Vyžaduje znalosť základných vzorcov trigonometrie – súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu, vyjadrenie dotyčnice cez sínus a kosínus a iné. Pre tých, ktorí ich zabudli alebo ich nepoznajú, odporúčame prečítať si článok „“.
Základné goniometrické vzorce teda poznáme, je čas ich využiť v praxi. Riešenie goniometrické rovnice
pri správny prístup- celkom vzrušujúca aktivita, ako napríklad riešenie Rubikovej kocky.
Už podľa samotného názvu je zrejmé, že goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma pod znamienkom goniometrickej funkcie.
Existujú takzvané najjednoduchšie goniometrické rovnice. Takto vyzerajú: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Uvažujme ako riešiť takéto goniometrické rovnice, pre názornosť použijeme už známy trigonometrický kruh.
sinx = a
cos x = a
tan x = a
detská postieľka x = a
Akákoľvek goniometrická rovnica sa rieši v dvoch fázach: rovnicu zredukujeme na jej najjednoduchší tvar a potom ju vyriešime ako jednoduchú goniometrickú rovnicu.
Existuje 7 hlavných metód, ktorými sa riešia goniometrické rovnice.
Variabilná substitúcia a substitučná metóda
Riešenie goniometrických rovníc pomocou faktorizácie
Redukcia na homogénnu rovnicu
Riešenie rovníc cez prechod do polovičného uhla
Zavedenie pomocného uhla
Vyriešte rovnicu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Pomocou redukčných vzorcov dostaneme:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Nahraďte cos(x + /6) y, aby ste to zjednodušili a získali obvyklú kvadratickú rovnicu:
2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0
Korene ktorých sú y 1 = 1, y 2 = 1/2
Teraz poďme v opačnom poradí
Dosadíme nájdené hodnoty y a získame dve možnosti odpovede:
Ako vyriešiť hriech rovnica x + cos x = 1?
Posuňme všetko doľava tak, aby 0 zostala vpravo:
sin x + cos x – 1 = 0
Použime vyššie uvedené identity na zjednodušenie rovnice:
hriech x – 2 sin 2 (x/2) = 0
Rozložme na faktor:
2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Dostaneme dve rovnice
Rovnica je homogénna vzhľadom na sínus a kosínus, ak sú všetky jej členy relatívne k sínusu a kosínusu rovnakého stupňa rovnakého uhla. Ak chcete vyriešiť homogénnu rovnicu, postupujte takto:
a) preniesť všetkých svojich členov na ľavú stranu;
b) vyňať všetky spoločné faktory zo zátvoriek;
c) prirovnať všetky faktory a zátvorky k 0;
d) v zátvorkách sa získa homogénna rovnica nižšieho stupňa, ktorá je zase rozdelená na sínus alebo kosínus vyššieho stupňa;
e) vyriešte výslednú rovnicu pre tg.
Vyriešte rovnicu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Použime vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 a zbavme sa otvorenej dvojky vpravo:
3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Vydeliť cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Nahraďte tan x za y a získajte kvadratickú rovnicu:
y 2 + 4y +3 = 0, ktorých korene sú y 1 = 1, y 2 = 3
Odtiaľto nájdeme dve riešenia pôvodnej rovnice:
x 2 = arktan 3 + k
Vyriešte rovnicu 3sin x – 5cos x = 7
Prejdime na x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Presuňme všetko doľava:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Vydeliť cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3 tg (x/2) + 6 = 0
Na zváženie si zoberme rovnicu v tvare: a sin x + b cos x = c,
kde a, b, c sú nejaké ľubovoľné koeficienty a x je neznáma.
Vydeľme obe strany rovnice takto:
Teraz majú koeficienty rovnice podľa trigonometrických vzorcov vlastnosti sin a cos, a to: ich modul nie je väčší ako 1 a súčet štvorcov = 1. Označme ich ako cos a sin, kde - to je takzvaný pomocný uhol. Potom bude mať rovnica tvar:
cos * sin x + sin * cos x = C
alebo sin(x +) = C
Riešenie tejto najjednoduchšej goniometrickej rovnice je
x = (-1) k * arcsin C - + k, kde
Treba poznamenať, že označenia cos a sin sú vzájomne zameniteľné.
