เงื่อนไขตั้งฉากสำหรับเวกเตอร์
เวกเตอร์จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อพวกมัน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีค่าเท่ากับศูนย์
ให้เวกเตอร์ a (xa; ya) และ b (xb; yb) สองตัว เวกเตอร์เหล่านี้จะตั้งฉากถ้า xaxb + yayb = 0
เวกเตอร์จะขนานกันถ้าผลคูณของพวกมันเป็นศูนย์
สมการของเส้นตรงบนระนาบ งานหลักบนเส้นตรงบนเครื่องบิน
เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการลำดับแรก Ax + By + C = 0 และค่าคงที่ A, B ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน กล่าวคือ A2 + B2 0. สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปตรง. ขึ้นอยู่กับค่า ค่าคงที่ A, Bและ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้: - C = 0, A 0, B 0 - เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด - A = 0, B 0, C 0 (โดย
C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Ox- B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Oy- B = C = 0 แกน, A 0 - เส้นตรงประจวบกับแกน Oy A = C = 0, B 0 - เส้นตรงประจวบกับแกน Ox สมการของเส้นตรงสามารถแสดงเป็น หลากหลายรูปแบบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ A, B, C ur-iขวาน + Vu + C = 0 เท่ากับ 0, ur-e
เรียกว่า ไม่สมบูรณ์ โดยรูปสมการของเส้นตรง เราสามารถตัดสินตำแหน่งบน
โพลโซติ OHU กรณีเป็นไปได้:
1 С = 0 L: Axe + By = 0 т. О (0,0) เป็นไปตามสมการนี้หมายถึงเส้นตรง
ผ่านแหล่งกำเนิด
2 A = 0 L: Vy + C = 0 - vr . ปกติ n = (0, B) ตั้งฉากกับแกน ОХ จากที่นี่
ตามด้วยเส้นตรงขนานกับแกน OX
3 B = 0 L: Ay + C = 0 0 - ระบุ vp n = (A, 0) ตั้งฉากกับแกน OY จากที่นี่
ตามมาด้วยเส้นตรงขนานกับแกน ОУ
4 А = 0, С = 0 L: โดย = 0 (y = 0 (L = OX .)
5 B = 0, C = 0 L: ขวาน = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ไม่ผ่านจุดกำเนิดและจุดตัด .)
ทั้งสองแกน
สมการ เส้นตรงผ่านสองจุดที่กำหนดและ: 
มุมระหว่างระนาบ
การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ทราบ ซึ่งใช้กับดีเทอร์มีแนนต์ของคำสั่งซื้อทั้งหมด คุณสมบัติเหล่านี้คือ:
1. หากคุณจัดเรียงดีเทอร์มีแนนต์สองแถว (หรือสองคอลัมน์) ใหม่ ดีเทอร์มีแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย
2. หากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองคอลัมน์ (หรือสองแถว) ของดีเทอร์มีแนนต์เท่ากันหรือเป็นสัดส่วน ดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นศูนย์
3. ค่าดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณสลับแถวและคอลัมน์โดยรักษาลำดับ
4. หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถว (หรือคอลัมน์) มีปัจจัยร่วม ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ได้
5. ค่าของดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกแถว (หรือคอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน ถูกเพิ่มเข้าไปในองค์ประกอบของหนึ่งแถว (หรือคอลัมน์)
Matrix และ dey-iya อยู่เหนือพวกเขา
เมทริกซ์- วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เขียนในรูปของตารางตัวเลขสี่เหลี่ยม (หรือองค์ประกอบวงแหวน) และอนุญาตให้ดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต (การบวก การลบ การคูณ ฯลฯ) ระหว่างวัตถุดังกล่าวกับวัตถุอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน โดยปกติ เมทริกซ์จะแสดงด้วยตารางสองมิติ (สี่เหลี่ยม) บางครั้งพิจารณาเมทริกซ์หลายมิติหรือไม่ใช่สี่เหลี่ยม
โดยทั่วไป เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละตินและอยู่ในวงเล็บ "(...)" (นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกที่มีเครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยม "[...]" หรือเส้นตรงสองเส้น "|| ... ||")
ตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ (องค์ประกอบเมทริกซ์) มักจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับตัวเมทริกซ์ แต่เป็นตัวพิมพ์เล็ก (เช่น a11 เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A)
องค์ประกอบของเมทริกซ์แต่ละตัวมี 2 ตัวห้อย (aij) โดย "i" ตัวแรกหมายถึงจำนวนแถวที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ และ "j" ตัวที่สองคือจำนวนคอลัมน์ พวกเขากล่าวว่า "เมทริกซ์ของมิติ" หมายความว่ามี m แถวและ n คอลัมน์ในเมทริกซ์ เสมอในเมทริกซ์เดียว
การดำเนินงานเมทริกซ์
ให้ aij เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A และ bij เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ B
การดำเนินการเชิงเส้น:
การคูณเมทริกซ์ A ด้วยจำนวน λ (สัญกรณ์: λA) ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ B องค์ประกอบที่ได้มาจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ด้วยตัวเลขนี้ กล่าวคือ องค์ประกอบของเมทริกซ์ B แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ
การบวกเมทริกซ์ A + B คือการดำเนินการหาเมทริกซ์ C ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A และ B นั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ C เท่ากับ
การลบเมทริกซ์ A - B ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันกับการบวก มันคือการดำเนินการค้นหาเมทริกซ์ C ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่
อนุญาตให้บวกและลบได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
มีเมทริกซ์ศูนย์ Θ ซึ่งการบวกเข้ากับเมทริกซ์ A อื่นจะไม่เปลี่ยน A นั่นคือ
องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ศูนย์มีค่าเท่ากับศูนย์
การดำเนินการที่ไม่ใช่เชิงเส้น:
การคูณเมทริกซ์ (สัญกรณ์: AB น้อยกว่าที่มีเครื่องหมายคูณ) คือการคำนวณเมทริกซ์ C ซึ่งองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของปัจจัยแรกและคอลัมน์ของ ที่สอง Cj = ∑ aikbkj k
ปัจจัยแรกควรมีคอลัมน์มากเท่ากับแถวในคอลัมน์ที่สอง หากเมทริกซ์ A มีมิติ B - ดังนั้นมิติของผลิตภัณฑ์ AB = C คือ การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน
การคูณเมทริกซ์เป็นแบบเชื่อมโยง เฉพาะเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นที่สามารถยกกำลังได้
เมทริกซ์ทรานสโพส (สัญลักษณ์: AT) - การดำเนินการที่สะท้อนเมทริกซ์เทียบกับเส้นทแยงมุมหลักนั่นคือ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ของขนาด AT จะเป็นเมทริกซ์ของขนาด
อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
ฟังก์ชันเชิงซ้อนมีรูปแบบดังนี้ F (x) = f (g (x)) เช่น เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น y = sin2x, y = ln (x2 + 2x) เป็นต้น
หากที่จุด x ฟังก์ชัน g (x) เป็นอนุพันธ์ของ g "(x) และที่จุด u = g (x) ฟังก์ชัน f (u) มีอนุพันธ์ f" (u) แสดงว่าอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันประกอบ f (g (x)) ในจุด x มีอยู่และเท่ากับ f "(u) g" (x)
อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย
ในหลายปัญหา ฟังก์ชัน y (x) ถูกกำหนดโดยปริยาย ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันด้านล่าง
เป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับการอ้างอิง y (x) ในรูปแบบที่ชัดเจน
อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ y "(x) ของฟังก์ชันโดยนัยมีดังนี้:
ก่อนอื่น คุณต้องแยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x โดยสมมติว่า y เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของ x และใช้กฎในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
แก้สมการผลลัพธ์ของอนุพันธ์ y "(x)
ลองมาดูตัวอย่างบางส่วนเพื่ออธิบาย
แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน y (x) ที่กำหนดโดยสมการ
ให้เราแยกความแตกต่างทั้งสองข้างของสมการเทียบกับตัวแปร x:
อันนำไปสู่ผลลัพธ์
กฎของลาพิทัล
กฎของโลปิตาล ให้ f-tion f (x) และ g (x) มีอยู่ใน env t-ku x0 pr-ny f 'and g' ยกเว้นความเป็นไปได้ของ t-ku x0 นี้ ให้ lim (x®Dx) = lim (x®Dx) g (x) = 0 ดังนั้น f (x) / g (x) ให้ 0/0 สำหรับ x®x0 lim (x®x0) f '(x) / g' (x) $ (4) เมื่อตรงกับขีดจำกัดอัตราส่วนของฟังก์ชัน lim (x®x0) f (x) / g (x) = lim (x ®x0) f '(x) / g' (x) (5)
44
.1. (เกณฑ์สำหรับความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลา) ปล่อยให้ฟังก์ชัน 
ต่อเนื่องบน
(a, b) และมีอนุพันธ์ f "(x) ในแต่ละจุด แล้ว
1) f เพิ่มขึ้นใน (a, b) ถ้าหาก
2) ลดลงโดย (a, b) ถ้าหาก
2. (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลาหนึ่ง) ปล่อยให้ฟังก์ชัน 
ต่อเนื่องกันบน (a, b) และมีอนุพันธ์ f "(x) ในแต่ละจุด จากนั้น
1) ถ้า f เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดใน (a, b);
2) ถ้า f ลดลงอย่างเคร่งครัดใน (a, b)
โดยทั่วไป การสนทนาไม่เป็นความจริง อนุพันธ์ของฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดสามารถหายไปได้ อย่างไรก็ตาม เซตของจุดที่อนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์จะต้องหนาแน่นในช่วงเวลา (a, b) มันเกิดขึ้นอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น
3. (เกณฑ์สำหรับความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลา) Let และอนุพันธ์ f "(x) ถูกกำหนดทุกที่ในช่วงเวลา จากนั้น f จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในช่วงเวลา (a, b) หากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:
ผลคูณดอทของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์ เงื่อนไขให้เวกเตอร์ขนานหรือตั้งฉาก
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นผลคูณของความยาวโดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
ในทำนองเดียวกันกับใน planimetry ข้อความต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากเท่านั้น
สเกลาร์สแควร์ของเวกเตอร์ นั่นคือ ผลคูณสเกลาร์ของมันเอง เท่ากับกำลังสองของความยาว
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวและกำหนดโดยพิกัดของพวกมันสามารถคำนวณได้จากสูตร
เวกเตอร์จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อดอทโปรดัคของพวกมันเป็นศูนย์ ตัวอย่าง. สองเวกเตอร์และได้รับ เวกเตอร์เหล่านี้จะตั้งฉากถ้านิพจน์ x1x2 + y1y2 = 0 มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์คือมุมระหว่างเส้นตรงที่เวกเตอร์เหล่านี้เป็นตัวนำ มุมระหว่างเวกเตอร์ใดๆ กับเวกเตอร์ศูนย์จะถือว่าเท่ากับศูนย์ตามคำจำกัดความ หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 90 ° เวกเตอร์ดังกล่าวจะเรียกว่าตั้งฉาก มุมระหว่างเวกเตอร์จะแสดงดังนี้:
โอห์ม. สำหรับสิ่งนี้ เราขอแนะนำแนวคิดของเซ็กเมนต์ก่อน
คำจำกัดความ 1
ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ล้อมรอบด้วยจุดทั้งสองข้าง
คำจำกัดความ 2
จุดสิ้นสุดของส่วนจะเรียกว่าจุดที่ผูกไว้
เพื่อแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์ ปลายด้านหนึ่งของเซ็กเมนต์จะเรียกว่าจุดเริ่มต้น
คำจำกัดความ 3
เวกเตอร์ (ส่วนกำกับทิศทาง) จะถูกเรียกว่าส่วนที่ระบุว่าจุดขอบเขตใดคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
สัญกรณ์: \ overline (AB) - เวกเตอร์ AB เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B
มิฉะนั้น อักษรตัวเล็กหนึ่งตัว: \ overline (a) (รูปที่ 1)
คำจำกัดความ 4
จุดใดก็ตามที่เป็นของระนาบจะเรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์
การกำหนด: \ overline (0)
ตอนนี้เราแนะนำนิยามของเวกเตอร์คอลลิเนียร์โดยตรง
เราจะแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ dot ซึ่งเราต้องการในภายหลัง
คำจำกัดความ 6
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวคือสเกลาร์ (หรือตัวเลข) ที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ทั้งสองนี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
ในทางคณิตศาสตร์อาจมีลักษณะดังนี้:
\ overline (α) \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos∠ (\ overline (α), \ overline (β))
นอกจากนี้ยังสามารถหา dot product ได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ดังนี้
\ โอเวอร์ไลน์ (α) \ โอเวอร์ไลน์ (β) = α_1 β_1 + α_2 β_2 + α_3 β_3
เครื่องหมายตั้งฉากผ่านสัดส่วน
ทฤษฎีบท 1
เพื่อให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากซึ่งกันและกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์
การพิสูจน์.
ความจำเป็น: ให้เราได้รับเวกเตอร์ \ overline (α) และ \ overline (β) ซึ่งมีพิกัด (α_1, α_2, α_3) และ (β_1, β_2, β_3) ตามลำดับและตั้งฉากกัน จากนั้นเราต้องพิสูจน์ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้
เนื่องจากเวกเตอร์ \ overline (α) และ \ overline (β) ตั้งฉากกัน มุมระหว่างพวกมันคือ 90 ^ 0 ค้นหาผลคูณดอทของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรจากนิยาม 6
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos90 ^ \ circ = | \ overline (α) || \ overline (β) | \ cdot 0 = 0
พอเพียง : ให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง \ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 0... ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ \ overline (α) และ \ overline (β) จะตั้งฉากกัน
ตามนิยาม 6 ความเท่าเทียมกัน
| \ overline (α) || \ overline (β) | cos∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0
Cos∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0
∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 90 ^ \ circ
ดังนั้นเวกเตอร์ \ overline (α) และ \ overline (β) จะตั้งฉากกัน
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างที่ 1
พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด (1, -5,2) และ (2,1,3 / 2) ตั้งฉากกัน
การพิสูจน์.
ค้นหาผลคูณดอทสำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านสูตรที่ระบุด้านบน
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac (3) (2) = 2 \ cdot 5 + 3 = 0
ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉาก
การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวผ่านผลคูณไขว้
เรามาแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันก่อน
คำจำกัดความ 7
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่กำหนด และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้กับเวกเตอร์เริ่มต้นสองตัว มีทิศทางเดียวกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
การกำหนด: \ โอเวอร์ไลน์ (α) x \ โอเวอร์ไลน์ (β) x.
ในการหาผลคูณ เราจะใช้สูตร
\ overline (α) x \ overline (β) = \ เริ่มต้น (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ end (vmatrix) x
เนื่องจากเวกเตอร์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองนี้ มันจะเป็นเวกเตอร์การค้นหา นั่นคือ ในการหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว คุณแค่ต้องหาผลคูณของพวกมัน
ตัวอย่าง 2
ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีพิกัด \ overline (α) = (1,2,3) และ \ overline (β) = (- 1,0,3)
หาผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้
\ overline (α) x \ overline (β) = \ begin (vmatrix) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \ end (vmatrix) = (6- 0) \ overline (i) - (3 + 3) \ overline (j) + (0 + 2) \ overline (k) = 6 \ overline (i) -6 \ overline (j) ) +2 \ overline (k) = (6,6,2) x
คำแนะนำ
หากเวกเตอร์เดิมแสดงในภาพวาดในระบบพิกัดสองมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและต้องสร้างแนวตั้งฉากกับมันในที่เดียวกัน ให้ดำเนินการต่อจากคำจำกัดความของความตั้งฉากของเวกเตอร์บนระนาบ มันระบุว่ามุมระหว่างส่วนของเส้นตรงคู่นั้นจะต้องเป็น 90 ° เวกเตอร์ดังกล่าวสามารถเป็นอนันต์ได้ ดังนั้นวาดในใดๆ ทำเลสะดวกระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิม, วางส่วนไว้บนนั้น เท่ากับความยาวให้จุดคู่ที่ได้รับคำสั่งและกำหนดให้ปลายด้านหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตั้งฉาก ทำเช่นนี้กับไม้โปรแทรกเตอร์และไม้บรรทัด
หากเวกเตอร์ดั้งเดิมถูกกำหนดโดยพิกัดสองมิติ ā = (X₁; Y₁) ให้ดำเนินการจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณของสเกลาร์ของเวกเตอร์ตั้งฉากคู่ควรเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องเลือกเวกเตอร์ที่ต้องการ ō = (X₂, Y₂) พิกัดดังกล่าวที่จะบรรลุความเท่าเทียมกัน (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0 ซึ่งสามารถทำได้ดังนี้: เลือกค่าที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับพิกัด X₂ และคำนวณพิกัด Y₂ โดยใช้สูตร Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (15; 5) จะมีเวกเตอร์ ō โดยมี abscissa เท่ากับหนึ่งและพิกัดเท่ากับ - (15 * 1) / 5 = -3, i.e. o = (1; -3).
สำหรับระบบพิกัดสามมิติและระบบพิกัดฉากอื่นๆ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเหมือนกันสำหรับเวกเตอร์ที่จะตั้งฉากนั้นเป็นจริง - ผลคูณของสเกลาร์จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากกำหนดส่วนทิศทางเดิมโดยพิกัด ā = (X₁, Y₁, Z₁) ให้เลือกจุดคู่ที่เรียงลำดับ ō = (X₂, Y₂, Z₂) โดยเงื่อนไข (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0 วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนด X₂ และ Y₂ เป็นค่าเดียว และคำนวณ Z₂ จากค่าความเท่าเทียมกันแบบย่อ Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ + Y₁) / Z₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (3,5,4) จะใช้รูปแบบต่อไปนี้: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0 จากนั้นให้นำ abscissa และ ordinate ของ เวกเตอร์ตั้งฉากเป็นหน่วย และในกรณีนี้ มันจะเป็น - (3 + 5) / 4 = -2
ที่มา:
- หาเวกเตอร์ถ้ามันตั้งฉาก
ตั้งฉากเรียกว่า เวกเตอร์, มุมระหว่างซึ่งคือ90º. เวกเตอร์ตั้งฉากถูกวาดโดยใช้เครื่องมือวาดภาพ หากคุณทราบพิกัดของพวกมัน คุณสามารถตรวจสอบหรือค้นหาความตั้งฉากของเวกเตอร์ได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์
คุณจะต้องการ
- - ไม้โปรแทรกเตอร์;
- - วงเวียน;
- - ไม้บรรทัด.
