ความหมายทางเรขาคณิตคืออะไร? อนุพันธ์

ค้นหา ค่าเรขาคณิตอนุพันธ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ลองหาจุด M ตามใจชอบซึ่งมีพิกัด (x, y) และจุด N ใกล้กับจุดนั้น (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) ลองวาดพิกัด $\overline(M_(1) M)$ และ $\overline(N_(1) N)$ และจากจุด M - เส้นตรงขนานกับแกน OX

อัตราส่วน $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ คือแทนเจนต์ของมุม $\alpha $1 ที่เกิดจากเส้นตัด MN ที่มีทิศทางบวกของแกน OX เนื่องจาก $\Delta $x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จุด N จะเข้าใกล้ M และตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด MN จะเป็นค่าแทนเจนต์ MT ไปยังเส้นโค้งที่จุด M ดังนั้น อนุพันธ์ f`(x) จึงเท่ากับค่าแทนเจนต์ ของมุม $\alpha $ เกิดขึ้นจากแทนเจนต์ถึงโค้งที่จุด M (x, y) โดยมีทิศทางบวกกับแกน OX - ความชันของแทนเจนต์ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 กราฟฟังก์ชัน

เมื่อคำนวณค่าโดยใช้สูตร (1) สิ่งสำคัญคือต้องไม่ทำผิดพลาดในเครื่องหมายเพราะว่า การเพิ่มขึ้นอาจเป็นค่าลบก็ได้

จุด N ที่วางอยู่บนเส้นโค้งสามารถโน้มตัว M จากด้านใดก็ได้ ดังนั้น หากในรูปที่ 1 ให้แทนเจนต์มีทิศทางตรงกันข้าม มุม $\alpha $ จะเปลี่ยนไปตามจำนวน $\pi $ ซึ่งจะส่งผลกระทบอย่างมากต่อแทนเจนต์ของมุม และตามด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม

บทสรุป

ตามมาว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์สัมพันธ์กับการมีอยู่ของแทนเจนต์ของเส้นโค้ง y = f(x) และสัมประสิทธิ์เชิงมุม - tg $\alpha $ = f`(x) นั้นมีขอบเขตจำกัด ดังนั้น แทนเจนต์ไม่ควรขนานกับแกน OY ไม่เช่นนั้น $\alpha $ = $\pi $/2 และแทนเจนต์ของมุมจะไม่มีที่สิ้นสุด

ในบางจุด เส้นโค้งต่อเนื่องอาจไม่มีแทนเจนต์หรือมีแทนเจนต์ขนานกับแกน OY (รูปที่ 2) ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ในค่าเหล่านี้ได้ กราฟฟังก์ชันอาจมีจุดที่คล้ายกันกี่จุดก็ได้

รูปที่ 2 จุดพิเศษของเส้นโค้ง

พิจารณารูปที่ 2 ให้ $\Delta $x มีแนวโน้มเป็นศูนย์จากค่าลบหรือค่าบวก:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

ถ้าเข้า. ในกรณีนี้ความสัมพันธ์ (1) มีขีดจำกัดสุดท้าย โดยแสดงเป็น:

ในกรณีแรก อนุพันธ์อยู่ทางซ้าย ในกรณีที่สอง อนุพันธ์อยู่ทางขวา

การมีอยู่ของขีดจำกัดบ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันและความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวา:

หากอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาไม่เท่ากัน ณ จุดที่กำหนดจะมีแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับ OY (จุด M1, รูปที่ 2) ที่จุด M2 ความสัมพันธ์ M3 (1) มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

สำหรับจุด N ที่อยู่ทางซ้ายของ M2 จะได้ $\Delta $x $

ทางด้านขวาของ $M_2$, $\Delta $x $>$ 0 แต่นิพจน์ยังเป็น f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

สำหรับจุด $M_3$ ทางด้านซ้าย $\Delta $x $$ 0 และ f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0 เช่น นิพจน์ (1) ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเป็นบวก และมีแนวโน้มที่จะ +$\infty $ ทั้งคู่ เมื่อ $\Delta $x เข้าใกล้ -0 และ +0

กรณีที่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะของเส้น (x = c) แสดงไว้ในรูปที่ 3