Vyriešte rovnicu sin 3x – cos 3x = 1
Koeficienty v tejto rovnici sú:
a = , b = -1, takže obe strany vydeľte = 2
Metódy riešenia goniometrických rovníc
Úvod 2
Metódy riešenia goniometrických rovníc 5
Algebraické 5
Riešenie rovníc pomocou podmienky rovnosti rovnomenných goniometrických funkcií 7
Faktorizácia 8
Redukcia na homogénnu rovnicu 10
Zavedenie pomocného uhla 11
Previesť produkt na súčet 14
Univerzálna náhrada 14
Záver 17
Úvod
Do desiateho ročníka je poradie činností mnohých cvičení vedúcich k cieľu spravidla jasne definované. Napríklad lineárne a kvadratické rovnice a nerovnosti zlomkové rovnice a rovnice redukované na kvadratické atď. Bez toho, aby sme podrobne skúmali princíp riešenia každého zo spomínaných príkladov, všímame si všeobecné veci, ktoré sú potrebné pre ich úspešné riešenie.
Vo väčšine prípadov musíte určiť, o aký typ úlohy ide, zapamätať si postupnosť akcií vedúcich k cieľu a tieto akcie vykonať. Je zrejmé, že úspech či neúspech žiaka v zvládnutí techník riešenia rovníc závisí najmä od toho, ako dokáže správne určiť typ rovnice a zapamätať si postupnosť všetkých fáz jej riešenia. Samozrejme sa predpokladá, že študent má schopnosti vykonávať identické transformácie a výpočty.
Úplne iná situácia nastáva, keď sa školák stretne s goniometrickými rovnicami. Okrem toho nie je ťažké určiť skutočnosť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri hľadaní postupu, ktorý by viedol k pozitívnemu výsledku. A tu študent čelí dvom problémom. Autor: vzhľad rovnice je ťažké určiť typ. A bez znalosti druhu je takmer nemožné vybrať požadovaný vzorec z niekoľkých desiatok dostupných.
Aby sa študentom pomohlo nájsť cestu v zložitom bludisku goniometrických rovníc, najprv sa zoznámia s rovnicami, ktoré sa po zavedení novej premennej zredukujú na kvadratické rovnice. Potom riešia homogénne rovnice a tie, ktoré sú na ne redukovateľné. Všetko sa spravidla končí rovnicami, na vyriešenie ktorých je potrebné faktorizovať ľavú stranu a potom priradiť každý z faktorov nule.
Učiteľ, ktorý si uvedomuje, že tucet a pol rovníc, o ktorých sa diskutuje v lekciách, zjavne nestačí na to, aby sa študent vydal na samostatnú plavbu cez trigonometrické „more“, pridáva niekoľko ďalších odporúčaní.
Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:
Uveďte všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
Znížte rovnicu na „identické funkcie“;
Faktorujte ľavú stranu rovnice atď.
No napriek tomu, že poznajú základné typy goniometrických rovníc a niekoľko princípov hľadania ich riešení, mnohí študenti sa stále ocitajú zarazení každou rovnicou, ktorá sa trochu líši od tých, ktoré boli vyriešené predtým. Zostáva nejasné, o čo by sme sa mali snažiť, keď máme tú alebo onú rovnicu, prečo je v jednom prípade potrebné použiť vzorce s dvojitým uhlom, v inom - polovičný uhol av treťom - sčítacie vzorce atď.
Definícia 1. Goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma obsiahnutá pod znamienkom goniometrických funkcií.
Definícia 2. Hovorí sa, že trigonometrická rovnica má rovnaké uhly, ak všetky goniometrické funkcie, v ňom zahrnuté, majú rovnaké argumenty. O goniometrickej rovnici sa hovorí, že má rovnaké funkcie, ak obsahuje iba jednu z goniometrických funkcií.
