Rozšírenie Fourierovho radu všeobecného tvaru. Rozšírenie Taylorovho radu

Fourierov rad rozšírenie párnej a nepárnej funkcie rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínoch Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných ortogonálnych systémoch funkcií Fourierov rad v ortogonálny systém Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Rovnosť Parseval Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov

Fourierovo rozšírenie párnych a nepárnych funkcií Funkcia f(x), definovaná na intervale \-1, kde I > 0, sa volá aj vtedy, ak je graf párnej funkcie symetrický podľa ordinátnej osi. Funkcia f(x), definovaná na segmente J), kde I > 0, sa nazýva nepárna, ak je graf nepárnej funkcie symetrický vzhľadom na počiatok. Príklad. a) Funkcia je párna na intervale |-jt, jt), keďže pre všetky x e b) Funkcia je nepárna, keďže Fourierovo radové rozšírenie párnej a nepárnej funkcie je rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch resp. kosíny Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Fourierov rad pre všeobecné ortogonálne systémy funkcií Fourierov rad pre ortogonálny systém Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov c) Funkcia f (x)=x2-x, kde nepatrí ani k párnym, ani k nepárnym funkciám, pretože Nech je funkcia f(x), ktorá spĺňa podmienky vety 1, párna na intervale x|. Potom pre všetkých t.j. /(g) cos nx je dokonca funkciu a f(x)sinnx je nepárne. Preto Fourierove koeficienty párnej funkcie f(x) budú rovnaké Preto Fourierov rad párnej funkcie má tvar 00 Ak f(x) -. nepárna funkcia na intervale [-тр, ir|, potom súčin f(x)cosnx bude nepárna funkcia a súčin f(x) sinпх bude párna funkcia. Preto budeme mať Fourierov rad nepárnej funkcie má teda tvar Príklad 1. Rozviňte funkciu 4 na Fourierov rad na intervale -x ^ x ^ n Keďže táto funkcia je párna a spĺňa podmienky vety 1, potom jeho Fourierov rad má tvar Nájdite Fourierove koeficienty. Máme dvakrát Aplikovanie integrácie po častiach, dostaneme, že Fourierov rad tejto funkcie teda vyzerá takto: alebo v rozšírenej forme Táto rovnosť platí pre ľubovoľné x €, keďže v bodoch x = ±ir je súčet rad sa zhoduje s hodnotami funkcie f(x) = x2, keďže grafy funkcie f(x) = x a súčet výsledného radu sú uvedené na obr. Komentujte. Tento Fourierov rad nám umožňuje nájsť súčet jedného z konvergentných číselných radov, konkrétne pre x = 0 dostaneme ten Príklad 2. Rozviňte funkciu /(x) = x na Fourierov rad na intervale. Funkcia /(x) spĺňa podmienky vety 1, preto môže byť rozšírená do Fourierovho radu, ktorý vzhľadom na zvláštnosť tejto funkcie bude mať tvar Integrovanie po častiach, teda Fourierove koeficienty Fourierov rad tejto funkcie má tvar Táto rovnosť platí pre všetky x B v bodoch x - ±t súčet Fourierovho radu sa nezhoduje s hodnotami funkcie /(x) = x, keďže sa rovná . Mimo intervalu [-*, i-] je súčet radu periodickým pokračovaním funkcie /(x) = x; jeho graf je znázornený na obr. 6. § 6. Rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínusoch Nech je na intervale daná ohraničená po častiach monotónna funkcia /. Hodnoty tejto funkcie na intervale 0| môžu byť ďalej definované rôznymi spôsobmi. Môžete napríklad definovať funkciu / na segmente tc] tak, že /. V tomto prípade hovoria, že) „je rozšírený na segment 0] rovnomerným spôsobom“; jeho Fourierov rad bude obsahovať iba kosínusy. Ak je funkcia /(x) definovaná na intervale [-l-, mc] tak, že /(, potom je výsledkom nepárna funkcia a potom hovoria, že / je „rozšírená na interval [-*, 0] nepárnym spôsobom“ V tomto prípade bude Fourierov rad obsahovať iba sínusy. Každá ohraničená monotónna funkcia /(x) definovaná na intervale sa teda môže rozšíriť na sínusový aj kosínusový rad Funkciu je možné rozšíriť do Fourierovho radu: a) pomocou kosínusov; b) podľa sínusov. M Táto funkcia so svojimi párnymi a nepárnymi pokračovaniami do segmentu |-x,0) bude ohraničená a po častiach monotónna. a) Rozšírme /(z) do segmentu 0) a) Predĺžime j\x) do segmentu (-тр,0| rovnomerným spôsobom (obr. 7), potom jeho Fourierov rad i bude mať tvar П= 1, kde sú Fourierove koeficienty rovnaké, respektíve pre Preto, b) Rozšírte /(z) do segmentu [-x,0] nepárnym spôsobom (obr. 8). Potom jeho Fourierov rad §7. Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Nech je funkcia fix) periodická s periódou 21,1 ^ 0. Aby sme ju rozšírili na Fourierov rad na intervale kde I > 0, vykonáme zmenu premennej nastavením x = jt . Potom funkcia F(t) = / ^tj bude periodickou funkciou argumentu t s periódou a možno ju rozšíriť na segmente do Fourierovho radu Ak sa vrátime k premennej x, t. j. nastavením, získame platné všetky vety pre Fourierov rad periodických funkcií s periódou 2π ostávajú v platnosti pre periodické funkcie s ľubovoľnou periódou 21. Predovšetkým zostáva v platnosti aj dostatočné kritérium pre rozložiteľnosť funkcie vo Fourierovom rade. Príklad 1. Rozviňte do Fourierovho radu periodickú funkciu s periódou 21, danú na intervale [-/,/] vzorcom (obr. 9). Pretože túto funkciu je párny, potom má jeho Fourierov rad tvar Nahradením nájdených hodnôt Fourierových koeficientov do Fourierovho radu dostaneme Všimneme si jednu vec dôležitý majetok periodické funkcie. Veta 5. Ak má funkcia periódu T a je integrovateľná, potom pre ľubovoľné číslo a platí rovnosť m. to znamená, že integrál segmentu, ktorého dĺžka sa rovná perióde T, má rovnakú hodnotu bez ohľadu