รูปที่ 3 ไม่มีอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 1

รูปที่ 4 แสดงกราฟของฟังก์ชันและแทนเจนต์ของกราฟที่จุด Abscissa $x_0$ ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันใน abscissa

สารละลาย. อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งจะเท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ให้เราเลือกจุดสองจุดบนแทนเจนต์ด้วยพิกัดจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเป็นจุด F (-3.2) และ C (-2.4)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

นักเรียนควรรู้:

สิ่งที่เรียกว่าความชันของเส้น;
มุมระหว่างเส้นตรงกับแกนวัว
มันคืออะไร ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์;
สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน
วิธีสร้างแทนเจนต์ให้กับพาราโบลา
สามารถประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีไปปฏิบัติได้

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับนักเรียนในการเรียนรู้ระบบความรู้ทักษะและความสามารถด้วยแนวคิดเกี่ยวกับความหมายทางกลและเรขาคณิตของอนุพันธ์

ทางการศึกษา: เพื่อสร้างโลกทัศน์ทางวิทยาศาสตร์ในนักเรียน

พัฒนาการ: เพื่อพัฒนาความสนใจทางปัญญา ความคิดสร้างสรรค์ เจตจำนง ความจำ คำพูด ความสนใจ จินตนาการ การรับรู้ของนักเรียน

วิธีการจัดกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจ:

ภาพ;
ใช้ได้จริง;
โดยกิจกรรมทางจิต: อุปนัย;
ตามการดูดซึมของวัสดุ: ค้นหาบางส่วน, การสืบพันธุ์;
ตามระดับความเป็นอิสระ: งานในห้องปฏิบัติการ
การกระตุ้น: การให้กำลังใจ;
การควบคุม: การสำรวจหน้าผากในช่องปาก

แผนการเรียน

แบบฝึกหัดช่องปาก (หาอนุพันธ์)
สารจากนักเรียนในหัวข้อ “สาเหตุของ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”.
การเรียนรู้เนื้อหาใหม่
ฟิสิกส์ แค่นาทีเดียว
การแก้ปัญหางาน
งานห้องปฏิบัติการ
สรุปบทเรียน.
การแสดงความคิดเห็น การบ้าน.

อุปกรณ์ : มัลติมีเดีย โปรเจ็กเตอร์ (การนำเสนอ), การ์ด ( งานห้องปฏิบัติการ).

ในระหว่างเรียน

“คน ๆ หนึ่งจะบรรลุบางสิ่งได้ก็ต่อเมื่อเขาเชื่อในความแข็งแกร่งของตนเอง”

แอล. ฟอยเออร์บัค

I. ช่วงเวลาขององค์กร

การจัดชั้นเรียนตลอดบทเรียน ความพร้อมของนักเรียนต่อบทเรียน ระเบียบวินัย

การตั้งเป้าหมายการเรียนรู้สำหรับนักเรียนทั้งบทเรียนและแต่ละช่วง

กำหนดความสำคัญของเนื้อหาที่กำลังศึกษาทั้งในหัวข้อนี้และในหลักสูตรทั้งหมด

การนับวาจา

1. ค้นหาอนุพันธ์:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. การทดสอบลอจิก

ก) แทรกนิพจน์ที่ขาดหายไป

5x 3 -6x	15x 2 -6	30x
2ซินx	2คอสเอ็กซ์…
cos2x	… …

ครั้งที่สอง ข้อความของนักศึกษาในหัวข้อ “เหตุผลของการเกิดขึ้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”