คำแนะนำ
ตั้งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ วาดวงกลมที่มีรัศมีตามอำเภอใจ จากนั้นวาดสองจุดด้วยจุดศูนย์กลางที่จุดที่วงกลมแรกข้ามเส้นที่เวกเตอร์อยู่ รัศมีของวงกลมเหล่านี้ต้องเท่ากันและมากกว่าวงกลมที่สร้างขึ้นครั้งแรก ที่จุดตัดของวงกลม ให้ลากเส้นที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์เดิมที่จุดกำเนิด แล้ววางเวกเตอร์ตั้งฉากกับจุดที่กำหนด
ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับปริมาตรที่มีพิกัดและเท่ากับ (x; y) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาคู่ของตัวเลข (x1; y1) ที่จะเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน x x1 + y y1 = 0 ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x1; y1) จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีพิกัด (x; y)
บทความนี้จะเปิดเผยความหมายของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในพื้นที่สามมิติ และการหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์คู่หนึ่งหรือทั้งคู่ หัวข้อนี้ใช้สำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการของเส้นและระนาบ
เราจะพิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว แก้มันโดยวิธีการหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด สัมผัสสถานการณ์เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว
Yandex.RTB R-A-339285-1
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉาก
ลองใช้กฎเกี่ยวกับเวกเตอร์ตั้งฉากในระนาบและในปริภูมิสามมิติกัน
คำจำกัดความ 1
โดยให้ค่าของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเท่ากับ 90 ° (π 2 เรเดียน) เรียกว่า ตั้งฉาก.
สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร และในสถานการณ์ใดบ้างที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับความตั้งฉากของมัน
การสร้างเส้นตั้งฉากทำได้โดยการวาด เมื่อพล็อตเวกเตอร์บนระนาบจาก กำหนดคะแนนคุณสามารถวัดมุมระหว่างพวกมันได้ในเชิงเรขาคณิต ความตั้งฉากของเวกเตอร์ แม้ว่าจะถูกสร้างขึ้นแล้วก็ตาม ก็ยังไม่ถูกต้องทั้งหมด โดยส่วนใหญ่ งานเหล่านี้ไม่อนุญาตให้คุณทำสิ่งนี้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ดังนั้น วิธีนี้จะใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ไม่มีความรู้อื่นเกี่ยวกับเวกเตอร์
กรณีส่วนใหญ่ในการพิสูจน์ความตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวในระนาบหรือในอวกาศนั้นทำได้โดยใช้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว.
ทฤษฎีบท 1
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a → และ b → เท่ากับศูนย์เพื่อให้เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน a →, b → = 0 เพียงพอสำหรับการตั้งฉากของพวกมัน
หลักฐาน 1
ให้เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก จากนั้นเราจะทำการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a ⇀, b → = 0
จากนิยามของโปร ผลคูณดอทของเวกเตอร์เรารู้ว่ามันเท่ากับ ผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ตามเงื่อนไข a → และ b → ตั้งฉาก ดังนั้น ตามคำจำกัดความ มุมระหว่างพวกมันคือ 90 ° จากนั้นเราจะได้ a →, b → = a → b → cos (a →, b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0
ส่วนที่สองของการพิสูจน์
ให้เมื่อ ⇀, b → = 0 พิสูจน์ความตั้งฉากของ a → และ b →
อันที่จริงการพิสูจน์นั้นตรงกันข้ามกับข้อก่อนหน้า เป็นที่ทราบกันว่า a → และ b → ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น จากความเท่าเทียมกัน a ⇀, b → = a → b → cos (a →, b →) ^ เราพบโคไซน์ จากนั้นเราจะได้ cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → b → = 0 a → b → = 0 เนื่องจากโคไซน์เป็นศูนย์ เราสามารถสรุปได้ว่ามุม a →, b → ^ ของเวกเตอร์ a → และ b → คือ 90 ° ตามคำจำกัดความ นี่เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นและเพียงพอ
สภาพตั้งฉากบนระนาบพิกัด
บท จุดสินค้าในพิกัดแสดงให้เห็นถึงความไม่เท่าเทียมกัน (a →, b →) = ax bx + ay โดย ซึ่งใช้ได้สำหรับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (ขวาน, ay) และ b → = (bx, โดย) บนระนาบและ (a →, b → ) = axe bx + ay โดย สำหรับเวกเตอร์ a → = (ax, ay, az) และ b → = (bx, by, bz) ในอวกาศ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในระนาบพิกัดมีรูปแบบ a x b x + a y b y = 0 สำหรับพื้นที่สามมิติ a x b x + a y b y + a z b z = 0
ลองนำไปใช้ในทางปฏิบัติและพิจารณาจากตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
ตรวจสอบคุณสมบัติตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4)
สารละลาย
เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องค้นหาดอทโปรดัค ถ้าตามเงื่อนไข มันจะเท่ากับศูนย์ มันก็จะตั้งฉาก
(a →, b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 เป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉากบนระนาบ
ตอบ:ใช่ เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก
ตัวอย่าง 2
พิกัดเวกเตอร์ i →, j →, k → ได้รับ ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → สามารถตั้งฉากได้หรือไม่
สารละลาย
เพื่อที่จะจำวิธีการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องอ่านบทความเกี่ยวกับ พิกัดเวกเตอร์ใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด.ดังนั้นเราจึงได้รับว่าเวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → มีพิกัดที่สอดคล้องกัน (1, - 1, 0) และ (1, 2, 2) แทนที่ค่าตัวเลขและรับ: i → + 2 j → + 2 k →, i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1
นิพจน์ไม่เท่ากับศูนย์ (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ตั้งฉากเพราะไม่ตรงตามเงื่อนไข
ตอบ:ไม่ เวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ตั้งฉาก
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดเวกเตอร์ a → = (1, 0, - 2) และ b → = (λ, 5, 1) จงหาค่าของ λ ที่เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉาก
สารละลาย
เราใช้เงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในช่องว่างใน ทรงสี่เหลี่ยมแล้วเราจะได้
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
ตอบ:เวกเตอร์ตั้งฉากที่ λ = 2
มีหลายกรณีที่คำถามเกี่ยวกับความตั้งฉากเป็นไปไม่ได้แม้จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ จากข้อมูลที่ทราบในสามด้านของสามเหลี่ยมบนเวกเตอร์สองตัว จึงสามารถหาได้ มุมระหว่างเวกเตอร์และตรวจสอบออก
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดสามเหลี่ยม A B C ที่มีด้าน A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. ตรวจสอบเวกเตอร์ A B → และ A C → สำหรับความตั้งฉาก
สารละลาย
หากเวกเตอร์ A B → และ A C → ตั้งฉาก สามเหลี่ยม A B C จะถือเป็นสี่เหลี่ยม จากนั้นเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยที่ BC คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกัน B C 2 = A B 2 + A C 2 จะต้องเป็นจริง ตามด้วย 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ซึ่งหมายความว่า A B และ A C เป็นขาของสามเหลี่ยม A B C ดังนั้น A B → และ A C → จึงตั้งฉาก
สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพิกัดที่กำหนด สิ่งนี้เป็นไปได้ทั้งบนระนาบและในอวกาศ โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกัน
หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับอันที่กำหนดในระนาบ
เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → สามารถมีจำนวนเวกเตอร์ตั้งฉากบนระนาบได้ไม่จำกัด เราจะพรรณนาสิ่งนี้บนเส้นพิกัด
เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → ถูกกำหนดโดยอยู่บนเส้นตรง a จากนั้น b → ที่กำหนดซึ่งอยู่บนเส้นตรงใดๆ ที่ตั้งฉากกับเส้นตรง a จะกลายเป็นแนวตั้งฉากและ a → หากเวกเตอร์ i → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ j → หรือเวกเตอร์ใดๆ λ j → สำหรับ λ เท่ากับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้หาพิกัดของเวกเตอร์ b → ตั้งฉากกับ a → = (ขวาน, ay) ลดเหลือชุดโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่จำเป็นต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a → = (a x, a y) สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขของเวกเตอร์ตั้งฉากในรูปแบบต่อไปนี้ a x b x + a y b y = 0 เรามี b x และ b y ซึ่งเป็นพิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ตั้งฉาก เมื่อ a x ≠ 0 ค่าของ b y ไม่เป็นศูนย์ และ b x คำนวณจากอสมการ a x b x + a y b y = 0 ⇔ b x = - a y b y a x สำหรับ a x = 0 และ a y ≠ 0 ให้กำหนดค่า b x ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และหา b y จากนิพจน์ b y = - a x b x a y
ตัวอย่างที่ 5
ให้เวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 2, 2) หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับค่าที่กำหนด
สารละลาย
ให้แทนเวกเตอร์ที่ต้องการเป็น b → (b x, b y) พิกัดหาได้จากเงื่อนไขความตั้งฉากของเวกเตอร์ a → และ b → จากนั้นเราจะได้: (a →, b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 กำหนด b y = 1 และแทนที่: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 ดังนั้น จากสูตร เราได้ b x = - 2 - 2 = 1 2 ดังนั้น เวกเตอร์ b → = (1 2, 1) จึงเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a →
ตอบ: b → = (1 2, 1) .
หากมีคำถามเกี่ยวกับพื้นที่สามมิติ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขตามหลักการเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x, a y, a z) จะมีเซตอนันต์ของเวกเตอร์ตั้งฉาก แก้ไขสิ่งนี้กับระนาบพิกัด 3 มิติ ให้ a → นอนอยู่บนเส้น a. ระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง a แทนด้วย α ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ b → จากระนาบ α จะตั้งฉากกับ a →
จำเป็นต้องหาพิกัด b → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → = (a x, a y, a z)
ให้ b → กำหนดพิกัด b x, b y และ b z ในการหาพวกมัน จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของเงื่อนไขความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว ความเท่าเทียมกัน a x b x + a y b y + a z b z = 0 ต้องคงไว้ จากเงื่อนไข a → - ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าหนึ่งในพิกัดมีค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า a x ≠ 0, (a y ≠ 0 หรือ a z ≠ 0) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์หารด้วยพิกัดนี้ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด a x b x + a y b y + a z b z = 0 เราได้รับนิพจน์ b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x เรากำหนดค่าใด ๆ ให้กับพิกัด b y และ b x คำนวณค่าของ b x ตามสูตร b x = - a y b y + a z b z a x เวกเตอร์ตั้งฉากที่ต้องการจะมีค่า a → = (a x, a y, a z)
มาดูตัวอย่างการพิสูจน์กัน
ตัวอย่างที่ 6
ให้เวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (1, 2, 3) หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด
สารละลาย
เราแสดงถึงเวกเตอร์ที่ต้องการโดย b → = (b x, b y, b z) ตามเงื่อนไขที่เวกเตอร์ตั้งฉาก ดอทโปรดัคต้องเท่ากับศูนย์
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
ถ้าค่า b y = 1, b z = 1 แล้ว b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5 ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ b → (- 5, 1, 1) เวกเตอร์ b → เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด
ตอบ: b → = (- 5, 1, 1).
การหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว
เราต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ มันตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์ a → (a x, a y, a z) และ b → = (b x, b y, b z) โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นแบบ collinear ก็เพียงพอแล้วที่จะหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a → หรือ b → ในปัญหา
เมื่อแก้สมการจะใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์
ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของ vectors a → และ b → เรียกเวกเตอร์ในแนวตั้งฉากกับทั้ง a → และ b → พร้อมกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ ใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ a → × b → สำหรับพื้นที่สามมิติมีรูปแบบ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
มาดูผลคูณกันโดยใช้ตัวอย่างของปัญหากันดีกว่า
ตัวอย่าง 7
เวกเตอร์ b → = (0, 2, 3) และ a → = (2, 1, 0) จะได้รับ ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับข้อมูลพร้อมกัน
สารละลาย
ในการแก้ คุณต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ (จำเป็นต้องอ้างอิงถึงรายการ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เพื่อหาเวกเตอร์) เราได้รับ:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 ผม → + (- 6) j → + 4 k →
ตอบ: (3 , - 6 , 4) - พิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a → และ b → ที่กำหนดพร้อมกัน
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter