ใช่ ใช่ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :)

เพื่อนๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานภายในบอกว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณอยากรู้จริงๆ (ไม่ใช่ แบบนี้: SOOOOO!) ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวนานและจะลงมือทำธุรกิจทันที

ในการเริ่มต้น สองสามตัวอย่าง พิจารณาชุดตัวเลขหลายชุด:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดทั้งหมดเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? ได้อย่างรวดเร็วก่อนไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดจะมากกว่าชุดที่แล้ว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับห้าอยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงคงที่ ในกรณีที่สามมีรากโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ในขณะที่ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น ในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าตัวเลขนี้จะไม่มีเหตุผล)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่ซึ่งแต่ละอันถัดไปแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการเรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขต่างกันนั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร $d$

สัญกรณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของตัวเอง $d$ คือความแตกต่าง

และเพียงข้อสังเกตที่สำคัญสองสามข้อ ประการแรกถือว่าก้าวหน้าเท่านั้น เป็นระเบียบลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านตามลำดับที่เขียนอย่างเคร่งครัด - และไม่มีอะไรอื่น คุณไม่สามารถจัดเรียงใหม่หรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนบางอย่างเช่น (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ อย่างที่มันเป็น บอกเป็นนัยว่าตัวเลขค่อนข้างมากไปไกลกว่านั้น มากมายนับไม่ถ้วน เช่น :)

ฉันยังต้องการทราบด้วยว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นการเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) ต่อไปนี้คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเคโอเค: ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

1. เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า
2. ลดลงหากตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีลำดับที่เรียกว่า "นิ่ง" - ประกอบด้วยหมายเลขซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากการลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของหมายเลข $d$ เท่านั้นนั่นคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

1. ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าก็เพิ่มขึ้น
2. ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความคืบหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
3. ในที่สุดก็มีกรณี $d=0$ ซึ่งในกรณีนี้ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเป็นลำดับที่อยู่กับที่ ตัวเลขเดียวกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น

มาลองคำนวณผลต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงทั้งสามด้านบนกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำสององค์ประกอบที่อยู่ติดกัน (เช่น ตัวแรกและตัวที่สอง) และลบออกจากตัวเลขทางด้านขวา ตัวเลขทางด้านซ้าย มันจะมีลักษณะดังนี้:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

อย่างที่เราเห็นกันทั้งหมด สามกรณีความแตกต่างนั้นเป็นลบอย่างแท้จริง และตอนนี้เราหาคำจำกัดความได้ไม่มากก็น้อยก็ถึงเวลาที่จะคิดหาวิธีอธิบายความก้าวหน้าและคุณสมบัติที่พวกเขามีอยู่

สมาชิกของความก้าวหน้าและสูตรกำเริบ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา\)\]

องค์ประกอบส่วนบุคคลของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า พวกเขาจะระบุด้วยวิธีนี้ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลข: สมาชิกคนแรกสมาชิกคนที่สองและอื่น ๆ

นอกจากนี้ ดังที่เราทราบแล้ว สมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

กล่าวโดยย่อ ในการหาระยะที่ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้คำศัพท์ที่ $n-1$th และความแตกต่าง $d$ สูตรดังกล่าวเรียกว่าการเกิดซ้ำเพราะด้วยความช่วยเหลือของสูตรนี้คุณสามารถค้นหาตัวเลขใด ๆ ก็ได้โดยรู้เฉพาะตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงแล้วทั้งหมดก่อนหน้านี้) ซึ่งไม่สะดวกมาก ดังนั้นจึงมีสูตรที่ยุ่งยากกว่าที่จะลดการคำนวณใดๆ ให้เหลือเทอมแรกและส่วนต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณอาจเคยเจอสูตรนี้มาก่อน พวกเขาชอบที่จะให้มันในหนังสืออ้างอิงทุกประเภทและ reshebniks และในตำราเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในเล่มแรก

อย่างไรก็ตาม ฉันแนะนำให้คุณฝึกฝนเล็กน้อย

งานหมายเลข 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

วิธีการแก้. ดังนั้น เรารู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และความแตกต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบว่าความก้าวหน้าของเราลดลง

แน่นอน $n=1$ ไม่สามารถแทนที่ได้ - เรารู้เทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่หน่วย เราทำให้แน่ใจว่าแม้สำหรับเทอมแรกสูตรของเราใช้ได้ผล ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างลงมาที่เลขคณิตซ้ำซาก

