odpoveď: Hyperbolické funkcie – rodina elementárne funkcie vyjadrené z hľadiska exponenciálneho a úzko súvisiaceho s goniometrické funkcie. Hyperbolické funkcie zaviedol Vincenzo Riccati v roku 1757 (Opusculorum, zväzok I). Získal ich z uvažovania o jedinej hyperbole.
Ďalšie skúmanie vlastností hyperbolických funkcií uskutočnil Lambert. S hyperbolickými funkciami sa často stretávame pri výpočte rôznych integrálov. Niektoré integrály z racionálne funkcie a z funkcií obsahujúcich radikály sa dajú pomerne ľahko vykonať prostredníctvom zmien premenných pomocou hyperbolických funkcií. Deriváty hyperbolických funkcií sa dajú ľahko nájsť, pretože hyperbolické funkcie sú kombinácie. Napríklad hyperbolický sínus a kosínus sú definované ako 
Deriváty týchto funkcií majú tvar 
Hyperbolické funkcie sú dané nasledujúcimi vzorcami: 1) hyperbolický sínus: 
(v zahraničnej literatúry označovaný sinx); 2) hyperbolický kosínus: 
(v zahraničnej literatúre sa označuje ako cosx); 3) hyperbolický tangens: 
(v zahraničnej literatúre sa označuje ako tanx); 4) hyperbolický kotangens: 
; 5) hyperbolický sekans a kosekans: 
Geometrická definícia: Vzhľadom na vzťah poskytujú hyperbolické funkcie parametrickú reprezentáciu hyperboly. V tomto prípade je argument t=2S, kde S je plocha krivočiareho trojuholníka OQR, braná s „ znamienko +” ak sektor leží nad osou OX a znamienko “−” v opačnom prípade. Táto definícia je analogická s definíciou goniometrických funkcií z hľadiska jednotkovej kružnice, ktorú možno tiež zostrojiť podobným spôsobom. Súvislosť s goniometrickými funkciami: Hyperbolické funkcie sú vyjadrené ako goniometrické funkcie imaginárneho argumentu. Analytické vlastnosti: Hyperbolický sínus a hyperbolický kosínus sú analytické v celej komplexnej rovine, okrem esenciálneho singulárneho bodu v nekonečne.
Tabuľka derivátov.
odpoveď:
Tabuľka derivátov (ktoré potrebujeme hlavne): 
46) Derivácia funkcie je daná parametricky.
odpoveď:
Nech je daná závislosť dvoch premenných x a y od parametra t premenného v rámci od. Nech má funkcia inverznú funkciu: 
Potom môžeme tým, že vezmeme zloženie funkcií 
získajte závislosť y od x: 
Závislosť hodnoty y od hodnoty x, danú parametricky, možno vyjadriť pomocou derivácií funkcií, pretože podľa vzorca pre deriváciu inverznej funkcie, 
kde je hodnota parametra, pri ktorej získame hodnotu x, ktorá nás pri výpočte derivácie zaujíma. Všimnite si, že aplikácia vzorca nás vedie k vzťahu medzi, opäť vyjadrenému ako parametrický vzťah: 
druhý z týchto vzťahov je rovnaký ako pri parametrickej špecifikácii funkcie y(x) . Napriek tomu, že derivácia v tomto nie je explicitne vyjadrená, nebráni nám to v riešení problémov súvisiacich s hľadaním derivácie nájdením zodpovedajúcej hodnoty parametra t. Ukážme si to na nasledujúcom príklade. Príklad 4.22: Závislosť medzi x a y nech je daná parametricky nasledujúcimi vzorcami: Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu závislosti y(x) v bode Hodnoty získame, ak vezmeme t=1. Nájdite derivácie x a y vzhľadom na parameter t: Preto 
Pri t=1 dostaneme hodnotu derivácie, túto hodnotu nastavuje sklon k požadovanej dotyčnice. Súradnice 
dotykové body sú špecifikované vo vyhlásení o probléme. Dotyková rovnica je teda nasledovná: Všimnite si, že na základe získanej parametrickej závislosti môžeme nájsť druhú deriváciu funkcie y vzhľadom na premennú x: 
Referenčné údaje o hyperbolických funkciách. Definície, grafy a vlastnosti hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Vzorce pre sumy, rozdiely a produkty. Derivácie, integrály, rozšírenia radov. Výrazy z hľadiska goniometrických funkcií.
