สมการกำลังสองและรูปแบบของมัน การแก้สมการกำลังสองโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

พิมพ์สมการ

การแสดงออก ดี= ข 2 - 4acเรียกว่า เลือกปฏิบัติสมการกำลังสอง. ถ้าดี = 0 จากนั้นสมการจะมีหนึ่งรูตจริง ถ้าD> 0 แล้วสมการจะมีรากจริงสองราก
ในกรณีที่เมื่อ ดี = 0 , บางครั้งก็บอกว่า สมการกำลังสองมีสองรากที่เหมือนกัน
การใช้สัญกรณ์ ดี= ข 2 - 4ac, สูตร (2) สามารถเขียนใหม่เป็น

ถ้า ข= 2 kจากนั้นสูตร (2) ใช้แบบฟอร์ม:

ที่ไหน k= ข / 2 .
สูตรสุดท้ายสะดวกเป็นพิเศษเมื่อ ข / 2 เป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ ข- เลขคู่.
ตัวอย่างที่ 1:แก้สมการ 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . ที่นี่ a=2, b=-5, c=2. เรามี ดี= ข 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . เพราะ ดี > 0 แล้วสมการจะมีรากที่สอง หาได้จากสูตร (2)

ดังนั้น x 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
นั่นคือ x 1 = 2 และ x 2 = 1 / 2 - ราก สมการที่กำหนด.
ตัวอย่างที่ 2:แก้สมการ 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . ที่นี่ a=2, b=-3, c=5. ค้นหาการเลือกปฏิบัติ ดี= ข 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . เพราะ ดี 0 แล้วสมการก็ไม่มีรากที่แท้จริง

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์ ถ้าอยู่ในสมการกำลังสอง ขวาน 2 +bx+ค =0 ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง ขหรือสมาชิกฟรี คเท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจึงเรียกว่า ไม่สมบูรณ์. สมการที่ไม่สมบูรณ์นั้นมีความโดดเด่นเนื่องจากในการหารากของพวกมัน คุณไม่สามารถใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองได้ - การแก้สมการนั้นง่ายกว่าโดยการแยกตัวประกอบด้านซ้ายเป็นตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1:แก้สมการ 2 x 2 - 5 x = 0 .
เรามี x(2 x - 5) = 0 . ดังนั้น x = 0 , หรือ 2 x - 5 = 0 , นั่นคือ x = 2.5 . ดังนั้นสมการจึงมีรากที่สอง: 0 และ 2.5
ตัวอย่างที่ 2:แก้สมการ 3 x 2 - 27 = 0 .
เรามี 3 x 2 = 27 . ดังนั้นรากของสมการนี้คือ 3 และ -3 .

ทฤษฎีบทของเวียตา ถ้าสมการกำลังสองที่ให้มา x 2 +px+ q =0 มีรากจริง ผลรวมจะเท่ากับ - พี, และสินค้าคือ q, นั่นคือ

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(ผลรวมของรากของสมการกำลังสองที่ให้มานั้นเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง หารด้วยเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากจะเท่ากับเทอมว่าง)

หัวข้อนี้อาจดูยากในตอนแรกเนื่องจากมีจำนวนมาก สูตรง่ายๆ. สมการกำลังสองไม่เพียงแต่มีรายการยาว แต่รากยังพบผ่านการเลือกปฏิบัติ มีทั้งหมดสามสูตรใหม่ จำไม่ค่อยได้. สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น จากนั้นสูตรทั้งหมดจะถูกจดจำด้วยตัวเอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่มีการเสนอสัญกรณ์ที่ชัดเจนเมื่อเขียนระดับที่ใหญ่ที่สุดก่อนแล้วจึงเรียงลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่เงื่อนไขแตกต่างออกไป จากนั้นจะเป็นการดีกว่าที่จะเขียนสมการใหม่โดยเรียงจากมากไปหาน้อยของดีกรีของตัวแปร

เรามาแนะนำสัญกรณ์ แสดงในตารางด้านล่าง

ถ้าเรายอมรับสัญกรณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเป็นสัญกรณ์ต่อไปนี้

ยิ่งกว่านั้นสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้แทนด้วยเลขหนึ่ง

เมื่อให้สมการมา จะไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีรากกี่ตัว เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• สารละลายจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขเดียว
• สมการไม่มีรากเลย

และในขณะที่การตัดสินใจไม่สิ้นสุด เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะหลุดออกไปในบางกรณี

ประเภทของบันทึกสมการกำลังสอง

งานอาจมีพวกเขา บันทึกเบ็ดเตล็ด. พวกเขาไม่ได้ดูเหมือน สูตรทั่วไปสมการกำลังสอง. บางครั้งก็ขาดเงื่อนไขบางอย่าง สิ่งที่เขียนข้างต้นเป็นสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้บางอย่างที่แตกต่างออกไป บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

นอกจากนี้ เฉพาะเงื่อนไขที่สัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่ากรณีใดๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

ดังนั้น มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกเหนือจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นเลขสองและเลขสองสาม

การเลือกปฏิบัติและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่าของมัน

ต้องรู้ตัวเลขนี้เพื่อคำนวณรากของสมการ มันสามารถคำนวณได้เสมอ ไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นอะไรก็ตาม ในการคำนวณการเลือกปฏิบัติ คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้ว คุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณต่างๆ. ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการจะเป็นรากที่สองต่างกัน ด้วยจำนวนลบ รากของสมการกำลังสองจะหายไป ถ้าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะเป็นหนึ่ง

สมการกำลังสองสมบูรณ์แก้ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาเรื่องนี้ได้เริ่มขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องค้นหาการเลือกปฏิบัติ หลังจากที่ชี้แจงว่ามีรากของสมการกำลังสองและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองรูทคุณต้องใช้สูตรดังกล่าว

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” จึงจะมีค่าสองค่า การแสดงออกที่ลงนาม รากที่สองเป็นผู้เลือกปฏิบัติ ดังนั้นสูตรสามารถเขียนใหม่ได้ด้วยวิธีอื่น

สูตรห้า. จากบันทึกเดียวกันจะเห็นได้ว่าหาก discriminant เป็นศูนย์ รากทั้งสองก็จะรับค่าเดียวกัน

หากการแก้สมการกำลังสองยังไม่ได้ผล จะเป็นการดีกว่าที่จะเขียนค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร ภายหลังช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในตอนเริ่มต้นมีความสับสน

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ แม้จะไม่ต้องการสูตรเพิ่มเติมก็ตาม และคุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งที่เขียนไว้แล้วสำหรับการเลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จัก

ขั้นแรก ให้พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์ข้อที่สอง ในความเท่าเทียมกันนี้ ควรจะเอาค่าที่ไม่รู้จักออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เพราะมีตัวประกอบที่ประกอบด้วยตัวแปรเอง ประการที่สองได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่หมายเลขสามแก้ไขได้โดยการโอนหมายเลขจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หน้าค่านิรนาม เหลือเพียงการแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนสองครั้งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

ต่อไปนี้คือการกระทำบางอย่างที่ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกประเภทที่เปลี่ยนเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้เป็นสาเหตุของคะแนนไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อ "สมการกำลังสอง (เกรด 8)" อย่างละเอียด ต่อจากนั้น การกระทำเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างต่อเนื่อง เพราะจะมีนิสัยที่มั่นคง

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ขั้นแรก เทอมที่มีดีกรีมากที่สุดของตัวแปร และจากนั้น - ไม่มีดีกรีและตัวสุดท้าย - ก็แค่ตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏขึ้นก่อนสัมประสิทธิ์ "a" ก็อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้นได้ ดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

• ในทำนองเดียวกัน ขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วน แค่คูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 - 7x \u003d 0 ยังไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรหมายเลขสอง

หลังจากถ่ายคร่อมแล้วปรากฎว่า: x (x - 7) \u003d 0

รูทแรกรับค่า: x 1 \u003d 0 ตัวที่สองจะหาได้จากสมการเชิงเส้น: x - 7 \u003d 0 ง่ายที่จะเห็นว่า x 2 \u003d 7

สมการที่สอง: 5x2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง เท่านั้นจะแก้ไขตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรที่สาม

หลังจากโอน 30 ไปที่ ด้านขวาความเท่าเทียมกัน: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √6

สมการที่สาม: 15 - 2x - x 2 \u003d 0 ที่นี่และด้านล่าง การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มโดยการเขียนใหม่เข้าไป มุมมองมาตรฐาน: - x 2 - 2x + 15 = 0 ตอนนี้ได้เวลาใช้วินาที คำแนะนำที่เป็นประโยชน์และคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎ x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ตามสูตรที่สี่คุณต้องคำนวณการจำแนก: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. มันหมายถึง จำนวนบวก. จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการมีสองราก ต้องคำนวณตามสูตรที่ห้า ตามนั้นปรากฎว่า x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ถูกแปลงเป็นสิ่งนี้: x 2 + 3x + 8 \u003d 0 การเลือกปฏิบัติเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ คำตอบของงานนี้จึงเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติ จะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูทคือ: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6

สมการที่หก (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าคุณจำเป็นต้องนำพจน์ที่เหมือนกันมาก่อนที่จะเปิดวงเล็บ แทนที่อันแรกจะมีนิพจน์ดังกล่าว: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกัน รายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับพจน์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x \u003d 0 มันไม่สมบูรณ์ คล้ายกับได้รับการพิจารณาให้สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

เราศึกษาหัวข้อต่อไป แก้สมการ". เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการเชิงเส้นแล้ว และตอนนี้เรากำลังจะทำความคุ้นเคยกับ สมการกำลังสอง.