na polohu tohto segmentu na číselnej osi. V skutočnosti urobíme zmenu premennej v druhom integráli za predpokladu. To dáva a teda Geometricky táto vlastnosť znamená, že v prípade plochy zatienenej na obr. 10 oblastí je rovnakých. Najmä pre funkciu f(x) s periódou dostaneme pri Rozšírení párnych a nepárnych funkcií do Fourierovho radu, rozšírenie funkcie danej na intervale do radu v sínusoch alebo kosínoch Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľným perióda Komplexný zápis Fourierovho radu Fourierov rad vo všeobecných funkciách ortogonálnych systémov Fourierov rad v ortogonálnom systéme Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov Príklad 2. Funkcia x je periodická s periódou Vzhľadom na zvláštnosť tejto funkcie, bez výpočtu integrálov, môžeme konštatovať, že pre ľubovoľnú Dokázanú vlastnosť najmä ukazuje, že Fourierove koeficienty periodická funkcia f(x) s periódou 21 možno vypočítať pomocou vzorcov, kde a je ľubovoľné reálne číslo (všimnite si, že funkcie cos - a sin majú periódu 2/). Príklad 3. Rozviňte do Fourierovho radu funkciu danú na intervale s periódou 2x (obr. 11). 4 Nájdite Fourierove koeficienty tejto funkcie. Vložením vzorcov zistíme, že pre Preto bude Fourierov rad vyzerať takto: V bode x = jt (bod nespojitosti prvého druhu) máme §8. Komplexná reprezentácia Fourierovho radu Táto časť využíva niektoré prvky komplexná analýza(pozri kapitolu XXX, kde sú všetky tu vykonané akcie so zložitými výrazmi prísne odôvodnené). Nech funkcia f(x) spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Potom na segmente x] môže byť reprezentovaný radom tvaru Pomocou Eulerových vzorcov Nahradením týchto výrazov v rade (1) namiesto cos πx a sin φx budeme mať Zaveďme nasledujúci zápis Potom rad (2) bude mať tvar Fourierov rad (1) je teda reprezentovaný v komplexnej forme (3). Hľadajme výrazy pre koeficienty prostredníctvom integrálov. Máme Podobne nájdeme Konečné vzorce pre с„, с_п a с môžeme zapísať takto: . . Koeficienty с„ sa nazývajú komplexné Fourierove koeficienty funkcie Pre periodickú funkciu s periódou bude mať komplexný tvar Fourierovho radu tvar, kde koeficienty Cn sa vypočítajú pomocou vzorcov Konvergencia radu (3 ) a (4) sa chápe takto: rady (3) a (4) sa nazývajú konvergentné pre daná hodnota g, ak existujú limity Príklad. Rozviňte funkciu periódy na komplexný Fourierov rad Táto funkcia spĺňa dostatočné podmienky na rozšírenie do Fourierovho radu. Nájdite komplexné Fourierove koeficienty tejto funkcie. Máme pre nepárne pre párne n, alebo skrátka. Dosadením hodnôt) nakoniec dostaneme Všimnite si, že tento rad možno zapísať aj takto: Fourierov rad pre všeobecné ortogonálne systémy funkcií 9.1. Ortogonálne sústavy funkcií Označme množinou všetkých (reálnych) funkcií definovaných a integrovateľných na intervale [a, 6] so štvorcom, teda takých, pre ktoré existuje integrál, predovšetkým všetky funkcie f(x) spojité na intervale [a , 6] patria do 6] a hodnoty ich Lebesgueových integrálov sa zhodujú s hodnotami Riemannových integrálov. Definícia. Systém funkcií, kde, sa nazýva ortogonálny na intervale [a, b\, ak podmienka (1) predpokladá najmä to, že žiadna z funkcií nie je zhodne nulová. Integrál sa chápe v Lebesgueovom zmysle. a veličinu nazývame normou funkcie Ak v ortogonálnej sústave pre ľubovoľné n máme, potom sa sústava funkcií nazýva ortonormálna. Ak je sústava (y>„(x)) ortogonálna, potom sústava Príklad 1. Goniometrická sústava je na úsečke ortogonálna. Systém funkcií je ortonormálny systém funkcií na príklade 2. Systém kosínus a systém sínus sú ortonormálne. Zavedme zápis, že sú ortogonálne na intervale (0, f|, ale nie ortonormálne (pre I Ф- 2). Keďže ich normy sú COS Príklad 3. Polynómy definované rovnosťou sa nazývajú Legendreove polynómy (polynómy). n = 0 máme Dá sa dokázať, že funkcie tvoria ortonormálny systém funkcií na intervale Ukážme napríklad ortogonalitu Legendreových polynómov, v tomto prípade integrujeme n krát , zistíme, že keďže pre funkciu t/m = (z2 - I)m všetky derivácie do rádu m - I vrátane zanikajú na koncoch úsečky [-1,1). Definícia. Systém funkcií (pn(x)) sa nazýva ortogonálny na intervale (a, b) s presahom p(x), ak: 1) pre všetky n = 1,2,... sú tu integrály Predpokladalo sa, že váhová funkcia p(x) je definovaná a kladná všade na intervale (a, b) s možnou výnimkou konečného počtu bodov, kde p(x) môže zaniknúť. Po vykonaní diferenciácie vo vzorci (3) nájdeme. Dá sa ukázať, že Čebyševovo-Hermitove polynómy sú ortogonálne na intervale Príklad 4. Systém Besselových funkcií (jL(pix)^ je ortogonálny na intervale núl Besselovej funkcie Príklad 5. Uvažujme Čebyševovo-Hermitove polynómy , ktorú možno definovať pomocou rovnosti. Fourierov rad v ortogonálnej sústave Nech existuje ortogonálna sústava funkcií v intervale (a, 6) a rad (cj = const) konverguje na tomto intervale k funkcii f(x): Násobenie oboch strán poslednej rovnosti by - fixné) a integrovaním cez x od a do 6, vďaka ortogonalite systému dostaneme, že táto operácia má vo všeobecnosti čisto formálny charakter. Avšak v niektorých prípadoch, napríklad keď rad (4) konverguje rovnomerne, všetky funkcie sú spojité a interval (a, 6) je konečný, je táto operácia legálna. Ale pre nás je teraz dôležitý formálny výklad. Nech je teda daná funkcia. Zostavme čísla c* podľa vzorca (5) a napíšme rad na pravej strane nazývame Fourierovým radom funkcie f(x) vzhľadom na sústavu (^n(i)). sa nazývajú Fourierove koeficienty funkcie f(x) vzhľadom na tento systém. Znamienko ~ vo vzorci (6) znamená len to, že čísla Cn súvisia s funkciou f(x) vzorcom (5) (nepredpokladá sa, že rad vpravo vôbec konverguje, tým menej konverguje k funkcii f (X)). Preto prirodzene vyvstáva otázka: aké sú vlastnosti tejto série? V akom zmysle „predstavuje“ funkciu f(x)? 9.3. Priemerná konvergencia Definícia. Postupnosť konverguje k prvku ] v priemere, ak je norma v priestore Veta 6. Ak postupnosť ) konverguje rovnomerne, potom konverguje v priemere. M Nech postupnosť ()) rovnomerne konverguje na intervale [a, b] k funkcii /(x). To znamená, že pre každého, pre všetky dostatočne veľké n, máme Preto, z čoho vyplýva naše tvrdenie. Opak nie je pravdou: postupnosť () môže v priemere konvergovať k /(x), ale nemusí byť rovnomerne konvergentná. Príklad. Uvažujme o postupnosti nx Je ľahké vidieť, že ale táto konvergencia nie je jednotná: existuje napríklad e, že bez ohľadu na to, aké veľké je n, na intervale kosínusov Fourierov rad pre funkciu s ľubovoľnou periódou Komplexné zobrazenie. Fourierovho radu Fourierov rad pre všeobecné ortogonálne systémy funkcií Fourierov rad pre ortogonálny systém Minimálna vlastnosť Fourierových koeficientov Besselova nerovnosť Parsevalova rovnosť Uzavreté systémy Úplnosť a uzavretosť systémov a označme c* Fourierove koeficienty funkcie /(x ) ortonormálnym systémom b Zvážte lineárnu kombináciu, kde n ^ 1 je pevné celé číslo, a nájdite hodnoty konštánt, pri ktorých má integrál minimálnu hodnotu. Napíšme si to podrobnejšie, vzhľadom na ortonormalitu systému dostaneme prvé dva členy na pravej strane rovnosti (7) a tretí člen je nezáporný. Preto integrál (*) nadobúda minimálnu hodnotu pri ak = sk. Integrál sa nazýva stredná štvorcová aproximácia funkcie /(x) lineárnou kombináciou Tn(x). Aproximácia odmocniny funkcie /\ teda nadobúda minimálnu hodnotu, keď. keď Tn(x) je 71. čiastkový súčet Fourierovho radu funkcie /(x) nad systémom (. Nastavením ak = sk, z (7) dostaneme Rovnosť (9) sa nazýva Besselova identita. Od jej ľavého strana je nezáporná, potom z nej vyplýva Besselova nerovnosť Keďže som tu ľubovoľne, Besselovu nerovnosť je možné znázorniť v zosilnenej forme, t.j. pre akúkoľvek funkciu / séria štvorcových Fourierových koeficientov tejto funkcie v ortonormálnom systéme ) konverguje. . Keďže systém je ortonormálny na intervale [-x, m], potom nerovnosť (10) prevedená do obvyklého zápisu trigonometrického Fourierovho radu dáva vzťah do, ktorý je platný pre akúkoľvek funkciu /(x) s integrovateľným štvorcom. Ak je f2(x) integrovateľný, potom kvôli nevyhnutná podmienka konvergenciu radu na ľavej strane nerovnosti (11), dostaneme to. Parsevalova rovnosť Pre niektoré systémy (^„(x)) možno znak nerovnosti vo vzorci (10) nahradiť (pre všetky funkcie f(x) 6 ×) znakom rovnosti. Výsledná rovnosť sa nazýva Parseval-Steklovova rovnosť (podmienka úplnosti). Besselova identita (9) nám umožňuje zapísať podmienku (12) v ekvivalentnom tvare Splnenie podmienky úplnosti teda znamená, že parciálne súčty Sn(x) Fourierovho radu funkcie /(x) konvergujú k funkcii. /(x) v priemere, t.j. podľa normy priestoru 6]. Definícia. Ortonormálny systém ( sa nazýva úplný v b2[аy b], ak každú funkciu možno aproximovať s akoukoľvek presnosťou v priemere lineárnou kombináciou tvaru s dostatočne veľkým počtom členov, t. j. ak pre akúkoľvek funkciu /(x) ∈ b2 [a, b\ a pre ľubovoľné e > 0 existuje prirodzené číslo nq a čísla a\, a2y..., také, že Nie Z vyššie uvedenej úvahy vyplýva Veta 7. Ak ortonormalizáciou je systém ) úplný v priestore, Fourierov rad ľubovoľnej funkcie / nad týmto systémom konverguje k f(x) na priemer, teda normou Dá sa ukázať, že trigonometrický systém je v priestore úplný Z toho vyplýva tvrdenie. Veta 8. Ak funkcia /o jej trigonometrický Fourierov rad k nej konverguje v priemere. 9.5. Uzavreté systémy. Úplnosť a uzavretosť systémov Definícia. Ortonormálny systém funkcií \ sa nazýva uzavretý, ak v priestore Li\a, b) neexistuje žiadna nenulová funkcia ortogonálna ku všetkým funkciám V priestore L2\a, b\ sa zhodujú pojmy úplnosti a uzavretosti ortonormálnych systémov. Cvičenia 1. Rozviňte funkciu 2 na Fourierov rad v intervale (-i-, x) 2. Rozbaľte funkciu na Fourierov rad v intervale (-tr, tr) 3. Rozbaľte funkciu 4 na Fourierov rad v interval (-tr, tr) na Fourierov rad v intervale (-jt, tr) funkcia 5. Rozvinieme funkciu f(x) = x + x na Fourierov rad v intervale (-tr, tr). 6. Rozviňte funkciu n na Fourierov rad v intervale (-jt, tr) 7. Rozviňte funkciu /(x) = sin2 x na Fourierov rad v intervale (-tr, x). 8. Rozviňte funkciu f(x) = y do Fourierovho radu v intervale (-tr, jt) 9. Rozviňte funkciu f(x) = | hriech x|. 10. Rozviňte funkciu f(x) = § na Fourierov rad v intervale (-π-, π). 11. Rozviňte funkciu f(x) = sin § na Fourierov rad v intervale (-tr, tr). 12. Rozviňte funkciu f(x) = n -2x, zadanú v intervale (0, x), do Fourierovho radu a rozšírte ju do intervalu (-x, 0): a) rovnomerne; b) zvláštnym spôsobom. 13. Rozviňte funkciu /(x) = x2, danú v intervale (0, x), na Fourierov rad v sínusoch. 14. Rozviňte funkciu /(x) = 3, zadanú v intervale (-2,2), do Fourierovho radu. 15. Rozviňte funkciu f(x) = |x|, danú v intervale (-1,1), na Fourierov rad. 16. Rozviňte funkciu f(x) = 2x, zadanú v intervale (0,1), na Fourierov rad v sínusoch.

Ak je funkcia f(x) má na nejakom intervale obsahujúcom bod A, deriváty všetkých rádov, potom naň možno použiť Taylorov vzorec:

Kde r n– takzvaný zvyšok alebo zvyšok radu, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:

, kde číslo x je medzi X A A.

Ak pre nejakú hodnotu x r n®0 pri n®¥, potom sa v limite Taylorov vzorec zmení na konvergentný vzorec pre túto hodnotu Taylorova séria:

Takže funkcia f(x) môžu byť rozšírené do Taylorovho radu v danom bode X, Ak:

1) má deriváty všetkých rádov;

2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

O A=0 dostaneme sériu tzv neďaleko Maclaurinu:

Príklad 1 f(x)= 2X.

Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0

f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X V 22, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu získame:

Polomer konvergencie tohto radu je rovný nekonečnu, preto toto rozšírenie platí pre -¥<X<+¥.

Príklad 2 X+4) pre funkciu f(x)= e X.

Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.

f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .

Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Toto rozšírenie platí aj pre -¥<X<+¥.

Príklad 3 . Rozbaľte funkciu f(x)=ln X v sérii v mocnostiach ( X- 1),

(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).

Riešenie. Nájdite deriváty tejto funkcie.

Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu môžete overiť, že séria konverguje, keď

½ X- 1½<1. Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 dostaneme striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho kritéria. O X Funkcia =0 nie je definovaná. Oblasťou konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Uveďme takto získané expanzie do Maclaurinovho radu (t.j. v blízkosti bodu X=0) pre niektoré elementárne funkcie:

(2) ,

(3) ,

( posledný rozklad sa nazýva binomický rad)

Príklad 4 . Rozbaľte funkciu na mocninový rad

Riešenie. V expanzii (1) nahrádzame X na - X 2, dostaneme:

Príklad 5 . Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin

Riešenie. Máme

Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradenie namiesto toho X do vzorca -X, dostaneme:

Odtiaľto nájdeme:

Dostaneme otvorenie zátvoriek, preusporiadanie podmienok série a prinesenie podobných podmienok

Tento rad v intervale konverguje

(-1;1), pretože sa získa z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .

Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií do Taylorovho radu, t.j. pre rozširujúce funkcie v kladných celých číslach ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1)-(5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné vykonať zmenu premennej t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda ilustruje teorém o jedinečnosti rozšírenia mocninového radu funkcie. Podstatou tejto vety je, že v okolí toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad 6 . Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu X=3.

Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý musíme nájsť deriváty funkcie a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúce rozšírenie (5):

Výsledný rad konverguje na alebo –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Príklad 7 . Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X-1) funkcie .

Riešenie.

Séria konverguje na , alebo 2< X 5 £.

Ktoré sú už dosť nudné. A mám pocit, že nastala chvíľa, keď je čas vyťažiť zo strategických zásob teórie nové konzervy. Je možné rozšíriť funkciu do série nejakým iným spôsobom? Vyjadrite napríklad priamku pomocou sínusov a kosínusov? Zdá sa to neuveriteľné, ale také zdanlivo vzdialené funkcie môžu byť
„znovu zjednotenie“. Okrem známych titulov v teórii a praxi existujú aj iné prístupy k rozšíreniu funkcie do série.

V tejto lekcii sa zoznámime s trigonometrickým Fourierovým radom, dotkneme sa problematiky jeho konvergencie a súčtu a, samozrejme, rozoberieme množstvo príkladov expanzie funkcií vo Fourierových radoch. Úprimne som chcel tento článok nazvať „Fourierova séria pre figuríny“, ale bolo by to neúprimné, pretože riešenie problémov by si vyžadovalo znalosť iných odvetví matematickej analýzy a určité praktické skúsenosti. Preto bude preambula pripomínať výcvik astronautov =)

Po prvé, mali by ste pristupovať k štúdiu materiálov stránky vo vynikajúcej forme. Ospalý, oddýchnutý a triezvy. Bez silných emócií o zlomenej nohe škrečka a vtieravých myšlienok o útrapách života akváriových rybičiek. Fourierova séria nie je náročná na pochopenie, ale praktické úlohy si jednoducho vyžadujú zvýšenú koncentráciu pozornosti – v ideálnom prípade by ste sa mali úplne odpútať od vonkajších podnetov. Situáciu zhoršuje skutočnosť, že neexistuje jednoduchý spôsob, ako skontrolovať riešenie a odpoveď. Ak je teda vaše zdravie podpriemerné, je lepšie urobiť niečo jednoduchšie. Je to pravda.

Po druhé, pred letom do vesmíru je potrebné preštudovať prístrojovú dosku kozmickej lode. Začnime s hodnotami funkcií, na ktoré treba kliknúť na stroji:

Pre akúkoľvek prírodnú hodnotu:

1). V skutočnosti sínusoida „prešíva“ os x cez každé „pí“:
. V prípade záporných hodnôt argumentu bude výsledok samozrejme rovnaký: .

2). Ale nie každý to vedel. Kosínus „pí“ je ekvivalentom „blikača“:

Negatívny argument na veci nič nemení: .

Snáď to stačí.

A do tretice, milý kozmonautský zbor, musíte byť schopný... integrovať.
Najmä sebavedomo priraďte funkciu pod diferenciálne znamienko, integrovať po kúskoch a byť v pokoji s Newtonov-Leibnizov vzorec. Začnime s dôležitými predletovými cvičeniami. Kategoricky neodporúčam preskočiť, aby som sa neskôr nezmlátil v stave beztiaže:

Príklad 1

Vypočítajte určité integrály

kde berie prírodné hodnoty.

Riešenie: integrácia sa vykonáva nad premennou „x“ av tomto štádiu sa diskrétna premenná „en“ považuje za konštantu. Vo všetkých integráloch dajte funkciu pod diferenciálne znamienko:

Krátka verzia riešenia, na ktorú by bolo dobré zacieliť, vyzerá takto:

Zvykajme si:

Zostávajúce štyri body sú na vás. Skúste pristupovať k úlohe svedomito a integrály píšte v skratke. Vzorové riešenia na konci lekcie.

Po vykonaní cvikov KVALITA si oblečieme skafandre
a pripravte sa na štart!

Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale

Uvažujme o nejakej funkcii určený aspoň na určitý čas (a možno aj na dlhšie obdobie). Ak je táto funkcia integrovateľná na intervale, môže sa rozšíriť na trigonometrické Fourierov rad:
, kde sú tzv Fourierove koeficienty.

V tomto prípade sa volá číslo obdobie rozkladu, a číslo je polčas rozpadu.

Je zrejmé, že vo všeobecnom prípade Fourierov rad pozostáva zo sínusov a kosínusov:

Skutočne, napíšme si to podrobne:

Nultý člen radu sa zvyčajne píše v tvare .

