T. Kosyakova,
Škola č. 80, Krasnodar

Riešenie kvadratických a zlomkových racionálnych rovníc obsahujúcich parametre

Lekcia 4

Téma lekcie:

Účel lekcie: rozvíjať schopnosť riešiť zlomkové racionálne rovnice obsahujúce parametre.

Typ lekcie: zavedenie nového materiálu.

1. (Ústne.) Riešte rovnice:

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Poďme nájsť neplatné hodnoty a:

Odpoveď. Ak Ak a = – 19 , potom nie sú žiadne korene.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Riešenie.

Poďme nájsť neplatné hodnoty parametrov a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odpoveď. Ak a = 5 a № 5 , To x=10– a .

Príklad 3. Pri akých hodnotách parametrov b rovnica Má:

a) dva korene; b) jediný koreň?

Riešenie.

1) Nájdite neplatné hodnoty parametrov b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 alebo b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 alebo b = – 2.

2) Vyriešte rovnicu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Vylúčenie neplatných hodnôt parametrov b , zistíme, že rovnica má dva korene, ak b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ale toto je neplatná hodnota parametra b ; Ak b 2 –1=0 , t.j. b=1 alebo.

Odpoveď: a) ak b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , potom dva korene; b) ak b=1 alebo b = –1 , potom jediný koreň.

Samostatná práca

možnosť 1

Riešte rovnice:

Možnosť 2

Riešte rovnice:

Odpovede

V 1. A keď a=3 , potom nie sú žiadne korene; Ak b) ak ak a № 2 , potom nie sú žiadne korene.

AT 2. Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; Ak a=0 , potom nie sú žiadne korene; Ak
b) ak a=– 1 , potom rovnica stráca zmysel; ak nie sú žiadne korene;
Ak

Domáca úloha.

Riešte rovnice:

Odpovede: a) Ak a № –2 , To x= a ; Ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; b) ak a № –2 , To x=2; Ak a=–2 , potom neexistujú žiadne riešenia; c) ak a=–2 , To X– akékoľvek číslo okrem 3 ; Ak a № –2 , To x=2; d) ak a=–8 , potom nie sú žiadne korene; Ak a=2 , potom nie sú žiadne korene; Ak

Lekcia 5

Téma lekcie:"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc obsahujúcich parametre."

Ciele lekcie:

nácvik riešenia rovníc s neštandardnými podmienkami;
vedomá asimilácia študentov algebraických pojmov a súvislosti medzi nimi.

Typ lekcie: systematizácia a zovšeobecňovanie.

Kontrola domácich úloh.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

a) vzhľadom na x; b) vzhľadom na y.

Riešenie.

a) Nájdite neplatné hodnoty r: y=0, x=y, y2=y2-2y,

y=0– neplatná hodnota parametra r.

Ak r№ 0 , To x=y–2; Ak y=0 potom rovnica stráca zmysel.

b) Nájdite neplatné hodnoty parametrov X: y=x, 2x–x 2 +x 2 = 0, x=0– neplatná hodnota parametra X; y(2+x–y)=0, y=0 alebo y=2+x;

y=0 nespĺňa podmienku y(y–x)№ 0 .

Odpoveď: a) ak y=0, potom rovnica stráca zmysel; Ak r№ 0 , To x=y–2; b) ak x=0 X№ 0 , To y=2+x .

Príklad 2. Pre aké celočíselné hodnoty parametra a sú korene rovnice patria do intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ak a № 0 alebo a № – 1 , To

odpoveď: 5 .

Príklad 3. Nájsť relatívne X celočíselné riešenia rovnice

Odpoveď. Ak y=0, potom rovnica nedáva zmysel; Ak y=-1, To X– akékoľvek celé číslo okrem nuly; Ak y№ 0, y№ – 1, potom neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu s parametrami a A b .

Ak a№ – b , To

Odpoveď. Ak a= 0 alebo b= 0 , potom rovnica stráca zmysel; Ak a№ 0, b№ 0, a=–b , To X– akékoľvek číslo okrem nuly; Ak a№ 0, b№ 0, a№ -b, To x=–a, x=–b .

Príklad 5. Dokážte, že pre akúkoľvek hodnotu parametra n inú ako nulu platí rovnica má jeden koreň rovný – n .

Riešenie.

t.j. x=–n, čo bolo potrebné dokázať.

Domáca úloha.

1. Nájdite celočíselné riešenia rovnice

2. Pri akých hodnotách parametrov c rovnica Má:
a) dva korene; b) jediný koreň?

3. Nájdite všetky celočíselné korene rovnice Ak a O N .

4. Vyriešte rovnicu 3xy – 5x + 5y = 7: a) relatívne r; b) relatívne X .

1. Rovnica je splnená ľubovoľným celým číslom rovným hodnotám x a y iným ako nula.
2. a) Kedy
b) pri alebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ak potom nie sú korene; Ak
b) ak potom nie sú žiadne korene; Ak

Test

možnosť 1

1. Určte typ rovnice 7c(c + 3)x2 +(c–2)x–8=0 Keď) c=–3; b) c = 2; V) c=4 .

2. Riešte rovnice: a) x2 –bx=0; b) cx 2 – 6x+1=0; V)

3. Vyriešte rovnicu 3x–xy–2y=1:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

nx 2 – 26x + n = 0, vediac, že ​​parameter n akceptuje iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty b platí rovnica Má:

a) dva korene;
b) jediný koreň?

Možnosť 2

1. Určte typ rovnice 5c(c + 4)x2 +(c–7)x+7=0 Keď) c=-4; b) c = 7; V) c = 1 .

2. Riešte rovnice: a) y2+cy=0; b) ny2 -8y+2=0; V)

3. Vyriešte rovnicu 6x–xy+2y=5:

a) relatívne X ;
b) relatívne r .

4. Nájdite celočíselné korene rovnice nx 2 – 22x+2n=0, s vedomím, že parameter n akceptuje iba celočíselné hodnoty.

5. Pre aké hodnoty parametra a platí rovnica Má:

a) dva korene;
b) jediný koreň?

Odpovede

V 1. 1. a) Lineárna rovnica;
b) neúplné kvadratická rovnica; c) kvadratická rovnica.
2. a) Ak b = 0, To x=0; Ak b№ 0, To x = 0, x = b;
b) Ak cО (9;+Ґ ), potom nie sú žiadne korene;
c) ak a=–4 , potom rovnica stráca zmysel; Ak a№ –4 , To x=– a .
3. a) Ak y=3, potom nie sú žiadne korene; Ak);
b) a=–3, a=1.

Dodatočné úlohy

Riešte rovnice:

Literatúra

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametroch od úplného začiatku. – Tútor, č. 2/1991, s. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Nevyhnutné podmienky pri problémoch s parametrami. – Kvant, č. 11/1991, s. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Riešenie problémov obsahujúce parametre. Časť 2. – M., Perspektíva, 1990, s. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Päťstoštrnásť problémov s parametrami. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Problémy s parametrami. – M., Školstvo, 1986.

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Referenčná príručka

Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

(Pamätajte, že racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia – napríklad: 6x; (m – n)2; x/3y atď.)

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne redukujú do tvaru:

Kde P(X) A Q(X) sú polynómy.

Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.

Racionálna rovnica sa nazýva celá alebo algebraická, ak sa nedelí výrazom obsahujúcim premennú.

Príklady celej racionálnej rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.

Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:

15
x + - = 5x – 17
X

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:

1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe strany rovnice;

2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;

3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré redukujú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.

Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešme celú rovnicu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riešenie:

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledný výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Získame rovnicu ekvivalentnú tejto:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Pretože na ľavej a pravej strane rovnaký menovateľ, možno ho vynechať. Potom dostaneme jednoduchšiu rovnicu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Riešime to otvorením zátvoriek a spojením podobných výrazov:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Príklad je vyriešený.

Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Hľadanie spoločného menovateľa. Toto je x(x – 5). Takže:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné členy, prirovnáme rovnicu k nule a získame kvadratickú rovnicu:

x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3 x – 10 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: –2 a 5.

Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Pri x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezmizne. To znamená, že –2 je koreň pôvodnej rovnice.

Pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu a dva z troch výrazov strácajú zmysel. To znamená, že číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: x = –2

Viac príkladov

Príklad 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odpoveď: -2,2;6.

Príklad 2

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

• tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc;
• zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
• učiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc pomocou algoritmu;
• overenie úrovne zvládnutia témy vykonaním testu.

vývojové:

• rozvíjanie schopnosti správne pracovať so získanými vedomosťami a logicky myslieť;
• rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie;
• rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia a nezastaviť sa tam;
• rozvoj kritického myslenia;
• rozvoj výskumných zručností.

Vzdelávanie:

• podpora kognitívneho záujmu o predmet;
• podpora samostatnosti pri riešení vzdelávacích problémov;
• pestovanie vôle a vytrvalosti dosiahnuť konečné výsledky.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Na tabuli sú napísané rovnice, pozorne si ich pozrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes budeme v triede učiť? Formulujte tému lekcie. Otvorte si teda zošity a zapíšte si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia vedomostí. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý si musíme naštudovať Nová téma. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
2. Ako sa volá rovnica číslo 1? ( Lineárne.) Riešenie lineárne rovnice. (Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Uveďte podobné podmienky. Nájdite neznámy faktor).
3. Ako sa volá rovnica číslo 3? ( Námestie.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Izolácia celého štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)
4. Čo je to proporcia? ( Rovnosť dvoch pomerov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer správny, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
5. Aké vlastnosti sa používajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. 2. Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým nenulovým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.)
6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula..)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Riešte rovnicu č. 4 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu číslo 7 pomocou jednej z nasledujúcich metód.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Doteraz sa študenti s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich skutočne veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

• Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 sú v menovateli čísla, č.5-7 sú výrazy s premennou.)
• Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou.)
• Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

Pri testovaní si niektorí žiaci všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý nám umožní túto chybu odstrániť? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, čo znamená, že 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti formulujú algoritmus samy.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko na ľavú stranu.
2. Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa.
3. Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule.
4. Vyriešte rovnicu.
5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak použijete základnú vlastnosť proporcie a vynásobenia oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte k riešeniu: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká).

4. Počiatočné pochopenie nového materiálu.

Pracovať v pároch. Študenti si sami vyberajú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600(b,c,i); č. 601(a,e,g). Učiteľ sleduje splnenie úlohy, odpovedá na prípadné otázky a poskytuje pomoc žiakom so slabým výkonom. Autotest: odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 – cudzí koreň. odpoveď: 3.

c) 2 – cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1;1.5.

5. Stanovenie domácich úloh.

1. Prečítajte si odsek 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
3. Riešte v zošitoch č. 600 (a, d, e); Č. 601 (g,h).
4. Skúste vyriešiť č. 696(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na kusoch papiera.

Príklad úlohy:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je ________________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice číslo 6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úlohy:

• „5“ sa uvádza, ak študent správne dokončil viac ako 90 % úlohy.
• "4" – 75 % – 89 %
• "3" – 50 % – 74 %
• „2“ dostane študent, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy.
• Hodnotenie 2 sa v časopise neuvádza, 3 je voliteľné.

7. Reflexia.

Na samostatné pracovné listy napíšte:

• 1 – ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná;
• 2 – zaujímavé, ale nejasné;
• 3 – nie zaujímavé, ale zrozumiteľné;
• 4 – nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Takže dnes sme sa v lekcii zoznámili s frakčnými racionálnymi rovnicami a naučili sme sa, ako tieto rovnice riešiť rôzne cesty, otestovali svoje vedomosti pomocou školenia samostatná práca. Výsledky svojej samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii a doma budete mať možnosť upevniť si vedomosti.

Ktorá metóda riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchšia, dostupnejšia a racionálnejšia? Čo by ste si mali pamätať, bez ohľadu na metódu riešenia zlomkových racionálnych rovníc? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem všetkým, lekcia sa skončila.

Riešenie rovníc so zlomkami Pozrime sa na príklady. Príklady sú jednoduché a názorné. S ich pomocou budete schopní porozumieť tým najzrozumiteľnejším spôsobom.
Napríklad musíte vyriešiť jednoduchú rovnicu x/b + c = d.

Rovnica tohto typu sa nazýva lineárna, pretože Menovateľ obsahuje iba čísla.

Riešenie sa uskutoční vynásobením oboch strán rovnice b, potom rovnica nadobudne tvar x = b*(d – c), t.j. menovateľ zlomku na ľavej strane ruší.

Napríklad ako vyriešiť zlomková rovnica:
x/5+4=9
Vynásobíme obe strany 5. Dostaneme:
x+20=45
x=45-20=25

Ďalší príklad, keď je v menovateli neznáma:

Rovnice tohto typu sa nazývajú zlomkovo-racionálne alebo jednoducho zlomkové.

Zlomkovú rovnicu by sme vyriešili tak, že by sme sa zbavili zlomkov, potom sa táto rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú rovnicu, ktorú je možné vyriešiť obvyklým spôsobom. Musíte len zvážiť nasledujúce body:

• hodnota premennej, ktorá zmení menovateľa na 0, nemôže byť koreň;
• Rovnicu nemôžete deliť ani násobiť výrazom =0.

Tu vstupuje do hry koncept oblasti. prijateľné hodnoty(ODZ) sú také hodnoty koreňov rovnice, pri ktorých má rovnica zmysel.

Pri riešení rovnice je teda potrebné nájsť korene a následne skontrolovať, či sú v súlade s ODZ. Z odpovede sú vylúčené tie korene, ktoré nezodpovedajú našej ODZ.

Napríklad musíte vyriešiť zlomkovú rovnicu:

Na základe vyššie uvedeného pravidla x nemôže byť = 0, t.j. ODZ v v tomto prípade: x – akákoľvek hodnota iná ako nula.

Menovateľa sa zbavíme vynásobením všetkých členov rovnice x

A riešime obvyklú rovnicu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odpoveď: x = 1/3

Poďme vyriešiť zložitejšiu rovnicu:

Nachádza sa tu aj ODZ: x -2.

