ฉันจะจองทันทีว่าบทความจะกล่าวถึงการขยายตัวของแทนเจนต์ที่ศูนย์ซึ่งเรียกว่าการขยายตัวของ Maclaurin ในหนังสือเรียนหลายเล่ม
ฟังก์ชันทั้งหมดจะมีความแตกต่างไม่สิ้นสุดในที่ที่เราต้องการ
ในขณะที่โปรโตซัวอื่น ๆ ส่วนใหญ่ ฟังก์ชั่นพื้นฐานแตกตัวเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้ง่ายมาก และกฎที่ใช้กำหนดเงื่อนไขของการขยายตัวนั้นส่วนใหญ่มักไม่ซับซ้อนและคาดเดาง่ายๆ ว่านี่ไม่ใช่กรณีของแทนเจนต์ แม้ว่าจะดูเหมือนว่าหลังเป็นเพียงอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ ฟังก์ชันที่ไม่มีปัญหาเมื่อสลายตัว ในขณะเดียวกัน เพื่อที่จะระบุรูปแบบของเทอมทั่วไปสำหรับแทนเจนต์ เราจะต้องเริ่มต้นจากระยะไกลบ้างและใช้วิธีการประดิษฐ์ แต่ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องรู้ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของอนุกรมนั้นบ่อยนัก แค่เพียงสองสามเงื่อนไขของการขยายตัวก็เพียงพอแล้ว ด้วยคำกล่าวของปัญหาดังกล่าว นักเรียนมักพบบ่อยที่สุด นั่นคือที่ที่เราจะเริ่มต้น เพื่อไม่ให้รบกวนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะมองหาการสลายตัวจนถึงค่าสัมประสิทธิ์ที่ระดับที่ห้า
อย่างแรกที่นึกถึงที่นี่คือลองใช้สูตรของเทย์เลอร์โดยตรง บ่อยครั้ง ผู้คนไม่มีความคิดใดๆ เกี่ยวกับวิธีอื่นๆ ในการขยายความต่อเนื่องกัน โดยวิธีการที่เซมินารีของเราในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ในปีที่สองของฉันฉันกำลังมองหาการสลายตัวด้วยวิธีนี้แม้ว่าฉันจะพูดอะไรไม่ดีเกี่ยวกับเขา แต่ลุงก็ฉลาดบางทีเขาแค่ต้องการแสดงความสามารถในการอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม การหาอนุพันธ์อันดับสูงของความพึงพอใจสัมผัสยังคงเป็นงานที่น่าเบื่ออย่างยิ่ง เพียงหนึ่งในงานที่ง่ายกว่าที่จะมอบความไว้วางใจให้กับเครื่องจักร ไม่ใช่ให้กับบุคคล แต่เราในฐานะนักกีฬาตัวจริงไม่สนใจผลลัพธ์ แต่อยู่ในกระบวนการและเป็นที่พึงปรารถนาที่กระบวนการนี้จะง่ายกว่า อนุพันธ์คือ (คำนวณในระบบ maxima): 
, 
, 
, 
, . ใครก็ตามที่คิดว่าอนุพันธ์นั้นหาได้ง่าย ๆ ปล่อยให้เขาทำในยามว่าง อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เราสามารถเขียนส่วนขยายนี้: 
.
เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น เราสังเกตว่า 
ดังนั้น อนุพันธ์อันดับแรกของแทนเจนต์แสดงผ่านแทนเจนต์ นอกจากนี้ จากนี้ไปอนุพันธ์ของแทนเจนต์อื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นพหุนามของแทนเจนต์ ซึ่งช่วยให้เราไม่ต้องทนทุกข์กับอนุพันธ์ของผลหารจากไซน์ และโคไซน์:
,
,
,
.