Fourierove koeficienty sa vypočítajú pomocou nasledujúcich vzorcov:

Veľmi dobre chápem, že tým, ktorí začínajú študovať túto tému, stále nie sú jasné nové pojmy: obdobie rozkladu, polovičný cyklus, Fourierove koeficienty atď. Neprepadajte panike, toto sa nedá porovnať so vzrušením pred odchodom do vesmíru. Poďme pochopiť všetko v nasledujúcom príklade, pred vykonaním ktorého je logické položiť naliehavé praktické otázky:

Čo musíte urobiť v nasledujúcich úlohách?

Rozšírte funkciu do Fourierovho radu. Okrem toho je často potrebné zobraziť graf funkcie, graf súčtu radu, čiastočného súčtu a v prípade sofistikovaných profesorských fantázií urobiť niečo iné.

Ako rozšíriť funkciu do Fourierovho radu?

V podstate musíte nájsť Fourierove koeficienty, teda zložiť a vypočítať tri určitý integrál.

Skopírujte si prosím všeobecnú formu Fourierovho radu a tri pracovné vzorce do svojho notebooku. Som veľmi rád, že niektorí návštevníci stránky realizujú svoj detský sen stať sa astronautom priamo pred mojimi očami =)

Príklad 2

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale. Zostrojte graf, graf súčtu radu a čiastkového súčtu.

Riešenie: Prvou časťou úlohy je rozšírenie funkcie do Fourierovho radu.

Začiatok je štandardný, nezabudnite si zapísať, že:

V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné.

Rozšírme funkciu na Fourierov rad na intervale:

Pomocou vhodných vzorcov nájdeme Fourierove koeficienty. Teraz musíme zložiť a vypočítať tri určitý integrál. Pre pohodlie očíslujem body:

1) Prvý integrál je najjednoduchší, vyžaduje si však aj oči:

2) Použite druhý vzorec:

Tento integrál je dobre známy a berie to kus po kuse:

Používa sa pri nájdení metóda subsumovania funkcie pod diferenciálne znamienko.

V posudzovanej úlohe je vhodnejšie okamžite použiť vzorec na integráciu po častiach do určitého integrálu :

Pár technických poznámok. Po prvé, po aplikácii vzorca celý výraz musí byť uzavretý vo veľkých zátvorkách, keďže pred pôvodným integrálom je konštanta. Nestraťme ju! Zátvorky je možné rozšíriť v akomkoľvek ďalšom kroku. Urobil som to ako poslednú možnosť. V prvom "kúsku" Pri substitúcii prejavujeme mimoriadnu starostlivosť, ako môžete vidieť, konštanta sa nepoužíva a do produktu sú nahradené hranice integrácie. Táto akcia je zvýraznená v hranatých zátvorkách. Nuž, integrál druhého „kúsku“ vzorca poznáte z tréningovej úlohy ;-)

A hlavne – extrémna koncentrácia!

3) Hľadáme tretí Fourierov koeficient:

Získa sa relatívna hodnota predchádzajúceho integrálu, čo je tiež integruje po kúskoch:

Tento prípad je trochu komplikovanejší, ďalšie kroky budem komentovať krok za krokom:

(1) Výraz je úplne uzavretý vo veľkých zátvorkách. Nechcel som pôsobiť nudne, príliš často strácajú konštantu.

(2) V tomto prípade som okamžite otvoril tieto veľké zátvorky. Osobitná pozornosť Venujeme sa prvému „kúsku“: neustále fajčí bokom a nepodieľa sa na nahradzovaní hraníc integrácie (a) do produktu. Kvôli neprehľadnosti záznamu je opäť vhodné tento úkon zvýrazniť hranatými zátvorkami. S druhým "kúskom" všetko je jednoduchšie: tu sa zlomok objavil po otvorení veľkých zátvoriek a konštanta - ako výsledok integrácie známeho integrálu;-)

(3) V hranatých zátvorkách vykonávame transformácie a v pravom integráli substitúciu integračných limít.

(4) Odstránime „blikajúce svetlo“ z hranatých zátvoriek: a potom otvoríme vnútorné zátvorky: .

(5) Rušíme 1 a –1 v zátvorkách a robíme konečné zjednodušenia.

Nakoniec sa našli všetky tri Fourierove koeficienty:

Dosadíme ich do vzorca :

Zároveň nezabudnite rozdeliť na polovicu. V poslednom kroku sa konštanta („mínus dva“), ktorá nezávisí od „en“, dostane mimo súčtu.

Takto sme získali rozšírenie funkcie do Fourierovho radu na intervale:

Pozrime sa na problematiku konvergencie Fourierovho radu. Vysvetlím najmä teóriu Dirichletova veta, doslova „na prstoch“, takže ak potrebujete presné formulácie, pozrite si učebnicu matematickej analýzy (napríklad 2. diel Bohana; alebo 3. diel Fichtenholtza, ale je to ťažšie).

Druhá časť úlohy vyžaduje nakresliť graf, graf súčtu radu a graf čiastočného súčtu.

Graf funkcie je obvyklý priamka na rovine, ktorý je nakreslený čiernou bodkovanou čiarou:

Poďme zistiť súčet série. Ako viete, funkčné rady konvergujú k funkciám. V našom prípade skonštruovaný Fourierov rad pre akúkoľvek hodnotu "x" bude konvergovať k funkcii, ktorá je znázornená červenou farbou. Táto funkcia toleruje prietrže 1. druhu v bodoch, ale je v nich aj definovaný (červené bodky na výkrese)

Takto: . Je ľahké vidieť, že sa výrazne líši od pôvodnej funkcie, a preto v položke Namiesto znamienka rovnosti sa používa vlnovka.

Poďme študovať algoritmus, ktorý je vhodný na zostavenie súčtu radu.

Na centrálnom intervale Fourierov rad konverguje k samotnej funkcii (stredný červený segment sa zhoduje s čiernou bodkovanou čiarou lineárnej funkcie).

Teraz si povedzme trochu o povahe uvažovanej trigonometrickej expanzie. Fourierov rad zahŕňa iba periodické funkcie (konštanta, sínus a kosínus), teda súčet radu je tiež periodická funkcia.

Čo to znamená v našom konkrétnom príklade? A to znamená, že súčet série –nevyhnutne periodické a červený segment intervalu sa musí donekonečna opakovať vľavo a vpravo.

Myslím, že význam slovného spojenia „obdobie rozkladu“ je teraz konečne jasný. Zjednodušene povedané, zakaždým sa situácia opakuje znova a znova.

V praxi zvyčajne stačí znázorniť tri obdobia rozkladu, ako je to na výkrese. No a tiež „pahýly“ susedných období - aby bolo jasné, že graf pokračuje.

Zvlášť zaujímavé sú body diskontinuity 1. druhu. V takýchto bodoch Fourierov rad konverguje k izolovaným hodnotám, ktoré sa nachádzajú presne v strede „skoku“ diskontinuity (červené bodky na výkrese). Ako zistiť súradnicu týchto bodov? Najprv nájdime ordinátu „horného poschodia“: na tento účel vypočítame hodnotu funkcie v najpravejšom bode centrálnej periódy expanzie: . Ak chcete vypočítať ordinátu „dolného poschodia“, najjednoduchším spôsobom je vziať hodnotu úplne vľavo za rovnaké obdobie: . Ordináta priemernej hodnoty je aritmetický priemer súčtu „hore a dole“: . Príjemným faktom je, že pri konštrukcii výkresu hneď uvidíte, či je stred vypočítaný správne alebo nesprávne.

Zostrojme čiastočný súčet radu a zároveň zopakujme význam pojmu „konvergencia“. Motív je známy aj z lekcie o súčet číselného radu. Opíšme naše bohatstvo podrobne:

Ak chcete zostaviť čiastkový súčet, musíte napísať nulu + ďalšie dva členy radu. teda

Na nákrese je graf funkcie znázornený zelenou farbou a ako vidíte, celkom pevne „zabalí“ celý súčet. Ak vezmeme do úvahy čiastočný súčet piatich členov radu, potom graf tejto funkcie aproximuje červené čiary ešte presnejšie, ak existuje sto členov, potom sa „zelený had“ v skutočnosti úplne spojí s červenými segmentmi; atď. Fourierov rad teda konverguje k svojmu súčtu.

Je zaujímavé poznamenať, že akákoľvek čiastková suma je nepretržitá funkcia, avšak celkový súčet série je stále nesúvislý.

V praxi nie je také zriedkavé zostrojiť graf čiastočného súčtu. Ako to spraviť? V našom prípade je potrebné zvážiť funkciu na segmente, vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v medziľahlých bodoch (čím viac bodov zohľadníte, tým presnejší bude graf). Potom by ste mali označiť tieto body na výkrese a starostlivo nakresliť graf obdobia a potom ho „replikovať“ do susedných intervalov. Ako inak? Koniec koncov, aproximácia je tiež periodická funkcia... ...niektorým spôsobom mi jej graf pripomína rovnomerný srdcový rytmus na displeji lekárskeho zariadenia.

Uskutočnenie konštrukcie, samozrejme, nie je príliš pohodlné, pretože musíte byť veľmi opatrní a udržiavať presnosť nie menšiu ako pol milimetra. Poteším však čitateľov, ktorým kreslenie nevyhovuje - v „reálnom“ probléme nie je vždy potrebné vykonávať kreslenie asi v 50% prípadov je potrebné funkciu rozšíriť do Fourierovho radu a je to .

Po dokončení výkresu dokončíme úlohu:

Odpoveď:

Pri mnohých úlohách funkcia trpí prietrž 1. druhu práve počas obdobia rozkladu:

Príklad 3

Rozšírte funkciu uvedenú na intervale do Fourierovho radu. Nakreslite graf funkcie a celkového súčtu radu.

Navrhovaná funkcia je špecifikovaná po častiach (a pozor, iba v segmente) a vydrží prietrž 1. druhu v bode . Je možné vypočítať Fourierove koeficienty? Žiaden problém. Ľavá aj pravá strana funkcie sú integrovateľné na svojich intervaloch, preto by integrály v každom z troch vzorcov mali byť reprezentované ako súčet dvoch integrálov. Pozrime sa napríklad, ako sa to robí pre nulový koeficient:

Druhý integrál sa ukázal byť rovný nule, čo znížilo prácu, ale nie vždy to tak je.

Ďalšie dva Fourierove koeficienty sú opísané podobne.

Ako zobraziť súčet série? Na ľavom intervale nakreslíme priamku a na intervale priamku (časť osi zvýrazníme tučným písmom). To znamená, že na intervale rozšírenia sa súčet radu zhoduje s funkciou všade okrem troch „zlých“ bodov. V bode diskontinuity funkcie bude Fourierov rad konvergovať k izolovanej hodnote, ktorá sa nachádza presne v strede „skoku“ diskontinuity. Nie je ťažké to vidieť orálne: ľavostranný limit: , pravostranný limit: a samozrejme, ordináta stredu je 0,5.

Vzhľadom na periodicitu súčtu je potrebné obrázok „rozmnožiť“ do susedných období, najmä to isté musí byť znázornené na intervaloch a . Súčasne sa v bodoch Fourierov rad bude približovať k stredným hodnotám.

V skutočnosti tu nie je nič nové.

Skúste sa s touto úlohou vyrovnať sami. Približná ukážka konečného návrhu a nákres na konci hodiny.

Rozšírenie funkcie do Fourierovho radu počas ľubovoľného obdobia

Pre ľubovoľné obdobie expanzie, kde „el“ je akékoľvek kladné číslo, sa vzorce pre Fourierovu sériu a Fourierove koeficienty líšia o niečo komplikovanejším argumentom pre sínus a kosínus:

Ak , potom dostaneme intervalové vzorce, s ktorými sme začali.

Algoritmus a princípy riešenia problému sú úplne zachované, ale zvyšuje sa technická zložitosť výpočtov:

Príklad 4

Rozšírte funkciu na Fourierov rad a vykreslite súčet.

Riešenie: vlastne analóg príkladu č. 3 s prietrž 1. druhu v bode . V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Funkcia je definovaná len na polovičnom intervale, ale to nič nemení na veci - dôležité je, že obe časti funkcie sú integrovateľné.

Rozšírme funkciu na Fourierov rad:

Keďže funkcia je na začiatku nespojitá, každý Fourierov koeficient by sa mal samozrejme zapísať ako súčet dvoch integrálov:

1) Prvý integrál napíšem čo najpodrobnejšie:

2) Pozorne sa pozrieme na povrch Mesiaca:

Druhý integrál ber to kus po kuse:

Na čo by sme si mali dať dobrý pozor, keď pokračovanie riešenia otvoríme hviezdičkou?

Po prvé, nestrácame prvý integrál , kde okamžite vykonáme prihlásenie k diferenciálnemu znamienku. Po druhé, nezabudnite na nešťastnú konštantu pred veľkými zátvorkami a nenechajte sa zmiasť znakmi pri použití vzorca . Veľké konzoly je stále pohodlnejšie otvárať hneď v ďalšom kroku.

Ostatné je vecou techniky, ťažkosti môžu spôsobiť len nedostatočné skúsenosti s riešením integrálov.

Áno, nie nadarmo sa rozhorčili významní kolegovia francúzskeho matematika Fouriera – ako sa opovážil usporiadať funkcie do goniometrických radov?! =) Mimochodom, každého asi zaujíma praktický význam predmetnej úlohy. Sám Fourier pracoval na matematickom modeli tepelnej vodivosti a následne sa po ňom pomenovaná séria začala využívať na štúdium mnohých periodických procesov, ktoré sú v okolitom svete viditeľné i neviditeľné. Teraz, mimochodom, som sa pristihla pri myšlienke, že nie náhodou som porovnala graf druhého príkladu s periodickým rytmom srdca. Záujemcovia sa môžu oboznámiť s praktickou aplikáciou Fourierova transformácia v zdrojoch tretích strán. ...Aj keď je lepšie nie - bude si to pamätať ako Prvá láska =)

3) Berúc do úvahy opakovane spomínané slabé články, pozrime sa na tretí koeficient:

Poďme integrovať po častiach:

Dosadíme do vzorca nájdené Fourierove koeficienty , nezabudnite rozdeliť nulový koeficient na polovicu:

Nakreslíme súčet série. Stručne zopakujeme postup: na intervale zostrojíme priamku a na intervale priamku. Ak je hodnota „x“ nulová, umiestnime bod do stredu „skoku“ medzery a „replikujeme“ graf pre susedné obdobia:

Na „spojení“ období sa súčet bude rovnať aj stredom „skoku“ medzery.

Pripravený. Dovoľte mi pripomenúť, že samotná funkcia je podmienkou definovaná len na polovičnom intervale a samozrejme sa zhoduje so súčtom radov na intervaloch

Odpoveď:

Niekedy je po častiach daná funkcia nepretržitá počas obdobia expanzie. Najjednoduchší príklad: . Riešenie (pozri Bohan zväzok 2) rovnako ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch: napriek kontinuita funkcie v bode je každý Fourierov koeficient vyjadrený ako súčet dvoch integrálov.

Na intervale rozkladu body diskontinuity 1. druhu a/alebo v grafe môže byť viac „priečnych“ bodov (dva, tri a vo všeobecnosti akékoľvek Konečný množstvo). Ak je funkcia integrovateľná na každej časti, potom je tiež rozšíriteľná vo Fourierovom rade. Ale z praktických skúseností si nepamätám takú krutú vec. Existujú však aj náročnejšie úlohy, ako sú práve zvažované, a na konci článku sú odkazy na Fourierove série so zvýšenou komplexnosťou pre každého.

Medzitým si oddýchnime, oprime sa o stoličky a rozjímajme nad nekonečnými plochami hviezd:

Príklad 5

Rozšírte funkciu na Fourierov rad na intervale a vykreslite súčet radu.

V tomto probléme funkcia nepretržitý na expanznom polintervale, čo zjednodušuje riešenie. Všetko je veľmi podobné príkladu č.2. Z vesmírnej lode niet úniku - budete sa musieť rozhodnúť =) Približná vzorka dizajnu na konci hodiny, rozvrh je v prílohe.

Rozšírenie Fourierovho radu párnych a nepárnych funkcií

Pri párnych a nepárnych funkciách je proces riešenia problému výrazne zjednodušený. A preto. Vráťme sa k expanzii funkcie vo Fourierovom rade s periódou „dva pi“ a ľubovoľné obdobie „dva el“ .

Predpokladajme, že naša funkcia je párna. Všeobecný pojem série, ako vidíte, obsahuje párne kosínusy a nepárne sínusy. A ak rozširujeme párnu funkciu, tak prečo potrebujeme nepárne sínusy?! Vynulujme zbytočný koeficient: .

teda párna funkcia môže byť rozšírená vo Fourierovom rade iba v kosínoch:

Pretože integrály párnych funkcií pozdĺž integračného segmentu, ktorý je symetrický vzhľadom na nulu, možno zdvojnásobiť, potom sa zostávajúce Fourierove koeficienty zjednodušia.

Pre medzeru:

Pre ľubovoľný interval:

Príklady učebnice, ktoré možno nájsť v takmer každej učebnici matematickej analýzy, zahŕňajú rozšírenia párnych funkcií . Okrem toho som sa s nimi niekoľkokrát stretol v mojej osobnej praxi:

Príklad 6

Funkcia je daná. Požadovaný:

1) rozšírte funkciu na Fourierov rad s bodkou , kde je ľubovoľné kladné číslo;

2) zapíšte expanziu na intervale, zostrojte funkciu a nakreslite graf celkového súčtu radu.

Riešenie: v prvom odseku sa navrhuje vyriešiť problém vo všeobecnej forme, a to je veľmi výhodné! Ak to bude potrebné, jednoducho nahraďte svoju hodnotu.

1) V tomto probléme je obdobie expanzie polovičné. Počas ďalších akcií, najmä počas integrácie, sa „el“ považuje za konštantu

Funkcia je párna, čo znamená, že ju možno rozšíriť do Fourierovho radu iba v kosínoch: .

Fourierove koeficienty hľadáme pomocou vzorcov . Venujte pozornosť ich bezpodmienečným výhodám. Po prvé, integrácia sa vykonáva cez pozitívny segment rozšírenia, čo znamená, že sa modulu bezpečne zbavíme berúc do úvahy iba „X“ z dvoch kusov. A po druhé, integrácia je výrazne zjednodušená.

Dva:

Poďme integrovať po častiach:

Takto:
, zatiaľ čo konštanta , ktorá nezávisí od „en“, sa berie mimo súčtu.

Odpoveď:

2) Zapíšme si expanziu na interval, aby sme to urobili, do všeobecného vzorca dosadíme požadovanú hodnotu polperiódy:

Ak má funkcia f(x) derivácie všetkých rádov na určitom intervale obsahujúcom bod a, možno na ňu použiť Taylorov vzorec:
,
Kde r n– takzvaný zvyšok alebo zvyšok radu, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:
, kde číslo x je medzi x a a.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Ak pre nejakú hodnotu X r n→0 o hod n→∞, potom v limite sa Taylorov vzorec stane konvergentným pre túto hodnotu Taylorova séria:
,
Funkciu f(x) je teda možné rozšíriť na Taylorov rad v uvažovanom bode x, ak:
1) má deriváty všetkých rádov;
2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

Keď a = 0 dostaneme rad tzv neďaleko Maclaurinu:
,
Rozšírenie najjednoduchších (elementárnych) funkcií v rade Maclaurin:
Exponenciálne funkcie
R = ∞
Goniometrické funkcie
R = ∞
R = ∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcia actgx sa nerozpína v mocninách x, pretože ctg0=∞
Hyperbolické funkcie

Logaritmické funkcie
, -1
Binomický rad
.