ทิศทางทั่วไปของการพัฒนาวิทยาศาสตร์นั้นถูกกำหนดโดยข้อกำหนดของการฝึกฝนกิจกรรมของมนุษย์ในท้ายที่สุด การดำรงอยู่ของรัฐโบราณที่มีระบบการจัดการแบบลำดับชั้นที่ซับซ้อนคงเป็นไปไม่ได้หากไม่มีการพัฒนาทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตอย่างเพียงพอ เพราะการเก็บภาษี การจัดเสบียงของกองทัพ การสร้างพระราชวังและปิรามิด และการสร้างระบบชลประทานจำเป็นต้องมีการคำนวณที่ซับซ้อน ในช่วงยุคเรอเนซองส์ การเชื่อมโยงระหว่างส่วนต่างๆ ของโลกยุคกลางขยายออกไป การค้าขายและงานฝีมือก็พัฒนาขึ้น การเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในระดับเทคนิคของการผลิตเริ่มต้นขึ้น และแหล่งพลังงานใหม่ที่ไม่เกี่ยวข้องกับความพยายามของกล้ามเนื้อของมนุษย์หรือสัตว์กำลังถูกนำมาใช้ในอุตสาหกรรม ในศตวรรษที่ XI-XII เครื่องจักรฟูและทอผ้าปรากฏขึ้นและในช่วงกลางของ XV - แท่นพิมพ์- เนื่องจากความจำเป็นในการพัฒนาอย่างรวดเร็วของการผลิตทางสังคมในช่วงเวลานี้ แก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติซึ่งมีการพรรณนามาตั้งแต่สมัยโบราณจึงเปลี่ยนไป เป้าหมายของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติคือ การศึกษาเชิงลึกกระบวนการทางธรรมชาติ ไม่ใช่วัตถุ คณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการด้วยปริมาณคงที่นั้นสอดคล้องกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเชิงพรรณนาในสมัยโบราณ จำเป็นต้องสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จะอธิบายไม่ใช่ผลลัพธ์ของกระบวนการ แต่เป็นลักษณะของการไหลและรูปแบบโดยธรรมชาติ เป็นผลให้ภายในสิ้นศตวรรษที่ 12 นิวตันในอังกฤษและไลบ์นิซในเยอรมนีเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ “การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” คืออะไร? เราจะระบุลักษณะและทำนายคุณลักษณะของกระบวนการใดๆ ได้อย่างไร ใช้คุณสมบัติเหล่านี้หรือไม่? เพื่อเจาะลึกเข้าไปในแก่นแท้ของปรากฏการณ์เฉพาะหรือไม่?

สาม. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เรามาติดตามเส้นทางของนิวตันและไลบ์นิซแล้วดูว่าเราจะวิเคราะห์กระบวนการโดยพิจารณาจากฟังก์ชันของเวลาได้อย่างไร

ให้เราแนะนำแนวคิดหลายประการที่จะช่วยเราต่อไป

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+ b เป็นเส้นตรง เรียกว่าตัวเลข k ความชันของเส้นตรง k=tg โดยที่มุมของเส้นตรงคือมุมระหว่างเส้นตรงนี้กับทิศทางบวกของแกน Ox

ภาพที่ 1

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ลองวาดเส้นตัดผ่านจุดสองจุดใดๆ กัน เช่น เส้นตัด AM (รูปที่ 2)

สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเซแคนต์ k=tg ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

รูปที่ 2

รูปที่ 3

คำว่า "ความเร็ว" เองแสดงถึงลักษณะการพึ่งพาการเปลี่ยนแปลงในปริมาณหนึ่งกับการเปลี่ยนแปลงในอีกปริมาณหนึ่ง และปริมาณหลังไม่จำเป็นต้องเป็นเวลา

ดังนั้น ค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตัด tg = .

เราสนใจที่จะพึ่งพาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณในช่วงเวลาที่สั้นลง ให้เรากำหนดการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ให้เป็นศูนย์ จากนั้นทางด้านขวาของสูตรคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด A (อธิบายสาเหตุ) ถ้า x -> 0 แล้วจุด M เคลื่อนที่ไปตามกราฟไปยังจุด A ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AM กำลังเข้าใกล้เส้นตรง AB ซึ่งก็คือ สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด A- (รูปที่ 3)

มุมเอียงของเส้นตัดมีแนวโน้มที่จะมุมเอียงของเส้นสัมผัสกัน

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คือ ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์คือค่าที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด นั่นคือลักษณะใหม่ของกระบวนการที่กำลังศึกษา ไลบนิซเรียกปริมาณนี้ว่า อนุพันธ์และนิวตันกล่าวว่าอนุพันธ์นั้นเรียกว่าสิ่งทันทีทันใด ความเร็ว.

IV. นาทีพลศึกษา

ก. การแก้ปัญหา.

ลำดับที่ 91(1) หน้า 91 – แสดงบนกระดาน

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง f(x) = x 3 ที่จุด x 0 – 1 คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ที่ x = 1 f’(1) = 3x 2 ; ฉ'(1) = 3.

