Može se pisati slovima.
1. Komutativno svojstvo sabiranja zapisuje se na sljedeći način: a + b = b + a.
U ovoj jednakosti, slova a i b mogu uzeti bilo koju prirodnu vrijednost i vrijednost 0.
3. Svojstvo nule tokom sabiranja može se napisati na sljedeći način: Ovdje slovo a može imati bilo koje značenje.
4. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja zapisuje se slovima na sljedeći način:
a - (b + c) = a - b - c. Ovdje b + c< а или b + с = а.
5. Svojstvo oduzimanja broja od zbira se piše slovima poput ovog:
(a + b) - c = a + (b - c), ako je c< Ь или о = b;
(a + b) - c = (a - c) + b, ako je c< а или с = а.
6. Svojstva nule tokom oduzimanja mogu se zapisati na sledeći način: a - 0 = a; a - a = 0.
Ovdje a može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost i vrijednost 0.
Pročitaj svojstva sabiranja i oduzimanja napisana slovima.
337. Napiši svojstvo kombinovanja sabiranja koristeći slova a, b i c. Zamijenite slova njihovim vrijednostima: a = 9873, b = 6914, c = 10,209 - i provjerite rezultirajuću brojčanu jednakost.
338. Zapišite svojstvo oduzimanja sume od brojevi koristeći slova a, b i c. Zamijenite slova njihovim vrijednostima: a = 243, b = 152, c = 88 - i provjerite rezultirajuću brojčanu jednakost.
339. Zapiši svojstvo oduzimanja broja od zbira na dva načina. Provjerite rezultirajuće numeričke jednadžbe zamjenom slova njihovim vrijednostima:
a) a = 98, b = 47 i c = 58;
b) a = 93, b = 97 i c = 95.
340. a) Na slici 42. kompasom pronađite tačke M(a + b) i N(a - b).
b) Koristeći sliku 43, objasni značenje asocijativnog svojstva sabiranja.
c) Uz pomoć slika objasniti ostala svojstva sabiranja i oduzimanja.
341. Iz svojstava sabiranja proizilazi:
56 + x + 14 = x + 56 + 14 = x + (56 + 14) = x + 70.
Pojednostavite prema ovom primjeru izraz:
a) 23 + 49 + m; c) x + 54 + 27;
b) 38 + n + 27; d) 176 4- y + 24.
342. Pronađite značenje izraza nakon što ga pojednostavite:
a) 28 + m + 72 sa m = 87; c) 228 + k + 272 sa k = 48;
b) n + 49 + 151 sa n = 63; d) 349 + p + 461 sa p = 115.
343. Iz svojstava oduzimanja slijedi:
28 - (15 + s) = 28 - 15 - s = 13 - s,
a - 64 - 26 = a - (64 + 26) = a - 90.
Koje svojstvo oduzimanja se koristi u njima primjeri? Koristeći ovo svojstvo oduzimanja, pojednostavite izraz:
a) 35 - (18 + y);
b) m- 128 - 472.
344. Iz svojstava sabiranja i oduzimanja slijedi:
137 - s - 27 « 137 - (s + 27) = 137 - (27 + s) = 137 - 27 - s = 110 - s.
Koja svojstva sabiranja i oduzimanja se koriste u ovom primjeru?
Koristeći ova svojstva, pojednostavite izraz:
a) 168 - (x + 47);
b) 384 - m - 137.
345. Iz svojstava oduzimanja slijedi:
(154 + b) - 24 = (154 - 24) + b = 130 + b;
a - 10 + 15 = (a - 10) + 15 = (a + 15) - 10 = a + (15 - 10) = a + 5.
Koje svojstvo oduzimanja se koristi u ovom primjeru?
Koristeći ovo svojstvo, pojednostavite izraz:
a) (248 + m) - 24; c) b + 127 - 84; e) (12 - k) + 24;
b) 189 + n - 36; d) a - 30 + 55; e) x - 18 + 25.
346. Pronađite značenje izraza nakon što ga pojednostavite:
a) a - 28 - 37 na a = 265; c) 237 + c + 163 sa c = 194; 188;
b) 149 + b - 99 sa b = 77; d) d - 135 + 165 sa d = 239; 198.
