บทนำ…………………………………………………………………………………………3
1. ค่าของเวกเตอร์และสเกลาร์…………………………………………….4
2. นิยามของการฉายภาพ แกนและพิกัดของจุด……………5
3. การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน……………………………………………………6
4. สูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์……………………………..8
5. การคำนวณโมดูลของเวกเตอร์จากการคาดคะเน…………...9
สรุป………………………………………………………………………………...11
วรรณคดี……………………………………………………………………………………...12
บทนำ:
ฟิสิกส์เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์อย่างแยกไม่ออก คณิตศาสตร์ทำให้ฟิสิกส์มีวิธีการและเทคนิคในการแสดงออกทั่วไปและแม่นยำของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ค้นพบจากการทดลองหรือการวิจัยเชิงทฤษฎี อย่างไรก็ตาม วิธีหลักของการวิจัยทางฟิสิกส์ก็คือการทดลอง ซึ่งหมายความว่านักวิทยาศาสตร์เปิดเผยการคำนวณด้วยความช่วยเหลือของการวัด แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ต่างกัน จากนั้นทุกอย่างก็แปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์ ก่อตัว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์. ฟิสิกส์เป็นศาสตร์ที่ศึกษาที่ง่ายที่สุดและในเวลาเดียวกันมากที่สุด รูปแบบทั่วไป. งานของฟิสิกส์คือการสร้างภาพของโลกทางกายภาพที่สะท้อนถึงคุณสมบัติของมันอย่างเต็มที่และให้ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองที่มีอยู่ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ในจิตใจของเรา
ดังนั้น ฟิสิกส์จึงสร้างแบบจำลองของโลกรอบตัวเราและศึกษาคุณสมบัติของมัน แต่ทุกรุ่นมีจำนวนจำกัด เมื่อสร้างแบบจำลองของปรากฏการณ์หนึ่ง ๆ จะพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติและการเชื่อมต่อที่จำเป็นสำหรับช่วงของปรากฏการณ์ที่กำหนดเท่านั้น นี่คือศิลปะของนักวิทยาศาสตร์ - จากความหลากหลายทั้งหมดเพื่อเลือกสิ่งสำคัญ
แบบจำลองทางกายภาพเป็นคณิตศาสตร์ แต่คณิตศาสตร์ไม่ใช่พื้นฐาน ความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณทางกายภาพได้รับการชี้แจงอันเป็นผลมาจากการวัด การสังเกต และการศึกษาเชิงทดลอง และแสดงในภาษาของคณิตศาสตร์เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ไม่มีภาษาอื่นในการสร้างทฤษฎีทางกายภาพ
1. ค่าของเวกเตอร์และสเกลาร์
ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์คือปริมาณที่แสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง ในฟิสิกส์ มีปริมาณที่สำคัญหลายอย่างที่เป็นเวกเตอร์ เช่น แรง ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง แรงบิด โมเมนตัม สนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็ก สามารถเปรียบเทียบกับปริมาณอื่นๆ เช่น มวล ปริมาตร ความดัน อุณหภูมิ และความหนาแน่น ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยตัวเลขธรรมดาและเรียกว่า " สเกลาร์" .
พวกเขาเขียนด้วยตัวอักษรของแบบอักษรปกติหรือเป็นตัวเลข (a, b, t, G, 5, -7 ....) สเกลาร์อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ในขณะเดียวกัน วัตถุศึกษาบางชิ้นอาจมีคุณสมบัติดังกล่าวสำหรับ คำอธิบายที่สมบูรณ์ซึ่งความรู้เกี่ยวกับการวัดเชิงตัวเลขเท่านั้นไม่เพียงพอจึงจำเป็นต้องกำหนดคุณสมบัติเหล่านี้ด้วยทิศทางในอวกาศ คุณสมบัติดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณเวกเตอร์ (เวกเตอร์) เวกเตอร์ไม่เหมือนสเกลาร์แสดงด้วยตัวอักษรหนา: a, b, g, F, C ....
บ่อยครั้งที่เวกเตอร์แสดงด้วยตัวอักษรธรรมดา (ไม่ใช่ตัวหนา) แต่มีลูกศรอยู่ด้านบน:
นอกจากนี้ เวกเตอร์มักใช้แทนด้วยตัวอักษรคู่หนึ่ง (โดยปกติจะเป็นอักษรตัวพิมพ์ใหญ่) โดยอักษรตัวแรกระบุจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และอักษรตัวที่สองระบุจุดสิ้นสุด
โมดูลของเวกเตอร์ กล่าวคือ ความยาวของส่วนของเส้นตรงกำกับ แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันกับเวกเตอร์เอง แต่ในการเขียนปกติ (ไม่ใช่ตัวหนา) และไม่มีลูกศรอยู่เหนือพวกมัน หรือเหมือนกับ เวกเตอร์ (นั่นคือ ตัวหนาหรือปกติ แต่มีลูกศร) แต่แล้ว การกำหนดเวกเตอร์จะอยู่ในเส้นประแนวตั้ง
เวกเตอร์เป็นวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งมีทั้งขนาดและทิศทางในเวลาเดียวกัน
นอกจากนี้ยังไม่มีเวกเตอร์บวกและลบอีกด้วย แต่เวกเตอร์สามารถเท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อ a และ b มีโมดูลเดียวกันและมีทิศทางไปในทิศทางเดียวกัน ในกรณีนี้บันทึก เอ= ข. พึงระลึกไว้เสมอว่าสัญลักษณ์เวกเตอร์สามารถนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น -c อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายนี้เป็นสัญลักษณ์บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ -c มีโมดูลัสเดียวกันกับเวกเตอร์ c แต่กำกับไว้ใน ทิศทางตรงกันข้าม
เวกเตอร์ -c เรียกว่าตรงกันข้าม (หรือผกผัน) ของเวกเตอร์ c
อย่างไรก็ตาม ในทางฟิสิกส์ เวกเตอร์แต่ละตัวจะเต็มไปด้วยเนื้อหาเฉพาะ และเมื่อเปรียบเทียบเวกเตอร์ประเภทเดียวกัน (เช่น แรง) ประเด็นของการใช้เวกเตอร์เหล่านั้นก็มีความสำคัญเช่นกัน
2.การหาการฉายภาพ แกนและพิกัดของจุด
แกนเป็นเส้นตรงที่ให้ทิศทาง
แกนถูกระบุด้วยตัวอักษรใด ๆ : X, Y, Z, s, t ... โดยปกติจุดจะถูกเลือก (โดยพลการ) บนแกนซึ่งเรียกว่าจุดกำเนิดและตามกฎแล้วจะระบุด้วยตัวอักษร O . ระยะทางไปยังจุดที่น่าสนใจอื่น ๆ สำหรับเราวัดจากจุดนี้
การฉายจุดบนแกนเรียกว่าฐานของแนวตั้งฉากที่ลดลงจากจุดนี้ไปยังแกนที่กำหนด นั่นคือ การฉายภาพของจุดบนแกนคือจุด
พิกัดบนแกนนี้เรียกว่าตัวเลข ค่าสัมบูรณ์ซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนของแกน (ในมาตราส่วนที่เลือก) ซึ่งอยู่ระหว่างจุดกำเนิดของแกนกับการฉายของจุดบนแกนนี้ ตัวเลขนี้ใช้เครื่องหมายบวกหากการฉายภาพของจุดนั้นอยู่ในทิศทางของแกนตั้งแต่เริ่มต้นและด้วยเครื่องหมายลบหากไปในทิศทางตรงกันข้าม
3.การฉายเวกเตอร์บนแกน
การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนคือเวกเตอร์ที่ได้จากการคูณการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์ลงบนแกนนี้และเวกเตอร์หน่วยของแกนนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้า x คือการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์ a บนแกน X ดังนั้น x i คือการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนนี้
เราแสดงถึงการฉายภาพเวกเตอร์ในลักษณะเดียวกับเวกเตอร์ แต่ด้วยดัชนีของแกนที่ฉายเวกเตอร์ ดังนั้น การฉายภาพเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a บนแกน X จะแสดงด้วย x (ตัวหนาแสดงถึงเวกเตอร์และตัวห้อยของชื่อแกน) หรือ
(ตัวอักษรที่ไม่ใช่ตัวหนาแสดงถึงเวกเตอร์ แต่มีลูกศรอยู่ด้านบน (!) และตัวห้อยของชื่อแกน)
การฉายภาพสเกลาร์เวกเตอร์ต่อแกนเรียกว่า ตัวเลขค่าสัมบูรณ์ซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนของแกน (ในมาตราส่วนที่เลือก) ซึ่งอยู่ระหว่างการคาดคะเนของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ มักจะแทนการแสดงออก การฉายภาพสเกลาร์เพียงแค่พูด - การฉายภาพ. การฉายภาพแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับเวกเตอร์ที่ฉาย (โดยปกติไม่ใช่การเขียนตัวหนา) โดยมีตัวห้อย (โดยปกติ) ของชื่อแกนที่ฉายเวกเตอร์นี้ ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ฉายลงบนแกน x ก,จากนั้นการฉายภาพจะแสดงเป็น x เมื่อฉายเวกเตอร์เดียวกันบนอีกแกนหนึ่ง หากแกนคือ Y การฉายภาพจะแสดงเป็น y
การคำนวณการฉายภาพ เวกเตอร์บนแกน (เช่นแกน X) จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดนั่นคือ
และ x \u003d x k - x n
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเป็นตัวเลขนอกจากนี้ การฉายภาพสามารถเป็นบวกได้หากค่าของ x k มากกว่าค่าของ x n
ลบถ้าค่าของ x k น้อยกว่าค่าของ x n
และเท่ากับศูนย์ถ้า x k เท่ากับ x n
การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนสามารถหาได้จากการรู้โมดูลัสของเวกเตอร์และมุมที่มันทำกับแกนนั้น
สังเกตได้จากรูปที่ a x = a Cos α
นั่นคือ การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนกับ ทิศทางเวกเตอร์. ถ้ามุมแหลมแล้ว
Cos α > 0 และ a x > 0 และถ้าป้าน โคไซน์ของมุมป้านจะเป็นลบ และการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นลบด้วย
มุมที่นับจากแกนทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวกและในทิศทาง - ลบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ นั่นคือ Cos α = Cos (− α) เมื่อคำนวณการฉายภาพ มุมสามารถนับได้ทั้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา
ในการหาการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน โมดูลของเวกเตอร์นี้จะต้องคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนกับทิศทางของเวกเตอร์
4. สูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์
เราฉายเวกเตอร์ a บนแกน X และ Y ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ค้นหาเส้นโครงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a บนแกนเหล่านี้:
และ x = a x i และ y = a y j
แต่ตามกฎการบวกเวกเตอร์
a \u003d a x + a y
a = a x i + a y j.
