Kahulugan.Quadratic Form, naaayon sa simetriko bilinear na anyo sa linear space V , ay tinatawag na function ng isang vector argument .

Hayaang ang isang parisukat na anyo , ay isang simetriko na anyo ng bilinear na naaayon dito. Pagkatapos

kung saan sumusunod na mula sa isang parisukat na anyo ang katumbas na simetriko na anyo ng bilinear ay natatanging tinutukoy din. Kaya, sa pagitan ng simetriko bilinear at quadratic na mga anyo sa isang linear na espasyo V ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag, kaya ang mga parisukat na anyo ay maaaring pag-aralan gamit ang simetriko na mga anyo ng bilinear.

Isipin mo n-dimensional na linear na espasyo. Matrix ng quadratic form sa isang ibinigay na batayan ng isang linear space ay tinatawag na isang matrix ng katumbas na simetriko bilinear form sa parehong batayan. Ang isang quadratic matrix ay palaging simetriko.

Tukuyin ang matrix ng parisukat na anyo sa ilang batayan ng espasyo. Kung, gaya ng nakasanayan, ipinapahiwatig namin X ang coordinate column ng vector sa parehong batayan, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay 5.5 makuha namin ang matrix form ng quadratic form:

.

Teorama 5.4. Hayaang ibigay ang dalawang base sa isang linear na espasyo

(5.10)

, (5.11)

at hayaan at maging quadratic matrices sa mga base (5.10) at (5.11), ayon sa pagkakabanggit. Tapos saan T ay ang transition matrix mula sa (5.10) hanggang (5.11).

Ang patunay ay sumusunod mula sa Theorem 5.2 at ang kahulugan ng isang matrix ng isang parisukat na anyo.

Dahil sa ang katunayan na ang transition matrix T ay non-degenerate, kung gayon ang ranggo ng matrix ng quadratic form ay hindi nagbabago kapag pumasa sa isang bagong batayan. Samakatuwid, maaari nating bumalangkas ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan. ranggo ng isang parisukat na anyo na tinukoy sa isang linear na espasyo ay tinatawag na ranggo ng matrix nito sa ilang, at samakatuwid sa anumang batayan ng espasyo (na tinutukoy ng ).

Ngayon ay isinusulat namin ang quadratic form sa coordinate form. Upang gawin ito, pinalawak namin ang vector sa mga tuntunin ng batayan (5.10): . Kung ay isang matrix ng isang parisukat na anyo sa parehong batayan, kung gayon, alinsunod sa pagkakapantay-pantay (5.4), mayroon tayong

– (5.12)

coordinate form ng isang quadratic form. Isulat natin ang (5.12) nang detalyado para sa n= 3, ibinigay na

Kaya, kung ang isang batayan ay ibinigay sa, kung gayon ang parisukat na anyo sa coordinate notation ay mukhang isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa n mga variable - mga coordinate ng vector sa ibinigay na batayan. Ang polynomial na ito ay tinatawag tingnan parisukat na anyo sa isang ibinigay na batayan. Ngunit sa mga aplikasyon, ang gayong mga polynomial ay madalas na lumabas nang nakapag-iisa, nang walang nakikitang koneksyon sa mga linear na puwang (halimbawa, ang pangalawang pagkakaiba-iba ng mga pag-andar), kaya bumubuo kami ng isa pang kahulugan ng isang parisukat na anyo.

Kahulugan. parisukat na anyo mula sa n mga variable ay isang homogenous second-degree polynomial sa mga variable na ito, ibig sabihin, isang function ng form (5.12). Ang isang matrix ng isang parisukat na anyo (5.12) ay isang simetriko matrix.

Halimbawa pag-compile ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Hayaan

Makikita mula sa (5.12) at (5.13) na ang coefficient ng at ay tumutugma sa , ibig sabihin, ang mga elemento ng dayagonal ng matrix ng parisukat na anyo ay ang mga coefficient ng mga parisukat. Sa parehong paraan, nakikita natin na kalahati ng koepisyent ng produkto. Kaya, ang quadratic form matrix (5.14) ay ganito ang hitsura:

.

Pinipili namin ngayon sa espasyo muli ang dalawang base (5.10) at (5.11) at tukuyin, gaya ng dati, ay ang mga coordinate column ng vector sa mga base (5.10) at (5.11), ayon sa pagkakabanggit. Kapag pumasa mula sa batayan (5.10) hanggang sa batayan (5.11), ang mga coordinate ng vector ay nagbabago ayon sa batas:

nasaan ang transition matrix mula sa (5.10) hanggang (5.11). Tandaan na ang matrix ay di-degenerate. Sinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (5.15) sa anyo ng coordinate:

o sa detalye:

(5.17)

Sa tulong ng pagkakapantay-pantay (5.17) (o (5.16), na pareho), pumasa tayo mula sa mga variable patungo sa mga variable .

Kahulugan. Linear non-degenerate transformation ng mga variable ay isang pagbabagong-anyo ng mga variable na tinukoy ng isang sistema ng mga pagkakapantay-pantay (5.16) o (5.17), o isang solong pagkakapantay-pantay ng matrix (5.15), sa kondisyon na iyon ay isang nonsingular na matrix. Matrix T ay tinatawag na matrix ng pagbabagong ito ng mga variable.

Kung sa (5.12) sa halip na mga variable ay pinapalitan natin ang kanilang mga expression sa mga tuntunin ng mga variable ayon sa mga formula (5.17), buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang homogenous polynomial ng pangalawang degree:

.

Sa kasong ito, ang linear non-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable (5.17) ay sinasabing kunin ang quadratic form sa quadratic form . Ang mga halaga ng mga variable at nauugnay sa kaugnayan (5.15) (o mga relasyon (5.16) o (5.17)) ay tatawagin kaugnay para sa isang ibinigay na linear nondegenerate transformation ng mga variable.

Kahulugan. Ang hanay ng mga variable ay tinatawag hindi mahalaga , kung ang halaga ng hindi bababa sa isa sa mga variable dito ay nonzero. Kung hindi, ang hanay ng mga variable ay tinatawag walang kuwenta .

Lemma 5.2. Sa ilalim ng linear nondegenerate transformation ng mga variable, ang isang maliit na hanay ng mga variable ay tumutugma sa isang trivial set.

Malinaw na sumusunod ito mula sa pagkakapantay-pantay (5.15): kung , pagkatapos at . Sa kabilang banda, gamit ang nonsingularity ng matrix T, muli mula sa (5.15) nakuha natin ang , kung saan malinaw na para sa , gayundin .◄

Bunga. Sa ilalim ng linear nondegenerate transformation ng mga variable, ang isang nontrivial set ng mga variable ay tumutugma sa isang nontrivial set.

Teorama 5.5. Kung ang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo (5.15) ay kinuha ang parisukat na anyo may matrix A sa isang parisukat na anyo may matrix A", pagkatapos (isa pang pagbabalangkas ng Theorem 5.4).

Bunga. Sa ilalim ng isang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable, ang determinant ng isang matrix ng isang quadratic form ay hindi nagbabago ng sign.

Magkomento. Hindi tulad ng transition matrix at ang matrix linear operator, ang matrix ng isang linear nondegenerate transformation ng mga variable ay isinulat hindi sa pamamagitan ng mga column, ngunit sa pamamagitan ng mga row.

Hayaang magbigay ng dalawang linear na di-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable:

Ilapat natin ang mga ito sa pagkakasunud-sunod:

Komposisyon ng linear non-degenerate transformations ng mga variable Ang (5.18) at (5.19) ay ang kanilang sunud-sunod na aplikasyon, i.e., pagbabago ng mga variable Mula sa (5.20) malinaw na ang komposisyon ng dalawang linear non-degenerate transformations ng mga variable ay isa ring linear na non-degenerate na pagbabago ng mga variable.

Kahulugan. Quadratic na mga anyo tinawag katumbas , kung mayroong isang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable na nagpapalit ng isa sa mga ito sa isa pa.

Kahulugan. Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na positibong tiyak kung ang lahat ng mga halaga nito para sa mga tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero ay positibo. Malinaw, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Kahulugan. Ang isang parisukat na anyo ay sinasabing negatibong tiyak kung ang lahat ng mga halaga nito ay negatibo maliban sa isang hindi-zero na halaga kapag ang mga variable ay may mga hindi-zero na mga halaga.

Kahulugan. Ang isang parisukat na anyo ay sinasabing positibo (negatibong) semidefinite kung hindi ito kumukuha ng mga negatibong (positibong) halaga.

Ang mga parisukat na anyo na may parehong positibo at negatibong mga halaga ay tinatawag na hindi tiyak.

Sa n=1 ang parisukat na anyo ay alinman sa positibong tiyak (para sa ) ​​o negatibong tiyak (para sa ). Lumilitaw ang mga hindi tiyak na anyo sa .

Teorama(Sylvester's criterion para sa positive definiteness ng isang quadratic form). Upang ang parisukat na anyo

ay positibong tinukoy, kinakailangan at sapat na ang mga sumusunod na kondisyon ay matugunan:

.

Patunay. Gumagamit kami ng induction sa bilang ng mga variable na kasama sa . Para sa isang parisukat na anyo depende sa isang variable, at ang assertion ng theorem ay halata. Ipagpalagay natin na ang assertion ng theorem ay wasto para sa isang quadratic form depende sa n-1 mga variable.

1. Patunay ng pangangailangan. Hayaan

positibong tinukoy. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo

ay magiging positibong tiyak, dahil kung , pagkatapos ay para sa .

Sa pamamagitan ng induction hypothesis, lahat ng mga pangunahing menor de edad ng form ay positibo, i.e.

.

Ito ay nananatiling upang patunayan iyon.

Positibong tiyak na quadratic na anyo sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation X=BY nabawasan sa canonical form

Ang parisukat na anyo ay tumutugma sa dayagonal matrix

na may determinant.

Linear transformation na tinukoy ng isang nonsingular matrix V, binabago ang matrix SA parisukat na anyo sa isang matrix. Pero dahil tapos .

2. Katibayan ng kasapatan. Ipagpalagay na ang lahat ng pangunahing menor de edad ng parisukat na anyo ay positibo: .

Patunayan natin na ang quadratic form ay positive definite. Ang induction hypothesis ay nagpapahiwatig ng positibong definiteness ng quadratic form . Kaya ay nabawasan sa normal na anyo sa pamamagitan ng isang non-degenerate linear transformation. Ang paggawa ng naaangkop na pagbabago ng mga variable at setting , nakuha namin

saan - ilang mga bagong coefficient.

Sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable, nakukuha namin

.

Ang determinant ng matrix ng quadratic form na ito ay , at dahil ang sign nito ay tumutugma sa sign, pagkatapos , at, samakatuwid, ang quadratic form - ay positibong tinukoy. Ang teorama ay napatunayan.

Para ang isang parisukat na anyo ay maging negatibong tiyak, ito ay kinakailangan at sapat na iyon

maging positibong tiyak, na nangangahulugan na ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix

ay positibo. Ngunit ito ay nangangahulugan na

mga. na ang mga palatandaan ng mga pangunahing menor de edad ng matris C kahalili, nagsisimula sa isang minus sign.

Halimbawa. Kalkulahin kung ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) tiyak o hindi tiyak.

Solusyon. Ang quadratic matrix ay may anyo:

.

Kalkulahin ang mga pangunahing menor de edad ng matrix SA:

Ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Solusyon. Kalkulahin ang mga pangunahing menor de edad ng matrix

Ang parisukat na anyo ay hindi tiyak.

Sa konklusyon, binubuo namin ang sumusunod na teorama.

Teorama(ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo). Ang bilang ng mga positibo at negatibong mga parisukat sa normal na anyo, kung saan ang parisukat na anyo ay nababawasan ng mga di-degenerate na linear na pagbabago, ay hindi nakadepende sa pagpili ng mga pagbabagong ito.

7.5. Mga gawain para sa pansariling gawain kabanata 7

7.1. Patunayan na kung ang isang parisukat na anyo na may matrix A ay positibong tiyak, pagkatapos ay ang parisukat na anyo na may baligtad na matris positibong tinukoy.

7.2. Hanapin ang normal na anyo sa domain ng mga tunay na numero

7.3. Hanapin ang normal na anyo sa domain ng mga tunay na numero

Quadratic na mga anyo

parisukat na anyo f(x 1, x 2,..., xn) ng n mga variable ay tinatawag na kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o ang produkto ng dalawang magkaibang mga variable, na kinuha sa isang tiyak na koepisyent: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A, na binubuo ng mga coefficient na ito, ay tinatawag na quadratic form matrix. Ito'y palaging simetriko matrix (ibig sabihin, isang simetriko ng matrix tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay may anyong f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient sa mga parisukat ng mga variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng kalahati ng kaukulang mga coefficient ng quadratic form. Kaya

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-degenerate matrix ng order n. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Kaya, sa ilalim ng isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng parisukat na anyo ay tumatagal ng anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang quadratic form f(y 1, y 2) na nakuha mula sa quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Mayroon itong canonical view) kung ang lahat ng coefficients nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(ang patunay ay hindi ibinigay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin sa canonical form ang quadratic form
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, piliin muna ang buong parisukat para sa variable x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pipiliin namin ang buong parisukat para sa variable x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 at y 3 \u003d x 3 ay nagdadala ng quadratic form na ito sa canonical form f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay tinukoy nang malabo (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang iba't ibang paraan Ang mga canonical form ay may isang bilang ng mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa kung paano binabawasan ang anyo sa form na ito (halimbawa, sa isinasaalang-alang na halimbawa ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 at y 3 = x 1 . Dito, isang positibong koepisyent 2 para sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) para sa y 1 at y 2 (at gamit ang isa pang paraan, nakakuha kami ng positibong koepisyent 2 para sa y 1 at dalawang negatibong coefficient - (-5) para sa y 2 at (-1 /20) para sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag ang ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang quadratic form na f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang quadratic form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ay positive definite, dahil ay ang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang sign-definiteness ng isang quadratic form, kaya isa sa mga sumusunod na theorems ang ginagamit para dito (binubalangkas namin ang mga ito nang walang mga patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (pamantayan ni Sylvester). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Major (sulok) menor Ang k-th order ng matrix A ng n-th order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na parisukat na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, sinusuri namin ang quadratic form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa sign-definiteness.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Ang pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix AD 1 = a 11 = 2 > 0. Ang pangunahing menor ng pangalawang order D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayang Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang quadratic form para sa sign-definiteness, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form А = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo. Matrix ng quadratic form. Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo. Paraan ng Lagrange. normal na view parisukat na anyo. Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo. Positibong tiyak na parisukat na anyo. Quadrics.

Ang konsepto ng isang parisukat na anyo: isang function sa isang vector space na ibinigay ng isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa mga coordinate ng vector.

parisukat na anyo mula sa n hindi kilala ay tinatawag na kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga hindi alam na ito, o ang produkto ng dalawang magkaibang hindi alam.

Quadratic Matrix: Ang matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form sa ibinigay na batayan. Kung ang katangian ng patlang ay hindi katumbas ng 2, maaari nating ipagpalagay na ang matrix ng parisukat na anyo ay simetriko, iyon ay, .

Sumulat ng isang matrix ng quadratic form:

Kaya naman,

Sa vector-matrix form, ang quadratic form ay:

A , saan

Kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo: Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

Paraan ng Lagrange : sunud-sunod na pagpili ng buong parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ang isang katulad na pamamaraan ay ginagawa sa parisukat na anyo atbp. Kung nasa parisukat na anyo ang lahat ngunit ay pagkatapos, pagkatapos ng isang paunang pagbabago, ang bagay ay nabawasan sa pamamaraang isinasaalang-alang. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay itinakda namin

Ang normal na anyo ng isang parisukat na anyo ay: Ang normal na quadratic form ay isang canonical quadratic form kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng +1 o -1.

Ranggo, indeks at lagda ng isang parisukat na anyo: Ang ranggo ng parisukat na anyo A tinatawag na ranggo ng matris A. Ang ranggo ng isang parisukat na anyo ay hindi nagbabago sa ilalim ng mga hindi nabubuong pagbabago ng mga hindi alam.

Ang bilang ng mga negatibong coefficient ay tinatawag na negatibong index ng hugis.

Ang bilang ng mga positibong termino sa canonical form ay tinatawag na positibong index ng inertia ng quadratic form, ang bilang ng mga negatibong termino ay tinatawag na negatibong index. Ang pagkakaiba sa pagitan ng positibo at negatibong mga indeks ay tinatawag na lagda ng quadratic form

Positibong tiyak na parisukat na anyo: Tunay na parisukat na anyo ay tinatawag na positive-definite (negative-definite) kung para sa anumang tunay na halaga ng mga variable na hindi sabay na katumbas ng zero

. (36)

Sa kasong ito, ang matrix ay tinatawag ding positive definite (negative definite).

Ang klase ng positive-definite (negative-definite) form ay bahagi ng klase ng non-negative (respectively, non-positive) forms.

Quads: Quadric - n-dimensional na hypersurface sa n+1-dimensional na espasyo, na tinukoy bilang set ng mga zero ng isang polynomial ng pangalawang degree. Kung ilalagay mo ang mga coordinate ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (sa Euclidean o affine space), pangkalahatang equation may anyo ang quadrics

Ang equation na ito ay maaaring muling isulat nang mas compact sa matrix notation:

kung saan x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) ay isang row vector, x T ay ang transposed vector, Q ay ang laki ng matrix ( n+1)×( n+1) (pinapalagay na kahit isa sa mga elemento nito ay nonzero), P ay isang row vector, at R ay isang pare-pareho. Kadalasan, ang mga quadric ay itinuturing na higit sa tunay o kumplikadong mga numero. Ang kahulugan ay maaaring pahabain sa quadrics sa projective space, tingnan sa ibaba.

Sa pangkalahatan, ang hanay ng mga zero ng isang sistema ng mga polynomial equation ay kilala bilang isang algebraic variety. Kaya ang quadric ay isang (affine o projective) algebraic variety ng second degree at codimension 1.

Mga pagbabago sa eroplano at espasyo.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano. Kahulugan ng paggalaw. mga katangian ng paggalaw. Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri. Mga halimbawa ng paggalaw. Analytical expression ng paggalaw. Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya). Grupo ng mga galaw ng eroplano.

Depinisyon ng pagbabago ng eroplano: Kahulugan. Ang isang pagbabagong-anyo ng eroplano na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng mga punto ay tinatawag paggalaw(o displacement) ng eroplano. Ang pagbabago ng eroplano ay tinatawag affine, kung ito ay tumatagal ng anumang tatlong puntos na nakahiga sa parehong linya sa tatlong puntos na nakahiga din sa parehong linya at sa parehong oras ay pinapanatili ang simpleng relasyon ng tatlong puntos.

Depinisyon ng paggalaw: Ito ay isang pagbabago ng hugis na nagpapanatili ng mga distansya sa pagitan ng mga punto. Kung ang dalawang figure ay eksaktong pinagsama sa bawat isa sa pamamagitan ng paggalaw, ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Mga katangian ng paggalaw: bawat paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang parallel na pagsasalin o isang pag-ikot; bawat paggalaw na nagbabago ng oryentasyon ng isang eroplano ay alinman sa isang axial symmetry o isang sliding symmetry. Ang mga puntos na nakahiga sa isang tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumasa sa mga punto na nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang kanilang pagkakasunud-sunod ay napanatili Kaugnay na posisyon. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng kalahating linya ay napanatili.

Dalawang uri ng paggalaw: paggalaw ng unang uri at paggalaw ng pangalawang uri: Ang mga paggalaw ng unang uri ay ang mga paggalaw na nagpapanatili ng oryentasyon ng mga base ng isang tiyak na pigura. Maaari silang maisasakatuparan sa patuloy na paggalaw.

Ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay ang mga paggalaw na nagbabago sa oryentasyon ng mga base sa kabaligtaran. Hindi sila maisasakatuparan sa pamamagitan ng patuloy na paggalaw.

Ang mga halimbawa ng mga paggalaw ng unang uri ay pagsasalin at pag-ikot sa paligid ng isang tuwid na linya, at ang mga paggalaw ng pangalawang uri ay sentral at mirror symmetry.

Ang komposisyon ng anumang bilang ng mga galaw ng unang uri ay isang galaw ng unang uri.

Ang komposisyon ng isang pantay na bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang kilusan ng unang uri, at ang komposisyon ng isang kakaibang bilang ng mga paggalaw ng pangalawang uri ay isang paggalaw ng ika-2 uri.

Mga halimbawa ng paggalaw:Parallel na paglipat. Hayaan ang isang maging isang ibinigay na vector. Ang parallel transfer sa vector a ay ang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat point M ay nakamapa sa point M 1, na ang vector MM 1 ay katumbas ng vector a.

Ang parallel translation ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na pinapanatili ang mga distansya. Sa paningin, ang paggalaw na ito ay maaaring ilarawan bilang isang paglipat ng buong eroplano sa direksyon binigay na vector ngunit sa haba nito.

Lumiko . Magtalaga tayo ng isang punto O sa eroplano ( pagliko sa gitna) at itakda ang anggulo α ( anggulo ng pag-ikot). Ang pag-ikot ng eroplano sa paligid ng puntong O sa pamamagitan ng anggulong α ay ang pagmamapa ng eroplano sa sarili nito, kung saan ang bawat puntong M ay nakamapa sa puntong M 1, na ang OM = OM 1 at ang anggulong MOM 1 ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang punto O ay nananatili sa lugar nito, ibig sabihin, ito ay ipinapakita sa sarili nito, at ang lahat ng iba pang mga punto ay umiikot sa paligid ng punto O sa parehong direksyon - clockwise o counterclockwise (ang figure ay nagpapakita ng isang counterclockwise na pag-ikot).

Ang pagliko ay isang paggalaw dahil ito ay isang pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, na nagpapanatili ng mga distansya.

Analytical expression ng paggalaw: ang analytical na koneksyon sa pagitan ng mga coordinate ng pre-image at ang imahe ng punto ay may form (1).

Pag-uuri ng mga galaw ng eroplano (depende sa pagkakaroon ng mga nakapirming punto at hindi nagbabagong linya): Kahulugan:

Ang isang punto sa isang eroplano ay invariant (naayos) kung, sa ilalim ng isang ibinigay na pagbabago, ito ay nagbabago sa sarili nito.

Halimbawa: Kailan sentral na simetrya ang punto ng sentro ng simetrya ay invariant. Kapag lumiliko, ang punto ng gitna ng pag-ikot ay invariant. Sa axial symmetry ang linya ay invariant - ang axis ng symmetry ay ang linya ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang paggalaw ay walang invariant point, kung gayon mayroon itong kahit isang invariant na direksyon.

Halimbawa: Parallel transfer. Sa katunayan, ang mga linyang parallel sa direksyon na ito ay invariant bilang isang figure sa kabuuan, bagama't hindi ito binubuo ng mga invariant na puntos.

Theorem: Kung ang ilang ray ay gumagalaw, ang sinag ay isasalin sa sarili nito, kung gayon ang paggalaw na ito ay alinman sa isang magkaparehong pagbabago, o isang simetriya na may kinalaman sa linyang naglalaman ng ibinigay na sinag.

Samakatuwid, ayon sa pagkakaroon ng mga invariant na puntos o figure, posibleng pag-uri-uriin ang mga paggalaw.

Pangalan ng paggalaw	Mga invariant na puntos	Mga linyang walang pagbabago
Ang paggalaw ng unang uri.
1. - lumiko	(gitna) - 0	Hindi
2. Pagbabago ng pagkakakilanlan	lahat ng mga punto ng eroplano	diretso lahat
3. Sentral na simetrya	punto 0 - gitna	lahat ng linya na dumadaan sa point 0
4. Parallel transfer	Hindi	diretso lahat
Ang paggalaw ng pangalawang uri.
5. Axial symmetry.	hanay ng mga puntos	axis ng simetrya (tuwid) lahat tuwid

Grupo ng paggalaw ng eroplano: Sa geometry mahalagang papel mga grupo ng mga self-kombinasyon ng mga figure play. Kung - ilang figure sa eroplano (o sa espasyo), pagkatapos ay maaari naming isaalang-alang ang hanay ng lahat ng mga paggalaw ng eroplano (o espasyo), kung saan ang figure ay pumasa sa sarili nito.

Ang set na ito ay isang grupo. Halimbawa, para sa isang equilateral triangle, ang pangkat ng mga galaw ng eroplano na kumukuha ng tatsulok sa sarili nito ay binubuo ng 6 na elemento: mga pag-ikot ng mga anggulo sa paligid ng isang punto at mga simetriko tungkol sa tatlong linya.

Ang mga ito ay ipinapakita sa fig. 1 na may mga pulang linya. Ang mga elemento ng self-coincidence group ng isang regular na tatsulok ay maaaring tukuyin sa ibang paraan. Upang linawin ito, bilangin natin ang mga vertices ng isang regular na tatsulok na may mga numerong 1, 2, 3. maaaring may kundisyon na ilagay sa anyo ng isa sa mga bracket na ito:

atbp.

kung saan ang mga numero 1, 2, 3 ay tumutukoy sa mga numero ng mga vertices kung saan pumasa ang mga vertex 1, 2, 3 bilang isang resulta ng itinuturing na paggalaw.

Projective space at ang kanilang mga modelo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space. Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry. Ang isang grupo ng mga linya na nakasentro sa punto O ay isang projective plane model. projective points. Ang pinalawig na eroplano ay isang modelo ng projective plane. Ang pinahabang three-dimensional na affine o Euclidean space ay isang projective space model. Mga larawan ng plane at spatial figure sa parallel na disenyo.

Konsepto ng projective space at modelo ng projective space:

Ang projective space sa ibabaw ng field ay isang space na binubuo ng mga linya (one-dimensional subspaces) ng ilang linear space sa ibabaw ng isang partikular na field. Ang mga tuwid na espasyo ay tinatawag mga tuldok projective space. Ang kahulugang ito ay nagbibigay ng sarili sa pangkalahatan sa isang arbitraryong katawan

Kung ito ay may dimensyon , kung gayon ang dimensyon ng projective space ay tinatawag na numero , at ang projective space mismo ay tinutukoy at tinatawag na nauugnay sa (upang ipahiwatig ito, ang notasyon ay pinagtibay).

Ang paglipat mula sa isang vector space ng dimensyon sa kaukulang projective space ay tinatawag projectivization mga espasyo.

Maaaring ilarawan ang mga puntos gamit ang mga homogenous na coordinate.

Mga pangunahing katotohanan ng projective geometry: Ang projective geometry ay isang sangay ng geometry na nag-aaral ng mga projective na eroplano at espasyo. pangunahing tampok Ang projective geometry ay batay sa prinsipyo ng duality, na nagdaragdag ng magandang simetrya sa maraming disenyo. Maaaring pag-aralan ang projective geometry kapwa mula sa isang purong geometric na punto ng view, at mula sa isang analytic (gamit ang homogenous na mga coordinate) at salgebraic point of view, na isinasaalang-alang ang projective plane bilang isang istraktura sa ibabaw ng isang field. Kadalasan, at ayon sa kasaysayan, ang tunay na projective plane ay itinuturing bilang Euclidean plane na may pagdaragdag ng "line at infinity".

Samantalang ang mga katangian ng mga figure na tinatalakay ng Euclidean geometry ay panukat(mga tiyak na halaga ng mga anggulo, mga segment, mga lugar), at ang pagkakapareho ng mga numero ay katumbas ng kanilang pagkakatugma(ibig sabihin, kapag ang mga numero ay maaaring isalin sa isa't isa sa pamamagitan ng paggalaw habang pinapanatili ang metric na mga katangian), mayroong higit pang "mas malalim na pagsisinungaling" na mga katangian mga geometric na hugis, na pinapanatili ng mga pagbabagong mas pangkalahatang uri kaysa sa paggalaw. Pinag-aaralan ng projective geometry ang mga katangian ng mga figure na invariant sa ilalim ng klase projective transformations, pati na rin ang mga pagbabagong ito mismo.

Ang projective geometry ay umaakma sa Euclidean sa pamamagitan ng pagbibigay ng maganda at mga simpleng solusyon para sa maraming mga problema na kumplikado sa pamamagitan ng pagkakaroon ng mga parallel na linya. Ang projective theory ng conic sections ay lalong simple at eleganteng.

Mayroong tatlong pangunahing diskarte sa projective geometry: independent axiomatization, karagdagan sa Euclidean geometry, at structure sa isang field.

Axiomatization

Ang projective space ay maaaring tukuyin sa ibang set axioms.

Nagbibigay ang Coxeter ng sumusunod:

1. May linya at wala dito.

2. Mayroong hindi bababa sa tatlong puntos sa bawat linya.

3. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

4. Kung A, B, C, at D iba't ibang puntos at AB at CD bumalandra, pagkatapos AC at BD bumalandra.

5. Kung ABC ay isang eroplano, pagkatapos ay mayroong kahit isang punto na wala sa eroplano ABC.

6. Dalawang magkaibang eroplano ang nagsalubong sa hindi bababa sa dalawang punto.

7. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng isang kumpletong quadrilateral.

8. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X X

Ang projective plane (nang walang ikatlong dimensyon) ay tinukoy ng medyo magkakaibang mga axiom:

1. Eksaktong isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos.

2. Magsalubong ang alinmang dalawang linya.

3. Mayroong apat na puntos, kung saan walang tatlong collinear.

4. Hindi collinear ang tatlong diagonal na punto ng kumpletong quadrilaterals.

5. Kung mayroong tatlong puntos sa isang tuwid na linya X ay invariant sa ilalim ng projectivity ng φ, pagkatapos ay ang lahat ng mga puntos sa X ay invariant na may kinalaman sa φ.

6. Teorama ni Desargues: Kung ang dalawang tatsulok ay pananaw sa pamamagitan ng isang punto, kung gayon ang mga ito ay pananaw sa pamamagitan ng isang linya.

Sa pagkakaroon ng ikatlong dimensyon, ang teorama ni Desargues ay maaaring patunayan nang hindi ipinakilala ang perpektong punto at linya.

Pinalawak na eroplano - modelo ng projective na eroplano: sa isang affine space A3, kumuha ng bundle ng mga linyang S(O) na nakasentro sa isang punto O at isang eroplanong Π na hindi dumadaan sa gitna ng bundle: O 6∈ Π. Ang isang bundle ng mga linya sa isang affine space ay isang modelo ng projective plane. Itakda natin ang pagmamapa ng hanay ng mga punto ng eroplano Π sa hanay ng mga linya ng bundle na S (Damn, manalangin kung nakuha mo ang tanong na ito, pasensya na)

Extended three-dimensional affine o Euclidean space - projective space model:

Upang gawing surjective ang pagmamapa, inuulit namin ang proseso ng pormal na pagpapalawak ng affine plane Π sa projective plane, Π, na umaakma sa plane Π na may isang hanay ng mga hindi wastong puntos (M∞) tulad ng: ((M∞)) = P0(O). Dahil sa pagma-map ang kabaligtaran na imahe ng bawat eroplano ng bundle ng mga eroplanong S(O) ay isang linya sa eroplanong d, malinaw na ang hanay ng lahat ng hindi wastong punto ng pinalawig na eroplano: Π = Π ∩ (M∞) Ang , (M∞), ay isang hindi tamang linya d∞ ng pinalawig na eroplano na siyang kabaligtaran na imahe ng isahan na eroplano Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sumang-ayon tayo na dito at sa ibaba ay mauunawaan natin ang huling pagkakapantay-pantay na P0(O) = Π0 sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay ng mga puntos, ngunit pinagkalooban ng iba't ibang istruktura. Bilang pagpupuno sa affine plane na may hindi tamang linya, natiyak namin na ang pagmamapa (I.21) ay magiging bijective sa hanay ng lahat ng mga punto ng pinalawig na eroplano:

Mga larawan ng mga flat at spatial figure sa parallel na disenyo:

Sa stereometry, pinag-aaralan ang mga spatial figure, ngunit sa pagguhit ay inilalarawan sila bilang mga flat figure. Paano, kung gayon, dapat ilarawan ang isang spatial figure sa isang eroplano? Karaniwan sa geometry, parallel na disenyo ang ginagamit para dito. Hayaan akong maging isang eroplano, l- isang tuwid na linya na bumabagtas dito (Larawan 1). Sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto A, hindi kabilang sa linya l gumuhit ng isang linya parallel sa linya l. Ang punto ng intersection ng linyang ito sa plane p ay tinatawag na parallel projection ng punto A sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l. Ipahiwatig natin ito A". Kung ang punto A nabibilang sa linya l, pagkatapos ay ang parallel projection A sa eroplano p ay itinuturing na punto ng intersection ng linya l may eroplano p.

Kaya, ang bawat punto A ang espasyo ay nakamapa sa projection nito A" papunta sa eroplano p. Ang sulat na ito ay tinatawag na parallel projection papunta sa eroplano p sa direksyon ng tuwid na linya l.

Grupo ng mga projective na pagbabago. Aplikasyon sa paglutas ng problema.

Ang konsepto ng projective transformation ng eroplano. Mga halimbawa ng projective plane transformations. Mga katangian ng projective transformations. Homology, mga katangian ng homology. Grupo ng mga projective na pagbabago.

Ang konsepto ng isang projective plane transformation: Ang paniwala ng isang projective transformation ay nag-generalize ng ideya ng isang sentral na projection. Kung gagawin natin ang gitnang projection ng plane α papunta sa ilang plane α 1 , pagkatapos ay ang projection ng α 1 papunta sa α 2 , α 2 papunta sa α 3 , ... at, sa wakas, ilang plane α n muli sa α 1 , kung gayon ang komposisyon ng lahat ng mga projection na ito ay ang projective transformation ng eroplanong α; ang naturang chain ay maaaring magsama ng mga parallel projection.

Mga halimbawa ng pagbabago ng projective plane: Ang projective transformation ng isang augmented plane ay ang one-to-one na pagmamapa nito sa sarili nito, na nagpapanatili ng collinearity ng mga puntos, o, sa madaling salita, ang imahe ng anumang tuwid na linya ay isang tuwid na linya. Ang anumang projective transformation ay isang komposisyon ng isang chain ng central at parallel projection. Ang pagbabagong-anyo ng affine ay espesyal na kaso projective, kung saan ang linya sa infinity ay pumapasok sa sarili nito.

Mga katangian ng projective transformations:

Sa ilalim ng projective transformation, ang tatlong puntos na wala sa isang linya ay namamapa sa tatlong puntos na wala sa isang linya.

Sa ilalim ng projective transformation, ang frame ay napupunta sa frame.

Sa ilalim ng projective transformation, ang isang linya ay napupunta sa isang tuwid na linya, ang isang bigkis ay napupunta sa isang bigkis.

Homology, mga katangian ng homology:

Ang isang projective transformation ng isang eroplano na may linya ng mga invariant na puntos at samakatuwid ang isang lapis ng mga invariant na linya ay tinatawag na homology.

1. Ang isang linyang dumadaan sa katumbas na hindi magkakatulad na mga punto ng homology ay isang invariant na linya;

2. Ang mga linyang dumadaan sa mga katumbas na hindi magkakatugmang homology na mga punto ay nabibilang sa parehong lapis, na ang gitna ay isang invariant na punto.

3. Ang isang punto, ang imahe nito, at ang sentro ng homology ay nasa parehong tuwid na linya.

Grupo ng mga projective na pagbabago: isaalang-alang ang projective mapping ng projective plane P 2 sa sarili nito, iyon ay, projective transformation ng plane na ito (P 2 ’ = P 2).

Tulad ng dati, ang komposisyon f ng projective transformations f 1 at f 2 ng projective plane P 2 ay resulta ng sunud-sunod na pagpapatupad ng mga transformation f 1 at f 2: f = f 2 °f 1 .

Theorem 1: Ang set H ng lahat ng projective transformations ng projective plane P 2 ay isang grupo sa ilalim ng komposisyon ng projective transformations.

Mga hugis parisukat.
Kahalagahan ng mga form. Ang pamantayan ni Sylvester

Ang pang-uri na "parisukat" ay agad na nagmumungkahi na ang isang bagay dito ay konektado sa isang parisukat (ikalawang antas), at sa lalong madaling panahon malalaman natin ang "isang bagay" na ito at kung ano ang isang anyo. Lumabas agad :)

Maligayang pagdating sa aking bagong aralin, at bilang isang agarang warm-up, titingnan natin ang hugis na may guhit linear. Linear na anyo mga variable tinawag homogenous 1st degree polynomial:

- ilang partikular na numero * (Ipagpalagay namin na kahit isa sa kanila ay iba sa zero), at mga variable na maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga.

* Sa paksang ito, isasaalang-alang lamang natin tunay na mga numero .

Nakatagpo na natin ang katagang "homogeneous" sa aralin tungkol sa homogenous na sistema ng mga linear equation, at sa kasong ito ito ay nagpapahiwatig na ang polynomial ay walang idinagdag na pare-pareho.

Halimbawa: – linear na anyo ng dalawang variable

Ngayon ang hugis ay parisukat. parisukat na anyo mga variable tinawag homogenous 2nd degree polynomial, bawat termino kung saan naglalaman ng alinman sa parisukat ng variable o doble produkto ng mga variable. Kaya, halimbawa, ang parisukat na anyo ng dalawang variable ay mayroon susunod na view:

Pansin! Ito ay isang karaniwang entry, at hindi mo kailangang baguhin ang anumang bagay dito! Sa kabila ng "kakila-kilabot" na hitsura, ang lahat ay simple dito - ang mga dobleng subscript ng mga constant ay nagpapahiwatig kung aling mga variable ang kasama sa isa o ibang termino:
– ang terminong ito ay naglalaman ng produkto at (parisukat);
- narito ang gawain;
- at narito ang gawain.

- Inaasahan ko kaagad ang isang malaking pagkakamali kapag nawala nila ang "minus" ng koepisyent, hindi napagtatanto na tumutukoy ito sa terminong:

Minsan mayroong isang "paaralan" na bersyon ng disenyo sa espiritu, ngunit kung minsan lamang. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang mga constants dito ay hindi nagsasabi sa amin ng anuman, at samakatuwid ay mas mahirap na matandaan ang "madaling notasyon". Lalo na kapag mas maraming variable.

At parisukat anyo ng tatlo ang mga variable ay naglalaman na ng anim na miyembro:

... bakit inilalagay ang "dalawang" multiplier sa "halo-halong" termino? Ito ay maginhawa, at malapit nang maging malinaw kung bakit.

ngunit pangkalahatang pormula isulat natin ito, ito ay maginhawa upang ayusin ito sa isang "sheet":

- maingat na pag-aralan ang bawat linya - walang mali doon!

Ang parisukat na anyo ay naglalaman ng mga terminong may mga parisukat na variable at mga termino sa kanilang mga pares na produkto (cm. kombinatoryal na pormula ng mga kumbinasyon) . Wala nang iba pa - walang "lonely x" at walang idinagdag na pare-pareho (pagkatapos ay hindi ka makakakuha ng isang parisukat na anyo, ngunit magkakaiba 2nd degree polynomial).

Matrix notation ng isang quadratic form

Depende sa mga halaga, ang itinuturing na anyo ay maaaring magkaroon ng parehong positibo at negatibong mga halaga, at pareho ang naaangkop sa anumang linear na anyo - kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient nito ay hindi zero, maaari itong maging positibo o negatibo (depende sa sa mga halaga).

Ang form na ito ay tinatawag na papalit-palit. At kung ang lahat ay transparent sa linear form, kung gayon ang mga bagay ay mas kawili-wili sa quadratic form:

Ito ay lubos na malinaw na ang form na ito ay maaaring tumagal sa mga halaga ng anumang palatandaan, kaya, ang quadratic form ay maaari ding alternating.

Maaaring hindi ito:

– palagi, maliban kung pareho ang pareho sa zero.

- para sa sinuman vector maliban sa zero.

At sa pangkalahatan, kung para sa alinman hindi zero vector , , pagkatapos ay tinatawag ang quadratic form positibong tiyak; kung - pagkatapos negatibong tiyak.

At lahat ay magiging maayos, ngunit ang katiyakan ng parisukat na anyo ay makikita lamang sa mga simpleng halimbawa, at nawawala ang visibility na ito kahit na may kaunting komplikasyon:
– ?

Maaaring isipin ng isa na ang form ay positibong tinukoy, ngunit ito ba talaga? Biglang may mga halaga kung saan ito mas mababa sa zero?

Sa account na ito, doon teorama: kung lahat eigenvalues Ang mga matrice ng quadratic form ay positibo * , pagkatapos ito ay positibong tinukoy. Kung ang lahat ay negatibo, kung gayon ito ay negatibo.

* Ito ay pinatunayan sa teorya na ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang tunay na simetriko matrix wasto

Isulat natin ang matrix ng form sa itaas:
at mula sa equation hanapin natin siya eigenvalues:

Malutas namin ang magandang matanda quadratic equation:

, kaya ang form ay positibong tinukoy, i.e. para sa anumang hindi-zero na mga halaga Higit sa zero.

Ang itinuturing na pamamaraan ay tila gumagana, ngunit mayroong isang malaking PERO. Para na sa "tatlo sa tatlong" matrix, ang paghahanap ng mga eigenvalues ​​ay isang mahaba at hindi kasiya-siyang gawain; na may mataas na posibilidad makakakuha ka ng isang polynomial ng 3rd degree na may hindi makatwiran na mga ugat.

Paano maging? May mas madaling paraan!

Ang pamantayan ni Sylvester

Hindi, hindi Sylvester Stallone :) Una, ipaalala ko sa iyo kung ano angular na menor de edad matrice. Ito mga determinant na "lumago" mula sa itaas na kaliwang sulok:

at ang huli ay eksaktong katumbas ng determinant ng matrix.

Ngayon, sa katunayan, pamantayan:

1) Quadratic form na tinukoy positibo kung at kung ang LAHAT ng mga angular na menor de edad nito ay mas malaki sa zero: .

2) Quadratic form na tinukoy negatibo kung at tanging kung ang mga angular na menor nito ay kahalili sa sign, habang ang 1st minor ay mas mababa sa zero: , , kung ay kahit o , kung ay kakaiba.

Kung hindi bababa sa isang angular na menor de edad ang may kabaligtaran na tanda, kung gayon ang anyo pag-alternate ng sign. Kung ang mga angular na menor de edad ng "na" sign, ngunit kasama ng mga ito ay may mga zero, kung gayon ito isang espesyal na kaso, na tatalakayin ko nang kaunti, pagkatapos nating talakayin ang mas karaniwang mga halimbawa.

Suriin natin ang mga angular na menor de edad ng matrix :

At ito ay agad na nagsasabi sa amin na ang form ay hindi negatibong tinutukoy.