347. Tačke C i D su označene na segmentu AB, a tačka C leži između tačaka A i D. Napiši izraz za dužina segment:
a) AB ako je AC = 453 mm, CD = x mm i DB = 65 mm. Pronađite vrijednost rezultirajućeg izraza na x = 315; 283.
b) AC, ako je AB = 214 mm, CD = 84 mm i DB = y mm. Pronađite vrijednost rezultirajućeg izraza kada je y = 28; 95.
348. Tokar je za tri dana izvršio narudžbu za izradu identičnih dijelova. Prvog dana je napravio 23 dijela, drugog dana - b dijela više nego prvog dana, a trećeg dana - četiri dijela manje nego prvog dana. Koliko je dijelova tokar proizveo u ova tri dana? Napišite izraz za rješavanje problema i pronađite njegovu vrijednost za b = 7 i b = 9.
349. Izračunaj usmeno:
350. Nađi polovinu, četvrtinu i trećinu svakog od brojeva: 12; 36; 60; 84; 120.
a) 37 2 i 45 - 17;
b) 156: 12 i 31 7.
362. Pješak i biciklista se kreću jedan prema drugom na putu. Sada je udaljenost između njih 52 km. Brzina pješaka je 4 km/h, a brzina bicikliste 9 km/h. Kolika će biti udaljenost između njih nakon 1 sata; nakon 2 sata; za 4 sata? Koliko sati kasnije će se sresti pešak i biciklista?
363. Pronađite značenje izraza:
1) 1032: (5472: 19: 12);
2) 15 732: 57: (156: 13).
364. Pojednostavite izraz:
a) 37 + m + 56; c) 49 - 24 - k;
b) n - 45 - 37; d) 35 - t - 18.
365. Pojednostavite izraz i pronađite njegovo značenje:
a) 315 - p + 185 kod p = 148; 213;
b) 427 - l - 167 kod I = 59; 260.
366. Motociklista je prvu dionicu staze prešao za 54 s, drugu za 46 s, a treću p s brže od druge. Koliko je dugo trebalo motociklističkom trkaču da završi ove tri dionice? Pronađite vrijednost rezultirajućeg izraza ako je n = 9; 17; 22.
367. U trouglu jedna stranica je 36 cm, druga 4 cm manja, a treća je x cm veća od prve stranice. Pronađite obim trougla. Napišite izraz za rješavanje problema i pronađite njegovu vrijednost pri x = 4 i x = 8.
368. Turista je autobusom prešao 40 km, što je 5 puta više od udaljenosti koju je prešao pješice. Koju je ukupnu rutu turista?
369. Od grada do sela 24 km. Čovjek izlazi iz grada i hoda brzinom od 6 km/h. Nacrtajte na skali udaljenosti (jedna podjela - 1 km) položaj pješaka 1 sat nakon izlaska iz grada; nakon 2 sata; za 3 sata itd. Kada će doći u selo?
370. Tačna ili lažna nejednakost:
a) 85 678 > 48 - (369 - 78);
b) 7508 + 8534< 26 038?
371. Pronađite značenje izraza:
a) 36.366-17.366: (200 - 162);
b) 2 355 264: 58 + 1 526 112: 56;
c) 85 408 - 408 (155 - 99);
d) 417 908 + 6073 56 + 627 044.
N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOKHOV, A. S. ČESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za opšteobrazovne ustanove
Planiranje matematike, preuzimanje materijala za 5. razred, udžbenici online
Integers
Pozivaju se brojevi koji se koriste za brojanje prirodni brojevi Broj nula ne odnosi se na prirodne brojeve.
Jednocifrene brojevi: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Dvocifrene: 24,56, itd. Trocifren: 348,569, itd. Višestruko vrijedan: 23,562,456789 itd.
Podjela broja na grupe od 3 cifre, počevši s desna, naziva se casovi: prve tri cifre su klasa jedinica, sljedeće tri cifre su klasa hiljada, zatim miliona, itd.
Po segmentu nazovimo pravu povučenu od tačke A do tačke B. Zove se AB ili BA A B Dužina segmenta AB se naziva razdaljina između tačaka A i B.
Jedinice dužine:
1) 10 cm = 1 dm
2) 100 cm = 1 m
3) 1 cm = 10 mm
4) 1 km = 1000 m
Avion je površina koja nema rubove, koja se neograničeno proteže u svim smjerovima. Pravo nema ni početka ni kraja. Dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku - presecati. zraka– ovo je dio linije koji ima početak i nema kraj (OA i OB). Zraci na koje tačka deli pravu liniju nazivaju se dodatno jedan drugog.
Koordinatni snop:
0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – koordinate tačaka. Od njih dvoje prirodni brojevi Manji je onaj koji se zove ranije pri brojanju, a veći je onaj koji se poziva kasnije pri brojanju. Jedan je najmanji prirodan broj. Rezultat poređenja dva broja zapisuje se kao nejednakost: 5< 8, 5670 >368. Broj 8 je manji od 28 i veći od 5, može se napisati kao dvostruka nejednakost: 5< 8 < 28
Sabiranje i oduzimanje prirodnih brojeva
Dodatak
Brojevi koji se sabiraju nazivaju se sabirci. Rezultat sabiranja naziva se zbir.
Dodatna svojstva:
1. Komutativno svojstvo: Zbir brojeva se ne mijenja kada se pojmovi preurede: a + b = b + a(a i b su bilo koji prirodni brojevi i 0) 2. Svojstvo kombinacije: Da biste broju dodali zbir dva broja, prvo možete dodati prvi član, a zatim rezultatskom zbroju dodati drugi član: a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c(a, b i c su bilo koji prirodni brojevi i 0).
3. Sabiranje sa nulom: Dodavanjem nule ne mijenja se broj:
a + 0 = 0 + a = a(a je bilo koji prirodan broj).
Zove se zbir dužina stranica poligona perimetar ovog poligona.
Oduzimanje
Akcija koja koristi zbir i jedan od pojmova za pronalaženje drugog pojma se zove oduzimanjem.
Poziva se broj od kojeg se oduzima reducibilno, poziva se broj koji se oduzima deductible, rezultat oduzimanja se zove razlika. Razlika između dva broja pokazuje koliko prvo broj više drugi ili koliko sekunda broj manje prvo.
Svojstva oduzimanja:
1. Svojstvo oduzimanja sume od broja: Da biste oduzeli zbroj od broja, prvo možete oduzeti prvi član od ovog broja, a zatim oduzeti drugi član od nastale razlike:
a – (b + c) = (a - b) –With= a – b –With(b + c > a ili b + c = a).
2. Svojstvo oduzimanja broja od zbira: Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana i dodati drugi član rezultujućoj razlici
(a + b) – c = a + (b - c), ako sa< b или с = b
(a + b) – c = (a - c) + b, ako sa< a или с = a.
3. Svojstvo oduzimanja nule: Ako od broja oduzmete nulu, neće se promijeniti:
a – 0 = a(a – bilo koji prirodni broj)
4. Svojstvo oduzimanja istog broja od broja: Ako oduzmete ovaj broj od broja, dobit ćete nulu:
a – a = 0(a je bilo koji prirodan broj).
Numerički i abecedni izrazi
Zapisi akcija nazivaju se numeričkim izrazima. Broj dobijen kao rezultat izvođenja svih ovih radnji naziva se vrijednost izraza.
Množenje i dijeljenje prirodnih brojeva
Množenje prirodnih brojeva i njegova svojstva
Množenje broja m prirodnim brojem n znači pronalaženje zbira n članova, od kojih je svaki jednak m.
Izraz m · n i vrijednost ovog izraza nazivaju se proizvodom brojeva m i n. Brojevi m i n nazivaju se faktori.
Svojstva množenja:
1. Komutativno svojstvo množenja: Proizvod dva broja se ne mijenja kada se faktori preurede:
a b = b a
2. Kombinativna osobina množenja: Da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod s drugim faktorom:
a · (b · c) = (a · b) · c.
3. Svojstvo množenja sa jedan: Zbir n članova, od kojih je svaki jednak 1, jednak je n:
1 n = n
4. Svojstvo množenja sa nulom: Zbir n članova, od kojih je svaki jednak nuli, jednak je nuli:
0 n = 0
Znak množenja se može izostaviti: 8 x = 8x,
ili a b = ab,
ili a · (b + c) = a(b + c)
Division
Radnja kojom se proizvod i jedan od faktora koriste za pronalaženje drugog faktora naziva se podjela.
Broj koji se dijeli se poziva djeljiv; poziva se broj koji se dijeli razdjelnik, rezultat dijeljenja se zove privatni.
Kvocijent pokazuje koliko je puta dividenda veća od djelitelja.
Ne možete podijeliti sa nulom!
Svojstva divizije:
1. Kada se bilo koji broj podijeli sa 1, dobija se isti broj:
a: 1 = a.
2. Kada se broj dijeli istim brojem, rezultat je jedan:
a: a = 1.
3. Kada se nula podijeli brojem, rezultat je nula:
0: a = 0.
Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti drugim faktorom. 5x = 45 x = 45: 5 x = 9
Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45
Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12
Podjela s ostatkom
Ostatak je uvijek manji od djelitelja.
Ako je ostatak nula, onda se kaže da je dividenda djeljiva djeliteljem bez ostatka ili, drugim riječima, cijelim brojem. Da biste pronašli dividendu a prilikom dijeljenja s ostatkom, trebate pomnožiti djelomični količnik c s djeliteljem b i dodati ostatak d rezultirajućem proizvodu.
a = c b + d
Pojednostavljivanje izraza
Svojstva množenja:
1. Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje: Da pomnožite zbir brojem, možete svaki član pomnožiti ovim brojem i dodati rezultirajuće proizvode:
(a + b)c = ac + bc.
2. Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje: Da biste razliku pomnožili brojem, možete pomnožiti minus i oduzeto ovim brojem i oduzeti drugi od prvog proizvoda:
(a - b)c = ac - bc.
3a + 7a = (3 + 7)a = 10a
Procedura
Zbrajanje i oduzimanje brojeva nazivaju se operacije prve faze, a množenje i dijeljenje brojeva se nazivaju radnje druge faze.
Pravila za redosled radnji:
1. Ako u izrazu nema zagrada i sadrži radnje samo jedne faze, onda se one izvode redom s lijeva na desno.
2. Ako izraz sadrži akcije prve i druge faze i u njemu nema zagrada, tada se prvo izvode radnje druge faze, zatim akcije prve faze.
3. Ako u izrazu postoje zagrade, onda prvo izvršite radnje u zagradama (uzimajući u obzir pravila 1 i 2)
Svaki izraz specificira program za njegovo izračunavanje. Sastoji se od timova.
Stepen of. Kvadratni i kockasti brojevi
Proizvod u kojem su svi činioci međusobno jednaki piše se kraće: a · a · a · a · a · a = a6 Čitaj: a na šesti stepen. Broj a naziva se baza stepena, broj 6 je eksponent, a izraz a6 se naziva stepen.
Proizvod n i n naziva se kvadrat od n i označava se sa n2 (en na kvadrat):
n2 = n n
Proizvod n · n · n naziva se kocka broja n i označava se sa n3 (n kocka): n3 = n n n
Prvi stepen broja jednak je samom broju. Ako numerički izraz uključuje stupnjeve brojeva, tada se njihove vrijednosti izračunavaju prije izvođenja drugih radnji.
Površine i zapremine
Pisanje pravila pomoću slova naziva se formula. Formula putanje:
s = vt, gdje je s putanja, v je brzina, t je vrijeme.
v=s:t
t = s:v
Square. Formula za površinu pravougaonika.
Da biste pronašli površinu pravokutnika, morate pomnožiti njegovu dužinu sa širinom. S = ab, gdje je S površina, a dužina, b širina
Dvije figure se nazivaju jednakima ako se jedna od njih može preklopiti na drugu tako da se te figure poklapaju. Površine jednakih figura su jednake. Perimetri jednakih figura su jednaki.
Površina cijele figure jednaka je zbroju površina njenih dijelova. Površina svakog trokuta jednaka je polovini površine čitavog pravougaonika
Square je pravougaonik sa jednakim stranicama.
Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice:
Jedinice površine
Kvadratni milimetar – mm2
Kvadratni centimetar - cm2
Kvadratni decimetar – dm2
Kvadratni metar – m2
Kvadratni kilometar – km2
Površine polja se mjere u hektarima (ha). Hektar je površina kvadrata sa stranom od 100 m.
Površina malih parcela se mjeri u ari (a).
Ar (sto kvadratnih metara) je površina kvadrata sa stranicom od 10 m.
1 ha = 10.000 m2
1 dm2 = 100 cm2
1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2
Ako se dužina i širina pravokutnika mjere u različitim jedinicama, tada se moraju izraziti u istim jedinicama da bi se izračunala površina.
