V procese štúdia kurzu geometrie sa pojmy „uhol“, „vertikálne uhly“, „ susedné uhly“ sa nachádzajú pomerne často. Pochopenie každého z výrazov vám pomôže pochopiť problém a správne ho vyriešiť. Čo sú susedné uhly a ako ich určiť?
Susedné uhly - definícia pojmu
Pojem „susedné uhly“ charakterizuje dva uhly tvorené spoločným lúčom a dve ďalšie polpriamky ležiace na tej istej priamke. Všetky tri lúče vychádzajú z toho istého bodu. Spoločná polpriamka je súčasne stranou jedného aj druhého uhla.
Susedné uhly - základné vlastnosti
1. Na základe formulácie susedných uhlov je ľahké si všimnúť, že súčet takýchto uhlov vždy tvorí opačný uhol, ktorého miera stupňov je 180°:
- Ak sú μ a η susedné uhly, potom μ + η = 180°.
- Keď poznáte veľkosť jedného zo susedných uhlov (napríklad μ), môžete ľahko vypočítať mieru druhého uhla (η) pomocou výrazu η = 180° – μ.
2. Táto nehnuteľnosť uhly nám umožňuje vyvodiť nasledujúci záver: uhol, ktorý susedí pravý uhol, bude tiež priamy.
3. Zvažovanie goniometrické funkcie(sin, cos, tg, ctg) na základe redukčných vzorcov pre susedné uhly μ a η platí:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Susedné uhly - príklady
Príklad 1
Je daný trojuholník s vrcholmi M, P, Q – ΔMPQ. Nájdite uhly susediace s uhlami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Predĺžime každú stranu trojuholníka rovnou čiarou.
- Keď vieme, že susedné uhly sa navzájom dopĺňajú až do opačného uhla, zistíme, že:
vedľa uhla ∠QMP je ∠LMP,
vedľa uhla ∠MPQ je ∠SPQ,
susediaci s uhlom ∠PQM je ∠HQP.
Príklad 2
Hodnota jedného susedného uhla je 35°. Aká je miera druhého susedného uhla?
- Dva susedné uhly tvoria spolu 180°.
- Ak ∠μ = 35°, potom susediace s ním ∠η = 180° – 35° = 145°.
Príklad 3
Určte hodnoty susedných uhlov, ak je známe, že miera stupňa jedného z nich je trikrát väčšia ako miera stupňa druhého uhla.
- Označme veľkosť jedného (menšieho) uhla – ∠μ = λ.
- Potom, podľa podmienok úlohy, bude hodnota druhého uhla rovná ∠η = 3λ.
- Na základe základnej vlastnosti susedných uhlov nasleduje μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
A = 180°/4 = 45°.
To znamená, že prvý uhol je ∠μ = λ = 45° a druhý uhol je ∠η = 3λ = 135°.
Schopnosť používať terminológiu, ako aj znalosť základných vlastností susedných uhlov vám pomôže vyriešiť mnohé geometrické problémy.
V tejto lekcii sa pozrieme na koncept susedných uhlov a pochopíme ich. Zoberme si vetu, ktorá sa ich týka. Predstavme si pojem „vertikálne uhly“. Pozrime sa na niekoľko podporných faktov o týchto uhloch. Ďalej sformulujeme a dokážeme dva dôsledky o uhle medzi osami vertikálnych uhlov. Na konci lekcie sa pozrieme na niekoľko problémov na túto tému.
Začnime našu lekciu konceptom „susedných uhlov“. Obrázok 1 ukazuje rozvinutý uhol ∠AOC a lúč OB, ktorý rozdeľuje tento uhol na 2 uhly.
Ryža. 1. Uhol ∠AOC
Uvažujme uhly ∠AOB a ∠BOC. Je celkom zrejmé, že majú spoločná strana VO a strany AO a OS sú opačné. Lúče OA a OS sa navzájom dopĺňajú, čo znamená, že ležia na rovnakej priamke. Uhly ∠AOB a ∠BOC susedia.
Definícia: Ak majú dva uhly spoločnú stranu a ostatné dve strany sú komplementárne lúče, potom sa tieto uhly nazývajú priľahlé.
Veta 1: Súčet susedných uhlov je 180 o.
Ryža. 2. Kresba pre vetu 1
∠MOL + ∠LON = 180 o. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože lúč OL rozdeľuje rozvinutý uhol ∠MON na dva susedné uhly. To znamená, že nepoznáme miery žiadneho zo susedných uhlov, ale poznáme len ich súčet – 180 stupňov.
Zvážte priesečník dvoch čiar. Obrázok ukazuje priesečník dvoch čiar v bode O.
Ryža. 3. Vertikálne uhly ∠ВОА a ∠СOD
Definícia: Ak sú strany jedného uhla pokračovaním druhého uhla, potom sa takéto uhly nazývajú vertikálne. To je dôvod, prečo obrázok ukazuje dva páry vertikálnych uhlov: ∠AOB a ∠COD, ako aj ∠AOD a ∠BOC.
Veta 2: Vertikálne uhly sú rovnaké.
Použijeme obrázok 3. Uvažujme uhol natočenia ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Uvažujme uhol natočenia ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.
Z týchto úvah usudzujeme, že ∠AOB = ∠COD = α. Podobne ∠AOD = ∠BOS = β.
Dôsledok 1: Uhol medzi osami susedných uhlov je 90°.
Ryža. 4. Nákres pre záver 1
Keďže OL je osou uhla ∠BOA, potom uhol ∠LOB = , podobne ako ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, pretože tieto uhly susedia.
Dôsledok 2: Uhol medzi osami vertikálnych uhlov sa rovná 180°.
Ryža. 5. Nákres pre záver 2
KO je os ∠AOB, LO je os ∠COD. Je zrejmé, že ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Súčet uhlov α + β sa rovná 180°, keďže tieto uhly spolu susedia.
Pozrime sa na niektoré úlohy:
Nájdite uhol susediaci s ∠AOC, ak ∠AOC = 111 o.
Urobme nákres pre úlohu:
Ryža. 6. Kreslenie napríklad 1
Pretože ∠AOC = β a ∠COD = α sú susedné uhly, potom α + β = 180 o. To znamená, že 111 o + β = 180 o.
To znamená β = 69 o.
Tento typ úlohy využíva vetu o súčte susedných uhlov.
Jeden zo susedných uhlov je pravý, aký je druhý uhol (ostrý, tupý alebo pravý)?
Ak je jeden z uhlov pravý a súčet týchto dvoch uhlov je 180°, potom je aj druhý uhol pravý. Tento problém testuje znalosti o súčte susedných uhlov.
Je pravda, že ak sú susedné uhly rovnaké, potom sú to pravé uhly?
Zostavme rovnicu: α + β = 180 o, ale keďže α = β, potom β + β = 180 o, čo znamená β = 90 o.
Odpoveď: Áno, tvrdenie je pravdivé.
Sú dané dva rovnaké uhly. Je pravda, že uhly susediace s nimi budú tiež rovnaké?
Ryža. 7. Kreslenie napríklad 4
Ak sa dva uhly rovnajú α, potom ich zodpovedajúce susedné uhly budú 180 o - α. To znamená, že si budú navzájom rovní.
Odpoveď: Výrok je správny.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a iné Geometria 7. - M.: Vzdelávanie.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a iné Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
- \Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.
- Meranie segmentov ().
- Všeobecná lekcia o geometrii v 7. ročníku ().
- Rovná čiara, segment ().
- č.13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzová, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, spracoval V.A. Sadovnichigo. - M.: Vzdelávanie, 2010.
- Nájdite dva susedné uhly, ak je jeden 4-krát väčší ako druhý.
- Vzhľadom na uhol. Zostrojte pre ňu susedné a vertikálne uhly. Koľko takýchto uhlov možno zostrojiť?
- * V akom prípade sa získa viac párov vertikálnych uhlov: keď sa tri priamky pretínajú v jednom bode alebo v troch bodoch?
Známa hodnota hlavného uhla α1 = α2 = 180°-α.
Z tohto sú . Ak sú dva uhly susedné a rovnaké, potom sú to pravé uhly. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, teda 90 stupňov, potom je pravý aj druhý uhol. Ak je jeden zo susedných uhlov ostrý, druhý bude tupý. Podobne, ak je jeden z uhlov tupý, potom bude druhý ostrý.
Ostrý uhol je taký, ktorého miera stupňov je menšia ako 90 stupňov, ale väčšia ako 0. Tupý uhol má mieru väčšiu ako 90 stupňov, ale menšiu ako 180.
Ďalšia vlastnosť susedných uhlov je formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú. To znamená, že ak existujú dva uhly, pre ktoré je miera stupňov rovnaká (napríklad je 50 stupňov) a zároveň jeden z nich má susedný uhol, potom sa hodnoty týchto susedných uhlov tiež zhodujú ( v tomto príklade sa ich miera stupňov bude rovnať 130 stupňom).
Zdroje:
- Veľký encyklopedický slovník - Priľahlé uhly
- uhol 180 stupňov
Slovo "" má rôzne interpretácie. V geometrii je uhol časť roviny ohraničená dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu - vrcholu. Keď hovoríme o priamych, ostrých a rozvinutých uhloch, máme na mysli geometrické uhly.
Ako všetky tvary v geometrii, aj uhly možno porovnávať. Rovnosť uhlov sa určuje pomocou pohybu. Je ľahké rozdeliť uhol na dve rovnaké časti. Rozdelenie na tri časti je trochu náročnejšie, ale aj tak sa to dá pomocou pravítka a kružidla. Mimochodom, táto úloha sa zdala dosť náročná. Popísať, že jeden uhol je väčší alebo menší ako iný, je geometricky jednoduché.
Jednotkou merania uhlov je 1/180 rozvinutého uhla. Veľkosť uhla je číslo označujúce, do akej miery uhol zvolený ako merná jednotka zapadá do príslušného čísla.
Každý uhol má mieru stupňa, väčší ako nula. Priamy uhol je 180 stupňov. Miera stupňov uhla sa považuje za rovnú súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom v rovine ohraničenej jeho stranami.
Uhol, ktorého miera určitého stupňa nepresahuje 180, môže byť vykreslený z ľubovoľného lúča do danej roviny. Navyše bude existovať iba jeden takýto uhol. Zmerajte plochý uhol, ktorá je súčasťou polroviny, sa považuje za mieru stupňa uhla s podobnými stranami. Mierou roviny uhla obsahujúceho polrovinu je hodnota 360 – α, kde α je miera stupňa doplnkového rovinného uhla.
Miera stupňa uhla umožňuje prejsť od geometrického popisu k číselnému. Takže pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom, tupý uhol je uhol menší ako 180 stupňov, ale väčší ako 90, ostrý uhol nepresahuje 90 stupňov.
Okrem stupňov existuje aj radiánová miera uhla. V planimetrii je dĺžka L, polomer r a zodpovedajúci stredový uhol je α. Navyše tieto parametre sú spojené vzťahom α = L/r. Toto je základ radiánovej miery uhlov. Ak L=r, potom sa uhol α bude rovnať jednému radiánu. Radiánová miera uhla je teda pomer dĺžky oblúka nakresleného s ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k polomeru oblúka. Úplná rotácia v stupňoch (360 stupňov) zodpovedá 2π v radiánoch. Jedna je 57,2958 stupňov.
Video k téme
Zdroje:
- stupeň miera uhlov vzorec
Dva uhly umiestnené na rovnakej priamke a majúce rovnaký vrchol sa nazývajú susedné.
V opačnom prípade, ak sa súčet dvoch uhlov na jednej priamke rovná 180 stupňom a majú jednu stranu spoločnú, ide o susedné uhly.
1 susedný uhol + 1 susedný uhol = 180 stupňov.
Susedné uhly sú dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ostatné dve strany vo všeobecnosti tvoria priamku.
Súčet dvoch susedných uhlov je vždy 180 stupňov. Napríklad, ak je jeden uhol 60 stupňov, potom druhý bude nevyhnutne rovný 120 stupňom (180-60).
Uhly AOC a BOC sú susedné uhly, pretože sú splnené všetky podmienky pre charakteristiky susedných uhlov:
1.OS - spoločná strana dvoch rohov
2.AO - strana rohu AOS, OB - strana rohu BOS. Tieto strany spolu tvoria priamku AOB.
3. Existujú dva uhly a ich súčet je 180 stupňov.
Keď si pamätáme kurz školskej geometrie, môžeme o susedných uhloch povedať nasledovné:
susedné uhly majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany patria k tej istej priamke, to znamená, že sú na tej istej priamke. Ak podľa obrázku, potom uhly SOV a BOA sú susedné uhly, ktorých súčet sa vždy rovná 180, pretože delia priamy uhol a priamy uhol sa vždy rovná 180.
Susedné uhly sú v geometrii jednoduchým konceptom. Susedné uhly, uhol plus uhol, tvoria spolu 180 stupňov.
Dva susedné uhly budú jedným rozvinutým uhlom.
Existuje niekoľko ďalších nehnuteľností. So susednými uhlami sa problémy ľahko riešia a vety sa dajú ľahko dokázať.
Susedné uhly sa vytvárajú nakreslením lúča z ľubovoľného bodu na priamke. Potom sa tento ľubovoľný bod ukáže ako vrchol uhla, lúč je spoločnou stranou susedných uhlov a priamka, z ktorej je lúč nakreslený, sú dve zostávajúce strany susedných uhlov. Susedné uhly môžu byť rovnaké v prípade kolmice, alebo rôzne v prípade nakloneného nosníka. Je ľahké pochopiť, že súčet susedných uhlov sa rovná 180 stupňom alebo jednoducho priamke. Ďalší spôsob, ako vysvetliť tento uhol, je jednoduchý príklad- najprv ste išli jedným smerom po priamke, potom ste si to rozmysleli, rozhodli ste sa vrátiť a po otočení o 180 stupňov ste sa vydali po tej istej priamke opačným smerom.
Čo je teda susedný uhol? Definícia:
Dva uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou sa nazývajú susedné a ďalšie dve strany týchto uhlov ležia na rovnakej priamke.
A krátke video lekcia, kde sa rozumne ukazuje o susedných uhloch, vertikálnych uhloch plus o kolmých čiarach, ktoré sú špeciálnym prípadom susedných a vertikálnych uhlov
Susedné uhly sú uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a druhá je jedna čiara.
Susedné uhly sú uhly, ktoré na sebe závisia. To znamená, že ak je spoločná strana mierne otočená, potom sa jeden uhol zníži o niekoľko stupňov a automaticky sa druhý uhol zväčší o rovnaký počet stupňov. Táto vlastnosť susedných uhlov umožňuje riešiť rôzne problémy v geometrii a vykonávať dôkazy rôznych teorémov.
Celkový súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.
Z kurzu geometrie, (pokiaľ si pamätám v 6. ročníku), sa dva uhly nazývajú susedné, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany sú dodatočné lúče, súčet susedných uhlov je 180. Každý z týchto dvoch priľahlé uhly dopĺňajú ostatné k rozšírenému uhlu. Príklad susedných uhlov:
Susedné uhly sú dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov. Vo všeobecnosti sa to všetko dá veľmi ľahko nájsť v Google alebo v učebnici geometrie.
Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú spoločný vrchol a jednu stranu a ďalšie dve strany tvoria priamku. Súčet susedných uhlov je 180 stupňov.
Na obrázku sú uhly AOB a BOC priľahlé.
Susedné uhly sú tie, ktoré majú spoločný vrchol, jednu spoločnú stranu a ostatné strany sú pokračovaním jeden druhého a tvoria predĺžený uhol. Pozoruhodnou vlastnosťou susedných uhlov je, že súčet týchto uhlov sa vždy rovná 180 stupňom.
Uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou v geometrii sa nazývajú susedné
Súčet susedných uhlov je 180 stupňov
Treba poznamenať, že susedné uhly majú rovnaké sínusy
Ak sa chcete dozvedieť viac o susedných uhloch, prečítajte si tu
KAPITOLA I.
ZÁKLADNÉ POJMY.
§jedenásť. PRIľahlé a zvislé rohy.
1. Susedné uhly.
Ak predĺžime stranu ľubovoľného uhla za jeho vrchol, dostaneme dva uhly (obr. 72): / A slnko a / SVD, v ktorom je jedna strana BC spoločná a ďalšie dve A a BD tvoria priamku.
Dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ďalšie dve tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.
Susedné uhly môžeme získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neleží na danej priamke), získame susedné uhly.
Napríklad, /
ADF a /
FDВ - susedné uhly (obr. 73).
Susedné uhly môžu mať rôzne polohy (obr. 74).
Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže umma dvoch susedných uhlov je rovnaké 2d.
Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.
Keď poznáme veľkosť jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť veľkosť druhého uhla, ktorý k nemu susedí.
Napríklad, ak je jeden zo susedných uhlov 3/5 d, potom sa druhý uhol bude rovnať:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Vertikálne uhly.
Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.
Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú pokračovaním strán druhého uhla.
Nechaj / 1 = 7 / 8 d(Obrázok 76). Susedí s ním / 2 sa bude rovnať 2 d- 7 / 8 d t.j. 1 1/8 d.
Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú /
3 a /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Obrázok 77).
To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.
Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.
Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.
Platnosť vlastností zvislých uhlov je potrebné overovať zdôvodnením, dôkazom.
Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):
/
a+/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(keďže súčet susedných uhlov je 2 d).
/ a+/ c = / b+/ c
(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa tiež rovná 2 d a jeho pravá strana sa tiež rovná 2 d).
Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol S.
Ak odpočítame rovnaké množstvá od rovnakých množstiev, zostanú rovnaké množstvá. Výsledkom bude: / a = / b t.j. vertikálne uhly sú si navzájom rovné.
Pri zvažovaní problematiky vertikálnych uhlov sme si najskôr vysvetlili, ktoré uhly sa nazývajú vertikálne, t.j. definícia vertikálne uhly.
Potom sme urobili úsudok (výrok) o rovnosti vertikálnych uhlov a presvedčili sme sa o platnosti tohto úsudku prostredníctvom dôkazu. Takéto rozsudky, ktorých platnosť musí byť preukázaná, sú tzv teorémy. V tejto časti sme teda uviedli definíciu vertikálnych uhlov a tiež sme uviedli a dokázali vetu o ich vlastnostiach.
V budúcnosti sa pri štúdiu geometrie budeme musieť neustále stretávať s definíciami a dôkazmi viet.
3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.
Na výkrese 79 /
1, /
2, /
3 a /
4 sú umiestnené na jednej strane priamky a majú spoločný vrchol na tejto priamke. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Na výkrese 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 majú spoločný vrchol. Súčet týchto uhlov je plný uhol, t.j. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Cvičenia.
1. Jeden zo susedných uhlov je 0,72 d. Vypočítajte uhol, ktorý zvierajú osy týchto susedných uhlov.
2. Dokážte, že osy dvoch susedných uhlov tvoria pravý uhol.
3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.
4. Koľko párov susedných uhlov je na obrázku 81?
5. Môže sa dvojica susediacich uhlov skladať z dvoch ostrých uhlov? z dvoch tupých uhlov? z pravého a tupého uhla? z pravého a ostrého uhla?
6. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, čo potom možno povedať o veľkosti uhla, ktorý k nemu susedí?
7. Ak je v priesečníku dvoch priamok jeden uhol pravý, čo potom možno povedať o veľkosti ostatných troch uhlov?