Prvočísla sa dajú rozdeliť sami. základné čísla

prvočíslo je prirodzené (kladné celé číslo) číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné iba dvoma prirodzenými číslami: sebou samým a samo sebou. Inými slovami, prvočíslo má práve dvoch prirodzených deliteľov: a samotné číslo.

Podľa definície je množina všetkých deliteľov prvočísla dvojprvková, t.j. je súprava.

Množina všetkých prvočísel je označená symbolom . Na základe definície množiny prvočísel teda môžeme písať: .

Postupnosť prvočísel vyzerá takto:

Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie ako jedna môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, a to jedinečným spôsobom, až do poradia faktorov. Prvočísla sú teda základnými „stavebnými kameňmi“ množiny prirodzené čísla.

Rozklad prirodzeného čísla title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonický:

kde je prvočíslo a . Napríklad kanonický rozvoj prirodzeného čísla vyzerá takto: .

Reprezentácia prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel sa tiež nazýva rozklad čísel.

Vlastnosti prvočísel

Eratosthenove sito

Jedným z najznámejších algoritmov na vyhľadávanie a rozpoznávanie prvočísel je sito Eratosthenes. Tento algoritmus bol teda pomenovaný po gréckom matematikovi Eratosthenesovi z Kyrény, ktorý je považovaný za autora algoritmu.

Ak chcete nájsť všetky prvočísla menšie ako dané číslo, podľa metódy Eratosthenes musíte postupovať podľa týchto krokov:

Krok 1. Vypíšte za sebou všetky prirodzené čísla od dvoch do , t.j. .
Krok 2 Priraďte premennej hodnotu, teda hodnotu rovnajúcu sa najmenšiemu prvočíslu.
Krok 3 Vymažte zo zoznamu všetky čísla od do násobkov , teda čísla: .
Krok 4 Nájdite prvé nezačiarknuté číslo v zozname väčšie ako a priraďte hodnotu tohto čísla do premennej.
Krok 5 Opakujte kroky 3 a 4, kým nedosiahnete požadované číslo.

Proces aplikácie algoritmu bude vyzerať takto:

Všetky zostávajúce nezačiarknuté čísla v zozname na konci procesu aplikácie algoritmu budú množinou prvočísel od do .

Goldbachova hypotéza

Obal knihy „Strýko Petros a Goldbachova domnienka“

Napriek tomu, že prvočísla matematici skúmali už dlho, dnes mnohé súvisiace problémy zostávajú nevyriešené. Jedným z najznámejších nevyriešených problémov je Goldbachova domnienka, ktorý je formulovaný takto:

Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dva možno znázorniť ako súčet dvoch prvočísel (Goldbachova binárna domnienka)?
Je pravda, že každé nepárne číslo väčšie ako 5 môže byť vyjadrené ako súčet tri jednoduchéčísla (ternárny Goldbachov dohad)?

Treba povedať, že ternárna Goldbachova hypotéza je špeciálnym prípadom binárnej Goldbachovej hypotézy, alebo, ako hovoria matematici, ternárna Goldbachova hypotéza je slabšia ako binárna Goldbachova hypotéza.

Goldbachova domnienka sa stala široko známou mimo matematickej komunity v roku 2000 vďaka reklamnému marketingovému triku vydavateľských spoločností Bloomsbury USA (USA) a Faber and Faber (UK). Tieto vydavateľstvá, ktoré vydali knihu „Strýko Petros a Goldbachova domnienka“ („Dohad strýka Petrosa a Goldbacha“), sľúbili zaplatiť cenu 1 milión amerických dolárov do 2 rokov od dátumu vydania knihy tomu, kto dokazuje Goldbachov dohad. Niekedy sa spomínaná cena od vydavateľov zamieňa s cenami za riešenie problémov s cenou tisícročia. Nenechajte sa pomýliť, Goldbachova hypotéza nie je Clayovým inštitútom uvedená ako výzva milénia, hoci úzko súvisí s Riemannova hypotéza jedna z výziev tisícročia.

Kniha „Jednoduché čísla. Dlhá cesta do nekonečna

Obal knihy „Svet matematiky. základné čísla. Dlhá cesta do nekonečna

Okrem toho odporúčam prečítať si fascinujúcu populárno-náučnú knihu, ktorej anotácia hovorí: „Hľadanie prvočísel je jedným z najparadoxnejších problémov v matematike. Vedci sa to pokúšajú vyriešiť už niekoľko tisícročí, no po získaní nových verzií a hypotéz zostáva táto záhada stále nevyriešená. Vzhľad prvočísel nepodlieha žiadnemu systému: vznikajú spontánne v sérii prirodzených čísel, ignorujúc všetky pokusy matematikov identifikovať vzory v ich postupnosti. Táto kniha umožní čitateľovi sledovať vývoj vedeckých myšlienok od staroveku až po súčasnosť a predstaví najkurióznejšie teórie hľadania prvočísel.

Okrem toho budem citovať začiatok druhej kapitoly tejto knihy: „Prvočísla sú jedným z dôležité témy, ktoré nás zavedú späť k úplným počiatkom matematiky a potom nás po ceste stále väčšej zložitosti privedú k špičke moderná veda. Bolo by teda veľmi užitočné vysledovať fascinujúcu a zložitú históriu teórie prvočísel: ako presne sa vyvíjala, ako presne sa zbierali fakty a pravdy, ktoré sa dnes považujú za všeobecne akceptované. V tejto kapitole uvidíme, ako generácie matematikov starostlivo študovali prirodzené čísla pri hľadaní pravidla, ktoré predpovedá výskyt prvočísel, pravidla, ktoré sa v priebehu hľadania stávalo čoraz viac nepolapiteľné. Bližšie sa pozrieme aj na historické súvislosti: v akých podmienkach matematici pracovali a do akej miery sa v ich práci uplatňovali mystické a polonáboženské praktiky, ktoré sa vôbec nepodobajú vedeckých metód používané dnes. Napriek tomu sa pomaly a ťažko pripravovala pôda pre nové názory, ktoré inšpirovali Fermata a Eulera v 17. a 18. storočí.“

Čísla sú rôzne: prirodzené, prirodzené, racionálne, celé a zlomkové, kladné a záporné, komplexné a prvočíslo, nepárne a párne, skutočné atď. Z tohto článku sa dozviete, čo sú prvočísla.

Aké čísla sa nazývajú anglické slovo „simple“?

Školáci veľmi často nevedia odpovedať na jednu zo zdanlivo najjednoduchších otázok v matematike, čo je prvočíslo. Často si zamieňajú prvočísla s prirodzenými číslami (to znamená číslami, ktoré ľudia používajú pri počítaní predmetov, zatiaľ čo v niektorých zdrojoch začínajú od nuly av iných - od jednotky). Ale to sú dva úplne odlišné pojmy. Prvočísla sú prirodzené čísla, teda celé a kladné čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú iba 2 prirodzených deliteľov. V tomto prípade je jeden z týchto deliteľov dané číslo a druhý je jednotka. Napríklad trojka je prvočíslo, pretože nie je rovnomerne deliteľné žiadnym iným číslom, než je samo sebou a jedna.

Zložené čísla

Opakom prvočísel sú zložené čísla. Sú tiež prirodzené, tiež väčšie ako jedna, ale nemajú dvoch, ale viac deliteľov. Čiže napríklad čísla 4, 6, 8, 9 atď. sú prirodzené, zložené, ale nie prvočísla. Ako vidíte, ide väčšinou o párne čísla, ale nie o všetky. Ale „dvojka“ je párne číslo a „prvé číslo“ v rade prvočísel.

Sekvencia

Na zostavenie série prvočísel je potrebné urobiť výber zo všetkých prirodzených čísel, berúc do úvahy ich definíciu, to znamená, že musíte konať protirečivo. Je potrebné zvážiť každé z prirodzených kladných čísel na tému, či má viac ako dvoch deliteľov. Skúsme zostaviť rad (sekvenciu), ktorý pozostáva z prvočísel. Zoznam začína dvomi, potom príde tromi, keďže je deliteľný iba sám sebou a jedným. Zvážte číslo štyri. Má iné delitele ako štyri a jedna? Áno, to číslo je 2. Štyri teda nie je prvočíslo. Päťka je tiež prvočíslo (okrem 1 a 5 nie je deliteľné žiadnym iným číslom), ale šesť je deliteľné. A vo všeobecnosti, ak budete sledovať všetky párne čísla, všimnete si, že okrem „dvojky“ žiadne z nich nie je prvočíslo. Z toho usudzujeme, že párne čísla, okrem dvoch, nie sú prvočísla. Ďalší objav: všetky čísla, ktoré sú deliteľné tromi, okrem samotnej trojky, či už párnej alebo nepárnej, tiež nie sú prvočísla (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 atď.). To isté platí pre čísla, ktoré sú deliteľné piatimi a siedmimi. Celá ich zostava tiež nie je jednoduchá. Poďme si to zhrnúť. Takže všetky nepárne čísla, okrem jednotky a deviatky, patria k jednoduchým jednociferným číslam a iba „dvojke“ k párnym. Samotné desiatky (10, 20,... 40 atď.) nie sú prvočíslo. Dvojciferné, trojciferné atď. prvočísla možno definovať na základe vyššie uvedených zásad: ak nemajú iných deliteľov okrem seba a jedného.

Teórie o vlastnostiach prvočísel

Existuje veda, ktorá študuje vlastnosti celých čísel, vrátane prvočísel. Toto je odvetvie matematiky, ktoré sa nazýva vyššie. Okrem vlastností celých čísel sa zaoberá aj algebraickými, transcendentálnymi číslami, ako aj funkciami rôzneho pôvodu súvisiacimi s aritmetikou týchto čísel. V týchto štúdiách sa okrem elementárnych a algebraických metód využívajú aj analytické a geometrické metódy. Konkrétne sa štúdium prvočísel zaoberá „Teóriou čísel“.

Prvočísla sú „stavebnými kameňmi“ prirodzených čísel

V aritmetike existuje teorém nazývaný základná veta. Podľa nej možno akékoľvek prirodzené číslo, okrem jednoty, znázorniť ako súčin, ktorého činiteľmi sú prvočísla a poradie činiteľov je jedinečné, čo znamená, že spôsob zobrazenia je jedinečný. Hovorí sa tomu rozklad prirodzeného čísla na prvočiniteľa. Tento proces má aj iný názov - rozklad čísel. Na základe toho možno prvočísla nazývať „ stavebný materiál“, „bloky“ na zostavovanie prirodzených čísel.

Hľadajte prvočísla. Testy jednoduchosti

Mnoho vedcov rôznych čias sa snažilo nájsť nejaké princípy (systémy) na nájdenie zoznamu prvočísel. Veda pozná systémy nazývané Atkinovo sito, Sundartamovo sito, Eratosthenovo sito. Nedávajú však žiadne významné výsledky a na nájdenie prvočísel sa používa jednoduchý test. Algoritmy vytvorili aj matematici. Nazývajú sa testy primality. Existuje napríklad test, ktorý vyvinuli Rabin a Miller. Používajú ho kryptografi. Existuje aj test Kayala-Agrawala-Saskena. Napriek dostatočnej presnosti je však veľmi náročný na výpočet, čo znižuje jeho praktickú hodnotu.

Má množina prvočísel limit?

To, že množina prvočísel je nekonečno, napísal v knihe „Začiatky“ staroveký grécky vedec Euklides. Povedal toto: „Predstavme si na chvíľu, že prvočísla majú limit. Potom ich medzi sebou vynásobme a jednu pridajme k produktu. Číslo získané ako výsledok týchto jednoduchých operácií nemôže byť deliteľné žiadnym z radu prvočísel, pretože zvyšok bude vždy jedna. A to znamená, že existuje nejaké ďalšie číslo, ktoré ešte nie je zahrnuté v zozname prvočísel. Náš predpoklad preto nie je pravdivý a táto množina nemôže mať limit. Okrem Euklidovho dôkazu existuje aj modernejší vzorec, ktorý dal švajčiarsky matematik z 18. storočia Leonhard Euler. Podľa neho súčet, prevrátená hodnota súčtu prvých n čísel, rastie donekonečna s rastom čísla n. A tu je vzorec vety o rozdelení prvočísel: (n) rastie ako n / ln (n).

Aké je najväčšie prvočíslo?

Napriek tomu Leonard Euler dokázal nájsť najväčšie prvočíslo svojej doby. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Do roku 2013 však bolo vypočítané ďalšie najpresnejšie najväčšie v zozname prvočísel - 2 57885161 - 1. Nazýva sa Mersennovo číslo. Obsahuje asi 17 miliónov desatinných číslic. Ako vidíte, číslo nájdené vedcom z osemnásteho storočia je niekoľkonásobne menšie ako toto. Malo to tak byť, pretože Euler tento výpočet robil ručne, no nášmu súčasníkovi zrejme pomohol počítač. Navyše, toto číslo bolo získané na Katedre matematiky na jednom z amerických oddelení. Čísla pomenované po tomto vedcovi prechádzajú Luc-Lehmerovým testom primálnosti. Veda sa však pri tom nechce zastaviť. Electronic Frontier Foundation, ktorá bola založená v roku 1990 v Spojených štátoch amerických (EFF), ponúkla peňažnú odmenu za nájdenie veľkých prvočísel. A ak do roku 2013 bola cena udelená tým vedcom, ktorí ich nájdu medzi 1 a 10 miliónmi desatinné čísla, potom dnes toto číslo dosiahlo od 100 miliónov do 1 miliardy. Ceny sa pohybujú od 150 do 250 tisíc amerických dolárov.

Názvy špeciálnych prvočísel

Čísla, ktoré boli nájdené vďaka algoritmom vytvoreným určitými vedcami a prešli testom jednoduchosti, sa nazývajú špeciálne. Tu sú niektoré z nich:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills a kol.

Jednoduchosť týchto čísel, pomenovaných podľa vyššie uvedených vedcov, je stanovená pomocou nasledujúcich testov:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Rizeľ.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge a ďalší.

Moderná veda sa tam nekončí a svet pravdepodobne v blízkej budúcnosti spozná mená tých, ktorí mohli získať cenu 250 000 dolárov nájdením najväčšieho prvočísla.

Preklad

Vlastnosti prvočísel ako prví skúmali matematici Staroveké Grécko. Matematici pytagorejskej školy (500 - 300 pred Kristom) sa zaujímali predovšetkým o mystické a numerologické vlastnosti prvočísel. Ako prví prišli s nápadmi o dokonalých a priateľských číslach.

Dokonalé číslo má svojich vlastných deliteľov, ktorí sú sebe rovní. Napríklad správnymi deliteľmi čísla 6 sú: 1, 2 a 3. 1 + 2 + 3 = 6. Deliteľmi čísla 28 sú 1, 2, 4, 7 a 14. Navyše 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Čísla sa nazývajú priateľské, ak sa súčet správnych deliteľov jedného čísla rovná druhému a naopak - napríklad 220 a 284. Môžeme povedať, že dokonalé číslo je priateľské samo k sebe.

V čase objavenia sa diela Euklidove „Začiatky“ v roku 300 pred Kr. viaceré už boli dokázané dôležité fakty o prvočísla. V knihe IX prvkov Euklides dokázal, že existuje nekonečný počet prvočísel. Mimochodom, toto je jeden z prvých príkladov použitia dôkazu protirečením. Dokazuje tiež základnú vetu aritmetiky - každé celé číslo môže byť reprezentované jedinečným spôsobom ako súčin prvočísel.

Ukázal tiež, že ak je číslo 2 n -1 prvočíslo, potom číslo 2 n-1 * (2 n -1) bude dokonalé. Ďalší matematik, Euler, dokázal v roku 1747 ukázať, že všetko je vyrovnané perfektné čísla možno napísať v tejto forme. Dodnes nie je známe, či existujú nepárne dokonalé čísla.

V roku 200 p.n.l. Grék Eratosthenes prišiel s algoritmom na hľadanie prvočísel, ktorý sa nazýva Eratosthenovo sito.

A potom nastal veľký zlom v dejinách skúmania prvočísel spojených so stredovekom.

Nasledujúce objavy urobil už začiatkom 17. storočia matematik Fermat. Dokázal domnienku Alberta Girarda, že každé prvočíslo v tvare 4n+1 možno zapísať jednoznačne ako súčet dvoch štvorcov, a tiež sformuloval vetu, že každé číslo možno znázorniť ako súčet štyroch štvorcov.

Rozvinul sa nová metóda faktorizáciu veľkých čísel a demonštroval to na čísle 2027651281 = 44021 × 46061. Dokázal aj Fermatovu Malú vetu: ak je p prvočíslo, potom pre akékoľvek celé číslo a platí a p = modulo p.

Toto tvrdenie dokazuje polovicu toho, čo bolo známe ako „čínska hypotéza“ a pochádza z obdobia pred 2000 rokmi: celé číslo n je prvočíslo práve vtedy, ak je 2n-2 deliteľné číslom n. Druhá časť hypotézy sa ukázala ako nepravdivá – napríklad 2341 – 2 je deliteľné 341, hoci číslo 341 je zložené: 341 = 31 × 11.

Fermatova malá veta bola základom mnohých ďalších výsledkov v teórii čísel a metód testovania, či sú čísla prvočísla, z ktorých mnohé sa používajú dodnes.

Fermat si intenzívne dopisoval so svojimi súčasníkmi, najmä s mníchom menom Marin Mersenne. V jednom zo svojich listov sa domnieval, že čísla v tvare 2 n + 1 budú vždy prvočísla, ak n je mocninou dvoch. Testoval to pre n = 1, 2, 4, 8 a 16 a bol si istý, že keď n nie je mocninou dvoch, číslo nemusí byť nevyhnutne prvočíslo. Tieto čísla sa nazývajú Fermatove čísla a až o 100 rokov neskôr Euler ukázal, že ďalšie číslo, 232 + 1 = 4294967297, je deliteľné 641, a teda nie je prvočíslo.

Čísla v tvare 2 n - 1 boli tiež predmetom výskumu, pretože je ľahké ukázať, že ak je n zložené, potom je zložené aj samotné číslo. Tieto čísla sa nazývajú Mersennove čísla, pretože ich aktívne študoval.

Ale nie všetky čísla v tvare 2 n - 1, kde n je prvočíslo, sú prvočísla. Napríklad 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Prvýkrát to bolo objavené v roku 1536.

Po mnoho rokov dávali čísla tohto druhu matematikom najväčšie známe prvočísla. Že číslo M 19 dokázal Cataldi v roku 1588 a 200 rokov bolo najväčším známym prvočíslom, kým Euler nedokázal, že prvočíslo je aj M 31. Tento rekord sa držal ďalších sto rokov a potom Lucas ukázal, že M 127 je prvočíslo (a toto je už číslo 39 číslic), a potom výskum pokračoval s príchodom počítačov.

V roku 1952 bola dokázaná prvočísla čísel M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 a M 2281.

Do roku 2005 sa našlo 42 Mersennových prvočísel. Najväčší z nich, M 25964951 , pozostáva zo 7816230 číslic.

Eulerova práca mala obrovský vplyv na teóriu čísel, vrátane prvočísel. Rozšíril Fermatovu Malú vetu a zaviedol φ-funkciu. Faktorizoval 5. Fermatovo číslo 2 32 +1, našiel 60 párov priateľských čísel a sformuloval (ale nedokázal to) kvadratický zákon reciprocity.

Ako prvý zaviedol metódy matematická analýza a vyvinul analytickú teóriu čísel. Dokázal, že nielen harmonický rad ∑ (1/n), ale aj rad tvaru

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Získané súčtom veličín inverzných k prvočíslam, tiež diverguje. Súčet n členov harmonického radu rastie približne ako log(n), zatiaľ čo druhý rad diverguje pomalšie, ako log[ log(n) ]. To znamená, že napríklad súčet prevrátených hodnôt všetkých doteraz nájdených prvočísel dá iba 4, hoci séria sa stále rozchádza.

Na prvý pohľad sa zdá, že prvočísla sú medzi celé čísla rozdelené skôr náhodne. Napríklad medzi 100 číslami bezprostredne pred 10000000 je 9 prvočísiel a medzi 100 číslami bezprostredne za touto hodnotou sú len 2. Ale na veľkých segmentoch sú prvočísla rozdelené pomerne rovnomerne. Legendre a Gauss sa zaoberali ich distribúciou. Gauss raz povedal priateľovi, že za každých voľných 15 minút vždy spočíta počet prvočísel v nasledujúcich 1000 číslach. Do konca života narátal všetky prvočísla do 3 miliónov. Legendre a Gauss rovnako vypočítali, že pre veľké n je hustota prvočísel 1/log(n). Legendre odhadol počet prvočísel medzi 1 a n as

π(n) = n/(log(n) – 1,08366)

A Gauss - ako logaritmický integrál

π(n) = / 1/log(t) dt

S integračným intervalom od 2 do n.

Výrok o hustote prvočísel 1/log(n) je známy ako teorém o prvočíslach. Snažili sa to dokázať počas celého 19. storočia a Čebyšev a Riemann dosiahli pokrok. Spojili to s Riemannovou hypotézou, doteraz nepreukázanou domnienkou o rozdelení núl Riemannovej zeta funkcie. Hustotu prvočísel súčasne dokázali Hadamard a de la Vallée-Poussin v roku 1896.

V teórii prvočísel je stále veľa nevyriešených otázok, z ktorých niektoré sú staré stovky rokov:

hypotéza dvojčiat - o nekonečnom počte dvojíc prvočísel, ktoré sa navzájom líšia o 2
Goldbachova domnienka: každé párne číslo, začínajúce od 4, môže byť vyjadrené ako súčet dvoch prvočísel
Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n 2 + 1 ?
je vždy možné nájsť prvočíslo medzi n 2 a (n + 1) 2 ? (to, že medzi n a 2n je vždy prvočíslo, dokázal Čebyšev)
Existuje nekonečný počet Fermatových prvočísiel? existujú nejaké Fermatove prvočísla po 4.?
či existuje? aritmetická progresia po sebe idúcich prvočísel pre akúkoľvek danú dĺžku? napríklad pre dĺžku 4: 251, 257, 263, 269. Maximálna zistená dĺžka je 26 .
Existuje nekonečný počet množín troch po sebe idúcich prvočísiel v aritmetickej postupnosti?
n 2 - n + 41 je prvočíslo pre 0 ≤ n ≤ 40. Existuje nekonečný počet takýchto prvočísel? Rovnaká otázka pre vzorec n 2 - 79 n + 1601. Tieto čísla sú prvočísla pre 0 ≤ n ≤ 79.
Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# + 1? (n# je výsledkom vynásobenia všetkých prvočísel menších ako n)
Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n# -1 ?
Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n! +1?
Existuje nekonečný počet prvočísel v tvare n! - jeden?
ak p je prvočíslo, nezahŕňa 2 p -1 vždy medzi faktory druhých mocnín
Obsahuje Fibonacciho postupnosť nekonečný počet prvočísiel?

Najväčšie dvojčísla sú 2003663613 × 2 195000 ± 1. Pozostávajú z 58711 číslic a boli nájdené v roku 2007.

Najväčšie faktoriál prvočíslo (v tvare n! ± 1) je 147855! - 1. Skladá sa z 142891 číslic a bol nájdený v roku 2002.

Najväčšie prvočíslo (číslo v tvare n# ± 1) je 1098133# + 1.

Štítky: Pridajte štítky

Článok sa zaoberá pojmami prvočíselných a zložených čísel. Uvádzame definície takýchto čísel s príkladmi. Preukážeme, že počet prvočísel je neobmedzený a do tabuľky prvočísel zapíšeme Eratosthenovu metódu. Budú poskytnuté dôkazy o tom, či je číslo prvočíslo alebo zložené.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvočísla a zložené čísla – definície a príklady

Prvočísla a zložené čísla sú klasifikované ako kladné celé čísla. Musia byť väčšie ako jedna. Deliče sa tiež delia na jednoduché a zložené. Aby sme pochopili pojem zložené čísla, je potrebné najprv študovať pojmy deliteľov a násobkov.

Definícia 1

Prvočísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú dvoch kladných deliteľov, teda samy seba a 1.

Definícia 2

Zložené čísla sú celé čísla, ktoré sú väčšie ako jedna a majú aspoň troch kladných deliteľov.

Jedna nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. Má iba jedného kladného deliteľa, takže sa líši od všetkých ostatných kladných čísel. Všetky kladné celé čísla sa nazývajú prirodzené, to znamená, že sa používajú pri počítaní.

Definícia 3

základné čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba dvoch kladných deliteľov.

Definícia 4

Zložené číslo je prirodzené číslo, ktoré má viac ako dvoch kladných deliteľov.

Akékoľvek číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslo alebo zložené. Z vlastnosti deliteľnosti máme, že 1 a číslo a bude vždy deliteľom pre ľubovoľné číslo a, čiže bude deliteľné samo sebou a číslom 1. Uvádzame definíciu celých čísel.

Definícia 5

Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nazývajú zložené čísla.

Prvočísla: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sú deliteľné iba sebou samými a 1. Zložené čísla: 6, 63, 121, 6697. To znamená, že číslo 6 možno rozložiť na 2 a 3 a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 a 121 na 11, 11, to znamená, že jeho deliteľmi budú 1, 11, 121. Číslo 6697 sa rozloží na 37 a 181. Všimnite si, že pojmy prvočísla a relatívne prvočísla sú odlišné pojmy.

Aby ste si uľahčili používanie prvočísel, musíte použiť tabuľku:

Tabuľka pre všetky existujúce prirodzené čísla je nereálna, pretože ich je nekonečné množstvo. Keď čísla dosiahnu veľkosť 10 000 alebo 1 000 000 000, mali by ste uvažovať o použití Eratosthenovho sita.

Zvážte vetu, ktorá vysvetľuje posledné tvrdenie.

Veta 1

Najmenší kladný deliteľ prirodzeného čísla väčšieho ako 1 okrem 1 je prvočíslo.

Dôkaz 1

Predpokladajme, že a je prirodzené číslo väčšie ako 1, b je najmenším nejednotným deliteľom a. Musíme dokázať, že b je prvočíslo pomocou metódy kontradikcie.

Povedzme, že b je zložené číslo. Odtiaľto máme, že existuje deliteľ pre b , ktorý je odlišný od 1 aj od b . Takýto deliteľ sa označí ako b 1 . Je potrebné splniť podmienku 1< b 1 < b bolo dokončené.

Z podmienky je zrejmé, že a je deliteľné b, b je deliteľné b 1, čo znamená, že pojem deliteľnosti je vyjadrený takto: a = b q a b = b 1 q 1 , odkiaľ a = b 1 (q 1 q), kde q a q 1 sú celé čísla. Podľa pravidla násobenia celých čísel máme, že súčin celých čísel je celé číslo s rovnosťou tvaru a = b 1 · (q 1 · q) . Je vidieť, že b 1 je deliteľom a. Nerovnosť 1< b 1 < b nie zhoduje sa, pretože dostaneme, že b je najmenší kladný ne-1 deliteľ a.

Veta 2

Prvočísel je nekonečne veľa.

Dôkaz 2

Predpokladajme, že vezmeme konečný počet prirodzených čísel n a označíme ako p 1 , p 2 , … , p n . Uvažujme o variante nájdenia prvočísla odlišného od uvedených.

Uvažujme číslo p, ktoré sa rovná p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Nerovná sa každému z čísel zodpovedajúcich prvočíslam v tvare p 1 , p 2 , … , p n . Číslo p je prvočíslo. Potom sa veta považuje za dokázanú. Ak je zložený, musíme použiť zápis p n + 1 a ukázať nesúlad deliteľa s ktorýmkoľvek z p 1 , p 2 , ... , p n .

Ak by to tak nebolo, potom na základe vlastnosti deliteľnosti súčinu p 1 , p 2 , … , p n , dostaneme, že by to bolo deliteľné p n + 1 . Všimnite si, že výraz p n + 1 delené číslo p sa rovná súčtu p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Dostaneme, že výraz p n + 1 druhý člen tohto súčtu, ktorý sa rovná 1, treba rozdeliť, ale to nie je možné.

Je vidieť, že medzi ľubovoľným počtom daných prvočísel možno nájsť akékoľvek prvočíslo. Z toho vyplýva, že prvočísel je nekonečne veľa.

Keďže prvočísel je veľa, tabuľky sú obmedzené na čísla 100, 1000, 10000 atď.

Pri zostavovaní tabuľky prvočísel je potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že takáto úloha vyžaduje postupnú kontrolu čísel od 2 do 100. Ak nie je deliteľ, zapíše sa do tabuľky, ak je zložený, do tabuľky sa nezapíše.

Uvažujme krok za krokom.

Ak začínate číslom 2, potom má iba 2 deliteľov: 2 a 1, čo znamená, že ho možno zapísať do tabuľky. Aj s číslom 3 . Číslo 4 je zložené, treba ho rozložiť na 2 a 2. Číslo 5 je prvočíslo, čo znamená, že ho možno v tabuľke opraviť. Urobte to až do čísla 100.

Táto metóda nepríjemné a dlhé. Môžete si vyrobiť stôl, ale musíte minúť veľký početčas. Je potrebné použiť kritériá deliteľnosti, ktoré urýchlia proces hľadania deliteľov.

Metóda využívajúca Eratosthenovo sito sa považuje za najvhodnejšiu. Poďme sa pozrieť na tabuľky nižšie. Na začiatok sa píšu čísla 2, 3, 4, ..., 50.

Teraz musíte prečiarknuť všetky čísla, ktoré sú násobkami 2. Vykonajte postupné prečiarknutie. Dostaneme tabuľku vo forme:

Prejdime k vyčiarknutiu čísel, ktoré sú násobkami 5. Dostaneme:

Prečiarkneme čísla, ktoré sú násobkami 7, 11. Nakoniec tabuľka vyzerá

Prejdime k formulácii vety.

Veta 3

Najmenší kladný a ne-1 deliteľ základného čísla a nepresahuje a , kde a je aritmetický odmocnina daného čísla.

Dôkaz 3

B je potrebné označiť ako najmenšieho deliteľa zloženého čísla a. Existuje celé číslo q , kde a = b · q , a máme, že b ≤ q . Nerovnosť formy b > q pretože je porušená podmienka. Obe strany nerovnosti b ≤ q by sa mali vynásobiť ľubovoľnou kladné číslo b , nerovná sa 1 . Dostaneme, že b b ≤ b q , kde b 2 ≤ a a b ≤ a .

Z dokázanej vety je vidieť, že prečiarknutie čísel v tabuľke vedie k tomu, že je potrebné začať s číslom, ktoré sa rovná b 2 a spĺňa nerovnosť b 2 ≤ a . To znamená, že ak prečiarknete čísla, ktoré sú násobkami 2, proces začne od 4 a tie, ktoré sú násobkami 3, začnú od 9 a tak ďalej až po 100.

Zostavenie takejto tabuľky pomocou Eratosthenovho teorému hovorí, že keď sa prečiarknu všetky zložené čísla, zostanú prvočísla, ktoré nepresiahnu n. V príklade, kde n = 50, máme, že n = 50. Odtiaľto dostávame, že Eratosthenove sito preosieva všetky zložené čísla, ktorých hodnota nie je väčšia ako hodnota odmocniny 50. Vyhľadávanie čísel prebieha preškrtávaním.

Pred riešením je potrebné zistiť, či je číslo prvočíslo alebo zložené. Často sa používajú kritériá deliteľnosti. Pozrime sa na to v príklade nižšie.

Príklad 1

Dokážte, že 898989898989898989 je zložené číslo.

Riešenie

Súčet číslic daného čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17 . Takže číslo 9 17 je deliteľné 9 na základe znamienka deliteľnosti 9. Z toho vyplýva, že je zložený.

Takéto znaky nie sú schopné dokázať prvoradosť čísla. Ak je potrebné overenie, mali by sa podniknúť ďalšie kroky. Väčšina vhodným spôsobom- Je to množstvo čísel. Počas procesu možno nájsť prvočísla a zložené čísla. To znamená, že hodnota čísel by nemala presiahnuť . To znamená, že číslo a treba rozložiť na prvočiniteľa. ak je to pravda, potom číslo a možno považovať za prvočíslo.

Príklad 2

Určte zložené alebo prvočíslo 11723.

Riešenie

Teraz musíte nájsť všetkých deliteľov pre číslo 11723. Treba vyhodnotiť 11723 .

Odtiaľ vidíme, že 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 a 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Pre presnejší odhad čísla 11723 je potrebné napísať výraz 108 2 = 11 664, resp. 109 2 = 11 881 , potom 108 2 < 11 723 < 109 2 . Z toho vyplýva, že 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Pri rozklade dostaneme, že 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 7 7 7 , 6 , 61 , 7 , 6 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sú všetky prvočísla. Celý tento proces možno znázorniť ako rozdelenie podľa stĺpca. To znamená, vydeľte 11723 číslom 19. Číslo 19 je jedným z jeho faktorov, keďže dostávame delenie bezo zvyšku. Znázornime rozdelenie podľa stĺpca:

Z toho vyplýva, že 11723 je zložené číslo, pretože okrem seba a 1 má aj deliteľa 19 .

odpoveď: 11723 je zložené číslo.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Preklad

Vlastnosti prvočísel ako prví skúmali matematici starovekého Grécka. Matematici pytagorejskej školy (500 - 300 pred Kristom) sa zaujímali predovšetkým o mystické a numerologické vlastnosti prvočísel. Ako prví prišli s nápadmi o dokonalých a priateľských číslach.

V čase objavenia sa diela Euklidove „Začiatky“ v roku 300 pred Kr. Niekoľko dôležitých faktov o prvočíslach už bolo dokázaných. V knihe IX prvkov Euklides dokázal, že existuje nekonečný počet prvočísel. Mimochodom, toto je jeden z prvých príkladov použitia dôkazu protirečením. Dokazuje tiež základnú vetu aritmetiky - každé celé číslo môže byť reprezentované jedinečným spôsobom ako súčin prvočísel.

Ukázal tiež, že ak je číslo 2 n -1 prvočíslo, potom číslo 2 n-1 * (2 n -1) bude dokonalé. Iný matematik Euler v roku 1747 dokázal, že v tejto forme možno zapísať všetky párne dokonalé čísla. Dodnes nie je známe, či existujú nepárne dokonalé čísla.

V roku 200 p.n.l. Grék Eratosthenes prišiel s algoritmom na hľadanie prvočísel, ktorý sa nazýva Eratosthenovo sito.