อันดับแรก เราจะพูดถึงว่าสมการกำลังสองคืออะไร เขียนในรูปแบบทั่วไปอย่างไร และให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกัน หลังจากนั้น เราจะใช้ตัวอย่างวิเคราะห์ในรายละเอียดว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นได้รับการแก้ไขอย่างไร มาดูวิธีแก้ปัญหากัน สมการที่สมบูรณ์เราได้รับสูตรของราก ทำความคุ้นเคยกับการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสอง และพิจารณาคำตอบของตัวอย่างทั่วไป สุดท้าย เราติดตามการเชื่อมต่อระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์

การนำทางหน้า

สมการกำลังสองคืออะไร? ประเภทของพวกเขา

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าสมการกำลังสองคืออะไร ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะเริ่มพูดถึงสมการกำลังสองด้วยคำจำกัดความของสมการกำลังสอง เช่นเดียวกับคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง หลังจากนั้น คุณสามารถพิจารณาประเภทหลักของสมการกำลังสอง: สมการกำลังสองและการลดรูป รวมถึงสมการที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

ความหมายและตัวอย่างของสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูป a x 2 +b x+c=0โดยที่ x เป็นตัวแปร a , b และ c คือตัวเลขบางตัว และ a ต่างจากศูนย์

สมมุติว่าสมการกำลังสองมักเรียกว่าสมการดีกรีที่สอง ทั้งนี้เป็นเพราะสมการกำลังสองคือ สมการพีชคณิตระดับที่สอง

คำจำกัดความที่ฟังช่วยให้เราสามารถยกตัวอย่างสมการกำลังสองได้ ดังนั้น 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, เป็นต้น เป็นสมการกำลังสอง

คำนิยาม.

ตัวเลข a , b และ c เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 และสัมประสิทธิ์ a เรียกว่าตัวแรกหรือตัวสูงหรือสัมประสิทธิ์ที่ x 2 b คือสัมประสิทธิ์ที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่ x และ c เป็นสมาชิกอิสระ

ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 โดยที่สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 5 สัมประสิทธิ์ที่สองคือ −2 และเทอมอิสระคือ −3 สังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ b และ/หรือ c เป็นลบ ดังตัวอย่างที่ให้มา ดังนั้น แบบสั้นเขียนสมการกำลังสองของรูปแบบ 5 x 2 −2 x−3=0 และไม่ใช่ 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0

เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อสัมประสิทธิ์ a และ / หรือ b เท่ากับ 1 หรือ -1 ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มักจะไม่ชัดเจนในสัญกรณ์สมการกำลังสอง ซึ่งเกิดจากลักษณะเฉพาะของสัญกรณ์ดังกล่าว . ตัวอย่างเช่น ในสมการกำลังสอง y 2 −y+3=0 สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และสัมประสิทธิ์ที่ y คือ -1

สมการกำลังสองลดและไม่ลด

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์นำ สมการกำลังสองลดและไม่ลดจะแตกต่างกัน ให้เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 เรียกว่า สมการกำลังสองลดลง. มิฉะนั้น สมการกำลังสองคือ ไม่ลดลง.

ตาม นิยามนี้, สมการกำลังสอง x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, เป็นต้น - ลดลงในแต่ละของพวกเขาสัมประสิทธิ์แรก เท่ากับหนึ่ง. และ 5 x 2 −x−1=0 เป็นต้น - สมการกำลังสองแบบไม่ลดทอน ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าจะแตกต่างจาก 1 .

จากสมการกำลังสองที่ไม่ลดรูปใดๆ โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า คุณสามารถไปที่ส่วนที่ลดแล้วได้ การกระทำนี้เป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน กล่าวคือ สมการกำลังสองลดรูปที่ได้รับในลักษณะนี้มีรากเดียวกันกับสมการกำลังสองแบบไม่ลดค่าดั้งเดิม หรือไม่มีรากในลักษณะนี้

ลองมาดูตัวอย่างว่าการเปลี่ยนจากสมการกำลังสองแบบไม่ลดทอนเป็นสมการกำลังสองนั้นทำอย่างไร

ตัวอย่าง.

จากสมการ 3 x 2 +12 x−7=0 ไปที่สมการกำลังสองลดค่าที่สอดคล้องกัน

วิธีการแก้.

หารทั้งสองส่วนของสมการเดิมด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า 3 ก็เพียงพอแล้ว ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถดำเนินการนี้ได้ เรามี (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ซึ่งเหมือนกับ (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 เป็นต้น (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 มาจากไหน เราก็ได้สมการกำลังสองลดรูป ซึ่งเท่ากับสมการเดิม

ตอบ:

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

มีเงื่อนไข a≠0 ในนิยามของสมการกำลังสอง เงื่อนไขนี้จำเป็นเพื่อให้สมการ a x 2 +b x+c=0 เป็นกำลังสองพอดี เนื่องจาก a=0 จะกลายเป็นสมการเชิงเส้นของรูปแบบ b x+c=0 จริงๆ

สำหรับสัมประสิทธิ์ b และ c พวกมันสามารถเท่ากับศูนย์ ทั้งแยกจากกันและรวมกัน ในกรณีเหล่านี้ สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์

คำนิยาม.

สมการกำลังสอง a x 2 +b x+c=0 เรียกว่า ไม่สมบูรณ์, ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ b , c เท่ากับศูนย์

ถึงคราวของมัน

คำนิยาม.

สมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดต่างจากศูนย์

ชื่อเหล่านี้ไม่ได้รับโดยบังเอิญ สิ่งนี้จะชัดเจนจากการสนทนาต่อไปนี้

หากสัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองจะมีรูปแบบ a x 2 +0 x+c=0 และเทียบเท่ากับสมการ a x 2 +c=0 . ถ้า c=0 นั่นคือสมการกำลังสองมีรูปแบบ a x 2 +b x+0=0 จึงสามารถเขียนใหม่เป็น x 2 +b x=0 ได้ และด้วย b=0 และ c=0 เราได้สมการกำลังสอง a·x 2 =0 สมการที่ได้จะแตกต่างจากสมการกำลังสองเต็มตรงที่ด้านซ้ายมือไม่มีพจน์ที่มีตัวแปร x หรือพจน์อิสระ หรือทั้งสองอย่าง ดังนั้นชื่อของพวกเขาจึงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ดังนั้นสมการ x 2 +x+1=0 และ −2 x 2 −5 x+0,2=0 จึงเป็นตัวอย่างของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ และ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 เป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สืบเนื่องมาจากข้อความในวรรคก่อนว่า สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์สามชนิด:

• a x 2 =0 , สัมประสิทธิ์ b=0 และ c=0 สอดคล้องกับมัน;
• a x 2 +c=0 เมื่อ b=0 ;
• และ a x 2 +b x=0 เมื่อ c=0 .

ให้เราวิเคราะห์เพื่อที่จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแต่ละประเภทเหล่านี้ได้อย่างไร

ก x 2 \u003d 0

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสัมประสิทธิ์ b และ c เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ด้วยสมการของรูปแบบ a x 2 =0 สมการ a·x 2 =0 เทียบเท่ากับสมการ x 2 =0 ซึ่งได้มาจากต้นฉบับโดยการหารทั้งสองส่วนด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a เห็นได้ชัดว่ารากของสมการ x 2 \u003d 0 เป็นศูนย์ เนื่องจาก 0 2 \u003d 0 สมการนี้ไม่มีรากอื่น ๆ ซึ่งอธิบายไว้แน่นอนสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ p ใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน p 2 >0 เกิดขึ้น ซึ่งหมายความว่าสำหรับ p≠0 ความเท่าเทียมกัน p 2 =0 จะไม่เกิดขึ้น

ดังนั้นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 \u003d 0 มีรากเดียว x \u003d 0

ตัวอย่างเช่น เราให้คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −4·x 2 =0 มันเทียบเท่ากับสมการ x 2 \u003d 0, รูทเดียวของมันคือ x \u003d 0 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงมีศูนย์รูทเดียว

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ในกรณีนี้สามารถออกได้ดังนี้:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0
x=0 .

ก x 2 +c=0

ทีนี้ลองพิจารณาว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์นั้นแก้ได้อย่างไร โดยที่สัมประสิทธิ์ b เท่ากับศูนย์ และ c≠0 นั่นคือสมการของรูปแบบ a x 2 +c=0 เรารู้ว่าการถ่ายโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่งด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เช่นเดียวกับการหารสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้สมการที่เท่ากัน ดังนั้น การแปลงที่เทียบเท่ากันของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 สามารถทำได้:

• เลื่อน c ไปทางด้านขวา ซึ่งให้สมการ a x 2 =−c,
• และหารทั้งสองส่วนด้วย a เราจะได้

สมการที่ได้ทำให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากเหง้าของมันได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ a และ c ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าลบ (เช่น ถ้า a=1 และ c=2 แล้ว ) หรือค่าบวก (เช่น ถ้า a=−2 และ c=6 แล้ว ) มันไม่เท่ากับศูนย์เพราะตามเงื่อนไข c≠0 เราจะแยกวิเคราะห์กรณีและ .

ถ้า แสดงว่าสมการไม่มีราก ข้อความนี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ จากนี้ไปว่าเมื่อ ดังนั้นสำหรับจำนวน p ความเท่าเทียมกันไม่สามารถเป็นจริงได้

ถ้า แล้วสถานการณ์ที่มีรากของสมการจะต่างกัน ในกรณีนี้ หากเราจำได้ รากของสมการก็จะชัดเจนในทันที นั่นคือตัวเลข มันง่ายที่จะเดาว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของสมการเช่นกัน สมการนี้ไม่มีรากอื่น ซึ่งสามารถแสดงได้ ตัวอย่างเช่น โดยความขัดแย้ง มาทำกัน

ลองแสดงว่ารากที่เปล่งออกมาของสมการเป็น x 1 และ −x 1 สมมติว่าสมการมีราก x 2 อื่นแตกต่างจากรากที่ระบุ x 1 และ −x 1 เป็นที่ทราบกันดีว่าการแทนที่ในสมการแทนที่จะเป็น x ของรากจะทำให้สมการนั้นกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง สำหรับ x 1 และ −x 1 เรามี และสำหรับ x 2 เรามี คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขทำให้เราสามารถลบค่าความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงแบบเทอมต่อเทอมได้ ดังนั้นการลบส่วนที่สอดคล้องกันของความเท่าเทียมกันจะได้ x 1 2 − x 2 2 =0 คุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลขทำให้เราสามารถเขียนผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันเป็น (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . เรารู้ว่าผลคูณของตัวเลขสองตัวเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันที่ได้รับ x 1 −x 2 =0 และ/หรือ x 1 +x 2 =0 ซึ่งเท่ากัน x 2 =x 1 และ/หรือ x 2 = −x 1 ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้ง เนื่องจากในตอนแรกเรากล่าวว่ารากของสมการ x 2 นั้นแตกต่างจาก x 1 และ −x 1 . นี่เป็นการพิสูจน์ว่าสมการไม่มีรากอื่นนอกจาก และ

มาสรุปข้อมูลในย่อหน้านี้กัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +c=0 เทียบเท่ากับสมการ ซึ่ง

• ไม่มีรากถ้า ,
• มีสองรากและถ้า .

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a·x 2 +c=0

เริ่มจากสมการกำลังสอง 9 x 2 +7=0 กัน หลังจากย้ายพจน์ว่างไปทางด้านขวาของสมการแล้ว จะมีรูปแบบ 9·x 2 =−7 หารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย 9 เราก็มาถึง เนื่องจากได้จำนวนลบทางด้านขวา สมการนี้จึงไม่มีราก ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิม 9 x 2 +7=0 จึงไม่มีราก

ลองแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกหนึ่ง −x 2 +9=0 กัน เราโอนเก้าไปทางขวา: -x 2 \u003d -9 ตอนนี้เราหารทั้งสองส่วนด้วย -1 เราจะได้ x 2 =9 ด้านขวาประกอบด้วยจำนวนบวก ซึ่งเราสรุปได้ว่า หรือ . หลังจากที่เราเขียนคำตอบสุดท้าย: สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ −x 2 +9=0 มีสองราก x=3 หรือ x=−3

ก x 2 +ข x=0

ยังคงต้องจัดการกับคำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทสุดท้ายสำหรับ c=0 . สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ a x 2 +b x=0 ช่วยให้คุณแก้ได้ วิธีการแยกตัวประกอบ. แน่นอน เราสามารถอยู่ทางด้านซ้ายของสมการได้ ซึ่งเพียงพอที่จะเอาปัจจัยร่วม x ออกจากวงเล็บ สิ่งนี้ทำให้เราสามารถย้ายจากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ดั้งเดิมไปเป็นสมการเทียบเท่าของรูปแบบ x·(a·x+b)=0 และสมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ x=0 และ a x+b=0 อันสุดท้ายเป็นแบบเชิงเส้นและมีราก x=−b/a

ดังนั้น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ a x 2 +b x=0 มีสองราก x=0 และ x=−b/a

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ.

วิธีการแก้.

เราเอา x ออกจากวงเล็บ, นี่จะได้สมการ เทียบเท่ากับสองสมการ x=0 และ . เราแก้สมการเชิงเส้นที่ได้: , และหลังการหาร คละจำนวนบน เศษส่วนร่วม, เราพบว่า ดังนั้น รากของสมการเดิมคือ x=0 และ .

หลังจากได้รับการปฏิบัติที่จำเป็นแล้ว คำตอบของสมการดังกล่าวสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้

ตอบ:

x=0 , .

Discriminant สูตรรากของสมการกำลังสอง

ในการแก้สมการกำลังสองมีสูตรรูท มาเขียนกันเถอะ สูตรรากของสมการกำลังสอง: , ที่ไหน D=b 2 −4 a c- ที่เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสอง. โดยหลักสัญกรณ์หมายความว่า

เป็นประโยชน์ที่จะรู้ว่าได้สูตรรากมาอย่างไร และนำไปใช้ในการหารากของสมการกำลังสองได้อย่างไร มาจัดการกับเรื่องนี้กันเถอะ

ที่มาของสูตรรากของสมการกำลังสอง

ให้เราแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c=0 กัน มาทำการแปลงที่เทียบเท่ากัน:

• เราสามารถหารทั้งสองส่วนของสมการนี้ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ a ดังนั้นเราจึงได้สมการกำลังสองที่ลดลง
• ตอนนี้ เลือกสี่เหลี่ยมเต็มทางด้านซ้าย: . หลังจากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ .
• ในขั้นตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการโอนสองเทอมสุดท้ายไปทางด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้าม เรามี .
• และขอแปลงนิพจน์ทางด้านขวาด้วย: .

เป็นผลให้เรามาถึงสมการ ซึ่งเทียบเท่ากับสมการกำลังสองเดิม a·x 2 +b·x+c=0 .

เราได้แก้สมการที่คล้ายกันในรูปแบบในย่อหน้าก่อนหน้านี้เมื่อเราวิเคราะห์ ซึ่งช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับรากของสมการได้ดังต่อไปนี้

• ถ้า สมการนั้นไม่มีคำตอบจริง
• ถ้า สมการนั้นมีรูปแบบ ดังนั้น ซึ่งมองเห็นรูทเพียงอันเดียว
• ถ้า , then หรือ ซึ่งเหมือนกับ or นั่นคือ สมการมีสองราก

ดังนั้นการมีหรือไม่มีรากของสมการและด้วยเหตุนี้สมการกำลังสองดั้งเดิมจึงขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านขวา ในทางกลับกัน เครื่องหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของตัวเศษ เนื่องจากตัวส่วน 4 a 2 เป็นค่าบวกเสมอ นั่นคือ เครื่องหมายของนิพจน์ ข 2 −4 a c . นิพจน์นี้ b 2 −4 a c เรียกว่า จำแนกสมการกำลังสองและทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษร ดี. จากที่นี่ แก่นแท้ของการเลือกปฏิบัตินั้นชัดเจน - ด้วยค่าและเครื่องหมาย สรุปได้ว่าสมการกำลังสองมีรากจริงหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น หนึ่งหรือสองคือจำนวนเท่าใด

เรากลับไปที่สมการ เขียนใหม่โดยใช้สัญกรณ์ discriminant: . และเราสรุปว่า:

• ถ้าD<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ถ้า D=0 สมการนี้มีรากเดียว
• สุดท้าย ถ้า D>0 สมการจะมีรากที่สองหรือ ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ หรือ และหลังจากขยายและลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราก็จะได้

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองมา พวกมันดูเหมือน โดยที่ discriminant D คำนวณโดยสูตร D=b 2 −4 a c

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถคำนวณรากจริงของสมการกำลังสองทั้งสองได้ เมื่อ discriminant เท่ากับศูนย์ สูตรทั้งสองจะให้ค่ารากเดียวกันซึ่งสอดคล้องกับคำตอบเดียวของสมการกำลังสอง และด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ เมื่อพยายามใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง เราต้องเผชิญกับการแยกรากที่สองออกจาก จำนวนลบที่พาเราออกจากขอบเขตและ หลักสูตรโรงเรียน. ด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีคู่ คอนจูเกตที่ซับซ้อนราก ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตรรากเดียวกับที่เราได้รับ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก

ในทางปฏิบัติ เมื่อแก้สมการกำลังสอง คุณสามารถใช้สูตรรากได้ทันที เพื่อคำนวณค่าของพวกมัน แต่นี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับการค้นหารากที่ซับซ้อนมากกว่า

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรามักจะไม่พูดถึงความซับซ้อน แต่เกี่ยวกับรากที่แท้จริงของสมการกำลังสอง ในกรณีนี้ แนะนำให้หา discriminant ก่อนใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่เป็นลบ (ไม่เช่นนั้น เราจะสรุปได้ว่าสมการไม่มีรากจริง) และหลังจากนั้น คำนวณค่าของราก

เหตุผลข้างต้นทำให้เราเขียนได้ อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง. ในการแก้สมการกำลังสอง a x 2 + b x + c \u003d 0 คุณต้อง:

• ใช้สูตรแยกแยะ D=b 2 −4 a c คำนวณค่าของมัน
• สรุปได้ว่าสมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงหากการจำแนกเป็นลบ
• คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร if D=0 ;
• หารากจริงสองรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรราก ถ้า discriminant เป็นค่าบวก

ที่นี่เราทราบเพียงว่าถ้า discriminant เท่ากับศูนย์ สามารถใช้สูตรได้ ก็จะให้ค่าเดียวกับ .

คุณสามารถไปยังตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมในการแก้สมการกำลังสองได้

ตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสอง

พิจารณาคำตอบของสมการกำลังสองสามสมการที่มีการแบ่งแยกทางบวก ลบ และศูนย์ เมื่อจัดการกับคำตอบแล้ว โดยการเปรียบเทียบจะเป็นไปได้ที่จะแก้สมการกำลังสองอื่นๆ เริ่มกันเลย.

ตัวอย่าง.

หารากของสมการ x 2 +2 x−6=0 .

วิธีการแก้.

ในกรณีนี้ เรามีสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองดังต่อไปนี้: a=1 , b=2 และ c=−6 . ตามอัลกอริทึมคุณต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติก่อนสำหรับสิ่งนี้เราแทนที่ a, b และ c ที่ระบุลงในสูตรการเลือกปฏิบัติที่เรามี D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. ตั้งแต่ 28>0 นั่นคือการเลือกปฏิบัติ เหนือศูนย์แล้วสมการกำลังสองมีรากจริงสองราก ลองหามันด้วยสูตรของรูต เราได้รับ ที่นี่เราสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ได้รับโดยการทำ แยกเครื่องหมายของรากออกตามด้วยการลดเศษส่วน:

ตอบ:

ไปที่ตัวอย่างทั่วไปต่อไป

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง −4 x 2 +28 x−49=0 .

วิธีการแก้.

เราเริ่มต้นด้วยการค้นหาการเลือกปฏิบัติ: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากเดียว ซึ่งเราพบว่า นั่นคือ

ตอบ:

x=3.5 .

ยังคงต้องพิจารณาการแก้สมการกำลังสองด้วยการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

ตัวอย่าง.

แก้สมการ 5 y 2 +6 y+2=0 .

วิธีการแก้.

นี่คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง: a=5 , b=6 และ c=2 . แทนค่าเหล่านี้ในสูตรจำแนกเรามี D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง

หากคุณต้องการระบุรากที่ซับซ้อน เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับรากของสมการกำลังสองและดำเนินการ การกระทำกับ ตัวเลขเชิงซ้อน :

ตอบ:

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อนคือ: .

อีกครั้ง เราสังเกตว่าถ้าการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองเป็นค่าลบ โรงเรียนมักจะเขียนคำตอบทันที ซึ่งระบุว่าไม่มีรากที่แท้จริง และไม่พบรากที่ซับซ้อน

สูตรรากสำหรับสัมประสิทธิ์เลขคู่

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง โดยที่ D=b 2 −4 a c ช่วยให้คุณได้สูตรที่กะทัดรัดยิ่งขึ้น ซึ่งช่วยให้คุณแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์คู่ที่ x (หรือเพียงแค่ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ดูเหมือน 2 n ตัวอย่างเช่น หรือ 14 ln5=2 7 ln5 ) พาเธอออกไปกันเถอะ

สมมติว่าเราต้องแก้สมการกำลังสองของรูปแบบ a x 2 +2 n x + c=0 . ลองหารากของมันโดยใช้สูตรที่เรารู้จัก การทำเช่นนี้เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)จากนั้นเราใช้สูตรรูท:

ระบุนิพจน์ n 2 −a c เป็น D 1 (บางครั้งก็แสดงว่า D ") จากนั้นสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองที่พิจารณาด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n จะอยู่ในรูปแบบ โดยที่ D 1 =n 2 −a c

ง่ายที่จะเห็นว่า D=4·D 1 , หรือ D 1 =D/4 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง D 1 เป็นส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องหมายของ D 1 เหมือนกับเครื่องหมายของ D นั่นคือเครื่องหมาย D 1 ยังเป็นตัวบ่งชี้ว่ามีหรือไม่มีรากของสมการกำลังสอง

ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ที่สอง 2 n คุณต้องการ

• คำนวณ D 1 =n 2 −a·c ;
• ถ้า D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ถ้า D 1 =0 ให้คำนวณรากเดียวของสมการโดยใช้สูตร
• ถ้า D 1 >0 ให้หารากจริงสองตัวโดยใช้สูตร

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างโดยใช้สูตรรูทที่ได้รับในย่อหน้านี้

ตัวอย่าง.

แก้สมการกำลังสอง 5 x 2 −6 x−32=0 .

วิธีการแก้.

สัมประสิทธิ์ที่สองของสมการนี้สามารถแสดงเป็น 2·(−3) นั่นคือคุณสามารถเขียนสมการกำลังสองดั้งเดิมในรูปแบบ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 ที่นี่ a=5 , n=−3 และ c=−32 และคำนวณส่วนที่สี่ของ เลือกปฏิบัติ: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. เนื่องจากค่าของมันเป็นบวก สมการจึงมีรากจริงสองราก เราพบพวกเขาโดยใช้สูตรรูทที่เกี่ยวข้อง:

โปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่จะใช้สูตรปกติสำหรับรากของสมการกำลังสอง แต่ในกรณีนี้ จะต้องทำการคำนวณเพิ่มเติม

ตอบ:

การลดความซับซ้อนของรูปสมการกำลังสอง

บางครั้ง ก่อนเริ่มคำนวณรากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตร การถามคำถามว่า “เป็นไปได้ไหมที่จะลดรูปของสมการนี้”? ยอมรับว่าในแง่ของการคำนวณจะง่ายกว่าในการแก้สมการกำลังสอง 11 x 2 −4 x −6=0 มากกว่า 1100 x 2 −400 x−600=0 .

โดยปกติ การลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการกำลังสองทำได้โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างของมันด้วยจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราจัดการเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น 1100 x 2 −400 x −600=0 โดยหารทั้งสองข้างด้วย 100

การแปลงที่คล้ายกันนั้นดำเนินการด้วยสมการกำลังสองซึ่งไม่มีสัมประสิทธิ์ เป็นเรื่องปกติที่จะหารสมการทั้งสองข้างด้วย ค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ของมัน ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการกำลังสอง 12 x 2 −42 x+48=0 ค่าสัมบูรณ์ของสัมประสิทธิ์: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . หารทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองเดิมด้วย 6 เรามาถึงสมการกำลังสองที่เท่ากัน 2 x 2 −7 x+8=0 .

และการคูณของทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองมักจะทำเพื่อกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วน ในกรณีนี้ การคูณจะดำเนินการกับตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ ตัวอย่างเช่น หากทั้งสองส่วนของสมการกำลังสองถูกคูณด้วย LCM(6, 3, 1)=6 มันก็จะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า x 2 +4 x−18=0 .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราสังเกตว่าเกือบทุกครั้งจะกำจัดเครื่องหมายลบที่สัมประสิทธิ์นำหน้าของสมการกำลังสองโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองส่วนด้วย -1 ตัวอย่างเช่น โดยปกติจากสมการกำลังสอง −2·x 2 −3·x+7=0 ไปที่คำตอบ 2·x 2 +3·x−7=0 .

ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองแสดงรากของสมการในแง่ของสัมประสิทธิ์ ตามสูตรของราก คุณสามารถรับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและค่าสัมประสิทธิ์ได้

สูตรที่เป็นที่รู้จักและใช้ได้ดีที่สุดจากทฤษฎีบทเวียตาของแบบฟอร์มและ . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสมการกำลังสองที่ให้มา ผลรวมของรากจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงข้าม และผลิตภัณฑ์ของรากคือเทอมอิสระ ตัวอย่างเช่น โดยรูปแบบของสมการกำลังสอง 3 x 2 −7 x+22=0 เราสามารถพูดได้ทันทีว่าผลรวมของรากของมันคือ 7/3 และผลิตภัณฑ์ของรากคือ 22/3

การใช้สูตรที่เขียนไว้แล้ว คุณจะได้รับความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแสดงผลรวมของกำลังสองของรากของสมการกำลังสองในรูปของสัมประสิทธิ์: .

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ. จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 ตำรานักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ. จี. มอร์ดโควิช. - ค.ศ. 11 ลบ. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ไอ 978-5-346-01155-2

สมการกำลังสอง ข้อมูลทั่วไป.

ที่ สมการกำลังสองต้องมี x อยู่ในช่องสี่เหลี่ยม (จึงเรียกว่า

"สี่เหลี่ยม"). นอกจากนั้น ในสมการอาจจะมี (หรือไม่มีก็ได้!) แค่ x (ถึงระดับแรก) และ

แค่ตัวเลข (สมาชิกฟรี). และไม่ควรมี x ในระดับที่มากกว่าสอง

สมการพีชคณิตของรูปแบบทั่วไป

ที่ไหน xเป็นตัวแปรอิสระ เอ, ข, คเป็นสัมประสิทธิ์และ เอ≠0 .

ตัวอย่างเช่น:

การแสดงออก เรียกว่า ไตรนามสี่เหลี่ยม.

องค์ประกอบของสมการกำลังสองมี ชื่อของตัวเอง:

เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรกหรืออาวุโส

เรียกว่าตัวที่สองหรือสัมประสิทธิ์ที่

เรียกว่าเป็นสมาชิกฟรี

สมการกำลังสองสมบูรณ์

สมการกำลังสองเหล่านี้มีเทอมครบชุดอยู่ทางด้านซ้าย x กำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ ก x ยกกำลังแรกพร้อมสัมประสิทธิ์ ขและ ฟรี สมาชิกกับ. ที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด

ต้องแตกต่างจากศูนย์

ไม่สมบูรณ์เป็นสมการกำลังสองซึ่งมีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัว ยกเว้น

อาวุโส (สัมประสิทธิ์ที่สองหรือระยะอิสระ) เท่ากับศูนย์

มาแสร้งทำเป็นว่า ข\u003d 0 - x จะหายไปในระดับแรก ปรากฎเช่น:

2x 2 -6x=0,

เป็นต้น และถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยิ่งง่ายเข้าไปอีก ตัวอย่างเช่น:

2x 2 \u003d 0,

โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

ทำไม เอไม่สามารถเป็นศูนย์? จากนั้น x กำลังสองจะหายไปและสมการจะกลายเป็น เชิงเส้น .

และทำอย่างอื่น...

” นั่นคือสมการของดีกรีแรก ในบทเรียนนี้ เราจะมาสำรวจ สมการกำลังสองคืออะไรและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากดีกรีสูงสุดที่ไม่ทราบแทนคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างของสมการกำลังสอง

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" และ "c" - ตัวเลขที่กำหนด

• "a" - ค่าสัมประสิทธิ์แรกหรืออาวุโส
• "b" - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง;
• "c" เป็นสมาชิกฟรี

ในการหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c \u003d 0"

มาฝึกการกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกัน

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

สมการ	อัตราต่อรอง
a=5 ข = -14 ค = 17
ก = −7 ข = −13 ค = 8

1

3

= 0

• ก = -1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ไม่เหมือน สมการเชิงเส้นเพื่อแก้สมการกำลังสองพิเศษ สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้อง:

• นำสมการกำลังสองมาที่ ปริทัศน์"ขวาน 2 + bx + c = 0" นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อหาวิธีการใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสอง มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 - 3x - 4 = 0

สมการ "x 2 - 3x - 4 = 0" ได้ลดขนาดลงเป็นรูปแบบทั่วไปแล้ว "ax 2 + bx + c = 0" และไม่ต้องการการอธิบายเพิ่มเติม แก้ได้ต้องสมัครเท่านั้น สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

ลองกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

ด้วยความช่วยเหลือของมัน สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้

ในสูตร "x 1; 2 \u003d" นิพจน์รากมักจะถูกแทนที่
"b 2 − 4ac" กับตัวอักษร "D" และเรียกว่า discriminant แนวคิดเกี่ยวกับการเลือกปฏิบัติถูกกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทเรียน "การเลือกปฏิบัติคืออะไร"

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ ค่อนข้างยากที่จะกำหนดสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ขั้นแรกให้นำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0"

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับราก

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
คำตอบ: x = 3

มีบางครั้งที่ไม่มีรากในสมการกำลังสอง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบปรากฏในสูตรภายใต้รูท

กลับ