Definície hyperbolických funkcií, ich oblasti definícií a hodnôt
sh x - hyperbolický sínus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hyperbolický kosínus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ r< +∞ .
th x - hyperbolická dotyčnica
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hyperbolický kotangens
X≠ 0; r< -1 или y > +1 .
Grafy hyperbolických funkcií
Graf hyperbolického sínusu y = sh x
Graf hyperbolického kosínusu y = ch x
Graf hyperbolickej dotyčnice y= Vďaka
Graf hyperbolického kotangens y= cth x
Vzorce s hyperbolickými funkciami
Vzťah k goniometrickým funkciám
sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Tu je i imaginárna jednotka, i 2 = - 1
.
Aplikovaním týchto vzorcov na goniometrické funkcie získame vzorce týkajúce sa hyperbolických funkcií.
Parita
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkcia ch(x)- dokonca. Funkcie sh(x), Vďaka), cth(x)- zvláštny.
Rozdiel štvorcov
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Vzorce pre súčet a rozdiel argumentov
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 kanály 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Vzorce pre produkty hyperbolického sínusu a kosínusu
,
,
,
,
,
.
Vzorce pre súčet a rozdiel hyperbolických funkcií
,
,
,
,
.
Vzťah hyperbolického sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom
,
,
,
.
Deriváty
,
Integrály sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Rozšírenia do sérií
sh x
ch x
Vďaka
cth x
Inverzné funkcie
Areasine
Pri - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakozín
o 1 ≤ x< ∞
a 0 ≤ r< ∞
existujú vzorce:
,
.
Druhá vetva areacosine sa nachádza na 1 ≤ x< ∞
a - ∞< y ≤ 0
:
.
Areatangent
o - 1
< x < 1
a - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakotangens
Pri - ∞< x < - 1
alebo 1
< x < ∞
a y ≠ 0
existujú vzorce:
,
.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
Hyperbolické funkcie sa nachádzajú v mechanike, elektrotechnike a iných technických disciplínach. Mnohé vzorce pre hyperbolické funkcie sú podobné vzorcom pre goniometrické funkcie, s výnimkou vlastnosti ohraničenosti.
| № | Funkcia | názov | Derivát  |
| 1. |  | hyperbolický sínus |  |
| 2. |  | hyperbolický kosínus |  |
| 3. |  | hyperbolická dotyčnica |  |
| 4. |  | hyperbolický kotangens |  |
Vzorce pre hyperbolické funkcie
1. 
.
Dôkaz. Zvážte požadovaný rozdiel
. .
Dôkaz. Zvážte produkt
.
Zvážte produkt 
.
Pridávame dva produkty a dávame podobné:
Spojením začiatku a konca získame požadovanú rovnosť: .
Existuje mnoho ďalších vlastností hyperbolických funkcií podobných vlastnostiam goniometrických funkcií, ktoré sa dokazujú podobne.
Dokážme vzorce pre derivácie hyperbolických funkcií.
1. Uvažujme hyperbolický sínus 
.
Pri hľadaní derivácie odoberieme konštantu zo znamienka derivácie. Ďalej aplikujeme vlastnosť derivácie rozdielu dvoch funkcií a . Z tabuľky derivácií nájdeme deriváciu funkcie: 
. Deriváciu funkcie hľadáme ako deriváciu komplexná funkcia 
.
Preto derivát 
.
Spojením začiatku a konca získame požadovanú rovnosť: 
.
2. Uvažujme hyperbolický kosínus .
Plne aplikujeme predchádzajúci algoritmus, len namiesto vlastnosti na derivácii rozdielu dvoch funkcií použijeme vlastnosť na derivácii súčtu týchto dvoch funkcií. 
.
Spojením začiatku a konca získame požadovanú rovnosť: 
.
3. Uvažujme hyperbolický tangens .
Deriváciu nájdeme podľa pravidla na nájdenie derivácie zlomku.