ดังนั้นเราจึงแสดงเวกเตอร์ในรูปของการฉายภาพและออร์ตของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (หรือในแง่ของการฉายภาพเวกเตอร์)
การคาดการณ์เวกเตอร์ a x และ a y เรียกว่าส่วนประกอบหรือส่วนประกอบของเวกเตอร์ a การดำเนินการที่เราดำเนินการเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ตามแกนของระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หากเวกเตอร์ถูกกำหนดในช่องว่างแล้ว
a = a x i + a y j + a z k.
สูตรนี้เรียกว่าสูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ แน่นอน มันเขียนได้แบบนี้ด้วย
ปริมาณทางกายภาพจำนวนมากถูกกำหนดโดยการกำหนดจำนวนอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ปริมาตร มวล ความหนาแน่น อุณหภูมิของร่างกาย เป็นต้น ปริมาณดังกล่าวเรียกว่าสเกลาร์ ด้วยเหตุนี้ บางครั้งจึงเรียกตัวเลขว่าสเกลาร์ แต่ยังมีปริมาณที่กำหนดโดยการตั้งค่าไม่เพียง แต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางที่แน่นอนด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อร่างกายเคลื่อนที่ ไม่ควรระบุเฉพาะความเร็วที่ร่างกายเคลื่อนที่ แต่ยังต้องระบุทิศทางของการเคลื่อนไหวด้วย ในทำนองเดียวกันเมื่อศึกษาการกระทำของแรงใด ๆ จำเป็นต้องระบุค่าของแรงนี้เท่านั้น แต่ยังต้องระบุทิศทางของการกระทำด้วย ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า เวกเตอร์เพื่ออธิบายพวกเขา แนวคิดของเวกเตอร์ถูกนำมาใช้ ซึ่งกลายเป็นประโยชน์สำหรับคณิตศาสตร์
คำจำกัดความของเวกเตอร์
คู่ที่สั่งซื้อของจุด A ถึง B ในช่องว่างกำหนด ส่วนกำกับ, เช่น. ส่วนพร้อมกับทิศทางที่ให้ไว้ ถ้าจุด A เป็นจุดแรก จะเรียกว่าจุดเริ่มต้นของส่วนที่กำหนด และจุด B จะเรียกว่าจุดสิ้นสุด ทิศทางของส่วนคือทิศทางตั้งแต่ต้นจนจบ
คำนิยาม
ส่วนกำกับเรียกว่าเวกเตอร์
เราจะระบุเวกเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ \(\overrightarrow(AB) \) โดยที่ตัวอักษรตัวแรกหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวที่สอง - จุดสิ้นสุดของมัน
เวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกันเรียกว่า ศูนย์และเขียนแทนด้วย \(\vec(0) \) หรือเพียงแค่ 0
ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เรียกว่า ยาวและแสดงโดย \(|\overrightarrow(AB)| \) หรือ \(|\vec(a)| \)
เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เรียกว่า collinearถ้าอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นคู่ขนาน เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถกำหนดทิศทางเดียวกันหรือตรงกันข้ามได้
ตอนนี้ เราสามารถกำหนดแนวคิดที่สำคัญของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัวได้
คำนิยาม
เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เรียกว่าเท่ากัน (\(\vec(a) = \vec(b) \)) หากเป็น collinear มีทิศทางเดียวกัน และมีความยาวเท่ากัน
ในรูป 1 เวกเตอร์ไม่เท่ากันจะแสดงทางด้านซ้าย และเวกเตอร์ที่เท่ากัน \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) จะแสดงทางด้านขวา ตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ที่ว่าถ้าเวกเตอร์ที่กำหนดถูกย้ายขนานกับตัวมันเอง จะได้เวกเตอร์เท่ากับเวกเตอร์ที่ให้มา ในเรื่องนี้เรียกว่าเวกเตอร์ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ฟรี.
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน
ให้แกน \(u\) และเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB)\) กำหนดในช่องว่าง ลองลากผ่านจุด A และ B ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน \ (u \) ให้เราแทนด้วย A "และ B" จุดตัดของระนาบเหล่านี้กับแกน (ดูรูปที่ 2)
การฉายภาพของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกน \(u\) คือค่า A"B" ของส่วนกำกับ A"B" บนแกน \(u\) จำได้ว่า
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) ถ้าทิศทาง \(\overrightarrow(A"B") \) เหมือนกับทิศทางของแกน \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) ถ้าทิศทางของ \(\overrightarrow(A"B") \) อยู่ตรงข้ามกับทิศทางของแกน \(u \)
การฉายภาพของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกน \(u \) แสดงดังนี้: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \)
ทฤษฎีบท
การฉายภาพของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกน \(u \) เท่ากับความยาวของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) คูณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ \( \overrightarrow(AB) \) และแกน \( u \) เช่น
ความคิดเห็น
ให้ \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) และบางแกน \(u \) นำสูตรของทฤษฎีบทไปใช้กับเวกเตอร์เหล่านี้แต่ละตัว เราจะได้
การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด
อนุญาต ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด Oxyz และเวกเตอร์โดยพลการ \(\overrightarrow(AB) \) ให้ต่อไป \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \) การคาดการณ์ X, Y, Z ของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) บนแกนพิกัดเรียกว่า พิกัด.ในขณะเดียวกันก็เขียน
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
ทฤษฎีบท
ไม่ว่าจุดสองจุด A(x 1 ; y 1 ; z 1) และ B(x 2 ; y 2 ; z 2) คือพิกัดของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้ :
X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1
ความคิดเห็น
หากเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) ออกจากจุดกำเนิด กล่าวคือ x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z จากนั้นพิกัด X, Y, Z ของเวกเตอร์ \(\overrightarrow(AB) \) เท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด:
X=x, Y=y, Z=z.
โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์
ให้เวกเตอร์โดยพลการ \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); เราคิดว่า \(\vec(a) \) ออกจากจุดเริ่มต้นและไม่อยู่ในระนาบพิกัดใด ๆ ให้เราลากผ่านระนาบจุด A ตั้งฉากกับแกน เมื่อรวมกับระนาบพิกัดแล้วพวกมันจะก่อตัวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีเส้นทแยงมุมเป็นส่วน OA (ดูรูป)
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากเรขาคณิตเบื้องต้นว่ากำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุม ทรงลูกบาศก์เท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของสามมิติ เพราะฉะนั้น,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
แต่ \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); ดังนั้นเราจึงได้รับ
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
หรือ
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
สูตรนี้แสดงความยาวของเวกเตอร์ตามอำเภอใจในแง่ของพิกัด
แสดงโดย \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) มุมระหว่างเวกเตอร์ \(\vec(a) \) และแกนพิกัด จากสูตรการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนและความยาวของเวกเตอร์ เราจะได้
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) ถูกเรียก โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ \(\vec(a) \).
ยกกำลังสองด้านซ้ายและขวาของแต่ละความเท่าเทียมกันก่อนหน้าและสรุปผลลัพธ์ เราได้
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
เหล่านั้น. ผลรวมของโคไซน์ทิศทางกำลังสองของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับหนึ่ง
การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์และคุณสมบัติหลักของพวกมัน
การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์คือการดำเนินการของการบวกและลบเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขการบวกเวกเตอร์สองตัว
ให้เวกเตอร์สองตัว \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) ผลรวม \(\vec(a) + \vec(b) \) เป็นเวกเตอร์ที่เริ่มจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ \(\vec(a) \) จนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ \(\vec(b) \) โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ \(\vec(b) \) ติดอยู่ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ \(\vec(a) \) (ดูรูป)ความคิดเห็น
การกระทำของการลบเวกเตอร์นั้นตรงกันข้ามกับการบวก นั่นคือ ความแตกต่าง \(\vec(b) - \vec(a) \) ของเวกเตอร์ \(\vec(b) \) และ \(\vec(a) \) เป็นเวกเตอร์ซึ่งรวมกับเวกเตอร์ \( \vec(a) ) \) ให้เวกเตอร์ \(\vec(b) \) (ดูรูป)
ความคิดเห็น
เมื่อหาผลรวมของเวกเตอร์สองตัวแล้ว เราสามารถหาผลรวมของเวกเตอร์ที่กำหนดจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น ให้เวกเตอร์สามตัว \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \) เพิ่ม \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เราจะได้เวกเตอร์ \(\vec(a) + \vec(b) \) ตอนนี้เพิ่มเวกเตอร์ \(\vec(c) \) ลงไป เราได้เวกเตอร์ \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
ผลคูณของเวกเตอร์ตามจำนวน
ให้เวกเตอร์ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) และตัวเลข \(\lambda \neq 0 \) ผลิตภัณฑ์ \(\lambda \vec(a) \) เป็นเวกเตอร์ที่ collinear กับเวกเตอร์ \(\vec(a) \) มีความยาวเท่ากับ \(|\lambda| |\vec(a)| \) และทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ \(\vec(a) \) if \(\lambda > 0 \) และทิศทางตรงกันข้าม if \(\lambda ความรู้สึกทางเรขาคณิตการดำเนินการคูณของเวกเตอร์ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) ด้วยจำนวน \(\lambda \neq 0 \) สามารถแสดงได้ดังนี้: if \(|\lambda| >1 \ ) จากนั้นเมื่อคูณเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ด้วยตัวเลข \(\lambda \) เวกเตอร์ \(\vec(a) \) จะถูก "ยืด" ด้วย \(\lambda \) ครั้งและถ้า \(|\แลมบ์ดา| 1 \ )ถ้า \(\lambda =0 \) หรือ \(\vec(a) = \vec(0) \) ดังนั้นผลคูณ \(\lambda \vec(a) \) จะถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์
ความคิดเห็น
การใช้คำจำกัดความของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ทำให้ง่ายต่อการพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เป็น collinear และ \(\vec(a) \neq \vec(0) \) จากนั้นก็มีตัวเลข (และเพียงตัวเดียว) \(\lambda \) เช่นนั้น \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
คุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการเชิงเส้น
1. คุณสมบัติสับเปลี่ยนของการบวก
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. ทรัพย์สินร่วมของการบวก
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. สมบัติร่วมของการคูณ
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. การกระจายทรัพย์สินเกี่ยวกับผลรวมของตัวเลข
\(\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. ทรัพย์สินกระจายโดยคำนึงถึงผลรวมของเวกเตอร์
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
ความคิดเห็น