งานหมายเลข 2 เขียนสามเทอมแรกของการก้าวหน้าเลขคณิตถ้าเทอมที่เจ็ดของมันคือ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดของมันคือ −50

วิธีการแก้. เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาตามเงื่อนไขปกติ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายของระบบเพราะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อม ๆ กัน และตอนนี้เราสังเกตว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ทำเช่นนี้ เพราะเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เช่นนั้น เราพบความแตกต่างของความก้าวหน้า! มันยังคงแทนที่จำนวนที่ค้นพบในสมการใด ๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่นในครั้งแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ลูกศรลง \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \สิ้นสุด(เมทริกซ์)\]

ทีนี้ เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่าง ก็ยังต้องหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พร้อม! แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: (-34; -35; -36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสงสัยของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเราเอาเงื่อนไข $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวน $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

เรียบง่ายแต่มาก คุณสมบัติที่มีประโยชน์ซึ่งคุณจำเป็นต้องรู้อย่างแน่นอน - ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่อยู่ระหว่างดำเนินการได้อย่างมากด้วยความช่วยเหลือ นี่คือตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้:

งานหมายเลข 3 เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบของมันคือ 14.4 หาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

วิธีการแก้. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ดังนั้น เรามี:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4 \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกกับผลต่าง - ทุกอย่างตัดสินได้ภายในสองสามบรรทัด

ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาสมาชิกที่เป็นลบและบวกของความก้าวหน้า ไม่เป็นความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นในขณะที่เทอมแรกเป็นลบ คำศัพท์เชิงบวกไม่ช้าก็เร็วจะปรากฏในนั้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นลบ

ในขณะเดียวกัน ยังห่างไกลจากคำว่า "ที่หน้าผาก" เสมอที่จะค้นหาช่วงเวลานี้ โดยเรียงลำดับองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาต่างๆ ได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณจะใช้เวลาหลายแผ่น - เราจะผล็อยหลับไปจนกว่าเราจะพบคำตอบ ดังนั้นเราจะพยายามแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้น

งานหมายเลข 4 จำนวนพจน์เชิงลบในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -38.5; -35.8; …?

วิธีการแก้. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ซึ่งเราจะพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นไปในทางบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นค่าลบ ดังนั้น ณ จุดหนึ่ง เราจะสะดุดกับตัวเลขที่เป็นบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

ลองหากันดู : จนถึงกี่โมง (เช่น จนถึงอะไร ตัวเลขธรรมชาติ$n$) เงื่อนไขเชิงลบถูกรักษาไว้:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ขวา. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ดังนั้นเราจึงรู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เฉพาะค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้นที่จะเหมาะกับเรา (ยิ่งไปกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดที่อนุญาตคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16

งานหมายเลข 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ หาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่อาจเป็นปัญหาเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ แต่เราไม่รู้ $((a)_(1))$ แต่คำศัพท์ใกล้เคียงเป็นที่รู้จัก: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ ให้ลองแสดงพจน์ที่ 5 ในรูปของค่าแรกและส่วนต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับปัญหาก่อนหน้านี้ เราค้นหาว่าหมายเลขบวกของลำดับของเราจะปรากฏที่จุดใด:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบจำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือจำนวน 56

โปรดทราบว่าในงานสุดท้าย ทุกอย่างถูกลดทอนให้เหลือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ แล้ว มาต่อกันที่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกัน แต่ก่อนอื่น เรามาสำรวจคุณสมบัติที่มีประโยชน์อื่น ๆ กันก่อน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะช่วยเราประหยัดเวลาได้มากและไม่เท่ากันในอนาคต :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากับ

พิจารณาเงื่อนไขต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

สมาชิกก้าวหน้าเลขคณิตบนเส้นจำนวน

ฉันสังเกตเห็นสมาชิกโดยพลการ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่ $((a)_(1)) ใด ๆ \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ เป็นต้น เพราะกฎซึ่งฉันจะบอกคุณตอนนี้ ทำงานเหมือนกันสำหรับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎนั้นง่ายมาก ให้จำสูตรแบบเรียกซ้ำและจดไว้สำหรับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วไงต่อ? แต่ความจริงที่ว่า $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะเดียวกันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกเขาจะถูกลบออกจาก $((a)_(n) ด้วย )$ โดยระยะทางเท่ากันเท่ากับ $2d$ ไปต่อได้ไม่มีกำหนด แต่ภาพสื่อความหมายได้ดี

สมาชิกของความก้าวหน้าอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน

สิ่งนี้มีความหมายต่อเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถค้นหา $((a)_(n))$ หากทราบหมายเลขใกล้เคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้สรุปข้อความที่ยอดเยี่ยม: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกใกล้เคียง! ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถเบี่ยงเบนจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวา ไม่ใช่ทีละขั้น แต่โดย $k$ ขั้นตอน — และสูตรก็ยังจะถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ ได้ง่ายๆ ถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ งานหลายอย่าง "ลับคม" เป็นพิเศษสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:

งานหมายเลข 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ เพื่อให้ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ในลำดับที่ระบุ)

วิธีการแก้. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของการก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจ: องค์ประกอบกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบที่อยู่ใกล้เคียงได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

กลายเป็นความคลาสสิค สมการกำลังสอง. รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่าของ $$ เพื่อให้ตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับ)

วิธีการแก้. อีกครั้ง เราแสดงระยะกลางในรูปของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคำศัพท์ข้างเคียง:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

สมการกำลังสองอีก และอีกสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในระหว่างการแก้ปัญหา คุณได้รับตัวเลขที่โหดเหี้ยมหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมด ก็มีเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบ: เราแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่

สมมติว่าในโจทย์ที่ 6 เราได้คำตอบ -3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้าในสภาพเดิมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ให้ฉันเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งควรสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทดแทน $x=-3$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดตำแหน่ง)\]

เราได้ตัวเลข -54; -2; 50 ที่แตกต่างจาก 52 อย่างไม่ต้องสงสัยคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดตำแหน่ง)\]

คืบหน้าอีกครั้ง แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการตรวจสอบงานที่สองได้ด้วยตัวเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องอยู่ที่นั่นด้วย

โดยทั่วไป ในขณะที่แก้ไขงานสุดท้าย เราสะดุดกับงานอื่น ความจริงที่น่าสนใจซึ่งต้องจำไว้ด้วย:

หากตัวเลขสามตัวมีค่าเท่ากับตัวที่สองคือค่าเฉลี่ย เลขคณิตก่อนและสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เราสามารถ "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามสภาพของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะมีส่วนร่วมใน "การก่อสร้าง" เช่นนี้ เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พิจารณาไปแล้ว

การจัดกลุ่มและผลรวมขององค์ประกอบ

ลองกลับไปที่เส้นจำนวนอีกครั้ง เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความคืบหน้า ซึ่งบางที คุ้มกับสมาชิกท่านอื่นๆ มากมาย:

6 องค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน

ลองแสดง "ส่วนท้ายซ้าย" ในรูปของ $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ในรูปของ $((a)_(k))$ และ $ ดอลลาร์ มันง่ายมาก:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้โปรดทราบว่าผลรวมต่อไปนี้มีค่าเท่ากัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= เอส \end(จัดตำแหน่ง)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ หากเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับจำนวน $S$ แล้วเราก็เริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อย้ายออกไป) แล้ว ผลรวมของธาตุที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน$S$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ดีที่สุดในรูปแบบกราฟิก:

เยื้องเดียวกันให้ผลรวมเท่ากัน

การเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราแก้ปัญหาในเบื้องต้นได้มากขึ้น ระดับสูงซับซ้อนกว่าที่กล่าวข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

งานหมายเลข 8 กำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยที่เทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองนั้นน้อยที่สุด

วิธีการแก้. ให้เขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ ที่จริงแล้ว โซลูชันทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันได้นำปัจจัยร่วม 11 ออกจากวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ดังนั้น ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจึงเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สัมพันธ์กับตัวแปร $d$ ดังนั้น ลองพิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้นเพราะ ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น สัมประสิทธิ์ที่เทอมสูงสุดคือ 11 - นี่คือ จำนวนบวกดังนั้นเราจึงจัดการกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นจริง ๆ :

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง- พาราโบลา

โปรดทราบ: พาราโบลานี้ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณ abscissa นี้ได้โดยใช้ โครงการมาตรฐาน(มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่น่าจะสมเหตุสมผลกว่าที่จะสังเกตว่าจุดยอดที่ต้องการอยู่บนแกนสมมาตรของ พาราโบลา ดังนั้นจุด $((d) _(0))$ จึงมีค่าเท่ากันจากรากของสมการ $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมนั้นรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

อะไรให้ตัวเลขที่ค้นพบแก่เรา? ด้วยผลิตภัณฑ์ที่จำเป็นจะใช้เวลา ค่าที่น้อยที่สุด(อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้คำนวณ $((y)_(\min ))$ - เราไม่ต้องทำสิ่งนี้) ในเวลาเดียวกัน ตัวเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น กล่าวคือ เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

งานหมายเลข 9 แทรกตัวเลขสามตัวระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ เพื่อให้รวมกับตัวเลขที่กำหนด พวกมันจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

วิธีการแก้. อันที่จริง เราจำเป็นต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยตัวแรกและ เบอร์สุดท้ายรู้แล้ว. ระบุตัวเลขที่หายไปโดยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - ระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และถ้าในขณะนี้เราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ สถานการณ์ก็จะแตกต่างไปจากการสิ้นสุดของความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้ เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราจะหาตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่าง $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ เพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผลที่

การโต้เถียงในทำนองเดียวกัน เราพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบทั้งสามตัวเลข ลองเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

งานหมายเลข 10 ระหว่างตัวเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวประกอบกับตัวเลขที่กำหนด ทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าทราบว่าผลรวมของตัวเลขที่หนึ่ง สอง และท้ายสุดของตัวเลขที่แทรกคือ 56

วิธีการแก้. งานที่ยากยิ่งขึ้นไปอีกซึ่งได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้แน่ชัดว่าต้องใส่ตัวเลขกี่ตัว ดังนั้นเพื่อความชัดเจน เราคิดว่าหลังจากใส่แล้วจะมีตัวเลข $n$ อย่างแน่นอน และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงเป็น:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ยืนอยู่ตรงขอบทีละก้าวเข้าหากัน , กล่าวคือ . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((อัน)_(2))+((อัน)_(n-1))=2+42=44\]

แต่แล้วนิพจน์ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เหลือเพียงการค้นหาสมาชิกที่เหลือ:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาที่ด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องแทรกตัวเลขเพียง 7 ตัว: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

งานข้อความที่มีความก้าวหน้า

โดยสรุปฉันอยากจะพิจารณาสองสามอย่าง งานง่ายๆ. ง่ายๆ ก็คือ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและยังไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนข้างต้น งานเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นการแสดงท่าทาง อย่างไรก็ตาม มันเป็นงานที่เจอใน OGE และ USE ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างแม่นยำ ดังนั้นฉันจึงแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับสิ่งเหล่านี้

งานหมายเลข 11 ทีมงานได้ผลิตชิ้นส่วน 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมาผลิตชิ้นส่วนมากกว่า 14 ชิ้นก่อนหน้านี้ กองพลน้อยผลิตได้กี่ส่วนในเดือนพฤศจิกายน

วิธีการแก้. เห็นได้ชัดว่าจำนวนชิ้นส่วนที่วาดตามเดือนจะมีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น และ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้น 202 ชิ้นส่วนจะถูกผลิตในเดือนพฤศจิกายน

งานหมายเลข 12 เวิร์กช็อปการเย็บเล่มมีหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนมีหนังสือผูกมัด 4 เล่มมากกว่าเดือนก่อนหน้า เวิร์กชอปผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม

วิธีการแก้. เหมือนกันทั้งหมด:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงมองหา $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณได้อ่านมาถึงตอนนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ: คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถไปยังบทเรียนต่อไปได้อย่างปลอดภัย ซึ่งเราจะศึกษาสูตรผลรวมของความก้าวหน้า ตลอดจนผลที่สำคัญและมีประโยชน์มากจากมัน

บางคนถือว่าคำว่า "ก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากส่วนต่างๆ คณิตศาสตร์ชั้นสูง. ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ และการที่จะเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ยากนัก โดยได้วิเคราะห์แนวคิดพื้นฐานสองสามข้อแล้ว

ลำดับเลขคณิต

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกคนแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n คือสมาชิกที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจชุดตัวเลขและตัวเลขใดๆ โดยพลการ เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพากันซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

เอ - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข;

n - ของเขา หมายเลขซีเรียล;

f(n) เป็นฟังก์ชันที่ลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละเทอมต่อมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยตัวเลขเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

a n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

มันง่ายที่จะตัดสินว่าถ้าผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกที่ตามมาแต่ละชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเข้าใจได้ง่ายว่าทำไม ลำดับตัวเลขเรียกว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งก็จำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์บางคำโดยพลการ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องตั้งแต่แรกจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของเทอมที่ห้าหรือแปดล้าน การคำนวณแบบดั้งเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้ากับผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง .

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกคนแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: จำเป็นต้องค้นหาค่าของ 214 เงื่อนไข

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

a(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนด

บ่อยครั้งในอนุกรมเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของบางกลุ่ม นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วสรุป วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนเงื่อนไขที่ต้องพบผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นจะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกที่หนึ่งและที่ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วยสอง หากในสูตร ค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในปัญหาจะต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของซีรีส์จาก 56 ถึง 101

วิธีการแก้. ลองใช้สูตรในการพิจารณาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดผลรวมของค่า 101 สมาชิกของความคืบหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าจาก 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 จาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการใช้งานจริงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะ (taxi car meter) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อ ๆ มาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 p

จำนวนที่น่าสนใจสำหรับเรา - ค่าของสมาชิกที่ (27 + 1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของเทห์ฟากฟ้าถึงดวงสว่าง นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขต่างๆ ยังใช้สำเร็จในสถิติและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นำไปใช้ได้สำเร็จ

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีลักษณะเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่การเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้ง เพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาแบบทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าโดยคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกตามอำเภอใจ เทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวหารของความก้าวหน้าต่อกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษเช่นกัน ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

ถ้า b n ถูกแทนที่โดยใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกตั้งค่าเท่ากับ 3 มาหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

แนวคิดของลำดับตัวเลขบอกเป็นนัยว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวสอดคล้องกับค่าจริงบางค่า ชุดตัวเลขดังกล่าวสามารถเป็นได้ทั้งโดยพลการและมีคุณสมบัติบางอย่าง - ความก้าวหน้า ในกรณีหลัง แต่ละองค์ประกอบที่ตามมา (สมาชิก) ของลำดับสามารถคำนวณได้โดยใช้องค์ประกอบก่อนหน้า

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือลำดับของค่าตัวเลขซึ่งสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงแตกต่างกันด้วยจำนวนเดียวกัน (องค์ประกอบทั้งหมดของชุดที่เริ่มจาก 2 มีคุณสมบัติคล้ายกัน) ตัวเลขนี้ - ความแตกต่างระหว่างสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา - เป็นค่าคงที่และเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า

ความแตกต่างของความก้าวหน้า: คำจำกัดความ

พิจารณาลำดับที่ประกอบด้วยค่า j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, ตามคำจำกัดความของมันคือลำดับ ซึ่ง a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = ง. ค่าของ d คือความแตกต่างที่ต้องการของความก้าวหน้านี้

d = a(j) - a(j-1)

จัดสรร:

• ความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้น ซึ่งในกรณี d > 0 ตัวอย่าง: 4, 8, 12, 16, 20, …
• ความก้าวหน้าลดลงแล้วd< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและองค์ประกอบตามอำเภอใจ

หากทราบสมาชิกโดยพลการของความก้าวหน้า (i-th, k-th) ดังนั้นความแตกต่างสำหรับลำดับนี้สามารถกำหนดได้ตามความสัมพันธ์:

a(i) = a(k) + (i - k)*d ดังนั้น d = (a(i) - a(k))/(i-k)

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและระยะแรก

นิพจน์นี้จะช่วยกำหนดค่าที่ไม่รู้จักเฉพาะในกรณีที่ทราบหมายเลขขององค์ประกอบลำดับ

ความแตกต่างของความก้าวหน้าและผลรวมของมัน

ผลรวมของความก้าวหน้าคือผลรวมของเงื่อนไข ในการคำนวณมูลค่ารวมขององค์ประกอบ j แรก ให้ใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j แต่เนื่องจาก a(j) = a(1) + d(j – 1) แล้ว S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

เลขคณิตและ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งเรียกว่าซีเควนซ์ สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาที เท่ากับสมาชิกก่อนหน้า บวกด้วยตัวเลขเดียวกัน d (d- ความแตกต่างของความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ข นเรียกลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งแต่ละเทอม เริ่มจากวินาที มีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน q (q- ตัวหารของความก้าวหน้า)
สูตรกำเริบ	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น n + 1 = n + d	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = a 1 + d (น - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
คุณสมบัติเฉพาะ
ผลรวมของ n เทอมแรก

ตัวอย่างงานที่มีความคิดเห็น

แบบฝึกหัด 1

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 วัน

ตามเงื่อนไข:

1= -6 ดังนั้น 22= -6 + 21d

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

d= 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ตอบ : 22 = -48.

งาน2

ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (โดยใช้สูตร n-term)

ตามสูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

เพราะ ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (โดยใช้สูตรเรียกซ้ำ)

เนื่องจากตัวหารของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : ข 5 = -48.

งาน3

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( น) ก 74 = 34; 76= 156. หาเทอมที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะมีรูปแบบ .

ดังนั้น:

.

แทนที่ข้อมูลในสูตร:

คำตอบ: 95.

งาน 4

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( a n ) a n= 3n - 4. หาผลรวมของเทอมสิบเจ็ดแรก

ในการหาผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จะใช้สูตรสองสูตร:

.

อันไหนใน กรณีนี้ใช้งานสะดวกกว่า?

ตามเงื่อนไข สูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิมเป็นที่รู้จัก ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4. หาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d . ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368

งาน 5

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. หาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 วัน

โดยเงื่อนไข if 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21d จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

d= 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : 22 = -48.

งาน 6

คำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะถูกบันทึก:

ค้นหาระยะเวลาของความก้าวหน้าซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร x .

ตอนแก้เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1เพื่อความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า ในการหาตัวหารของความก้าวหน้า q คุณต้องใช้เงื่อนไขใด ๆ ของความก้าวหน้าเหล่านี้และหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา คุณสามารถนำและหารด้วย เราได้ q \u003d 3 แทนที่จะเป็น n เราแทน 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนค่าที่พบในสูตรเราได้รับ:

.

ตอบ : .

งาน7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุสำหรับระยะที่ 27 ของความคืบหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทน n ในแต่ละช่วงความคืบหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าครั้งที่ 4 เราได้รับ:

.

คำตอบ: 4.

งาน 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5. ระบุ มูลค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน หนึ่ง > -6.

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมถัดมาต่างจากเทอมที่แล้วโดยเทอมเหล็กซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ขั้นตอนหรือความแตกต่างของความก้าวหน้า.

ดังนั้น โดยการกำหนดขั้นตอนของความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ โดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกคี่ (คู่) ที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่ยืนอยู่ระหว่างพวกเขา ลำดับของตัวเลขนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การยืนยันนี้ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ โดยคุณสมบัติของการก้าวหน้าเลขคณิต สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

ง่ายต่อการตรวจสอบหากเราเขียนเงื่อนไขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี ซึ่งเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องธรรมดาในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกที่ k -th สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) เป็นที่น่าสนใจในทางปฏิบัติที่จะหาผลรวมของสมาชิก n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มจากเลข kth เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

เกี่ยวกับเรื่องนี้ วัสดุทางทฤษฎีจบและเราดำเนินการแก้ปัญหาทั่วไปในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

วิธีการแก้:

ตามเงื่อนไขเรามี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง2. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสมาชิกที่สามและเจ็ด หาระยะแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

วิธีการแก้:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้นเราจึงพบขั้นตอนความก้าวหน้า

ค่าที่พบจะถูกแทนที่ในสมการใด ๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำนวณผลรวมของสิบเทอมแรกของความก้าวหน้า

โดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน เราพบค่าที่จำเป็นทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในสมาชิก หาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมเริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

วิธีการแก้:

ลองเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้า

และหาคนแรก

จากข้อแรก เราพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 . แรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250

ตัวอย่างที่ 4

หาจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

วิธีการแก้:

เราเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนของความก้าวหน้าและกำหนดมัน

เราแทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนสมาชิกในผลรวม

ทำให้เข้าใจง่าย

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับสภาพของปัญหา ดังนั้นผลรวมของแปดเทอมแรกของความก้าวหน้าคือ 111

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

วิธีแก้ไข: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราเขียนเทอมแรกและค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า

กลับ