Poučenie
Je zvykom oddeľovať obyčajné a desatinné zlomky, oboznámenie s ktorým sa začína v stredná škola. V súčasnosti neexistuje taká oblasť poznania, kde by sa to neuplatňovalo. Aj v r hovoríme o prvom 17. storočí a to všetko naraz, čiže 1600-1625. Často sa tiež musíte zaoberať základnými operáciami na , ako aj ich transformáciou z jednej formy do druhej.
Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa je možno najdôležitejšou operáciou. Je základom všetkých výpočtov. Povedzme teda, že sú dve zlomky a/b a c/d. Potom, aby ste ich priviedli k spoločnému menovateľovi, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (M) čísel b a d a potom vynásobiť čitateľa prvého zlomky na (M/b) a druhý čitateľ na (M/d).
Porovnávanie zlomkov je ďalšou dôležitou úlohou. Ak to chcete urobiť, dajte daný jednoduchý zlomky k spoločnému menovateľovi a potom porovnajte čitateľov, ktorých čitateľ je väčší, ten zlomok je väčší.
Ak chcete vykonať sčítanie alebo odčítanie obyčajné zlomky, musíte ich priviesť k spoločnému menovateľovi a potom z týchto zlomkov vytvoriť potrebné matematické údaje. Menovateľ zostáva nezmenený. Predpokladajme, že potrebujete odpočítať c/d od a/b. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenší spoločný násobok M čísel b a d a potom odpočítať druhý od jedného čitateľa bez zmeny menovateľa: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M
Stačí vynásobiť jeden zlomok druhým, na to stačí vynásobiť ich čitateľov a menovateľov:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte vynásobiť zlomok dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Je potrebné pripomenúť, že ak chcete získať recipročné, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa.
Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakých menovateľov
Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznych menovateľov
Koncept NOC
Privedenie zlomkov k rovnakému menovateľovi
Ako sčítať celé číslo a zlomok
1 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa rovnakého, napríklad:
Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa rovnakého, napríklad:
Ak chcete pridať zmiešané frakcie, musíte oddelene pridať ich celé časti a potom pridať ich zlomkové časti a zapísať výsledok ako zmiešanú frakciu,
Ak sa pri sčítaní zlomkových častí získa nesprávny zlomok, vyberieme z neho celočíselnú časť a pripočítame ju k celočíselnej časti, napríklad:
2 Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Ak chcete sčítať alebo odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k rovnakému menovateľovi a potom postupovať podľa pokynov na začiatku tohto článku. Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok). Pre čitateľa každého zo zlomkov sa ďalšie faktory nájdu vydelením LCM menovateľom tohto zlomku. Na príklad sa pozrieme neskôr, keď zistíme, čo je LCM.
3 Najmenší spoločný násobok (LCM)
Najmenší spoločný násobok dvoch čísel (LCM) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné oboma týmito číslami bezo zvyšku. Niekedy možno LCM nájsť ústne, ale častejšie, najmä pri práci s veľkými číslami, musíte LCM nájsť písomne pomocou nasledujúceho algoritmu:
Ak chcete nájsť LCM niekoľkých čísel, potrebujete:
- Rozložte tieto čísla na prvočísla
- Vezmite najväčšiu expanziu a zapíšte tieto čísla ako súčin
- Vyberte v ďalších rozšíreniach čísla, ktoré sa nevyskytujú v najväčšom rozšírení (alebo sa v ňom vyskytujú menejkrát), a pridajte ich k súčinu.
- Vynásobte všetky čísla v produkte, toto bude LCM.
