Odjeljak sadrži referentni materijal o osnovnim elementarnim funkcijama i njihovim svojstvima. Dana je klasifikacija elementarnih funkcija. Ispod su veze ka pododjeljcima koji raspravljaju o svojstvima specifičnih funkcija - grafovi, formule, derivati, antiderivati (integrali), proširenja u nizove, izrazi u terminima kompleksnih varijabli.
Referentne stranice za osnovne funkcije
Klasifikacija elementarnih funkcija
Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava jednadžbu:
,
gdje je polinom zavisne varijable y i nezavisne varijable x. Može se napisati kao:
,
gdje su polinomi.
Algebarske funkcije se dijele na polinome (cijele racionalne funkcije), racionalne funkcije i iracionalne funkcije.
Cjelokupna racionalna funkcija, koji se još naziva polinom ili polinom, dobija se iz varijable x i konačnog broja brojeva koristeći aritmetičke operacije sabiranje (oduzimanje) i množenje. Nakon otvaranja zagrada, polinom se svodi na kanonski oblik:
.
Razlomka racionalna funkcija, ili jednostavno racionalna funkcija, dobija se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija sabiranja (oduzimanja), množenja i dijeljenja. Racionalna funkcija se može svesti na oblik
,
gdje su i polinomi.
Iracionalna funkcija je algebarska funkcija koja nije racionalna. Pod iracionalnom funkcijom u pravilu se podrazumijevaju korijeni i njihove kompozicije s racionalnim funkcijama. Koren stepena n je definisan kao rešenje jednačine
.
Označava se ovako:
.
Transcendentne funkcije nazivaju se nealgebarskim funkcijama. To su eksponencijalne, trigonometrijske, hiperboličke i inverzne funkcije.
Pregled osnovnih elementarnih funkcija
Sve elementarne funkcije može se predstaviti kao konačan broj operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja izvršenih na izrazu oblika:
z t .
Inverzne funkcije se također mogu izraziti logaritmima. Glavne osnovne funkcije navedene su u nastavku.
Funkcija napajanja:
y(x) = x p ,
gdje je p eksponent. Zavisi od baze x.
Nazad na funkcija snage je također funkcija snage:
.
Za cjelobrojnu nenegativnu vrijednost eksponenta p, to je polinom. Za cjelobrojnu vrijednost p je racionalna funkcija. At racionalno značenje- iracionalna funkcija.
Transcendentne funkcije
Eksponencijalna funkcija:
y(x) = a x ,
gdje je a osnova stepena. Zavisi od eksponenta x.
Inverzna funkcija je logaritam na osnovu a:
x= log a y.
Eksponent, e na stepen x:
y(x) = e x ,
Ovo je eksponencijalna funkcija čiji je izvod jednak samoj funkciji:
.
Osnova eksponenta je broj e:
≈ 2,718281828459045...
.
Inverzna funkcija - prirodni logaritam - logaritam na osnovu e :
x= ln y ≡ log e y.
Trigonometrijske funkcije:
Sine : ;
Kosinus : ;
Tangenta : ;
Kotangens : ;
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = -1.
Inverzne trigonometrijske funkcije:
Arksinus: x = arcsin y,
;
Arkosinus: x = arc cos y,
;
Arktangent: x = arctg y,
;
Arc tangenta: x = arcctg y,
.
Radionica
Matematičkom analizom
Za večernje studente
Vau kurs
(I dio)
Moskva, 2006
UDK 512.8:516
BBK S42
Recenzenti:
Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Karolinskaya S.N. (Moskovski vazduhoplovni institut po imenu S. Ordžonikidze);
Kandidat fizičko-matematičkih nauka, vanredni profesor Krasnoslobodtseva T.P. (MITHT nazvan po M.V. Lomonosovu).
Skvorcova M.I., Mudrakova O.A., Krotov G.S., Radionica matematičke analize za studente večernjeg odsjeka 1. godine (I dio), Nastavno-metodički priručnik - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: ilustr. 29 .
Odobreno od strane Bibliotečko-izdavačke komisije MITHT im. M.V. Lomonosov kao nastavno sredstvo. Pos. ___/2006.
Priručnik je sažetak 6 praktičnih lekcija na kursu matematička analiza za studente večernjeg odsjeka MITHT-a im. M.V. Lomonosov. Dio I uključuje sljedeće dijelove: "Funkcija i njena osnovna svojstva", "Granica funkcije", "Tačke kontinuiteta i diskontinuiteta funkcije".
Svaka lekcija je posvećena posebnoj temi. Sažeci 5 lekcija sadrže sažetak relevantna teorija, tipični primjeri i zadaci za nezavisno rešenje(sa odgovorima). U sažetku lekcije br. 6 dat je primjer kontrolni rad(sa rješenjima) dati u ovoj lekciji.
Priručnik je namijenjen studentima večernjeg odsjeka univerziteta hemijskog profila.
© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006
Lekcija 1.
| |
Lekcija 2. Polarni koordinatni sistem. Konstrukcija grafova funkcija pomicanjem i rastezanjem duž koordinatnih osa ……………………………………………….
Lekcija 3. Ograničenje funkcije. Kontinuitet funkcije. Izračunavanje granica neprekidnih, racionalnih i nekih iracionalnih funkcija ……………………….
Lekcija 4. Prvo i drugo divne granice. Izračunavanje granica eksponencijalne funkcije stepena. Beskonačno mali i beskonačno veliki
vrijednosti ……………………………………………………………….
Lekcija 5. Tačke kontinuiteta i tačke diskontinuiteta funkcije. Klasifikacija tačke prekida. Istraživanje funkcije za kontinuitet ………………………………
Lekcija 6. Ispit br. 1 na temu "Proračun granica funkcija. Istraživanje funkcije za kontinuitet"………………………………………………………………….
Književnost……………………………………………….
Lekcija 1.
Koncept funkcije. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi.
Definicija 1. Zavisnost varijable o varijabli se zove funkcija ako svaka vrijednost odgovara jednoj vrijednosti.
Mi pišemo: i razgovor, što je funkcija od . Istovremeno se zove nezavisna varijabla(ili argument), i - zavisna varijabla.
Definicija 2. Opseg funkcije(označeno sa ) su sve vrijednosti koje . Skup vrijednosti funkcije(označeno sa ) su sve vrijednosti koje .
Definicija 3. Funkcija se poziva povećanje (opadanje) na numeričkom intervalu , ako je za bilo koji od , tako da vrijedi sljedeća nejednakost:
.
Definicija 4. Funkcija se poziva monotono na intervalu ako se samo smanjuje ili samo povećava za .
Definicija 5. Funkcija se poziva čak (odd) ako je simetričan u odnosu na nulu i za bilo koje od:
.
Dužina segmenta na koordinatnoj osi nalazi se po formuli:
Dužina segmenta na koordinatnoj ravni se traži po formuli:
Za pronalaženje dužine segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu koristi se sljedeća formula:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu osu se koristi samo prva formula, za koordinatnu ravan - prve dve formule, za trodimenzionalni koordinatni sistem - sve tri formule) se izračunavaju po formulama:
Funkcija je korespondencija forme y= f(x) između varijabli, zbog čega svaka razmatra vrijednost neke varijable x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenu vrijednost druga varijabla, y(zavisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednošću funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja jednu vrijednost argumenta X može postojati samo jedna vrijednost zavisne varijable at. Međutim, ista vrijednost at može se nabaviti sa raznim X.
Opseg funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično X) za koji je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Naznačen je domen definicije D(y). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Opseg funkcije se inače naziva opsegom dozvoljene vrijednosti, ili ODZ, koji ste već dugo mogli pronaći.
Raspon funkcija- to je sve moguće vrijednosti zavisna varijabla ove funkcije. Označeno E(at).
Funkcija raste na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija Smanjenje na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Intervali funkcija su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.
Funkcija nule su one vrijednosti argumenta za koje je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim tačkama grafik funkcije siječe apscisnu os (OX osa). Vrlo često, potreba za pronalaženjem nula funkcije znači jednostavno rješavanje jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnog predznaka znači i potrebu jednostavnog rješavanja nejednakosti.
Funkcija y = f(x) su pozvani čak X
To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Raspored ravnomjerna funkcija uvijek simetrično u odnosu na y-os y.
Funkcija y = f(x) su pozvani odd, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji X iz domena definicije ispunjena je jednakost:
To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije je uvijek simetričan u odnosu na ishodište.
Zbroj korijena parnog i čudne karakteristike(tačke preseka x-ose OX) je uvek nula, jer za svaki pozitivan korijen X ima negativan korijen X.
Važno je napomenuti da neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije se nazivaju funkcije opšti pogled , i nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava ne vrijedi za njih.
Linearna funkcija naziva se funkcija koja se može dati formulom:
Raspored linearna funkcija je prava linija i u opštem slučaju izgleda ovako (dat je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za slučaj k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole je dat kvadratnom funkcijom:
Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x jedan ; 0) i ( x 2; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX, ako postoji jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje osu OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe osu OY u tački sa koordinatama: (0; c). Raspored kvadratna funkcija(parabola) može izgledati ovako (na slici su prikazani primjeri koji su daleko od iscrpljivanja svih mogući tipovi parabola):
pri čemu:
- ako je koeficijent a> 0, u funkciji y = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
- ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili tačke u kojoj kvadratni trinom dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost):
Y vrhovi (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimuma ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratni trinom:
Grafovi drugih funkcija
funkcija snage
Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:
Obrnuto proporcionalna zavisnost pozovite funkciju datu formulom:
U zavisnosti od predznaka broja k grafikon nazad proporcionalna zavisnost mogu imati dva glavne opcije:
Asimptota je prava kojoj se linija grafa funkcije približava beskonačno blizu, ali se ne siječe. Asimptote za grafove inverzna proporcionalnost prikazane na gornjoj slici su koordinatne ose kojima se graf funkcije približava beskonačno blizu, ali ih ne siječe.
eksponencijalna funkcija sa bazom a pozovite funkciju datu formulom:
a graf eksponencijalne funkcije može imati dvije osnovne opcije (također ćemo dati primjere, vidi dolje):
logaritamska funkcija pozovite funkciju datu formulom:
Ovisno o tome da li je broj veći ili manji od jedan a Grafikon logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:
Funkcijski grafikon y = |x| kao što slijedi:
Grafovi periodičnih (trigonometrijskih) funkcija
Funkcija at = f(x) se zove periodični, ako postoji takav broj različit od nule T, šta f(x + T) = f(x), za bilo koga X izvan opsega funkcije f(x). Ako je funkcija f(x) je periodična s tačkom T, zatim funkcija:
gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednako nuli, takođe periodično sa tačkom T 1, koji je određen formulom:
Većina primjera periodične funkcije su trigonometrijske funkcije. Evo grafikona glavnih trigonometrijske funkcije. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije y= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije y= grijeh x pozvao sinusoida:
Funkcijski grafikon y= cos x pozvao kosinusni talas. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Od grafa sinusa, nastavlja se beskonačno duž ose OX lijevo i desno:
Funkcijski grafikon y=tg x pozvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih funkcija, ovaj graf ponavlja se neograničeno duž ose OX lijevo i desno.
I konačno, graf funkcije y=ctg x pozvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž ose OX lijevo i desno.
Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke omogućit će vam da se pokažete na VU odličan rezultat, maksimum onoga za šta ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako mislite da ste pronašli grešku u materijali za obuku, onda pišite, molim vas, o tome poštom. Također možete prijaviti grešku socijalna mreža(). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem je, po vašem mišljenju, došlo do greške. Također opišite koja je navodna greška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.
Nacionalni istraživački univerzitet
Katedra za primijenjenu geologiju
Esej o višoj matematici
Na temu: "Osnovne elementarne funkcije,
njihova svojstva i grafikoni"
Završeno:
Provjereno:
nastavnik
Definicija. Funkcija data formulom y=a x (gdje je a>0, a≠1) naziva se eksponencijalna funkcija s bazom a.