แน่นอนว่าการสลายตัวก็เหมือนกัน
ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการขยายอื่น ๆ ในซีรีส์โดยตรงที่การสอบเสื่อ วิเคราะห์แล้วไม่รู้วิธีนี้ก็ได้รับคณะนักร้องประสานเสียง แทน ex.-a. ความหมายของวิธีการคือ เราทราบการขยายตัวเป็นอนุกรมของทั้งไซน์และโคไซน์ เช่นเดียวกับฟังก์ชัน การขยายตัวครั้งสุดท้ายช่วยให้เราพบการขยายตัวของวินาที: . เมื่อเปิดวงเล็บ เราได้ชุดข้อมูลที่ต้องคูณด้วยการขยายตัวของไซน์ และตอนนี้เราแค่ต้องคูณสองแถว ในแง่ของความซับซ้อน ฉันสงสัยว่าวิธีนี้จะด้อยกว่าวิธีแรก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปริมาณการคำนวณเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อระดับของเงื่อนไขการขยายที่พบเพิ่มขึ้น
วิธีต่อไปคือรูปแบบหนึ่งของวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ก่อนอื่นเรามาตั้งคำถามว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับแทนเจนต์จากสิ่งที่สามารถช่วยเราสร้างการสลายตัวได้ สิ่งที่สำคัญที่สุดที่นี่คือฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นเลขคี่ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ยกกำลังคู่จะเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องหาครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ จากนั้นคุณสามารถเขียน หรือ ขยายไซน์และโคไซน์เป็นอนุกรมก็ได้ และหาค่าสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากัน เราจะได้ 
, 
และโดยทั่วไป 
. ดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของกระบวนการวนซ้ำ เราจึงสามารถค้นหาเงื่อนไขการขยายจำนวนเท่าใดก็ได้
วิธีที่สี่เป็นวิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนเช่นกัน แต่สำหรับวิธีนี้ เราไม่ต้องการการขยายฟังก์ชันอื่นใด เราจะพิจารณาสมการอนุพันธ์แทนเจนต์ เราเห็นว่าอนุพันธ์ของแทนเจนต์สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของแทนเจนต์ได้ แทนสมการนี้เป็นชุดของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราสามารถเขียนได้ โดยการยกกำลังสองและจากที่นี่อีกครั้ง จะเป็นไปได้ที่จะหาสัมประสิทธิ์การขยายตัวโดยกระบวนการวนซ้ำ
วิธีการเหล่านี้ง่ายกว่าสองวิธีแรกมาก แต่การค้นหานิพจน์สำหรับสมาชิกทั่วไปของซีรีส์ในลักษณะนี้จะไม่ได้ผล แต่เราอยากทำ อย่างที่ฉันพูดไปในตอนต้น คุณจะต้องเริ่มต้นจากระยะไกล (ฉันจะทำตามคำแนะนำของ Courant) เราเริ่มต้นด้วยการขยายฟังก์ชันเป็นชุดข้อมูล เป็นผลให้เราจะได้ชุดที่จะเขียนในรูปแบบ 
โดยที่ตัวเลขคือตัวเลขเบอร์นูลลี
ในขั้นต้น ตัวเลขเหล่านี้ถูกค้นพบโดย Jacob Bernoulli เมื่อหาผลรวมของยกกำลังที่ m ตัวเลขธรรมชาติ 
. ดูเหมือนว่าและที่นี่ตรีโกณมิติ? ต่อมาออยเลอร์ได้แก้ปัญหาผลรวมกำลังสองผกผันของชุดจำนวนธรรมชาติ ได้รับคำตอบจากการขยายตัวของไซน์ไปสู่ผลคูณอนันต์ นอกจากนี้ ปรากฎว่าการขยายตัวของโคแทนเจนต์มีผลรวมของรูปแบบ สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n และจากนี้ไปออยเลอร์ได้รับนิพจน์สำหรับผลรวมดังกล่าวในรูปของตัวเลขเบอร์นูลลี มีการเชื่อมต่ออยู่ที่นี่ และไม่ควรแปลกใจที่การขยายตัวของแทนเจนต์มีลำดับนี้
แต่กลับไปที่การขยายเศษส่วนกัน การขยายเลขชี้กำลัง ลบ 1 และหารด้วย "x" เราจะได้ . จากตรงนี้ เป็นที่แน่ชัดแล้วว่าตัวเลขเบอร์นูลลีตัวแรกมีค่าเท่ากับหนึ่ง ตัวที่สองลบหนึ่งวินาที เป็นต้น ลองเขียนนิพจน์สำหรับหมายเลขเบอร์นูลลีที่ k โดยเริ่มจากหนึ่ง คูณนิพจน์นี้ด้วย เราเขียนนิพจน์ใหม่เป็น แบบฟอร์มต่อไปนี้. และจากนิพจน์นี้ เราจะได้ตัวเลขเบอร์นูลลีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: , , 
วิธีการวาง สูตรทางคณิตศาสตร์ไปที่เว็บไซต์?