Napríklad, nájdime LCM čísel 28 a 21:
4 Redukovanie zlomkov na rovnakého menovateľa
Vráťme sa k sčítaniu zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Keď zlomky zredukujeme na rovnakého menovateľa, ktorý sa rovná LCM oboch menovateľov, musíme vynásobiť čitateľov týchto zlomkov číslom dodatočné multiplikátory. Môžete ich nájsť vydelením LCM menovateľom zodpovedajúceho zlomku, napríklad:
Preto, aby ste zlomky dostali do jedného indikátora, musíte najprv nájsť LCM (to znamená najmenšie číslo, ktoré je deliteľné oboma menovateľmi) menovateľov týchto zlomkov, a potom do čitateľov zlomkov vložiť ďalšie faktory. Nájdete ich vydelením spoločného menovateľa (LCD) menovateľom zodpovedajúceho zlomku. Potom musíte vynásobiť čitateľa každého zlomku ďalším faktorom a ako menovateľa uviesť LCM.
5Ako sčítať celé číslo a zlomok
Ak chcete pridať celé číslo a zlomok, stačí pridať toto číslo pred zlomok a dostanete napríklad zmiešaný zlomok.
prinieslo vaše dieťa domáca úloha zo školy a nevieš ako to vyriešiť? Potom je tento mini návod pre vás!
Ako pridať desatinné miesta
Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca. Ak chcete vykonať sčítanie desatinné zlomky musíte dodržiavať jednoduché pravidlo:
- Číslica musí byť pod číslicou, čiarka pod čiarkou.
Ako vidíte na príklade, celé jednotky sú pod sebou, desatiny a stotiny sú pod sebou. Teraz sčítame čísla, čiarku ignorujeme. Čo robiť s čiarkou? Čiarka sa prenesie na miesto, kde stála pri vybíjaní celých čísel.
Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Ak chcete vykonať sčítanie so spoločným menovateľom, musíte ponechať menovateľa nezmenený, nájsť súčet čitateľov a získať zlomok, ktorý bude celkovým súčtom.
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi nájdením spoločného násobku
Prvá vec, ktorú treba venovať pozornosť, sú menovatelia. Menovatelia sú rôzni, nie sú navzájom deliteľní základné čísla. Najprv musíte priviesť k jednému spoločnému menovateľovi, existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, na vyriešenie tohto príkladu musíme nájsť najmenší spoločný násobok (LCM), ktorý bude deliteľný 2 menovateľmi. Na označenie najmenšieho násobku a a b - LCM (a; b). V tomto príklade LCM (3;4) = 12. Kontrola: 12:3=4; 12:4=3.
- Vynásobíme faktory a vykonáme sčítanie výsledných čísel, dostaneme 13/12 - nesprávny zlomok.
- Aby sme previedli nevlastný zlomok na vlastný, vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme celé číslo 1, zvyšok 1 je čitateľ a 12 je menovateľ.
Sčítanie zlomkov pomocou krížového násobenia
Na sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi existuje iný spôsob podľa vzorca „krížovo“. Toto je zaručený spôsob vyrovnania menovateľov, preto je potrebné vynásobiť čitateľov menovateľom jedného zlomku a naopak. Ak ste len na počiatočné štádium učenie zlomkov, potom je táto metóda najjednoduchšia a najpresnejšia, ako získať správny výsledok pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete znížiť zlomok, ktorý ste dostali.
Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi príklady:
,
,
Odčítanie správneho zlomku od jednotky.
Ak je potrebné od jednotky odčítať zlomok, ktorý je správny, jednotka sa prevedie do tvaru nesprávneho zlomku, jeho menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.
Príklad odčítania správneho zlomku od jednotky:
Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , teda jednotku znázorníme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.
Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):
- Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, preložíme na nevlastné. Dostaneme normálne pojmy (nezáleží na tom, či majú rôznych menovateľov), ktoré zvážime podľa vyššie uvedených pravidiel;
- Ďalej vypočítame rozdiel zlomkov, ktoré sme dostali. Výsledkom je, že takmer nájdeme odpoveď;
- Vykonávame inverzná transformácia, čiže sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme celočíselnú časť v zlomku.