4. Derivácia hyperbolického kotangens
možno nájsť ako deriváciu komplexnej funkcie 
.
Spojením začiatku a konca získame požadovanú rovnosť: 
.
Funkčný diferenciál
Nechajte funkciu 
je diferencovateľný v bode , potom jeho prírastok tejto funkcie v bode zodpovedajúci prírastku argumentu môže byť reprezentovaný ako
kde je nejaké číslo, ktoré nezávisí od , a je funkciou argumentu , ktorý je nekonečne malý na 
.
Teda prírastok funkcie je súčet dvoch nekonečne malých členov 
a 
. Ukázalo sa, že druhý termín 
je infinitezimálna funkcia vyššieho rádu ako t.j. (pozri 8.1). Preto prvý termín 
je hlavná lineárna časť prírastku funkcie . V poznámke 8.1. ďalší vzorec (8.1.1) sa získa pre prírastok funkcie , a to: . (8.1.1)
Definícia 8.3 Diferenciál funkcie v bode sa nazýva domov lineárna časť jeho prírastok, ktorý sa rovná súčinu derivátu 
v tomto bode ľubovoľným prírastkom argumentu a označuje sa (alebo 
):
(8.4)
Funkčný diferenciál tiež nazývaný diferenciál prvého rádu.
Diferenciál nezávislej premennej je ľubovoľné číslo nezávislé od . Najčastejšie sa za toto číslo berie prírastok premennej, t.j. 
. To súhlasí s pravidlom (8.4) na nájdenie diferenciálu funkcie
Zvážte funkciu 
a nájdite jeho rozdiel.
Pretože derivát 
. Takto sme dostali: 
a funkčným diferenciálom možno nájsť pomocou vzorca
. (8.4.1)
Poznámka 8.7. Zo vzorca (8.4.1) vyplýva, že. 
Zápis teda možno chápať nielen ako zápis pre derivát 
, ale aj ako pomer diferenciálov závislých a nezávislých premenných.
8.7. Geometrický význam diferenciálu funkcie
Nech je graf funkcie 
ťahaná (pozri obr. 8.1) dotyčnica . Bodka 
je na grafe funkcie a má úsečku - . Dávame ľubovoľný prírastok taký, že bod 
nie je mimo rozsahu funkcie .
Obrázok 8.1 Obrázok grafu funkcie
Bod má súradnice 
. oddiel 
. Bod leží na dotyčnici ku grafu funkcie a má abscisu . Z obdĺžnikového 
z toho vyplýva, že kde uhol je uhol medzi kladným smerom osi a dotyčnicou nakreslenou ku grafu funkcie v bode . Podľa definície funkčného diferenciálu a geometrický význam derivácie funkcie v bode sme dospeli k záveru, že 
. Touto cestou, geometrický význam funkčný diferenciál spočíva v tom, že diferenciál je prírastok ordináty dotyčnice ku grafu funkcie v bode .
Poznámka 8.8. Diferenciál a prírastok pre ľubovoľnú funkciu , vo všeobecnosti nie sú navzájom rovné. Vo všeobecnom prípade je rozdiel medzi prírastkom a diferenciálom funkcie infinitezimálnym vyšším rádom malosti ako prírastok argumentu. Z definície 8.1 to vyplýva 
, t.j. 
.
Na obrázku 8.1 bod leží na grafe funkcie a má súradnice 
. Sekcia .
Na obrázku 8.1 je nerovnosť 
, t.j. 
. Ale sú prípady, keď je opačná nerovnosť pravdivá 
. Toto sa robí pre lineárna funkcia a pre hore konvexnú funkciu.
Sú uvedené definície inverzných hyperbolických funkcií a ich grafy. Rovnako ako vzorce spájajúce inverzné hyperbolické funkcie - vzorce pre súčty a rozdiely. Výrazy z hľadiska goniometrických funkcií. Derivácie, integrály, rozšírenia radov.
Definície inverzných hyperbolických funkcií, ich oblasti definícií a hodnôt
arsh x - inverzný hyperbolický sínus
Inverzný hyperbolický sínus (areazín), je inverzná funkcia hyperbolického sínusu ( x= sh y) , s doménou -∞< x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .
Areaine sa striktne zvyšuje na celej číselnej osi.
oblúk x - inverzný hyperbolický kosínus
Inverzný hyperbolický kosín (areakozín), je inverzná funkcia hyperbolického kosínusu ( x= ch y) , ktorý má doménu definície 1 ≤ x< +∞ a mnoho hodnôt 0 ≤ r< +∞ .
Areakozín sa vo svojej oblasti definície striktne zvyšuje.
Druhá vetva areakozínu je tiež definovaná pre x ≥ 1
a je umiestnený symetricky okolo osi x, - ∞< y ≤ 0
:
. Striktne klesá v oblasti definície.
arth x - inverzná hyperbolická dotyčnica
Inverzná hyperbolická dotyčnica (areatangens), je inverzná funkcia hyperbolickej dotyčnice ( x= tvoj) , ktorý má doménu definície - 1 < x < 1 a množina hodnôt -∞< y < +∞ .
Oblasť dotyčnice sa striktne zvyšuje vo svojej doméne definície.
oblúk x - inverzný hyperbolický kotangens
Inverzný hyperbolický kotangens (areakotangens), je inverzná funkcia hyperbolického kotangens ( x= cth y) , ktorý má doménu |x| > 1 a súbor hodnôt y ≠ 0 .
Plošný kotangens striktne klesá vo svojej doméne definície.
Graf inverzného hyperbolického sínusu (plocha) y = arsh x
Graf inverzného hyperbolického kosínusu (areakozínu) y = oblúk x , x ≥ 1
Bodkovaná čiara znázorňuje druhú vetvu arecosinu.
Graf inverznej hyperbolickej dotyčnice (areatangens) y = arth x , |x|< 1
Graf inverznej hyperbolickej kotangens (areakotangens) y = oblúk x , |x| > 1
Vzorce s inverznými hyperbolickými funkciami
Vzťah k goniometrickým funkciám
Arsh iz = i Arcsin z;
Arch z = i Arccos z;
Arcsin iz = i Arsh z;
Arccos z = - i Arch z;
Arth iz = i Arctg z;
Arcth iz = - i Arcctg z;
Arctg iz = i Arth z;
Arcctg iz = - i Arcth z;
Tu je i imaginárna jednotka, i 2 = - 1
.
Parita
arsh(-x) = - arsh x;
oblúk(-x) ≠ oblúk x;
arth(-x) = - arth x;
oblúk (-x) = - oblúk x.
Funkcie arsh(x), arth(x), oblúk (x)- zvláštny. Funkcia oblúk(x)- nie je párne ani nepárne.
Vzťahové vzorce pre inverzné hyperbolické sínusy cez dotyčnice a kosínusy cez kotangens
;
;
;
.
Vzorce súčtu a rozdielu
;
;
;
.
Deriváty inverzných hyperbolických funkcií
;
.
Integrály arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Na výpočet integrálu hyperbolického inverzného sínusu vykonáme substitúciu x = sh t a integrovať po častiach:
.
oblúk x
Podobne pre hyperbolický oblúk kosínus. Urobíme substitúciu x = ch t a integrovať po častiach, berúc do úvahy, že t ≥ 0
:
.
arth x
Urobíme substitúciu x = th t a integrovať po častiach:
;
;
;
.
oblúk x
Podobne dostaneme:
.
Rozšírenia do sérií
arsh x
Pre |x|< 1
arth x
Pre |x|< 1
prebieha nasledujúci rozklad:
oblúk x
Pre |x| > 1
prebieha nasledujúci rozklad:
Inverzné funkcie
Hyperbolický sínus
Pri - ∞< y < ∞
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hyperbolický kosínus
o 1 ≤ r< ∞
a 0 ≤ x< ∞
existujú vzorce:
,
.
Hyperbolická dotyčnica
o - 1
< y < 1
a - ∞< x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hyperbolický kotangens
Pri - ∞< y < - 1
alebo 1
< y < ∞
a x ≠ 0
existujú vzorce:
,
.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.