sa halaga ng base a.

Isaalang-alang muna ang sitwasyon kapag 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ang iba pang mga halaga ng base, na hindi hihigit sa isa, ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 16

Mga katangian ng isang logarithmic function kapag ang base ay mas mababa sa isa:

domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ . Dahil ang x ay may posibilidad na zero mula sa kanan, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na + ∞;
saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
logarithmic
ang function ay malukong para sa x ∈ 0; +∞ ;
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;

Ngayon suriin natin ang isang espesyal na kaso kapag ang base ng logarithmic function ay mas malaki kaysa sa isa: a > 1 . Sa drawing sa ibaba, mayroong mga graph ng logarithmic functions y = log 3 2 x at y = ln x (asul at pulang kulay ng mga graph, ayon sa pagkakabanggit).

Ang iba pang mga halaga ng base na higit sa isa ay magbibigay ng katulad na pagtingin sa graph.

Kahulugan 17

Mga katangian ng isang logarithmic function kapag ang base ay mas malaki sa isa:

domain ng kahulugan: x ∈ 0 ; +∞ . Dahil ang x ay may posibilidad na zero mula sa kanan, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na - ∞;
saklaw: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ang buong hanay ng mga tunay na numero);
ang function na ito ay isang function ng pangkalahatang anyo (ito ay hindi kakaiba o kahit na);
ang logarithmic function ay tumataas para sa x ∈ 0; +∞ ;
ang function ay may convexity para sa x ∈ 0; +∞ ;
walang mga inflection point;
walang mga asymptotes;
function passing point: (1 ; 0) .

Ang mga function ng trigonometric ay sine, cosine, tangent at cotangent. Suriin natin ang mga katangian ng bawat isa sa kanila at ang kaukulang mga graph.

Sa pangkalahatan, ang lahat ng mga function ng trigonometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng pag-aari ng periodicity, i.e. kapag ang mga halaga ng mga function ay paulit-ulit para sa iba't ibang mga halaga ng argumento na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng halaga ng panahon f (x + T) = f (x) (T ang panahon). Kaya, ang item na "hindi bababa sa positibong panahon" ay idinagdag sa listahan ng mga katangian ng trigonometriko function. Bilang karagdagan, ipahiwatig namin ang mga naturang halaga ng argumento kung saan nawawala ang kaukulang function.

Sine function: y = sin(x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na sine wave.

Kahulugan 18

Mga katangian ng pag-andar ng sine:

domain ng kahulugan: ang buong hanay ng mga tunay na numero x ∈ - ∞ ; +∞ ;
nawawala ang function kapag x = π k , kung saan ang k ∈ Z (Z ang set ng integers);
ang function ay tumataas para sa x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z at bumababa para sa x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
ang function ng sine ay may lokal na maxima sa mga puntong π 2 + 2 π · k ; 1 at lokal na minima sa mga puntos - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
ang function ng sine ay malukong kapag x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z at matambok kapag x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
walang asymptotes.

function ng cosine: y=cos(x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na cosine wave.

Kahulugan 19

Mga katangian ng cosine function:

domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
ang pinakamaliit na positibong panahon: T \u003d 2 π;
saklaw: y ∈ - 1 ; isa ;
ang function na ito ay pantay, dahil y (- x) = y (x) ;
ang function ay tumataas para sa x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z at bumababa para sa x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
ang cosine function ay may lokal na maxima sa mga puntos na 2 π · k ; 1 , k ∈ Z at lokal na minima sa mga puntos na π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
ang cosine function ay malukong kapag x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z at matambok kapag x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
Ang mga inflection point ay may mga coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
walang asymptotes.

Tangent function: y = t g (x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag tangentoid.

Kahulugan 20

Mga katangian ng tangent function:

domain ng kahulugan: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , kung saan ang k ∈ Z (Z ay ang hanay ng mga integer);
Ang pag-uugali ng tangent function sa hangganan ng domain ng kahulugan lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + ∞ . Kaya, ang mga linyang x = π 2 + π · k k ∈ Z ay mga patayong asymptotes;
nawawala ang function kapag x = π k para sa k ∈ Z (Z ang set ng integers);
saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
ang function ay tumataas sa - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
ang padaplis function ay malukong para sa x ∈ [ π · k ; π 2 + π k), k ∈ Z at matambok para sa x ∈ (- π 2 + π k ;π k ] , k ∈ Z ;
Ang mga inflection point ay may mga coordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

Cotangent function: y = c t g (x)

Ang graph ng function na ito ay tinatawag na cotangentoid. .

Kahulugan 21

Mga katangian ng cotangent function:

domain ng kahulugan: x ∈ (π k ; π + π k) , kung saan k ∈ Z (Z ang set ng integers);

Pag-uugali ng cotangent function sa hangganan ng domain ng kahulugan lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Kaya, ang mga linyang x = π k k ∈ Z ay mga patayong asymptotes;

ang pinakamaliit na positibong panahon: T \u003d π;
nawawala ang function kapag x = π 2 + π k para sa k ∈ Z (Z ang set ng integers);
saklaw: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
ang function ay bumababa para sa x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
ang cotangent function ay malukong para sa x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z at matambok para sa x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
Ang mga inflection point ay may mga coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
walang mga pahilig at pahalang na asymptotes.

Ang inverse trigonometriko function ay ang arcsine, arccosine, arctangent, at arccotangent. Kadalasan, dahil sa pagkakaroon ng prefix na "arc" sa pangalan, ang mga inverse trigonometric function ay tinatawag na arc function. .

Arcsine function: y = a r c sin (x)

Kahulugan 22

Mga katangian ng arcsine function:

kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
ang arcsine function ay malukong para sa x ∈ 0; 1 at convexity para sa x ∈ - 1 ; 0;
Ang mga inflection point ay may mga coordinate (0 ; 0), ito rin ang zero ng function;
walang asymptotes.

Arccosine function: y = a r c cos (x)

Kahulugan 23

Mga katangian ng pag-andar ng Arccosine:

domain ng kahulugan: x ∈ - 1 ; isa ;
saklaw: y ∈ 0 ; π;
ang function na ito ay may pangkalahatang anyo (ni kahit na o kakaiba);
ang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
ang arccosine function ay malukong para sa x ∈ - 1 ; 0 at convexity para sa x ∈ 0 ; isa ;
Ang mga inflection point ay may mga coordinate 0 ; π2;
walang asymptotes.

Arctangent function: y = a r c t g (x)

Kahulugan 24

Mga katangian ng pag-andar ng Arctangent:

domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
saklaw: y ∈ - π 2 ; π2;
kakaiba ang function na ito dahil y (- x) = - y (x) ;
ang pag-andar ay tumataas sa buong domain ng kahulugan;
ang arctangent function ay malukong para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] at matambok para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
ang inflection point ay may mga coordinate (0; 0), ito rin ang zero ng function;
Ang mga pahalang na asymptote ay mga tuwid na linya y = - π 2 para sa x → - ∞ at y = π 2 para sa x → + ∞ (ang mga asymptotes sa figure ay mga berdeng linya).

Arc cotangent function: y = a r c c t g (x)

Kahulugan 25

Mga katangian ng pag-andar ng arc cotangent:

domain ng kahulugan: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
saklaw: y ∈ (0 ; π);
ang function na ito ay isang pangkalahatang uri;
ang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan;
ang arc cotangent function ay malukong para sa x ∈ [ 0 ; + ∞) at convexity para sa x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
ang inflection point ay may mga coordinate 0; π2;
Ang mga pahalang na asymptote ay mga tuwid na linya y = π sa x → - ∞ (berdeng linya sa drawing) at y = 0 sa x → + ∞.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter