Технические системы. Параметрами технических объектов являются движущие объекты, объекты энергетики, объекты химической промышленности, объекты машиностроения, бытовая техника и многие другие. Объекты технических систем хорошо изучены в теории управления.
Экономические объекты. Экономическими объектами являются: цех, завод, предприятия различных отраслей. В качестве одной из переменных в них выступают экономические показатели - например - прибыль.
Биологические системы. Живые системы поддерживают свою жизнедеятельность благодаря заложенным в них механизмам управления.
Детерминированные и стохастические системы
Если внешние воздействия, приложенные к системе (управляющие и возмущающие) являются определенными известными функциями времени u=f(t). В этом случае состоянии системы описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, в любой момент времени t может быть однозначно описано по состоянию системы в предшествующий момент времени. Системы для которых состояние системы однозначно определяется начальными значениями и может быть предсказано для любого момента времени называются детерминированными.
Стохастические системы - системы изменения в которых носят случайный характер. Например воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных воздействиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в последующий момент времени.
Случайные воздействия могут прикладываться к системе из вне, или возникать внутри некоторых элементов (внутренние шумы). Исследование систем при наличии случайных воздействий можно проводить обычными методами, минимизировав шаг моделирования чтобы не пропустить влияния случайных параметров. При этом так как максимальное значение случайной величины встречается редко (в основном в технике преобладает нормальное распределение), то выбор минимального шага в большинстве моментов времени не будет обоснован.
В подавляющем большинстве случаев при проектировании систем закладываются не максимальным а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае поучается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы системы в отдельные промежутки времени. Например установка катодной защиты.
Расчет систем при случайных воздействиях производится с помощью специальных статистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на основании множества испытаний. Например карта поверхности уровня грунтовых вод СПб.
Статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распределения или плотности вероятности.
Открытые и закрытые системы
Понятие открытой системы ввел Л. фон Берталанфи. Основные отличительные черты открытых систем - способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замкнутые) системы изолированны от внешней среды (с точностью принятой в модели).
Хорошо и плохо организованные системы
Хорошо организованные системы. Представить анализируемый объект или процесс в виде «хорошо организованной системы» означает определить элементы системы, их взаимосвязь, правила объединения в более крупные компоненты, т. е. определить связи между всеми компонентами и целями системы, с точки зрения которых рассматривается объект или ради достижения которых создается система. Проблемная ситуация может быть описана в виде математического выражения, связывающего цель со средствами, т. е. в виде критерия эффективности, критерия функционирования системы, который может быть представлен сложным уравнением или системой уравнений. Решение задачи при представлении ее в виде хорошо организованной системы осуществляется аналитическими методами формализованного представления системы.
Примеры хорошо организованных систем: солнечная система, описывающая наиболее существенные закономерности движения планет вокруг Солнца; отображение атома в виде планетарной системы, состоящей из ядра и электронов; описание работы сложного электронного устройства с помощью системы уравнений, учитывающей особенности условий его работы (наличие шумов, нестабильности источников питания и т. п.).
Для отображения объекта в виде хорошо организованной системы необходимо выделять существенные и не учитывать относительно несущественные для данной цели рассмотрения компоненты: например, при рассмотрении солнечной системы не учитывать метеориты, астероиды и другие мелкие по сравнению с планетами элементы межпланетного пространства.
Описание объекта в виде хорошо организованной системы применяется в тех случаях, когда можно предложить детерминированное описание и экспериментально доказать правомерность его применения, адекватность модели реальному процессу. Попытки применить класс хорошо организованных систем для представления сложных многокомпонентных объектов или многокритериальных задач плохо удаются: они требуют недопустимо больших затрат времени, практически нереализуемы и неадекватны применяемым моделям.
Плохо организованные системы. При представлении объекта в виде «плохо организованной или диффузной системы» не ставится задача определить все учитываемые компоненты, их свойства и связи между ними и целями системы. Система характеризуется некоторым набором макропараметров и закономерностями, которые находятся на основе исследования не всего объекта или класса явлений, а на основе определенней с помощью некоторых правил выборки компонентов, характеризующих исследуемый объект или процесс. На основе такого выборочного исследования получают характеристики или закономерности (статистические, экономические) и распространяют их на всю систему в целом. При этом делаются соответствующие оговорки. Например, при получении статистических закономерностей их распространяют на поведение всей системы с некоторой доверительной вероятностью.
Подход к отображению объектов в виде диффузных систем широко применяется при: описании систем массового обслуживания, определении численности штатов на предприятиях и учреждениях, исследовании документальных потоков информации в системах управления и т. д.
Самоорганизующиеся системы. Отображение объекта в виде самоорганизующейся системы - это подход, позволяющий исследовать наименее изученные объекты и процессы. Самоорганизующиеся системы обладают признаками диффузных систем: стохастичностью поведения, нестационарностью отдельных параметров и процессов. К этому добавляются такие признаки, как непредсказуемость поведения; способность адаптироваться к изменяющимся условиям среды, изменять структуру при взаимодействии системы со средой, сохраняя при этом свойства целостности; способность формировать возможные варианты поведения и выбирать из них наилучший и др. Иногда этот класс разбивают на подклассы, выделяя адаптивные или самоприспосабливающиеся системы, самовосстанавливающиеся, самовоспроизводящиеся и другие подклассы, соответствующие различным свойствам развивающихся систем.
Примеры: биологические организации, коллективное поведение людей, организация управления на уровне предприятия, отрасли, государства в целом, т. е. в тех системах, где обязательно имеется человеческий фактор.
При применении отображения объекта в виде самоорганизующейся системы задачи определения целей и выбора средств, как правило, разделяются. При этом задача выбора целей может быть, в свою очередь, описана в виде самоорганизующейся системы, т. е. структура функциональной части АСУ, структура целей, плана может разбиваться так же, как и структура обеспечивающей части АСУ (комплекс технических средств АСУ) или организационная структура системы управления.
Большинство примеров применения системного анализа основано на представлении объектов в виде самоорганизующихся систем.
1. Детерминированные и вероятностные математические модели в экономике. Преимущества и недостатки
Методы исследования экономических процессов базируются на использовании математических - детерминированных и вероятностных - моделей, представляющих изучаемый процесс, систему или вид деятельности. Такие модели дают количественную характеристику проблемы и служат основой для принятия управленческого решения при поисках оптимального варианта. Насколько обоснованы эти решения, являются ли они лучшими из возможных, учтены ли и взвешены все факторы, определяющие оптимальное решение, каков критерий, позволяющий определить, что данное решение действительно наилучшее, - таков круг вопросов, имеющих большое значение для руководителей производства, и ответ на которые можно найти с помощью методов исследования операций [Чесноков С. В. Детерминационный анализ социально-экономических данных. - М.: Наука, 1982, стр. 45].
Одним из принципов формирования системы управления является метод кибернетических (математических) моделей. Математическое моделирование занимает промежуточное положение между экспериментом и теорией: нет необходимости строить реальную физическую модель системы, ее заменит математическая модель. Особенность формирования системы управления заключается в вероятностном, статистическом подходе к процессам управления. В кибернетике принято, что любой процесс управления подвержен случайным, возмущающим воздействиям. Так, на производственный процесс оказывают влияния большое количество факторов, учесть которые детерминированным образом невозможно. Поэтому считается, что на производственный процесс воздействуют случайные сигналы. В силу этого планирование работы предприятия может быть только вероятностным.
По этим причинам часто, говоря о математическом моделировании экономических процессов, имеют в виду именно вероятностные модели.
Опишем каждый из типов математических моделей.
Детерминированные математические модели характеризуются тем, что описывают связь некоторых факторов с результативным показателем как функциональную зависимость, т. е. в детерминированных моделях результативный показатель модели представлен в виде произведения, частного, алгебраической суммы факторов, или в виде любой другой функции. Данный вид математических моделей наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простыми в применении (по сравнению вероятностными моделями), позволяет осознать логику действия основных факторов развития экономического процесса, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.
Вероятностные математические модели принципиально отличаются от детерминированных тем, что в вероятностных моделях взаимосвязь между факторами и результирующим признаком вероятностная (стохастическая): при функциональной зависимости (детерминированные модели) одному и тому же состоянию факторов соответствует единственное состояние результирующего признака, тогда как в вероятностных моделях одному и тому же состоянию факторов соответствует целое множество состояний результирующего признака [Толстова Ю. Н. Логика математического анализа экономических процессов. - М.: Наука, 2001, с. 32-33].
Преимущество детерминированных моделей в простоте их применения. Основной недостаток - низкая адекватность реальной действительности, т. к., как было отмечено выше, большинство экономических процессов носит вероятностный характер.
Достоинством вероятностных моделей является то, что они, как правило, больше соответствуют реальной действительности (более адекватны), чем детерминированные. Однако, недостатком вероятностных моделей является сложность и трудоемкость их применения, так что во многих ситуациях достаточно бывает ограничиться детерминированными моделями.
Впервые постановка задачи линейного программирования в виде предложения по составлению оптимального плана перевозок; позволяющего минимизировать суммарной километраж, была дана в работе советского экономиста А. Н. Толстого в 1930 году.
Систематические исследования задач линейного программирования и разработка общих методов их решения получили дальнейшее развитие в работах российских математиков Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова и других математиков и экономистов. Также методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных и, прежде всего, американских ученых.
Задача линейного программирования состоит в максимизации (минимизации) линейной функции.
, где
при ограничениях
причем все
Замечание. Неравенства могут быть и противоположного смысла. Умножением соответствующих неравенств на (-1) можно всегда получить систему вида (*).
Если число переменных системы ограничений и целевой функции в математической модели задачи равно 2, то её можно решить графически.
Итак, надо максимизировать функцию
к удовлетворяющей системе ограничений.
Обратимся к одному из неравенств системы ограничений.
С геометрической точки зрения все точки, удовлетворяющие этому неравенству, должны либо лежать на прямой
, либо принадлежать одной из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость этой прямой. Для того чтобы выяснить это, надо проверить какая из них содержит точку ().
Замечание 2. Если
, то проще взять точку (0;0).Условия неотрицательности
также определяют полуплоскости соответственно с пограничными прямыми . Будем считать, что система неравенств совместна, тогда полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы - это множество допустимых решений. Совокупность этих точек (решений) называется многоугольником решений. Он может быть точкой, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью. Таким образом, задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху (снизу). При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим прямую 
(где h - некоторая постоянная). Чаще всего берется прямая . Остается выяснить направление движения данной прямой. Это направление определяется градиентом (антиградиентом) целевой функции.
в каждой точке перпендикулярен прямой , поэтому значение f будет возрастать при перемещении прямой в направлении градиента (убывать в направлении антиградиента). Для этого параллельно прямой проводим прямые, смещаясь в направлении градиента (антиградиента).
Эти построения будем продолжать до тех пор, пока прямая не пройдет через последнюю вершину многоугольника решений. Эта точка определяет оптимальное значение.
Итак, нахождение решения задачи линейного программирования геометрическим методом включает следующие этапы:
Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Находят многоугольник решений.
Строят вектор
.
Строят прямую
.
Строят параллельные прямые
в направлении градиента или антиградиента, в результате чего находят точку, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху (снизу) функции на допустимом множестве.
Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе)
Постановка задачи
Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1, П2, П3, П4; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1, С2, С3, С4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков - не менее b1 единиц; углеводов - не менее b2 единиц; жиров - не менее b3 единиц. Для продуктов П1, П2, П3, П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где aij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) - какие-то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй - номер элемента (белки, углеводы, жиры).
Стохастические модели
Как уже говорилось выше, стохастические модели – это модели вероятностные. При этом в результате расчетов можно сказать с достаточной степенью вероятности, каково будет значение анализируемого показателя при изменении фактора. Самое частое применение стохастических моделей – прогнозирование.
Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам:
- необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);
- необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
- необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).
В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для реализации требует ряда предпосылок:
- наличие совокупности;
- достаточный объем наблюдений;
- случайность и независимость наблюдений;
- однородность;
- наличие распределения признаков, близкого к нормальному;
- наличие специального математического аппарата.
Построение стохастической модели проводится в несколько этапов:
- качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);
- предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);
- построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнения регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);
- оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);
- экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временной устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).
Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа
Корреляционный анализ - совокупность методов математической статистики, позволяющих оценивать коэффициенты, характеризующие корреляцию между случайными величинами, и проверять гипотезы об их значениях на основе расчета их выборочных аналогов.
Корреляционным анализом называется метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными.
Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции .
В наиболее общем виде задача статистики (и, соответственно, экономического анализа) в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.
Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.
Задачи собственнокорреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.
Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.
Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, что дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.
Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.
Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.
Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.
Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.
Парная корреляция
Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы:
| \ Y \ X \ | Y 1 | Y 2 | ... | Y z | Итого | Y i |
| X 1 | f 11 | ... | f 1z | |||
| X 1 | f 21 | ... | f 2z | |||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| X r | f k1 | k2 | ... | f kz | ||
| Итого | ... | n | ||||
| ... | - |
В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака – Х и У. Частоты f ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У.
Если f ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.
Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.
Корреляционным полем называется множество точек {X i , Y i } на плоскости XY (рисунки 6.1 - 6.2).
Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет положительный угол наклона (/), то имеет место положительная корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.1).
Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет отрицательный угол наклона (\), то имеет место отрицательная корреляция (пример изображен на рисунке 6.2).
Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что в этом случае наблюдается нулевая корреляция.
В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х i среднее значение У, т.е. , как
Последовательность точек (X i , ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.
По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.
23 января 2017Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.
Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.
Основные признаки
Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от детерминированной модели, стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:
- Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
- Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
- Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.
Детерминированные и стохастические модели
Для некоторых жизнь представляется чередой случайных событий, для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.
Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.
Видео по теме
В теории хаоса
В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.
Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.
Построение
Стохастическая математическая модель начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.
Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.
Пример
Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:
- Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
- Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
- Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
- Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Концепция и результат
Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.
Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не учитывать, это может иметь катастрофические последствия.
Математические модели в экономике и программировании
1. Детерминированные и вероятностные математические модели в экономике. Преимущества и недостатки
Методы исследования экономических процессов базируются на использовании математических - детерминированных и вероятностных - моделей, представляющих изучаемый процесс, систему или вид деятельности. Такие модели дают количественную характеристику проблемы и служат основой для принятия управленческого решения при поисках оптимального варианта. Насколько обоснованы эти решения, являются ли они лучшими из возможных, учтены ли и взвешены все факторы, определяющие оптимальное решение, каков критерий, позволяющий определить, что данное решение действительно наилучшее, - таков круг вопросов, имеющих большое значение для руководителей производства, и ответ на которые можно найти с помощью методов исследования операций [Чесноков С. В. Детерминационный анализ социально-экономических данных. - М.: Наука, 1982, стр. 45].
Одним из принципов формирования системы управления является метод кибернетических (математических) моделей. Математическое моделирование занимает промежуточное положение между экспериментом и теорией: нет необходимости строить реальную физическую модель системы, ее заменит математическая модель. Особенность формирования системы управления заключается в вероятностном, статистическом подходе к процессам управления. В кибернетике принято, что любой процесс управления подвержен случайным, возмущающим воздействиям. Так, на производственный процесс оказывают влияния большое количество факторов, учесть которые детерминированным образом невозможно. Поэтому считается, что на производственный процесс воздействуют случайные сигналы. В силу этого планирование работы предприятия может быть только вероятностным.
По этим причинам часто, говоря о математическом моделировании экономических процессов, имеют в виду именно вероятностные модели.
Опишем каждый из типов математических моделей.
Детерминированные математические модели характеризуются тем, что описывают связь некоторых факторов с результативным показателем как функциональную зависимость, т. е. в детерминированных моделях результативный показатель модели представлен в виде произведения, частного, алгебраической суммы факторов, или в виде любой другой функции. Данный вид математических моделей наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простыми в применении (по сравнению вероятностными моделями), позволяет осознать логику действия основных факторов развития экономического процесса, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.
Вероятностные математические модели принципиально отличаются от детерминированных тем, что в вероятностных моделях взаимосвязь между факторами и результирующим признаком вероятностная (стохастическая): при функциональной зависимости (детерминированные модели) одному и тому же состоянию факторов соответствует единственное состояние результирующего признака, тогда как в вероятностных моделях одному и тому же состоянию факторов соответствует целое множество состояний результирующего признака [Толстова Ю. Н. Логика математического анализа экономических процессов. - М.: Наука, 2001, с. 32-33].
Преимущество детерминированных моделей в простоте их применения. Основной недостаток - низкая адекватность реальной действительности, т. к., как было отмечено выше, большинство экономических процессов носит вероятностный характер.
Достоинством вероятностных моделей является то, что они, как правило, больше соответствуют реальной действительности (более адекватны), чем детерминированные. Однако, недостатком вероятностных моделей является сложность и трудоемкость их применения, так что во многих ситуациях достаточно бывает ограничиться детерминированными моделями.
2. Постановка задачи линейного программирования на примере задачи о пищевом рационе
Впервые постановка задачи линейного программирования в виде предложения по составлению оптимального плана перевозок; позволяющего минимизировать суммарной километраж, была дана в работе советского экономиста А. Н. Толстого в 1930 году.
Систематические исследования задач линейного программирования и разработка общих методов их решения получили дальнейшее развитие в работах российских математиков Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова и других математиков и экономистов. Также методам линейного программирования посвящено много работ зарубежных и, прежде всего, американских ученых.
Задача линейного программирования состоит в максимизации (минимизации) линейной функции.
при ограничениях
причем все
Замечание. Неравенства могут быть и противоположного смысла. Умножением соответствующих неравенств на (-1) можно всегда получить систему вида (*).
Если число переменных системы ограничений и целевой функции в математической модели задачи равно 2, то её можно решить графически.
Итак, надо максимизировать функцию к удовлетворяющей системе ограничений.
Обратимся к одному из неравенств системы ограничений.
С геометрической точки зрения все точки, удовлетворяющие этому неравенству, должны либо лежать на прямой , либо принадлежать одной из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость этой прямой. Для того чтобы выяснить это, надо проверить какая из них содержит точку ().
Замечание 2. Если , то проще взять точку (0;0).
Условия неотрицательности также определяют полуплоскости соответственно с пограничными прямыми . Будем считать, что система неравенств совместна, тогда полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты которых являются решением данной системы - это множество допустимых решений. Совокупность этих точек (решений) называется многоугольником решений. Он может быть точкой, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью. Таким образом, задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху (снизу). При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим прямую (где h - некоторая постоянная). Чаще всего берется прямая . Остается выяснить направление движения данной прямой. Это направление определяется градиентом (антиградиентом) целевой функции.
Вектор в каждой точке перпендикулярен прямой , поэтому значение f будет возрастать при перемещении прямой в направлении градиента (убывать в направлении антиградиента). Для этого параллельно прямой проводим прямые, смещаясь в направлении градиента (антиградиента).
Эти построения будем продолжать до тех пор, пока прямая не пройдет через последнюю вершину многоугольника решений. Эта точка определяет оптимальное значение.
Итак, нахождение решения задачи линейного программирования геометрическим методом включает следующие этапы:
Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
Находят многоугольник решений.
Строят вектор .
Строят прямую .
Строят параллельные прямые в направлении градиента или антиградиента, в результате чего находят точку, в которой функция принимает максимальное или минимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху (снизу) функции на допустимом множестве.
Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе)
Постановка задачи
Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1, П2, П3, П4; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1, С2, С3, С4. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков - не менее b1 единиц; углеводов - не менее b2 единиц; жиров - не менее b3 единиц. Для продуктов П1, П2, П3, П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где aij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) - какие-то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй - номер элемента (белки, углеводы, жиры).