Odčítajte správny zlomok od celého čísla: prirodzené číslo reprezentujeme ako zmiešané číslo. Tie. vezmeme jednotku v prirodzenom čísle a preložíme ju do tvaru nevlastného zlomku, menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.
Príklad odčítania zlomkov:
V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme napísali zmiešané číslo a frakcia sa odobrala z frakčnej časti.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Alebo inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.
Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi (LCD) a až potom odčítať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.
Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi týchto zlomkov.
Pozor! Ak v konečnom zlomku majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, zlomok sa musí zmenšiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je nedokončené riešenie príkladu!
Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.
- nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
- vložte ďalšie multiplikátory pre všetky zlomky;
- vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
- výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky dáme spoločného menovateľa;
- odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.
Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva za prítomnosti písmen v čitateli.
Odčítanie zlomkov, príklady:
Odčítanie zmiešaných zlomkov.
o odčítanie zmiešané frakcie(čísla) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.
Prvou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).
Napríklad:
Druhou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok zredukujeme zlomkové časti na spoločného menovateľa a potom odčítame celú časť od celého čísla a zlomok od zlomku.
Napríklad:
Treťou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.
Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.
Príklad:
Pretože zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako pri druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.
Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. Takže vezmeme jednotku z celočíselnej časti a zredukujeme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom = 18.
Do čitateľa z pravej strany napíšeme súčet čitateľov, potom z pravej strany otvoríme zátvorky v čitateli, čiže všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:
Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Sčítanie zlomkov je dvoch typov:
- Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
- Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Začnime sčítaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Pridajte zlomky a .
Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť pridelená jednoducho - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pízz, získate jednu celú pizzu:
Príklad 3. Pridajte zlomky a .
Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:
Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.
Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.
Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.
Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa pre začiatočníka môžu zdať komplikované.
Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa hľadá prvý (LCM) z menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - LCM sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.
Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.
Príklad 1. Pridajte frakcie a
V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6
LCM (2 a 3) = 6
Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.
Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:
To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.
Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:
Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:
Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:
Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:
Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).
Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).
Všimnite si, že sme vymaľovali uvedený príklad príliš podrobné. V vzdelávacie inštitúcie nebýva zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:
Ale existuje tiež zadná strana medaily. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.
Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:
- Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
- Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok;
- Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
- Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
- Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
.
Využime vyššie uvedené pokyny.
Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov
Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4
Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok
Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:
Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi
Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:
Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:
Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a je potrebné dať na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku znak rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.
Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť
Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:
Dostal som odpoveď
Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Existujú dva typy odčítania zlomkov:
- Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
- Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.
Opäť odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechajte nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:
Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
- Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.
Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.
Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12
LCM (3 a 4) = 12
Teraz späť k zlomkom a
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štvorku napíšeme nad prvý zlomok:
To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:
Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:
Dostal som odpoveď
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak nakrájate pizzu z pizze, dostanete pizzu.
Toto podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:
Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):
Prvý nákres ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok ukazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.
Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.
Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30
LCM(10,3,5) = 30
Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:
Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.
Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:
Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. čo sa dá robiť Tento zlomok môžete znížiť.
Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.
Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:
Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, to znamená 10
Dostal som odpoveď
Násobenie zlomku číslom
Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.
Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1
Vstup možno chápať tak, že si vezmete polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu
Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:
Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4
Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:
Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.
A ak miestami zameníme násobilku a násobiteľa, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:
Násobenie zlomkov
Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.
Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť túto frakciu. Zlomok možno zmenšiť o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu podobu:
Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:
Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:
A vezmite si dva z týchto troch kusov:
Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:
Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:
Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločný deliteľ(gcd) čísla 105 a 450.
Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:
Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15
Predstavuje celé číslo ako zlomok
Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:
Obrátené čísla
Teraz sa zoznámime s zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.
Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.
Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:
Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.
Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme si päť ako zlomok:
Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:
Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:
To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.
Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.
Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.
Delenie zlomku číslom
Povedzme, že máme polovicu pizze:
Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?
Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.
Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Obrátené čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.
Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť