ลบและบวกเป็นสัญญาณของจำนวนลบและบวกในวิชาคณิตศาสตร์ พวกเขาโต้ตอบกับตัวเองในรูปแบบต่างๆ ดังนั้นเมื่อดำเนินการใด ๆ กับตัวเลขเช่นการหารการคูณการลบการบวก ฯลฯ จำเป็นต้องคำนึงถึง กฎการลงนาม. หากไม่มีกฎเกณฑ์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถแก้ปัญหาทางพีชคณิตหรือเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดได้ หากปราศจากความรู้เกี่ยวกับกฎเกณฑ์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเรียนไม่เพียงแต่คณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และแม้แต่ภูมิศาสตร์ด้วย
ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎพื้นฐานของสัญญาณ
แผนก.
ถ้าเราหาร "บวก" ด้วย "ลบ" เราจะได้ "ลบ" เสมอ ถ้าเราหาร "ลบ" ด้วย "บวก" เราจะได้ "ลบ" เช่นกัน ถ้าเราหาร "บวก" ด้วย "บวก" เราจะได้ "บวก" หากเราหาร "ลบ" ด้วย "ลบ" แปลกพอ เราก็ได้ "บวก" ด้วย
การคูณ
ถ้าเราคูณ "ลบ" ด้วย "บวก" เราจะได้ "ลบ" เสมอ ถ้าเราคูณ "บวก" ด้วย "ลบ" เราจะได้ "ลบ" เช่นกัน ถ้าเราคูณ "บวก" ด้วย "บวก" เราก็จะได้จำนวนบวก นั่นคือ "บวก" เช่นเดียวกันสำหรับทั้งสอง ตัวเลขติดลบ. ถ้าเราคูณ "ลบ" ด้วย "ลบ" เราจะได้ "บวก"
การลบและการบวก
พวกเขาอยู่บนพื้นฐานของหลักการอื่นๆ หากจำนวนลบมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าจำนวนบวกของเรา แน่นอนผลลัพธ์จะเป็นค่าลบ แน่นอนว่าคุณกำลังสงสัยว่าโมดูลคืออะไรและทำไมจึงอยู่ที่นี่ ทุกอย่างง่ายมาก โมดูลัสคือค่าของตัวเลข แต่ไม่มีเครื่องหมาย ตัวอย่างเช่น -7 และ 3 Modulo -7 จะเป็นเพียง 7 และ 3 จะยังคงเป็น 3 ดังนั้นเราจึงเห็นว่า 7 มากกว่า นั่นคือปรากฎว่าจำนวนลบของเรามากกว่า ดังนั้นมันจะออกมา -7 + 3 \u003d -4 สามารถทำได้ง่ายยิ่งขึ้น ใส่จำนวนบวกไว้ก่อนแล้ว 3-7 = -4 จะออกมา บางทีมันอาจจะเข้าใจมากกว่าสำหรับบางคน การลบทำงานในลักษณะเดียวกันทุกประการ
สองเชิงลบทำให้ยืนยัน- นี่เป็นกฎที่เราเรียนรู้ในโรงเรียนและประยุกต์ใช้มาตลอดชีวิต ใครในหมู่พวกเราที่สงสัยว่าทำไม? แน่นอน มันง่ายกว่าที่จะจดจำข้อความนี้โดยไม่มีคำถามเพิ่มเติม และไม่เจาะลึกถึงแก่นของปัญหา ขณะนี้มีข้อมูลเพียงพอแล้วที่จะต้อง "ย่อย" แต่สำหรับผู้ที่ยังคงสนใจคำถามนี้ เราจะพยายามอธิบายปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์นี้
ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนได้ใช้แง่บวก ตัวเลขธรรมชาติ: 1, 2, 3, 4, 5, ... วัว, พืชผล, ศัตรู, ฯลฯ ถูกนับโดยใช้ตัวเลข เมื่อบวกและคูณจำนวนบวกสองจำนวน พวกเขาจะได้จำนวนบวกเสมอ เมื่อหารจำนวนหนึ่งด้วยจำนวนอื่น พวกเขาไม่ได้จำนวนธรรมชาติเสมอไป - นี่คือลักษณะที่ปรากฏของเศษส่วน แล้วการลบล่ะ? ตั้งแต่วัยเด็ก เรารู้ดีว่าควรบวกค่าน้อยไปหามากแล้วลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า ในขณะที่เราจะไม่ใช้ตัวเลขติดลบอีกต่อไป ปรากฎว่าถ้าฉันมีแอปเปิ้ล 10 ลูก ฉันสามารถให้แอปเปิ้ลได้น้อยกว่า 10 หรือ 10 ลูกเท่านั้น ไม่มีทางที่ฉันจะให้ 13 แอปเปิ้ลได้เพราะฉันไม่มี ไม่จำเป็นต้องมีตัวเลขติดลบเป็นเวลานาน
ตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 เท่านั้นตัวเลขติดลบถูกใช้ในระบบการนับบางระบบเป็นค่าเสริม ซึ่งทำให้ได้จำนวนบวกในคำตอบ
พิจารณาตัวอย่าง, 6x - 30 \u003d 3x - 9 ในการหาคำตอบ จำเป็นต้องปล่อยให้คำศัพท์ที่ไม่รู้จักทางด้านซ้ายและส่วนที่เหลืออยู่ทางด้านขวา: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. เมื่อแก้สมการนี้ เราก็ไม่มีจำนวนลบด้วยซ้ำ เราสามารถย้ายสมาชิกที่ไม่รู้จักไปยัง ด้านขวาและไม่มีสิ่งแปลกปลอม - ทางซ้าย: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x) เมื่อหารจำนวนลบด้วยจำนวนลบ เราจะได้คำตอบที่เป็นบวก: x = 7
เราเห็นอะไร?
การกระทำที่มีตัวเลขติดลบควรนำเราไปสู่คำตอบเดียวกันกับการกระทำที่มีเพียงตัวเลขบวกเท่านั้น เราไม่สามารถนึกถึงความไม่เหมาะสมในทางปฏิบัติและความหมายของการกระทำได้อีกต่อไป - สิ่งเหล่านี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาได้เร็วกว่ามาก โดยไม่ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบด้วยจำนวนบวกเท่านั้น ในตัวอย่างของเรา เราไม่ได้ใช้การคำนวณที่ซับซ้อน แต่ด้วยเงื่อนไขจำนวนมาก การคำนวณด้วยตัวเลขติดลบทำให้การทำงานของเราง่ายขึ้น
เมื่อเวลาผ่านไป หลังจากการทดลองและการคำนวณที่ยาวนาน เป็นไปได้ที่จะระบุกฎที่ตัวเลขและการกระทำทั้งหมดปฏิบัติตาม (ในคณิตศาสตร์เรียกว่าสัจพจน์) นั่นแหละที่มาที่ไป สัจพจน์ที่ระบุว่าเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัว คุณจะได้จำนวนบวก
www.site โดยมีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
เมื่อฟังครูคณิตศาสตร์ นักเรียนส่วนใหญ่มองว่าเนื้อหาเป็นสัจพจน์ ในเวลาเดียวกัน มีคนเพียงไม่กี่คนที่พยายามหาจุดต่ำสุดและหาสาเหตุที่ "ลบ" ถึง "บวก" ให้เครื่องหมาย "ลบ" และเมื่อคูณจำนวนลบสองตัว ตัวเลขบวกก็จะออกมา
กฎของคณิตศาสตร์
ผู้ใหญ่ส่วนใหญ่ไม่สามารถอธิบายให้ตนเองหรือลูกฟังได้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น พวกเขาได้เรียนรู้เนื้อหานี้อย่างถี่ถ้วนในโรงเรียน แต่พวกเขาไม่ได้พยายามค้นหาว่ากฎดังกล่าวมาจากไหน แต่เปล่าประโยชน์ บ่อยครั้งที่เด็กสมัยใหม่ไม่ใจง่ายนัก พวกเขาจำเป็นต้องเข้าใจประเด็นและเข้าใจว่าทำไม "บวก" บน "ลบ" ถึงให้ "ลบ" และบางครั้งทอมบอยจงใจถามคำถามที่ยุ่งยากเพื่อสนุกกับช่วงเวลาที่ผู้ใหญ่ไม่สามารถให้คำตอบที่เข้าใจได้ และมันจะเป็นหายนะจริง ๆ หากครูรุ่นเยาว์ประสบปัญหา ...
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ากฎดังกล่าวใช้ได้กับทั้งการคูณและการหาร ผลคูณของค่าลบและ จำนวนบวกจะให้ลบเท่านั้น หากเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองหลักที่มีเครื่องหมาย "-" ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก เดียวกันจะไปสำหรับการแบ่ง หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าลบ ผลหารจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย
เพื่ออธิบายความถูกต้องของกฎคณิตศาสตร์นี้ จำเป็นต้องกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกวงแหวนว่าเซตซึ่งมีการดำเนินการสองอย่างที่มีสององค์ประกอบ แต่จะดีกว่าถ้าเข้าใจสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง
สัจพจน์แหวน
มีกฎทางคณิตศาสตร์หลายข้อ
- คนแรกของพวกเขาคือ displaceable ตามเขา C + V = V + C.
- ที่สองเรียกว่าการเชื่อมโยง (V + C) + D = V + (C + D)
การคูณ (V x C) x D \u003d V x (C x D) ก็ปฏิบัติตามเช่นกัน
ไม่มีใครยกเลิกกฎโดยที่วงเล็บเปิด (V + C) x D = V x D + C x D นอกจากนี้ยังเป็นความจริงที่ C x (V + D) = C x V + C x D
นอกจากนี้ ได้มีการกำหนดว่าสามารถนำองค์ประกอบพิเศษที่เป็นกลางเพิ่มเติมเข้าไปในวงแหวนได้ โดยใช้สิ่งต่อไปนี้: C + 0 = C นอกจากนี้ สำหรับแต่ละ C มีองค์ประกอบตรงข้ามซึ่งสามารถ แสดงเป็น (-C) ในกรณีนี้ C + (-C) \u003d 0
ที่มาของสัจพจน์สำหรับจำนวนลบ
โดยการยอมรับข้อความข้างต้น เราสามารถตอบคำถามว่า "บวก" บน "ลบ" ให้เครื่องหมายอะไร เมื่อทราบสัจพจน์เกี่ยวกับการคูณจำนวนลบ จำเป็นต้องยืนยันว่าแน่นอน (-C) x V = -(C x V) และความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: (-(-C)) = C.
ในการทำเช่นนี้ เราต้องพิสูจน์ก่อนว่าองค์ประกอบแต่ละอย่างมี "พี่ชาย" ที่ตรงกันข้ามเพียงคนเดียว พิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ต่อไปนี้ ลองจินตนาการว่าตัวเลขสองตัวอยู่ตรงข้ามกับ C - V และ D จากนี้ไป C + V = 0 และ C + D = 0 นั่นคือ C + V = 0 = C + D จำกฎการกระจัด และเกี่ยวกับคุณสมบัติของเลข 0 เราสามารถพิจารณาผลรวมของตัวเลขทั้งสาม: C, V และ D ลองหาค่าของ V กัน เป็นตรรกะที่ V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D เนื่องจากค่าของ C + D ตามที่ยอมรับข้างต้น เท่ากับ 0 ดังนั้น V = V + C + D
ค่าของ D ได้มาในลักษณะเดียวกัน: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า V = D
เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมถึงอย่างไรก็ตาม "บวก" บน "ลบ" ให้ "ลบ" คุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบ (-C) สิ่งที่ตรงกันข้ามคือ C และ (-(-C)) นั่นคือพวกมันมีค่าเท่ากัน
จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่า 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V จากนี้ไป C x V อยู่ตรงข้ามกับ (-) C x V ซึ่งหมายถึง (-C) x V = -(C x V)
เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ จำเป็นต้องยืนยันด้วยว่า 0 x V = 0 สำหรับองค์ประกอบใดๆ หากคุณปฏิบัติตามตรรกะ 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มผลิตภัณฑ์ 0 x V จะไม่เปลี่ยนจำนวนเงินที่ตั้งไว้ แต่อย่างใด ท้ายที่สุด ผลิตภัณฑ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์
เมื่อทราบสัจพจน์เหล่านี้แล้ว เป็นไปได้ที่จะอนุมานไม่เพียงแค่ว่า "บวก" กับ "ลบ" ให้เท่าไหร่ แต่ยังจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อจำนวนลบคูณด้วย
การคูณและการหารของตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมาย "-"
ถ้าคุณไม่เจาะลึกถึงความแตกต่างทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถพยายามอธิบายกฎของการกระทำด้วยตัวเลขติดลบในวิธีที่ง่ายกว่า
สมมติว่า C - (-V) = D ตามนี้ C = D + (-V) นั่นคือ C = D - V เราโอน V แล้วเราจะได้ C + V = D นั่นคือ C + V = C - (-V) ตัวอย่างนี้อธิบายว่าทำไมในนิพจน์ที่มี "ลบ" สองตัวติดกัน เครื่องหมายที่กล่าวถึงควรเปลี่ยนเป็น "บวก" ทีนี้มาจัดการกับการคูณกัน
(-C) x (-V) \u003d D สามารถเพิ่มและลบผลิตภัณฑ์ที่เหมือนกันสองรายการไปยังนิพจน์ได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของมัน: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
จำกฎสำหรับการทำงานกับวงเล็บเหลี่ยมเราได้รับ:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
จากนี้ไป C x V \u003d (-C) x (-V)
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าผลลัพธ์ของการหารจำนวนลบสองจำนวนจะเป็นบวก
กฎคณิตศาสตร์ทั่วไป
แน่นอนว่าคำอธิบายนี้ไม่เหมาะสำหรับเด็กนักเรียน เกรดต่ำกว่าที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้ตัวเลขเชิงลบที่เป็นนามธรรม จะดีกว่าสำหรับพวกเขาที่จะอธิบายเกี่ยวกับวัตถุที่มองเห็นได้โดยใช้คำที่คุ้นเคยผ่านกระจกมอง ตัวอย่างเช่นมีการประดิษฐ์ขึ้น แต่ไม่มีของเล่นที่มีอยู่ พวกเขาสามารถแสดงด้วยเครื่องหมาย "-" การคูณของวัตถุในกระจกสองชิ้นนำพวกเขาไปสู่อีกโลกหนึ่ง ซึ่งเท่ากับโลกจริง นั่นคือเป็นผลให้เรามีจำนวนบวก แต่การคูณจำนวนลบที่เป็นนามธรรมด้วยจำนวนบวกจะทำให้ทุกคนคุ้นเคยกับผลลัพธ์ที่คุ้นเคย ท้ายที่สุด "บวก" คูณด้วย "ลบ" ให้ "ลบ" จริงอยู่ เด็ก ๆ อย่าพยายามเจาะลึกถึงความแตกต่างทางคณิตศาสตร์มากเกินไป
แม้ว่าหากเผชิญความจริงสำหรับใครหลายๆ คน แม้กับ อุดมศึกษาและกฎหลายข้อยังคงเป็นปริศนา ทุกคนยอมรับในสิ่งที่ครูสอนพวกเขาโดยไม่สูญเสียที่จะเจาะลึกความซับซ้อนทั้งหมดที่คณิตศาสตร์เต็มไปด้วย “ลบ” บน “ลบ” ให้ “บวก” - ทุกคนรู้เรื่องนี้โดยไม่มีข้อยกเว้น สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน
1) ทำไมลบหนึ่งคูณลบหนึ่งเท่ากับบวกหนึ่ง?
2) ทำไมลบหนึ่งคูณบวกหนึ่งเท่ากับลบหนึ่ง?
"ศัตรูของศัตรูคือมิตร"
คำตอบที่ง่ายที่สุดคือ: "เพราะนี่เป็นกฎสำหรับการทำงานกับตัวเลขติดลบ" กฎเกณฑ์ที่เราเรียนรู้ในโรงเรียนและนำไปใช้ตลอดชีวิต อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อธิบายว่าทำไมกฎจึงเป็นแบบที่มันเป็น ก่อนอื่นเราจะพยายามทำความเข้าใจสิ่งนี้จากประวัติศาสตร์ของการพัฒนาเลขคณิต จากนั้นเราจะตอบคำถามนี้จากมุมมองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
นานมาแล้ว ผู้คนรู้จักตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น: 1, 2, 3, ... พวกเขาเคยนับเครื่องใช้, เหยื่อ, ศัตรู ฯลฯ แต่ตัวเลขนั้นค่อนข้างไร้ประโยชน์ - คุณต้องสามารถจัดการได้ พวกเขา. การบวกมีความชัดเจนและเข้าใจได้ นอกจากนี้ ผลบวกของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนยังเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย (นักคณิตศาสตร์จะบอกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติปิดภายใต้การดำเนินการบวก) อันที่จริง การคูณคือการบวกแบบเดียวกัน หากเรากำลังพูดถึงจำนวนธรรมชาติ ในชีวิตเรามักจะทำการกระทำที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทั้งสองนี้ (เช่นเมื่อซื้อเราเพิ่มและคูณ) และเป็นเรื่องแปลกที่จะคิดว่าบรรพบุรุษของเราพบพวกเขาน้อยกว่า - มนุษย์เข้าใจการบวกและการคูณเป็นเวลานานมาก ที่ผ่านมา. บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องหารปริมาณหนึ่งด้วยอีกปริมาณหนึ่ง แต่ผลลัพธ์ไม่ได้แสดงเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอไป - นี่คือลักษณะที่ตัวเลขเศษส่วนปรากฏขึ้น
แน่นอนว่าการลบก็ขาดไม่ได้เช่นกัน แต่ในทางปฏิบัติ เรามักจะลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า และไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนลบ (ถ้าฉันมีลูกอม 5 ลูกและให้ 3 ลูกกับน้องสาว ผมก็จะมีลูกอม 5 - 3 = 2 ลูก แต่ไม่สามารถให้ลูกอม 7 ลูกตามความปรารถนาทั้งหมดได้) เรื่องนี้อธิบายได้ว่าทำไมคนไม่ใช้ตัวเลขติดลบ เป็นเวลานาน.
ตัวเลขติดลบปรากฏในเอกสารอินเดียตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 7 เห็นได้ชัดว่าชาวจีนเริ่มใช้พวกเขาก่อนหน้านี้เล็กน้อย ใช้เพื่อบัญชีหนี้หรือในการคำนวณขั้นกลางเพื่อลดความซับซ้อนของการแก้สมการ - มันเป็นเพียงเครื่องมือที่จะได้รับคำตอบในเชิงบวก ความจริงที่ว่าตัวเลขติดลบซึ่งแตกต่างจากค่าบวกไม่ได้แสดงถึงการมีอยู่ของเอนทิตีใด ๆ ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจอย่างมาก ผู้คนตามความหมายที่แท้จริงของคำนั้นหลีกเลี่ยงตัวเลขติดลบ: หากปัญหาได้รับคำตอบเชิงลบ พวกเขาเชื่อว่าไม่มีคำตอบเลย ความไม่ไว้วางใจนี้ยังคงมีอยู่เป็นเวลานานมาก และแม้แต่เดส์การต ซึ่งเป็นหนึ่งใน "ผู้ก่อตั้ง" ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ก็เรียกพวกเขาว่า "เท็จ" (ในศตวรรษที่ 17!)
พิจารณาตัวอย่างเช่นสมการ 7x - 17 = 2x - 2. แก้ได้ดังนี้ ย้ายพจน์ที่ไม่รู้จักไปทางซ้าย ที่เหลือไปทางขวา จะได้ 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. ด้วยวิธีนี้ เราไม่พบจำนวนลบด้วยซ้ำ
แต่อาจมีคนทำอย่างอื่นโดยไม่ได้ตั้งใจ: ย้ายเงื่อนไขที่ไม่รู้จักไปทางด้านขวาและรับ 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. ในการหาค่าที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารจำนวนลบหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง: x = (–15)/(–5). แต่ก็รู้คำตอบที่ถูกต้องและยังคงสรุปได้ว่า (–15)/(–5) = 3 .
ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นอะไร? ขั้นแรกให้เข้าใจตรรกะที่กำหนดกฎสำหรับการดำเนินการกับตัวเลขติดลบ: ผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้ต้องตรงกับคำตอบที่ได้รับในลักษณะที่แตกต่างกันโดยไม่มีตัวเลขติดลบ. ประการที่สอง โดยอนุญาตให้ใช้ตัวเลขติดลบ เราจะกำจัดสิ่งที่น่าเบื่อออกไป (หากสมการซับซ้อนกว่าด้วยคำศัพท์จำนวนมาก) ค้นหาเส้นทางการแก้ปัญหาซึ่งการกระทำทั้งหมดจะดำเนินการกับตัวเลขธรรมชาติเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น เราไม่สามารถคิดทุกครั้งเกี่ยวกับความหมายของปริมาณที่จะถูกแปลงทุกครั้งอีกต่อไป และนี่เป็นขั้นตอนในการเปลี่ยนคณิตศาสตร์ให้เป็นวิทยาศาสตร์เชิงนามธรรมอยู่แล้ว
กฎสำหรับการดำเนินการกับตัวเลขติดลบไม่ได้เกิดขึ้นทันที แต่กลายเป็นลักษณะทั่วไปของตัวอย่างมากมายที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยทั่วไป การพัฒนาของคณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นขั้นตอนตามเงื่อนไข: each ขั้นตอนต่อไปแตกต่างจากก่อนหน้านี้โดยระดับใหม่ของนามธรรมในการศึกษาวัตถุ ดังนั้น ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์จึงตระหนักว่าจำนวนเต็มและพหุนามสำหรับความต่างออกไปทั้งหมด มีความเหมือนกันมาก: ทั้งสองสามารถบวก ลบ และคูณได้ การดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎหมายเดียวกัน - ทั้งในกรณีของตัวเลขและในกรณีของพหุนาม แต่การหารจำนวนเต็มโดยกันและกัน ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้กลับเป็นจำนวนเต็มนั้นไม่สามารถทำได้เสมอไป เช่นเดียวกับพหุนาม
จากนั้นจึงค้นพบคอลเล็กชันของวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ซึ่งการดำเนินการดังกล่าวสามารถทำได้: เป็นทางการ ชุดพลัง, ฟังก์ชันต่อเนื่อง... ในที่สุด ความเข้าใจก็มีมาว่า ถ้าคุณศึกษาคุณสมบัติของการดำเนินการด้วยตัวเอง ผลลัพธ์ก็สามารถนำไปใช้กับคอลเล็กชันของวัตถุเหล่านี้ทั้งหมดได้ (แนวทางนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมด)
เป็นผลให้มีแนวคิดใหม่ปรากฏขึ้น: แหวน. มันเป็นเพียงองค์ประกอบหลายอย่างพร้อมการกระทำที่สามารถทำได้กับพวกมัน กฎพื้นฐานที่นี่เป็นเพียงกฎ (เรียกว่า สัจพจน์) การกระทำใดขึ้นอยู่กับธรรมชาติขององค์ประกอบของชุด (นี่คือ ระดับใหม่นามธรรม!). นักคณิตศาสตร์ต้องการเน้นว่าเป็นโครงสร้างที่เกิดขึ้นหลังจากการแนะนำสัจพจน์ที่มีความสำคัญ: วงแหวนของจำนวนเต็ม วงแหวนของพหุนาม ฯลฯ เริ่มต้นจากสัจพจน์ เราสามารถหาสมบัติอื่นๆ ของวงแหวนได้
เราจะกำหนดสัจพจน์ของวงแหวน (ซึ่งแน่นอนว่าคล้ายกับกฎสำหรับการดำเนินการที่มีจำนวนเต็ม) จากนั้นเราจะพิสูจน์ว่าในวงแหวนใด ๆ การคูณลบด้วยลบได้ผลลัพธ์เป็นบวก
แหวนเรียกว่าเซตที่มีการดำเนินการไบนารีสองอัน (นั่นคือ สององค์ประกอบของวงแหวนมีส่วนร่วมในการดำเนินการแต่ละครั้ง) ซึ่งตามธรรมเนียมเรียกว่าการบวกและการคูณ และสัจพจน์ต่อไปนี้:
- การเพิ่มองค์ประกอบวงแหวนเป็นไปตามการสับเปลี่ยน ( A + B = B + Aสำหรับองค์ประกอบใด ๆ อาและ บี) และสมาคม ( A + (B + C) = (A + B) + C) กฎหมาย; แหวนประกอบด้วยองค์ประกอบพิเศษ 0 (องค์ประกอบที่เป็นกลางโดยการเพิ่ม) เช่นนั้น A + 0 = Aและสำหรับองค์ประกอบใด ๆ อามีองค์ประกอบตรงข้าม (แสดง (–A)), อะไร A + (–A) = 0 ;
- การคูณเป็นไปตามกฎการรวมกัน: A (BC) = (AB) C ;
- การบวกและการคูณสัมพันธ์กันตามกฎการขยายวงเล็บต่อไปนี้: (A + B) C = A C + B Cและ A (B + C) = AB + A C .
โปรดทราบว่าในโครงสร้างทั่วไปส่วนใหญ่วงแหวนไม่ต้องการการคูณเพื่อให้เปลี่ยนแปลงได้และไม่สามารถย้อนกลับได้ (นั่นคือไม่สามารถหารได้เสมอ) และไม่ต้องการการมีอยู่ของหน่วย - องค์ประกอบที่เป็นกลางด้วยความเคารพ เพื่อการคูณ ถ้าสัจพจน์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ ก็จะได้โครงสร้างพีชคณิตอื่น ๆ แต่ทฤษฎีบททั้งหมดที่พิสูจน์แล้วสำหรับวงแหวนจะเป็นจริงในพวกมัน
ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับองค์ประกอบใด ๆ อาและ บีแหวนตามอำเภอใจเป็นจริงประการแรก (–A) ข = –(A ข)และประการที่สอง (–(–A)) = A. จากนี้ ข้อความเกี่ยวกับหน่วยติดตามอย่างง่าย ๆ : (–1) 1 = –(1 1) = –1และ (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .
ในการทำเช่นนี้ เราต้องสร้างข้อเท็จจริงบางประการ ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่าแต่ละองค์ประกอบสามารถมีได้เพียงตัวเดียวที่ตรงกันข้าม แท้จริงให้ธาตุ อามีสองสิ่งที่ตรงกันข้าม: บีและ จาก. เช่น A + B = 0 = A + C. พิจารณาผลรวม A+B+C. โดยใช้กฎที่เชื่อมโยงและสับเปลี่ยนกับสมบัติของศูนย์ เราจะได้ว่า ผลรวมจะเท่ากับ บี: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + Cและในทางกลับกันก็เท่ากับ ค: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. วิธี, B=C .
ให้เราสังเกตว่า อา, และ (–(–A))อยู่ตรงข้ามกับธาตุเดียวกัน (–A)ดังนั้นต้องเท่ากัน
ข้อเท็จจริงแรกไปเช่นนี้: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, เช่น (–A) ขตรงข้าม เอ บีดังนั้นจึงเท่ากับ –(เอ บี) .
เพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เรามาอธิบายกันว่าทำไม 0 B = 0สำหรับองค์ประกอบใด ๆ บี. อย่างแท้จริง, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. กล่าวคือ นอกจากนี้ 0 บาทไม่เปลี่ยนแปลงจำนวนเงิน ผลคูณนี้จึงเท่ากับศูนย์
และความจริงที่ว่ามีศูนย์หนึ่งตัวในวงแหวน (หลังจากทั้งหมดสัจพจน์บอกว่าองค์ประกอบดังกล่าวมีอยู่ แต่ไม่มีอะไรพูดถึงความเป็นเอกลักษณ์ของมัน!) เราจะปล่อยให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัดง่ายๆ
ตอบ: Evgeny Epifanov
แสดงความคิดเห็น (37)
ยุบความคิดเห็น (37)
คำตอบที่ดี. แต่สำหรับชั้นม.ต้น สำหรับฉันดูเหมือนว่ามันสามารถอธิบายได้ง่ายและชัดเจนยิ่งขึ้นโดยใช้ตัวอย่างของสูตร "ระยะทาง = ความเร็ว * เวลา" (เกรด 2)
สมมุติว่าเรากำลังเดินไปตามถนน มีรถมาแซงเราแล้วเริ่มเคลื่อนตัวออกไป เวลากำลังเติบโต - และระยะทางก็เพิ่มขึ้น ความเร็วของเครื่องดังกล่าวจะถือเป็นบวกเช่น 10 เมตรต่อวินาที อีกอย่าง มันคือกี่ไมล์ต่อชั่วโมง? 10/1000(กม.)*60(วินาที)*60(นาที)= 10*3.6=36 กม./ชม. เล็กน้อย. บางทีถนนก็ไม่ดี...
แต่รถที่วิ่งเข้าหาเราไม่ถอย แต่กำลังเข้าใกล้ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพิจารณาความเร็วเป็นลบ เช่น -10 เมตร/วินาที ระยะทางลดลง: 30, 20, 10 เมตรถึงรถที่วิ่งมา ทุกวินาทีมีค่าลบ 10 เมตร ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าทำไมความเร็วเป็นลบ? ที่นี่เธอกำลังบินผ่าน ระยะทางเป็นวินาทีคืออะไร? ถูกต้อง -10 เมตร นั่นคือ "ข้างหลัง 10 เมตร"
ที่นี่เรามีคำสั่งแรก (-10 ม./วินาที) * (1 วินาที) = -10 ม.
ลบ (ความเร็วลบ) คูณบวก (เวลาบวก) ให้ลบ (ระยะลบ รถข้างหลังผม)
และตอนนี้ความสนใจ - ลบถึงลบ รถที่วิ่งมาอยู่ที่ไหนก่อนที่มันจะผ่านไป? (-10 ม./วินาที) * (- 1 วินาที) = 10 ม.
ลบ (ความเร็วลบ) คูณ ลบ (เวลาติดลบ) = บวก (ระยะทางบวก รถอยู่ข้างหน้าฉัน 10 เมตร)
นี้ชัดเจนหรือใครรู้ตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้?
ที่จะตอบ
ใช่ พิสูจน์ง่ายกว่า! 5 * 2 ถูกเลื่อนออกสองครั้งบนเส้นจำนวนใน ด้านบวก, หมายเลข 5 แล้วเราได้หมายเลข 10 ถ้า 2 * (-5) เรานับสองครั้งด้วยหมายเลข 5 แต่อยู่ในทิศทางลบแล้วและเราได้ตัวเลข (-10) ตอนนี้ลองนึกภาพ 2 * (-5) เช่น
2 * 5 * (-1) \u003d -10 คำตอบถูกเขียนใหม่จากการคำนวณครั้งก่อน และไม่ได้รับในคำตอบนี้ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าเมื่อคูณตัวเลขด้วย (-1) จะเกิดการผกผันของ แกนเชิงตัวเลขสองขั้วคือ ie การกลับขั้ว สิ่งที่เราใส่ไว้ในส่วนที่เป็นบวกกลับกลายเป็นด้านลบและในทางกลับกัน ตอนนี้ (-2)*(-5) เราเขียนเป็น (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10) แยกตัวเลข (-10) และเปลี่ยนขั้ว ของแกน เพราะ . คูณด้วย (-1) เราได้ +10 ไม่รู้ว่าง่ายกว่าไหม?
ที่จะตอบ
ฉันคิดว่าคุณถูก. ฉันจะพยายามแสดงมุมมองของคุณให้ละเอียดมากขึ้นเท่านั้นเพราะ ฉันเห็นว่าไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจสิ่งนี้
ลบ หมายถึง นำออกไป หากนำแอปเปิ้ล 5 ผลจากคุณ 1 ครั้ง ในที่สุด 5 แอปเปิ้ลก็ถูกพรากไปจากคุณ ซึ่งระบุด้วยเครื่องหมายลบอย่างมีเงื่อนไข กล่าวคือ - (+5). ท้ายที่สุดจำเป็นต้องกำหนดการกระทำอย่างใด หากเลือกแอปเปิ้ล 1 ผล 5 ครั้ง ในที่สุดก็เลือก: - (+5) ในเวลาเดียวกัน แอปเปิ้ลที่เลือกไม่ได้กลายเป็นจินตภาพเพราะ ไม่มีใครยกเลิกกฎการอนุรักษ์สสาร แอปเปิ้ลในเชิงบวกก็ไปหาใครก็ตามที่เลือกมัน ไม่มีจำนวนจินตภาพจึงมี การเคลื่อนไหวสัมพัทธ์เรื่องที่มีเครื่องหมาย + หรือ - แต่ถ้าเป็นเช่นนั้น รายการ: (-5) * (+1) \u003d -5 หรือ (+5) * (-1) \u003d -5 ไม่ได้สะท้อนความเป็นจริงอย่างแม่นยำ แต่แสดงถึงเงื่อนไขเท่านั้น เนื่องจากไม่มีจำนวนจินตภาพ ผลคูณทั้งหมดจึงเป็นค่าบวกเสมอ → "+" (5 * 1) ถัดไป ผลิตภัณฑ์ที่เป็นบวกจะถูกปฏิเสธ ซึ่งหมายถึงการหย่านม → “- +” (5 * 1) ในที่นี้ ค่าลบไม่ได้ชดเชยการบวก แต่จะปฏิเสธและเข้ามาแทนที่ ในที่สุดเราจะได้: -(5*1) = -(+5)
สำหรับสอง minuses คุณสามารถเขียน: "- -" (5 * 1) \u003d 5. เครื่องหมาย "- -" หมายถึง "+" เช่น การเวนคืนผู้เวนคืน อย่างแรก แอปเปิ้ลถูกพรากไปจากคุณ และจากนั้นคุณก็เอามันมาจากผู้ที่ทำร้ายคุณ เป็นผลให้แอปเปิ้ลทั้งหมดยังคงเป็นบวก เฉพาะการเลือกไม่ได้เกิดขึ้นเพราะ การปฏิวัติทางสังคมเกิดขึ้น
โดยทั่วไป ความจริงที่ว่าการปฏิเสธการปฏิเสธช่วยขจัดการปฏิเสธและทุกสิ่งทุกอย่างที่การปฏิเสธหมายถึงเด็กเป็นที่เข้าใจและปราศจากคำอธิบายเพราะ มันชัดเจน ต้องอธิบายว่าเด็ก ๆ ต้องอธิบายว่าผู้ใหญ่สับสนมากจนตอนนี้พวกเขาเองไม่สามารถเข้าใจได้ และความสับสนอยู่ในความจริงที่ว่าแทนที่จะลบล้างการกระทำ ตัวเลขเชิงลบถูกนำมาใช้เช่น เรื่องเชิงลบ เด็ก ๆ ก็งงว่าทำไมเมื่อบวกเรื่องลบแล้วผลรวมกลายเป็นลบซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล: (-5) + (-3) = -8 และเมื่อคูณเรื่องลบเดียวกัน: (-5) * (-3) = 15 ทันใดนั้นมันก็กลายเป็นบวกในที่สุดซึ่งไม่สมเหตุสมผล! ท้ายที่สุด สิ่งเดียวกันควรเกิดขึ้นกับเรื่องเชิงลบเช่นเดียวกับเรื่องบวก แต่มีเครื่องหมายต่างกันเท่านั้น ดังนั้นจึงดูเหมือนมีเหตุผลมากกว่าสำหรับเด็ก ๆ ที่เมื่อเรื่องเชิงลบถูกคูณ ควรคูณเรื่องลบอย่างแน่นอน
แต่แม้กระทั่งที่นี่ ไม่ใช่ทุกอย่างราบรื่น เพราะการคูณสสารลบ ก็เพียงพอแล้วที่จะมีเลขตัวเดียวติดลบ ในขณะเดียวกัน ปัจจัยหนึ่งซึ่งหมายถึงไม่ใช่เนื้อหาจริง แต่เวลาซ้ำซ้อนของเรื่องที่เลือกนั้นเป็นบวกเสมอเพราะ ครั้งไม่สามารถเป็นค่าลบได้แม้ว่าจะมีการทำซ้ำเรื่องเชิงลบ (ที่เลือก) ดังนั้นเมื่อคูณ (หาร) จะต้องใส่เครื่องหมายไว้ข้างหน้าผลิตภัณฑ์ทั้งหมด (ส่วน) ซึ่งเราแสดงไว้ด้านบน: “- +” (5*1) หรือ “- -” (5*1) ให้ถูกต้องมากกว่า
และเพื่อให้เครื่องหมายลบไม่ถูกมองว่าเป็นเครื่องหมายของจำนวนจินตภาพเช่น เรื่องเชิงลบ แต่สำหรับการกระทำ ผู้ใหญ่ต้องเห็นพ้องต้องกันก่อนว่าถ้าเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าตัวเลข แสดงว่าเป็นการกระทำเชิงลบที่มีจำนวนที่เป็นบวกเสมอ ไม่ใช่จินตภาพ หากเครื่องหมายลบอยู่หน้าเครื่องหมายอื่น แสดงว่าเป็นการกระทำเชิงลบที่มีเครื่องหมายแรก กล่าวคือ ย้อนกลับ แล้วทุกอย่างจะเข้าที่อย่างเป็นธรรมชาติ จากนั้นคุณต้องอธิบายเรื่องนี้กับเด็ก ๆ และพวกเขาจะเข้าใจและเรียนรู้กฎเกณฑ์ที่เข้าใจได้ของผู้ใหญ่อย่างสมบูรณ์ ท้ายที่สุด ตอนนี้ผู้เข้าร่วมที่เป็นผู้ใหญ่ทุกคนในการสนทนากำลังพยายามอธิบายสิ่งที่อธิบายไม่ได้เพราะ ไม่มีคำอธิบายทางกายภาพสำหรับปัญหานี้ มันเป็นเพียงแบบแผน กฎ และการอธิบายสิ่งที่เป็นนามธรรมด้วยสิ่งที่เป็นนามธรรมนั้นเป็นเรื่องที่ซ้ำซากจำเจ
หากเครื่องหมายลบลบล้างตัวเลข แสดงว่านี่เป็นการกระทำทางกายภาพ แต่ถ้ามันปฏิเสธการกระทำนั้นเอง นี่เป็นเพียงกฎแบบมีเงื่อนไข นั่นคือผู้ใหญ่ก็ตกลงกันว่าถ้าการคัดเลือกถูกปฏิเสธเช่นเดียวกับคำถามที่อยู่ในการพิจารณาก็ไม่มีการเลือกไม่ว่าจะกี่ครั้ง! ในขณะเดียวกัน ทุกสิ่งที่คุณมีก็ยังคงอยู่กับคุณ ไม่ว่าจะเป็นเพียงแค่ตัวเลข ไม่ว่าจะเป็นผลคูณของตัวเลข เช่น พยายามเลือกหลายครั้ง นั่นคือทั้งหมดที่
ถ้าใครไม่เห็นด้วยก็ให้คิดอย่างใจเย็นอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างสำหรับรถยนต์ซึ่งมีความเร็วเป็นลบและมีเวลาติดลบหนึ่งวินาทีก่อนการประชุม เป็นเพียงกฎแบบมีเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงเท่านั้น ในกรอบอ้างอิงอื่น ความเร็วเท่ากันและเวลาเดียวกันจะกลายเป็นค่าบวก และตัวอย่างที่มีกระจกมองนั้นเชื่อมโยงกับกฎที่เหลือเชื่อซึ่งเครื่องหมายลบสะท้อนอยู่ในกระจกตามเงื่อนไขเท่านั้น แต่จะไม่กลายเป็นข้อดีเลย
ที่จะตอบ
ด้วยเครื่องหมายลบทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ในภาษา เวลามีคำถามปฏิเสธ จะตอบอย่างไร ? ตัวอย่างเช่น ฉันรู้สึกงุนงงกับคำถามนี้เสมอ: "คุณต้องการชาไหม" จะตอบยังไงดีถ้าอยากได้ชา ดูเหมือนว่าถ้าคุณพูดว่า "ใช่" พวกเขาจะไม่ให้ชา (เช่น + และ -) ถ้าไม่ก็ควรให้ (- และ -) และถ้า "ไม่ ฉันไม่ต้องการ" ?? ?
ที่จะตอบ
เพื่อตอบโจทย์ดังกล่าว คำถามทารกก่อนอื่นคุณต้องตอบคำถามสำหรับผู้ใหญ่สองสามข้อ: "ค่าลบในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร" และ "การคูณและการหารคืออะไร" เท่าที่ฉันเข้าใจ นี่คือจุดเริ่มต้นของปัญหา ซึ่งในที่สุดจะนำไปสู่เสียงกริ่งและเรื่องไร้สาระอื่นๆ เมื่อตอบคำถามง่ายๆ แบบเด็กๆ
ที่จะตอบ
คำตอบไม่ชัดเจนสำหรับเด็กนักเรียนทั่วไป!
ในโรงเรียนประถม ฉันอ่านหนังสือที่ยอดเยี่ยม - หนังสือเล่มหนึ่งเกี่ยวกับคนแคระและอัลเจบรา หรือบางทีพวกเขาอาจยกตัวอย่างในวงกลมคณิตศาสตร์ - พวกเขาวางคนสองคนที่มีแอปเปิ้ลไว้ด้านตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ สีที่ต่างกันและเสนอที่จะให้แอปเปิ้ลกัน จากนั้นสัญญาณอื่น ๆ ก็ถูกวางไว้ระหว่างผู้เข้าร่วมในเกม - บวก ลบ มากขึ้น น้อยลง
ที่จะตอบ
คำตอบแบบเด็กๆ เหรอ??))
อาจฟังดูโหดร้าย แต่ผู้เขียนเองไม่เข้าใจว่าทำไมลบด้วยลบให้บวก :-)
ทุกสิ่งในโลกสามารถอธิบายได้ด้วยสายตา เพราะสิ่งที่เป็นนามธรรมมีความจำเป็นเพื่ออธิบายโลกเท่านั้น พวกเขาผูกติดอยู่กับความเป็นจริงและไม่ได้อยู่ตามลำพังในตำราเรียนหลอก
แม้ว่าคำอธิบายคุณจำเป็นต้องรู้อย่างน้อยฟิสิกส์และชีววิทยาบางครั้งควบคู่ไปกับพื้นฐานของสรีรวิทยาของมนุษย์
แต่อย่างไรก็ตาม ส่วนแรกให้ความหวังที่จะเข้าใจ และอธิบายความจำเป็นของตัวเลขติดลบอย่างชัดเจนมาก
แต่คนที่สองย้ายออกไปเป็นโรคจิตเภทตามธรรมเนียม A และ B ต้องเป็นของจริง! แล้วทำไมถึงเรียกพวกมันว่าตัวอักษรเหล่านี้ในเมื่อคุณสามารถหยิบได้ เช่น ก้อนขนมปังหรือแอปเปิ้ล
ถ้า .. เป็นไปได้ ... ใช่?))))))
และ...แม้กระทั่งการใช้ รากฐานที่ถูกต้องจากส่วนแรก (การคูณนั้นเป็นการเพิ่มแบบเดียวกัน) - ด้วย minuses จะได้รับความขัดแย้ง))
-2 + -2 = -4
แต่
-2 * -2 =+4))))
และแม้ว่าเราคิดว่านี่คือลบสอง, ลบสองครั้ง, มันจะกลายเป็น
-2 -(-2) -(-2) = +2
แค่ยอมรับว่าเนื่องจากตัวเลขนั้นเป็นเสมือน ดังนั้นสำหรับการบัญชีที่ค่อนข้างถูกต้อง ฉันจึงต้องคิดกฎเสมือนจริงขึ้นมา
และนั่นก็เป็นความจริง ไม่ใช่เรื่องไร้สาระที่ดังกึกก้อง
ที่จะตอบ
ในตัวอย่างของเขา Academon ทำผิดพลาด:
อันที่จริง (-2)+(-2) = (-4) คือ 2 คูณ (-2) นั่นคือ (-2) * 2 = (-4)
สำหรับการคูณจำนวนลบสองจำนวนโดยไม่มีข้อขัดแย้ง นี่คือการบวกเดียวกัน เฉพาะอีกด้านหนึ่งของ "0" บนเส้นจำนวนเท่านั้น กล่าวคือ:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4 รวมกันทั้งหมด
สำหรับความเป็นจริงของจำนวนลบ คุณชอบตัวอย่างนี้อย่างไร?
ถ้าฉันมีเงินในกระเป๋า $1,000 อารมณ์ของฉันสามารถเรียกได้ว่าเป็น “แง่บวก”
ถ้า 0$ ตามลำดับ สถานะจะเป็น "ไม่มี"
แล้วถ้า (-1000)$ เป็นหนี้ที่ต้องชดใช้ แต่ไม่มีเงิน...?
ที่จะตอบ
ลบถึงลบ - จะมีบวกเสมอ
ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น - ฉันไม่สามารถพูดได้
ทำไม -on-=+ ทำให้ฉันงงแม้กระทั่งที่โรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 (1961) ฉันพยายามคิดพีชคณิตที่ "ยุติธรรม" อีกอัน โดยที่ + on + = + และ - on - = - เลยคิดว่าจะจริงใจกว่านี้ แต่จะอยู่กับ + on- และ -on + ได้อย่างไร? ฉันไม่ต้องการที่จะสูญเสียการสลับสับเปลี่ยนของ xy=yx ไม่เช่นนั้นมันจะไม่ทำงาน
แต่ถ้าเราไม่ใส่อักขระ 2 ตัว แต่มีสามตัวเช่น +, - และ * เท่ากันและสมมาตร
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) อย่ารวมกัน (!) เช่นส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน
แต่สำหรับสิ่งนั้น (+a)+(-a)+(*a)=0
ตัวอย่างเช่น (+6)+(-4)+(*2) คืออะไร
(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
ไม่ใช่เรื่องง่าย แต่คุณสามารถชินกับมันได้
ตอนนี้การคูณ
เราสันนิษฐานว่า:
+on+=+ -on-=- *on*=* (ใช่ไหม)
+on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (ยุติธรรม!)
ดูเหมือนว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี แต่การคูณนั้นไม่สัมพันธ์กันเช่น
a(bc) ไม่เท่ากับ (ab)c.
และถ้าเป็นเช่นนั้น
+บน+=+ -on-=* *บน*=-
+on-=-on+=- +on*=*on+=* -on*=*on-=+
ไม่ยุติธรรมอีกครั้ง + เน้นเป็นพิเศษ แต่พีชคณิตใหม่ที่มีสามสัญญาณถือกำเนิดขึ้น แลกเปลี่ยนเชื่อมโยงและแจกจ่าย เธอมีการตีความทางเรขาคณิต เธอเป็นไอโซมอร์ฟิค ตัวเลขที่ซับซ้อน. สามารถขยายเพิ่มเติมได้: สี่ตัวอักษร, ห้า...
สิ่งนี้ไม่เคยเกิดขึ้นมาก่อน เอามันคนใช้มัน
ที่จะตอบ
คำถามของเด็กโดยทั่วไปคือคำตอบของเด็ก
มีโลกของเราที่ทุกอย่าง "บวก": แอปเปิ้ล ของเล่น แมวและสุนัข พวกมันมีจริง คุณสามารถกินแอปเปิ้ล คุณสามารถเลี้ยงแมว และยังมีโลกสมมติผ่านกระจกมอง นอกจากนี้ยังมีแอปเปิ้ลและของเล่น คล้ายกระจก เราสามารถจินตนาการได้ แต่เราไม่สามารถสัมผัสพวกมันได้ - พวกมันถูกประดิษฐ์ขึ้น เราสามารถเดินทางจากโลกหนึ่งไปอีกโลกหนึ่งได้โดยใช้เครื่องหมายลบ ถ้าเรามีแอปเปิ้ลแท้สองลูก (2 แอปเปิ้ล) และเราใส่เครื่องหมายลบ (-2 แอปเปิ้ล) - เราได้แอปเปิ้ลที่ประดิษฐ์ขึ้นสองอันในกระจกมอง เครื่องหมายลบนำเราจากโลกหนึ่งไปยังอีกโลกหนึ่ง ไปมา ไม่มีแอปเปิ้ลกระจกในโลกของเรา เราสามารถจินตนาการถึงพวกมันได้ทั้งหมด แม้กระทั่งหนึ่งล้าน (ลบหนึ่งล้านแอปเปิ้ล) เป็นเพียงว่าคุณไม่สามารถกินได้เพราะเราไม่มีแอปเปิ้ลลบ แอปเปิ้ลทั้งหมดในร้านของเราเป็นบวกแอปเปิ้ล
การคูณ หมายถึง การจัดเรียงวัตถุบางอย่างให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลองเอาสองจุด ":" และคูณด้วยสาม เราได้: ": : :" - ทั้งหมดหกจุด คุณสามารถนำแอปเปิลแท้ (+I) มาคูณด้วยสามได้: "+ЯЯЯ" - แอปเปิลแท้สามลูก
ตอนนี้คูณแอปเปิ้ลด้วยลบสาม เราจะได้แอปเปิ้ลสามลูก "+ЯЯЯ" อีกครั้ง แต่เครื่องหมายลบจะพาเราผ่านกระจกมองออกไป และเราจะได้แอปเปิ้ลกระจกสามลูก (ลบสามแอปเปิ้ล -ЯЯЯ)
แล้วตอนนี้ก็คูณแอปเปิ้ลลบ (-I) ด้วยลบสาม นั่นคือเราเอาแอปเปิ้ลหนึ่งลูกและหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าเราก็โอนไปยังกระจกมอง เราคูณมันด้วยสาม ตอนนี้เรามีแอปเปิ้ลกระจกสามลูกแล้ว! แต่มีข้อเสียอีกอย่างหนึ่ง เขาจะย้ายแอปเปิ้ลที่ได้รับกลับมายังโลกของเรา เป็นผลให้เราได้รับแอปเปิ้ลแสนอร่อยสามชิ้น + YYYYA ที่คุณสามารถกินได้
ที่จะตอบ
ทุกอย่างเป็นไปด้วยดีจนกระทั่ง ขั้นตอนสุดท้าย. เมื่อคูณผลแอปเปิลกระจกสามผลด้วยลบหนึ่งผล เราต้องสะท้อนผลแอปเปิลเหล่านี้ในกระจกอีกบานหนึ่ง พวกเขาจะตรงกับสถานที่จริง แต่จะเป็นจินตภาพเหมือนกระจกบานแรกและกินไม่ได้ นั่นคือ (-1)*(-1)= -1<> 1.
อันที่จริง ฉันสับสนกับอีกประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการคูณจำนวนลบคือ:
สมการเป็นจริงหรือไม่:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?คำถามนี้เกิดขึ้นจากการพยายามทำความเข้าใจพฤติกรรมของกราฟของฟังก์ชัน y=x^n โดยที่ x และ n เป็นจำนวนจริง
ปรากฎว่ากราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในไตรมาสที่ 1 และ 3 เสมอ ยกเว้นกรณีที่ n เป็นคู่ ในกรณีนี้ ความโค้งของกราฟจะเปลี่ยนไปเท่านั้น แต่ความเท่าเทียมกันของ n เป็นค่าสัมพัทธ์ เนื่องจากเราสามารถหากรอบอ้างอิงอื่นได้ ซึ่ง n = 1.1 * k เราก็จะได้
y = x^(1.1*k) = (x^1.1)^k
และความเท่าเทียมกันที่นี่จะแตกต่างกัน ...นอกจากนี้ ฉันเสนอให้เพิ่มอาร์กิวเมนต์ว่าเกิดอะไรขึ้นกับกราฟของฟังก์ชัน y = x^(1/n) ฉันคิดว่าไม่ใช่โดยไม่มีเหตุผล ที่กราฟของฟังก์ชันควรจะสมมาตรกับกราฟ y = x^n เทียบกับกราฟของฟังก์ชัน y = x
ที่จะตอบ
มีหลายวิธีในการอธิบายกฎ "ลบ คูณ ลบ บวก" วิธีนี้ง่ายที่สุด การคูณโดยธรรมชาติ หมายเลข n คือการยืดส่วน (อยู่บนแกนตัวเลข) n ครั้ง การคูณด้วย -1 เป็นภาพสะท้อนของส่วนที่เกี่ยวกับจุดกำเนิด เนื่องจากคำอธิบายที่สั้นที่สุดว่าทำไม (-1)*(-1) = +1 วิธีนี้จึงเหมาะสม คอขวดของวิธีนี้คือคุณยังคงต้องพิจารณาผลรวมของตัวดำเนินการดังกล่าวแยกกัน
ที่จะตอบ
อธิบายจากจำนวนเชิงซ้อนก็ได้
เป็นรูปแบบทั่วไปของการแสดงตัวเลข
รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน
สูตรออยเลอร์
เครื่องหมายในกรณีนี้เป็นเพียงอาร์กิวเมนต์ (มุมการหมุน)
มุมรวมกันเมื่อคูณ
0 องศาสอดคล้องกับ +
180 องศาสอดคล้องกับ -
การคูณด้วย - เท่ากับ 180+180=360=0
ที่จะตอบ
นี้จะม้วน?
เชิงลบเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม เพื่อความง่าย เพื่อที่จะย้ายออกจาก minuses ชั่วคราว เราจะแทนที่ข้อความสั่งและทำให้จุดเริ่มต้นใหญ่ขึ้น เริ่มนับไม่ใช่จากศูนย์ แต่จาก 1,000
สมมติว่าคนสองคนเป็นหนี้ฉันคนละสองรูเบิล: 2_persons * 2_rubles \u003d 4_rubles เป็นหนี้ฉันทั้งหมด (ยอดเงินของฉันคือ 1004)
ตอนนี้ผกผัน (ตัวเลขเชิงลบ แต่คำสั่งผกผัน / บวก):
ลบ 2 คน = ดังนั้นพวกเขาไม่เป็นหนี้ฉัน แต่ฉันเป็นหนี้ (ฉันเป็นหนี้คนอื่นมากกว่าที่เป็นหนี้) ตัวอย่างเช่น ฉันเป็นหนี้ 10 คน และฉันอายุเพียง 8 ปี การตั้งถิ่นฐานร่วมกันสามารถลดและเพิกเฉยได้ แต่คุณสามารถระลึกไว้เสมอว่าสะดวกกว่าที่จะทำงานกับตัวเลขที่เป็นบวก นั่นคือทุกคนให้เงินซึ่งกันและกัน
ลบ 2 รูเบิล = หลักการที่คล้ายกัน - คุณควรใช้มากกว่าที่คุณให้ ดังนั้นฉันจึงเป็นหนี้ทุกคนสองรูเบิล
-(2_persons)*2_rubles=I_owe_to_each_by_2=-4 สำหรับฉัน ยอดคงเหลือของฉันคือ 996 รูเบิล
2_people*(-2_rubles)=two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 จากฉัน ยอดคงเหลือของฉันคือ 996 รูเบิล
- (2_persons)*(-2_rubles)= each_should_take_from_me_less_than_should_give_2_rubles
โดยทั่วไปแล้ว หากเราจินตนาการว่าทุกอย่างหมุนไม่ได้อยู่ที่ 0 แต่รอบๆ เช่น 1,000 แต่พวกเขาแจกเงินที่ 10 เอาไปที่ 8 จากนั้นจึงดำเนินการออกเงินให้ใครซักคนเป็นลำดับหรือเอาไปทิ้ง ได้ข้อสรุปว่าหากเพิ่มอีกสองรายการ (เราจะลดส่วนที่เหลือด้วยการหักตาข่าย) จะได้รับเงินสองรูเบิลจากฉันน้อยกว่าที่พวกเขาจะกลับมา ความเป็นอยู่ที่ดีของฉันจะเพิ่มขึ้นเป็น 4
ที่จะตอบ
ในการค้นหาคำตอบที่เรียบง่าย (สำหรับเด็กที่เข้าใจได้) ให้ตอบคำถาม ("ทำไมเครื่องหมายลบด้วยเครื่องหมายลบให้บวก") ฉันอ่านทั้งบทความที่ผู้เขียนเสนอและความคิดเห็นทั้งหมดอย่างขยันขันแข็ง ฉันคิดว่าคำตอบที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือคำตอบในบทสรุป: "ศัตรูของศัตรูคือเพื่อนของฉัน" ยิ่งชัดขนาดไหน! เรียบง่ายและยอดเยี่ยม!
นักเดินทางคนหนึ่งมาถึงเกาะแห่งหนึ่ง เกี่ยวกับผู้อยู่อาศัยที่เขารู้เพียงสิ่งเดียวเท่านั้น บางคนพูดแต่ความจริง บางคนพูดแต่เรื่องโกหก ภายนอกมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกแยะระหว่างพวกเขา นักเดินทางลงจอดบนฝั่งและเห็นถนน เขาอยากรู้ว่าถนนสายนี้ไปเข้าเมืองหรือเปล่า เมื่อเห็นผู้อยู่อาศัยในท้องถิ่นบนถนน เขาถามคำถามเพียงข้อเดียว ทำให้เขารู้ว่าถนนมุ่งสู่เมือง เขาถามเรื่องนี้ว่าอย่างไร?
วิธีแก้ปัญหาคือสามบรรทัด (เพียงเพื่อหยุดและให้โอกาสผู้ใหญ่แก่คุณในการหยุดและคิดเกี่ยวกับปัญหาที่ยอดเยี่ยมนี้!) หลานชายระดับสามของฉันยังคงยากเกินไปสำหรับปัญหา แต่การเข้าใจคำตอบนั้นทำให้เขาใกล้ชิดมากขึ้นอย่างไม่ต้องสงสัย ทำความเข้าใจปัญหาคณิตศาสตร์ที่กำลังจะเกิดขึ้น เทคนิคเช่น "ลบคูณลบให้บวก"
ดังนั้นคำตอบคือ:
“ถ้าผมถามคุณว่าถนนสายนี้เข้าเมืองไหม คุณจะตอบว่าอะไร”
คำอธิบาย "พีชคณิต" ไม่สามารถสั่นคลอนความรักที่ฉันมีต่อพ่อและความเคารพอย่างสุดซึ้งต่อวิทยาศาสตร์ของเขา แต่ฉันเกลียดวิธีการเชิงสัจพจน์ตลอดกาลด้วยคำจำกัดความที่ไม่มีแรงจูงใจ
ที่น่าสนใจคือ คำตอบของ I.V. Arnold สำหรับคำถามของเด็กนั้นใกล้เคียงกับการตีพิมพ์หนังสือของเขาเรื่อง "Negative numbers in the algebra" ที่นั่น (ในบทที่ 7) ให้คำตอบที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงในความคิดของฉัน เป็นการพรรณนาอย่างมาก หนังสือมีจำหน่ายที่ ในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์ http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm
ที่จะตอบ
หากมีความขัดแย้ง เราต้องมองหาข้อผิดพลาดในปัจจัยพื้นฐาน มีข้อผิดพลาดสามประการในการกำหนดสูตรคูณ นี่คือที่มาของ "ความขัดแย้ง" คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มศูนย์
(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12
การคูณคือการบวกซ้ำของศูนย์ (หรือการลบออกจากศูนย์)
ตัวคูณ (4) แสดงจำนวนการดำเนินการบวกหรือลบ (จำนวนเครื่องหมาย "ลบ" หรือ "บวก" เมื่อแยกการคูณด้วยการบวก)
เครื่องหมาย "ลบ" และ "บวก" ที่ตัวประกอบ (4) กำหนดให้ลบตัวคูณจากศูนย์ หรือเพิ่มตัวคูณให้เป็นศูนย์
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในตัวอย่างนี้ (-4) ระบุให้ลบ ("-") จากศูนย์ตัวคูณ (-3) สี่ครั้ง (4)
แก้ไขถ้อยคำ (ข้อผิดพลาดทางตรรกะสามข้อ) เพียงเพิ่มศูนย์ กฎของเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้
เพิ่มเติมในหัวข้อนี้ที่นี่:
http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm
นิสัยของการเชื่อตำราแบบกลไกคืออะไร? คุณต้องมีสมองของคุณเองด้วย ยิ่งถ้ามีความขัดแย้ง จุดขาว ความขัดแย้งที่เห็นได้ชัด ทั้งหมดนี้เป็นผลมาจากข้อผิดพลาดในทางทฤษฎี
เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนออกเป็นพจน์ตามสูตรการคูณในปัจจุบัน (ไม่มีศูนย์) มันไม่รบกวนใครเลยเหรอ?
นี่คือสูตรคูณแบบใด ที่ไม่สามารถทำการคูณได้? :)
ปัญหายังเป็นปัญหาทางจิตวิทยาอย่างหมดจด คนตาบอดไว้วางใจในหน่วยงานไม่เต็มใจที่จะคิดเพื่อตัวคุณเอง ถ้าตำราเรียนว่าอย่างนั้น ถ้าโรงเรียนสอนอย่างนั้น นี่แหละคือความจริงสูงสุด ทุกสิ่งเปลี่ยนแปลงไป รวมทั้งวิทยาศาสตร์ด้วย มิฉะนั้นจะไม่มีการพัฒนาของอารยธรรม
แก้ไขข้อความการคูณในตำราเรียนทุกเล่ม! กฎของเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้
นอกจากนี้ จากบทความที่เชื่อมโยงข้างต้น สูตรคูณที่แก้ไขแล้วจะคล้ายกับสูตรการบวกเลขยกกำลัง ที่นั่นเช่นกัน พวกเขาไม่ได้จดหน่วยเมื่อยกกำลังบวก อย่างไรก็ตาม มีการเขียนหนึ่งตัวเมื่อเพิ่มจำนวนเป็นกำลังลบ
เจ้าแห่งคณิตศาสตร์ มารดาของคุณ คุณควรเขียนศูนย์และหนึ่งเสมอ แม้ว่าผลลัพธ์จะไม่เปลี่ยนจากการไม่อยู่
ความหมายของรายการย่อเปลี่ยนไป (หรือหายไป) และมีปัญหาเรื่องความเข้าใจในเด็กนักเรียน
ที่จะตอบ
เขียนความคิดเห็น
การเรียนการสอน
การคำนวณทางคณิตศาสตร์มีสี่ประเภท: การบวก การลบ การคูณ และการหาร ดังนั้นจะมีตัวอย่างอยู่ 4 แบบด้วยกัน ตัวเลขติดลบในตัวอย่างจะถูกเน้นเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) หรือ 34:(-17)
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. การกระทำนี้อาจมีลักษณะดังนี้: 1) 3+(-6)=3-6=-3 การแทนที่การกระทำ: ขั้นแรกให้เปิดวงเล็บเครื่องหมาย "+" จะกลับด้านจากนั้น "3" ที่เล็กกว่าจะถูกลบออกจากตัวเลขที่ใหญ่กว่า (โมดูโล) "6" หลังจากนั้นคำตอบจะได้รับเครื่องหมายที่ใหญ่กว่านั่นคือ , "-".
2) -3+6=3. อันนี้สามารถเขียนเป็น - ("6-3") หรือตามหลักการ "ลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่าและกำหนดเครื่องหมายของค่าที่มากกว่าให้กับคำตอบ"
3) -3+(-6)=-3-6=-9. เมื่อเปิด การแทนที่การบวกด้วยการลบ จากนั้นโมดูลจะถูกสรุปและผลลัพธ์จะได้รับเครื่องหมายลบ
การลบ.1) 8-(-5)=8+5=13. วงเล็บถูกเปิดขึ้น เครื่องหมายของการกระทำจะกลับกัน และได้รับตัวอย่างเพิ่มเติม
2) -9-3=-12. องค์ประกอบของตัวอย่างถูกรวมเข้าด้วยกันและได้รับ สัญญาณทั่วไป "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. เมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายจะเปลี่ยนอีกครั้งเป็น "+" จากนั้นจำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่า และเครื่องหมายของจำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออกจากคำตอบ
การคูณและการหาร เมื่อทำการคูณหรือหารเครื่องหมายจะไม่มีผลกับการดำเนินการเอง เมื่อคูณหรือหารตัวเลข เครื่องหมายลบ ถูกกำหนดให้กับคำตอบ หากตัวเลขที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน ผลลัพธ์จะมีเครื่องหมายบวกเสมอ 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
ที่มา:
- ตารางที่มีข้อเสีย
วิธีตัดสินใจ ตัวอย่าง? เด็ก ๆ มักจะหันไปหาผู้ปกครองด้วยคำถามนี้หากจำเป็นต้องทำการบ้าน จะอธิบายวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการบวกและการลบตัวเลขหลายหลักให้เด็กฟังได้อย่างไร ลองหาสิ่งนี้กัน
คุณจะต้องการ
- 1. ตำราคณิตศาสตร์
- 2. กระดาษ
- 3. จับ.
การเรียนการสอน
อ่านตัวอย่าง ในการทำเช่นนี้ หลายค่าหลายค่าจะถูกแบ่งออกเป็นคลาส เริ่มจากจุดสิ้นสุดของตัวเลข นับสามหลักแล้วใส่จุด (23.867.567) จำได้ว่าสามหลักแรกจากจุดสิ้นสุดของตัวเลขไปยังหน่วย สามถัดไป - ถึงชั้นเรียนแล้วมีนับล้าน เราอ่านตัวเลข: ยี่สิบสามแปดแสนหกหมื่นเจ็ดพันหกสิบเจ็ด
เขียนตัวอย่าง โปรดทราบว่าหน่วยของแต่ละหลักจะเขียนทับกันอย่างเคร่งครัด: หน่วยใต้หน่วย สิบใต้สิบ ร้อยใต้ร้อย ฯลฯ
ทำการบวกหรือลบ เริ่มดำเนินการกับหน่วย เขียนผลลัพธ์ภายใต้หมวดหมู่ที่มีการดำเนินการ หากกลายเป็นตัวเลข () เราจะเขียนหน่วยที่ตำแหน่งคำตอบแล้วบวกจำนวนหลักสิบลงในหน่วยของการปลดปล่อย หากจำนวนหน่วยของหลักใด ๆ ในส่วน minuend น้อยกว่าใน subtrahend เราจะเอา 10 หน่วยของหลักถัดไป ดำเนินการ
อ่านคำตอบ
วิดีโอที่เกี่ยวข้อง
บันทึก
ห้ามลูกของคุณใช้เครื่องคิดเลข แม้กระทั่งเพื่อตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง การบวกถูกทดสอบโดยการลบ และการบวกถูกทดสอบด้วยการบวก
หากเด็กเรียนรู้เทคนิคการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรภายใน 1,000 ได้ดี การกระทำที่มีตัวเลขหลายหลักโดยการเปรียบเทียบจะไม่ทำให้เกิดปัญหา
จัดการแข่งขันสำหรับลูกของคุณ: เขาสามารถแก้ตัวอย่างได้กี่ตัวอย่างใน 10 นาที การฝึกอบรมดังกล่าวจะช่วยให้เทคนิคการคำนวณเป็นไปโดยอัตโนมัติ
การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่รองรับอีกมากมาย ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ในกรณีนี้ อันที่จริง การคูณนั้นขึ้นอยู่กับการดำเนินการของการบวก: ความรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้ช่วยให้คุณแก้ไขตัวอย่างได้อย่างถูกต้อง
เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญของการดำเนินการคูณ จำเป็นต้องคำนึงถึงองค์ประกอบหลักสามประการที่เกี่ยวข้อง หนึ่งในนั้นเรียกว่าปัจจัยแรกและแสดงถึงจำนวนที่อยู่ภายใต้การดำเนินการคูณ ด้วยเหตุผลนี้ มันมีชื่อที่สองซึ่งค่อนข้างน้อย - "ตัวคูณ" องค์ประกอบที่สองของการดำเนินการคูณเรียกว่าปัจจัยที่สอง: เป็นจำนวนที่ตัวคูณจะถูกคูณ ดังนั้นส่วนประกอบทั้งสองนี้จึงเรียกว่าตัวคูณ ซึ่งเน้นที่สถานะที่เท่าเทียมกัน เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันสามารถสับเปลี่ยนกันได้ ผลลัพธ์ของการคูณจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ สุดท้าย ส่วนประกอบที่สามของการคูณซึ่งเป็นผลมาจากมัน เรียกว่าผลคูณ
ลำดับของการดำเนินการคูณ
สาระสำคัญของการดำเนินการคูณจะขึ้นอยู่กับความเรียบง่าย การดำเนินการเลขคณิต- . อันที่จริง การคูณเป็นผลรวมของปัจจัยแรกหรือคูณ จำนวนครั้งที่สอดคล้องกับปัจจัยที่สอง ตัวอย่างเช่น ในการคูณ 8 ด้วย 4 คุณต้องบวกเลข 8 4 ครั้ง ได้ 32 วิธีนี้นอกจากจะให้ความเข้าใจแก่สาระสำคัญของการคูณแล้ว ยังใช้ตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้ได้อีกด้วย โดยคำนวณสินค้าที่ต้องการ โปรดทราบว่าการตรวจสอบจำเป็นต้องถือว่าเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับผลรวมเหมือนกันและสอดคล้องกับปัจจัยแรกการแก้ตัวอย่างการคูณ
ดังนั้น เพื่อที่จะแก้ , เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการคูณ อาจจะเพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนครั้งที่กำหนด จำนวนที่ต้องการตัวคูณแรก วิธีการดังกล่าวสะดวกสำหรับการคำนวณเกือบทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการนี้ ในเวลาเดียวกันในวิชาคณิตศาสตร์มักมีสิ่งทั่วไปซึ่งมีจำนวนเต็มหลักเดียวมาตรฐานเข้าร่วม เพื่อความสะดวกในการคำนวณ จึงมีการสร้างการคูณที่เรียกว่า ซึ่งรวมถึงรายการผลิตภัณฑ์ทั้งหมดของตัวเลขหลักเดียวที่เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ดังนั้น เมื่อคุณได้เรียนรู้แล้ว คุณสามารถลดความซับซ้อนได้อย่างมาก กระบวนการแก้ตัวอย่างการคูณตามการใช้ตัวเลขดังกล่าว อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวเลือกที่ซับซ้อนกว่านี้ จำเป็นต้องใช้สิ่งนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเองวิดีโอที่เกี่ยวข้อง
ที่มา:
- การคูณในปี 2019
การคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักใช้ทั้งในโรงเรียนและใน ชีวิตประจำวัน. คุณจะคูณสองจำนวนอย่างรวดเร็วได้อย่างไร?
พื้นฐานของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่สุดคือการดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานสี่อย่าง: การลบ การบวก การคูณ และการหาร ในเวลาเดียวกัน แม้จะเป็นอิสระ การดำเนินการเหล่านี้เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด กลับกลายเป็นว่าเชื่อมโยงถึงกัน ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีอยู่ ตัวอย่างเช่น ระหว่างการบวกและการคูณ
การดำเนินการคูณจำนวน
มีสามองค์ประกอบหลักที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณ ตัวแรกซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าปัจจัยแรกหรือตัวคูณคือจำนวนที่จะถูกดำเนินการคูณ ตัวที่สองซึ่งเรียกว่าตัวประกอบที่สองคือจำนวนที่ตัวประกอบแรกจะถูกคูณ ในที่สุด ผลลัพธ์ของการดำเนินการคูณมักเรียกว่าผลิตภัณฑ์ควรจำไว้ว่าสาระสำคัญของการดำเนินการคูณนั้นจริง ๆ แล้วขึ้นอยู่กับการบวก: สำหรับการนำไปใช้นั้นจำเป็นต้องรวมปัจจัยแรกจำนวนหนึ่งเข้าด้วยกันและจำนวนเทอมในผลรวมนี้จะต้องเท่ากับปัจจัยที่สอง นอกจากการคำนวณผลคูณของปัจจัยทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาแล้ว อัลกอริธึมนี้ยังสามารถใช้เพื่อตรวจสอบผลลัพธ์ได้อีกด้วย
ตัวอย่างการแก้โจทย์การคูณ
พิจารณาวิธีแก้ปัญหาการคูณ สมมุติว่าตามเงื่อนไขของการมอบหมาย จำเป็นต้องคำนวณผลคูณของตัวเลขสองตัว โดยที่ตัวประกอบแรกคือ 8 และตัวที่สองคือ 4 ตามคำจำกัดความของการคูณ นี่หมายความว่าคุณ ต้องบวกเลข 8 4 ครั้ง ผลลัพธ์คือ 32 - นี่คือผลคูณที่ถือว่าเป็นตัวเลขนั่นคือผลลัพธ์ของการคูณนอกจากนี้ ต้องจำไว้ว่ากฎการสลับที่เรียกกันว่าใช้กับการดำเนินการคูณ ซึ่งกำหนดว่าการเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยในตัวอย่างเดิมจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ ดังนั้นคุณสามารถเพิ่มหมายเลข 4 8 ครั้งได้ผลลัพธ์เดียวกัน - 32
ตารางสูตรคูณ
แก้ได้ด้วยวิธีนี้ชัดเจน จำนวนมากของตัวอย่างประเภทเดียวกันเป็นงานที่ค่อนข้างน่าเบื่อ เพื่ออำนวยความสะดวกในงานนี้ จึงได้มีการคิดค้นการคูณที่เรียกว่า อันที่จริงมันเป็นรายการผลิตภัณฑ์ของตัวเลขหลักเดียวที่เป็นจำนวนเต็มบวก พูดง่ายๆ คือ ตารางสูตรคูณคือชุดของผลการคูณระหว่างกันตั้งแต่ 1 ถึง 9 เมื่อคุณเรียนรู้ตารางนี้แล้ว คุณจะไม่สามารถใช้วิธีคูณอีกต่อไปเมื่อคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับสิ่งนั้น จำนวนเฉพาะแต่เพียงจำผลลัพธ์ของมันวิดีโอที่เกี่ยวข้อง
เราเข้าใจการคูณถูกต้องหรือไม่?
"- A และ B กำลังนั่งอยู่บนท่อ A ล้ม B หายไป อะไรเหลืออยู่บนท่อ?
“จดหมายของคุณ ฉันยังคงอยู่”(จากภาพยนตร์เรื่อง "Youths in the Universe")
ทำไมการคูณตัวเลขด้วยศูนย์จึงส่งผลให้เป็นศูนย์
7 * 0 = 0
ทำไมเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัว คุณจะได้จำนวนบวก?
7 * (-3) = + 21
สิ่งที่ครูไม่ได้คิดขึ้นมาเพื่อตอบคำถามสองข้อนี้
แต่ไม่มีใครกล้ายอมรับว่ามีข้อผิดพลาดทางความหมายสามประการในการกำหนดสูตรคูณ!
มีข้อผิดพลาดในพื้นฐานของเลขคณิตหรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว คณิตศาสตร์ก็วางตำแหน่งตัวเองเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน ...
หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่ได้ให้คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ โดยแทนที่คำอธิบายด้วยชุดกฎเกณฑ์ที่ต้องจดจำ บางทีพวกเขาอาจพบว่าหัวข้อนี้อธิบายยากในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้น ลองทำความเข้าใจปัญหาเหล่านี้กัน
7 - ตัวคูณ 3 เป็นตัวคูณ 21 - ทำงาน
ตามถ้อยคำอย่างเป็นทางการ:
- การคูณตัวเลขด้วยตัวเลขอื่นหมายถึงการเพิ่มตัวคูณให้มากที่สุดเท่าที่ตัวคูณกำหนด
ตามถ้อยคำที่ยอมรับ ตัวประกอบ 3 บอกเราว่าควรมีสามสามัคคีทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
แต่สูตรคูณนี้ไม่สามารถอธิบายคำถามข้างต้นได้
มาแก้ไขคำพูดของการคูณ
โดยปกติ ในวิชาคณิตศาสตร์ มักมีความหมาย แต่ไม่ได้พูดหรือเขียนลงไป
หมายถึงเครื่องหมายบวกหน้าเจ็ดตัวแรกทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ลองเขียนสิ่งนี้ลงไป
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
แต่อะไรคือเจ็ดตัวแรกที่เพิ่มเข้าไป หมายความว่าเป็นศูนย์แน่นอน ลองเขียนศูนย์
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
เกิดอะไรขึ้นถ้าเราคูณด้วยสามลบเจ็ด?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
เราเขียนการบวกตัวคูณ -7 อันที่จริงเราทำการลบหลายรายการจากศูนย์ มาขยายวงเล็บกันเถอะ
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
ตอนนี้เราสามารถให้สูตรคูณที่ปรับปรุงแล้ว
- การคูณคือการบวกซ้ำของศูนย์ (หรือการลบจากศูนย์) ของตัวคูณ (-7) หลายครั้งตามที่ตัวคูณระบุ ตัวประกอบ (3) และเครื่องหมาย (+ หรือ -) ระบุจำนวนการดำเนินการที่จะบวกเป็นศูนย์หรือลบออกจากศูนย์
ตามสูตรคูณที่ปรับปรุงและค่อนข้างปรับปรุงนี้ "กฎของเครื่องหมาย" สำหรับการคูณเมื่อตัวคูณเป็นค่าลบสามารถอธิบายได้ง่าย
7 * (-3) - ต้องมีเครื่องหมายลบสามตัวหลังศูนย์ = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - อีกครั้งควรมีเครื่องหมายลบสามตัวหลังศูนย์ =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
คูณด้วยศูนย์
7 * 0 = 0 + ... ไม่มีการดำเนินการเพิ่มถึงศูนย์
หากการคูณกำลังบวกกับศูนย์ และตัวคูณแสดงจำนวนการดำเนินการที่จะบวกเป็นศูนย์ ตัวคูณศูนย์จะแสดงว่าไม่มีอะไรถูกเพิ่มเข้าไปในศูนย์ ดังนั้นจึงยังคงเป็นศูนย์
ดังนั้น ในสูตรการคูณที่มีอยู่ เราพบข้อผิดพลาดทางความหมายสามประการที่ขัดขวางความเข้าใจของ "กฎแห่งสัญญาณ" ทั้งสอง (เมื่อตัวคูณเป็นลบ) และการคูณตัวเลขด้วยศูนย์
- ไม่จำเป็นต้องเพิ่มตัวคูณ แต่ต้องเพิ่มเป็นศูนย์
- การคูณไม่ใช่แค่บวกกับศูนย์ แต่ยังลบออกจากศูนย์ด้วย
- ตัวคูณและเครื่องหมายไม่แสดงจำนวนพจน์แต่แสดงจำนวนเครื่องหมายบวกหรือลบเมื่อแยกการคูณออกเป็นพจน์ (หรือหักออก)
เมื่ออธิบายถ้อยคำให้กระจ่างแล้ว เราก็สามารถอธิบายกฎของเครื่องหมายในการคูณและการคูณตัวเลขด้วยศูนย์ได้โดยไม่ต้องใช้กฎการสลับของการคูณ ไม่มีกฎการแจกแจง โดยไม่ต้องใช้การเปรียบเทียบกับเส้นจำนวน โดยไม่มีสมการ , โดยไม่มีหลักฐานเป็นอย่างอื่น เป็นต้น.
กฎของสัญญาณตามสูตรการคูณอย่างละเอียดนั้นได้มาอย่างง่ายดาย
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
ตัวคูณและเครื่องหมาย (+3 หรือ -3) ระบุจำนวนเครื่องหมาย "+" หรือ "-" ทางด้านขวาของสมการ
ถ้อยคำที่ดัดแปลงของการคูณสอดคล้องกับการดำเนินการของการเพิ่มจำนวนยกกำลัง
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (ตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้คูณหรือหารด้วยสิ่งใด จึงเป็นอันหนึ่ง)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่าการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังบวกเป็นการคูณหนึ่ง และการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังลบเป็นการหารหนึ่งด้วยหลายเท่า
การดำเนินการคูณควรคล้ายกับการดำเนินการยกกำลัง
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (ไม่มีอะไรถูกเพิ่มในศูนย์และไม่มีอะไรถูกลบออกจากศูนย์)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
ถ้อยคำที่ดัดแปลงของการคูณไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไรเลยในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ส่งคืนความหมายดั้งเดิมของการดำเนินการคูณ อธิบาย "กฎของเครื่องหมาย" การคูณตัวเลขด้วยศูนย์ และกระทบยอดการคูณด้วยการยกกำลัง
ลองดูว่าสูตรคูณของเราสอดคล้องกับการดำเนินการหารหรือไม่
15: 5 = 3 (การดำเนินการย้อนกลับของการคูณ 5 * 3 = 15)
ผลหาร (3) สอดคล้องกับจำนวนการดำเนินการบวกเป็นศูนย์ (+3) ระหว่างการคูณ
การหารจำนวน 15 ด้วย 5 หมายถึงการหาจำนวนครั้งที่คุณต้องลบ 5 จาก 15 ทำได้โดยการลบต่อเนื่องจนได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์
ในการหาผลลัพธ์ของการหาร คุณต้องนับจำนวนเครื่องหมายลบ มีสามคน
15: 5 = 3 การดำเนินการเพื่อลบห้าจาก 15 จนถึงศูนย์
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (ดิวิชั่น 15:5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (คูณ 5 * 3)
หารด้วยเศษ.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17:5 = 3 และ 2 ส่วนที่เหลือ
ถ้ามีการหารด้วยเศษ ทำไมไม่คูณด้วยส่วนต่อท้ายล่ะ?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
เราดูความแตกต่างของถ้อยคำบนเครื่องคิดเลข
สูตรคูณที่มีอยู่ (สามเทอม)
10 + 10 + 10 = 30
แก้ไขถ้อยคำของการคูณ (การดำเนินการสามบวกกับศูนย์)
0 + 10 = = = 30
(คลิก "เท่ากับ" สามครั้ง)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
ตัวประกอบของ 3 บ่งชี้ว่าต้องบวกตัวคูณของ 10 เข้ากับศูนย์สามครั้ง
ลองคูณ (-10) * (-3) โดยบวกพจน์ (-10) ลบสามครั้ง!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
เครื่องหมายลบสามหมายถึงอะไร? อาจจะเป็นเช่นนั้น?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
อุ๊ปส์... ไม่สามารถแยกผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม (หรือส่วนต่าง) ของเงื่อนไข (-10)
ด้วยถ้อยคำที่แก้ไข ถือว่าทำถูกต้องแล้ว
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
ตัวคูณ (-3) ระบุว่าตัวคูณ (-10) ต้องถูกลบออกจากศูนย์สามครั้ง
ลงนามกฎสำหรับการบวกและการลบ
ข้างต้น แสดงวิธีง่ายๆ ในการหากฎเครื่องหมายสำหรับการคูณ โดยเปลี่ยนความหมายของสูตรคูณ
แต่สำหรับผลลัพธ์ เราใช้กฎของเครื่องหมายบวกและลบ พวกมันเกือบจะเหมือนกับการคูณ มาสร้างภาพกฎของสัญญาณสำหรับการบวกและการลบเพื่อให้แม้แต่นักเรียนระดับประถมคนแรกก็สามารถเข้าใจได้
"ลบ", "ลบ" คืออะไร?
ไม่มีอะไรเป็นลบในธรรมชาติ ไม่ อุณหภูมิติดลบ, ไม่มีทิศทางลบ, ไม่มีมวลลบ, ไม่มีประจุลบ... แม้แต่ไซน์โดยธรรมชาติก็สามารถเป็นบวกได้เท่านั้น
แต่นักคณิตศาสตร์คิดเลขติดลบขึ้นมา เพื่ออะไร? "ลบ" หมายถึงอะไร?
ลบหมายถึงทิศทางตรงกันข้าม ซ้ายขวา. ล่างสุด. ตามเข็มนาฬิกา - ทวนเข็มนาฬิกา ไปมา. เย็นร้อน. หนักเบา. ช้า-เร็ว. หากคุณคิดเกี่ยวกับมัน คุณสามารถยกตัวอย่างอื่นๆ มากมายซึ่งสะดวกที่จะใช้ค่าลบ
ในโลกที่เรารู้จัก อินฟินิตี้เริ่มจากศูนย์และไปบวกอนันต์
"ลบอินฟินิตี้" บน โลกแห่งความจริงไม่ได้อยู่. นี่เป็นแบบแผนทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับแนวคิดของ "ลบ"
ดังนั้น "ลบ" หมายถึงทิศทางตรงกันข้าม: การเคลื่อนไหว, การหมุน, กระบวนการ, การคูณ, การบวก มาวิเคราะห์กัน ทิศทางต่างๆเมื่อบวกและลบตัวเลข (เพิ่มขึ้นในอีกทางหนึ่ง)
ความยากในการทำความเข้าใจกฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบนั้นเกิดจากการที่กฎเหล่านี้มักจะพยายามอธิบายบนเส้นจำนวน บนเส้นจำนวน มีส่วนประกอบที่แตกต่างกันสามตัวผสมกัน ซึ่งได้มาจากกฎเกณฑ์ และเนื่องจากการผสมผสาน เนื่องจากการทิ้งแนวความคิดที่แตกต่างกันไปไว้ในกองเดียว ความยากในการทำความเข้าใจจึงถูกสร้างขึ้น
เพื่อให้เข้าใจกฎเกณฑ์ เราต้องแยก:
- เทอมแรกและผลรวม (จะอยู่บนแกนนอน)
- เทอมที่สอง (จะอยู่บนแกนตั้ง);
- ทิศทางของการบวกและการลบ
หมวดนี้แสดงไว้อย่างชัดเจนในรูป ลองนึกภาพว่าแกนตั้งสามารถหมุนทับบนแกนนอนได้
การเพิ่มจะดำเนินการเสมอโดยการหมุนแกนตั้งตามเข็มนาฬิกา (เครื่องหมายบวก) การลบจะดำเนินการโดยการหมุนแกนตั้งทวนเข็มนาฬิกา (เครื่องหมายลบ) เสมอ
ตัวอย่าง. แผนภาพที่มุมล่างขวา
จะเห็นได้ว่าเครื่องหมายลบสองตัวที่อยู่ติดกัน (เครื่องหมายของการดำเนินการลบและเครื่องหมายของหมายเลข 3) มีความหมายต่างกัน เครื่องหมายลบแรกแสดงทิศทางการลบ เครื่องหมายลบที่สองคือเครื่องหมายของตัวเลขบนแกนตั้ง
หาพจน์แรก (-2) บนแกนนอน หาพจน์ที่สอง (-3) บนแกนตั้ง จิตหมุนแกนตั้งทวนเข็มนาฬิกาจนกระทั่ง (-3) ตรงกับตัวเลข (+1) บนแกนนอน ตัวเลข (+1) คือผลลัพธ์ของการบวก
การดำเนินการลบ
ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการดำเนินการเพิ่มเติมในไดอะแกรมที่มุมบนขวา
ดังนั้น เครื่องหมาย "ลบ" สองตัวที่อยู่ติดกันสามารถแทนที่ด้วยเครื่องหมาย "บวก" หนึ่งตัว
เราทุกคนคุ้นเคยกับการใช้กฎเลขคณิตสำเร็จรูปโดยไม่ต้องคิดถึงความหมาย ดังนั้นเราจึงไม่สังเกตเห็นว่ากฎของเครื่องหมายบวก (การลบ) แตกต่างจากกฎของเครื่องหมายในการคูณ (หาร) อย่างไร พวกเขาดูเหมือนจะเหมือนกันหรือไม่? เกือบ... คุณสามารถเห็นความแตกต่างเล็กน้อยในภาพประกอบต่อไปนี้
ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่เราต้องการเพื่อให้ได้มาซึ่งกฎเครื่องหมายสำหรับการคูณ ลำดับเอาต์พุตมีดังนี้
- เราแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าได้กฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบอย่างไร
- เราทำการเปลี่ยนแปลงความหมายของสูตรคูณที่มีอยู่
- จากการใช้ถ้อยคำที่แก้ไขของการคูณและกฎของเครื่องหมายสำหรับการบวก เราได้รับกฎของสัญญาณสำหรับการคูณ
บันทึก.
ข้างล่างนี้เขียนว่า กฎของเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบที่ได้จากการมองเห็น และสีแดงสำหรับการเปรียบเทียบ กฎเครื่องหมายเดียวกันจากตำราคณิตศาสตร์ เครื่องหมายบวกสีเทาในวงเล็บคือเครื่องหมายบวกที่มองไม่เห็น ซึ่งไม่ได้เขียนเป็นจำนวนบวก
ระหว่างเงื่อนไขมักมีสัญญาณสองสัญญาณเสมอ: เครื่องหมายของการดำเนินการและเครื่องหมายของตัวเลข (เราไม่ได้เขียนเครื่องหมายบวก แต่เราหมายถึงมัน) กฎของสัญญาณกำหนดการเปลี่ยนสัญญาณหนึ่งคู่กับอีกคู่หนึ่งโดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการบวก (การลบ) ในความเป็นจริง มีเพียงสองกฎ
กฎ 1 และ 3 (สำหรับการสร้างภาพ) - กฎที่ซ้ำ 4 และ 2 .. กฎ 1 และ 3 ในการตีความของโรงเรียนไม่ตรงกับรูปแบบภาพดังนั้นจึงไม่นำไปใช้กับกฎของสัญญาณเพิ่มเติม นี่เป็นกฎเกณฑ์อื่นๆ...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) โอเค
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) โอเค
กฎของโรงเรียน 1 (สีแดง) อนุญาตให้คุณแทนที่เครื่องหมายบวกสองตัวติดต่อกันด้วยหนึ่งตัว กฎนี้ใช้ไม่ได้กับการแทนที่เครื่องหมายบวกและการลบ
กฎของโรงเรียน 3 (สีแดง) ช่วยให้คุณไม่เขียนเครื่องหมายบวกสำหรับจำนวนบวกหลังจากดำเนินการลบ กฎนี้ใช้ไม่ได้กับการแทนที่เครื่องหมายบวกและการลบ
ความหมายของกฎของสัญญาณเพิ่มเติมคือการแทนที่สัญญาณคู่หนึ่งกับอีกคู่ของสัญญาณโดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการบวก
นักระเบียบวิธีของโรงเรียนผสมกฎสองข้อในกฎเดียว:
กฎเครื่องหมายสองประการสำหรับการบวกและการลบจำนวนบวกและลบ (แทนที่เครื่องหมายคู่หนึ่งด้วยเครื่องหมายอีกคู่หนึ่ง)
กฎสองข้อที่คุณไม่สามารถเขียนเครื่องหมายบวกสำหรับจำนวนบวกได้
สอง กฎเกณฑ์ต่างๆรวมกันเป็นหนึ่งจะคล้ายกับกฎของเครื่องหมายในการคูณโดยที่หนึ่งในสามตามมาจากสองสัญญาณ ดูเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
งงมาก! ทำแบบเดิมอีกครั้งเพื่อให้คลายการพันกันได้ดีขึ้น มาเน้นสัญญาณของการดำเนินการเป็นสีแดงเพื่อแยกความแตกต่างจากสัญญาณของตัวเลข
1. การบวกและการลบ กฎเครื่องหมายสองประการโดยที่คู่ของสัญญาณระหว่างเงื่อนไขจะถูกสับเปลี่ยน ป้ายดำเนินการและป้ายตัวเลข
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. กฎสองข้อที่ไม่อนุญาตให้เขียนเครื่องหมายบวกของจำนวนบวก นี่คือกฎของแบบฟอร์มการสมัคร ใช้ไม่ได้กับการบวก สำหรับจำนวนบวก จะเขียนเฉพาะเครื่องหมายของการดำเนินการเท่านั้น
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. กฎสี่ประการในการคูณ เมื่อเครื่องหมายที่สามของผลิตภัณฑ์ตามด้วยเครื่องหมายทวีคูณสองอัน ในกฎของเครื่องหมายสำหรับการคูณมีเพียงสัญญาณของตัวเลขเท่านั้น
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
ตอนนี้เราได้แยกกฎสัญกรณ์แล้ว ควรชัดเจนว่ากฎเครื่องหมายสำหรับการบวกและการลบไม่เหมือนกับกฎเครื่องหมายสำหรับการคูณ
V.Kozarenko
ทำไมลบคูณลบเท่ากับบวก?
- (1 แท่ง) - (2 แท่ง) = ((1 แท่ง)+(2 แท่ง))= 2 แท่ง (และ 2 แท่งคือ + เพราะมี 2 แท่งที่เสา)))
ลบคูณลบให้บวกเพราะเป็นกฎของโรงเรียน ในขณะนี้ยังไม่มีคำตอบที่แน่ชัดว่าทำไมในความคิดของฉัน นี่เป็นกฎและมีมาหลายปีแล้ว คุณเพียงแค่ต้องจำเศษไม้เพื่อให้เศษไม้ให้ผ้าหนีบผ้า
จากวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เรารู้ว่าลบคูณลบให้บวก นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายที่เรียบง่ายและขี้เล่นของกฎนี้: ลบคือหนึ่งบรรทัด ลบสองบรรทัดคือสองบรรทัด บวกเพียงประกอบด้วย 2 บรรทัด ดังนั้น ลบ คูณ ลบ ให้เครื่องหมายบวก
ฉันคิดอย่างนั้น: ลบเป็นแท่ง - เพิ่มอีกหนึ่งเครื่องหมายลบ - คุณจะได้แท่งไม้สองอัน และถ้าคุณต่อมันตามขวาง เครื่องหมาย + quot ; จะได้เรียนรู้ นี่คือวิธีที่ฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม: ลบ ลบ วันที่ บวก
ลบ คูณ ลบ ไม่ได้ให้ค่าบวกเสมอไป แม้แต่ในวิชาคณิตศาสตร์ แต่โดยพื้นฐานแล้ว ฉันเปรียบเทียบข้อความนี้กับคณิตศาสตร์ ซึ่งมักพบบ่อยที่สุด พวกเขายังบอกด้วยว่าพวกเขาเคาะเศษเหล็กด้วยชะแลง - สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ minuses ด้วย
ลองนึกภาพว่าคุณยืม 100 รูเบิล ตอนนี้บัญชีของคุณ: -100 rubles จากนั้นคุณชำระหนี้นี้ ดังนั้นปรากฎว่าคุณได้ลด (-) หนี้ของคุณ (-100) ด้วยจำนวนเงินเท่ากัน เราได้รับ: -100-(-100)=0
เครื่องหมายลบแสดงถึงสิ่งที่ตรงกันข้าม: ด้านตรงข้ามของ 5 คือ -5 แต่ -(-5) เป็นจำนวนตรงข้ามกับตรงกันข้าม นั่นคือ ห้า.
ในเรื่องตลก:
ที่ 1 - ฝั่งตรงข้ามของถนนอยู่ที่ไหน?
ที่ 2 - อีกด้านหนึ่ง
ที่ 1 - และพวกเขากล่าวว่าในเรื่องนี้ ...
ลองนึกภาพเครื่องชั่งที่มีสองชาม ความจริงที่ว่าในชามด้านขวามักจะมีเครื่องหมายบวกอยู่ที่ชามด้านซ้าย - ลบ ทีนี้ การคูณด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหมายความว่ามันเกิดขึ้นในชามเดียวกัน และการคูณด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายลบหมายความว่าผลลัพธ์จะถูกส่งต่อไปยังชามอื่น ตัวอย่าง. เราคูณ 5 แอปเปิ้ลด้วย 2 เราได้ 10 แอปเปิ้ลในชามด้านขวา เราคูณ - 5 แอปเปิ้ลด้วย 2 เราได้ 10 แอปเปิ้ลในชามด้านซ้ายนั่นคือ -10 ตอนนี้คูณ -5 ด้วย -2 นี่หมายถึงแอปเปิ้ล 5 ลูกในชามด้านซ้ายคูณด้วย 2 และโอนไปยังชามด้านขวานั่นคือคำตอบคือ 10 ที่น่าสนใจคือการคูณบวกด้วยลบนั่นคือแอปเปิ้ลในชามด้านขวามีผลลบนั่นคือ แอปเปิ้ลไปทางซ้าย และคูณแอปเปิ้ลที่เหลือด้วยเครื่องหมายบวก ให้เหลือไว้ในเครื่องหมายลบ ที่ชามด้านซ้าย
ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ หากคุณใส่แอปเปิล 5 ผลลงในตะกร้า 5 ใบ ก็จะได้แอปเปิลทั้งหมด 25 ผล ในตะกร้า. และแอปเปิ้ลลบห้าลูกหมายความว่าฉันไม่ได้รายงาน แต่เอาออกจากตะกร้าทั้งห้าใบ และปรากฏว่าผลแอปเปิล 25 ผลเหมือนกัน แต่ไม่ได้อยู่ในตะกร้า ดังนั้นตะกร้าจึงเป็นลบ
คุณสามารถสาธิตสิ่งนี้ได้เป็นอย่างดีด้วยตัวอย่างต่อไปนี้ หากบ้านของคุณถูกไฟไหม้ นั่นคือลบ แต่ถ้าคุณลืมปิดก๊อกน้ำในอ่างแล้วน้ำเริ่มท่วม นี่ก็คือค่าลบ แต่นี่ต่างหาก แต่ถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกัน ลบ ลบ ให้บวก และอพาร์ทเมนต์ของคุณมีโอกาสที่จะอยู่รอด