หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐาน (ตัวอย่างเฉพาะ)

สมการเชิงเส้นเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันถ้าระยะอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีลักษณะเป็นเนื้อเดียวกัน ระบบที่ประกอบด้วยสมการเอกพันธ์เรียกว่าเอกพันธ์และมี แบบฟอร์มทั่วไป:

เห็นได้ชัดว่าระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันทุกระบบมีความสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ดังนั้นเกี่ยวกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นเรามักจะต้องหาคำตอบสำหรับคำถามเรื่องการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถกำหนดเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท . ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของมันน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ .

การพิสูจน์: ให้เราสมมติว่าระบบที่มีอันดับเท่ากันจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ แน่นอนว่าไม่เกิน. ในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เนื่องจากระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นคำตอบที่เป็นศูนย์จะเป็นคำตอบเฉพาะนี้ ดังนั้น คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์จะทำได้เฉพาะกับ

ข้อพิสูจน์ 1 : ระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ มักจะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เสมอ

การพิสูจน์: หากระบบสมการมี อันดับของระบบจะไม่เกินจำนวนสมการ กล่าวคือ - ดังนั้นเงื่อนไขจึงเป็นที่พอใจ ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์

ข้อพิสูจน์ 2 : ระบบสมการเอกพันธ์ของสมการที่ไม่ทราบค่าจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือศูนย์เท่านั้น

การพิสูจน์: ให้เราสมมติว่าระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ซึ่งมีเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ มีวิธีแก้ปัญหาไม่เป็นศูนย์ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วและนี่หมายความว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเอกพจน์นั่นคือ -

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี: SLU จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายของระบบนี้ ระบบของคุณจะถูกเรียกว่าสอดคล้องกันหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธี

ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n เรียกว่าระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับ 0 ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก อย่างน้อยก็มีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์เสมอ ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ถ้าหากอันดับของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรน้อยกว่าจำนวนตัวแปรนั่นคือ สำหรับอันดับ A (n. ผลรวมเชิงเส้นใดๆ

โซลูชั่นระบบลิน เป็นเนื้อเดียวกัน ur-ii ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้เช่นกัน

ระบบของคำตอบอิสระเชิงเส้น e1, e2,...,еk เรียกว่าพื้นฐาน ถ้าแต่ละคำตอบของระบบคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ ทฤษฎีบท: ถ้าอันดับ r ของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นน้อยกว่าจำนวนตัวแปร n ดังนั้นทุกระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบจะประกอบด้วย ไม่มีโซลูชั่น- นั่นเป็นเหตุผล การตัดสินใจร่วมกันระบบลิน วันหนึ่ง ur-th มีรูปแบบ: c1e1+c2e2+...+skek โดยที่ e1, e2,..., ek คือระบบพื้นฐานของคำตอบใดๆ c1, c2,...,ck เป็นตัวเลขใดๆ และ k=n-r ผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n ตัวจะเท่ากับผลรวม

ของสารละลายทั่วไปของระบบที่สอดคล้องกับมันเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นและคำตอบเฉพาะของระบบนี้

7. ช่องว่างเชิงเส้น สเปซย่อย พื้นฐานมิติ เปลือกเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น n มิติถ้ามันมีระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น และระบบใดๆ ที่มีจำนวนเวกเตอร์มากกว่าก็จะขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เชิงเส้น เบอร์นั้นเรียกว่า มิติข้อมูล (จำนวนมิติ)พื้นที่เชิงเส้นและเขียนแทนด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งมิติของอวกาศคือ จำนวนสูงสุดเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นของปริภูมินี้ หากมีตัวเลขดังกล่าว ปริภูมินั้นเรียกว่ามิติจำกัด หากเพื่อใครก็ตาม จำนวนธรรมชาติ n ในอวกาศ มีระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ดังนั้นปริภูมิดังกล่าวเรียกว่าอนันต์มิติ (เขียน: ) ในสิ่งที่ตามมา เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น จะพิจารณาปริภูมิมิติจำกัด

พื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติคือชุดสะสมของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตามลำดับ ( เวกเตอร์พื้นฐาน).

