Pozostáva z kladných (prirodzených) čísel, záporných čísel a nuly.
Všetky záporné čísla a iba oni sú menšie ako nula. Na číselnej osi sú záporné čísla umiestnené naľavo od nuly. Pre ne, rovnako ako pre kladné čísla, je definovaný poradový vzťah, ktorý umožňuje porovnávať jedno celé číslo s druhým.
n -n, ktorý dopĺňa n na nulu: n + (− n) = 0 . Volajú sa obe čísla opak jeden pre druhého. Odčítanie celého čísla a je ekvivalentné pridania k jeho opaku: -a.
Vlastnosti záporných čísel
Záporné čísla sa riadia takmer rovnakými pravidlami ako prirodzené čísla, ale majú určité zvláštnosti.
Historický náčrt
Literatúra
- Vygodsky M. Ya. Príručka elementárna matematika. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Glazer G.I. História matematiky v škole. - M.: Osveta, 1964. - 376 s.
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite si, čo sú „záporné čísla“ v iných slovníkoch:
Reálne čísla menšie ako nula, napríklad 2; 0,5; π atď. Pozri číslo... Veľká sovietska encyklopédia
- (hodnoty). Výsledok postupných sčítaní alebo odčítaní nezávisí od poradia, v ktorom sa tieto operácie vykonávajú. Napr. 10 5 + 2 \u003d 10 +2 5. Tu sú permutované nielen čísla 2 a 5, ale aj znaky pred týmito číslami. Dohodnuté...... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron
čísla sú záporné- Čísla v účtovníctve, ktoré sú písané červenou ceruzkou alebo červeným atramentom. Účtovné témy... Technická príručka prekladateľa
ZÁPORNÉ ČÍSLA- čísla v účtovníctve, ktoré sú napísané červenou ceruzkou alebo červeným atramentom ... Veľký účtovný slovník
Množina celých čísel je definovaná ako uzavretie množiny prirodzených čísel pri aritmetických operáciách sčítania (+) a odčítania (). Súčet, rozdiel a súčin dvoch celých čísel sú teda opäť celé čísla. Pozostáva z ... ... Wikipédie
Čísla, ktoré prirodzene vznikajú pri počítaní (v zmysle enumerácie aj v zmysle kalkulu). Existujú dva prístupy k určovaniu prirodzených čísel čísla používaného v: enumerácii (číslovaní) objektov (prvý, druhý, ... ... Wikipedia
Koeficienty E n v expanzii Rekurzívny vzorec pre E. h. má tvar E4n+2 záporné celé čísla pre všetky n=0, 1,..., E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385... . Matematická encyklopédia
Záporné číslo je prvok množiny záporných čísel, ktorý sa (spolu s nulou) objavil v matematike pri rozširovaní množiny prirodzených čísel. Účelom rozšírenia je poskytnúť operáciu odčítania pre ľubovoľné čísla. Výsledkom je ... ... Wikipedia
Aritmetika. Obraz od Pinturicchio. Apartmány Borgia. 1492 1495. Rím, Vatikánske paláce ... Wikipedia
Hans Sebald Beham. Aritmetika. Aritmetika zo 16. storočia (iná grécka ἀ ... Wikipedia
knihy
- Matematika. 5. ročník študijná kniha a praxou. Kladné a záporné čísla. V 2 častiach. Časť 2. Federal State Educational Standards, Gelfman E.G. Učebnica a workshop pre 5. ročník sú súčasťou učebných materiálov pre matematiku pre 5. – 6. ročník, ktoré v rámci projektu vypracoval kolektív autorov pod vedením E. G. Gelfmana a M. A. Kholodnaya. ..
V rámci prirodzených čísel možno od väčšieho odčítať len menšie číslo a komutatívny zákon odčítanie neobsahuje – napr. 3 + 4 − 5 (\displaystyle 3+4-5) platný a výraz s permutovanými operandmi 3 − 5 + 4 (\displaystyle 3-5+4) neprijateľné...
Pridanie záporných čísel a nuly k prirodzeným číslam umožňuje odčítanie pre akúkoľvek dvojicu prirodzených čísel. V dôsledku takéhoto rozšírenia sa získa množina (prsteň) „celých čísel“. Pri ďalšom rozšírení množiny čísel o racionálne alebo reálne čísla sa pre ne získajú zodpovedajúce záporné hodnoty rovnakým spôsobom. Pre komplexné čísla nie je definované zoradenie a pojem „záporné číslo“ neexistuje.
Všetky záporné čísla a iba oni sú menšie ako nula. Na číselnej osi sú záporné čísla umiestnené naľavo od nuly. Pre ne, rovnako ako pre kladné čísla, je definovaný poradový vzťah, ktorý umožňuje porovnávať jedno celé číslo s druhým.
Pre každé prirodzené číslo n existuje iba jedno záporné číslo označené ako -n, ktorý dopĺňa n na nulu:
n + (− n) = 0. (\displaystyle n+\left(-n\right)=0.)Obe čísla sa nazývajú protiklady. Odčítanie celého čísla a z iného celého čísla b sa rovná pridávaniu b s opakom pre a:
b − a = b + (− a) . (\displaystyle b-a=b+\left(-a\right).)Príklad: 25 − 75 = − 50. (\displaystyle 25-75=-50.)
Vlastnosti záporných čísel
Záporné čísla sa riadia takmer rovnakými algebraickými pravidlami ako prirodzené čísla, ale majú určité zvláštnosti.
- Ak je ľubovoľná množina kladných čísel ohraničená nižšie, potom je ľubovoľná množina záporných čísel ohraničená vyššie.
- Pri násobení celých čísel, znakové pravidlo: súčin čísel s rôznymi znamienkami je záporný, čísla s rovnakým znamienkom sú kladné.
- Keď sa obe strany nerovnosti vynásobia záporným číslom, znamienko nerovnosti sa obráti. Napríklad vynásobením nerovnosti 3 −10.
Pri delení zvyškom môže mať podiel ľubovoľné znamienko, ale zvyšok je podľa konvencie vždy nezáporný (inak nie je jednoznačne určený). Napríklad vydeľme −24 číslom 5 so zvyškom:
− 24 = 5 ⋅ (− 5) + 1 = 5 ⋅ (− 4) − 4 (\displaystyle -24=5\cdot (-5)+1=5\cdot (-4)-4).Variácie a zovšeobecnenia
Pojmy kladných a záporných čísel možno definovať v akomkoľvek usporiadanom kruhu. Najčastejšie sa tieto pojmy vzťahujú na jeden z nasledujúcich číselných systémov:
Vyššie uvedené vlastnosti 1-3 platia aj vo všeobecnom prípade. Komu komplexné čísla pojmy „pozitívny“ a „negatívny“ sa neuplatňujú.
Historický náčrt
Staroveký Egypt, Babylon a staroveké Grécko nepoužívali záporné čísla, a ak sa získali záporné korene rovníc (pri odčítaní), boli zamietnuté ako nemožné. Výnimkou bol Diophantus, ktorý v 3. storočí už vedel znakové pravidlo a vedel, ako vynásobiť záporné čísla. Považoval ich však len za medzistupeň, užitočný na výpočet konečného, pozitívneho výsledku.
Prvýkrát boli záporné čísla čiastočne legalizované v Číne a potom (približne od 7. storočia) v Indii, kde boli interpretované ako dlhy (nedostatok), alebo ako Diophantus boli uznané ako dočasné hodnoty. Násobenie a delenie pre záporné čísla ešte nebolo definované. Užitočnosť a zákonnosť záporných čísel sa zisťovala postupne. Už indický matematik Brahmagupta (7. storočie) ich považoval za rovnocenné s kladnými.
V Európe prišlo uznanie o tisíc rokov neskôr a aj potom sa záporné čísla dlho nazývali „falošné“, „imaginárne“ alebo „absurdné“. Prvý ich opis v európskej literatúre sa objavil v „Knihe počítadla“ od Leonarda z Pisy (1202), ktorý záporné čísla interpretoval ako dlh. Bombelli a Girard vo svojich spisoch považovali záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho. Ešte v 17. storočí tomu Pascal veril 0 − 4 = 0 (\displaystyle 0-4=0) pretože „nič nemôže byť menej ako nič“. Ozvenou tých čias je skutočnosť, že v modernej aritmetike sú operácie odčítania a znamienka záporných čísel označené rovnakým symbolom (mínus), hoci algebraicky ide o úplne odlišné pojmy.
V 17. storočí, s príchodom analytickej geometrie, dostali záporné čísla vizuálne geometrické znázornenie na číselnej osi. Od tohto momentu prichádza ich úplná rovnosť. Napriek tomu bola teória záporných čísel dlho v plienkach. Živo sa diskutovalo napríklad o podivnom pomere 1: (− 1) = (− 1) : 1 (\displaystyle 1:(-1)=(-1):1)- v ňom je prvý výraz vľavo väčší ako druhý a vpravo - naopak, a ukazuje sa, že väčší sa rovná menšiemu („paradox
1. Otázky súvisiace so zápornými číslami sú jednou z ťažko zvládnuteľných otázok pre študentov.
História rozvoja matematiky ukazuje, že záporné čísla sú pre človeka oveľa ťažšie, je to spôsobené tým, že záporné čísla sú menej spojené s praktickým životom.
Záporné čísla vznikli kvôli potrebe vystupovať so známymi číslami. Matematici starovekého Grécka nepoznali záporné čísla, nevedeli im dať konkrétny výklad. Len dielo Diofanta (3. storočie n. l.) obsahuje transformácie, ktoré vedú k potrebe vykonávať operácie so zápornými číslami.
Záporné čísla sa objavujú iba v základnej forme. V prácach indických vedcov dostali pomerne širokú distribúciu. Kladné čísla nazývali skutočnými a záporné – nie skutočné – falošné. Záporné čísla sa považovali za dlh a kladné čísla za hotovosť.
Prvé pravidlá sčítania a odčítania patria indickým vedcom. A sú spojené s interpretáciou týchto čísel ako majetku a dlhu.
Vedci po dlhú dobu nedokázali vysvetliť, poskytnúť interpretáciu súčinu dvoch záporných čísel. Prečo súčinom 2 dlhov je majetok. Takí vedci ako Euler, Komi poskytli svoje vysvetlenie pravidla súčinu čísel, ale viedli k chybným výsledkom.
Nemecký vedec M. Stiefel prvýkrát v roku 1544 definoval záporné čísla, ako čísla menšie ako nula.
Prvý matematický výklad podal René Descartes v roku 1737 v knihe „Analytická geometria“. Záporné čísla považoval za nezávislé, ktoré sa nachádzajú na osi OX naľavo od začiatku. Tieto čísla však označil za falošné. Záporné čísla sa v prvej polovici 21. storočia dočkali všeobecného uznania, a tak sa záporné čísla zapísali do dejín matematiky.
2. Rôzne triky zavádzanie záporných čísel. Vo vzdelávacej literatúre možno zaznamenať 3 spôsoby, ako zaviesť záporné čísla.
1) Zvažujú sa prípady, keď je výpočet na množine kladných čísel nepravdivý.
2) Uvažujme vektory umiestnené na jednej priamke, potreba charakterizovať nielen ich dĺžku, ale aj smer vedie ku konceptu kladných a záporných čísel.
3) Zavedenie záporných čísel usporiadaním meniacich sa veličín v opačných smeroch.
Technika vloženia záporného čísla.
Pred uvedením pojmu záporné číslo je potrebné na konkrétnych príkladoch ukázať, že na charakterizáciu polohy bodu na priamke k počiatku nestačí vedieť, koľko čísel je známych.
Na dostatočnom množstve príkladov je potrebné ukázať nevhodnosť pojmu typ vpravo alebo vľavo, nakresliť číselnú os nahor alebo nadol. Je potrebné posunúť začiatok referencie a pre istotu také stupnice, ktoré sú vpravo so znamienkom plus, vľavo s opačným znamienkom - mínus.
Učebnica uvažuje s dostatočným počtom príkladov znázorňujúcich účelnosť použitia určitých znakov na označenie smeru opačného pohybu. Pre koncepciu uvedenia záporného čísla je potrebné použiť demonštračný teplomer a ďalšie pomôcky.
Zoznámenie sa s opačnými číslami je uľahčené štúdiom stredu symetrie.
Koncept opačných čísel je spojený symetrickými bodmi. Zároveň je zavedenie tohto konceptu založené na geometrickej interpretácii kladných a záporných čísel.
Odsek o opačných číslach uvádza definíciu celých čísel. celé čísla, opačné čísla, nuly sa nazývajú celé čísla. Modul čísla - pojem modulu čísla udáva od začiatku po bod k zodpovedajúcemu číslu. Študenti by mali venovať pozornosť tomu, ako motivovať definíciu modulu čísla.
V učebniciach sa pojem modul čísla zavádza zvažovaním príkladov, vysvetľujú, ako nájsť modul čísla. Vysvetľuje sa, že modul čísla nemôže byť záporný, pretože modul čísla je vzdialenosť; upozorňujeme, že pre kladné číslo sa modul rovná samotnému číslu. Modul záporného čísla sa rovná opačnému číslu.
Porovnanie čísel.
Vzťahy rovnosti a nerovnosti medzi kladnými a zápornými číslami sú zavedené definíciou, nemožno ich získať dôkazom a je veľmi dôležité ukázať študentom účelnosť definície na konkrétne príklady a geometrické vzory.
Žiaci musia tak dobre ovládať usporiadanie čísel na číselnej osi, aby to mohlo slúžiť ako hlavný prostriedok na porovnávanie čísel. Niekedy sú ťažkosti pri porovnávaní záporných čísel, aby ste ich prekonali, je potrebné ich zvážiť na číselnej osi.
Operácie so zápornými a kladnými číslami.
Hlavná vec, ktorú by mal učiteľ vziať do úvahy pri zvažovaní tohto materiálu, je, že operácie sčítania a odčítania na kladných a záporných číslach sú zavedené podľa definície a formulácie týchto definícií by mali zahŕňať pojmy, ktoré študenti o týchto akciách predtým poznali. Odčítanie a delenie sú definované ako inverzia sčítania a násobenia.
Učebnica samostatne definuje činnosť sčítania čísel s rôzne znamenia, znenie týchto pravidiel obsahuje označenie nasledujúcich úkonov. Učebnica venuje veľa času tomu, ako pristupovať k akcii sčítania. Hlavná pozornosť je venovaná zváženiu konkrétnych problémov, pričom sa odkazuje na súradnicovú líniu.
Bez ohľadu na spôsob zavedenia pravidla sčítania by študentom malo byť jasné, že pri zvažovaní nasledujúcich príkladov nie je nič dokázané.
Príklady sú uvedené len na ilustráciu užitočnosti pravidiel. Študenti musia zvládnuť sčítanie 2 záporných čísel s rôznymi znamienkami, opačných čísel, nuly s kladnými a zápornými číslami.
Vzhľadom na vlastnosti akcií je dôležité ukázať žiakom, že kedy zavedené definície Akcie sčítania a odčítania čísel zachovávajú všetky zákony, ktoré platili pre kladné čísla.
Študenti dostanú formuláciu komutatívnych a asociatívnych zákonov, pričom každý z nich napíšu pomocou písmen.
Odčítanie záporných čísel je definované ako inverzia sčítania. Odčítanie je len sčítanie opačného čísla.
Násobenie kladných a záporných čísel predstavuje najväčší problém, problém spočíva v tom, že žiaci cítia potrebu dokazovať pravidlá znamienok pri násobení a učiteľ musí žiakov presvedčiť, že takýto dôkaz nemožno hľadať ani vyžadovať, takže multiplikačná akcia je zavedená definíciou, ktorá môže byť zavedená na interpretáciu pravidla znakov odlišne a rôznymi spôsobmi. Sčítanie a násobenie majú veľa spoločného, ale výklad pravidiel násobenia je zložitejší.
Zvážte vysvetlenie pravidiel násobenia je zváženie konkrétnych problémov, ktorých riešenie si vyžaduje výpočet vzorca a b, pre rôzne a a b. Nevýhodou tejto metódy je, že dokazujú pravidlo násobenia.
Mnohí autori sa držia cesty, keď je na začiatku uvedená formulácia pravidiel násobenia, potom sa vysvetľuje na príkladoch, úlohách. Študent sa na konkrétnom matematickom základe presvedčí o praktickej účelnosti zavedenej definície. zvyčajne v učebniciach formulácia pravidiel násobenia čísel s rôznymi znamienkami a pravidiel násobenia prirodzených čísel uvádza rozvrhy sérií príkladov.
V tomto prípade sa používa ustanovenie, že ak zmeníte znamienko jedného z faktorov, zmení sa aj znamienko produktu.
Pravidlo je formulované vo forme vhodnej na použitie. Je potrebné upozorniť žiakov na podmienky rovnosti súčinu na nulu.
Delenie kladných a záporných čísel sa považuje za prevrátenú hodnotu násobenia. Žiakovi sa povie, že delenie kladných a záporných čísel má rovnaký význam ako delenie kladných čísel. Je dôležité venovať pozornosť zákonitostiam výpočtu a násobenia výrazov.
Rovnako ako v prípade sčítania, aj pravidlo pre sčítanie a násobenie prirodzených čísel možno odvodiť z násobenia čísel. Za predpokladu, že je známe znamienkové pravidlo pre súčet.
V 6. ročníku sa v téme racionálne čísla zavádzajú záporné čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok. Nastavte značky racionálne čísla môžete znížiť pozornosť, že ak je to možné:, +, *, - na číslo, ktoré sa nerovná nule.
Pri odčítaní alebo vykonávaní akcií študent dostáva čísla z rovnakej množiny a táto množina má vlastnosť uzavretia vo vzťahu k akciám prvého a druhého stupňa. Okrem toho platia komutatívne a asociatívne zákony, existuje neutrálny prvok, existuje opačný prvok.
Pre násobenie platí prvý distributívny a kombinačný zákon, existuje neutrálny prvok 1, opačný prvok ().
Cvičenie #2
Predmet:Štúdium funkcie v LCM
1. Metodika zavedenia pojmu funkcia.
2. Metodika štúdia jednotlivých funkcií
3. Typy funkcií študovaných na základnej škole
Literatúra:,. Ďalšie čítanie I.
Teraz budeme analyzovať kladné a záporné čísla. Najprv uvádzame definície, zavádzame notáciu, po ktorej uvádzame príklady kladných a záporných čísel. Zameriame sa aj na sémantické zaťaženie, ktorá sa prenáša kladnými a zápornými číslami.
Navigácia na stránke.
Kladné a záporné čísla – definície a príklady
Dať určenie kladných a záporných čísel nám pomôže. Pre pohodlie budeme predpokladať, že je umiestnený horizontálne a smeruje zľava doprava.
Definícia.
Zavolajú sa čísla, ktoré zodpovedajú bodom súradnicovej čiary ležiacej napravo od počiatku pozitívne.
Definícia.
Zavolajú sa čísla, ktoré zodpovedajú bodom súradnicovej čiary ležiacej naľavo od počiatku negatívne.
Číslo nula zodpovedajúce pôvodu nie je ani kladné, ani záporné.
Z definície záporných a kladných čísel vyplýva, že množina všetkých záporných čísel je množina čísel, ktoré sú opačné ku všetkým kladným číslam (v prípade potreby si pozrite článok opačné čísla). Preto sa záporné čísla vždy píšu so znamienkom mínus.
Teraz, keď poznáme definície kladných a záporných čísel, môžeme ľahko písať príklady kladných a záporných čísel. Príkladmi kladných čísel sú prirodzené čísla 5 , 792 a 101 330 a skutočne každé prirodzené číslo je kladné. Príkladmi kladných racionálnych čísel sú čísla 4,67 a 0,(12)=0,121212... a zápornými číslami sú čísla −11, −51.51 a −3,(3) . Ako príklady kladných iracionálnych čísel je možné uviesť číslo pi, číslo e a nekonečný neperiodický desatinný zlomok 809,030030003 ... a príklady záporných čísel. iracionálne čísla sú čísla mínus pi, mínus e a číslo rovné . Treba poznamenať, že v poslednom príklade nie je v žiadnom prípade zrejmé, že hodnota výrazu je záporné číslo. Aby ste to s istotou zistili, musíte získať hodnotu tohto výrazu vo forme desatinného zlomku a v článku popíšeme, ako sa to robí. porovnanie reálnych čísel.
Niekedy sú pred kladnými číslami znamienko plus, rovnako ako pred zápornými číslami znamienko mínus. V týchto prípadoch by ste mali vedieť, že +5=5 . 
atď. To znamená +5 a 5 atď. je rovnaké číslo, ale inak označené. Okrem toho môžete nájsť definíciu kladných a záporných čísel na základe znamienka plus alebo mínus.
Definícia.
Volajú sa čísla so znamienkom plus pozitívne a so znamienkom mínus - negatívne.
Existuje ďalšia definícia kladných a záporných čísel na základe porovnávania čísel. Aby sme dali túto definíciu, stačí si zapamätať, že bod na súradnicovej čiare zodpovedajúci väčšiemu číslu leží napravo od bodu zodpovedajúceho menšiemu číslu.
Definícia.
kladné čísla sú čísla väčšie ako nula a záporné čísla sú čísla menšie ako nula.
Nula teda oddeľuje kladné čísla od záporných.
Samozrejme, mali by sme sa pozastaviť aj nad pravidlami čítania kladných a záporných čísel. Ak je číslo napísané so znamienkom + alebo -, potom sa vysloví názov znamienka, po ktorom sa vysloví číslo. Napríklad +8 sa číta ako plus osem a ako mínus jedna bodka dve pätiny. Názvy znamienka + a − sa nerozlišujú veľkosťou písmen. Príklad správna výslovnosť je fráza „a rovná sa mínus tri“ (nie mínus tri).
Interpretácia kladných a záporných čísel
Kladné a záporné čísla popisujeme už pomerne dlho. Bolo by však pekné vedieť, aký význam v sebe nesú? Poďme sa zaoberať touto otázkou.
Kladné čísla možno interpretovať ako príjem, ako prírastok, ako prírastok nejakej hodnoty a podobne. Záporné čísla zase znamenajú presný opak – výdavok, nedostatok, dlh, pokles nejakej hodnoty atď. Vyrovnajme sa s tým na príkladoch.
Dá sa povedať, že máme 3 položky. Tu kladné číslo 3 označuje počet položiek, ktoré máme. Ako môžete interpretovať záporné číslo -3? Napríklad číslo -3 by mohlo znamenať, že niekomu musíme dať 3 položky, ktoré ani nemáme na sklade. Podobne môžeme povedať, že v pokladni nám dali 3,45 tisíc rubľov. To znamená, že číslo 3,45 je spojené s naším príchodom. Záporné číslo -3,45 bude zase znamenať úbytok peňazí v pokladni, ktorá nám tieto peniaze vydala. To znamená, že −3,45 sú náklady. Ďalší príklad: zvýšenie teploty o 17,3 stupňa možno opísať ako kladné číslo +17,3 a zníženie teploty o 2,4 pomocou záporného čísla ako zmenu teploty o -2,4 stupňa.
Kladné a záporné čísla sa často používajú na opis hodnôt akýchkoľvek množstiev v rôznych meracie prístroje. Najdostupnejším príkladom je prístroj na meranie teplôt - teplomer - so stupnicou, na ktorej sa píšu kladné aj záporné čísla. Záporné čísla sú často zobrazené modrou farbou (symbolizuje sneh, ľad a pri teplotách pod nula stupňov Celzia voda začína zamŕzať) a kladné čísla sú napísané červenou farbou (farba ohňa, slnka, pri teplotách nad nulou začína ľad. topiť). Zápis kladných a záporných čísel červenou a modrou farbou sa používa aj v iných prípadoch, keď je potrebné zdôrazniť znamienko čísel.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
Z predchádzajúcich lekcií o jazyku Assembler vieme, že procesor pracuje s binárnymi číslami, tieto čísla môžu byť kladné alebo záporné. A dnes vám podrobne poviem, čo sú kladné (nepodpísané) a záporné (podpísané) čísla.
kladné čísla
Ak je číslo kladné, potom jednoducho predstavuje výsledok prekladu desatinné číslo do binárnej formy. Na vyjadrenie kladných čísel sa používa špeciálne kódovanie. Najvýznamnejší bit v tomto prípade označuje znamienko čísla. Ak je znamienkový bit nula, potom je číslo kladné, inak je záporné.
V rodine procesorov Intel je základnou jednotkou úložiska pre všetky typy údajov bajt. Bajt sa skladá z ôsmich bitov. V tabuľke nižšie sú uvedené rozsahy možné hodnoty kladné celé čísla, s ktorými môže procesor pracovať:
Pri práci s číslami nezabúdajte, že do bajtu možno zapísať číslo s hodnotou najviac 255, do slova číslo s hodnotou najviac 65 535 atď. Ak napríklad pri práci s bajtom vykonáte operáciu sčítania 255 + 1, výsledkom by malo byť číslo 256. Ak však výsledok zapíšete do bajtu, výsledok nebude 256, ale 0 Táto situácia nastáva v prípadoch „pretečenia“.
Pretečenie je, keď sa výsledok operácie nezmestí do registra určeného na tento výsledok. Taktiež pri pretečení nemusí byť výsledkom nula, ale iné číslo.
Záporné čísla
Reprezentácia záporných čísel v počítačoch naráža na určité ťažkosti. Záporné číslo nemá číselný význam, skôr symbolizuje budúcu akciu - že v budúcnosti musíme od novoobjavených predmetov odpočítať niekoľko ďalších.
Záporné čísla sú čísla so znamienkom mínus.
Rozsahy možných hodnôt pre záporné čísla:
Na označenie znamienka čísla stačí jedna číslica (bit). Znamenkový bit zvyčajne zaberá najvýznamnejší bit čísla. Ak je najvýznamnejší bit čísla 0, potom sa číslo považuje za kladné. Ak je najvýznamnejšia číslica čísla 1, potom sa číslo považuje za záporné.
Pri programovaní v assembleri treba brať do úvahy jeden dôležitý bod"Obmedzenie rozsahu reprezentácie čísel."
Napríklad, ak je veľkosť kladnej premennej 1 bajt, môže trvať celkovo 256 rôzne významy. To znamená, že ho nebudeme môcť použiť na vyjadrenie čísla väčšieho ako 255 (111111112). Pre rovnakú negatívnu premennú by maximálna hodnota bola 127 (011111112) a minimálna hodnota by bola -128 (100000002). Podobne je rozsah definovaný pre 2- a 4-bajtové premenné.
ČÍSLO, jeden zo základných pojmov matematiky; vznikli v staroveku a postupne sa rozširovali a zovšeobecňovali. V súvislosti s počítaním jednotlivých predmetov vznikol koncept kladných celých (prirodzených) čísel a následne myšlienka nekonečnosti prirodzeného radu čísel: 1, 2, 3, 4. Problémy merania dĺžok , plochy a pod., ako aj zvýraznenie podielov pomenovaných veličín viedli ku konceptu racionálneho (zlomkového) čísla. Koncept záporných čísel vznikol medzi Indiánmi v 6. – 11. storočí.
Po prvýkrát sa záporné čísla nachádzajú v jednej z kníh starovekého čínskeho pojednania „Matematika v deviatich kapitolách“ (Jang Ts'an – 1. storočie pred Kristom). Záporné číslo sa chápalo ako dlh a kladné číslo ako majetok. Sčítanie a odčítanie záporných čísel bolo založené na úvahách o dlhu. Napríklad pravidlo sčítania bolo formulované takto: „Ak k jednému dlhu pridáte ďalší dlh, výsledkom bude dlh, nie majetok.“ Vtedy neexistovalo žiadne znamienko mínus a Jan Ts'an ich napísal atramentom rôznych farieb, aby rozlíšil kladné a záporné čísla.
Myšlienka záporných čísel sa snažila získať miesto v matematike. Tieto čísla sa matematikom staroveku zdali nepochopiteľné a dokonca falošné, akcie s nimi boli nejasné a nemali skutočný význam.
Použitie záporných čísel indickými matematikmi.
V 6. – 7. storočí nášho letopočtu už indickí matematici systematicky používali záporné čísla, pričom ich stále chápali ako dlh. Od 7. storočia používali indickí matematici záporné čísla. Kladné čísla nazývali "dhana" alebo "sva" ("majetok") a záporné - "rina" alebo "kshaya" ("dlh"). Po prvýkrát zadal všetky štyri aritmetické operácie so zápornými číslami indický matematik a astronóm Brahmagupta (598 - 660).
Napríklad pravidlo delenia sformuloval takto: „Pozitívne delené kladným alebo záporné delené záporom sa stáva kladným. Ale to pozitívne delené negatívnym a negatívne delené pozitívnym zostáva negatívne."
(Brahmagupta (598 - 660) - indický matematik a astronóm. Brahmaguptovo dielo "Revízia systému Brahma" (628), ktorého významná časť je venovaná aritmetike a algebre, sa nám dostalo. doktrína o aritmetická progresia a riešenie kvadratické rovnice ktorými sa Brahmagupta zaoberal vo všetkých prípadoch, kde mali platné riešenia. Brahmagupta povolil a zvažoval použitie nuly vo všetkých aritmetických operáciách. Okrem toho Brahmagupta vyriešil niekoľko neurčitých rovníc v celých číslach; dal pravidlo na skladanie pravouhlých trojuholníkov s racionálnymi stranami atď. Brahmaguptu poznal spätné trojité pravidlo, má aproximáciu P, najskorší interpolačný vzorec 2. rádu. Jeho interpolačné pravidlo pre sínus a inverzný sínus v rovnakých intervaloch je špeciálnym prípadom interpolačného vzorca Newton-Stirling. V neskoršom diele Brahmagupta uvádza interpolačné pravidlo pre nerovnaké intervaly. Jeho diela boli preložené do arabčiny v 8. storočí.)
Pochopenie záporných čísel od Leonarda Fibonacciho z Pisy.
Nezávisle od Indiánov taliansky matematik Leonardo Fibonacci z Pisy (13. storočie) začal chápať záporné čísla ako opak kladných. Trvalo však ešte asi 400 rokov, kým sa „absurdným“ (nezmyselným) záporným číslam dostalo plného uznania od matematikov. negatívne rozhodnutia v úlohách už nie sú vyradené ako nemožné.
(Leonardo Fibonacci z Pisy (asi 1170 - po 1228) - taliansky matematik. Narodil sa v Pise (Taliansko). Základné vzdelávanie prijal v Bush (Alžírsko) pod vedením miestneho učiteľa. Tu ovládal aritmetiku a algebru Arabov. Navštívil mnohé krajiny Európy a východu a všade si dopĺňal vedomosti z matematiky.
Vydal dve knihy: „The Book of the Abacus“ (1202), kde sa počítadlo nepovažovalo ani tak za nástroj, ale za kalkul vo všeobecnosti, a „Praktická geometria“ (1220). Podľa prvej knihy mnoho generácií európskych matematikov študovalo indický pozičný číselný systém. Prezentácia materiálu v ňom bola originálna a elegantná. Vedec vlastní aj svoje vlastné objavy, najmä položil základy pre rozvoj otázok súvisiacich s číslami T. N. Fibonacciho a dal pôvodná recepcia extrahovanie koreňa kocky. Jeho spisy sa presadili až koncom 15. storočia, keď ich Luca Pacioli zrevidoval a zverejnil vo svojej summe.
Zváženie záporných čísel Michailom Stiefelom novým spôsobom.
V roku 1544 nemecký matematik Michael Stiefel po prvý raz považuje záporné čísla za čísla menšie ako nula (t. j. „menej ako nič“). Od tohto momentu sa na záporné čísla už nepozerá ako na dlh, ale úplne novým spôsobom. (Stiefel Michael (19. 04. 1487 - 19. 06. 1567) - slávny nemecký matematik. Michael Stiefel študoval v katolíckom kláštore, potom sa začal zaujímať o myšlienky Luthera a stal sa vidieckym protestantským pastorom. Štúdiom Biblie pokúsil sa v nej nájsť matematický výklad.Výsledkom svojho výskumu predpovedal koniec sveta na 19. októbra 1533, čo sa samozrejme nestalo a Michael Stiefel bol uväznený vo württemberskom väzení, z ktorého Zachránil ho sám Luther.
Potom sa Stiefel venuje výlučne matematike, v ktorej bol vynikajúcim samoukom. Jeden z prvých v Európe po tom, čo N. Shuke začal operovať so zápornými číslami; zaviedol zlomkové a nulové exponenty, ako aj pojem „exponent“; v diele „Úplná aritmetika“ (1544) dal pravidlo na delenie zlomkom ako násobenie zlomkom prevrátené k deliteľovi; urobil prvý krok vo vývoji techník, ktoré zjednodušujú výpočty s veľkými číslami, pre ktoré porovnal dve postupnosti: geometrickú a aritmetickú. Neskôr to pomohlo I. Burgimu a J. Napierovi vytvoriť logaritmické tabuľky a vyvinúť logaritmické výpočty.)
Moderná interpretácia záporných čísel od Girarda a Reného Descarta.
Moderná interpretácia záporných čísel, založená na ukladaní jednotkových segmentov na číselnú os vľavo od nuly, bola uvedená v 17. storočí najmä v prácach holandského matematika Girarda (1595-1634) a slávneho francúzskeho matematika a filozofa. René Descartes (1596 – 1650). ) (Girard Albert (1595 – 1632) – belgický matematik. Girard sa narodil vo Francúzsku, ale pred prenasledovaním utiekol do Holandska katolícky kostol pretože bol protestant. Albert Girard výrazne prispel k rozvoju algebry. Jeho hlavným dielom bola kniha New Discovery in Algebra. Prvýkrát vyjadril základnú vetu algebry o prítomnosti koreňa pre algebraickú rovnicu s jednou neznámou. Hoci rigorózny dôkaz ako prvý podal Gauss. Girard vlastní odvodenie vzorca pre oblasť sférického trojuholníka.) Od roku 1629 v Holandsku. Položil základy analytickej geometrie, dal pojmy premennej veličiny a funkcie, zaviedol mnohé algebraické zápisy. Vyjadril zákon zachovania hybnosti, dal pojem impulz sily. Autor teórie vysvetľujúcej vznik a pohyb nebeských telies vírivým pohybom častíc hmoty (Descartove víry). Zaviedol myšlienku reflexu (Descartov oblúk). Descartova filozofia je založená na dualizme duše a tela, „myslenia“ a „predĺženej“ substancie. Hmota sa stotožňovala s extenziou (alebo priestorom), pohyb sa redukoval na pohyb telies. Všeobecnou príčinou pohybu je podľa Descarta Boh, ktorý stvoril hmotu, pohyb a odpočinok. Človek je spojením neživého telesného mechanizmu s dušou, ktorá má myslenie a vôľu. Bezpodmienečným základom každého poznania je podľa Descarta bezprostredná istota vedomia („Myslím, teda som“). Za zdroj objektívneho významu ľudského myslenia považoval existenciu Boha. V doktríne poznania je Descartes zakladateľom racionalizmu a zástancom učenia o vrodených ideách. Hlavné diela: „Geometria“ (1637), „Úvaha o metóde. "(1637), "Začiatky filozofie" (1644).
DECARTES (Descartes) René (lat. - Cartesius; Cartesius) (31. marec 1596, Lae, Touraine, Francúzsko - 11. február 1650, Štokholm), francúzsky filozof, matematik, fyzik a fyziológ, zakladateľ nového európskeho racionalizmu a jeden z tzv. najvplyvnejších metafyzikov modernej doby.
Život a spisy
Descartes sa narodil v šľachtickej rodine a získal dobré vzdelanie. V roku 1606 ho otec poslal do jezuitského kolégia v La Fleche. Vzhľadom na Descartov nie príliš dobrý zdravotný stav dostal napríklad v prísnom režime tejto vzdelávacej inštitúcie nejaké odpustky. dovolené vstať neskôr ako ostatní. Po získaní mnohých vedomostí na vysokej škole bol Descartes súčasne preniknutý antipatiou k scholastickej filozofii, ktorú si zachoval po celý život.
Po absolvovaní vysokej školy Descartes pokračoval vo vzdelávaní. V roku 1616 na univerzite v Poitiers získal bakalársky titul z práva. V roku 1617 Descartes vstúpil do armády a veľa cestoval po Európe.
Rok 1619 sa vedecky ukázal ako kľúčový rok pre Descarta. Práve v tom čase, ako si sám napísal vo svojom denníku, sa mu odhalili základy novej „úžasnej vedy“. S najväčšou pravdepodobnosťou mal Descartes na mysli objavenie univerzálneho vedecká metóda, ktoré neskôr plodne uplatnil v rôznych odboroch.
V 20. rokoch 16. storočia sa Descartes zoznámil s matematikom M. Mersennom, prostredníctvom ktorého ho dlhé roky„udržiavali kontakt“ s celou európskou vedeckou komunitou.
V roku 1628 sa Descartes usadil v Holandsku na viac ako 15 rokov, neusadil sa však na jednom mieste, ale zmenil svoje bydlisko asi dva tucty krát.
V roku 1633, keď sa Descartes dozvedel o odsúdení Galilea cirkvou, odmieta vydať prírodno-filozofické dielo Svet, ktoré načrtáva myšlienky o prirodzenom pôvode vesmíru podľa mechanických zákonov hmoty.
V roku 1637 francúzsky Vychádza Descartov Rozhovor o metóde, ktorým, ako sa mnohí domnievajú, začala moderná európska filozofia.
V roku 1641 sa objavuje hlavná vec filozofická esej Descartove „Meditácie o prvej filozofii“ (v latinčine) a v roku 1644 „Prvky filozofie“, dielo koncipované Descartom ako kompendium, zhŕňajúce autorove najdôležitejšie metafyzické a prírodné filozofické teórie.
Veľký vplyv na európske myslenie malo aj posledné Descartovo filozofické dielo The Passions of the Soul vydané v roku 1649. V tom istom roku na pozvanie švédskej kráľovnej Christiny odišiel Descartes do Švédska. Drsné podnebie a nezvyčajný režim (kráľovná prinútila Descarta vstať o 5. hodine ráno, aby ju učil a plnil iné úlohy) podlomili Descartove zdravie a po prechladnutí zomrel na zápal pľúc.
Descartova filozofia názorne ilustruje túžbu európskej kultúry oslobodiť sa od starých dogiem a vybudovať novú vedu a samotný život „od nuly“. Kritériom pravdy môže byť podľa Descarta iba „prirodzené svetlo“ našej mysle. Descartes nepopiera kognitívnu hodnotu skúsenosti, ale jej funkciu vidí výlučne v tom, že prichádza na pomoc rozumu tam, kde vlastných síl to druhé nestačí na poznanie. Descartes uvažujúc o podmienkach dosiahnutia spoľahlivého poznania formuluje „pravidlá metódy“, ktorými možno prísť k pravde. Descartes pôvodne považoval za veľmi početné, v „Diskuse o metóde“ sú zredukované na štyri hlavné ustanovenia, ktoré tvoria „kvintesenciu“ európskeho racionalizmu: 1) vychádzať z nepochybného a samozrejmého, t. že, ktorého opak si nemožno predstaviť, 2) rozdeliť akýkoľvek problém na toľko častí, koľko je preňho potrebné efektívne riešenie, 3) začať od jednoduchého a postupne prejsť ku komplexu, 4) neustále preverovať správnosť záverov. Samozrejmosť je uchopená mysľou v intelektuálnej intuícii, ktorú nemožno zamieňať so zmyslovým pozorovaním a ktorá nám dáva „jasné a zreteľné“ pochopenie pravdy. Rozdelenie problému na časti umožňuje identifikovať v ňom „absolútne“, t. j. samozrejmé prvky, z ktorých sa dá vychádzať pri následných dedukciách. Dedukciou Descartes nazýva „pohyb myslenia“, v ktorom dochádza k spájaniu intuitívnych právd. Slabosť ľudského intelektu vyžaduje kontrolu správnosti vykonaných krokov, či chýbajú medzery v uvažovaní. Takéto overenie Descartes nazýva „enumerácia“ alebo „indukcia“. Výsledkom dôslednej a rozvetvenej dedukcie by malo byť vybudovanie systému univerzálneho poznania, „univerzálnej vedy“. Descartes prirovnáva túto vedu k stromu. Jeho koreňom je metafyzika, jeho kmeňom je fyzika a plodné odvetvia tvoria konkrétne vedy, etika, medicína a mechanika, ktoré prinášajú priamy úžitok. Z tejto schémy je zrejmé, že kľúčom k účinnosti všetkých týchto vied je správna metafyzika.
To, čo odlišuje Descarta od metódy objavovania právd, je metóda prezentácie už rozvinutého materiálu. Môže byť uvedené "analyticky" a "synteticky". Analytická metóda je problematická, menej systematická, ale viac napomáha pochopeniu. Syntetický, akoby "geometrizujúci" materiál je prísnejší. Descartes stále uprednostňuje analytickú metódu.
Pochybnosti a pochybnosti
Počiatočným problémom metafyziky ako vedy o najvšeobecnejších druhoch bytostí je, ako v iných disciplínach, otázka samozrejmých základov. Metafyzika musí začať nepochybným vyhlásením o akejsi existencii. Descartes „testuje“ tézy o existencii sveta, Boha a nášho „ja“. Svet môže byť reprezentovaný ako neexistujúci, ak si predstavíme, že náš život je dlhý sen. Je tiež možné pochybovať o existencii Boha. Ale naše „ja“, domnieva sa Descartes, nemožno spochybňovať, pretože pochybnosť sama o sebe dokazuje existenciu pochybností, a teda aj pochybujúce ja. „Pochybujem, preto existujem“ – tak Descartes formuluje túto najdôležitejšiu pravdu, označujúci subjektivistický obrat európskej filozofie Nový čas. Vo viac všeobecný pohľad táto téza znie takto: „Myslím, teda som“ - cogito, ergo sum. Pochybnosť je len jedným zo „spôsobov myslenia“ spolu s túžbou, racionálnym chápaním, predstavivosťou, pamäťou a dokonca aj vnemom. Základom myslenia je vedomie. Preto Descartes popiera existenciu nevedomých predstáv. Myslenie je podstatnou vlastnosťou duše. Duša nemôže nemyslieť, je to „mysliaca vec“, res cogitans. Uznanie tézy o jej vlastnej existencii za nepochybnú však neznamená, že Descartes považuje neexistenciu duše vo všeobecnosti za nemožnú: nemôže existovať iba dovtedy, kým myslí. Inak je duša vec náhodná, to znamená, že buď môže byť, alebo nie, pretože je nedokonalá. Všetky náhodné veci čerpajú svoje bytie zvonku. Descartes tvrdí, že dušu podporuje vo svojej existencii Boh každú sekundu. Napriek tomu ho možno nazvať látkou, pretože môže existovať oddelene od tela. V skutočnosti však duša a telo úzko spolupracujú. Zásadná nezávislosť duše od tela je však pre Descarta kľúčom k pravdepodobnej nesmrteľnosti duše.
Učenie o Bohu
Od filozofickej psychológie Descartes prechádza k náuke o Bohu. Uvádza niekoľko dôkazov o existencii vyššej bytosti. Najznámejší je takzvaný „ontologický argument“: Boh je úplne dokonalá bytosť, preto v jeho koncepte nemôže chýbať predikát vonkajšej existencie, čo znamená, že nemožno poprieť existenciu Boha bez toho, aby sme upadli do protirečenie. Ďalší dôkaz, ktorý ponúka Descartes, je originálnejší (prvý bol dobre známy v stredovekej filozofii): v našej mysli je predstava Boha, táto myšlienka musí mať príčinu, ale príčinou môže byť iba Boh, inak myšlienka vyššia realita by bolo generované tým, čo nemá túto realitu, to znamená, že by bolo viac reality v konaní ako v príčine, čo je absurdné. Tretí argument je založený na potrebe existencie Boha na udržanie ľudskej existencie. Descartes veril, že Boh, ktorý nie je sám osebe viazaný zákonmi ľudskej pravdy, je napriek tomu zdrojom ľudského „vrodeného poznania“, ktoré zahŕňa samotnú myšlienku Boha, ako aj logické a matematické axiómy. Descartes verí, že od Boha pochádza naša viera v existenciu vonkajška materiálny svet. Boh nemôže byť podvodník, a preto je toto presvedčenie pravdivé a materiálny svet skutočne existuje.
Filozofia prírody
Descartes, presvedčený o existencii hmotného sveta, pokračuje v štúdiu jeho vlastností. Hlavnou vlastnosťou hmotných vecí je rozšírenie, ktoré sa môže objaviť v rôznych modifikáciách. Descartes popiera existenciu prázdneho priestoru s odôvodnením, že všade tam, kde je predĺženie, existuje aj „predĺžená vec“, res extensa. Iné vlastnosti hmoty sú nejasne poňaté a možno podľa Descarta existujú iba vo vnímaní a chýbajú v samotných objektoch. Hmota sa skladá z prvkov ohňa, vzduchu a zeme, pričom všetky sa líšia len veľkosťou. Prvky nie sú nedeliteľné a môžu sa navzájom premieňať. Descartes sa snaží zosúladiť koncept diskrétnosti hmoty s tézou o absencii prázdnoty a predkladá najkurióznejšiu tézu o nestabilite a absencii určitú formu najmenšie častice hmoty. Zrážku uznáva Descartes ako jediný spôsob prenosu interakcií medzi prvkami a vecami spočívajúcimi v ich zmiešaní. Vyskytuje sa podľa zákonov stálosti, vyplývajúcich z nemennej podstaty Boha. Pri absencii vonkajších vplyvov veci nemenia svoj stav a pohybujú sa v priamke, čo je symbolom stálosti. Descartes navyše hovorí o zachovaní pôvodnej hybnosti vo svete. Samotný pohyb však nie je pôvodne charakteristický pre hmotu, ale je do nej vnášaný Bohom. Ale už jedno prvé zatlačenie stačí na to, aby sa správny a harmonický kozmos postupne a nezávisle pozbieral z chaosu hmoty.
telo a duša
Descartes strávil veľa času štúdiom zákonitostí fungovania živočíšnych organizmov. Považoval ich za jemné stroje schopné sa prispôsobiť životné prostredie a primerane na ne reagovať vonkajšie vplyvy. Zažitý náraz sa prenáša do mozgu, ktorý je zásobárňou „zvieracích duchov“, najmenších častíc, ktoré sa dostávajú do svalov cez póry, ktoré sa otvárajú v dôsledku odchýlok mozgovej „šišinky“ (ktorá je sídlom duše ), vedie ku kontrakciám týchto svalov. Pohyb tela sa skladá zo sledu takýchto kontrakcií. Zvieratá nemajú dušu a nepotrebujú ich. Descartes povedal, že ho viac prekvapila prítomnosť duše u ľudí ako jej absencia u zvierat. Prítomnosť duše v človeku však nie je zbytočná, pretože duša môže korigovať prirodzené reakcie tela.
Descartes fyziológ
Descartes študoval štruktúru rôznych orgánov u zvierat, študoval štruktúru embryí v rôznych štádiách vývoja. Jeho doktrína „dobrovoľných“ a „mimovoľných“ pohybov položila základy modernej doktríny reflexov. V dielach Descarta sú uvedené schémy reflexných reakcií s dostredivými a odstredivými časťami reflexného oblúka.
Význam Descartovho diela v matematike a fyzike
Prírodovedné úspechy Descarta sa zrodili ako „vedľajší produkt“ ním vyvinutej jednotnej metódy zjednotenej vedy. Za stvorenie sa pripisuje Descartes moderné systémy zápis: zaviedol znamienka premenných (x, y, z.), koeficienty (a, b, c.), zápis stupňov (a2, x-1.).
Descartes je jedným z autorov teórie rovníc: sformuloval znakové pravidlo na určenie počtu kladných a záporných koreňov, nastolil otázku hraníc skutočných koreňov a predložil problém redukovateľnosti, t.j. z celku racionálna funkcia s racionálnymi koeficientmi ako súčinom dvoch funkcií tohto druhu. Naznačil, že rovnica 3. stupňa je riešiteľná v štvorcových radikáloch (a tiež naznačil riešenie pomocou kružidla a pravítka, ak je táto rovnica redukovateľná).
Descartes je jedným z tvorcov analytickej geometrie (ktorú rozvinul súčasne s P. Fermatom), ktorá umožnila algebraizovať túto vedu súradnicovou metódou. Súradnicový systém, ktorý navrhol, bol pomenovaný po ňom. V práci „Geometria“ (1637), ktorá objavila vzájomné prenikanie algebry a geometrie, Descartes po prvýkrát predstavil pojmy premennej a funkcie. Premenná je ním interpretovaná dvoma spôsobmi: ako segment premennej dĺžky a konštantného smeru (aktuálna súradnica bodu, ktorý opisuje krivku s jej pohybom) a ako spojitá číselná premenná prechádzajúca množinou čísel vyjadrujúcich tento segment. Do oblasti štúdia geometrie zaradil Descartes „geometrické“ čiary (neskôr Leibniz nazývané algebraické) – čiary opísané kĺbovými mechanizmami počas pohybu. Transcendentálne krivky (sám Descartes ich nazýva „mechanické“) vylúčil zo svojej geometrie. V súvislosti s výskumom šošoviek (pozri nižšie) "Geometria" opisuje metódy na zostavenie normál a dotyčníc k rovinným krivkám.
„Geometria“ mala obrovský vplyv na rozvoj matematiky. AT karteziánsky systém súradnice dostali skutočnú interpretáciu záporných čísel. Descartes v skutočnosti interpretoval reálne čísla ako pomer ľubovoľného segmentu k jednotke (aj keď samotnú formuláciu dal neskôr I. Newton). Descartova korešpondencia obsahuje aj ďalšie objavy.
V optike objavil zákon lomu svetelných lúčov na rozhraní dvoch rôznych prostredí (stanovený v Dioptrickom, 1637). Descartes výrazne prispel k fyzike tým, že dal jasnú formuláciu zákona zotrvačnosti.
Vplyv Descarta
Descartes mal obrovský vplyv na následnú vedu a filozofiu. Európski myslitelia od neho prijímali výzvy k vytvoreniu filozofie ako exaktnej vedy (B. Spinoza), k budovaniu metafyziky na základe náuky o duši (J. Locke, D. Hume). Descartes zintenzívnil aj teologické spory o možnosti dôkazov existencie Boha. Obrovský ohlas mala Descartova diskusia o otázke vzájomného pôsobenia duše a tela, na ktorú reagovali N. Malebranche, G. Leibniz a ďalší, ako aj jeho kozmogonické konštrukcie. Mnohí myslitelia sa pokúšali formalizovať Descartovu metodológiu (A. Arno, N. Nicole, B. Pascal). V 20. storočí sa na Descartovu filozofiu často odvolávajú účastníci početných diskusií o problémoch filozofie mysle a kognitívnej psychológie.
Aby sme rozvinuli tento prístup, ktorý je dnes pre nás pochopiteľný a prirodzený, bolo potrebné úsilie mnohých vedcov v priebehu osemnástich storočí od Jana Ts'ana po Descarta.
Definícia kladných a záporných čísel
Na určenie kladných a záporných čísel používame súradnicovú čiaru, ktorá je vodorovná a smeruje zľava doprava.
Poznámka 1
Počiatok na súradnicovej čiare zodpovedá číslu nula, čo neplatí pre kladné ani záporné čísla.
Definícia 1
Zavolajú sa čísla zodpovedajúce bodom súradnicovej čiary, ktoré ležia napravo od začiatku pozitívne.
Definícia 2
Zavolajú sa čísla zodpovedajúce bodom súradnicovej čiary, ktoré ležia naľavo od začiatku negatívne.
Z týchto definícií vyplýva, že množina všetkých záporných čísel je opačná ako množina všetkých kladných čísel.
Záporné čísla sa vždy píšu so znamienkom „-“ (mínus).
Príklad 2
Príklady záporných čísel:
- Racionálne čísla $-\frac(9)(17)$, $-4 \frac(11)(23)$, $–5,25$, $–4,(79)$.
- Iracionálne čísla$ -\sqrt(2)$, nekonečný neperiodický desatinný zlomok $–103,1012341981…$
Na zjednodušenie zápisu kladným číslam často nepredchádza znamienko „+“ (plus) a pred záporné čísla sa vždy píše znamienko „–“. V takýchto prípadoch pamätajte, že „$17.4$“ je to isté ako „$+17.4$“, „$\sqrt(5)$“ je to isté ako „$+\sqrt(5)$“ atď. d.
Preto možno použiť nasledujúcu definíciu kladných a záporných čísel:
Definícia 3
Volajú sa čísla napísané so znamienkom „+“. pozitívne a so znakom "-" - negatívne.
Používa sa definícia kladných a záporných čísel, ktorá je založená na porovnávaní čísel:
Definícia 4
kladné čísla sú čísla väčšie ako nula a záporné čísla sú čísla menšie ako nula.
Poznámka 3
Číslo nula teda oddeľuje kladné a záporné čísla.
Pravidlá čítania kladných a záporných čísel
Poznámka 4
Pri čítaní čísla so znakom pred ním sa najskôr prečíta jeho znak a až potom samotné číslo.
Príklad 3
Napríklad „$ + 17 $“ znie „plus sedemnásť“,
"$-3 \frac(4)(11)$" znie "mínus tri body štyri jedenástiny".
Poznámka 5
Stojí za zmienku, že názvy plus a mínus sa neskloňujú, zatiaľ čo čísla sa dajú skloňovať.
Príklad 4
Interpretácia kladných a záporných čísel
Kladné čísla sa používajú na označenie zvýšenia nejakej hodnoty, príjmu, zvýšenia, zvýšenia hodnoty atď.
Záporné čísla sa používajú pre opačné pojmy - na označenie poklesu nejakej hodnoty, výdavku, nedostatku, dlhu, poklesu hodnoty atď.
Zvážte príklady.
Čitateľ si požičal knihy v hodnote 4 $ z knižnice. Pozitívna hodnota 4 $ je počet kníh, ktoré má čitateľ. Ak potrebuje do knižnice darovať knihy v hodnote $2$, môžete použiť zápornú hodnotu $–2$, čo bude znamenať pokles počtu kníh, ktoré čitateľ má.
Kladné a záporné čísla sa často používajú na opis hodnôt rôznych veličín v meracích prístrojoch. Napríklad teplomer na meranie teploty má stupnicu, na ktorej sú vyznačené kladné a záporné hodnoty.
Ochladenie vonku o $3$ stupňov, t.j. pokles teploty možno označiť hodnotou $–3$ a zvýšenie teploty o $5$ stupňov hodnotou $+5$.
Je zvykom zobrazovať záporné čísla modrou farbou, ktorá symbolizuje chlad, nízka teplota, a kladné čísla sú v červenej farbe, čo symbolizuje teplo, vysokú teplotu. Označenie kladných a záporných čísel červeným a modrej farby používaný v rôzne situácie na zvýraznenie znamienka čísel.