Pravougaoni paralelepiped
Površina pravokutnog paralelepipeda sastoji se od 6 pravokutnika od kojih se svaki naziva licem.
Suprotne strane pravougaonog paralelepipeda su jednake.
Strane lica se nazivaju ivice paralelepipeda, a vrhovi lica su vrhovi paralelepipeda.
Pravougaoni paralelepiped ima 12 ivica i 8 vrhova.
Pravougaoni paralelepiped ima tri dimenzije: dužinu, širinu i visinu
Kocka- Ovo kuboid, u kojem su sve dimenzije iste. Površina kocke se sastoji od 6 jednakih kvadrata.
Volumen pravokutnog paralelepipeda: Da biste pronašli volumen pravokutnog paralelepipeda, trebate njegovu dužinu pomnožiti sa širinom i visinom.
V=abc, V – zapremina, a dužina, b – širina, c – visina
Volumen kocke:
Jedinice zapremine:
Kubni milimetar – mm3
Kubni centimetar - cm3
Kubni decimetar – dm3
Kubni metar – mm3
Kubni kilometar – km3
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l
1 l = 1 dm3 = 1000 cm3
1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1.000.000.000 m3
Krug i krug
Zatvorena linija koja se nalazi na istoj udaljenosti od date tačke naziva se kružnica.
Dio ravnine koji leži unutar kruga naziva se kružnica.
Ova tačka se naziva središte i kružnice i kružnice.
Segment koji povezuje centar kružnice sa bilo kojom tačkom koja leži na kružnici naziva se poluprečnik kruga.
Zove se segment koji spaja dvije tačke na kružnici i prolazi kroz njeno središte prečnika kruga.
Prečnik je jednak dva radijusa.
dakle, općenito, oduzimanje prirodnih brojeva NEMA komutativno svojstvo. Napišimo ovu izjavu koristeći slova. Ako su a i b nejednaki prirodni brojevi, onda a−b≠b−a. Na primjer, 45−21≠21−45.
Svojstvo oduzimanja zbira dva broja od prirodnog broja.
Sljedeće svojstvo odnosi se na oduzimanje zbira dva broja od prirodnog broja. Pogledajmo primjer koji će nam dati razumijevanje ovog svojstva.
Zamislimo da imamo 7 novčića u rukama. Prvo odlučujemo da zadržimo 2 novčića, ali misleći da to neće biti dovoljno, odlučujemo da zadržimo još jedan novčić. Na osnovu značenja zbrajanja prirodnih brojeva, može se tvrditi da smo u ovom slučaju odlučili sačuvati broj novčića koji je određen zbrojem 2+1. Dakle, uzmemo dva novčića, dodamo im još jedan novčić i stavimo ih u kasicu. U ovom slučaju, broj novčića preostalih u našim rukama određen je razlikom 7−(2+1) .
Sada zamislite da imamo 7 novčića, a u kasicu smo stavili 2 novčića, a nakon toga još jedan novčić. Matematički, ovaj proces je opisan sljedećim numeričkim izrazom: (7−2)−1.
Ako prebrojimo novčiće koji nam ostaju u rukama, onda i u prvom i u drugom slučaju imamo 4 novčića. To jest, 7−(2+1)=4 i (7−2)−1=4, dakle, 7−(2+1)=(7−2)−1.
Razmatrani primjer nam omogućava da formuliramo svojstvo oduzimanja sume dva broja od datog prirodnog broja. Oduzimanje datog zbira dva prirodna broja od datog prirodnog broja isto je kao oduzimanje prvog člana datog zbira od datog prirodnog broja, a zatim oduzimanje drugog člana od nastale razlike.
Podsjetimo se da smo oduzimanju prirodnih brojeva dali značenje samo za slučaj kada je minus veći od oduzetog ili mu je jednak. Stoga možemo oduzeti dati zbir od datog prirodnog broja samo ako taj zbir nije veći od prirodnog broja koji se smanjuje. Imajte na umu da ako je ovaj uslov ispunjen, svaki od članova ne prelazi prirodni broj od kojeg se oduzima zbroj.
Koristeći slova, svojstvo oduzimanja zbira dva broja od datog prirodnog broja zapisuje se kao jednakost a−(b+c)=(a−b)−c, gdje su a, b i c neki prirodni brojevi, a ispunjeni su uslovi a>b+c ili a=b+c.
