Proširenje kosinusa u niz po stepenu. Parabola: proširenje tangente

Dozvolite mi da odmah napravim rezervu da će se u članku raspravljati o proširenju tangente na nuli, što se u mnogim udžbenicima naziva Maclaurinovom ekspanzijom.

Pa, sve funkcije će biti beskonačno diferencirane tamo gdje su nam potrebne.

Dok većina drugih protozoa elementarne funkcije se prilično lako proširuju u Taylorov red, a zakon po kojem se formiraju termini ekspanzije najčešće nije komplikovan i može se jednostavno naslutiti, a to nije slučaj za tangentu. Iako se čini da je ovo potonje samo omjer sinusa i kosinusa, funkcije s kojima ne nastaju problemi tijekom širenja. U međuvremenu, da bismo naznačili vrstu opšteg pojma za tangentu, moraćemo da počnemo nešto izdaleka i da koristimo veštačke tehnike. Ali u praksi često nije potrebno znati sve koeficijente niza, dovoljno je samo nekoliko članova ekspanzije. Ovo je iskaz problema sa kojim se učenici najčešće susreću. Dakle, tu ćemo početi. Da se ne zamaramo previše, tražićemo proširenje do koeficijenta petog stepena.

Prva stvar koja vam ovdje pada na pamet je pokušati direktno koristiti Taylorovu formulu. Često ljudi jednostavno nemaju pojma o drugim metodama razlaganja u nizu. Inače, naš sjemeništarac iz matematike. analize, na drugoj godini sam upravo na ovaj način tražio dekompoziciju, mada ne mogu ništa loše reći o njemu, on je pametan momak, možda je samo htio da pokaže svoje sposobnosti u uzimanju derivata. Kako god bilo, uzimanje derivata tangente višeg reda i dalje je zadovoljstvo, krajnje mukotrpan zadatak, samo jedan od onih koje je lakše povjeriti mašini, a ne osobi. Ali, nas kao prave sportiste ne zanima rezultat, već proces, a poželjno je da proces bude jednostavniji. Izvodi su sljedeće (izračunate u sistemu maksimuma): , , , , . Ko misli da je derivate lako dobiti ručno, neka to učini u slobodno vrijeme. Kako god bilo, sada možemo napisati proširenje: .

Evo šta ovdje možemo pojednostaviti: primjećujemo to i tako, prvi izvod tangente se izražava kroz tangentu, osim toga, iz ovoga slijedi da će svi ostali derivati tangente biti polinomi tangente, što nam omogućava da ne patimo sa izvodnicama kvocijenta od sinusa i kosinus:
,
,
,
.
Raspadanje, naravno, ispada isto.

O još jednoj metodi proširenja serije saznao sam direktno na ispitu iz matematike. analize i zbog nepoznavanja ove metode tada sam dobio hor. umjesto ex.-a. Značenje metode je da znamo proširenje u niz i sinusa i kosinusa, kao i funkciju, potonja ekspanzija nam omogućava da pronađemo ekspanziju drugog: . Otvaranjem zagrada dobijamo niz koji treba pomnožiti sa proširenjem sinusa. Sada samo trebamo pomnožiti dva reda. Ako govorimo o složenosti, onda sumnjam da je inferioran u odnosu na prvu metodu, pogotovo jer obim proračuna brzo raste sa povećanjem stepena ekspanzijskih termina koje je potrebno pronaći.

Sljedeća metoda je varijanta metode neodređenih koeficijenata. Postavimo prvo pitanje: šta općenito znamo o tangenti što nam može pomoći da konstruiramo ekspanziju, da tako kažemo a priori? Ovdje je najvažnije da je tangentna funkcija neparna, pa su stoga svi koeficijenti na parnim potencijama jednaki nuli, drugim riječima, pronalaženje polovine koeficijenata nije potrebno. Tada možemo napisati , ili , šireći sinus i kosinus u nizu, dobivamo . I izjednačavajući koeficijente na istim stepenima koje dobijamo, , i uopšte . Dakle, koristeći iterativni proces, možemo pronaći bilo koji broj termina proširenja.

Četvrta metoda je također metoda neodređenih koeficijenata, ali za nju nije potrebno proširenje bilo koje druge funkcije. Razmotrićemo diferencijalnu jednadžbu za tangentu. Gore smo vidjeli da se derivacija tangente može izraziti kao funkcija tangente. Zamjenom niza neodređenih koeficijenata u ovu jednačinu možemo napisati: Kvadriranjem i odavde, opet, kroz iterativni proces, biće moguće pronaći koeficijente proširenja.

Ove metode su mnogo jednostavnije od prve dvije, ali pronalaženje izraza za zajednički pojam serije na ovaj način neće uspjeti, ali bih želio. Kao što sam rekao na početku, moraćete da počnete izdaleka (pratiću Kurantov udžbenik). Počećemo sa serijskim proširenjem funkcije. Kao rezultat, dobijamo seriju koja će biti napisana u obliku , gdje su brojevi Bernulijevi brojevi.
U početku, ove brojeve je pronašao Jacob Bernoulli kada je pronašao sume m-tih stepena prirodni brojevi . Čini se, kakve veze ima trigonometrija s tim? Kasnije je Euler, rješavajući problem zbira inverznih kvadrata niza prirodnih brojeva, dobio odgovor od proširenja sinusa u beskonačan proizvod. Nadalje se pokazalo da proširenje kotangensa sadrži sume oblika , za sve prirodne n. I na osnovu toga, Euler je dobio izraze za takve sume u terminima Bernoullijevih brojeva. Dakle, ovdje postoje veze i ne bi trebalo biti iznenađujuće da proširenje tangente sadrži ovaj niz.
No, vratimo se na razlaganje razlomaka. Proširujući eksponent, oduzimajući jedan i dijeleći sa "x", na kraju dobijamo . Odavde je već očigledno da je prvi od Bernulijevih brojeva jednak jedan, drugi minus jedna sekunda, itd. Napišimo izraz za k-ti Bernoullijev broj, počevši od jedinice. Množenjem ovog izraza sa , prepisujemo izraz u sljedeći obrazac. I iz ovog izraza možemo redom dobiti Bernulijeve brojeve, posebno: , ,

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je najlakši način da to učinite kao što je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšanju vidljivosti stranice u pretraživačima. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML markup.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web stranicu, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) preuzmite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod - složeniji i dugotrajniji - ubrzaće učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi način jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruisan prema određeno pravilo, koji se primjenjuje uzastopno neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.

16.1. Proširenje elementarnih funkcija u Taylor i Maclaurin redove

Pokažimo da ako je na skupu definirana proizvoljna funkcija
, u blizini tačke
ima mnogo izvoda i zbir je niza stepena:

tada možete pronaći koeficijente ove serije.

Zamijenimo u nizu po stepenu
. Onda
.

Nađimo prvi izvod funkcije
:

At
:
.

Za drugi izvod dobijamo:

At
:
.

Nastavak ove procedure n kada dobijemo:
.

Tako smo dobili niz stepena oblika:

koji se zove pored Taylora za funkciju
u blizini tačke
.

Poseban slučaj serije Taylor je Maclaurin serija at
:

Ostatak Taylor (Maclaurin) serije se dobija odbacivanjem glavne serije n prvi članovi i označava se kao
. Zatim funkcija
može se napisati kao zbir n prvi članovi serije
i ostatak
:,

Ostatak je obično
izraženo različitim formulama.

Jedan od njih je u Lagrangeovom obliku:

, Gdje
.
.

Imajte na umu da se u praksi češće koristi Maclaurin serija. Dakle, da bi se zapisala funkcija
u obliku zbroja potencijskog reda potrebno je:

1) naći koeficijente Maclaurin (Taylor) reda;

2) naći oblast konvergencije rezultujućeg niza stepena;

3) dokazati da ovaj niz konvergira funkciji
.

Teorema 1 (neophodan i dovoljan uslov za konvergenciju Maclaurinovog reda). Neka je radijus konvergencije serije
. Da bi se ovaj niz konvergirao u intervalu
da funkcioniše
, potrebno je i dovoljno da bi uslov bio zadovoljen:
u navedenom intervalu.

Teorema 2. Ako su derivacije bilo kojeg reda funkcije
u nekom intervalu
ograničen u apsolutnoj vrijednosti na isti broj M, to je
, zatim u ovom intervalu funkcija
može se proširiti u Maclaurin seriju.

Primjer 1. Proširite u Taylorov niz oko tačke
funkcija.

Rješenje.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Region konvergencije
.

Primjer 2. Proširite funkciju u Taylorovoj seriji oko tačke
.

Rješenje:

Naći vrijednost funkcije i njenih derivata u
.

,
;

...........……………………………

,
.

Stavimo ove vrijednosti u red. Dobijamo:

ili
.

Nađimo područje konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako

Stoga, za bilo koje ova granica je manja od 1 i stoga će raspon konvergencije niza biti:
.

Razmotrimo nekoliko primjera proširenja osnovnih elementarnih funkcija u Maclaurinov red. Podsjetimo da je Maclaurin serija:

konvergira na intervalu
da funkcioniše
.

Imajte na umu da je za proširenje funkcije u niz potrebno:

a) pronaći koeficijente Maclaurinovog reda za ovu funkciju;

b) izračunati radijus konvergencije za rezultirajući niz;

c) dokazati da rezultirajući niz konvergira funkciji
.

Primjer 3. Razmotrite funkciju
.

Rješenje.

Izračunajmo vrijednost funkcije i njenih derivata na
.

Tada numerički koeficijenti serije imaju oblik:

za bilo koga n. Zamenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov niz i dobijemo:

Nađimo radijus konvergencije rezultirajućeg niza, i to:

Dakle, niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji za bilo koje vrednosti , jer na bilo kom intervalu
funkcija a njeni derivati apsolutne vrijednosti su ograničeni u broju .

Primjer 4. Razmotrite funkciju
.

Rješenje.

Lako je vidjeti da su derivati parnog reda
, a derivati su neparnog reda. Zamenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo ekspanziju:

Nađimo interval konvergencije ovog niza. Prema d'Alambertovom znaku:

za bilo koga . Dakle, niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinstvo.

Primjer 5.
.

Rješenje.

Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na
:

Dakle, koeficijenti ove serije:
I
, dakle:

Slično kao u prethodnom redu, područje konvergencije
. Serija konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinstvo.

Imajte na umu da je funkcija
neparna i serijska ekspanzija po neparnim stepenima, funkcija
– čak i širenje u niz u parnim snagama.

Primjer 6. Binomni niz:
.

Rješenje.

Nađimo vrijednost funkcije i njenih derivata na
:

Iz ovoga se vidi da:

Zamijenimo ove vrijednosti koeficijenata u Maclaurinov red i dobijemo proširenje ove funkcije u niz stepena:

Nađimo radijus konvergencije ovog niza:

Dakle, niz konvergira na intervalu
. Na graničnim tačkama na
I
niz može ili ne mora konvergirati ovisno o eksponentu
.

Proučeni niz konvergira na intervalu
da funkcioniše
, odnosno zbir serije
at
.

Primjer 7. Proširimo funkciju u Maclaurinovom nizu
.

Rješenje.

Da proširimo ovu funkciju u niz, koristimo binomni niz at
. Dobijamo:

Na osnovu svojstva redova stepena (redovi stepena se mogu integrisati u oblast njegove konvergencije), nalazimo integral levog i desni delovi ove serije:

Nađimo područje konvergencije ove serije:
,

odnosno područje konvergencije ove serije je interval
. Odredimo konvergenciju niza na krajevima intervala. At

. Ova serija je harmonična serija, odnosno razilazi se. At
dobijamo niz brojeva sa zajedničkim pojmom
.

Niz konvergira prema Leibnizovom testu. Dakle, područje konvergencije ovog niza je interval
.

16.2. Primena redova stepena u približnim proračunima

U približnim proračunima, redovi snaga igraju izuzetno važnu ulogu. Uz njihovu pomoć sastavljene su tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, tablice vrijednosti drugih funkcija koje se koriste u različitim područjima znanja, na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Osim toga, proširenje funkcija u niz stepena korisno je za njihovo teorijsko proučavanje. Glavni problem pri korištenju niza stepena u približnim proračunima je pitanje procjene greške pri zamjeni sume niza zbirom njegovih prvih nčlanovi.

Razmotrimo dva slučaja:

funkcija se proširuje u niz koji se mijenja znakom;

funkcija je proširena u niz znakova konstante.

Proračun korištenjem naizmjeničnih serija

Neka funkcija
proširen u niz naizmjeničnih snaga. Zatim prilikom izračunavanja ove funkcije za određenu vrijednost dobijamo niz brojeva na koji možemo primijeniti Leibnizov kriterij. U skladu s ovim kriterijem, ako se zbir niza zamijeni zbirom njegovog prvog nčlanova, tada apsolutna greška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, odnosno:
.