Časť obsahuje referenčný materiál o základných elementárnych funkciách a ich vlastnostiach. Je uvedená klasifikácia elementárnych funkcií. Nižšie sú uvedené odkazy na podsekcie, ktoré pojednávajú o vlastnostiach konkrétnych funkcií – grafy, vzorce, derivácie, primitívne derivácie (integrály), expanzie do radov, výrazy z hľadiska komplexných premenných.
Referenčné stránky pre základné funkcie
Klasifikácia elementárnych funkcií
Algebraická funkcia je funkcia, ktorá spĺňa rovnicu:
,
kde je polynóm v závisle premennej y a nezávisle premennej x . Dá sa napísať ako:
,
kde sú polynómy.
Algebraické funkcie sa delia na polynómy (celé racionálne funkcie), racionálne funkcie a iracionálne funkcie.
Celá racionálna funkcia, ktorý sa tiež nazýva polynóm alebo polynóm, sa získa z premennej x a konečného počtu čísel pomocou aritmetické operácie sčítanie (odčítanie) a násobenie. Po otvorení zátvoriek sa polynóm zredukuje na kanonickú formu:
.
Zlomková racionálna funkcia, alebo jednoducho racionálna funkcia, sa získa z premennej x a konečného počtu čísel pomocou aritmetických operácií sčítania (odčítania), násobenia a delenia. Racionálna funkcia sa dá zredukovať na formu
,
kde a sú polynómy.
Iracionálna funkcia je algebraická funkcia, ktorá nie je racionálna. Iracionálnou funkciou sa spravidla rozumejú korene a ich kompozície s racionálnymi funkciami. Koreň stupňa n je definovaný ako riešenie rovnice
.
Označuje sa takto:
.
Transcendentné funkcie sa nazývajú nealgebraické funkcie. Sú to exponenciálne, trigonometrické, hyperbolické a inverzné funkcie.
Prehľad základných elementárnych funkcií
Všetko elementárne funkcie možno znázorniť ako konečný počet operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia vykonaných na výraze v tvare:
z t.
Inverzné funkcie možno vyjadriť aj pomocou logaritmov. Hlavné základné funkcie sú uvedené nižšie.
Funkcia napájania:
y(x) = x p ,
kde p je exponent. Závisí to od základne x.
Späť k výkonová funkcia je tiež výkonová funkcia:
.
Pri celočíselnej nezápornej hodnote exponentu p ide o polynóm. Pre celočíselnú hodnotu je p racionálna funkcia. o racionálny význam- iracionálna funkcia.
Transcendentné funkcie
Exponenciálna funkcia:
y(x) = a x ,
kde a je základ stupňa. Závisí to od exponentu x.
Inverzná funkcia je logaritmus so základom a:
x= prihlásiť sa y.
Exponent e na mocninu x:
y(x) = e x ,
Toto je exponenciálna funkcia, ktorej derivácia sa rovná samotnej funkcii:
.
Základom exponentu je číslo e:
≈ 2,718281828459045...
.
Inverzná funkcia - prirodzený logaritmus - logaritmus k základu e :
x= ln y ≡ log e y.
Goniometrické funkcie:
Sínus : ;
Kosínus : ;
Tangenta: ;
Kotangens : ;
Tu je i imaginárna jednotka, i 2 = -1.
Inverzné goniometrické funkcie:
Arkásina: x = arcsin y,
;
Arcosine: x = oblúk čos y,
;
Arkustangens: x = arctg y,
;
Arkustangens: x = arcctg y,
.
Dielňa
Pomocou matematickej analýzy
Pre večerných študentov
Wow kurz
(časť I)
Moskva, 2006
MDT 512,8:516
BBK S42
Recenzenti:
Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Karolinskaya S.N. (Moskovský letecký inštitút pomenovaný po S. Ordzhonikidze);
Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Krasnoslobodtseva T.P. (MIHT pomenovaný po M.V. Lomonosovovi).
Skvortsová M.I., Mudráková O.A., Krotov G.S., Workshop matematickej analýzy pre študentov večerného oddelenia 1. ročníka (I. časť), Edukačná a metodická príručka - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: chorý. 29 .
Schválené Knižničnou a vydavateľskou komisiou MITHT im. M.V. Lomonosov ako učebná pomôcka. poz. ___/2006.
Manuál je zhrnutím 6 praktických lekcií na kurze matematická analýza pre študentov večerného oddelenia MITHT im. M.V. Lomonosov. Časť I obsahuje tieto časti: "Funkcia a jej základné vlastnosti", "Limita funkcie", "Body spojitosti a nespojitosti funkcie".
Každá lekcia je venovaná samostatnej téme. Súhrny 5 lekcií obsahujú zhrnutie relevantná teória, typické príklady a úlohy pre nezávislé riešenie(s odpoveďami). V abstrakte lekcie č. 6 je uvedená vzorová možnosť kontrolná práca(s riešeniami) uvedené v tejto lekcii.
Príručka je určená pre študentov večerného oddelenia vysokých škôl chemického profilu.
© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006
Lekcia 1.
| |
lekcia 2 Polárny súradnicový systém. Konštrukcia grafov funkcií posúvaním a naťahovaním pozdĺž súradnicových osí ………………………………………………….
lekcia 3 Hranica funkcie. Kontinuita funkcie. Výpočet limity spojitých, racionálnych a niektorých iracionálnych funkcií …………………………
Lekcia 4. Prvý a druhý úžasné limity. Výpočet limitov mocninnej exponenciálnej funkcie. Nekonečne malý a nekonečne veľký
hodnoty ………………………………………………….
5. lekcia Body spojitosti a body nespojitosti funkcie. Klasifikácia bodov zlomu. Skúmanie funkcie pre spojitosť ………………………………
Lekcia 6. Skúška č. 1 na tému "Výpočet limity funkcií. Skúmanie spojitosti funkcie"……………………………………………………….
Literatúra……………………………………………….
Lekcia 1.
Pojem funkcie. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy.
Definícia 1. Závislosť premennej od premennej sa nazýva funkciu ak každá hodnota zodpovedá jednej hodnote .
Píšeme: a rozprávanie, ktorá je funkciou . Zároveň je tzv nezávislá premenná(alebo argument) a - závislá premenná.
Definícia 2. Rozsah funkcie(označené ) sú všetky hodnoty, ktoré . Sada funkčných hodnôt(označené ) sú všetky hodnoty, ktoré .
Definícia 3. Funkcia sa volá zvyšujúci sa (ubúdanie) na číselnom intervale , ak pre niektorý z , tak, že platí nasledujúca nerovnosť:
.
Definícia 4. Funkcia sa volá monotónna na intervale, ak sa iba zníži alebo zvýši o .
Definícia 5. Funkcia sa volá dokonca (zvláštny) ak je symetrický vzhľadom na nulu a pre ktorúkoľvek z :
.
Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:
Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:
Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:
Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:
Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) sa zhoduje určitú hodnotuďalšia premenná, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.
Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva rozsah povolené hodnoty, alebo ODZ, ktoré máte možnosť nájsť už dlhšiu dobu.
Funkčný rozsah- to je všetko možné hodnoty závislá premenná tejto funkcie. Označené E(pri).
Funkcia stúpa na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.
Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré je hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.
Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Rozvrh dokonca funkciu vždy symetrické podľa osi y y.
Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.
Súčet koreňov párneho a nepárne vlastnosti(priesečníky osi x OX) je vždy nula, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.
Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv funkcie všeobecný pohľad a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.
Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:
Rozvrh lineárna funkcia je priama čiara a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (príklad je uvedený pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre prípad k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratickej funkcie (Parabola)
Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:
Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X jeden ; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Rozvrh kvadratickej funkcie(parabola) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpávajú všetko možné typy parabola):
kde:
- ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
- ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):
Y topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcový trojčlen:
Grafy iných funkcií
výkonová funkcia
Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:
Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:
V závislosti od znamienka čísla k graf späť proporcionálna závislosť môže mať dve hlavné možnosti:
Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverzná úmernosť na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.
exponenciálna funkcia so základňou a zavolajte funkciu danú vzorcom:
a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):
logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:
Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:
Graf funkcií r = |X| nasledovne:
Grafy periodických (trigonometrických) funkcií
Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:
kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:
Väčšina príkladov periodické funkcie sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrické funkcie. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:
Graf funkcií r= čos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:
Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať sa na VU výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiace materiály, potom napíšte, prosím, o tom poštou. Môžete tiež nahlásiť chybu sociálna sieť(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte aj údajnú chybu. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
Národná výskumná univerzita
Katedra aplikovanej geológie
Esej o vyššej matematike
Na tému: „Základné elementárne funkcie,
ich vlastnosti a grafy"
Dokončené:
Skontrolované:
učiteľ
Definícia. Funkcia daná vzorcom y=a x (kde a>0, a≠1) sa nazýva exponenciálna funkcia so základom a.
Formulujme hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie:
1. Definičný obor je množina (R) všetkých reálnych čísel.
2. Rozsah hodnôt je množina (R+) všetkých kladných reálnych čísel.
3. Keď a > 1, funkcia sa zvýši na celej reálnej čiare; na 0<а<1 функция убывает.
4. Je všeobecná funkcia.
, na intervale xн [-3;3]
, na intervale xн [-3;3] Funkcia v tvare y(х)=х n, kde n je číslo ОR, sa nazýva mocninná funkcia. Číslo n môže nadobúdať rôzne hodnoty: celé číslo aj zlomok, párne aj nepárne. V závislosti od toho bude mať funkcia napájania inú formu. Zvážte špeciálne prípady, ktoré sú výkonovými funkciami a odrážajú hlavné vlastnosti tohto typu kriviek v nasledujúcom poradí: výkonová funkcia y \u003d x² (funkcia s párnym exponentom - parabola), výkonová funkcia y \u003d x³ (funkcia s nepárnym exponentom - kubická parabola) a funkcia y \u003d √ x (x na mocninu ½) (funkcia so zlomkovým exponentom), funkcia s exponentom záporného celého čísla (hyperbola).
Funkcia napájania y=x²
1. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;
2. E(y)= a rastie na intervale
Funkcia napájania y=x³
1. Graf funkcie y \u003d x³ sa nazýva kubická parabola. Mocninná funkcia y=x³ má nasledujúce vlastnosti:
2. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;
3. E(y)=(-∞;∞) – funkcia nadobúda všetky hodnoty vo svojej oblasti definície;
4. Keď x=0 y=0 – funkcia prechádza počiatkom O(0;0).
5. Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.
6. Funkcia je nepárna (symetrická podľa pôvodu).
, na intervale xн [-3;3] V závislosti od číselného faktora pred x³ môže byť funkcia strmá / plochá a zvýšenie / zníženie.
Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom:
Ak je exponent n nepárny, potom sa graf takejto mocninnej funkcie nazýva hyperbola. Mocninná funkcia so záporným celočíselným exponentom má nasledujúce vlastnosti:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pre ľubovoľné n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ak n je nepárne číslo; E(y)=(0;∞), ak n je párne číslo;
3. Funkcia klesá v celom definičnom obore, ak n je nepárne číslo; funkcia rastie na intervale (-∞;0) a klesá na intervale (0;∞), ak n je párne číslo.
4. Funkcia je nepárna (symetrická podľa počiatku), ak n je nepárne číslo; funkcia je párna, ak n je párne číslo.
5. Funkcia prechádza cez body (1;1) a (-1;-1), ak n je nepárne číslo a cez body (1;1) a (-1;1), ak n je párne číslo.
, na intervale xн [-3;3] Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom
Mocninná funkcia s zlomkovým exponentom tvaru (obrázok) má graf funkcie znázornený na obrázku. Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom má tieto vlastnosti: (obrázok)
1. D(x) нR, ak n je nepárne číslo a D(x)= 
, na intervale xн 
, na intervale xн [-3;3]
Logaritmická funkcia y \u003d log a x má nasledujúce vlastnosti:
1. Definičná oblasť D(x)н (0; + ∞).
2. Rozsah hodnôt E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná).
4. Funkcia rastie na intervale (0; + ∞) pre a > 1, klesá na (0; + ∞) pre 0< а < 1.
Graf funkcie y = log a x získame z grafu funkcie y = a x pomocou transformácie symetrie okolo priamky y = x. Na obrázku 9 je znázornený graf logaritmickej funkcie pre a > 1 a na obrázku 10 - pre 0< a < 1.
; na intervale xО 
; na intervale xО Funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sa nazývajú goniometrické funkcie.
Funkcie y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sú nepárne a funkcia y \u003d cos x je párna.
Funkcia y \u003d sin (x).
1. Definičná oblasť D(x) ОR.
2. Rozsah hodnôt E(y) О [ - 1; jeden].
3. Funkcia je periodická; hlavná perióda je 2π.
4. Funkcia je nepárna.
5. Funkcia rastie na intervaloch [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] a klesá v intervaloch [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Graf funkcie y \u003d sin (x) je znázornený na obrázku 11.