หากคุณต้องการเพิ่มสูตรทางคณิตศาสตร์หนึ่งหรือสองสูตรลงในหน้าเว็บ วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือตามที่อธิบายไว้ในบทความ: สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถแทรกลงในไซต์ได้อย่างง่ายดายในรูปแบบของรูปภาพที่ Wolfram Alpha สร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ นอกจากความเรียบง่ายแล้ว วิธีการที่เป็นสากลนี้จะช่วยปรับปรุงการมองเห็นเว็บไซต์ในเครื่องมือค้นหา มันทำงานมานานแล้ว (และฉันคิดว่ามันจะใช้ได้ตลอดไป) แต่มันล้าสมัยทางศีลธรรม
ในทางกลับกัน หากคุณใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ในเว็บไซต์ของคุณเป็นประจำ เราขอแนะนำให้คุณใช้ MathJax ซึ่งเป็นไลบรารี JavaScript พิเศษที่แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในเว็บเบราว์เซอร์โดยใช้มาร์กอัป MathML, LaTeX หรือ ASCIIMathML
มีสองวิธีในการเริ่มใช้ MathJax: (1) โดยใช้โค้ดง่ายๆ คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ MathJax กับไซต์ของคุณได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งจะถูกโหลดโดยอัตโนมัติจากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลในเวลาที่เหมาะสม (รายการเซิร์ฟเวอร์) (2) อัปโหลดสคริปต์ MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลไปยังเซิร์ฟเวอร์ของคุณและเชื่อมต่อกับทุกหน้าในไซต์ของคุณ วิธีที่สองซับซ้อนกว่าและใช้เวลานาน และจะช่วยให้คุณสามารถโหลดหน้าเว็บไซต์ได้เร็วขึ้น และหากเซิร์ฟเวอร์หลัก MathJax ใช้งานไม่ได้ชั่วคราวด้วยเหตุผลบางประการ การดำเนินการนี้จะไม่ส่งผลต่อเว็บไซต์ของคุณแต่อย่างใด แม้จะมีข้อดีเหล่านี้ แต่ฉันเลือกวิธีแรก เพราะมันง่ายกว่า เร็วกว่า และไม่ต้องใช้ทักษะทางเทคนิค ทำตามตัวอย่างของฉัน และภายใน 5 นาที คุณจะสามารถใช้คุณลักษณะทั้งหมดของ MathJax บนเว็บไซต์ของคุณได้
คุณสามารถเชื่อมต่อสคริปต์ไลบรารี MathJax จากเซิร์ฟเวอร์ระยะไกลโดยใช้รหัสสองตัวเลือกที่นำมาจากเว็บไซต์หลัก MathJax หรือจากหน้าเอกสาร:
ต้องคัดลอกและวางหนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้ลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็ก
และหรือหลังแท็ก . ตามตัวเลือกแรก MathJax โหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะติดตามและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณวางโค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องคอยตรวจสอบการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่องวิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax อยู่ใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript ของบุคคลที่สาม คัดลอกเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองของโค้ดโหลดที่แสดงด้านบน และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้ เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัป MathML, LaTeX และ ASCIIMathML และคุณพร้อมที่จะฝังสูตรคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของคุณแล้ว
เศษส่วนใด ๆ ถูกสร้างขึ้นบน กฎบางอย่างซึ่งใช้ต่อเนื่องได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ละครั้งเรียกว่าการวนซ้ำ
อัลกอริธึมแบบวนซ้ำสำหรับการสร้างฟองน้ำ Menger นั้นค่อนข้างง่าย: ลูกบาศก์ดั้งเดิมที่มีด้าน 1 ถูกหารด้วยระนาบขนานกับใบหน้าออกเป็น 27 ลูกบาศก์เท่ากัน ลูกบาศก์กลางหนึ่งอันและลูกบาศก์ 6 อันที่อยู่ติดกันตามใบหน้าจะถูกลบออกจากมัน ปรากฎเป็นชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 20 ก้อนที่เหลืออยู่ เราทำเช่นเดียวกันกับลูกบาศก์แต่ละอัน เราจะได้ชุดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์ขนาดเล็กกว่า 400 ก้อน ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ เราได้รับฟองน้ำ Menger
16.1. การขยายฟังก์ชันเบื้องต้นในซีรีส์เทย์เลอร์และ
Maclaurin
ให้เราแสดงให้เห็นว่าหากมีการกำหนดฟังก์ชันโดยพลการบน set 
, ในบริเวณใกล้เคียงของจุด 
มีอนุพันธ์จำนวนมากและเป็นผลรวมของอนุกรมกำลัง:
จากนั้นคุณจะพบสัมประสิทธิ์ของอนุกรมนี้
ทดแทนในอนุกรมกำลัง 
. แล้ว 
.
หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชัน 
:
ที่ 
:
.
สำหรับอนุพันธ์อันดับสองเราได้รับ:
ที่ 
:
.
ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป นเมื่อเราได้รับ: 
.
ดังนั้นเราจึงได้อนุกรมกำลังของรูปแบบ:
,
ซึ่งถูกเรียกว่า ใกล้เทเลอร์สำหรับฟังก์ชั่น 
รอบจุด 
.
กรณีพิเศษของซีรีส์เทย์เลอร์คือ ชุดแมคคลอรินที่ 
:
ส่วนที่เหลือของชุดเทย์เลอร์ (แมคลอริน) ได้มาจากการละทิ้งชุดหลัก นเงื่อนไขแรกและแสดงเป็น 
. จากนั้นฟังก์ชั่น 
สามารถเขียนเป็นผลรวมได้ นสมาชิกคนแรกของซีรีส์ 
และส่วนที่เหลือ 
:,
.
ที่เหลือมักจะ 
แสดงออกในรูปแบบต่างๆ
หนึ่งในนั้นอยู่ในรูปแบบลากรองจ์:
, ที่ไหน 
.
.
โปรดทราบว่าในทางปฏิบัติมักใช้ชุด Maclaurin บ่อยกว่า ดังนั้น เพื่อที่จะเขียนฟังก์ชัน 
ในรูปของผลรวมของอนุกรมกำลังมีความจำเป็น:
1) ค้นหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรม Maclaurin (เทย์เลอร์);
2) ค้นหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมพลังงานที่ได้
3) พิสูจน์ว่าอนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกับฟังก์ชัน 
.
ทฤษฎีบท1
(เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม Maclaurin) ให้รัศมีการบรรจบกันของอนุกรม 
. เพื่อให้ชุดนี้มาบรรจบกันในช่วงเวลา 
ในการทำงาน 
มีความจำเป็นและเพียงพอเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 
ภายในระยะเวลาที่กำหนด
ทฤษฎีบท 2ถ้าอนุพันธ์ของคำสั่งใด ๆ ของฟังก์ชัน 
ในช่วงเวลาหนึ่ง 
จำกัดค่าสัมบูรณ์ให้เป็นจำนวนเดียวกัน เอ็ม, เช่น 
จากนั้นในช่วงเวลานี้ฟังก์ชัน 
สามารถขยายเป็นชุด Maclaurin
ตัวอย่าง1
.
ขยายเป็นซีรีส์ Taylor รอบจุด 
การทำงาน.
การตัดสินใจ.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
พื้นที่บรรจบกัน 
.
ตัวอย่าง2
.
ขยายฟังก์ชัน 
ในซีรีส์เทย์เลอร์รอบจุด 
.
การตัดสินใจ:
เราหาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้ที่ 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
แทนค่าเหล่านี้ในแถว เราได้รับ:
หรือ 
.
ให้เราหาขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมนี้ จากการทดสอบของดาล็องแบร์ อนุกรมมาบรรจบกัน if
.
ดังนั้นสำหรับใดๆ 
ขีด จำกัด นี้น้อยกว่า 1 ดังนั้นพื้นที่บรรจบกันของซีรีส์จะเป็น: 
.
ให้เราพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการขยายไปสู่อนุกรม Maclaurin ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน จำได้ว่าชุด Maclaurin:
.
มาบรรจบกันเป็นระยะ 
ในการทำงาน 
.
โปรดทราบว่าในการขยายฟังก์ชันเป็นชุดข้อมูล จำเป็น:
ก) ค้นหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรมแมคลอรินสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด
b) คำนวณรัศมีการบรรจบกันของอนุกรมผลลัพธ์
c) พิสูจน์ว่าอนุกรมผลลัพธ์มาบรรจบกับฟังก์ชัน 
.
ตัวอย่างที่ 3พิจารณาฟังก์ชั่น 
.
การตัดสินใจ.
ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันสำหรับ 
.
จากนั้นสัมประสิทธิ์ตัวเลขของอนุกรมจะมีรูปแบบดังนี้
เพื่อใครก็ได้ น.เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ที่พบในอนุกรมแมคลอรินแล้วได้: 
ค้นหารัศมีการบรรจบกันของอนุกรมผลลัพธ์ กล่าวคือ:
.
ดังนั้น อนุกรมมาบรรจบกันบนช่วงเวลา 
.
ชุดนี้มาบรรจบกับฟังก์ชัน 
สำหรับค่าใด ๆ 
, เพราะในช่วงเวลาใด ๆ 
การทำงาน 
และอนุพันธ์ค่าสัมบูรณ์ของมันถูกจำกัดด้วยจำนวน 
.
ตัวอย่าง4
.
พิจารณาฟังก์ชั่น 
.
การตัดสินใจ.
:
มันง่ายที่จะเห็นว่าอนุพันธ์อันดับคู่ 
และอนุพันธ์ของลำดับคี่ เราแทนที่สัมประสิทธิ์ที่พบในอนุกรม Maclaurin และรับการขยายตัว:
ให้เราหาช่วงการบรรจบกันของอนุกรมนี้ ตามที่ d'Alembert:
เพื่อใครก็ได้ 
. ดังนั้น อนุกรมมาบรรจบกันบนช่วงเวลา 
.
ชุดนี้มาบรรจบกับฟังก์ชัน 
เพราะอนุพันธ์ทั้งหมดนั้นจำกัดไว้เพียงอันเดียว
ตัวอย่าง5
.
.
การตัดสินใจ.
ให้เราหาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันได้ที่ 
:
ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของอนุกรมนี้: 
และ 
, เพราะฉะนั้น:
ในทำนองเดียวกันกับชุดที่แล้ว พื้นที่ของการบรรจบกัน 
. อนุกรมมาบรรจบกับฟังก์ชัน 
เพราะอนุพันธ์ทั้งหมดนั้นจำกัดไว้เพียงอันเดียว
โปรดทราบว่าฟังก์ชัน 
การขยายแบบคี่และอนุกรมในพลังคี่ ฟังก์ชัน 
- สม่ำเสมอและขยายเป็นชุดในพลังที่เท่ากัน
ตัวอย่าง6
.
ชุดทวินาม: 
.
การตัดสินใจ.
ให้เราหาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันได้ที่ 
:
นี่แสดงให้เห็นว่า:
เราแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ในซีรีย์ Maclaurin และรับการขยายตัวของฟังก์ชันนี้ในซีรีย์กำลัง:
มาหารัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมนี้กัน:
ดังนั้น อนุกรมมาบรรจบกันบนช่วงเวลา 
. ที่จุดจำกัดที่ 
และ 
อนุกรมอาจจะหรือไม่มาบรรจบกันขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง 
.
อนุกรมที่ศึกษามาบรรจบกันในช่วงเวลา 
ในการทำงาน 
, นั่นคือ ผลรวมของอนุกรม 
ที่ 
.
ตัวอย่าง7
.
ให้เราขยายฟังก์ชันในซีรีย์ Maclaurin 
.
การตัดสินใจ.
ในการขยายฟังก์ชันนี้เป็นอนุกรม เราใช้อนุกรมทวินามสำหรับ 
. เราได้รับ: 
ตามคุณสมบัติของอนุกรมกำลัง (อนุกรมกำลังสามารถรวมเข้ากับขอบเขตของการบรรจบกัน) เราพบอินทิกรัลของด้านซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องแถวนี้:
ค้นหาพื้นที่บรรจบกันของชุดนี้: 
,
กล่าวคือ บริเวณบรรจบกันของอนุกรมนี้คือช่วง 
. ให้เราพิจารณาการบรรจบกันของอนุกรมเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา ที่ 
. ซีรีย์นี้เป็นซีรีย์ฮาร์มอนิกนั่นคือมันแตกต่างกัน ที่ 
เราได้อนุกรมตัวเลขที่มีพจน์ทั่วไป 
.
ซีรีส์ไลบนิซมาบรรจบกัน ดังนั้น พื้นที่ของการบรรจบกันของอนุกรมนี้จึงเป็นช่วง 
.
16.2. การประยุกต์ใช้ชุดกำลังของกำลังในการคำนวณโดยประมาณ
อนุกรมกำลังมีบทบาทสำคัญในการคำนวณโดยประมาณ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตารางลอการิทึม ตารางค่าของฟังก์ชันอื่น ๆ ที่ใช้ในความรู้ด้านต่างๆ เช่น ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ การขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลังยังมีประโยชน์สำหรับการศึกษาเชิงทฤษฎี ปัญหาหลักเมื่อใช้อนุกรมกำลังในการคำนวณโดยประมาณคือคำถามของการประมาณข้อผิดพลาดเมื่อแทนที่ผลรวมของอนุกรมด้วยผลรวมของชุดแรก นสมาชิก.
พิจารณาสองกรณี:
ฟังก์ชั่นถูกขยายเป็นชุดสลับกัน
ฟังก์ชันถูกขยายเป็นอนุกรมเครื่องหมายคงที่
การคำนวณโดยใช้อนุกรมสลับ
ให้ฟังก์ชั่น 
ขยายเป็นชุดพลังงานสลับกัน จากนั้น เมื่อคำนวณฟังก์ชันนี้สำหรับค่าเฉพาะ 
เราได้ชุดตัวเลขที่เราสามารถใช้การทดสอบไลบนิซได้ ตามเกณฑ์นี้ ถ้าผลรวมของอนุกรมนั้นถูกแทนที่ด้วยผลรวมของชุดแรก นสมาชิก ดังนั้นข้อผิดพลาดแน่นอนไม่เกินเทอมแรกของส่วนที่เหลือของชุดนี้ นั่นคือ: 
.
ตัวอย่าง8
.
คำนวณ 
ด้วยความแม่นยำ 0.0001
การตัดสินใจ.
เราจะใช้ชุด Maclaurin สำหรับ 
, แทนค่าของมุมเป็นเรเดียน:
หากเราเปรียบเทียบสมาชิกที่หนึ่งและสองของซีรีส์ด้วยความแม่นยำที่กำหนด ดังนั้น: .
ระยะการขยายที่สาม:
น้อยกว่าความแม่นยำในการคำนวณที่ระบุ ดังนั้นในการคำนวณ 
ก็เพียงพอแล้วที่จะปล่อยให้สองเทอมของซีรีส์คือ
.
ดังนั้น 
.
ตัวอย่าง9
.
คำนวณ 
ด้วยความแม่นยำ 0.001
การตัดสินใจ.
เราจะใช้สูตรอนุกรมวิธาน สำหรับสิ่งนี้เราเขียน 
เช่น: 
.
ในนิพจน์นี้ 
,
มาเปรียบเทียบเงื่อนไขของซีรีส์แต่ละข้อกับความแม่นยำที่ให้มา เป็นที่ชัดเจนว่า 
. ดังนั้นในการคำนวณ 
ก็เพียงพอแล้วที่จะปล่อยให้สมาชิกสามคนในซีรีส์
หรือ 
.
การคำนวณโดยใช้อนุกรมเครื่องหมายบวก
ตัวอย่าง10
.
คำนวณจำนวน 
ด้วยความแม่นยำ 0.001
การตัดสินใจ.
ในแถวของฟังก์ชัน 
ทดแทน 
. เราได้รับ:
ให้เราประเมินข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเมื่อผลรวมของชุดข้อมูลถูกแทนที่ด้วยผลรวมของชุดแรก 
สมาชิก. ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่เห็นได้ชัด:
เช่น2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
ตามสภาพของปัญหาต้องหา นที่ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือ: 
หรือ 
.
ง่ายที่จะตรวจสอบได้ว่าเมื่อไร น= 6:
.
เพราะฉะนั้น, 
.
ตัวอย่าง11
.
คำนวณ 
ด้วยความแม่นยำ 0.0001
การตัดสินใจ.
โปรดทราบว่าในการคำนวณลอการิทึม เราสามารถใช้อนุกรมกับฟังก์ชันได้ 
แต่ซีรีส์นี้มาบรรจบกันช้ามาก และต้องใช้คำศัพท์ 9999 คำเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด! ดังนั้นในการคำนวณลอการิทึมตามกฎจะใช้ชุดของฟังก์ชัน 
ซึ่งมาบรรจบกันเป็นช่วงๆ 
.
คำนวณ 
กับแถวนี้ ปล่อยให้เป็น 
, แล้ว 
.
เพราะฉะนั้น, 
,
เพื่อที่จะคำนวณ 
ด้วยความแม่นยำที่กำหนด ให้นำผลรวมของสี่เทอมแรก: 
.
แถวที่เหลือ 
ทิ้ง. มาประเมินข้อผิดพลาดกัน เห็นได้ชัดว่า 
หรือ 
.
ดังนั้นในชุดที่ใช้สำหรับการคำนวณก็เพียงพอที่จะใช้เฉพาะสี่เทอมแรกแทน 9999 ในอนุกรมสำหรับฟังก์ชัน 
.
คำถามสำหรับการวินิจฉัยตนเอง
1. ซีรีส์เทย์เลอร์คืออะไร?
2. Maclaurin มีซีรีย์อะไรบ้าง?
3. กำหนดทฤษฎีบทการขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์
4. เขียนการขยายตัวในชุด Maclaurin ของฟังก์ชันหลัก
5. ระบุพื้นที่บรรจบกันของอนุกรมที่พิจารณา
6. จะประมาณค่าความผิดพลาดในการคำนวณโดยประมาณโดยใช้อนุกรมกำลังได้อย่างไร
ถ้าฟังก์ชัน เอฟ(x)มีในช่วงเวลาหนึ่งที่มีจุด เออนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดจากนั้นสูตร Taylor สามารถใช้ได้กับมัน:
ที่ไหน rn- เทอมที่เหลือหรืออนุกรมที่เหลือสามารถประมาณได้โดยใช้สูตรลากรองจ์:
โดยที่ตัวเลข x อยู่ระหว่าง Xและ เอ.
ถ้าสำหรับค่าบางอย่าง x r n®0 ที่ น®¥ จากนั้นในขีด จำกัด สูตรเทย์เลอร์สำหรับค่านี้จะกลายเป็นสูตรลู่เข้า ซีรีส์เทย์เลอร์:
ดังนั้นฟังก์ชัน เอฟ(x)สามารถขยายเป็นซีรีส์เทย์เลอร์ได้ที่จุดพิจารณา X, ถ้า:
1) มีอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อทั้งหมด
2) อนุกรมที่สร้างขึ้นมาบรรจบกัน ณ จุดนี้
ที่ เอ=0 เราได้ชุดชื่อ ใกล้ Maclaurin:
ตัวอย่างที่ 1 f(x)= 2x.
การตัดสินใจ. ให้เราหาค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้ที่ X=0
เอฟ(x) = 2x, ฉ( 0) = 2 0 =1;
ฉ(x) = 2x ln2, ฉ( 0) = 2 0 ln2=ln2;
ฉ¢(x) = 2x ln 2 2, ฉ¢( 0) = 2 0 บันทึก 2 2= บันทึก 2 2;
ฉ(n)(x) = 2x ln น 2, ฉ(น)( 0) = 2 0 ln น 2=ลน น 2.
แทนที่ค่าที่ได้รับของอนุพันธ์ลงในสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ เราจะได้:
รัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมนี้เท่ากับอินฟินิตี้ ดังนั้นส่วนขยายนี้จึงใช้ได้สำหรับ -¥<x<+¥.
ตัวอย่าง 2 X+4) สำหรับฟังก์ชัน f(x)=อี x.
การตัดสินใจ. การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน e xและค่านิยม ณ จุดนั้น X=-4.
เอฟ(x)= อี x, ฉ(-4) = อี -4 ;
ฉ(x)= อี x, ฉ(-4) = อี -4 ;
ฉ¢(x)= อี x, ฉ¢(-4) = อี -4 ;
ฉ(n)(x)= อี x, ฉ(น)( -4) = อี -4 .
ดังนั้นอนุกรมฟังก์ชันของเทย์เลอร์ที่ต้องการจึงมีรูปแบบดังนี้
การสลายตัวนี้ใช้ได้กับ -¥ . ด้วย<x<+¥.
ตัวอย่างที่ 3 . ขยายฟังก์ชัน เอฟ(x)=ln xตามลำดับองศา ( เอ็กซ์- 1),
(เช่นในซีรีส์เทย์เลอร์ใกล้กับจุด X=1).
การตัดสินใจ. เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตร เราได้อนุกรมเทย์เลอร์ที่ต้องการ:
ด้วยความช่วยเหลือของการทดสอบของ d'Alembert เราสามารถยืนยันได้ว่าอนุกรมมาบรรจบกันเมื่อ
½ เอ็กซ์- 1½<1. Действительно,
อนุกรมมาบรรจบกันถ้า ½ เอ็กซ์- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 เราได้รับชุดแบบสลับกันซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของการทดสอบไลบนิซ ที่ Xไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน =0 ดังนั้นขอบเขตของการบรรจบกันของอนุกรมเทย์เลอร์จึงเป็นช่วงครึ่งเปิด (0;2]
ให้เรานำเสนอการขยายที่ได้รับในลักษณะนี้ในชุด Maclaurin (เช่นในบริเวณใกล้เคียงของจุด X=0) สำหรับฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง:
(2) 
,
(3) 
,
(ส่วนขยายสุดท้ายเรียกว่า อนุกรมทวินาม)
ตัวอย่างที่ 4 . ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง
การตัดสินใจ. ในการสลายตัว (1) เราแทนที่ Xบน - X 2 เราได้รับ:
ตัวอย่างที่ 5
. ขยายฟังก์ชันในซีรีย์ Maclaurin 
การตัดสินใจ. เรามี 
โดยใช้สูตร (4) เราสามารถเขียน:
แทน Xลงในสูตร -X, เราได้รับ:
จากที่นี่เราพบ:
ขยายวงเล็บ จัดเรียงเงื่อนไขของอนุกรมใหม่ และลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราจะได้
ชุดนี้มาบรรจบกันในช่วงเวลา
(-1;1) เนื่องจากมาจากอนุกรมสองชุด ซึ่งแต่ละชุดมาบรรจบกันในช่วงเวลานี้
ความคิดเห็น .
สูตร (1)-(5) ยังสามารถใช้เพื่อขยายฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องในอนุกรมเทย์เลอร์เช่น สำหรับการขยายฟังก์ชันในกำลังจำนวนเต็มบวก ( ฮา). ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องทำการแปลงที่เหมือนกันบนฟังก์ชันที่กำหนด เพื่อให้ได้หนึ่งในฟังก์ชัน (1) - (5) ซึ่งแทน Xค่าใช้จ่าย k( ฮา) m โดยที่ k เป็นจำนวนคงที่ m เป็นจำนวนเต็มบวก มักจะสะดวกที่จะเปลี่ยนตัวแปร t=ฮาและขยายฟังก์ชันผลลัพธ์เทียบกับ t ในอนุกรม Maclaurin
วิธีนี้แสดงให้เห็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับความพิเศษของการขยายฟังก์ชันในอนุกรมกำลัง แก่นแท้ของทฤษฎีบทนี้คือในย่านใกล้เคียงของจุดเดียวกัน ไม่สามารถรับอนุกรมกำลังสองแบบที่แตกต่างกันซึ่งจะมาบรรจบกันเป็นฟังก์ชันเดียวกัน ไม่ว่าการขยายจะดำเนินการอย่างไร
ตัวอย่างที่ 6 . ขยายฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงของจุด X=3.
การตัดสินใจ. ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้เช่นเดิมโดยใช้คำจำกัดความของอนุกรมเทย์เลอร์ซึ่งจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและค่าของพวกมันที่ X=3. อย่างไรก็ตาม มันจะง่ายกว่าที่จะใช้การสลายตัวที่มีอยู่ (5):
อนุกรมผลลัพธ์มาบรรจบกันที่ 
หรือ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
ตัวอย่าง 7
. เขียนชุดเทย์เลอร์ในอำนาจ ( X-1) คุณสมบัติ 
.
การตัดสินใจ.
ซีรีส์มาบรรจบกันที่ 
, หรือ 2< x 5 ปอนด์
นักเรียนวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงควรตระหนักว่าผลรวมของอนุกรมกำลังจำนวนหนึ่งที่เป็นของช่วงการบรรจบกันของอนุกรมที่มอบให้เรานั้นกลายเป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอตที่ต่อเนื่องและไม่จำกัดจำนวนครั้ง คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะยืนยันว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ f(x) คือผลรวมของอนุกรมกำลังบางอัน? นั่นคือภายใต้เงื่อนไขใดที่ฟังก์ชัน f(x) สามารถแสดงด้วยอนุกรมกำลังได้? ความสำคัญของคำถามนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นไปได้ที่จะแทนที่ฟังก์ชัน f(x) โดยประมาณด้วยผลรวมของเทอมแรกสองสามพจน์ของอนุกรมกำลัง นั่นคือโดยพหุนาม การแทนที่ฟังก์ชันด้วยนิพจน์ที่ค่อนข้างง่าย - พหุนาม - ก็สะดวกเช่นกันในการแก้ปัญหาบางอย่าง กล่าวคือ: เมื่อแก้อินทิกรัลเมื่อทำการคำนวณ ฯลฯ
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับบางฟังก์ชัน f(x) ซึ่งสามารถคำนวณอนุพันธ์ได้ถึงลำดับที่ (n + 1) รวมถึงลำดับสุดท้าย ในละแวกใกล้เคียง (α - R; x 0 + R) ของบางฟังก์ชัน จุด x = สูตร α:
สูตรนี้ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชื่อดัง Brook Taylor ซีรีย์ที่ได้มาจากซีรีย์ก่อนหน้านี้เรียกว่าซีรีย์ Maclaurin:
กฎที่ทำให้สามารถขยายเป็นชุด Maclaurin:
- กำหนดอนุพันธ์ของคำสั่งที่หนึ่ง สอง สาม ...
- คำนวณอนุพันธ์ที่ x=0 คืออะไร
- เขียนอนุกรมแมคลอรินสำหรับฟังก์ชันนี้ แล้วกำหนดช่วงเวลาของการบรรจบกัน
- กำหนดช่วงเวลา (-R;R) โดยที่ส่วนที่เหลือของสูตรมาคลอริน
R n (x) -> 0 สำหรับ n -> อนันต์ ถ้ามีอยู่ ฟังก์ชัน f(x) ในนั้นจะต้องตรงกับผลรวมของอนุกรมมาลอริน
พิจารณาตอนนี้ชุด Maclaurin สำหรับแต่ละฟังก์ชัน
1. ดังนั้น อันแรกจะเป็น f(x) = e x แน่นอนตามคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าวมีอนุพันธ์ของคำสั่งที่แตกต่างกันมากและ f (k) (x) \u003d e x โดยที่ k เท่ากับทุกอย่าง ให้เราแทนที่ x \u003d 0 เราได้ f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... จากที่กล่าวมาซีรีส์ e x จะมีลักษณะดังนี้:
2. อนุกรมแมคลอรินสำหรับฟังก์ชัน f(x) = บาป x ชี้แจงทันทีว่าฟังก์ชันสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะมีอนุพันธ์นอกเหนือจาก f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2) โดยที่ k เท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ นั่นคือ โดยการคำนวณอย่างง่าย เราสามารถสรุปได้ว่า อนุกรมสำหรับ f(x) = sin x จะมีลักษณะดังนี้:
3. ทีนี้ลองพิจารณาฟังก์ชัน f(x) = cos x มันมีอนุพันธ์ของคำสั่งโดยพลการสำหรับสิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมด และ |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
ดังนั้นเราจึงแสดงรายการฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดที่สามารถขยายได้ในชุด Maclaurin แต่ฟังก์ชันบางอย่างเสริมด้วยชุด Taylor สำหรับฟังก์ชันบางอย่าง ตอนนี้เราจะแสดงรายการ นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าอนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอรินเป็นส่วนสำคัญของการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้นซีรีส์เทย์เลอร์
1. อันแรกจะเป็นแถวสำหรับ f-ii f (x) = ln (1 + x) ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้เรา f (x) = ln (1 + x) เราสามารถเพิ่มอนุกรมโดยใช้รูปแบบทั่วไปของอนุกรมแมคลอริน อย่างไรก็ตาม สำหรับฟังก์ชันนี้ ชุด Maclaurin สามารถรับได้ง่ายกว่ามาก หลังจากรวมอนุกรมเรขาคณิตแล้ว เราจะได้อนุกรมสำหรับ f (x) = ln (1 + x) ของตัวอย่างดังกล่าว:
2. และอันที่สองซึ่งจะเป็นครั้งสุดท้ายในบทความของเรา จะเป็นซีรีส์สำหรับ f (x) \u003d arctg x สำหรับ x ที่เป็นของช่วง [-1; 1] การขยายถูกต้อง:
นั่นคือทั้งหมดที่ บทความนี้ตรวจสอบอนุกรม Taylor และ Maclaurin ที่ใช้บ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา โดยเฉพาะในมหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์และเทคนิค