Takéto matrice sú spracované rôzne akcie: násobiť medzi sebou, nájsť determinanty atď. Matrix - špeciálny prípad pole: ak pole môže mať ľubovoľný počet rozmerov, potom iba dvojrozmerné pole sa nazýva matica.
V programovaní sa matica nazýva aj dvojrozmerné pole. Ktorékoľvek z polí v programe má názov, ako keby to bola jedna premenná. Na objasnenie, ktorá z buniek poľa sa myslí, keď je v programe uvedená, spolu s premennou sa používa aj číslo bunky v nej. Dvojrozmerná matica aj n-rozmerné pole v programe môžu obsahovať nielen číselné, ale aj symbolické, reťazcové, booleovské a iné informácie, vždy však rovnaké v rámci celého poľa.
Matice sa označujú veľkými písmenami A:MxN, kde A je názov matice, M je počet riadkov v matici a N je počet stĺpcov. Prvky sú reprezentované zodpovedajúcimi malými písmenami s indexmi označujúcimi ich počet v riadku a stĺpci a (m, n).
Najbežnejšie matrice obdĺžnikový tvar, hoci v dávnej minulosti matematici uvažovali aj o trojuholníkových. Ak je počet riadkov a stĺpcov matice rovnaký, nazýva sa štvorec. V tomto prípade M=N už má názov maticového poriadku. Matica s iba jedným riadkom sa nazýva riadok. Matica s iba jedným stĺpcom sa nazýva stĺpcová matica. Diagonálna matica je štvorcová matica, v ktorej sú iba prvky umiestnené pozdĺž uhlopriečky nenulové. Ak sú všetky prvky rovné jednej, matica sa nazýva identita, ak sú všetky prvky rovné nule, nazýva sa nula.
Ak v matici vymeníte riadky a stĺpce, matica sa transponuje. Ak sú všetky prvky nahradené komplexnými konjugátmi, stáva sa komplexným konjugátom. Okrem toho existujú aj iné typy matíc, ktoré sú určené podmienkami, ktoré sú kladené na prvky matrice. Ale väčšina z týchto podmienok platí len pre štvorcové.
Video k téme
Všimnite si, že prvky matice môžu byť nielen čísla. Predstavme si, že opisujete knihy, ktoré máte na poličke. Nech je vaša polica v poriadku a všetky knihy sú na presne určených miestach. Tabuľka, ktorá bude obsahovať popis vašej knižnice (podľa políc a poradia kníh na poličke), bude zároveň matricou. Takáto matica však nebude číselná. Ďalší príklad. Namiesto čísel existujú rôzne funkcie spojené určitou závislosťou. Výsledná tabuľka sa bude nazývať aj matica. Inými slovami, Matrix je akýkoľvek obdĺžnikový stôl, z ktorého sa skladá homogénne prvkov. Tu a ďalej budeme hovoriť o maticách zložených z čísel.
Namiesto zátvoriek sa na zápis matíc používajú hranaté zátvorky alebo rovné dvojité zvislé čiary
 |
(2.1*) |
Definícia 2. Ak vo výraze(1) m = n, potom hovoria o štvorcovú maticu, A keď , potom oh pravouhlý.
V závislosti od hodnôt m a n existujú niektoré špeciálne typy matice:
Najdôležitejšia charakteristika námestie matrix je ona determinant alebo determinant, ktorý sa skladá z maticových prvkov a označuje sa
Je zrejmé, že DE = 1; .
Definícia 3. Ak , potom matica A volal nedegenerované alebo nie špeciálne.
Definícia 4. Ak detA = 0 , potom matica A volal degenerovať alebo špeciálne.
Definícia 5. Dve matrice A A B sa volajú rovný a písať A = B ak majú rovnaké rozmery a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké, t.j..
Napríklad matice a sú rovnaké, pretože majú rovnakú veľkosť a každý prvok jednej matice sa rovná zodpovedajúcemu prvku druhej matice. Matice však nemožno nazvať rovnocennými, hoci determinanty oboch matíc sú rovnaké a veľkosti matíc sú rovnaké, ale nie všetky prvky umiestnené na rovnakých miestach sú rovnaké. Matrice sú iné, pretože majú rôzna veľkosť. Prvá matica má veľkosť 2x3 a druhá 3x2. Počet prvkov je síce rovnaký – 6 a samotné prvky sú rovnaké 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale v každej matici sú na rôznych miestach. Ale matice sú rovnaké, podľa definície 5.
Definícia 6. Ak opravíte určitý počet stĺpcov matice A a rovnaký počet riadkov, potom prvky v priesečníku označených stĺpcov a riadkov tvoria štvorcovú maticu n- rádu, ktorého determinantom volal maloletý k – matica rádu A.
Príklad. Napíšte tri neplnoleté osoby druhého poriadku z matice
DEFINÍCIA MATRIX. TYPY MATRICE
Matica veľkosti m× n volal súpravu m·nčísla usporiadané v obdĺžnikovej tabuľke m linky a n stĺpci. Táto tabuľka je zvyčajne uzavretá v zátvorkách. Matica môže vyzerať napríklad takto:
Pre stručnosť možno maticu označiť jedným veľkým písmenom, napr. A alebo IN.
IN všeobecný pohľad veľkosť matrice m× n napíš to takto
.
Čísla, ktoré tvoria maticu, sa nazývajú maticové prvky. Je vhodné poskytnúť maticovým prvkom dva indexy a ij: Prvý označuje číslo riadku a druhý označuje číslo stĺpca. Napríklad, 23– prvok je v 2. riadku, 3. stĺpci.
Ak má matica rovnaký počet riadkov ako počet stĺpcov, potom sa volá matica námestie a počet jeho riadkov alebo stĺpcov sa nazýva v poriadku matice. Vo vyššie uvedených príkladoch je druhá matica štvorcová - jej poradie je 3 a štvrtá matica je jej poradie 1.
Zavolá sa matica, v ktorej sa počet riadkov nerovná počtu stĺpcov pravouhlý. V príkladoch ide o prvú a tretiu maticu.
Existujú aj matice, ktoré majú iba jeden riadok alebo jeden stĺpec.
Zavolá sa matica iba s jedným riadkom matica - riadok(alebo reťazec) a maticu iba s jedným stĺpcom matica - stĺpec.
Matica, ktorej všetky prvky sú nulové, sa nazýva nulový a označuje sa (0) alebo jednoducho 0. Napríklad
.
Hlavná uhlopriečkaštvorcovej matice nazývame uhlopriečka idúca z ľavého horného do pravého dolného rohu.
Volá sa štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky pod hlavnou uhlopriečkou rovné nule trojuholníkový matice.
.
Nazýva sa štvorcová matica, v ktorej sú všetky prvky, snáď okrem tých na hlavnej uhlopriečke, rovné nule uhlopriečka matice. Napríklad, alebo.
Volá sa diagonálna matica, v ktorej sú všetky diagonálne prvky rovné jednej slobodný matice a označuje sa písmenom E. Napríklad matica identity 3. rádu má tvar 
.
AKCIE NA MATRIKÁCH
Maticová rovnosť. Dve matrice A A B sa hovorí, že sú rovnaké, ak majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké a ij = b ij. Ak teda 
A 
, To A = B, Ak a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 A a 22 = b 22.
Transponovať. Zvážte ľubovoľnú maticu A od m linky a n stĺpci. Môže byť spojená s nasledujúcou maticou B od n linky a m stĺpce, v ktorých je každý riadok stĺpcom matice A s rovnakým číslom (preto je každý stĺpec riadkom matice A s rovnakým číslom). Ak teda 
, To 
.
Táto matica B volal transponované matice A a prechod z A Komu B transpozícia.
Transpozícia je teda obrátením úloh riadkov a stĺpcov matice. Matica transponovaná na matricu A, zvyčajne označované A T.
Komunikácia medzi matricou A a jeho transpozíciu možno zapísať v tvare .
Napríklad. Nájdite maticu transponovanú z danej.
Pridanie matice. Nech matriky A A B pozostávajú z rovnakého počtu riadkov a rovnaké číslo stĺpce, t.j. mať rovnaké veľkosti. Potom s cieľom pridať matice A A B potrebné pre prvky matrice A pridať maticové prvky B stojace na rovnakých miestach. Teda súčet dvoch matíc A A B nazývaná matica C, ktorá je určená pravidlom napr.
Príklady. Nájdite súčet matíc:
Je ľahké overiť, že sčítanie matice sa riadi nasledujúcimi zákonmi: komutatívne A+B=B+A a asociatívne ( A+B)+C=A+(B+C).
Násobenie matice číslom. Na vynásobenie matice A za číslo k je potrebný každý prvok matice A vynásobte týmto číslom. Teda matricový produkt A za číslo k existuje nová matica, ktorá je určená pravidlom 
alebo .
Pre akékoľvek čísla a A b a matrice A A B platia nasledujúce rovnosti:
Príklady.
Maticové násobenie. Táto operácia sa vykonáva podľa zvláštneho zákona. V prvom rade si všimneme, že veľkosti faktorových matíc musia byť konzistentné. Násobiť môžete len tie matice, v ktorých sa počet stĺpcov prvej matice zhoduje s počtom riadkov druhej matice (t. j. dĺžka prvého riadku sa rovná výške druhého stĺpca). Práca matice A nie matrica B nazývaná nová matica C=AB, ktorého prvky sa skladajú takto:
Napríklad na získanie produktu (t.j. v matrici C) prvok umiestnený v 1. riadku a 3. stĺpci od 13, musíte vziať 1. riadok v 1. matici, 3. stĺpec v 2. a potom vynásobiť prvky riadku zodpovedajúcimi prvkami stĺpca a pridať výsledné produkty. A ďalšie prvky matice súčinu sa získajú použitím podobného súčinu riadkov prvej matice a stĺpcov druhej matice.
Vo všeobecnosti, ak vynásobíme maticu A = (a ij) veľkosť m× n do matice B = (b ij) veľkosť n× p, potom dostaneme maticu C veľkosť m× p, ktorého prvky sa vypočítavajú takto: prvok c ij sa získa ako výsledok súčinu prvkov i riadok matice A na zodpovedajúce prvky j stĺpec matice B a ich prídavky.
Z tohto pravidla vyplýva, že vždy môžete vynásobiť dve štvorcové matice rovnakého rádu a ako výsledok dostaneme štvorcovú maticu rovnakého rádu. Najmä štvorcová matica môže byť vždy vynásobená sama sebou, t.j. štvorec.
Ďalším dôležitým prípadom je násobenie riadkovej matice stĺpcovou maticou, pričom šírka prvej sa musí rovnať výške druhej, výsledkom čoho je matica prvého rádu (t. j. jeden prvok). naozaj,
.
Príklady.
Takže tieto jednoduché príklady ukazujú, že matriky, všeobecne povedané, medzi sebou nependlujú, t.j. A∙B ≠ B∙A . Preto pri násobení matíc musíte starostlivo sledovať poradie faktorov.
Dá sa overiť, že násobenie matíc sa riadi asociačnými a distributívnymi zákonmi, t.j. (AB)C=A(BC) A (A+B)C=AC+BC.
Je tiež ľahké to skontrolovať pri násobení štvorcovej matice A na matica identity E rovnakého rádu opäť získame maticu A, a AE=EA=A.
Možno poznamenať nasledujúci zaujímavý fakt. Ako viete, súčin 2 nenulových čísel sa nerovná 0. Pre matice to tak nemusí byť, t.j. súčin 2 nenulových matíc sa môže ukázať ako rovný nulovej matici.
Napríklad, Ak 
, To
.
KONCEPCIA DETERMINANTOV
Nech je daná matica druhého rádu - štvorcová matica pozostávajúca z dvoch riadkov a dvoch stĺpcov .
Determinant druhého rádu zodpovedajúce danej matici je číslo získané takto: od 11 do 22 – od 12 do 21.
Determinant je označený symbolom 
.
Takže, aby ste našli determinant druhého rádu, musíte odpočítať súčin prvkov pozdĺž druhej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky.
Príklady. Vypočítajte determinanty druhého rádu.
Podobne môžeme zvážiť maticu tretieho rádu a jej zodpovedajúci determinant.
Determinant tretieho rádu, zodpovedajúce danej štvorcovej matici tretieho rádu, je číslo označené a získané takto:
.
Tento vzorec teda udáva rozšírenie determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu 11, 12, 13 a redukuje výpočet determinantov tretieho rádu na výpočet determinantov druhého rádu.
Príklady. Vypočítajte determinant tretieho rádu.
Podobne možno zaviesť pojmy determinantov štvrtého, piateho atď. objednávky, pričom ich poradie sa znižuje rozšírením na prvky 1. riadku, pričom sa znamienka „+“ a „–“ pri pojmoch striedajú.
Takže na rozdiel od matice, ktorá je tabuľkou čísel, determinant je číslo, ktoré je k matici priradené určitým spôsobom.
>> Matice
4.1.Matice. Operácie na matriciach
Obdĺžniková matica veľkosť mxn je súbor čísel mxn usporiadaných vo forme obdĺžnikovej tabuľky obsahujúcej m riadkov a n stĺpcov. Napíšeme to do formulára
alebo skrátene A = (a i j) (i = ; j = ), čísla a i j sa nazývajú jeho prvky; Prvý index označuje číslo riadku, druhý - číslo stĺpca. A = (a i j) a B = (b i j) rovnaká veľkosť sa nazývajú rovné, ak ich prvky stojace na rovnakých miestach sú po pároch rovnaké, teda A = B, ak a i j = b i j .
Matica pozostávajúca z jedného riadka alebo jedného stĺpca sa nazýva riadkový vektor alebo stĺpcový vektor. Stĺpcové vektory a riadkové vektory sa jednoducho nazývajú vektory.
Matica pozostávajúca z jedného čísla je označená týmto číslom. A veľkosti mxn, ktorej všetky prvky sú rovné nule, sa nazývajú nula a označujú sa 0. Prvky s rovnakými indexmi sa nazývajú prvky hlavnej uhlopriečky. Ak sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov, to znamená m = n, potom sa matica nazýva štvorcová matica rádu n. Štvorcové matice, v ktorých sú iba prvky hlavnej uhlopriečky nenulové, sa nazývajú uhlopriečky a zapisujú sa takto:
.
Ak sú všetky prvky a i i uhlopriečky rovné 1, potom sa nazýva jednotka a označuje sa písmenom E:
.
Štvorcová matica sa nazýva trojuholníková, ak sú všetky prvky nad (alebo pod) hlavnou uhlopriečkou rovné nule. Transpozícia je transformácia, pri ktorej sa zamieňajú riadky a stĺpce pri zachovaní ich počtu. Transpozícia je označená T v hornej časti.
Ak preusporiadame riadky a stĺpce v (4.1), dostaneme
,
ktorý bude transponovaný vzhľadom na A. Najmä pri transponovaní stĺpcového vektora sa získa riadkový vektor a naopak.
Súčin A a čísla b je matica, ktorej prvky sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov A vynásobením číslom b: b A = (b a i j).
Súčet A = (a i j) a B = (b i j) rovnakej veľkosti sa nazýva C = (c i j) rovnakej veľkosti, ktorého prvky sú určené vzorcom c i j = a i j + b i j.
Súčin AB je určený za predpokladu, že počet stĺpcov A sa rovná počtu riadkov B.
Súčin AB, kde A = (a i j) a B = (b j k), kde i = , j= , k= , špecifikovaný v v určitom poradí AB sa nazýva C = (c i k), ktorého prvky sú určené ďalšie pravidlo:
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)
Inými slovami, prvok produktu AB je definovaný takto: prvok i-tý riadok a k-tý stĺpec C sa rovná súčtu súčinov prvky i-tého riadky A k zodpovedajúcim prvkom k-tého stĺpca B.
Príklad 2.1. Nájdite produkt AB a .
Riešenie. Máme: A veľkosti 2x3, B veľkosti 3x3, potom existuje súčin AB = C a prvky C sú rovnaké
Z 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, z 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, z 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,
s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .
, a produkt BA neexistuje.
Príklad 2.2. V tabuľke je uvedený počet jednotiek produktov denne expedovaných z mliekarní 1 a 2 do predajní M 1, M 2 a M 3 a dodávka jednotky produktu z každej mliekarne do skladu M 1 stojí 50 denných. jednotiek, do skladu M 2 - 70, a do M 3 - 130 den. Jednotky Vypočítajte denné náklady na dopravu každého závodu.
| Mliečna rastlina |
|||
Riešenie. Označme A maticu, ktorá nám bola daná v podmienke, a tým
B - matica charakterizujúca náklady na dodávku jednotky produktu do predajní, t.j.
,
Potom bude matica dopravných nákladov vyzerať takto:
.
Prvý závod teda minie 4 750 denierov na dopravu denne. jednotiek, druhá - 3680 peňažných jednotiek.
Príklad 2.3. Šijacia firma vyrába zimné kabáty, demi-sezónne kabáty a pršiplášte. Plánovaný výkon na desaťročie charakterizuje vektor X = (10, 15, 23). Používajú sa štyri druhy tkanín: T 1, T 2, T 3, T 4. V tabuľke sú uvedené miery spotreby látky (v metroch) pre každý výrobok. Vektor C = (40, 35, 24, 16) určuje náklady na meter látky každého typu a vektor P = (5, 3, 2, 2) určuje náklady na prepravu metra látky každého typu.
| Spotreba látky |
||||
| Demi-sezónny kabát |
||||
1. Koľko metrov z každého druhu látky bude potrebných na dokončenie plánu?
2. Nájdite cenu látky vynaloženú na šitie každého druhu výrobku.
3. Určite náklady na všetky látky potrebné na dokončenie plánu.
Riešenie. Označme A maticu, ktorá nám bola daná v podmienke, t.j.
,
potom, aby ste našli počet metrov látky potrebných na dokončenie plánu, musíte vynásobiť vektor X maticou A:
Náklady na látku vynaloženú na šitie výrobkov každého typu zistíme vynásobením matice A a vektora C T:
.
Náklady na všetky látky potrebné na dokončenie plánu sa určia podľa vzorca:
Nakoniec, ak sa vezmú do úvahy náklady na dopravu, celá suma sa bude rovnať nákladom na tkaninu, t. j. 9472 den. jednotky plus hodnota
X A PT = 
.
Takže X AC T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (peňažné jednotky).
ODA. Obdĺžnikový stôl pozostávajúci z T linky a P sa nazývajú stĺpce reálnych čísel matice veľkosť t×p. Matice sú označené veľkými latinskými písmenami: A, B,... a pole čísel je oddelené okrúhlymi alebo hranatými zátvorkami.
Čísla v tabuľke sa nazývajú maticové prvky a sú označené malými latinskými písmenami s dvojitým indexom, kde i- poradové číslo, j– číslo stĺpca, na ktorého priesečníku sa prvok nachádza. Vo všeobecnosti je matica napísaná takto:
Uvažujú sa dve matice rovný, ak sú ich zodpovedajúce prvky rovnaké.
Ak počet riadkov matice T rovný počtu jeho stĺpcov P, potom sa zavolá matica námestie(inak - obdĺžnikový).
Veľkosť Matrix 
nazývaná riadková matica. Veľkosť Matrix 
nazývaná stĺpcová matica.
Maticové prvky s rovnakými indexmi ( 
atď.), formulár hlavná uhlopriečka matice. Druhá uhlopriečka sa nazýva bočná uhlopriečka.
Štvorcová matica sa nazýva uhlopriečka, ak sú všetky jeho prvky umiestnené mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule.
Diagonálna matica, ktorej diagonálne prvky sú rovné jednej, sa nazýva slobodný matice a má štandardný zápis E:
Ak sú všetky prvky matice umiestnené nad (alebo pod) hlavnou uhlopriečkou rovné nule, matica má trojuholníkový tvar:
§2. Operácie na matriciach
1. Maticová transpozícia - transformácia, pri ktorej sa riadky matice zapisujú ako stĺpce pri zachovaní ich poradia. Pre štvorcovú maticu je táto transformácia ekvivalentná symetrickému zobrazeniu okolo hlavnej diagonály:
.
2. Matice rovnakej dimenzie možno sčítať (odčítať). Súčet (rozdiel) matíc je matica rovnakej dimenzie, ktorej každý prvok sa rovná súčtu (rozdielu) zodpovedajúcich prvkov pôvodných matíc:
3. Akákoľvek matica môže byť vynásobená číslom. Súčin matice číslom je matica rovnakého rádu, ktorej každý prvok sa rovná súčinu zodpovedajúceho prvku pôvodnej matice týmto číslom:
.
4. Ak sa počet stĺpcov jednej matice rovná počtu riadkov inej matice, môžete prvú maticu vynásobiť druhou. Súčinom takýchto matíc je matica, ktorej každý prvok sa rovná súčtu párových súčinov prvkov zodpovedajúceho riadku prvej matice a prvkov zodpovedajúceho stĺpca druhej matice.
Dôsledok. Umocňovanie matice Komu>1 je súčin matice A Komu raz. Definované len pre štvorcové matice.
Príklad.
Vlastnosti operácií s maticami.
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kAT;
(A+B) T = AT + B T;
(AB) T = B TA T;
Vlastnosti uvedené vyššie sú podobné vlastnostiam operácií s číslami. Existujú aj špecifické vlastnosti matríc. Patrí medzi ne napríklad výrazná vlastnosť násobenia matíc. Ak existuje produkt AB, potom produkt BA
Možno neexistuje
Môže sa líšiť od AB.
Príklad. Spoločnosť vyrába produkty dvoch typov A a B a používa tri druhy surovín S 1, S 2 a S 3. Miery spotreby surovín určuje matica N= 
, Kde n ij- množstvo surovín j, vynaložené na výrobu jednotky výkonu i. Výrobný plán je daný maticou C=(100 200) a jednotkové náklady každého druhu suroviny sú dané maticou 
. Určte náklady na suroviny potrebné na plánovanú výrobu a celkové náklady na suroviny.
Riešenie. Náklady na suroviny definujeme ako súčin matíc C a N:
Celkové náklady na suroviny vypočítame ako súčin S a P.