Sagot: Hyperbolic function - pamilya elementarya na pag-andar ipinahayag sa mga tuntunin ng exponential at malapit na nauugnay sa trigonometriko function. Ang mga hyperbolic function ay ipinakilala ni Vincenzo Riccati noong 1757 (Opusculorum, Volume I). Nakuha niya ang mga ito mula sa pagsasaalang-alang sa isang solong hyperbola.
Ang karagdagang pagsisiyasat ng mga katangian ng hyperbolic function ay isinagawa ni Lambert. Ang mga hyperbolic function ay madalas na nakatagpo sa pagkalkula ng iba't ibang integral. Ilang integral mula sa makatwirang pag-andar at mula sa mga function na naglalaman ng mga radical ay medyo madaling gawin sa pamamagitan ng mga pagbabago ng mga variable gamit ang hyperbolic function. Ang mga derivatives ng hyperbolic function ay madaling mahanap dahil ang hyperbolic function ay kumbinasyon. Halimbawa, ang hyperbolic sine at cosine ay tinukoy bilang 
Ang mga derivatives ng mga function na ito ay may anyo 
Ang mga hyperbolic function ay ibinibigay ng mga sumusunod na formula: 1) hyperbolic sine: 
(sa banyagang panitikan tinutukoy na sinx); 2) hyperbolic cosine: 
(sa banyagang panitikan ito ay itinalagang cosx); 3) hyperbolic tangent: 
(sa banyagang panitikan ito ay itinalagang tanx); 4) hyperbolic cotangent: 
; 5) hyperbolic secant at cosecant: 
Geometric na kahulugan: Sa view ng relasyon, ang hyperbolic function ay nagbibigay ng parametric na representasyon ng isang hyperbola. Sa kasong ito, ang argumento ay t=2S, kung saan ang S ay ang lugar ng curvilinear triangle OQR, na kinuha gamit ang " +” sign kung ang sektor ay nasa itaas ng OX axis, at “−” sa kabaligtaran na kaso. Ang kahulugan na ito ay kahalintulad sa kahulugan ng mga trigonometriko na pag-andar sa mga tuntunin ng bilog ng yunit, na maaari ding buuin sa katulad na paraan. Koneksyon sa trigonometriko function: Hyperbolic function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng trigonometriko function ng haka-haka argumento. Analytic properties: Ang hyperbolic sine at hyperbolic cosine ay analytic sa buong complex plane, maliban sa mahalagang singular na punto sa infinity.
Derivative table.
Sagot:
Talaan ng mga derivatives (na pangunahing kailangan namin): 
46) Ang derivative ng isang function ay ibinigay parametrically.
Sagot:
Hayaang maibigay ang dependence ng dalawang variable na x at y sa parameter na t na nag-iiba-iba sa loob. Hayaang magkaroon ng inverse ang function: 
Pagkatapos ay magagawa natin, sa pamamagitan ng pagkuha ng komposisyon ng mga function 
kumuha ng y dependency sa x: 
Ang pag-asa ng halaga ng y sa halaga ng x, na ibinigay parametrically, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga derivatives ng mga function mula noong at, ayon sa formula para sa derivative ng inverse function, 
kung saan ang halaga ng parameter kung saan nakuha ang halaga ng x na kung saan tayo ay interesado kapag kinakalkula ang derivative. Tandaan na ang paggamit ng formula ay humahantong sa amin sa relasyon sa pagitan ng, muling ipinahayag bilang isang parametric na relasyon: 
ang pangalawa sa mga ugnayang ito ay kapareho ng kasangkot sa parametric na detalye ng function na y(x) . Sa kabila ng katotohanan na ang derivative ay hindi tahasang ipinahayag sa mga tuntunin nito, hindi ito pumipigil sa amin sa paglutas ng mga problemang nauugnay sa paghahanap ng derivative sa pamamagitan ng paghahanap ng kaukulang halaga ng parameter na t. Ipakita natin ito sa sumusunod na halimbawa. Halimbawa 4.22: Hayaang ang dependence sa pagitan ng x at y ay ibigay sa parametrically ng mga sumusunod na formula: Hanapin natin ang equation ng tangent sa dependence graph y(x) sa punto Nakukuha ang mga value kung kukuha tayo ng t=1. Hanapin natin ang mga derivatives ng x at y na may paggalang sa parameter na t: Samakatuwid 
Sa t=1 nakukuha natin ang halaga ng derivative, ang halagang ito ay nagtatakda dalisdis k ng nais na padaplis. Mga coordinate 
ang mga touch point ay tinukoy sa pahayag ng problema. Kaya, ang tangent equation ay ang mga sumusunod: Tandaan na, batay sa nakuhang parametric dependence, mahahanap natin ang pangalawang derivative ng function na y na may paggalang sa variable na x: 
Reference data sa hyperbolic functions. Mga kahulugan, graph at katangian ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent. Mga formula para sa mga kabuuan, pagkakaiba at produkto. Mga derivative, integral, mga pagpapalawak ng serye. Mga expression sa mga tuntunin ng trigonometriko function.
Mga kahulugan ng hyperbolic function, ang kanilang mga domain ng mga kahulugan at halaga
sh x - hyperbolic sine
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hyperbolic cosine
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
ika x - hyperbolic tangent
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hyperbolic cotangent
X≠ 0; y< -1 или y > +1 .
Mga graph ng hyperbolic function
Plot ng hyperbolic sine y = sh x
Plot ng hyperbolic cosine y = ch x
Plot ng hyperbolic tangent y= Salamat
Plot ng hyperbolic cotangent y= cth x
Mga formula na may hyperbolic function
Relasyon sa trigonometriko function
kasalanan iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
ika iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Narito ako ay isang haka-haka na yunit, i 2 = - 1
.
Ang paglalapat ng mga formula na ito sa mga trigonometric na function, nakakakuha kami ng mga formula na may kaugnayan sa hyperbolic function.
Pagkakapantay-pantay
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
ika(-x) = -ika x;
cth(-x) = - cth x.
Function ch(x)- kahit. Mga pag-andar sh(x), Salamat), cth(x)- kakaiba.
Pagkakaiba ng mga parisukat
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga argumento
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Mga formula para sa mga produkto ng hyperbolic sine at cosine
,
,
,
,
,
.
Mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga hyperbolic function
,
,
,
,
.
Kaugnayan ng hyperbolic sine at cosine na may tangent at cotangent
,
,
,
.
Derivatives
,
Mga integral ng sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Mga pagpapalawak sa serye
sh x
ch x
Salamat
cth x
Inverse function
Areasine
Sa - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacosine
Sa 1 ≤ x< ∞
At 0 ≤ y< ∞
may mga formula:
,
.
Ang pangalawang sangay ng areacosine ay matatagpuan sa 1 ≤ x< ∞
at - ∞< y ≤ 0
:
.
Areatangent
sa - 1
< x < 1
at - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacottangent
Sa - ∞< x < - 1
o 1
< x < ∞
at y ≠ 0
may mga formula:
,
.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
Ang mga hyperbolic na function ay matatagpuan sa mechanics, electrical engineering, at iba pang mga teknikal na disiplina. Maraming mga formula para sa hyperbolic function ay katulad ng mga formula para sa trigonometriko function, maliban sa property ng boundedness.
| № | Function | Pangalan | Derivative  |
| 1. |  | hyperbolic sine |  |
| 2. |  | hyperbolic cosine |  |
| 3. |  | hyperbolic padaplis |  |
| 4. |  | hyperbolic cotangent |  |
Mga formula para sa hyperbolic function
1. 
.
Patunay. Isaalang-alang ang nais na pagkakaiba
. .
Patunay. Isaalang-alang ang produkto
.
Isaalang-alang ang produkto 
.
Nagdagdag kami ng dalawang produkto at nagbibigay ng mga katulad:
Sa pag-uugnay sa simula at wakas, nakukuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay: .
Mayroong maraming iba pang mga katangian ng hyperbolic function na katulad ng mga katangian ng trigonometriko function, na kung saan ay napatunayang katulad.
Patunayan natin ang mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic function.
1. Isaalang-alang ang hyperbolic sine 
.
Kapag hinahanap ang derivative, inaalis namin ang constant sa sign ng derivative. Susunod, inilalapat namin ang pag-aari ng derivative ng pagkakaiba ng dalawang function at . Nahanap namin ang derivative ng function mula sa talahanayan ng mga derivatives: 
. Hinahanap namin ang derivative ng function bilang derivative kumplikadong pag-andar 
.
Samakatuwid, ang derivative 
.
Sa pagkonekta sa simula at wakas, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay: 
.
2. Isaalang-alang ang hyperbolic cosine .
Ganap naming inilapat ang nakaraang algorithm, sa halip na ang property sa derivative ng pagkakaiba ng dalawang function, ginagamit namin ang property sa derivative ng kabuuan ng dalawang function na ito. 
.
Sa pagkonekta sa simula at wakas, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay: 
.
3. Isaalang-alang ang hyperbolic tangent .
Nahanap namin ang derivative ayon sa panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang fraction.
4. Derivative ng hyperbolic cotangent
ay matatagpuan bilang isang derivative ng isang kumplikadong function 
.
Sa pagkonekta sa simula at wakas, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay: 
.
Pagkakaiba ng pag-andar
Hayaan ang function 
ay naiba sa punto , kung gayon ang pagtaas ng function na ito sa punto , na tumutugma sa pagtaas ng argumento , ay maaaring katawanin bilang
kung saan ang ilang numero na hindi nakadepende sa , at isang function ng argument , na walang katapusan na maliit sa 
.
Kaya, ang pagdaragdag ng function ay ang kabuuan ng dalawang infinitesimal terms 
At 
. Ipinakita na ang ikalawang termino 
ay isang infinitesimal function ng isang mas mataas na order kaysa i.e. (tingnan ang 8.1). Samakatuwid, ang unang termino 
ay ang pangunahing linear na bahagi ng pagtaas ng function . Sa Puna 8.1. isa pang formula (8.1.1) ang nakuha para sa pagtaas ng function , ibig sabihin: . (8.1.1)
Kahulugan 8.3 Differential mga function sa punto ay tinatawag na tahanan linear na bahagi ang pagtaas nito, katumbas ng produkto ng derivative 
sa puntong ito sa pamamagitan ng isang di-makatwirang pagtaas ng argumento , at ipinapahiwatig (o 
):
(8.4)
Pagkakaiba ng pag-andar tinatawag din pagkakaiba sa unang order.
Ang differential ng isang independent variable ay anumang numerong independent sa . Kadalasan, ang pagtaas ng variable ay kinukuha bilang numerong ito, i.e. 
. Sumasang-ayon ito sa panuntunan (8.4) para sa paghahanap ng pagkakaiba ng function
Isaalang-alang ang function 
at hanapin ang pagkakaiba nito.
kasi derivative 
. Kaya, nakuha namin: 
at function differential ay matatagpuan gamit ang formula
. (8.4.1)
Puna 8.7. Mula sa pormula (8.4.1) sinusundan iyon. 
Kaya, ang notasyon ay mauunawaan hindi lamang bilang isang notasyon para sa derivative 
, ngunit din bilang ratio ng mga pagkakaiba ng umaasa at independiyenteng mga variable.
8.7. Ang geometric na kahulugan ng kaugalian ng isang function
Hayaan ang graph ng function 
iginuhit (tingnan ang Fig. 8.1) padaplis . Dot 
ay nasa graph ng function at may abscissa - . Nagbibigay kami ng di-makatwirang pagdaragdag na ang punto 
hindi sa labas ng saklaw ng pag-andar .
Figure 8.1 Larawan ng graph ng function
Ang punto ay may mga coordinate 
. Seksyon 
. Ang punto ay nasa tangent sa graph ng function at may abscissa . Mula sa isang hugis-parihaba 
ito ay sumusunod na , kung saan ang anggulo ay ang anggulo sa pagitan ng positibong direksyon ng axis at ang padaplis na iginuhit sa graph ng function. sa puntong . Sa pamamagitan ng kahulugan ng function differential at ang geometric na kahulugan ng derivative ng function sa puntong iyon, napagpasyahan namin iyon 
. Sa ganitong paraan, geometriko na kahulugan function differential ay nakasalalay sa katotohanan na ang pagkakaiba ay isang pagtaas ng ordinate ng tangent sa graph ng function. sa puntong .
Puna 8.8. Differential at increment para sa isang arbitrary na function , sa pangkalahatan, ay hindi pantay sa isa't isa. Sa pangkalahatang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng increment at pagkakaiba ng isang function ay isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod ng kaliit kaysa sa pagtaas ng argumento. Mula sa Depinisyon 8.1 sinusundan iyon 
, ibig sabihin. 
.
Sa figure 8.1, ang punto ay nasa graph ng function at may mga coordinate 
. Seksyon .
Sa Figure 8.1, ang hindi pagkakapantay-pantay 
, ibig sabihin. 
. Ngunit may mga kaso kapag ang kabaligtaran na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo 
. Ginagawa ito para sa linear function at para sa isang upwardly convex function.
Ang mga kahulugan ng inverse hyperbolic function at ang kanilang mga graph ay ibinigay. Pati na rin ang mga formula na nagkokonekta sa mga inverse hyperbolic function - mga formula para sa mga kabuuan at pagkakaiba. Mga expression sa mga tuntunin ng trigonometriko function. Mga derivative, integral, mga pagpapalawak ng serye.
Mga kahulugan ng inverse hyperbolic function, ang kanilang mga domain ng mga kahulugan at halaga
arsh x - inverse hyperbolic sine
Inverse hyperbolic sine (areasine), ay ang inverse function ng hyperbolic sine ( x= sh y) , pagkakaroon ng domain -∞< x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .
Ang areasine ay mahigpit na tumataas sa buong axis ng numero.
arko x - inverse hyperbolic cosine
Inverse Hyperbolic Cosine (Areacosine), ay ang inverse function ng hyperbolic cosine ( x= ch y) , na mayroong domain ng kahulugan 1 ≤ x< +∞ at maraming halaga 0 ≤ y< +∞ .
Ang areacosine ay mahigpit na tumataas sa domain ng kahulugan nito.
Ang pangalawang sangay ng areacosine ay tinukoy din para sa x ≥ 1
at matatagpuan sa simetriko tungkol sa x-axis, - ∞< y ≤ 0
:
. Ito ay mahigpit na bumababa sa domain ng kahulugan.
arth x - inverse hyperbolic tangent
Inverse hyperbolic tangent (areatangent), ay ang inverse function ng hyperbolic tangent ( x= iyong) , na may domain ng kahulugan - 1 < x < 1 at ang hanay ng mga halaga -∞< y < +∞ .
Ang area tangent ay mahigpit na tumataas sa domain ng kahulugan nito.
arcth x - inverse hyperbolic cotangent
Inverse hyperbolic cotangent (areacotangent), ay ang inverse function ng hyperbolic cotangent ( x= cth y) , na mayroong domain |x| > 1 at isang hanay ng mga halaga y ≠ 0 .
Ang areacotangent ay mahigpit na bumababa sa domain ng kahulugan nito.
Plot ng inverse hyperbolic sine (areasine) y = arsh x
Plot ng inverse hyperbolic cosine (areacosine) y = arko x , x ≥ 1
Ang tuldok na linya ay nagpapakita ng pangalawang sangay ng areccosine.
Plot ng inverse hyperbolic tangent (areatangent) y = art x , |x|< 1
Graph ng inverse hyperbolic cotangent (areacotangent) y = arko x , |x| > 1
Mga Formula na may Inverse Hyperbolic Function
Relasyon sa trigonometriko function
Arsh iz = i Arcsin z;
Arch z = i Arccos z;
Arcsin iz = i Arsh z;
Arccos z = - i Arch z;
Arth iz = i Arctg z;
Arcth iz = - i Arcctg z;
Arctg iz = i Arth z;
Arcctg iz = - i Arcth z;
Narito ako ay isang haka-haka na yunit, i 2 = - 1
.
Pagkakapantay-pantay
arsh(-x) = - arsh x;
arko(-x) ≠ arko x;
arth(-x) = - arth x;
arcth(-x) = - arcth x.
Mga pag-andar arsh(x), art(x), arko(x)- kakaiba. Function arko(x)- ay hindi pantay o kakaiba.
Mga formula ng relasyon para sa inverse hyperbolic sines sa pamamagitan ng tangents at cosine sa pamamagitan ng cotangents
;
;
;
.
Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba
;
;
;
.
Derivatives ng inverse hyperbolic functions
;
.
Integrals ng arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Upang kalkulahin ang integral ng hyperbolic inverse sine, ginagawa namin ang pagpapalit x = sh t at pagsamahin ayon sa mga bahagi:
.
arko x
Katulad nito, para sa hyperbolic arc cosine. Gumagawa kami ng isang pagpapalit x = ch t at pagsamahin ayon sa mga bahagi, na isinasaalang-alang na ang t ≥ 0
:
.
art x
Gumagawa kami ng isang pagpapalit x = ika t at pagsamahin ayon sa mga bahagi:
;
;
;
.
arko x
Katulad nito, nakukuha namin ang:
.
Mga pagpapalawak sa serye
arsh x
Para sa |x|< 1
art x
Para sa |x|< 1
nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
arko x
Para sa |x| > 1
nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
Inverse function
Hyperbolic sine
Sa - ∞< y < ∞
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hyperbolic cosine
Sa 1 ≤ y< ∞
At 0 ≤ x< ∞
may mga formula:
,
.
Hyperbolic tangent
sa - 1
< y < 1
at - ∞< x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hyperbolic cotangent
Sa - ∞< y < - 1
o 1
< y < ∞
at x ≠ 0
may mga formula:
,
.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.