Hajde da formulišemo glavna svojstva eksponencijalne funkcije:
1. Područje definicije je skup (R) svih realnih brojeva.
2. Raspon vrijednosti je skup (R+) svih pozitivnih realnih brojeva.
3. Kada je a > 1, funkcija raste na cijeloj realnoj liniji; u 0<а<1 функция убывает.
4. Opća je funkcija.
, na intervalu xn [-3;3]
, na intervalu xn [-3;3] Funkcija oblika y(h)=h n, gdje je n broj ILI, naziva se funkcija stepena. Broj n može poprimiti različite vrijednosti: i cijeli i razlomak, paran i neparan. Ovisno o tome, funkcija snage će imati drugačiji oblik. Razmotrimo posebne slučajeve koji su funkcije stepena i odražavaju glavna svojstva ove vrste krivulja sljedećim redoslijedom: funkcija snage y = x² (funkcija s parnim eksponentom - parabola), funkcija snage y = x³ (funkcija s neparnim eksponentom - kubnom parabolom) i funkcijom y \u003d √ x (x na stepen ½) (funkcija s razlomkom), funkcija s negativnim cjelobrojnim eksponentom (hiperbola).
Funkcija napajanja y=x²
1. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;
2. E(y)= i raste na intervalu
Funkcija napajanja y=x³
1. Graf funkcije y \u003d x³ naziva se kubna parabola. Funkcija snage y=x³ ima sljedeća svojstva:
2. D(x)=R – funkcija je definirana na cijeloj numeričkoj osi;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija preuzima sve vrijednosti u svojoj domeni definicije;
4. Kada je x=0 y=0 – funkcija prolazi kroz ishodište O(0;0).
5. Funkcija se povećava u cijelom domenu definicije.
6. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište).
, na intervalu xn [-3;3] U zavisnosti od brojčanog faktora ispred x³, funkcija može biti strma / ravna i povećava se / smanjuje.
Funkcija snage s cijelim negativnim eksponentom:
Ako je eksponent n neparan, tada se graf takve funkcije stepena naziva hiperbola. Funkcija stepena s negativnim cijelim eksponentom ima sljedeća svojstva:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) za bilo koje n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) ako je n neparan broj; E(y)=(0;∞) ako je n paran broj;
3. Funkcija se smanjuje u cijeloj domeni definicije ako je n neparan broj; funkcija raste na intervalu (-∞;0) i opada na intervalu (0;∞) ako je n paran broj.
4. Funkcija je neparna (simetrična u odnosu na ishodište) ako je n neparan broj; funkcija je parna ako je n paran broj.
5. Funkcija prolazi kroz tačke (1;1) i (-1;-1) ako je n neparan broj i kroz tačke (1;1) i (-1;1) ako je n paran broj.
, na intervalu xn [-3;3] Funkcija stepena s razlomkom eksponenta
Funkcija stepena sa frakcijskim eksponentom oblika (slika) ima graf funkcije prikazane na slici. Funkcija stepena s razlomkom eksponenta ima sljedeća svojstva: (slika)
1. D(x) nR ako je n neparan broj i D(x)= 
, na intervalu xn 
, na intervalu xn [-3;3]
Logaritamska funkcija y \u003d log a x ima sljedeća svojstva:
1. Područje definicije D(x)n (0; + ∞).
2. Raspon vrijednosti E(y) O (- ∞; + ∞)
3. Funkcija nije ni parna ni neparna (općenito).
4. Funkcija raste na intervalu (0; + ∞) za a > 1, opada na (0; + ∞) za 0< а < 1.
Graf funkcije y = log a x može se dobiti iz grafa funkcije y = a x korištenjem simetrijske transformacije oko prave y = x. Na slici 9 je prikazan dijagram logaritamske funkcije za a > 1, a na slici 10 - za 0< a < 1.
; na intervalu xO 
; na intervalu xO Funkcije y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x nazivaju se trigonometrijske funkcije.
Funkcije y = sin x, y = tg x, y = ctg x su neparne, a funkcija y = cos x je parna.
Funkcija y \u003d sin (x).
1. Područje definicije D(x) ILI.
2. Raspon vrijednosti E(y) O [ - 1; jedan].
3. Funkcija je periodična; glavni period je 2π.
4. Funkcija je neparna.
5. Funkcija raste na intervalima [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] i opada na intervalima [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n O Z.
Grafikon funkcije y = sin (x) prikazan je na slici 11.