Príklad č.1. Rozbaľte funkciu na mocninový rad f(x)= 2X.
Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X V 22, f""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu získame:

Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, preto toto rozšírenie platí pre -∞<X<+∞.

Príklad č.2. Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X+4) pre funkciu f(x)= e X.
Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.
f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Toto rozšírenie platí aj pre -∞<X<+∞.

Príklad č.3. Rozbaľte funkciu f(x)=ln X v sérii v mocnostiach ( X- 1),
(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).
Riešenie. Nájdite deriváty tejto funkcie.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu môžete overiť, že séria konverguje pri ½x-1½<1 . Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 dostaneme striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho kritéria. Keď x=0 funkcia nie je definovaná. Oblasťou konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Príklad č.4. Rozbaľte funkciu na mocninový rad.
Riešenie. V expanzii (1) nahradíme x -x 2, dostaneme:
, -∞

Príklad č.5. Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin .
Riešenie. Máme
Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradením –x namiesto x vo vzorci dostaneme:

Odtiaľto nájdeme: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Dostaneme otvorenie zátvoriek, preusporiadanie podmienok série a prinesenie podobných podmienok
. Tento rad konverguje v intervale (-1;1), keďže je získaný z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .
Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií do Taylorovho radu, t.j. pre rozširujúce funkcie v kladných celých číslach ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1)-(5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné vykonať zmenu premennej t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda je založená na teoréme o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v okolí toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad č. 5a. Rozšírte funkciu v Maclaurinovom rade a označte oblasť konvergencie.
Riešenie. Najprv nájdeme 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
na základné:

Zlomok 3/(1-3x) možno považovať za súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s menovateľom 3x, ak |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s konvergenčným regiónom |x|< 1/3.

Príklad č.6. Rozviňte funkciu do Taylorovho radu v blízkosti bodu x = 3.
Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý musíme nájsť deriváty funkcie a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúce rozšírenie (5):
=
Výsledný rad konverguje na alebo –3

Príklad č.7. Napíšte Taylorov rad v mocninách (x -1) funkcie ln(x+2) .
Riešenie.

Séria konverguje na , alebo -2< x < 5.

Príklad č. 8. Rozviňte funkciu f(x)=sin(πx/4) do Taylorovho radu v blízkosti bodu x =2.
Riešenie. Urobme náhradu t=x-2:

Pomocou rozšírenia (3), v ktorom namiesto x dosadíme π / 4 t, dostaneme:

Výsledný rad konverguje k danej funkcii pri -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞teda
, (-∞

Približné výpočty pomocou mocninových radov

Mocninné rady sú široko používané v približných výpočtoch. S ich pomocou môžete vypočítať hodnoty koreňov, goniometrické funkcie, logaritmy čísel a určité integrály s danou presnosťou. Pri integrácii diferenciálnych rovníc sa používajú aj rady.
Zvážte rozšírenie funkcie v mocninnom rade:

Aby sa vypočítala približná hodnota funkcie v danom bode X, patriace do oblasti konvergencie označeného radu, prvé sú ponechané v jeho expanzii nčlenovia ( n– konečný počet) a zvyšné výrazy sa vyradia:

Pre odhad chyby získanej približnej hodnoty je potrebné odhadnúť vyradený zvyšok rn (x) . Ak to chcete urobiť, použite nasledujúce techniky:

ak je výsledný rad striedavý, použije sa nasledujúca vlastnosť: v prípade striedavej série, ktorá spĺňa Leibnizove podmienky, zvyšok série v absolútnej hodnote nepresahuje prvý vyradený člen.
ak má daný rad konštantné znamienko, potom sa rad zložený z vyradených členov porovnáva s nekonečne klesajúcou geometrickou progresiou.
vo všeobecnom prípade na odhad zvyšku Taylorovho radu môžete použiť Lagrangeov vzorec: a X ).

Príklad č.1. Vypočítajte ln(3) s presnosťou na 0,01.
Riešenie. Použime rozšírenie, kde x=1/2 (pozri príklad 5 v predchádzajúcej téme):

Skontrolujeme, či môžeme zahodiť zvyšok po prvých troch členoch expanzie, vyhodnotíme ho pomocou súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti:

Takže môžeme tento zvyšok zahodiť a získať

Príklad č.2. Vypočítajte s presnosťou na 0,0001.
Riešenie. Použime binomický rad. Keďže 5 3 je kocka celého čísla najbližšie k 130, odporúča sa znázorniť číslo 130 ako 130 = 5 3 +5.

keďže už štvrtý člen výsledného striedavého radu, ktorý spĺňa Leibnizovo kritérium, je menší ako požadovaná presnosť:
, takže ho a výrazy za ním nasledujúce možno zahodiť.
Mnoho prakticky potrebných určitých alebo nevlastných integrálov nemožno vypočítať pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca, pretože jeho aplikácia je spojená s hľadaním primitívnej derivácie, ktorá často nemá vyjadrenie v elementárnych funkciách. Stáva sa aj to, že nájdenie antiderivátu je možné, ale je to zbytočne prácne. Ak je však integrandová funkcia rozšírená do mocninového radu a limity integrácie patria do intervalu konvergencie tohto radu, potom je možný približný výpočet integrálu s vopred stanovenou presnosťou.

Príklad č.3. Vypočítajte integrál ∫ 0 1 4 sin (x) x s presnosťou 10 -5 .
Riešenie. Príslušný neurčitý integrál nemožno vyjadriť v elementárnych funkciách, t.j. predstavuje „netrvalý integrál“. Tu nemožno použiť Newtonov-Leibnizov vzorec. Vypočítajme približne integrál.
Rozdelenie pojmov podľa pojmov série pre hriech X na X, dostaneme:

Integrovaním tohto radu člen po člene (to je možné, pretože limity integrácie patria do intervalu konvergencie tohto radu), dostaneme:

Keďže výsledný rad spĺňa Leibnizove podmienky a na získanie požadovanej hodnoty s danou presnosťou stačí zobrať súčet prvých dvoch členov.
Tak zistíme
.

Príklad č.4. Vypočítajte integrál ∫ 0 1 4 e x 2 s presnosťou na 0,001.
Riešenie.
. Skontrolujeme, či môžeme zahodiť zvyšok po druhom člene výsledného radu.
0,0001<0.001. Следовательно, .