คุณสมบัติเหล่านี้ของการดำเนินการเชิงเส้นมีความสำคัญพื้นฐาน เนื่องจากทำให้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตธรรมดากับเวกเตอร์เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น เนื่องจากคุณสมบัติ 4 และ 5 จึงเป็นไปได้ที่จะทำการคูณพหุนามสเกลาร์ด้วยพหุนามเวกเตอร์ "เทอมต่อเทอม"
ทฤษฎีบทการฉายภาพเวกเตอร์
ทฤษฎีบท
การฉายภาพผลรวมของเวกเตอร์สองตัวบนแกน เท่ากับผลรวมของการฉายภาพบนแกนนี้ กล่าวคือ
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
ทฤษฎีบทสามารถสรุปให้ใช้กับกรณีของเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้
ทฤษฎีบท
เมื่อคูณเวกเตอร์ \(\vec(a) \) ด้วยตัวเลข \(\lambda \) การฉายภาพบนแกนจะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ด้วย เช่น \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)
ผลที่ตามมา
ถ้า \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) และ \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \) แล้ว
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
ผลที่ตามมา
ถ้า \(\vec(a) = (x;y;z) \), ดังนั้น \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) สำหรับ ตัวเลขใด ๆ \(\ lambda \)
จากนี้ไปง่ายต่อการอนุมาน เงื่อนไขความสอดคล้องของเวกเตอร์สองตัวในพิกัด
แน่นอน ความเท่าเทียมกัน \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) หรือ
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) เช่น เวกเตอร์ \(\vec(a) \) และ \(\vec(b) \) เป็นแบบ collinear ถ้าหากว่าพิกัดของพวกมันเป็นสัดส่วนกัน
การสลายตัวของเวกเตอร์ในรูปของฐาน
ให้เวกเตอร์ \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) เป็นเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัดเช่น \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \) และแต่ละอันมีทิศทางเท่ากันกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน (ดูรูป) เวกเตอร์สามตัว \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ถูกเรียก พื้นฐาน
ทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือ
ทฤษฎีบท
เวกเตอร์ใด ๆ \(\vec(a) \) สามารถขยายได้โดยไม่ซ้ำกันในพื้นฐาน \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \) เช่น นำเสนอในรูปแบบ
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
โดยที่ \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) เป็นตัวเลขบางตัว 
แกนคือทิศทาง ดังนั้น การฉายภาพบนแกนหรือบนเส้นกำกับจึงถือว่าเหมือนกัน การฉายภาพอาจเป็นพีชคณิตหรือเรขาคณิต ในแง่เรขาคณิต การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเข้าใจว่าเป็นเวกเตอร์ และในแง่พีชคณิต มันคือตัวเลข นั่นคือ ใช้แนวคิดของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนและการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกน
Yandex.RTB R-A-339285-1
หากเรามีแกน L และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ AB → เราก็สามารถสร้างเวกเตอร์ A 1 B 1 ⇀ แทนการฉายภาพของจุด A 1 และ B 1 ได้
A 1 B → 1 จะเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ A B → บน L
คำจำกัดความ 1
การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนเรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นการคาดการณ์ของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่อยู่นอกเหนือ ให้เวกเตอร์. n p L A B → → เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงถึงการฉายภาพของ AB → ลงบน L ในการสร้างเส้นโครงบน L ให้วางเส้นตั้งฉากบน L
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน
บนระนาบพิกัด O x y มีการระบุจุด M 1 (x 1, y 1) จำเป็นต้องสร้างเส้นโครงบน O x และ O y สำหรับภาพของเวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 . หาพิกัดของเวกเตอร์ (x 1 , 0) และ (0 , y 1) กัน
หากเรากำลังพูดถึงการฉายภาพของ a → ลงบนที่ไม่ใช่ศูนย์ b → หรือการฉายของ a → ไปยังทิศทาง b → แสดงว่าเราหมายถึงการฉายภาพของ a → ไปยังแกนที่ทิศทาง b → เกิดขึ้นพร้อมกัน การฉายภาพ a → บนเส้นที่กำหนดโดย b → ถูกกำหนดโดย n p b → a → → เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อมุมอยู่ระหว่าง a → และ b → เราสามารถพิจารณา n p b → a → → และ b → codirectional ในกรณีที่มุมป้าน n p b → a → → และ b → จะถูกกำหนดทิศทางตรงกันข้าม ในสถานการณ์ตั้งฉาก a → และ b → และ a → เป็นศูนย์ การฉายภาพของ a → ตามทิศทาง b → เป็นเวกเตอร์ศูนย์
ลักษณะเฉพาะเชิงตัวเลขของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนคือการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนที่กำหนด
คำจำกัดความ 2
การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนเรียกจำนวนที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดกับเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของแกน
การฉายภาพเชิงตัวเลขของ AB → บน L นั้นแสดง n p L A B → และ a → ไปยัง b → - n p b → a →
จากสูตร เราจะได้ npb → a → = a → · cos a → , b → ^ ดังนั้น a → คือความยาวของเวกเตอร์ a → , a ⇀ , b → ^ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ a → และ ข → .
เราได้สูตรการคำนวณการฉายภาพตัวเลข: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . ใช้ได้กับความยาวที่ทราบ a → และ b → และมุมระหว่างความยาวเหล่านี้ สูตรนี้ใช้ได้กับพิกัดที่รู้จัก a → และ b → แต่มีเวอร์ชันที่เข้าใจง่ายกว่า
ตัวอย่าง 2
ค้นหาการฉายภาพตัวเลข a → บนเส้นตรงในทิศทาง b → ด้วยความยาว a → เท่ากับ 8 และมุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา โดยเงื่อนไขเรามี ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . ดังนั้นเราจึงแทนที่ค่าตัวเลขลงในสูตร n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
ตอบ: 4.
ด้วย cos ที่รู้จัก (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → เรามี a → , b → เป็น ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ a → และ b → . ต่อจากสูตร n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ เราสามารถหาเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → กำกับตามเวกเตอร์ b → และรับ n p b → a → = a → , b → b → . สูตรนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของอนุประโยค
คำจำกัดความ 3
การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกนประจวบกับทิศทาง b → คืออัตราส่วนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ต่อความยาว b → . สูตร n p b → a → = a → , b → b → ใช้สำหรับการค้นหาการฉายภาพเชิงตัวเลขของ a → บนเส้นตรงที่ประจวบกับทิศทาง b → โดยรู้จักพิกัด a → และ b →
ตัวอย่างที่ 3
ให้ b → = (- 3 , 4) . หาเส้นโครงตัวเลข a → = (1 , 7) ลงบน L
สารละลาย
บนระนาบพิกัด npb → a → = a → , b → b → มีรูปแบบ npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + โดย 2 สำหรับ a → = (ax , ay ) และ b → = bx โดย ในการหาการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกน L คุณต้องมี: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + โดย 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
ตอบ: 5.
ตัวอย่างที่ 4
หาเส้นโครง a → บน L ประจวบกับทิศทาง b → โดยจะมี a → = - 2 , 3 , 1 และ b → = (3 , - 2 , 6) ให้พื้นที่สามมิติ
สารละลาย
ให้ a → = a x , a y , a z และ b → = b x , b y , b z คำนวณผลคูณของสเกลาร์: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z เราพบความยาว b → โดยสูตร b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 เป็นไปตามสูตรกำหนดเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → จะเป็น: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
แทนค่าตัวเลข: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
คำตอบ: - 6 7 .
ลองดูการเชื่อมต่อระหว่าง a → บน L และความยาวของการฉายภาพของ a → บน L วาดแกน L โดยการเพิ่ม a → และ b → จากจุดหนึ่งไปที่ L หลังจากนั้นเราวาดเส้นตั้งฉากจากจุดสิ้นสุดของ a → ถึง L และฉายภาพลงบน L มี 5 รูปแบบภาพ:
อันดับแรกกรณีที่ a → = npb → a → → หมายถึง a → = npb → a → → ดังนั้น npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → ก → → .
ที่สองกรณีแสดงถึงการใช้ n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , ดังนั้น n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → →
ที่สาม case อธิบายว่า npb → a → → = 0 → เราจะได้ npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 จากนั้น npb → a → → = 0 และ npb → a → = 0 = npb → a → → .
ที่สี่กรณีแสดง npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) ตามด้วย npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .
ที่ห้ากรณีแสดง a → = npb → a → → ซึ่งหมายความว่า a → = npb → a → → ดังนั้นเราจึงมี npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .
คำจำกัดความ 4
การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกน L ซึ่งกำกับเหมือน b → มีความหมาย:
- ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a → บน L โดยมีเงื่อนไขว่ามุมระหว่าง a → และ b → น้อยกว่า 90 องศาหรือเท่ากับ 0: npb → a → = npb → a → → โดยมีเงื่อนไข 0 ≤ (a → , ข →) ^< 90 ° ;
- ศูนย์ภายใต้เงื่อนไขของการตั้งฉาก a → และ b → : n p b → a → = 0 เมื่อ (a → , b → ^) = 90 ° ;
- ความยาวของเส้นโครง a → บน L คูณ -1 เมื่อมีมุมป้านหรือแบนของเวกเตอร์ a → และ b → : n p b → a → = - n p b → a → → โดยมีเงื่อนไข 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
ตัวอย่างที่ 5
กำหนดความยาวของเส้นโครง a → บน L เท่ากับ 2 หาเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → โดยกำหนดให้มุมเป็น 5 π 6 เรเดียน
สารละลาย
สังเกตได้จากเงื่อนไขว่ามุมนี้เป็นป้าน π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
คำตอบ: - 2.
ตัวอย่างที่ 6
กำหนดระนาบ O x y z ด้วยความยาวของเวกเตอร์ a → เท่ากับ 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) ด้วยมุม 30 องศา ค้นหาพิกัดของการฉายภาพ a → บนแกน L
สารละลาย
อันดับแรก เราคำนวณการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
ตามเงื่อนไข มุมเป็นแบบเฉียบพลัน จากนั้นการฉายภาพเชิงตัวเลข a → = คือความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . กรณีนี้แสดงว่าเวกเตอร์ n p L a → → และ b → กำกับร่วมกัน ซึ่งหมายความว่ามีจำนวน t ที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: n p L a → → = t · b → . จากที่นี่เราจะเห็นว่า np L a → → = tb → , เราสามารถหาค่าของพารามิเตอร์ t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
จากนั้น np L a → → = 3 b → ด้วยพิกัดของการฉายภาพเวกเตอร์ a → บนแกน L คือ b → = (- 2 , 1 , 2) โดยที่จำเป็นต้องคูณค่าด้วย 3 . เรามี np L a → → = (- 6 , 3 , 6) คำตอบ: (- 6 , 3 , 6) .
จำเป็นต้องทำซ้ำข้อมูลที่ศึกษาก่อนหน้านี้เกี่ยวกับสภาพของเวกเตอร์ collinearity
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ในภาพวาด รูปภาพของร่างกายทางเรขาคณิตถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีการฉายภาพ แต่สำหรับภาพเดียวนี้ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องมีการฉายภาพอย่างน้อยสองภาพ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จุดในอวกาศจะถูกกำหนด ดังนั้น คุณจำเป็นต้องรู้วิธีหาเส้นโครงของจุด
การฉายจุด
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องพิจารณาพื้นที่ของมุมไดฮีดรัล โดยมีจุด (A) อยู่ภายใน ที่นี่ใช้ระนาบการฉายภาพแนวนอน P1 และแนวตั้ง P2 จุด (A) ถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพในแนวตั้งฉาก สำหรับรังสีที่ฉายในแนวตั้งฉากจะรวมกันเป็นระนาบการฉาย ตั้งฉากกับระนาบประมาณการ ดังนั้นเมื่อรวมระนาบ P1 ในแนวนอนและ P2 ทางด้านหน้าด้วยการหมุนตามแกน P2 / P1 เราจะได้ภาพวาดแบบเรียบ
จากนั้นเส้นที่มีจุดฉายอยู่บนนั้นจะแสดงในแนวตั้งฉากกับแกน ส่งผลให้เกิดการวาดที่ซับซ้อน ด้วยการแบ่งส่วนที่สร้างขึ้นและเส้นแนวตั้งของการสื่อสาร ทำให้ง่ายต่อการกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ
เพื่อให้เข้าใจวิธีหาเส้นโครงได้ง่ายขึ้น คุณต้องพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านสั้นคือขา ด้านยาวคือด้านตรงข้ามมุมฉาก หากคุณฉายภาพขาที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก มันจะแบ่งออกเป็นสองส่วน ในการกำหนดมูลค่า คุณต้องคำนวณชุดข้อมูลเริ่มต้น พิจารณาสามเหลี่ยมนี้ วิธีการคำนวณเส้นโครงหลัก
ตามกฎแล้ว ในปัญหานี้ ความยาวของขา N และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก D จะถูกระบุ ซึ่งจะพบการฉายภาพ ในการทำเช่นนี้ เราเรียนรู้วิธีหาเส้นโครงของขา
พิจารณาวิธีการหาความยาวของขา (A) เมื่อพิจารณาว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของการฉายภาพของขาและความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับค่าของขาที่เรากำลังมองหา: N = √(D*Nd)
วิธีหาความยาวของเส้นโครง
รากของผลิตภัณฑ์สามารถพบได้โดยการยกกำลังความยาวของขาที่ต้องการ (N) แล้วหารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: Nd = (N / √ D)² = N² / D เมื่อมีเพียง D และ N เท่านั้น ระบุไว้ในแหล่งข้อมูล การหาโครงเรื่องความยาวควรหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก D ในการทำเช่นนี้ ใช้ค่าของขา √ (N² + T²) แล้วแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหาการฉายภาพ: Nd = N² / √ (N² + T²).
เมื่อแหล่งข้อมูลมีข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของการฉายภาพของขา RD เช่นเดียวกับข้อมูลเกี่ยวกับค่าของด้านตรงข้ามมุมฉาก D ความยาวของการฉายภาพของขาที่สอง ND ควรคำนวณโดยใช้สูตรการลบอย่างง่าย: ND = ดี - ถ.
การฉายภาพความเร็ว
ลองพิจารณาวิธีการหาเส้นโครงความเร็วกัน เพื่อให้เวกเตอร์ที่กำหนดเป็นตัวแทนของคำอธิบายของการเคลื่อนไหว ควรวางไว้ในการฉายภาพบนแกนพิกัด มีแกนพิกัดหนึ่งแกน (รังสี) แกนพิกัดสองแกน (ระนาบ) และแกนพิกัดสามแกน (ช่องว่าง) เมื่อค้นหาการฉายภาพ จำเป็นต้องลดฉากตั้งฉากบนแกนจากปลายเวกเตอร์
เพื่อให้เข้าใจความหมายของการฉายภาพ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีหาเส้นโครงของเวกเตอร์
การฉายภาพเวกเตอร์
เมื่อร่างกายเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับแกน การฉายภาพจะแสดงเป็นจุดและมีค่าเป็นศูนย์ หากการเคลื่อนที่ขนานกับแกนพิกัด การฉายภาพจะตรงกับโมดูลของเวกเตอร์ ในกรณีที่วัตถุเคลื่อนที่ในลักษณะที่เวกเตอร์ความเร็วพุ่งไปที่มุม φ ที่สัมพันธ์กับแกน (x) การฉายภาพไปยังแกนนี้จะเป็นส่วน: V(x) = V cos(φ) โดยที่ V คือแบบจำลองของเวกเตอร์ความเร็ว เมื่อทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วและแกนพิกัดตรงกัน การฉายภาพจะเป็นค่าบวก และในทางกลับกัน
ลองใช้สมการพิกัดต่อไปนี้: x = x(t), y = y(t), z = z(t) วี กรณีนี้ฟังก์ชั่นความเร็วจะถูกฉายลงบนสามแกนและจะมี มุมมองถัดไป: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t) ตามด้วย หาความเร็ว มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาอนุพันธ์เวกเตอร์ความเร็วนั้นแสดงโดยสมการของรูปแบบต่อไปนี้: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k ที่นี่ i, j, k คือเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด x, y , z ตามลำดับ ดังนั้น โมดูลัสของความเร็วจึงคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้ V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z ) ^ 2).
แทนด้วยมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนฉายแล้วเลื่อนเวกเตอร์
เพื่อให้กำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับบางจุดบนแกน หากทิศทางขององค์ประกอบของเวกเตอร์และแกนเหมือนกัน มุม a จะแหลมและดังที่เห็นได้จากรูปที่ 24, เอ,
โดยที่ a คือโมดูลัสของเวกเตอร์ a หากทิศทางของเวกเตอร์และแกนอยู่ตรงข้ามกัน เมื่อพิจารณาถึงสัญญาณของการฉายภาพแล้ว เราก็จะได้ - (ดูรูปที่ 24, b)
เช่นนิพจน์ก่อนหน้า (ต้องจำไว้ว่าในกรณีนี้มุม a เป็นป้านและ
ดังนั้น การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจึงเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:
นอกเหนือจากนี้โดยเฉพาะ ความสำคัญสูตร สำหรับการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน อีกอย่างหนึ่ง สูตรง่ายๆ. มาตั้งค่าจุดอ้างอิงบนแกนและเลือกมาตราส่วนที่ใช้ร่วมกับมาตราส่วนของเวกเตอร์กัน ดังที่คุณทราบ พิกัดของจุดคือตัวเลขที่แสดงระยะทางจากจุดกำเนิดของแกนถึงเส้นโครงของจุดที่กำหนดบนแกนบนมาตราส่วนที่เลือก และตัวเลขนี้จะถูกนำมาด้วยเครื่องหมายบวกถ้า การฉายภาพของจุดจะถูกลบออกจากจุดกำเนิดในทิศทางของแกนและด้วยเครื่องหมายลบมิฉะนั้นจะเป็นกรณี ตัวอย่างเช่น พิกัดของจุด A (รูปที่ 23, b) จะเป็นตัวเลขที่มีลายเซ็นซึ่งแสดงความยาวของส่วนนั้น และพิกัดของจุด B จะถูกใช้ด้วยเครื่องหมาย - ตัวเลขที่กำหนดความยาวของ ส่วน (เราไม่ได้อาศัยอยู่นี้
ให้ละเอียดยิ่งขึ้น โดยถือว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดของพิกัดจุดจากวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น)
แทนด้วยพิกัดของจุดเริ่มต้น และโดยพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์บนแกน x จากนั้น ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 23, เราจะมี
การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน x จะเท่ากับ
หรือด้วยความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้
สังเกตง่ายว่าสูตรนี้มี ลักษณะทั่วไปและไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับแกนและจุดกำเนิด พิจารณากรณีที่แสดงในรูปที่ 23, ข. จากคำจำกัดความของพิกัดของจุดและการฉายภาพของเวกเตอร์ เราจะได้
(ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของสูตรและตำแหน่งอื่นของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับแกนและจุดกำเนิดได้อย่างง่ายดาย)
จาก (6.11) เป็นไปตามนั้น การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์
การคำนวณการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนนั้นพบได้บ่อยในหลายประเด็น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาทักษะที่มั่นคงในการคำนวณประมาณการ คุณสามารถระบุลูกเล่นบางอย่างที่อำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณการประมาณการ
1. ตามกฎแล้วสัญญาณของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนสามารถกำหนดได้โดยตรงจากรูปวาดและสูตรคำนวณโมดูลการฉายภาพ
โดยที่มุมแหลมระหว่างเวกเตอร์กับแกนของการฉายภาพ - if และ if เทคนิคนี้ค่อนข้างจะไม่มีอะไรใหม่โดยพื้นฐาน
อำนวยความสะดวกในการคำนวณการฉายภาพ เนื่องจากไม่ต้องการการแปลงตรีโกณมิติ
2. หากจำเป็นต้องกำหนดเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนตั้งฉากสองแกน x และ y (สันนิษฐานว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบของแกนเหล่านี้) และเป็นมุมแหลมระหว่างเวกเตอร์กับแกน x แล้ว
(ป้ายฉายกำหนดจากรูปวาด)
ตัวอย่าง. ค้นหาเส้นโครงบนแกนพิกัด x และ y ของแรงที่แสดงในรูปที่ 25. จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าเส้นโครงทั้งสองจะเป็นลบ เพราะฉะนั้น,
3. บางครั้งใช้กฎการออกแบบคู่ ซึ่งประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ ให้เวกเตอร์และแกนนอนอยู่ในระนาบ ให้เรา วางเส้นตั้งฉากจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไปที่ระนาบและเส้นตรงแล้วเชื่อมฐานของเส้นตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง (รูปที่ 26) ให้เราแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์กับระนาบผ่านมุมระหว่างและทะลุ และมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนฉายผ่าน a เนื่องจากมุมนั้นถูกต้อง (โดยการก่อสร้าง) ดังนั้น