Pri riešení tejto rovnice nepohneme všetko na jednu stranu a zlomky privedieme na spoločného menovateľa. Okamžite vynásobíme obe strany rovnice výrazom, ktorý zruší všetkých menovateľov naraz.

Ak chcete zmenšiť menovateľov, musíte vynásobiť ľavú stranu x+2 a pravú stranu 2. To znamená, že obe strany rovnice musia byť vynásobené 2(x+2):

Toto je najbežnejšie násobenie zlomkov, o ktorom sme už hovorili vyššie.

Napíšme rovnakú rovnicu, ale trochu inak

Ľavá strana sa zmenší o (x+2) a pravá o 2. Po zmenšení dostaneme obvyklú lineárnu rovnicu:

x = 4 – 2 = 2, čo zodpovedá našej ODZ

Odpoveď: x = 2.

Riešenie rovníc so zlomkami nie také ťažké, ako by sa mohlo zdať. V tomto článku sme to ukázali na príkladoch. Ak máte nejaké ťažkosti s ako riešiť rovnice so zlomkami, potom sa v komentároch odhláste.

§ 1 Celočíselné a zlomkové racionálne rovnice

V tejto lekcii sa pozrieme na pojmy ako racionálna rovnica, racionálne vyjadrenie, celé vyjadrenie, zlomkové vyjadrenie. Uvažujme o riešení racionálnych rovníc.

Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

Racionálne výrazy sú:

Zlomkový.

Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.

Napríklad:

IN zlomkové výrazy existuje delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:

Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz

pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.

To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná alebo zlomková.

Celá racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú celé výrazy.

Napríklad:

Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.

Napríklad:

§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení celej racionálnej rovnice.

Napríklad:

Vynásobme obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov v nej zahrnutých.

Pre to:

1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;

2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom

dodatočný faktor pre zlomok

dodatočný faktor pre zlomok

3. vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu

čo je ekvivalentné danej rovnici

Vľavo otvoríme zátvorky, pravá strana Presuňme ho doľava, pričom zmeníme znamienko výrazu pri presune na opačný.

Uveďme podobné členy polynómu a získajme

Vidíme, že rovnica je lineárna.

Po vyriešení zistíme, že x = 0,5.

§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad:

1.Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.

Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).

2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.

Ak to chcete urobiť, vydeľte spoločného menovateľa (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný násobiteľ zlomkov

rovná sa x - 1,

dodatočný faktor pre zlomok

rovná sa x+7.

3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Získame rovnicu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici

4. Vynásobte dvojčlen binomom vľavo a vpravo a získajte nasledujúcu rovnicu

5. Pravú stranu posunieme doľava, pričom pri prevode na opačný zmeníme znamienko každého pojmu:

6. Uveďme podobné členy polynómu:

7. Obe časti možno deliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:

8. Po vyriešení nájdeme korene

Keďže v rov.

ľavá a pravá strana sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch sa pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ stať nulou, potom je potrebné skontrolovať, či spoločný menovateľ neklesne na nulu, keď sa nájdu x1 a x2 .

Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) nezaniká pri x = -1, spoločný menovateľ tiež nie je nula.

Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.

Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť rozsah prijateľných hodnôt. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.

Uvažujme o ďalšom príklade riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad vyriešme rovnicu

Faktorizujeme menovateľ zlomku na pravej strane rovnice

Dostaneme rovnicu

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).

Bude to výraz x(x - 5).

Teraz nájdime rozsah prijateľných hodnôt rovnice

Aby sme to dosiahli, vyrovnáme spoločného menovateľa nule x(x - 5) = 0.

Dostaneme rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x = 0 alebo pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu.

To znamená, že x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.

Teraz je možné nájsť ďalšie multiplikátory.

Dodatočný faktor pre racionálne zlomky

dodatočný faktor pre zlomok

bude (x - 5),

a dodatočný faktor zlomku

Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Presuňme výrazy sprava doľava a zmeňme znamienko prenesených výrazov:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

A po prinesení podobní členovia dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 = 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 = -2; x2 = 5.

Ale už sme zistili, že pri x = 5 je spoločný menovateľ x(x - 5) nulový. Preto koreň našej rovnice

bude x = -2.

§ 4 Stručné zhrnutie lekcie

Dôležité mať na pamäti:

Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc postupujte takto:

1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné rozdeliť menovateľov zlomkov, potom ich vynásobte a potom nájdite spoločného menovateľa.

2.Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľa ďalšími faktormi.

3.Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Odstráňte z koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká.

Zoznam použitej literatúry:

1. Makarychev Yu.N., N.G ​​Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. ročník: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učiteľ, 2005.

Návrat