Definícia 3. Mocnina monočlenu obsahujúceho goniometrické funkcie je súčtom mocninných mocnín goniometrických funkcií, ktoré sú v ňom zahrnuté.
Definícia 4. Rovnica sa nazýva homogénna, ak všetky monomály v nej obsiahnuté majú rovnaký stupeň. Tento stupeň sa nazýva poradie rovnice.
Definícia 5. Goniometrická rovnica obsahujúca iba funkcie hriech A cos, sa nazýva homogénny, ak všetky monomiály vzhľadom na goniometrické funkcie majú rovnaký stupeň a samotné goniometrické funkcie majú rovnaké uhly a počet monomilov o 1 väčší poriadok rovnice
Metódy riešenia goniometrických rovníc.
Riešenie goniometrických rovníc pozostáva z dvoch fáz: transformácia rovnice na získanie jej najjednoduchšieho tvaru a vyriešenie výslednej najjednoduchšej goniometrickej rovnice. Existuje sedem základných metód riešenia goniometrických rovníc.
ja. Algebraická metóda. Táto metóda je dobre známa z algebry. (Metóda nahradenia a substitúcie premenných).
Riešte rovnice.
1)
Predstavme si notáciu X=2 hriech3 t, dostaneme
Vyriešením tejto rovnice dostaneme: 
alebo 
tie. dá sa zapísať
Pri zaznamenávaní výsledného roztoku v dôsledku prítomnosti znakov 
stupňa 
nemá zmysel to písať.
odpoveď: 
Označme 
Dostaneme kvadratickú rovnicu 
. Jeho koreňmi sú čísla 
A 
. Preto sa táto rovnica redukuje na najjednoduchšie goniometrické rovnice 
A 
. Keď ich vyriešime, zistíme to 
alebo 
.
odpoveď: 
; 
.
Označme 
nespĺňa podmienku 
Prostriedky 
odpoveď: 
Transformujme ľavú stranu rovnice:
Túto počiatočnú rovnicu možno teda zapísať takto:
, t.j.
Po určení 
, dostaneme 
Pri riešení tejto kvadratickej rovnice máme:
nespĺňa podmienku 
Zapíšeme riešenie pôvodnej rovnice:
odpoveď: 
Substitúcia 
redukuje túto rovnicu na kvadratickú rovnicu 
. Jeho koreňmi sú čísla 
A 
. Pretože 
, To daná rovnica nemá korene.
Odpoveď: žiadne korene.
II. Riešenie rovníc pomocou podmienky rovnosti goniometrických funkcií s rovnakým názvom.
A) 
, Ak
b) 
, Ak
V) 
, Ak 
Pomocou týchto podmienok zvážte riešenie nasledujúcich rovníc:
6) 
Pomocou toho, čo bolo povedané v časti a) zistíme, že rovnica má riešenie vtedy a len vtedy 
.
Vyriešením tejto rovnice nájdeme 
.
Máme dve skupiny riešení: 
.
7) Vyriešte rovnicu: 
.
Pomocou podmienky položky b) to odvodíme 
.
Vyriešením týchto kvadratických rovníc dostaneme:
.
8) Vyriešte rovnicu 
.
Z tejto rovnice odvodíme, že . Pri riešení tejto kvadratickej rovnice to zistíme 
.
III. Faktorizácia.
Zvážime túto metódu pomocou príkladov.
9) Vyriešte rovnicu 
.
Riešenie. Presuňme všetky členy rovnice doľava: .
Transformujme a faktorizujme výraz na ľavej strane rovnice: 
.
.
.