Konklusyon: lahat ng anggulong menor de edad ay mas malaki sa zero, kaya ang hugis positibong tinukoy.

Mayroon bang pagkakaiba sa pamamaraan ng eigenvalue? ;)

Sinusulat namin ang shape matrix mula sa Halimbawa 1:

ang unang angular minor nito, at ang pangalawa , kung saan sumusunod na ang form ay sign-alternating, i.e. depende sa mga halaga, maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Gayunpaman, ito ay napakalinaw.

Kunin ang form at ang matrix nito mula sa Halimbawa 2:

dito sa lahat nang walang insight hindi maintindihan. Ngunit sa pamantayan ng Sylvester, wala kaming pakialam:
, samakatuwid ang form ay tiyak na hindi negatibo.

, at tiyak na hindi positibo. (dahil lahat ng anggulong minor ay dapat positive).

Konklusyon: ang hugis ay papalit-palit.

Mga halimbawa ng warm-up para sa malayang solusyon:

Halimbawa 4

Siyasatin ang mga quadratic form para sa sign-definiteness

a)

Sa mga halimbawang ito, ang lahat ay maayos (tingnan ang dulo ng aralin), ngunit sa katunayan, upang makumpleto ang ganoong gawain Maaaring hindi sapat ang pamantayan ni Sylvester.

Ang punto ay mayroong mga "hangganan" na mga kaso, ibig sabihin: kung para sa alinman hindi zero vector , pagkatapos ay tinukoy ang hugis hindi negatibo, kung - pagkatapos hindi positibo. Ang mga form na ito ay may hindi zero mga vector kung saan .

Dito maaari kang magdala ng tulad ng isang "button accordion":

Nagha-highlight buong parisukat, nakita namin agad hindi negatibiti form: , bukod dito, ito ay katumbas ng zero at para sa anumang vector na may pantay na coordinate, Halimbawa: .

Halimbawa ng "Mirror". hindi positibo tiyak na anyo:

at isang mas maliit na halimbawa:
– dito ang form ay katumbas ng zero para sa anumang vector , kung saan ay isang arbitrary na numero.

Paano ibunyag ang hindi negatibo o hindi positibo ng isang form?

Para dito kailangan natin ang konsepto pangunahing menor de edad matrice. Ang pangunahing minor ay isang minor na binubuo ng mga elemento na nasa intersection ng mga row at column na may parehong mga numero. Kaya, ang matrix ay may dalawang pangunahing menor de edad ng 1st order:
(ang elemento ay nasa intersection ng 1st row at 1st column);
(ang elemento ay nasa intersection ng 2nd row at 2nd column),

at isang major 2nd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column.

Matrix "tatlo sa tatlo" Mayroong pitong pangunahing menor de edad, at narito kailangan mong iwagayway ang iyong biceps:
- tatlong menor de edad ng 1st order,
tatlong menor de edad ng 2nd order:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column;
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 3rd row at 1st, 3rd column;
- binubuo ng mga elemento ng 2nd, 3rd row at 2nd, 3rd column,
at isang 3rd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd, 3rd row at 1st, 2nd at 3rd column.
Mag-ehersisyo para sa pag-unawa: isulat ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix .
Sinusuri namin sa pagtatapos ng aralin at magpatuloy.

Pamantayan ng Schwarzenegger:

1) Non-zero* quadratic form na tinukoy hindi negatibo kung at kung LAHAT ng mga pangunahing menor de edad nito hindi negatibo(mas malaki sa o katumbas ng zero).

* Ang zero (degenerate) quadratic form ay mayroong lahat ng coefficient na katumbas ng zero.

2) Nonzero quadratic form na may tinukoy na matrix hindi positibo kung at kung ito lang:
– mga pangunahing menor de edad ng 1st order hindi positibo(mas mababa sa o katumbas ng zero);
ay mga pangunahing menor de edad ng 2nd order hindi negatibo;
– mga pangunahing menor de edad ng ika-3 utos hindi positibo(nagsimula na ang paghalili);
…
– major minor ng ika-utos hindi positibo, kung kakaiba o hindi negatibo, kung ay kahit na.

Kung hindi bababa sa isang menor de edad ang nasa kabaligtaran ng tanda, kung gayon ang form ay sign-alternating.

Tingnan natin kung paano gumagana ang criterion sa mga halimbawa sa itaas:

Gumawa tayo ng shape matrix, at una sa lahat kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad - paano kung ito ay positibo o negatibong tinukoy?

Ang nakuha na mga halaga ay hindi nakakatugon sa Sylvester criterion, gayunpaman, ang pangalawang menor de edad hindi negatibo, at ginagawa nitong kinakailangan upang suriin ang ika-2 criterion (sa kaso ng 2nd criterion, hindi ito awtomatikong matutupad, ibig sabihin, ang isang konklusyon ay agad na ginawa tungkol sa pagpapalit ng tanda ng form).

Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- ay positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, LAHAT ng major minors ay non-negative, kaya ang form hindi negatibo.

Isulat natin ang form matrix , para sa kung saan, malinaw naman, ang Sylvester criterion ay hindi nasiyahan. Ngunit hindi rin kami nakatanggap ng magkasalungat na mga palatandaan (dahil ang parehong angular na menor de edad ay katumbas ng zero). Samakatuwid, sinusuri namin ang katuparan ng criterion ng non-negativity / non-positiveness. Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- hindi positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, ayon sa pamantayan ng Schwarzenegger (punto 2), ang form ay tinutukoy na hindi positibo.

Ngayon, ganap na armado, susuriin namin ang isang mas nakakaaliw na problema:

Halimbawa 5

Suriin ang quadratic form para sa sign-definiteness

Ang form na ito ay pinalamutian ng order na "alpha", na maaaring katumbas ng anumang tunay na numero. Ngunit ito ay magiging mas masaya magpasya.

Una, isulat natin ang form matrix, marahil, marami na ang umangkop na gawin ito nang pasalita: sa pangunahing dayagonal inilalagay namin ang mga coefficient sa mga parisukat, at sa mga simetriko na lugar - ang kalahating coefficient ng kaukulang "halo" na mga produkto:

Kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad:

Palalawakin ko ang ikatlong determinant sa ika-3 linya:

Bumalik