หมายเลข 91 (3.5) – การเขียนตามคำบอก

หมายเลข 92(1) – บนกระดานหากต้องการ

หมายเลข 92 (3) – เป็นอิสระจากการทดสอบด้วยปากเปล่า

หมายเลข 92 (5) – ที่กระดาน

คำตอบ: 45 0, 135 0, 1.5 อี 2.

วี. งานห้องปฏิบัติการ

เป้าหมาย: เพื่อพัฒนาแนวคิดเรื่อง "ความหมายเชิงกลของอนุพันธ์"

การประยุกต์อนุพันธ์กับกลศาสตร์

กฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุด x = x(t), t จะได้รับ

ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่กำหนด
ความเร็วและความเร่ง ณ เวลา t 04
ช่วงเวลาแห่งการหยุด; ไม่ว่าจุดหลังจากช่วงเวลาของการหยุดยังคงเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันหรือเริ่มเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม
ความเร็วสูงสุดการเคลื่อนไหวในช่วงเวลาที่กำหนด

งานจะดำเนินการตาม 12 ตัวเลือก งานจะแตกต่างกันไปตามระดับความซับซ้อน (ตัวเลือกแรกคือ ระดับต่ำสุดความยากลำบาก)

ก่อนเริ่มงาน การสนทนาเกี่ยวกับคำถามต่อไปนี้:

อะไร ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์ของการกระจัด? (ความเร็ว).
เป็นไปได้ไหมที่จะหาอนุพันธ์ของความเร็ว? ปริมาณนี้ใช้ในวิชาฟิสิกส์หรือไม่? มันเรียกว่าอะไร? (ความเร่ง).
ความเร็วทันทีเท่ากับศูนย์ สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของร่างกายในขณะนี้? (นี่คือจังหวะของการหยุด)
ความหมายทางกายภาพของข้อความต่อไปนี้คืออะไร: อนุพันธ์ของการเคลื่อนที่มีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุด t 0; เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์เมื่อผ่านจุด t 0 หรือไม่? (ร่างกายหยุด ทิศทางการเคลื่อนไหวเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม)

ตัวอย่างผลงานของนักเรียน

x(t)= เสื้อ 3 -2 เสื้อ 2 +1, เสื้อ 0 = 2.

รูปที่ 4

ในทิศทางตรงกันข้าม

ลองวาดแผนผังของความเร็วกัน ความเร็วสูงสุดจะเกิดขึ้น ณ จุดนั้น

เสื้อ=10, โวลต์ (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

รูปที่ 5

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สรุปบทเรียน

1) ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร?
2) ความหมายเชิงกลของอนุพันธ์คืออะไร?
3) สรุปเกี่ยวกับงานของคุณ

8. แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการบ้าน

หน้า 90. ลำดับที่ 91(2,4,6), ลำดับที่ 92(2,4,6,), หน้า 92 ลำดับที่ 112.

หนังสือมือสอง

หนังสือเรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์
ผู้เขียน: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. ชาบูนินา.
เรียบเรียงโดย A.B. Zhizhchenko
พีชคณิตเกรด 11 แผนการสอนตามตำราเรียนของ Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. ส่วนที่ 1.
แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

เชิงนามธรรม เปิดบทเรียนครู GBPOU " วิทยาลัยครูหมายเลข 4 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก"

มาร์ตูเซวิช ทัตยานา โอเลคอฟนา

วันที่: 29/12/2557

หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วิธีการสอน: ภาพการค้นหาบางส่วน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

แนะนำแนวคิดเรื่องแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ค้นหาว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร หาสมการของแทนเจนต์ และสอนวิธีค้นหา

วัตถุประสงค์ทางการศึกษา:

บรรลุความเข้าใจในความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ ได้มาซึ่งสมการแทนเจนต์ เรียนรู้การแก้ปัญหาเบื้องต้น

จัดให้มีการทำซ้ำเนื้อหาในหัวข้อ "คำจำกัดความของอนุพันธ์";

สร้างเงื่อนไขในการควบคุม (การควบคุมตนเอง) ความรู้และทักษะ

งานพัฒนา:

ส่งเสริมการพัฒนาทักษะในการใช้เทคนิคการเปรียบเทียบ การวางนัยทั่วไป และการเน้นประเด็นหลัก

พัฒนาขอบเขตทางคณิตศาสตร์การคิดและการพูดความสนใจและความทรงจำต่อไป

งานด้านการศึกษา:

ส่งเสริมความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

การศึกษากิจกรรมความคล่องตัวทักษะการสื่อสาร

ประเภทบทเรียน – บทเรียนรวมโดยใช้ ICT

อุปกรณ์ – การติดตั้งมัลติมีเดีย, การนำเสนอไมโครซอฟต์พลังจุด.

ขั้นตอนบทเรียน

เวลา

กิจกรรมของครู

กิจกรรมนักศึกษา

1. ช่วงเวลาขององค์กร

ระบุหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

การเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการทำงานในชั้นเรียน

การเตรียมงานในชั้นเรียน

ทำความเข้าใจหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

จดโน๊ต.

2. การเตรียมความพร้อมในการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ผ่านการทำซ้ำและปรับปรุงความรู้พื้นฐาน

การจัดระเบียบการทำซ้ำและการปรับปรุงความรู้พื้นฐาน: คำจำกัดความของอนุพันธ์และการกำหนดความหมายทางกายภาพ

การกำหนดคำจำกัดความของอนุพันธ์และการกำหนดความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ การทำซ้ำ การปรับปรุง และการรวบรวมความรู้พื้นฐาน

การจัดระเบียบการทำซ้ำและการพัฒนาทักษะการค้นหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นพลังงานและฟังก์ชันเบื้องต้น

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้สูตร

การทำซ้ำคุณสมบัติ ฟังก์ชันเชิงเส้น.

การทำซ้ำ การรับรู้ภาพวาด และคำพูดของครู

3. การทำงานกับเนื้อหาใหม่: คำอธิบาย

คำอธิบายความหมายของความสัมพันธ์ระหว่างการเพิ่มฟังก์ชันและการเพิ่มอาร์กิวเมนต์

คำอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

การแนะนำเนื้อหาใหม่ผ่านการอธิบายด้วยวาจาโดยใช้รูปภาพและสื่อโสตทัศนูปกรณ์: การนำเสนอมัลติมีเดียพร้อมภาพเคลื่อนไหว

การรับรู้คำอธิบาย ความเข้าใจ การตอบคำถามของครู

การตั้งคำถามกับครูในกรณีที่มีปัญหา

การรับรู้ข้อมูลใหม่ ความเข้าใจหลักและความเข้าใจ

การตั้งคำถามกับครูในกรณีที่มีปัญหา

กำลังสร้างบันทึก

การกำหนดความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

พิจารณาสามกรณี

จดบันทึก, วาดภาพ.

4. การทำงานกับวัสดุใหม่

ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้เนื้อหาที่ศึกษา การรวมเนื้อหา

อนุพันธ์เป็นบวกที่จุดใด?

เชิงลบ?

เท่ากับศูนย์?

การฝึกอบรมการค้นหาอัลกอริธึมในการตอบคำถามตามกำหนดเวลา

ทำความเข้าใจ ทำความเข้าใจ และประยุกต์ใช้ข้อมูลใหม่เพื่อแก้ไขปัญหา

5. ความเข้าใจเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้เนื้อหาที่ศึกษาและการรวมเนื้อหา

ข้อความของเงื่อนไขงาน

การบันทึกเงื่อนไขของงาน

การตั้งคำถามกับครูในกรณีที่มีปัญหา

6. การประยุกต์ใช้ความรู้: งานอิสระที่มีลักษณะการสอน

แก้ไขปัญหาด้วยตัวเอง:

การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ

ทำงานอิสระในการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์จากการวาดภาพ การอภิปรายและตรวจคำตอบเป็นคู่ การตั้งคำถามให้ครูในกรณีที่มีความยากลำบาก

7. การทำงานกับเนื้อหาใหม่: คำอธิบาย

การหาสมการแทนเจนต์จากกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

คำอธิบายโดยละเอียดการหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งโดยใช้การนำเสนอมัลติมีเดียเพื่อความชัดเจนในการตอบคำถามของผู้เรียน

ที่มาของสมการแทนเจนต์ร่วมกับครู คำตอบสำหรับคำถามของครู

จดบันทึกสร้างภาพวาด

8. การทำงานกับเนื้อหาใหม่: คำอธิบาย

ในการสนทนากับนักเรียน ที่มาของอัลกอริทึมในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด

ในการสนทนากับครู ให้หาอัลกอริทึมสำหรับค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด

จดโน๊ต.

ข้อความของเงื่อนไขงาน

การฝึกอบรมการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ

จัดระเบียบการค้นหาวิธีแก้ปัญหาและการนำไปปฏิบัติ การวิเคราะห์โดยละเอียดโซลูชั่นพร้อมคำอธิบาย

การบันทึกเงื่อนไขของงาน

ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับ วิธีที่เป็นไปได้การแก้ปัญหาเมื่อนำแผนปฏิบัติการแต่ละประเด็นไปปฏิบัติ ร่วมกันแก้ไขปัญหาร่วมกับอาจารย์

บันทึกวิธีแก้ปัญหาและคำตอบ

9. การประยุกต์ใช้ความรู้: งานอิสระที่มีลักษณะการสอน

การควบคุมส่วนบุคคล ให้คำปรึกษาและช่วยเหลือนักศึกษาตามความจำเป็น

ตรวจสอบและอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การนำเสนอ

การประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับ

งานอิสระในการแก้ปัญหาการหาอนุพันธ์จากรูปวาด การอภิปรายและตรวจคำตอบเป็นคู่ การตั้งคำถามให้ครูในกรณีที่มีความยากลำบาก

10. การบ้าน.

§48 ปัญหาข้อ 1 และ 3 ทำความเข้าใจวิธีแก้ปัญหาแล้วจดลงในสมุดบันทึกพร้อมภาพวาด

№ 860 (2,4,6,8),

ข้อความการบ้านพร้อมความคิดเห็น

การบันทึกการบ้าน

11. สรุป.

เราทำซ้ำคำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น

เราเรียนรู้ว่าความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์คืออะไร

เราเรียนรู้วิธีการหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด

การแก้ไขและชี้แจงผลการเรียน

แสดงรายการผลลัพธ์ของบทเรียน

12. การสะท้อนกลับ

1. คุณพบบทเรียน: ก) ง่าย; ข) โดยปกติ; ค) ยาก

ก) เชี่ยวชาญมันอย่างสมบูรณ์แล้ว ฉันสามารถนำไปใช้ได้

b) ได้เรียนรู้แล้ว แต่พบว่านำไปใช้ได้ยาก

ค) ไม่เข้าใจ

3. การนำเสนอมัลติมีเดียในชั้นเรียน:

ก) ช่วยในการเชี่ยวชาญเนื้อหา b) ไม่ได้ช่วยให้เชี่ยวชาญเนื้อหา

c) รบกวนการดูดซึมของวัสดุ

การนำการสะท้อนกลับ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

4. อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

5. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยพารามิเตอร์และโดยปริยาย

6. ความแตกต่างของฟังก์ชันที่ระบุทั้งแบบพาราเมตริกและโดยปริยาย

การแนะนำ.

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือคำถามสองข้อที่เกิดขึ้นจากความต้องการของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีในศตวรรษที่ 17

1) คำถามเกี่ยวกับการคำนวณความเร็วสำหรับกฎการเคลื่อนที่ที่กำหนดโดยพลการ

2) คำถามในการค้นหา (โดยใช้การคำนวณ) แทนเจนต์กับเส้นโค้งที่กำหนดโดยพลการ

ปัญหาในการวาดเส้นสัมผัสเส้นโค้งบางส่วนได้รับการแก้ไขโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอาร์คิมีดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) โดยใช้วิธีการวาดภาพ

แต่ในศตวรรษที่ 17 และ 18 เท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยี ปัญหาเหล่านี้ได้รับการพัฒนาตามกำหนด

คำถามสำคัญข้อหนึ่งเมื่อศึกษาข้อใดข้อหนึ่ง ปรากฏการณ์ทางกายภาพโดยปกติคำถามจะเกี่ยวกับความเร็ว ความเร็วของปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น

ความเร็วที่เครื่องบินหรือรถยนต์เคลื่อนที่ให้บริการเสมอ ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดผลงานของเขา อัตราการเติบโตของประชากรของรัฐใดรัฐหนึ่งเป็นหนึ่งในลักษณะสำคัญของการพัฒนาสังคม

แนวคิดดั้งเดิมของความเร็วนั้นชัดเจนสำหรับทุกคน อย่างไรก็ตาม เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ในเรื่องนี้ ความคิดทั่วไปไม่พอ. จำเป็นต้องมีคำจำกัดความเชิงปริมาณของปริมาณนี้ซึ่งเราเรียกว่าความเร็ว ความจำเป็นในการกำหนดปริมาณที่แม่นยำเช่นนี้ถือเป็นแรงจูงใจหลักประการหนึ่งในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในอดีต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งส่วนมีไว้เพื่อแก้ไขปัญหาพื้นฐานนี้และสรุปผลจากโซลูชันนี้ เรามาศึกษาส่วนนี้กันต่อ

คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก,ค)และต่อเนื่องอยู่ในนั้น

1. เรามาโต้แย้งกันเถอะ เอ็กซ์เพิ่มขึ้น จากนั้นฟังก์ชันจะได้ค่า

เพิ่มขึ้น:

2. มาสร้างความสัมพันธ์กันเถอะ .

3. ผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่ และ สมมติว่าขีดจำกัดนั้น

มีอยู่ เราก็จะได้ปริมาณที่เรียกว่า

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์.

คำนิยาม.อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อ →0

มูลค่าของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับประเด็นอย่างชัดเจน เอ็กซ์ซึ่งพบได้ ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงกลายเป็นฟังก์ชันบางส่วนของ เอ็กซ์- แสดงโดย .

ตามคำนิยามที่เรามี

หรือ (3)

ตัวอย่าง.ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. ;

ประเภทงาน: 7

เงื่อนไข

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ค้นหา b โดยพิจารณาว่าเป็น abscissa ของจุดสัมผัสกัน น้อยกว่าศูนย์.

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งก็คือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 แล้ว b=3+24x_0=-21

คำตอบ

ประเภทงาน: 7
หัวข้อ: ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 เนินเขา- ดังนั้นเราจึงพบค่า x_0 โดยที่ =-2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu.

เงื่อนไข

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(-6; 2) และ B(-1; 1) ให้เราแสดงด้วย C(-6; 1) จุดตัดกันของเส้นตรง x=-6 และ y=1 และด้วย \alpha มุม ABC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะทำให้เกิดมุม \pi -\alpha โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งเป็นมุมป้าน

ดังที่ทราบกันดีว่า tg(\pi -\alpha) จะเป็นค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0 สังเกตว่า tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.จากที่นี่ เมื่อใช้สูตรการลด เราจะได้: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

คำตอบ

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-2x-4 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 ค้นหา b โดยพิจารณาว่าเป็น abscissa ของจุดสัมผัสกัน เหนือศูนย์.

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=16x^2+bx+12 โดยที่

สัมผัสกับกราฟนี้

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งก็คือ y"(x_0)=32x_0+b=-2 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4 \end(กรณี)

เมื่อแก้ระบบ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=1 จากนั้น b=-2-32x_0=-34

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y=6

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

เส้นตรง y=6 ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บน แผนภูมินี้จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้วอยู่ 4 จุด

คำตอบ

เงื่อนไข

เส้นตรง y=4x-6 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x^2-4x+9 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=2x-4 ซึ่งหมายถึง y"(x_0)= 2x_0-4 ความชันของแทนเจนต์ y =4x-7 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ 4 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ดังนั้นเราจึงพบค่า x_0 โดยที่ 2x_0-4=4

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x_0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x_0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

จากรูป เราพบว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A(1; 1) และ B(5; 4) ให้เราแสดงด้วยจุดตัดของเส้นตรง x=5 และ y=1 ด้วย C(5; 1) และด้วย \alpha มุม BAC (คุณจะเห็นในรูปว่ามันเป็นรูปเฉียบพลัน) จากนั้นเส้นตรง AB จะสร้างมุม \อัลฟา โดยมีทิศทางบวกของแกน Ox