1)
2) 
Pretože 
A 
neakceptujte hodnotu nula
súčasne, potom obe časti rozdelíme
rovnice pre 
, 
odpoveď: 
10) Vyriešte rovnicu:
Riešenie.
alebo 
odpoveď: 
11) Vyriešte rovnicu
Riešenie:
1)
2)
3)
, 
odpoveď: 
IV. Redukcia na homogénnu rovnicu.
Na vyriešenie homogénnej rovnice potrebujete:
Presuňte všetkých jeho členov na ľavú stranu;
Umiestnite všetky bežné faktory mimo zátvorky;
Prirovnajte všetky faktory a zátvorky k nule;
Zátvorky rovné nule poskytujú homogénnu rovnicu menšieho stupňa, ktorá by sa mala vydeliť 
(alebo 
) v seniorskom stupni;
Vyriešte výslednú algebraickú rovnicu pre 
.
Pozrime sa na príklady:
12) Vyriešte rovnicu:
Riešenie.
Vydeľme obe strany rovnice 
, 
Predstavujeme označenia 
, názov
korene tejto rovnice: 
teda 1) 
2) 
odpoveď: 
13) Vyriešte rovnicu:
Riešenie. Pomocou vzorcov s dvojitým uhlom a základnej goniometrickej identity zredukujeme túto rovnicu na polovičný argument:
Po znížení podobných výrazov máme:
Delenie homogénnej poslednej rovnice o 
, dostaneme
naznačím 
dostaneme kvadratickú rovnicu 
, ktorého koreňmi sú čísla 
Teda 
Výraz 
ide na nulu o 
, t.j. pri 
, 
.
Riešenie rovnice, ktoré sme získali, tieto čísla neobsahuje.
odpoveď: 
, .
V. Zavedenie pomocného uhla.
Zvážte rovnicu tvaru
Kde a, b, c- koeficienty, X- neznámy.
Vydeľme obe strany tejto rovnice 
Teraz majú koeficienty rovnice vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne: modul každého z nich nepresahuje jednu a súčet ich štvorcov sa rovná 1.
Potom ich môžeme podľa toho označiť 
(Tu 
- pomocný uhol) a naša rovnica má tvar: .
Potom 
A jeho rozhodnutie
Všimnite si, že zavedené notácie sú vzájomne zameniteľné.
14) Vyriešte rovnicu: 
Riešenie. Tu 
, tak obe strany rovnice vydelíme o 
odpoveď: 
15) Vyriešte rovnicu
Riešenie. Pretože 
, potom je táto rovnica ekvivalentná rovnici
Pretože 
, potom je uhol taký, že 
, 
(tie. 
).
Máme 
Pretože 
, potom konečne dostaneme:
.
Všimnite si, že rovnice tvaru majú riešenie vtedy a len vtedy 
16) Vyriešte rovnicu:
Na vyriešenie tejto rovnice zoskupujeme goniometrické funkcie s rovnakými argumentmi
Vydeľte obe strany rovnice dvomi
Transformujme súčet goniometrických funkcií na súčin:
odpoveď: 
VI. Prevod produktu na sumu.
Tu sa používajú zodpovedajúce vzorce.
17) Vyriešte rovnicu:
Riešenie. Premeňme ľavú stranu na súčet:
VII.Univerzálna náhrada.
, 
tieto vzorce platia pre každého 
Substitúcia 
nazývaný univerzálny.
18) Vyriešte rovnicu: 
Riešenie: Vymeňte a 
k ich prejavu prostredníctvom 
a označujú 
.
Dostaneme racionálna rovnica 
, ktorý sa prevedie na štvorcový 
.
Koreňmi tejto rovnice sú čísla 
.
Preto sa problém zredukoval na riešenie dvoch rovníc 
.
Nájdeme to 
.
Zobraziť hodnotu 
nevyhovuje pôvodnej rovnici, ktorá sa kontroluje kontrolou - substitúciou daná hodnota t do pôvodnej rovnice.
odpoveď: 
.
Komentujte. Rovnica 18 sa dala vyriešiť aj inak.
Vydeľme obe strany tejto rovnice 5 (t.j 
): 
.
Pretože 
, potom je tam také číslo 
, Čo 
A 
. Preto má rovnica tvar: 
alebo 
. Odtiaľ to nájdeme 
Kde 
.