Razmatrano svojstvo, kao i kombinatorno svojstvo sabiranja prirodnih brojeva, omogućavaju da se od datog prirodnog broja oduzme zbir tri ili više brojeva.
Svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira dva broja.
Prijeđimo na sljedeće svojstvo, koje je povezano sa oduzimanjem datog prirodnog broja od datog zbira dva prirodna broja. Pogledajmo primjere koji će nam pomoći da “vidimo” ovo svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira dva broja.
Neka imamo 3 bombona u prvom džepu, a 5 bombona u drugom, a trebamo da poklonimo 2 bombona. Mi to možemo uraditi na različite načine. Pogledajmo ih jedan po jedan.
Prvo, možemo staviti sve bombone u jedan džep, a zatim izvaditi 2 bombona odatle i pokloniti ih. Opišimo ove radnje matematički. Nakon što bombone stavimo u jedan džep, njihov broj će biti određen zbirom 3+5. Sada ćemo od ukupnog broja bombona pokloniti 2 bombona, dok će preostali broj bombona biti određen sljedećom razlikom (3+5)−2.
Drugo, možemo pokloniti 2 bombona tako što ćemo ih izvaditi iz prvog džepa. U ovom slučaju razlika 3−2 određuje preostali broj bombona u prvom džepu, a ukupan broj preostalih bombona u našem džepu će biti određen zbrojem (3−2)+5.
Treće, možemo pokloniti 2 bombona iz drugog džepa. Tada će razlika 5−2 odgovarati broju preostalih bombona u drugom džepu, a ukupan preostali broj bombona će biti određen zbrojem 3+(5−2) .
Jasno je da ćemo u svim slučajevima imati isti broj bombona. Prema tome, jednakosti (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) su važeće.
Kada bismo morali da poklonimo ne 2, već 4 bombona, onda bismo to mogli da uradimo na dva načina. Prvo poklonite 4 bombona, prethodno ih sve stavite u jedan džep. U ovom slučaju, preostali broj bombona je određen izrazom oblika (3+5)−4. Drugo, mogli bismo pokloniti 4 bombona iz drugog džepa. U ovom slučaju, ukupan broj bombona daje sljedeći zbir 3+(5−4) . Jasno je da ćemo i u prvom i u drugom slučaju imati isti broj bombona, pa je tačna jednakost (3+5)−4=3+(5−4).
Analizirajući rezultate dobivene rješavanjem prethodnih primjera, možemo formulirati svojstvo oduzimanja zadanog prirodnog broja od datog zbira dva broja. Oduzimanje datog prirodnog broja od datog zbira dva broja isto je kao i oduzimanje datog broja od jednog od članova, a zatim sabiranje rezultirajuće razlike i drugog člana. Treba napomenuti da broj koji se oduzima NE smije biti veći od člana od kojeg se ovaj broj oduzima.
Zapišimo svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira pomoću slova. Neka su a, b i c neki prirodni brojevi. Zatim, pod uslovom da je a veće ili jednako c, jednakost je tačna (a+b)−c=(a−c)+b, i ako je ispunjen uslov da je b veći ili jednak c, jednakost je tačna (a+b)−c=a+(b−c). Ako su i a i b veći ili jednaki c, tada su obje posljednje jednakosti tačne i mogu se napisati na sljedeći način: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Analogno, možemo formulisati svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira tri ili više brojeva. U ovom slučaju, ovaj prirodni broj se može oduzeti od bilo kojeg člana (naravno, ako je veći ili jednak broju koji se oduzima), a preostali članovi se mogu dodati rezultujućoj razlici.
Da biste vizualizirali ozvučeno svojstvo, možete zamisliti da imamo mnogo džepova i da se u njima nalaze bomboni. Pretpostavimo da trebamo pokloniti 1 slatkiš. Jasno je da možemo pokloniti 1 slatkiš iz svakog džepa. Pri tome, nije bitno iz kojeg džepa ga poklanjamo, jer to ne utiče na količinu slatkiša koja će nam ostati.
Dajemo primjer. Neka su a, b, c i d neki prirodni brojevi. Ako je a>d ili a=d, tada je razlika (a+b+c)−d jednaka zbiru (a−d)+b+c. Ako je b>d ili b=d, onda (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Ako je c>d ili c=d, onda je jednakost (a+b+c)−d=a+b+(c−d) tačna.
Treba napomenuti da svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira tri ili više brojeva nije novo svojstvo, jer proizlazi iz svojstava zbrajanja prirodnih brojeva i svojstva oduzimanja broja od zbira dva broja.
Bibliografija.
- Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede opšteobrazovnih ustanova.
- Matematika. Bilo koji udžbenici za 5. razred opšteobrazovnih ustanova.
Tema kojoj je posvećena ova lekcija je “Svojstva sabiranja.” U njoj ćete se upoznati sa komutativnim i asocijativnim svojstvima sabiranja, gledajući ih u konkretni primjeri. Saznajte u kojim slučajevima ih možete koristiti kako biste olakšali proces izračunavanja. Test primjeri će vam pomoći da utvrdite koliko ste dobro savladali proučeni materijal.
Lekcija: Svojstva sabiranja
Pažljivo pogledajte izraz:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Moramo pronaći njegovu vrijednost. Hajde da to uradimo.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Rezultat izraza je 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Reci mi, da li je bilo zgodno izračunati? Nije bilo baš zgodno izračunati. Pogledajte ponovo brojeve u ovom izrazu. Da li ih je moguće zamijeniti tako da su proračuni praktičniji?
Ako drugačije rasporedimo brojeve:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Konačni rezultat izraza je 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vidimo da su rezultati izraza isti.
Pojmovi se mogu zamijeniti ako je pogodno za proračune, a vrijednost sume se neće mijenjati.
U matematici postoji zakon: Komutativni zakon sabiranja. U njemu se navodi da preuređivanje uslova ne mijenja sumu.
Ujak Fjodor i Šarik su se svađali. Šarik je pronašao značenje izraza onako kako je napisano, a ujak Fjodor je rekao da zna drugi, prikladniji način izračunavanja. Vidite li bolji način izračunavanja?
Sharik je riješio izraz onako kako je napisan. A čika Fjodor je rekao da zna zakon koji dozvoljava zamjenu pojmova i zamijenio je brojeve 25 i 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Vidimo da je rezultat ostao isti, ali je računica postala mnogo lakša.
Pogledajte sljedeće izraze i pročitajte ih.
6 + (24 + 51) = 81 (na 6 dodajte zbir 24 i 51)
zar ne zgodan način za obračun?
Vidimo da ako saberemo 6 i 24, dobijamo okrugli broj. Uvijek je lakše dodati nešto okruglom broju. Stavimo zbir brojeva 6 i 24 u zagrade.
(6 + 24) + 51 = …
(zbiru brojeva 6 i 24 dodajte 51)
Hajde da izračunamo vrednost izraza i vidimo da li se vrednost izraza promenila?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Vidimo da značenje izraza ostaje isto.
Vježbajmo sa još jednim primjerom.
(27 + 19) + 1 = 47 (dodati 1 zbiru brojeva 27 i 19)
Koje je brojeve zgodno grupirati da bi se formirala pogodna metoda?
Pogodili ste da su to brojevi 19 i 1. Stavimo zbir brojeva 19 i 1 u zagrade.
27 + (19 + 1) = …
(na 27 dodajte zbir brojeva 19 i 1)
Hajde da pronađemo značenje ovog izraza. Sjećamo se da se prvo izvodi radnja u zagradama.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Značenje našeg izraza ostaje isto.
Kombinacijski zakon sabiranja: dva susjedna člana mogu se zamijeniti njihovim zbirom.
Sada vježbajmo korištenje oba zakona. Moramo izračunati vrijednost izraza:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Prvo, upotrijebimo komutativno svojstvo sabiranja, koje nam omogućava zamjenu sabiraka. Zamenimo članove 14 i 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Sada upotrijebimo svojstvo kombinacije, koje nam omogućava da dva susjedna člana zamijenimo njihovim zbirom.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Prvo saznajemo vrijednost zbira 38 i 2.
Sada je zbir 14 i 6.
3. Festival pedagoških ideja" Javni čas» ().
Napravite ga kod kuće
1. Izračunajte zbir pojmova na različite načine:
a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16
2. Procijenite rezultate izraza:
a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1
3. Izračunajte iznos na zgodan način:
a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13
Može se uočiti niz rezultata svojstvenih ovoj akciji. Ovi rezultati se nazivaju svojstva sabiranja prirodnih brojeva. U ovom ćemo članku detaljno analizirati svojstva zbrajanja prirodnih brojeva, pisati ih slovima i dati primjere s objašnjenjima.
Navigacija po stranici.
Kombinativna osobina sabiranja prirodnih brojeva.
Sada dajmo primjer koji ilustruje asocijativnu osobinu zbrajanja prirodnih brojeva.
Zamislimo situaciju: 1 jabuka je pala sa prve jabuke, a 2 jabuke i još 4 jabuke sa druge jabuke. Sada razmotrite ovu situaciju: 1 jabuka i još 2 jabuke pale su sa prvog stabla jabuke, a 4 jabuke su pale sa drugog stabla jabuke. Jasno je da će i u prvom i u drugom slučaju biti isti broj jabuka na zemlji (što se može provjeriti preračunavanjem). To jest, rezultat zbrajanja broja 1 sa zbirom brojeva 2 i 4 jednak je rezultatu zbrajanja broja 1 i 2 sa brojem 4.
Razmatrani primjer nam omogućava da formuliramo kombinatorno svojstvo zbrajanja prirodnih brojeva: da bismo datom broju dodali dati zbir dva broja, ovom broju možemo dodati prvi član datog zbroja i drugi član od dati zbir rezultirajućeg rezultata. Ovo svojstvo se može napisati pomoću slova poput ovog: a+(b+c)=(a+b)+c, gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi.
Imajte na umu da jednakost a+(b+c)=(a+b)+c sadrži zagrade “(” i “)”. Zagrade se koriste u izrazima da naznače redoslijed kojim se radnje izvode - radnje u zagradama se izvode prve (više o tome je napisano u odjeljku). Drugim riječima, izrazi čije se vrijednosti prvo procjenjuju stavljaju se u zagrade.
U zaključku ovog paragrafa, napominjemo da nam kombinatorno svojstvo sabiranja omogućava da jedinstveno odredimo sabiranje tri, četiri ili više prirodnih brojeva.
Svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja, svojstvo zbrajanja nule i nule.
Znamo da nula NIJE prirodan broj. Pa zašto smo odlučili da pogledamo svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja u ovom članku? Za to postoje tri razloga. Prvo: ovo svojstvo se koristi prilikom dodavanja prirodnih brojeva u kolonu. Drugo: ovo svojstvo se koristi pri oduzimanju prirodnih brojeva. Treće: ako pretpostavimo da nula znači odsustvo nečega, onda se značenje zbrajanja nule i prirodnog broja poklapa sa značenjem sabiranja dva prirodna broja.
Hajde da izvršimo neko razmišljanje koje će nam pomoći da formulišemo svojstvo zbrajanja nule i prirodnog broja. Zamislimo da u kutiji nema objekata (drugim riječima, u kutiji ima 0 objekata), a u nju su smješteni objekti, gdje je a bilo koji prirodan broj. To jest, dodali smo 0 i objekte. Jasno je da nakon ove akcije postoje objekti u kutiji. Dakle, jednakost 0+a=a je tačna.
Slično, ako kutija sadrži stavke i u njega je dodano 0 stavki (tj. nije dodana nijedna stavka), tada će nakon ove akcije biti stavke u kutiji. Dakle, a+0=a .
Sada možemo dati formulaciju svojstva zbrajanja nule i prirodnog broja: zbir dva broja, od kojih je jedan nula, jednak je drugom broju. Matematički, ovo svojstvo se može zapisati kao sljedeća jednakost: 0+a=a ili a+0=a, gdje je a proizvoljan prirodan broj.
Odvojeno, obratimo pažnju na činjenicu da pri sabiranju prirodnog broja i nule, komutativno svojstvo sabiranja ostaje istinito, odnosno a+0=0+a.
Konačno, formulirajmo svojstvo dodavanja nule na nulu (to je sasvim očigledno i ne treba dodatne komentare): zbir dva broja, svaki jednak nuli, jednak je nuli. To je, 0+0=0 .
Sada je vrijeme da shvatimo kako sabrati prirodne brojeve.
Bibliografija.
- Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede opšteobrazovnih ustanova.
- Matematika. Bilo koji udžbenici za 5. razred opšteobrazovnih ustanova.