ทฤษฎีบท 8.1 ว่าด้วยการขยายตัวของเวกเตอร์ในรูปของพื้นฐาน ถ้า เป็นพื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติ แล้วเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
และยิ่งไปกว่านั้นด้วยวิธีเดียวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยเฉพาะกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิสามารถขยายเป็นฐานได้ และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

แท้จริงแล้วมิติของอวกาศคือ ระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (นี่คือพื้นฐาน) หลังจากบวกเวกเตอร์ใดๆ เข้ากับฐาน เราจะได้เส้นตรง ระบบขึ้นอยู่กับ(เนื่องจากระบบนี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ของปริภูมิ n มิติ) การใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์เชิงเส้นและอิสระเชิงเส้น 7 ตัว เราได้ข้อสรุปของทฤษฎีบท

วิธีเกาส์เซียนมีข้อเสียหลายประการ: เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบว่าระบบมีความสอดคล้องกันหรือไม่ จนกว่าจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นในวิธีเกาส์เซียนทั้งหมด วิธีการของเกาส์ไม่เหมาะกับระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร

ลองพิจารณาวิธีอื่นในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการเหล่านี้ใช้แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์และลดคำตอบของระบบที่สอดคล้องกันให้เป็นคำตอบของระบบที่กฎของแครมเมอร์ใช้

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้ระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบเอกพันธ์รีดิวซ์และคำตอบเฉพาะของระบบที่ไม่เหมือนกัน

1. การสร้างเมทริกซ์ กและเมทริกซ์ระบบขยาย (1)

2. สำรวจระบบ (1) เพื่อการอยู่ร่วมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอันดับของเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) หากปรากฎว่า จากนั้นระบบ (1) เข้ากันไม่ได้ หากเราได้รับสิ่งนั้น แล้วระบบนี้ก็สอดคล้องกันและเราจะแก้ไขมัน (การศึกษาความเข้ากันได้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี)

ก. เราพบ ร.

การค้นหา รเราจะพิจารณาลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ตามลำดับของลำดับที่หนึ่ง ที่สอง ฯลฯ ของเมทริกซ์ กและผู้เยาว์ที่อยู่รายล้อมพวกเขา

ม1=1≠0 (เรานำ 1 จากมุมซ้ายบนของเมทริกซ์ ก).

เราชายแดน ม1แถวที่สองและคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์นี้ - เรายังคงชายแดน ม1บรรทัดที่สองและคอลัมน์ที่สาม..gif" width="37" height="20 src="> ตอนนี้เรากำหนดขอบเขตผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ M2'การสั่งซื้อครั้งที่สอง.

เรามี: (เนื่องจากสองคอลัมน์แรกเหมือนกัน)

(เนื่องจากบรรทัดที่สองและสามเป็นสัดส่วน)

เราเห็นสิ่งนั้น rA=2, a เป็นฐานรองของเมทริกซ์ ก.

ข. เราพบ.

ค่อนข้างพื้นฐานเล็กน้อย M2'เมทริกซ์ กล้อมรอบด้วยคอลัมน์คำศัพท์อิสระและแถวทั้งหมด (เรามีเฉพาะแถวสุดท้าย)

- มันเป็นไปตามนั้น ม3''ยังคงเป็นรองพื้นฐานของเมทริกซ์https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

เพราะ M2'- ฐานรองของเมทริกซ์ กระบบ (2) แล้วระบบนี้จะเทียบเท่ากับระบบ (3) ประกอบด้วยสมการสองตัวแรกของระบบ (2) (สำหรับ M2'อยู่ในสองแถวแรกของเมทริกซ์ A)

(3)

เนื่องจากผู้เยาว์พื้นฐานhttps://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ในระบบนี้มีสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีสองตัว ( x2 และ x4 - นั่นเป็นเหตุผล เอฟเอสอาร์ ระบบ (4) ประกอบด้วยสองโซลูชั่น เพื่อค้นหาพวกมัน เราได้มอบหมายสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีเข้ามา (4) ค่านิยมก่อน x2=1 , x4=0 และจากนั้น - x2=0 , x4=1 .

ที่ x2=1 , x4=0 เราได้รับ:

.

ระบบนี้มีอยู่แล้ว สิ่งเดียวเท่านั้น วิธีแก้ปัญหา (หาได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์หรือวิธีอื่นใด) ลบอันแรกออกจากสมการที่สองเราจะได้:

วิธีแก้ปัญหาของเธอก็คือ x1= -1 , x3=0 - เมื่อพิจารณาถึงคุณค่าต่างๆ x2 และ x4 ที่เราให้มา เราได้อันแรก วิธีแก้ปัญหาขั้นพื้นฐานระบบ (2) : .

ตอนนี้เราเชื่อแล้ว (4) x2=0 , x4=1 - เราได้รับ:

.

เราแก้ระบบนี้โดยใช้ทฤษฎีบทของแครมเมอร์:

.

เราได้รับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่สองของระบบ (2) : .

โซลูชั่น β1 , β2 และแต่งหน้า เอฟเอสอาร์ ระบบ (2) - จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะเป็นดังนี้

γ= ค1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ที่นี่ ค1 , ค2 – ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

4. มาหาอันกัน ส่วนตัว สารละลาย ระบบที่แตกต่างกัน(1) - เช่นเดียวกับในวรรค 3 แทนระบบ (1) ลองพิจารณาระบบที่เทียบเท่ากัน (5) ประกอบด้วยสมการสองตัวแรกของระบบ (1) .

(5)

ให้เราย้ายสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา x2และ x4.

(6)

มาแจกสิ่งไม่รู้ฟรีกันเถอะ x2 และ x4 ค่าที่กำหนดเองเช่น x2=2 , x4=1 และใส่มันเข้าไป (6) - มาวางระบบกันเถอะ

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ M2'0- เราได้รับการแก้ปัญหา (โดยใช้ทฤษฎีบทของแครเมอร์หรือวิธีเกาส์) x1=3 , x3=3 - เมื่อพิจารณาถึงคุณค่าของสิ่งไม่รู้ฟรี x2 และ x4 , เราได้รับ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน(1)α1=(3,2,3,1)

5. ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือจดมันลงไป วิธีแก้ปัญหาทั่วไป α ของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน(1) : มันเท่ากับผลรวม โซลูชันส่วนตัวระบบนี้และ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบเนื้อเดียวกันที่ลดลง (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ซึ่งหมายความว่า: (7)

6. การตรวจสอบ.เพื่อตรวจสอบว่าคุณได้แก้ไขระบบอย่างถูกต้องหรือไม่ (1) เราต้องการวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (7) เข้ามาแทนที่ (1) - หากแต่ละสมการกลายเป็นเอกลักษณ์ ( ค1 และ ค2 จะต้องถูกทำลาย) จึงจะพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

เราจะทดแทน (7) เช่นเฉพาะสมการสุดท้ายของระบบ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

เราได้รับ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

โดยที่ –1=–1 เราก็มีตัวตน เราทำสิ่งนี้กับสมการอื่นๆ ทั้งหมดของระบบ (1) .

ความคิดเห็นการตรวจสอบมักจะค่อนข้างยุ่งยาก สามารถแนะนำ "การตรวจสอบบางส่วน" ต่อไปนี้: ในโซลูชันทั่วไปของระบบ (1) กำหนดค่าบางอย่างให้กับค่าคงที่ตามอำเภอใจและแทนที่ผลลัพธ์บางส่วนที่ได้ลงในสมการที่ถูกละทิ้งเท่านั้น (เช่นในสมการเหล่านั้นจาก (1) ซึ่งไม่ได้รวมอยู่ใน (5) - หากคุณได้รับตัวตนแล้ว มีโอกาสมากขึ้น, โซลูชั่นระบบ (1) พบอย่างถูกต้อง (แต่การตรวจสอบดังกล่าวไม่ได้รับประกันความถูกต้องโดยสมบูรณ์!) เช่น ถ้าเข้า. (7) ใส่ C2=- 1 , ค1=1แล้วเราจะได้: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 เมื่อแทนสมการสุดท้ายของระบบ (1) เราจะได้: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 เช่น –1=–1 เราก็มีตัวตน

ตัวอย่างที่ 2หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น (1) แสดงความไม่รู้พื้นฐานในแง่ของของฟรี

สารละลาย.เช่นเดียวกับใน ตัวอย่างที่ 1เขียนเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ของเมทริกซ์เหล่านี้ ตอนนี้เราเหลือเพียงสมการของระบบเหล่านั้นเท่านั้น (1) ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์รวมอยู่ในค่ารองพื้นฐานนี้ (เช่น เรามีสมการสองสมการแรก) และพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยสมการเหล่านั้น ซึ่งเทียบเท่ากับระบบ (1)

ให้เราย้ายสิ่งที่ไม่ทราบอิสระไปทางด้านขวามือของสมการเหล่านี้

ระบบ (9) เราแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน โดยพิจารณาทางด้านขวามือเป็นเงื่อนไขอิสระ

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ตัวเลือกที่ 2

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ตัวเลือกที่ 4

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ตัวเลือกที่ 5

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ตัวเลือกที่ 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

เราจะยังคงขัดเกลาเทคโนโลยีของเราต่อไป การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นบน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
จากย่อหน้าแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและปานกลาง แต่ความประทับใจนี้กลับหลอกลวง นอกจากการพัฒนาเทคนิคเพิ่มเติมแล้ว ยังมีข้อมูลใหม่ๆ มากมาย ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากใช้เงื่อนไขอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันย่อมมีทางแก้เสมอ และก่อนอื่น สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณคือสิ่งที่เรียกว่า เล็กน้อยสารละลาย - Trivial สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลย หมายถึง ไม่โอ้อวด แน่นอนว่าไม่ใช่เชิงวิชาการ แต่อย่างชาญฉลาด =) ...ทำไมต้องทำอะไรบ้าๆ บอๆ มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาอื่นหรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: เพื่อแก้ระบบเอกพันธ์จำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นทำให้เป็นรูปแบบขั้นตอน โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของคำศัพท์อิสระ ท้ายที่สุดไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับศูนย์ พวกมันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –3

(2) บรรทัดที่สองบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1

การหารบรรทัดที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผลนัก

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันมีลักษณะเฉพาะ

คำตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: มีระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย, ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(วี ในกรณีนี้ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้ – 3 ชิ้น)

มาอุ่นเครื่องและปรับวิทยุของเราให้เข้ากับคลื่นของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

เพื่อรวมอัลกอริธึมในที่สุด มาวิเคราะห์งานสุดท้ายกัน:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบเอกพันธ์ เขียนคำตอบในรูปแบบเวกเตอร์

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

(1) ป้ายบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง ฉันดึงความสนใจไปที่เทคนิคที่พบหลายครั้งอีกครั้งซึ่งช่วยให้คุณดำเนินการต่อไปได้ง่ายขึ้นอย่างมาก

(1) เพิ่มบรรทัดแรกเข้ากับบรรทัดที่ 2 และ 3 บรรทัดแรกคูณด้วย 2 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่ 4

(3) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน โดยลบสองบรรทัดออกแล้ว

เป็นผลให้ได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนมาตรฐานและวิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปตามแทร็กที่มีปุ่ม:

– ตัวแปรพื้นฐาน
– ตัวแปรอิสระ

ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ จากสมการที่ 2:

– แทนลงในสมการที่ 1:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เนื่องจากในตัวอย่างที่พิจารณามีตัวแปรอิสระสามตัว ระบบพื้นฐานจึงมีเวกเตอร์สามตัว

ลองแทนค่าสามเท่าดู ลงในสารละลายทั่วไปและรับเวกเตอร์ที่มีพิกัดเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบเอกพันธ์ และขอย้ำอีกครั้งว่าขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบเวกเตอร์ที่ได้รับแต่ละรายการ - ใช้เวลาไม่นาน แต่จะปกป้องคุณจากข้อผิดพลาดอย่างสมบูรณ์

เพื่อคุณค่าสามประการ ค้นหาเวกเตอร์

และสุดท้ายสำหรับทั้งสามคน เราได้เวกเตอร์ที่สาม:

คำตอบ: , ที่ไหน

ผู้ที่ต้องการหลีกเลี่ยงค่าเศษส่วนอาจพิจารณาแฝดสาม และได้รับคำตอบในรูปแบบที่เทียบเท่า:

การพูดของเศษส่วน ลองดูเมทริกซ์ที่ได้รับจากปัญหา และให้เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมง่ายขึ้น? ท้ายที่สุดแล้ว อันดับแรกเราแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน จากนั้นจึงแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน และฉันต้องบอกว่ากระบวนการนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดและไม่น่าพึงพอใจที่สุด

วิธีแก้ปัญหาที่สอง:

ความคิดคือการพยายาม เลือกตัวแปรพื้นฐานอื่นๆ- ลองดูที่เมทริกซ์แล้วสังเกตสองตัวในคอลัมน์ที่สาม แล้วทำไมไม่มีศูนย์ที่ด้านบนล่ะ? ลองทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นอีกครั้งหนึ่ง:

อนุญาต ม 0 – ชุดคำตอบของระบบเอกพันธ์ (4) ของสมการเชิงเส้น

คำนิยาม 6.12เวกเตอร์ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพีซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์เรียกว่า ชุดโซลูชั่นพื้นฐาน(ตัวย่อ FNR) ถ้า

1) เวกเตอร์ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพีเป็นอิสระเชิงเส้น (เช่น ไม่มีสิ่งใดสามารถแสดงในรูปของอย่างอื่นได้)

2) คำตอบอื่นใดของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์สามารถแสดงในรูปของคำตอบได้ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพี.

โปรดทราบว่าถ้า กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพี– f.n.r. ใดๆ ตามด้วยนิพจน์ เค 1× กับ 1 + เค 2× กับ 2 + … + เคพี× กับพีคุณสามารถอธิบายทั้งชุดได้ ม 0 โซลูชั่นให้กับระบบ (4) จึงเรียกว่า มุมมองทั่วไปของโซลูชันระบบ (4).

ทฤษฎีบท 6.6ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเอกพันธ์ที่ไม่แน่นอนใดๆ ก็มีชุดคำตอบพื้นฐานอยู่แล้ว

วิธีค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานมีดังนี้:

ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

สร้าง ( n – ร) วิธีแก้ปัญหาบางส่วนของระบบนี้ ในขณะที่ค่าของไม่ทราบค่าอิสระต้องก่อตัวขึ้น เมทริกซ์เอกลักษณ์;

เขียนรูปแบบทั่วไปของโซลูชันที่รวมอยู่ในนั้น ม 0 .

ตัวอย่างที่ 6.5ค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบต่อไปนี้:

สารละลาย- เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปสำหรับระบบนี้กัน

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ มีสิ่งแปลกปลอมห้าอย่างในระบบนี้ ( n= 5) โดยมีสองสิ่งที่ไม่ทราบหลักๆ ( ร= 2) มีสิ่งที่ไม่ทราบฟรีสามรายการ ( n – ร) นั่นคือชุดคำตอบพื้นฐานประกอบด้วยเวกเตอร์ของคำตอบสามตัว มาสร้างพวกมันกันเถอะ เรามี x 1 และ x 3 – สิ่งที่ไม่ทราบหลัก x 2 , x 4 , x 5 – สิ่งที่ไม่รู้จักฟรี

ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี x 2 , x 4 , x 5 สร้างเมทริกซ์เอกลักษณ์ อีลำดับที่สาม ได้เวกเตอร์นั่น กับ 1 ,กับ 2 , กับ 3 รูปแบบ f.n.r. ของระบบนี้ จากนั้นชุดคำตอบของระบบเอกพันธ์นี้จะเป็นดังนี้ ม 0 = {เค 1× กับ 1 + เค 2× กับ 2 + เค 3× กับ 3 , เค 1 , เค 2 , เค 3 โอ อาร์)

ตอนนี้ให้เราค้นหาเงื่อนไขของการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่งคือ เงื่อนไขของการมีอยู่ของชุดคำตอบพื้นฐาน

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ ไม่แน่ใจว่าหรือไม่

1) อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ

2) ในระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ

3) ถ้าในระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันจำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์ (เช่น | ก| = 0).

ตัวอย่างที่ 6.6- ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด กระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์หรือไม่?

สารละลาย- ลองเขียนเมทริกซ์หลักของระบบนี้แล้วหาดีเทอร์มิแนนต์: = = 1×(–1) 1+1 × = – ก– 4. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ ก = –4.

คำตอบ: –4.

7. เลขคณิต n-ปริภูมิเวกเตอร์มิติ

แนวคิดพื้นฐาน

ในส่วนก่อนหน้านี้ เราได้พบแนวคิดเรื่องชุดของจำนวนจริงแล้ว ในลำดับที่แน่นอน- นี่คือเมทริกซ์แถว (หรือเมทริกซ์คอลัมน์) และวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ ข้อมูลนี้สามารถสรุปได้

คำจำกัดความ 7.1 n-เวกเตอร์เลขคณิตมิติเรียกว่าชุดสั่งของ nตัวเลขจริง

วิธี ก= (ก 1 , 2 , …, ก n), ที่ไหน ฉันโออาร์ ฉัน = 1, 2, …, n– มุมมองทั่วไปของเวกเตอร์ ตัวเลข nเรียกว่า มิติเวกเตอร์ และตัวเลข ฉันถูกเรียกว่าของเขา พิกัด.

ตัวอย่างเช่น: ก= (1, –8, 7, 4, ) – เวกเตอร์ห้ามิติ

ทุกชุด n-เวกเตอร์มิติมักจะแสดงเป็น ร.

คำจำกัดความ 7.2เวกเตอร์สองตัว ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) และ ข= (ข 1 , ข 2 , …, ข n) ที่มีมิติเดียวกัน เท่ากันถ้าหากพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากันนั่นคือ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= ข n.

คำจำกัดความ 7.3จำนวนสอง n-เวกเตอร์มิติ ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) และ ข= (ข 1 , ข 2 , …, ข n) เรียกว่าเวกเตอร์ ก + ข= (ก 1 + ข 1, 2 + ข 2, …, ก n+ข n).

คำจำกัดความ 7.4 การทำงานเบอร์จริง เคเป็นเวกเตอร์ ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) เรียกว่าเวกเตอร์ เค× ก = (เค×ก 1, เค×ก 2 , …, เค×ก n)

คำจำกัดความ 7.5เวกเตอร์ โอ= (0, 0, …, 0) ถูกเรียก ศูนย์(หรือ เวกเตอร์ที่เป็นโมฆะ).

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าการกระทำ (การดำเนินการ) ของการเพิ่มเวกเตอร์และการคูณด้วยจำนวนจริงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: " ก, ข, ค Î ร, " เค, ลโอ อาร์:

1) ก + ข = ข + ก;

2) ก + (ข+ ค) = (ก + ข) + ค;

3) ก + โอ = ก;

4) ก+ (–ก) = โอ;

5) 1× ก = ก, 1 โอ อาร์;

6) เค×( ล× ก) = ล×( เค× ก) = (ล× เค)× ก;

7) (เค + ล)× ก = เค× ก + ล× ก;

8) เค×( ก + ข) = เค× ก + เค× ข.

คำจำกัดความ 7.6พวงของ รด้วยการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และคูณด้วยจำนวนจริงที่กำหนด เรียกว่า ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์.

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและระบบพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบ

สารละลายค้นหาโดยใช้เครื่องคิดเลข อัลกอริธึมการแก้ปัญหาจะเหมือนกับระบบสมการอสมการเชิงเส้นตรง
เมื่อดำเนินการกับแถวเท่านั้น เราจะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ ซึ่งเป็นฐานรอง เราประกาศสิ่งแปลกปลอมที่ต้องพึ่งพาและเป็นอิสระ และค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองเป็นสัดส่วน ลองขีดฆ่าหนึ่งในนั้น:

.
ตัวแปรตาม – x 2, x 3, x 5, อิสระ – x 1, x 4 จากสมการแรก 10x 5 = 0 เราจะพบว่า x 5 = 0 จากนั้น
; .
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ซึ่งประกอบด้วยคำตอบ (n-r) ในกรณีของเรา n=5, r=3 ดังนั้น ระบบพื้นฐานของคำตอบจึงประกอบด้วยสองคำตอบ และคำตอบเหล่านี้จะต้องเป็นอิสระเชิงเส้นตรง เพื่อให้แถวมีความเป็นอิสระเชิงเส้นมีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวจะเท่ากับจำนวนแถวนั่นคือ 2 ก็เพียงพอแล้วที่จะให้ค่าที่ไม่รู้จัก x 1 และ x 4 ค่าจากแถวของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง ไม่ใช่ศูนย์ และคำนวณ x 2 , x 3 , x 5 . ดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ง่ายที่สุดคือ
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาแรกคือ: , ที่สอง - .
การตัดสินใจทั้งสองนี้ถือเป็นระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐาน โปรดทราบว่าระบบพื้นฐานไม่ได้มีลักษณะเฉพาะ (คุณสามารถสร้างปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาคำตอบทั่วไปและระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบ
สารละลาย.



,
ตามมาว่าอันดับของเมทริกซ์คือ 3 และเท่ากับจำนวนไม่ทราบ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี ดังนั้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร - วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย

ออกกำลังกาย . สำรวจและแก้ระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 4

ออกกำลังกาย . ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะเจาะจงของแต่ละระบบ
สารละลาย.มาเขียนเมทริกซ์หลักของระบบกัน:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

ลองลดเมทริกซ์ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมกัน เราจะทำงานกับแถวเท่านั้น เนื่องจากการคูณแถวเมทริกซ์ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์แล้วบวกเข้ากับแถวอื่นของระบบหมายถึงการคูณสมการด้วยจำนวนเดียวกันแล้วบวกเข้ากับสมการอื่น ซึ่งจะไม่เปลี่ยนคำตอบของสมการ ระบบ.
คูณบรรทัดที่ 2 ด้วย (-5) เพิ่มบรรทัดที่ 2 ไปที่ 1:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

ลองคูณบรรทัดที่ 2 ด้วย (6) คูณบรรทัดที่ 3 ด้วย (-1) เพิ่มบรรทัดที่ 3 เข้ากับบรรทัดที่ 2:
ลองหาอันดับของเมทริกซ์กัน

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

ผู้เยาว์ที่เลือกมีลำดับสูงสุด (ของผู้เยาว์ที่เป็นไปได้) และไม่เป็นศูนย์ (เท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมย้อนกลับ) ดังนั้น rang(A) = 2
ผู้เยาว์นี้เป็นพื้นฐาน ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ x 1 , x 2 ซึ่งหมายความว่าสิ่งที่ไม่ทราบ x 1 , x 2 นั้นขึ้นอยู่กับ (พื้นฐาน) และ x 3 , x 4 , x 5 นั้นว่าง
ลองแปลงเมทริกซ์ โดยเหลือแค่ฐานรองทางซ้าย

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x1	x2	x4	x3	x5

ระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์นี้เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิมและมีรูปแบบ:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
เราพบโดยใช้วิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอม วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ:
เราได้รับความสัมพันธ์ที่แสดงตัวแปรตาม x 1 , x 2 ผ่านตัวแปรอิสระ x 3 , x 4 , x 5 นั่นคือเราพบ การตัดสินใจร่วมกัน:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
เราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ซึ่งประกอบด้วยคำตอบ (n-r)
ในกรณีของเรา n=5, r=2 ดังนั้น ระบบพื้นฐานของคำตอบประกอบด้วย 3 คำตอบ และคำตอบเหล่านี้จะต้องเป็นอิสระเชิงเส้นตรง
เพื่อให้แถวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบแถวจะเท่ากับจำนวนแถว นั่นคือ 3
ก็เพียงพอที่จะให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรี x 3 , x 4 , x 5 จากบรรทัดของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3 ไม่ใช่ศูนย์และคำนวณ x 1 , x 2 .
ดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ง่ายที่สุดคือเมทริกซ์เอกลักษณ์

1	0	0
0	1	0
0	0	1

งาน . ค้นหาชุดคำตอบพื้นฐานของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

กลับ