19) Vyriešte rovnicu 
.
Riešenie. Keďže funkcie 
A 
mať najvyššia hodnota, rovný 1, potom ich súčet je 2, ak 
A 
, súčasne, tj 
.
odpoveď: 
.
Pri riešení tejto rovnice bola použitá ohraničenosť funkcií a.
Záver.
Pri práci na téme „Riešenie goniometrických rovníc“ je pre každého učiteľa užitočné dodržiavať nasledujúce odporúčania:
Systematizovať metódy riešenia goniometrických rovníc.
Vyberte si sami kroky na vykonanie analýzy rovnice a znakov vhodnosti použitia konkrétnej metódy riešenia.
Zamyslite sa nad spôsobmi sebamonitorovania vašich aktivít pri implementácii metódy.
Naučte sa zostavovať „svoje“ rovnice pre každú zo skúmaných metód.
Príloha č.1
Riešte homogénne alebo redukovateľné rovnice na homogénne.
1. | Rep. |
Rep. |
|
Rep. |
|
5. | Rep. |
Rep. |
|
7. | Rep. |
Rep. |
|
Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.
Riešenie goniometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti nakoniec vedie k riešeniu najjednoduchších goniometrických rovníc. A v tomto sa opäť ukazuje ako najlepší asistent trigonometrický kruh.
Pripomeňme si definície kosínusu a sínusu.
Kosínus uhla je súradnica (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.
Sínus uhla je ordináta (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.
Kladný smer pohybu na trigonometrickom kruhu je proti smeru hodinových ručičiek. Otočenie o 0 stupňov (alebo 0 radiánov) zodpovedá bodu so súradnicami (1;0)
Tieto definície používame na riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.
1. Vyriešte rovnicu
Táto rovnica je splnená všetkými hodnotami uhla natočenia, ktoré zodpovedajú bodom na kruhu, ktorých ordináta sa rovná .
Označme bod s ordinátou na osi y:
Poďme uskutočniť horizontálna čiara rovnobežne s osou x, kým sa nepretne s kružnicou. Získame dva body ležiace na kruhu a majúce ordinátu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch:
Ak opustíme bod zodpovedajúci uhlu rotácie na radián, obídeme celý kruh, potom sa dostaneme do bodu zodpovedajúceho uhlu rotácie na radián a s rovnakou ordinátou. To znamená, že tento uhol natočenia tiež spĺňa našu rovnicu. Môžeme urobiť toľko „nečinných“ otáčok, koľko chceme, vrátiť sa do rovnakého bodu a všetky tieto hodnoty uhla budú spĺňať našu rovnicu. Počet otáčok „naprázdno“ bude označený písmenom (alebo). Keďže tieto revolúcie môžeme robiť v pozitívnom aj negatívnom smere, (alebo) môžu nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty.
To znamená, že prvá séria riešení pôvodnej rovnice má tvar:
, , - množina celých čísel (1)
Podobne aj druhá séria riešení má tvar:
, Kde , . (2)
Ako ste možno uhádli, táto séria riešení je založená na bode na kruhu zodpovedajúcom uhlu otočenia o .
Tieto dve série riešení je možné spojiť do jedného záznamu:
Ak vezmeme (teda dokonca) v tomto vstupe, dostaneme prvú sériu riešení.
Ak vezmeme (teda nepárne) v tomto vstupe, dostaneme druhú sériu riešení.
2. Teraz poďme riešiť rovnicu
Pretože toto je úsečka bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou o uhol, označíme bod úsečkou na osi:
Nakreslite zvislú čiaru rovnobežnú s osou, kým sa nepretína s kruhom. Získame dva body ležiace na kruhu s úsečkou. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme negatívny uhol natočenia:
Napíšme dve série riešení:
,
,
(Dostávame sa do toho požadovaný bod, prechádzajúci z hlavného plného kruhu, tzn.
Spojme tieto dve série do jedného záznamu:
3. Vyriešte rovnicu
Dotyčnica prechádza bodom so súradnicami (1,0) jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou OY
Označme na ňom bod s ordinátou rovnou 1 (hľadáme dotyčnicu, ktorej uhly sú rovné 1):
Spojme tento bod s počiatkom súradníc priamkou a označme priesečníky priamky s jednotkovou kružnicou. Priesečníky priamky a kružnice zodpovedajú uhlom rotácie na a :
Keďže body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu, ležia od seba vo vzdialenosti radiánov, riešenie môžeme zapísať takto:
4. Vyriešte rovnicu
Čiara kotangens prechádza bodom so súradnicami jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou.
Označme bod s osou -1 na priamke kotangens:
Spojme tento bod s počiatkom priamky a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s kružnicou. Táto priamka bude pretínať kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie v a radiánoch:
Keďže tieto body sú od seba oddelené vzdialenosťou rovnajúcou sa , potom spoločné rozhodnutie Túto rovnicu môžeme napísať takto:
V uvedených príkladoch ilustrujúcich riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc boli použité tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií.
Ak však pravá strana rovnice obsahuje netabuľkovú hodnotu, dosadíme hodnotu do všeobecného riešenia rovnice:
ŠPECIÁLNE RIEŠENIA:
Označme body na kružnici, ktorej ordináta je 0:
Označme jeden bod na kružnici, ktorej ordináta je 1:
Označme jeden bod na kružnici, ktorého ordináta sa rovná -1:
Keďže je zvykom uvádzať hodnoty najbližšie k nule, napíšeme riešenie takto:
Označme body na kružnici, ktorých súradnica sa rovná 0:
5.
Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná 1:
Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná -1:
A trochu zložitejšie príklady:
1.
Sinus rovný jednej, ak je argument rovnaký
Argument nášho sínusu je rovnaký, takže dostaneme:
Vydeľte obe strany rovnosti 3:
odpoveď:
2.
Kosínus je nula, ak je argument kosínusu
Argument nášho kosínusu sa rovná , takže dostaneme:
Vyjadrime sa, aby sme to urobili, najprv sa presunieme doprava s opačným znamienkom:
Zjednodušme pravú stranu:
Vydeľte obe strany -2:
Všimnite si, že znamienko pred pojmom sa nemení, pretože k môže nadobudnúť akúkoľvek celočíselnú hodnotu.
odpoveď:
A nakoniec si pozrite video lekciu „Výber koreňov v trigonometrickej rovnici pomocou trigonometrického kruhu“
Týmto sa končí náš rozhovor o riešení jednoduchých goniometrických rovníc. Nabudúce si povieme, ako sa rozhodnúť.
Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného riešenia každého zo spomínaných problémov je nasledovný: treba si ujasniť, aký typ problému riešite, zapamätať si potrebnú postupnosť úkonov, ktoré povedú k želanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.
Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých etáp jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.
Iná situácia je s goniometrické rovnice. Nie je vôbec ťažké určiť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.
Niekedy je ťažké určiť jej typ na základe vzhľadu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.
Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:
1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „identickým funkciám“;
3. faktor ľavej strany rovnice atď.
Uvažujme základné metódy riešenia goniometrických rovníc.
I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice
Schéma riešenia
Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.
Krok 2. Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:
cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.
hriech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3 Nájdite neznámu premennú.
Príklad.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Riešenie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Nahradenie premennej
Schéma riešenia
Krok 1. Redukujte rovnicu na algebraický tvar vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.
Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).
Krok 3 Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.
Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.
Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.
Príklad.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Riešenie.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.
2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.
3) 2t2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 alebo e = -3/2, nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metóda redukcie poradia rovníc
Schéma riešenia
Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorca na zníženie stupňa:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2. Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.
Príklad.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Riešenie.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogénne rovnice
Schéma riešenia
Krok 1. Zredukujte túto rovnicu do tvaru
a) a sin x + b cos x = 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)
alebo do výhľadu
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).
Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
a získajte rovnicu pre tan x:
a) tan x + b = 0;
b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.
Krok 3 Riešte rovnicu pomocou známych metód.
Príklad.
5 sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.
Riešenie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.
3) Nech tg x = t, potom
t2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 alebo t = -4, čo znamená
tg x = 1 alebo tg x = -4.
Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov
Schéma riešenia
Krok 1. Pomocou všetkých možných goniometrických vzorcov zredukujte túto rovnicu na rovnicu riešenú metódami I, II, III, IV.
Krok 2. Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.
Príklad.
hriech x + hriech 2x + hriech 3x = 0.
Riešenie.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;
Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.
Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
V dôsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpoveď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Schopnosť a zručnosť riešiť goniometrické rovnice je veľmi dobrá 
dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj zo strany učiteľa.
S riešením goniometrických rovníc sú spojené mnohé problémy stereometrie, fyziky atď. Proces riešenia takýchto úloh zahŕňa mnohé z vedomostí a zručností, ktoré sa získavajú štúdiom prvkov trigonometrie.
Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese učenia sa matematiky a osobnostného rozvoja vo všeobecnosti.
Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Lekcia integrovanej aplikácie vedomostí.
Ciele lekcie.
- Zvážte rôzne metódy riešenie goniometrických rovníc.
- rozvoj tvorivosťžiaci riešením rovníc.
- Podnecovať žiakov k sebakontrole, vzájomnej kontrole a sebaanalýze svojich vzdelávacích aktivít.
Vybavenie: plátno, projektor, referenčný materiál.
Počas vyučovania
Úvodný rozhovor.
Hlavnou metódou riešenia goniometrických rovníc je ich redukcia na najjednoduchšiu formu. V tomto prípade platia obvyklými spôsobmi, ako je faktoring, ako aj techniky používané len na riešenie goniometrických rovníc. Týchto techník je pomerne veľa, napríklad rôzne goniometrické substitúcie, uhlové transformácie, transformácie goniometrických funkcií. Nerozlišujúca aplikácia akýchkoľvek goniometrických transformácií zvyčajne rovnicu nezjednodušuje, ale katastrofálne skomplikuje. Cvičiť v všeobecný prehľad plán na riešenie rovnice, načrtnite spôsob, ako znížiť rovnicu na najjednoduchšiu, musíte najprv analyzovať uhly - argumenty goniometrických funkcií zahrnutých v rovnici.
Dnes si povieme niečo o metódach riešenia goniometrických rovníc. Správne zvolená metóda môže často výrazne zjednodušiť riešenie, preto všetky metódy, ktoré sme študovali, by sme mali mať vždy v zóne našej pozornosti, aby sme goniometrické rovnice riešili tou najvhodnejšou metódou.
II. (Pomocou projektora zopakujeme metódy riešenia rovníc.)
1. Metóda redukcie goniometrickej rovnice na algebraickú.
Všetky goniometrické funkcie je potrebné vyjadriť pomocou jedného argumentu. Dá sa to urobiť pomocou základnej goniometrickej identity a jej dôsledkov. Získame rovnicu s jednou goniometrickou funkciou. Ak to vezmeme ako novú neznámu, dostaneme algebraickú rovnicu. Nachádzame jeho korene a vraciame sa k starému neznámu, riešime najjednoduchšie goniometrické rovnice.
2. Faktorizačná metóda.
Na zmenu uhlov sú často užitočné vzorce na redukciu, súčet a rozdiel argumentov, ako aj vzorce na prevod súčtu (rozdielu) goniometrických funkcií na súčin a naopak.
hriech x + hriech 3x = hriech 2x + hriech4x
3. Spôsob zavedenia dodatočného uhla.
4. Spôsob využitia univerzálnej substitúcie.
Rovnice tvaru F(sinx, cosx, tanx) = 0 sú redukované na algebraické pomocou univerzálnej trigonometrickej substitúcie
Vyjadrenie sínusu, kosínusu a tangens pomocou tangens polovičného uhla. Táto technika môže viesť k rovnici vyššieho rádu. Riešenie ktorého je ťažké.