Ang minus at plus ay mga palatandaan ng negatibo at positibong mga numero sa matematika. Nakikipag-ugnayan sila sa kanilang sarili sa iba't ibang paraan, samakatuwid, kapag nagsasagawa ng anumang mga aksyon na may mga numero, halimbawa, paghahati, pagpaparami, pagbabawas, pagdaragdag, atbp., Kinakailangang isaalang-alang. lagdaan ang mga tuntunin. Kung wala ang mga panuntunang ito, hindi mo magagawang lutasin kahit ang pinakasimpleng algebraic o geometric na problema. Kung walang kaalaman sa mga patakarang ito, hindi ka makakapag-aral hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika, biology, at maging sa heograpiya.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga pangunahing alituntunin ng mga palatandaan.
Dibisyon.
Kung hinati natin ang "plus" sa "minus", palagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung hinati natin ang "minus" sa "plus", palagi din tayong nakakakuha ng "minus". Kung hahatiin natin ang "plus" sa "plus", makakakuha tayo ng "plus". Kung hahatiin natin ang "minus" sa "minus", kung gayon, kakaiba, nakakakuha din tayo ng "plus".
Pagpaparami.
Kung i-multiply natin ang "minus" sa "plus", palagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung i-multiply natin ang "plus" sa "minus", palagi din tayong nakakakuha ng "minus". Kung i-multiply natin ang "plus" sa "plus", pagkatapos ay makakakuha tayo ng positibong numero, iyon ay, "plus". Ganun din sa dalawa mga negatibong numero. Kung i-multiply natin ang "minus" sa "minus", makakakuha tayo ng "plus".
Pagbabawas at pagdaragdag.
Ang mga ito ay batay sa iba pang mga prinsipyo. Kung ang isang negatibong numero ay mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa aming positibo, kung gayon ang resulta, siyempre, ay magiging negatibo. Tiyak, nagtataka ka kung ano ang isang module at kung bakit ito naririto. Napakasimple ng lahat. Ang modulus ay ang halaga ng isang numero, ngunit walang sign. Halimbawa -7 at 3. Ang Modulo -7 ay magiging 7 lamang, at ang 3 ay mananatiling 3. Bilang resulta, nakikita natin na ang 7 ay mas malaki, iyon ay, lumalabas na ang ating negatibong numero ay mas malaki. Kaya lalabas ito -7 + 3 \u003d -4. Maaari itong gawing mas madali. Maglagay lamang ng positibong numero sa unang lugar, at 3-7 = -4 ay lalabas, marahil ito ay mas nauunawaan para sa isang tao. Ang pagbabawas ay gumagana sa eksaktong parehong paraan.
Dalawang negatibo ang nagpapatunay- ito ay isang alituntunin na natutunan natin sa paaralan at ginagamit sa buong buhay natin. Sino sa atin ang nagtaka kung bakit? Siyempre, mas madaling kabisaduhin ang pahayag na ito nang walang karagdagang mga katanungan at hindi malalim na suriin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "digested". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa tanong na ito, susubukan naming ipaliwanag ang mathematical phenomenon na ito.
Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng positibo natural na mga numero: 1, 2, 3, 4, 5, ... Ang mga baka, pananim, kaaway, atbp. ay binilang gamit ang mga numero. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero, kapag hinahati ang ilang dami sa iba, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito ang paglitaw ng mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mabuting idagdag ang mas maliit sa mas malaki at ibawas ang mas maliit sa mas malaki, habang muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari lamang akong magbigay ng mas mababa sa 10 o 10 sa isang tao. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.
Mula lamang sa ika-7 siglo AD. Ang mga negatibong numero ay ginamit sa ilang mga sistema ng pagbibilang bilang mga auxiliary na halaga, na naging posible upang makakuha ng positibong numero sa sagot.
Isaalang-alang ang isang halimbawa, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Upang mahanap ang sagot, kinakailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga miyembro na hindi alam kanang banda, at walang alam - sa kaliwa: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kapag hinahati ang isang negatibong numero sa isang negatibo, nakakakuha kami ng isang positibong sagot: x \u003d 7.
Ano ang nakikita natin?
Ang mga aksyon na may mga negatibong numero ay dapat humantong sa amin sa parehong sagot tulad ng mga aksyon na may mga positibong numero lamang. Hindi na natin maiisip ang tungkol sa praktikal na hindi kaangkupan at kahalagahan ng mga aksyon - tinutulungan nila tayong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa anyo lamang na may mga positibong numero. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit sa isang malaking bilang ng mga termino, ang mga kalkulasyon na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang aming trabaho.
Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng mahabang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na matukoy ang mga patakaran na sinusunod ng lahat ng mga numero at aksyon sa kanila (sa matematika ay tinatawag silang mga axiom). Doon nanggaling isang axiom na nagsasaad na kapag pinarami mo ang dalawang negatibong numero, makakakuha ka ng positibong numero.
www.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang tao ang sumusubok na pumunta sa ibaba at alamin kung bakit ang "minus" hanggang "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibo ang lalabas.
Mga Batas ng Matematika
Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Lubusan nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang nila sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapanlinlang, kailangan nilang makarating sa ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin nating, bakit ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga matatanda ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nasangkot sa problema ...
Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero magbibigay lamang ng minus. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang numero na may tanda na "-", kung gayon ang resulta ay isang positibong numero. Ganun din sa division. Kung negatibo ang isa sa mga numero, magkakaroon din ng "-" sign ang quotient.
Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, kaugalian na tawagan ang isang singsing na isang set kung saan ang dalawang operasyon na may dalawang elemento ay kasangkot. Ngunit ito ay mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.
Ring axiom
Mayroong ilang mga batas sa matematika.
- Ang una sa kanila ay displaceable, ayon sa kanya, C + V = V + C.
- Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).
Ang multiplikasyon (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.
Walang kinansela ang mga panuntunan kung saan binubuksan ang mga bracket (V + C) x D = V x D + C x D, totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.
Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipasok sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.
Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero
Sa pamamagitan ng pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong: "Plus" sa "minus" ay nagbibigay ng anong senyales? Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.
Upang gawin ito, kailangan muna nating patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay may isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na ang dalawang numero ay magkasalungat para sa C - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng displacement at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Kaya, V = V + C + D.
Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.
Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), ang kabaligtaran ay C at (-(-C)), iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.
Pagkatapos ay halata na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sumusunod dito na ang C x V ay kabaligtaran ng (-) C x V , na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).
Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produkto 0 x V ay hindi nagbabago sa itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.
Sa pag-alam sa lahat ng mga axiom na ito, posibleng mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" ng "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag pinarami ang mga negatibong numero.
Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may tanda na "-".
Kung hindi mo malalaman ang mga nuances sa matematika, maaari mong subukang ipaliwanag ang mga patakaran ng pagkilos na may mga negatibong numero sa mas simpleng paraan.
Ipagpalagay na ang C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Iyon ay, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.
(-C) x (-V) \u003d D, dalawang magkaparehong produkto ang maaaring idagdag at ibawas sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Ito ay sumusunod mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).
Katulad nito, mapapatunayan ng isa na ang resulta ng paghahati ng dalawang negatibong numero ay magiging positibo.
Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika
Siyempre, ang paliwanag na ito ay hindi angkop para sa mga mag-aaral. mababang grado na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mainam para sa kanila na magpaliwanag sa mga nakikitang bagay, manipulahin ang pamilyar na termino sa pamamagitan ng salamin. Halimbawa, imbento, ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na salamin ay nagdadala sa kanila sa ibang mundo, na katumbas ng tunay, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resultang pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi nagsisikap nang husto upang bungkalin ang lahat ng mga nuances sa matematika.
Bagaman, kung harapin mo ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na sa mataas na edukasyon at marami sa mga tuntunin ay nananatiling isang misteryo. Ang bawat tao'y tumatagal para sa ipinagkaloob kung ano ang itinuturo sa kanila ng kanilang mga guro, hindi sa kawalan upang bungkalin ang lahat ng mga kumplikado na puno ng matematika. Ang "minus" sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat ang tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at fractional na numero.
1) Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one?
2) Bakit ang minus one times plus one ay katumbas ng minus one?
"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan."
Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.
Noong unang panahon, ang mga natural na numero lamang ang alam ng mga tao: 1, 2, 3, ... Ginagamit ang mga ito upang magbilang ng mga kagamitan, biktima, kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay medyo walang silbi - kailangan mong mahawakan sila. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng pagdaragdag). Ang pagpaparami ay, sa katunayan, ang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan ay kinakailangan upang hatiin ang isang dami sa isa pa, ngunit dito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.
Ang pagbabawas, siyempre, ay kailangang-kailangan din. Ngunit sa pagsasagawa, malamang na ibawas natin ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 kendi at bibigyan ko ng 3 ang aking kapatid na babae, magkakaroon ako ng 5 - 3 = 2 kendi, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng 7 kendi nang buong pagnanais.) Maipaliwanag nito kung bakit hindi gumamit ng mga negatibong numero ang mga tao sa mahabang panahon.
Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang tool lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi tulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes - isa sa mga "founder" ng modernong matematika - ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).
Isaalang-alang, halimbawa, ang equation 7x - 17 = 2x - 2. Maaari itong malutas tulad nito: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.
Ngunit maaaring hindi sinasadyang gawin ito ng isang tao sa ibang paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (–15)/(–5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling concluded na (–15)/(–5) = 3 .
Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, nagiging malinaw ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may malaking bilang ng mga termino) na paghahanap para sa landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa mga natural na numero. Higit pa rito, hindi na natin maiisip ang bawat oras tungkol sa kabuluhan ng mga dami na kino-convert - at isa na itong hakbang tungo sa gawing abstract science ang matematika.
Ang mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring kondisyon na nahahati sa mga yugto: bawat isa susunod na yugto naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction sa pag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, para sa lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba-iba, ay may maraming pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas, at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa, upang ang resulta ay muling integer, ay hindi laging posible. Ang parehong ay totoo para sa polynomials.
Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga koleksyon ng mga bagay sa matematika, kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal serye ng kapangyarihan, tuloy-tuloy na pag-andar... Sa wakas, ang pag-unawa ay dumating na kung pag-aaralan mo ang mga katangian ng mga operasyon sa kanilang sarili, ang mga resulta ay maaaring mailapat sa lahat ng mga koleksyon ng mga bagay na ito (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).
Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: singsing. Ito ay isang grupo lamang ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing tuntunin dito ay mga panuntunan lamang (tinatawag silang axioms) kung saan ang mga aksyon ay napapailalim, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, bagong antas abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: ang singsing ng mga integer, ang singsing ng polynomial, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.
Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, ay katulad ng mga patakaran para sa mga operasyon na may mga integer), at pagkatapos ay patunayan namin na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay nagreresulta sa isang plus.
singsing ay tinatawag na set na may dalawang binary operations (iyon ay, dalawang elemento ng singsing ang kasangkot sa bawat operasyon), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axioms:
- ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay sumusunod sa commutative ( A + B = B + A para sa anumang elemento A at B) at nag-uugnay ( A + (B + C) = (A + B) + C) batas; ang singsing ay naglalaman ng isang espesyal na elemento 0 (isang neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan) tulad na A + 0 = A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinutukoy (–A)), Ano A + (–A) = 0 ;
- Ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A (B C) = (A B) C ;
- Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na panuntunan sa pagpapalawak ng panaklong: (A + B) C = A C + B C at A (B + C) = A B + A C .
Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng pagpaparami upang maging permutable, at hindi rin ito mababaligtad (iyon ay, hindi laging posible na hatiin), at hindi rin nangangailangan ng pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento na may paggalang. sa pagpaparami. Kung ang mga axiom na ito ay ipinakilala, kung gayon ang iba pang mga istrukturang algebraic ay nakuha, ngunit ang lahat ng mga theorems na pinatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.
Pinatunayan namin ngayon iyon para sa anumang elemento A at B totoo ang arbitrary ring, una, (–A) B = –(A B), at pangalawa (–(–A)) = A. Mula dito, madaling sundin ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: (–1) 1 = –(1 1) = –1 at (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .
Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming pinatunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elemento A may dalawang magkasalungat: B at SA. Yan ay A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang ang kabuuan A+B+C. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang pag-aari ng zero, nakuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ibig sabihin, B=C .
Pansinin natin ngayon iyon A, at (–(–A)) ay kabaligtaran ng parehong elemento (–A), kaya dapat sila ay pantay.
Ang unang katotohanan ay ganito: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, yan ay (–A) B kabaligtaran A B, kaya ito ay katumbas ng –(A B) .
Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag natin kung bakit 0 B = 0 para sa anumang elemento B. talaga, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Iyon ay, ang karagdagan 0 B hindi nagbabago ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.
At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.
Tumugon: Evgeny Epifanov
Ipakita ang mga komento (37)
I-collapse ang mga komento (37)
Magandang sagot. Pero para sa high school freshman level. Para sa akin, maaari itong ipaliwanag nang mas simple at malinaw, gamit ang halimbawa ng formula na "distansya = bilis * oras" (grade 2).
Kumbaga, naglalakad kami sa kalsada, may kotseng nag-overtake sa amin at nagsimulang umalis. Ang oras ay lumalaki - at ang distansya dito ay lumalaki. Ang bilis ng naturang makina ay ituturing na positibo, maaari itong, halimbawa, 10 metro bawat segundo. Nga pala, ilang miles per hour yan? 10/1000(km)*60(sec)*60(min)= 10*3.6=36 km/h. Medyo. Baka masama ang daan...
Ngunit ang sasakyan na paparating sa amin ay hindi umaalis, ngunit papalapit. Samakatuwid, ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang bilis nito bilang negatibo. Halimbawa -10 m/sec. Bumababa ang distansya: 30, 20, 10 metro sa paparating na kotse. Bawat segundo ay minus 10 metro. Ngayon ay malinaw na kung bakit ang bilis na may minus? Dito siya lumilipad. Ano ang distansya nito sa isang segundo? Iyan ay tama, -10 metro, i.e. "10 metro sa likod."
Narito ang unang pahayag. (-10 m/sec) * (1 seg) = -10 m.
Minus (negatibong bilis) beses plus (positibong oras) ay nagbigay ng minus (negatibong distansya, kotse sa likod ko).
At ngayon pansin - minus sa minus. Nasaan ang paparating na sasakyan isang segundo BAGO ito dumaan? (-10 m/sec) * (- 1 sec) = 10 m.
Minus (negatibong bilis) beses minus (negatibong oras) = plus (positibong distansya, ang kotse ay 10 metro sa harap ko).
Malinaw ba ito, o may nakakaalam ng mas simpleng halimbawa?
Sagot
Oo, mas madaling patunayan! Ang 5 * 2 ay dalawang beses na inaalis sa linya ng numero, sa positibong panig, ang numero 5, at pagkatapos ay makuha namin ang numero 10. kung 2 * (-5), pagkatapos ay magbibilang kami ng dalawang beses sa numero 5, ngunit nasa negatibong direksyon na, at nakuha namin ang numero (-10), ngayon isipin ang 2 * (-5), bilang
2 * 5 * (-1) \u003d -10, ang sagot ay muling isinulat mula sa nakaraang pagkalkula, at hindi nakuha sa isang ito, Kaya masasabi natin na kapag nagpaparami ng isang numero sa (-1), mayroong isang pagbabaligtad ng numerical na dalawang polar axis, ibig sabihin pagkabaligtad ng polarity. Ang isinantabi natin sa positive part ay naging negative and vice versa. Ngayon (-2)*(-5), isinusulat namin ito bilang (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), isinantabi ang numero (-10), at binabago ang polarity ng axis, dahil . multiply sa (-1), nakakakuha tayo ng +10, hindi ko alam kung mas madali?
Sagot
Sa tingin ko tama ka. Susubukan ko lang ipakita ang iyong pananaw nang mas detalyado, dahil. Nakikita ko na hindi lahat naiintindihan ito.
Ang ibig sabihin ng minus ay take away. Kung ang 5 mansanas ay kinuha mula sa iyo ng 1 beses, pagkatapos ay sa dulo 5 mansanas ay kinuha mula sa iyo, na kung saan ay may kondisyon na ipinahiwatig ng isang minus, i.e. - (+5). Pagkatapos ng lahat, kinakailangan na kahit papaano ay italaga ang aksyon. Kung ang 1 mansanas ay pinili ng 5 beses, pagkatapos ay sa huli ay pinili din nila: - (+5). Kasabay nito, ang mga napiling mansanas ay hindi naging haka-haka, dahil walang kinansela ang batas ng konserbasyon ng bagay. Ang mga positibong mansanas ay napunta lamang sa sinumang pumili sa kanila. So walang imaginary numbers, meron relatibong galaw bagay na may tanda na + o -. Ngunit kung gayon, kung gayon ang entry: (-5) * (+1) \u003d -5 o (+5) * (-1) \u003d -5 ay hindi tumpak na sumasalamin sa katotohanan, ngunit ipinapahiwatig lamang ito sa kondisyon. Dahil walang mga haka-haka na numero, ang buong produkto ay palaging positibo → "+" (5 * 1). Susunod, ang positibong produkto ay tinanggihan, na nangangahulugan ng pag-awat → “- +” (5 * 1). Dito, ang minus ay hindi nagbabayad para sa plus, ngunit tinatanggihan ito at pumalit sa lugar nito. Pagkatapos ay sa huli ay makukuha natin ang: -(5*1) = -(+5).
Para sa dalawang minus, maaari mong isulat: "- -" (5 * 1) \u003d 5. Ang sign na "- -" ay nangangahulugang "+", i.e. expropriation ng mga expropriator. Una, ang mga mansanas ay kinuha mula sa iyo, at pagkatapos ay kinuha mo ang mga ito mula sa iyong nang-aabuso. Bilang isang resulta, ang lahat ng mga mansanas ay nanatiling positibo, tanging ang pagpili ay hindi naganap, dahil. isang rebolusyong panlipunan ang naganap.
Sa pangkalahatan, ang katotohanan na ang negation ng negation ay nag-aalis ng negation at lahat ng bagay na kung saan ang negation ay tumutukoy sa mga bata ay naiintindihan at walang paliwanag, dahil. Halata naman. Ang mga bata ay kailangan lamang na ipaliwanag na ang mga matatanda ay artipisyal na nalilito, kaya't ngayon sila mismo ay hindi maaaring malaman ito. At ang pagkalito ay nakasalalay sa katotohanan na sa halip na i-negasyon ang aksyon, ang mga negatibong numero ay ipinakilala, i.e. negatibong bagay. Kaya ang mga bata ay naguguluhan kung bakit, kapag nagdaragdag ng negatibong bagay, ang kabuuan ay lumalabas na negatibo, na medyo lohikal: (-5) + (-3) = -8, at kapag nagpaparami ng parehong negatibong bagay: (-5) * (-3) = 15 , bigla itong nagiging positibo sa huli, na hindi lohikal! Pagkatapos ng lahat, ang parehong bagay ay dapat mangyari sa negatibong bagay tulad ng sa positibong bagay, na may ibang palatandaan lamang. Samakatuwid, tila mas lohikal sa mga bata na kapag ang negatibong bagay ay pinarami, eksaktong negatibong bagay ang dapat na dumami.
Ngunit kahit dito, hindi lahat ay makinis, dahil para dumami ang negatibong bagay, sapat na ang isang numero lamang ang may minus. Kasabay nito, ang isa sa mga kadahilanan, na nagpapahiwatig ng hindi isang tunay na nilalaman, ngunit ang mga oras ng pag-uulit ng napiling bagay, ay palaging positibo, dahil Ang mga oras ay hindi maaaring maging negatibo kahit na ang negatibo (napiling) bagay ay paulit-ulit. Samakatuwid, kapag nagpaparami (naghahati), mas tama na maglagay ng mga palatandaan sa harap ng buong produkto (dibisyon), na ipinakita namin sa itaas: "- +" (5*1) o "- -" (5*1).
At upang ang minus sign ay mapapansin na hindi isang tanda ng isang haka-haka na numero, i.e. negatibong bagay, ngunit bilang isang aksyon, ang mga nasa hustong gulang ay kailangan munang magkasundo sa kanilang sarili na kung ang minus sign ay nasa harap ng isang numero, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang negatibong aksyon na may isang numero na palaging positibo, at hindi haka-haka. Kung ang minus sign ay nasa harap ng isa pang sign, nangangahulugan ito ng negatibong aksyon sa unang sign, i.e. binabaligtad ito. Pagkatapos ang lahat ay natural na mahuhulog sa lugar. Pagkatapos ay kailangan mong ipaliwanag ito sa mga bata at lubos nilang mauunawaan at matutunan ang gayong nauunawaang tuntunin ng mga matatanda. Pagkatapos ng lahat, ngayon ang lahat ng mga kalahok na nasa hustong gulang sa talakayan ay talagang sinusubukang ipaliwanag ang hindi maipaliwanag, dahil walang pisikal na paliwanag para sa isyung ito, ito ay isang kumbensyon lamang, isang panuntunan. At upang ipaliwanag ang abstraction sa pamamagitan ng abstraction ay isang tautolohiya.
Kung tinatanggihan ng minus sign ang numero, kung gayon ito ay isang pisikal na aksyon, ngunit kung tinanggihan nito ang mismong aksyon, kung gayon ito ay isang kondisyong panuntunan lamang. Iyon ay, sumang-ayon lamang ang mga matatanda na kung ang pagpili ay tinanggihan, tulad ng sa tanong na isinasaalang-alang, kung gayon walang pagpili, gaano man karaming beses! Kasabay nito, ang lahat ng mayroon ka ay nananatili sa iyo, maging ito ay isang numero lamang, maging ito ay isang produkto ng mga numero, i.e. maraming mga pagtatangka sa pagpili. Iyon lang.
Kung ang isang tao ay hindi sumasang-ayon, pagkatapos ay mag-isip muli nang mahinahon. Pagkatapos ng lahat, ang halimbawa sa mga kotse, kung saan mayroong negatibong bilis at negatibong oras isang segundo bago ang pulong, ay isang kondisyonal na tuntunin na nauugnay sa sistema ng sanggunian. Sa isa pang frame of reference, ang parehong bilis at ang parehong oras ay magiging positibo. At ang halimbawa na may naghahanap na salamin ay konektado sa hindi kapani-paniwalang panuntunan, kung saan ang isang minus na makikita sa salamin ay may kondisyon lamang, ngunit hindi sa pisikal na nagiging isang plus.
Sagot
Sa mathematical minuses, ang lahat ay tila malinaw. Ngunit sa wika, kapag tinanong ang isang tanong na may negasyon, paano ito sasagutin? Dito, halimbawa, palagi akong naguguluhan sa ganitong tanong: "Gusto mo ba ng tsaa?" Paano ito sasagutin, sa kondisyon na gusto ko ng tsaa? Tila kung sasabihin mo ang "Oo", hindi sila magbibigay ng tsaa (parang + at -), kung hindi, dapat silang magbigay (- at -), at kung "Hindi, ayoko" ?? ?
Sagot
Para masagot ang ganyan tanong ni baby, kailangan mo munang sagutin ang ilang mga tanong sa pang-adulto: "Ano ang minus sa matematika?" at "Ano ang multiplikasyon at paghahati?". Sa pagkakaintindi ko, dito nagsisimula ang mga problema, na kalaunan ay mauuwi sa mga ring at iba pang kalokohan kapag sinasagot ang ganoong simpleng tanong na parang bata.
Sagot
Ang sagot ay malinaw na hindi para sa mga ordinaryong mag-aaral!
Noong elementarya, nagbasa ako ng isang kahanga-hangang libro - ang tungkol sa Dwarfing at Al-Jebra, o marahil ay nagbigay sila ng isang halimbawa sa isang mathematical circle - naglagay sila ng dalawang tao na may mga mansanas sa magkabilang panig ng pantay na tanda. iba't ibang Kulay at nag-alok na bigyan ang isa't isa ng mansanas. Pagkatapos ay inilagay ang iba pang mga palatandaan sa pagitan ng mga kalahok sa laro - plus, minus, higit pa, mas kaunti.
Sagot
Pambata na sagot ha??))
Maaaring mukhang malupit, ngunit ang may-akda mismo ay hindi naiintindihan kung bakit ang isang minus sa isang minus ay nagbibigay ng isang plus :-)
Ang lahat ng bagay sa mundo ay maaaring maipaliwanag nang biswal, dahil ang mga abstraction ay kailangan lamang upang ipaliwanag ang mundo. Nakatali sila sa katotohanan, at hindi nabubuhay nang mag-isa sa mga delusional na aklat-aralin.
Bagaman para sa isang paliwanag kailangan mong malaman ang hindi bababa sa pisika at kung minsan ay biology, kasama ang mga pangunahing kaalaman ng neurophysiology ng tao.
Ngunit gayunpaman, ang unang bahagi ay nagbigay ng pag-asa na maunawaan, at napakalinaw na ipinaliwanag ang pangangailangan para sa mga negatibong numero.
Ngunit ang pangalawa ay tradisyonal na lumipat sa schizophrenia. Ang A at B ay dapat na tunay na mga bagay! kaya bakit tawagin ang mga ito ng mga titik kung maaari kang kumuha, halimbawa, mga tinapay o mansanas
Kung .. kung pwede... oo?))))))
At... kahit na ginagamit tamang pundasyon mula sa unang bahagi (na ang pagpaparami ay ang parehong karagdagan) - na may mga minus, isang kontradiksyon ay nakuha))
-2 + -2 = -4
ngunit
-2 * -2 =+4))))
at kahit na ipagpalagay natin na ito ay minus two, kinuha minus dalawang beses, ito ay lalabas
-2 -(-2) -(-2) = +2
Ito ay nagkakahalaga ng simpleng pag-amin na dahil ang mga numero ay virtual, kung gayon para sa isang medyo tamang accounting, kailangan kong makabuo ng mga virtual na panuntunan.
At iyon ang magiging TOTOO, hindi kalokohan.
Sagot
Sa kanyang halimbawa, nagkamali si Academon:
Sa katunayan, ang (-2)+(-2) = (-4) ay 2 beses (-2), i.e. (-2) * 2 = (-4).
Tulad ng para sa pagpaparami ng dalawang negatibong numero, nang walang kontradiksyon, ito ay ang parehong karagdagan, lamang sa kabilang panig ng "0" sa linya ng numero. Namely:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Kaya lahat ng ito ay nagdaragdag.
Well, tungkol sa katotohanan ng mga negatibong numero, paano mo gusto ang halimbawang ito?
Kung mayroon akong, sabihin nating, $1,000 sa aking bulsa, ang aking kalooban ay matatawag na "positibo".
Kung 0$, ayon sa pagkakabanggit, ang estado ay magiging "wala".
At kung ang (-1000)$ ay utang na kailangang bayaran, ngunit walang pera...?
Sagot
Minus to minus - palaging may plus,
Bakit ito nangyayari - hindi ko masabi.
Bakit -on-=+ palaisipan sa akin kahit sa paaralan, sa ika-7 baitang (1961). Sinubukan kong makabuo ng isa pa, mas "patas" na algebra, kung saan + sa + = +, at - sa - = -. Kaya naisip ko na ito ay magiging mas tapat. Ngunit paano kung kasama ang + on- and -on +? Hindi ko nais na mawala ang commutativity ng xy=yx, kung hindi, hindi ito gagana.
Ngunit paano kung hindi tayo kukuha ng 2 character, ngunit tatlo, halimbawa +, - at *. Pantay at simetriko.
DAGDAG
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) ay hindi nagdaragdag (!), tulad ng tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang kumplikadong numero.
Ngunit para doon (+a)+(-a)+(*a)=0.
Halimbawa, ano ang (+6)+(-4)+(*2)?
(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Hindi madali, pero masanay ka.
Ngayon MULTIPLICATION.
Nag-postulat kami:
+on+=+ -on-=- *on*=* (tama ba?)
+on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (fair!)
Mukhang maayos ang lahat, ngunit ang multiplikasyon ay hindi nauugnay, i.e.
a(bc) ay hindi katumbas ng (ab)c.
At kung gayon
+on+=+ -on-=* *on*=-
+on-=-on+=- +on*=*on+=* -on*=*on-=+
Muli hindi patas, + naka-highlight bilang espesyal. NGUNIT ipinanganak ang isang BAGONG ALGEBRA na may tatlong palatandaan. Commutative, associative at distributive. Mayroon siyang geometric na interpretasyon. Siya ay isomorphic Mga kumplikadong numero. Maaari itong palawakin pa: apat na character, limang...
Hindi ito nangyari dati. Kunin ito, mga tao, gamitin ito.
Sagot
Ang tanong ng isang bata ay karaniwang sagot ng isang bata.
Nandiyan ang ating mundo, kung saan ang lahat ay "plus": mansanas, laruan, pusa at aso, sila ay totoo. Maaari kang kumain ng mansanas, maaari kang mag-alaga ng pusa. At mayroon ding fictional world, sa pamamagitan ng looking glass. Mayroon ding mga mansanas at mga laruan, tulad ng salamin, maaari nating isipin ang mga ito, ngunit hindi natin mahawakan ang mga ito - sila ay naimbento. Makakapunta tayo mula sa isang mundo patungo sa isa pa sa tulong ng minus sign. Kung mayroon tayong dalawang tunay na mansanas (2 mansanas), at naglalagay tayo ng minus sign (-2 mansanas) - nakakakuha tayo ng dalawang imbentong mansanas sa salamin. Dinadala tayo ng minus sign mula sa isang mundo patungo sa isa pa, pabalik-balik. Walang salamin na mansanas sa ating mundo. Maaari nating isipin ang isang buong grupo ng mga ito, kahit isang milyon (minus isang milyong mansanas). Kaya lang hindi mo sila makakain, dahil wala kaming minus na mansanas, lahat ng mansanas sa aming mga tindahan ay plus mansanas.
Ang pagpaparami ay nangangahulugan ng pagsasaayos ng ilang bagay sa anyo ng isang parihaba. Kumuha tayo ng dalawang puntos na ":" at i-multiply ang mga ito sa tatlo, makukuha natin: ": : :" - anim na puntos sa kabuuan. Maaari kang kumuha ng isang tunay na mansanas (+I) at i-multiply ito ng tatlo, nakukuha namin ang: "+ЯЯЯ" - tatlong tunay na mansanas.
Ngayon i-multiply ang mansanas sa minus tatlo. Muli tayong makakakuha ng tatlong mansanas na "+ЯЯЯ", ngunit dadalhin tayo ng minus sign sa salamin, at magkakaroon tayo ng tatlong mirror na mansanas (minus tatlong mansanas -ЯЯЯ).
At ngayon i-multiply ang minus na mansanas (-I) sa minus tatlo. Iyon ay, kumukuha kami ng isang mansanas, at kung mayroong isang minus sa harap nito, inilipat namin ito sa salamin. Doon namin i-multiply ito ng tatlo. Ngayon mayroon kaming tatlong mirror mansanas! Pero may isa pang downside. Ibabalik niya sa ating mundo ang mga natanggap na mansanas. Bilang resulta, nakakakuha kami ng tatlong tunay na malasang mansanas + YYYYA na maaari mong kainin.
Sagot
Maayos ang lahat hanggang huling hakbang. Kapag nagpaparami ng tatlong mirror na mansanas sa minus isa, dapat nating ipakita ang mga mansanas na ito sa isa pang salamin. Magkakatugma ang mga ito sa lokasyon sa mga tunay, ngunit magiging parang haka-haka gaya ng mga unang salamin at tulad ng hindi nakakain. Ibig sabihin, (-1)*(-1)= -1<> 1.
Sa katunayan, nalilito ako sa isa pang punto na nauugnay sa pagpaparami ng mga negatibong numero, katulad:
Totoo ba ang equation:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?Ang tanong na ito ay lumitaw mula sa isang pagtatangka na maunawaan ang pag-uugali ng graph ng function na y=x^n, kung saan ang x at n ay mga tunay na numero.
Lumalabas na ang graph ng function ay palaging matatagpuan sa 1st at 3rd quarter, maliban sa mga kasong iyon kapag ang n ay pantay. Sa kasong ito, ang curvature lamang ng graph ang nagbabago. Ngunit ang parity ng n ay isang kamag-anak na halaga, dahil maaari tayong kumuha ng isa pang frame ng sanggunian, kung saan n = 1.1 * k, pagkatapos ay makukuha natin
y = x^(1.1*k) = (x^1.1)^k
at mag-iiba ang parity dito...At bilang karagdagan, ipinapanukala kong idagdag sa argumento kung ano ang mangyayari sa graph ng function na y = x^(1/n). Sa palagay ko, hindi nang walang dahilan, na ang graph ng function ay dapat na simetriko sa graph y = x^n na may paggalang sa graph ng function na y = x.
Sagot
Mayroong ilang mga paraan upang ipaliwanag ang panuntunang "minus times minus is plus." Narito ang pinakasimpleng. Multiplikasyon ayon sa kalikasan. ang numero n ay ang kahabaan ng segment (na matatagpuan sa numero ng axis) n beses. Ang pagpaparami ng -1 ay repleksyon ng segment na may paggalang sa pinagmulan. Bilang pinakamaikling paliwanag kung bakit (-1)*(-1) = +1, angkop ang paraang ito. Ang bottleneck ng diskarteng ito ay kailangan mo pa ring hiwalay na matukoy ang kabuuan ng naturang mga operator.
Sagot
Maaari kang pumunta kapag nagpapaliwanag mula sa mga kumplikadong numero
bilang isang mas pangkalahatang anyo ng kumakatawan sa mga numero
Trigonometric na anyo ng isang kumplikadong numero
Formula ng Euler
Ang tanda sa kasong ito ay isang argumento lamang (anggulo ng pag-ikot)
Ang mga anggulo ay nagdaragdag kapag pinarami
0 degrees ay tumutugma sa +
180 degrees ay tumutugma sa -
Ang multiplikasyon - sa - ay katumbas ng 180+180=360=0
Sagot
Gulong ba ito?
Ang mga negatibo ay ang kabaligtaran. Para sa pagiging simple, upang pansamantalang lumayo sa mga minus, papalitan namin ang mga pahayag at gawing mas malaki ang panimulang punto. Simulan natin ang pagbilang hindi mula sa zero, ngunit mula sa 1000.
Sabihin nating dalawang tao ang may utang sa akin ng dalawang rubles bawat isa: 2_persons * 2_rubles \u003d 4_rubles ang kabuuang utang sa akin. (ang balanse ko ay 1004)
Ngayon ang inverses (negatibong mga numero, ngunit kabaligtaran/positibong mga pahayag):
minus 2 tao = kaya wala silang utang sa akin, ngunit may utang ako (Mas maraming tao ang utang ko kaysa sa utang ko). Halimbawa, may utang akong 10 tao, at 8 lang ako. Maaaring bawasan at balewalain ang mga mutual settlement, ngunit maaari mo itong isaisip kung mas maginhawang magtrabaho sa mga positibong numero. Ibig sabihin, lahat ay nagbibigay ng pera sa bawat isa.
minus 2 rubles = isang katulad na prinsipyo - dapat kang kumuha ng higit sa ibinibigay mo. Kaya may utang ako sa lahat ng dalawang rubles.
-(2_persons)*2_rubles=Utang_ko_sa_bawat_by_2=-4 para sa akin. Ang aking balanse ay 996 rubles.
2_tao*(-2_rubles)=dalawa_dapat_kunin_2_rubles_from_me=- 4 mula sa akin. Ang aking balanse ay 996 rubles.
-(2_tao)*(-2_rubles)= bawat_dapat_kunin_mula_akin_mas mababa_sa_dapat_bigyan_2_rubles
Sa pangkalahatan, kung iniisip natin na ang lahat ay umiikot hindi sa 0, ngunit sa paligid, halimbawa, 1000, ngunit nagbibigay sila ng pera sa 10, inaalis sa 8. Pagkatapos, sunud-sunod na ginagawa ang lahat ng mga operasyon ng pag-isyu ng pera sa isang tao o pag-alis nito , dumating sa konklusyon na kung ang dalawang dagdag (babawasan namin ang natitira sa pamamagitan ng netting) ay kukuha ng dalawang rubles na mas mababa kaysa sa babalik nila, kung gayon ang aking kagalingan ay tataas ng isang positibong pigura na 4.
Sagot
Sa paghahanap ng isang SIMPLE (naiintindihan ng isang bata) na sagot sa tanong na ibinibigay ("Bakit ang isang minus sa pamamagitan ng isang minus ay nagbibigay ng isang plus"), masigasig kong basahin ang parehong artikulo na iminungkahi ng may-akda at lahat ng mga komento. Itinuturing kong ang pinakamatagumpay na sagot ay ang nasa epigraph: "Ang kaaway ng aking kaaway ay aking kaibigan." Mas malinaw! Simple at napakatalino!
Ang isang tiyak na manlalakbay ay dumating sa isang isla, tungkol sa mga naninirahan kung saan alam niya ang isang bagay lamang: ang ilan sa kanila ay nagsasabi lamang ng katotohanan, ang iba ay nagsisinungaling lamang. Sa panlabas, imposibleng makilala sa pagitan nila. Dumaong ang manlalakbay sa dalampasigan at nakita ang daan. Gusto niyang malaman kung patungo sa lungsod ang kalsadang ito. Nang makita ang isang lokal na residente sa kalsada, ISA LAMANG ang itinanong niya sa kanya, na nagpapahintulot sa kanya na malaman na ang kalsada ay patungo sa lungsod. Paano niya natanong ang tungkol dito?
Ang solusyon ay tatlong linya pababa (para lang i-pause at bigyan kayo ng mga nasa hustong gulang ng pagkakataong huminto at pag-isipan ang napakagandang problemang ito!) Ang aking apo sa ikatlong baitang ay napakahirap pa rin para sa problema, ngunit ang pag-unawa sa sagot ay walang alinlangan na nagdulot sa kanya ng mas malapit sa pag-unawa sa paparating na mga problema sa matematika. mga trick tulad ng "minus times minus gives plus."
Kaya ang sagot ay:
"Kung tatanungin kita kung ang daan na ito ay patungo sa lungsod, ano ang isasagot mo sa akin?"
Ang "algebraic" na paliwanag ay hindi makayanan ang aking masigasig na pagmamahal sa aking ama, o ang aking malalim na paggalang sa kanyang agham. Ngunit tuluyan kong kinasusuklaman ang axiomatic na pamamaraan kasama ang mga hindi motibong kahulugan nito.
Kapansin-pansin, ang sagot na ito ni I.V. Arnold sa isang tanong ng mga bata ay halos kasabay ng paglalathala ng kanyang aklat na "Negative numbers in the course of algebra." Doon (sa kabanata 7) isang ganap na naiibang sagot ang ibinigay, sa aking palagay, napaka-naglalarawan. Available ang libro sa sa elektronikong format http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm
Sagot
Kung mayroong isang kabalintunaan, ang isa ay dapat maghanap ng mga pagkakamali sa mga batayan. Mayroong tatlong mga pagkakamali sa pagbabalangkas ng multiplikasyon. Dito nagmula ang "paradox". Kailangan mo lang magdagdag ng zero.
(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Ang multiplikasyon ay ang paulit-ulit na pagdaragdag sa zero (o pagbabawas mula sa zero).
Ang multiplier (4) ay nagpapakita ng bilang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan o pagbabawas (ang bilang ng mga "minus" o "plus" na mga palatandaan kapag nabubulok ang multiplikasyon sa karagdagan).
Ang mga palatandaan na "minus" at "plus" sa salik (4) ay nagrereseta ng alinman upang ibawas ang multiplicand mula sa zero, o upang idagdag ang multiplicand sa zero.
Sa partikular, sa halimbawang ito, tinukoy ng (-4) na ibawas ("-") mula sa zero ang multiplicand (-3) apat na beses (4).
Iwasto ang mga salita (tatlong lohikal na pagkakamali). Magdagdag lamang ng zero. Ang mga tuntunin ng aritmetika ay hindi magbabago mula rito.
Higit pa sa paksang ito dito:
http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm
Ano ang ugali ng mekanikal na paniniwalang mga aklat-aralin? Kailangan mo rin magkaroon ng sariling utak. Lalo na kung may mga kabalintunaan, mga puting spot, malinaw na mga kontradiksyon. Ang lahat ng ito ay resulta ng mga pagkakamali sa teorya.
Imposibleng i-decompose ang produkto ng dalawang negatibong numero sa mga termino, ayon sa kasalukuyang pagbabalangkas ng multiplikasyon (nang walang zero). Hindi ba iyon nakakaabala sa sinuman?
Anong uri ng pagbabalangkas ng multiplikasyon ito, ayon sa kung saan imposibleng magsagawa ng multiplikasyon? :)
Puro psychological din ang problema. Bulag na pagtitiwala sa mga awtoridad, ayaw mag-isip para sa iyong sarili. Kung sinasabi ng mga aklat-aralin, kung itinuturo ng paaralan, kung gayon ito ang tunay na katotohanan. Nagbabago ang lahat, pati na ang agham. Kung hindi, walang pag-unlad ng sibilisasyon.
Iwasto ang mga salita ng multiplikasyon sa lahat ng mga aklat-aralin! Ang mga tuntunin ng aritmetika ay hindi magbabago mula rito.
Bukod dito, tulad ng mga sumusunod mula sa artikulong naka-link sa itaas, ang itinamang pagbabalangkas ng multiplikasyon ay magiging katulad ng pagbabalangkas ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan. Doon din, hindi nila isinulat ang yunit kapag itinaas sa isang positibong kapangyarihan. Gayunpaman, ang isa ay nakasulat kapag ang pagtaas ng isang numero sa isang negatibong kapangyarihan.
Panginoon ng matematika, ang iyong ina, dapat mong palaging isulat ang zero at isa, kahit na ang resulta ay hindi nagbabago mula sa kanilang kawalan.
Ang kahulugan ng mga pinaikling entry ay nagbabago (o nawawala pa nga). At may mga problema sa pag-unawa sa mga mag-aaral.
Sagot
Magsulat ng komento
Pagtuturo
Mayroong apat na uri ng mga operasyong matematikal: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Samakatuwid, magkakaroon ng apat na uri ng mga halimbawa na may. Ang mga negatibong numero sa loob ng halimbawa ay naka-highlight upang hindi malito ang mathematical operation. Halimbawa, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) o 34:(-17).
Dagdag. Ang aksyon na ito maaaring magmukhang: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Pinapalitan ang aksyon: una, ang mga bracket ay binuksan, ang "+" sign ay baligtad, pagkatapos ay ang mas maliit na "3" ay ibabawas mula sa mas malaking (modulo) na numero "6", pagkatapos kung saan ang sagot ay itinalaga ang mas malaking sign, iyon ay , "-".
2) -3+6=3. Ang isang ito ay maaaring isulat bilang - ("6-3") o ayon sa prinsipyong "ibawas ang mas maliit sa mas malaki at italaga ang tanda ng mas malaki sa sagot."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Kapag binubuksan, ang pagpapalit ng aksyon ng karagdagan sa pamamagitan ng pagbabawas, pagkatapos ay ang mga module ay summed up at ang resulta ay binibigyan ng minus sign.
Pagbabawas.1) 8-(-5)=8+5=13. Ang mga bracket ay binuksan, ang tanda ng aksyon ay nababaligtad, at isang karagdagan halimbawa ay nakuha.
2) -9-3=-12. Ang mga elemento ng halimbawa ay idinagdag nang sama-sama at makuha karaniwang tanda "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Kapag binubuksan ang mga bracket, ang sign ay nagbabago muli sa "+", pagkatapos ay ang mas maliit na numero ay ibabawas mula sa mas malaking numero at ang sign ng mas malaking numero ay kinuha mula sa sagot.
Pagpaparami at paghahati. Kapag nagsasagawa ng multiplikasyon o paghahati, ang tanda ay hindi nakakaapekto sa mismong operasyon. Kapag nagpaparami o naghahati ng mga numero, isang minus sign ang itinalaga sa sagot, kung ang mga numero na may parehong mga palatandaan, ang resulta ay palaging may plus sign. 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Mga pinagmumulan:
- mesa na may kahinaan
Paano magdesisyon mga halimbawa? Ang mga bata ay madalas na bumaling sa kanilang mga magulang sa tanong na ito kung kailangang gawin ang araling-bahay. Paano ipaliwanag nang tama sa isang bata ang solusyon ng mga halimbawa para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga multi-digit na numero? Subukan nating alamin ito.
Kakailanganin mong
- 1. Batayang aklat sa matematika.
- 2. Papel.
- 3. Panghawakan.
Pagtuturo
Basahin ang halimbawa. Upang gawin ito, ang bawat multivalued ay nahahati sa mga klase. Simula sa dulo ng numero, magbilang ng tatlong digit at maglagay ng tuldok (23.867.567). Alalahanin na ang unang tatlong digit mula sa dulo ng numero hanggang sa mga yunit, ang susunod na tatlo - sa klase, pagkatapos ay mayroong milyun-milyon. Nabasa natin ang bilang: dalawampu't tatlong walong daan animnapu't pitong libo animnapu't pito.
Sumulat ng isang halimbawa. Pakitandaan na ang mga yunit ng bawat digit ay mahigpit na nakasulat sa ilalim ng bawat isa: mga yunit sa ilalim ng mga yunit, sampu sa ilalim ng sampu, daan-daan sa ilalim ng daan-daan, atbp.
Magsagawa ng pagdaragdag o pagbabawas. Simulan ang paggawa ng aksyon gamit ang mga unit. Isulat ang resulta sa ilalim ng kategorya kung saan isinagawa ang aksyon. Kung ito ay naging isang numero (), pagkatapos ay isulat namin ang mga yunit sa lugar ng sagot, at idagdag ang bilang ng sampu sa mga yunit ng paglabas. Kung ang bilang ng mga unit ng anumang digit sa minuend ay mas mababa kaysa sa subtrahend, kukuha kami ng 10 unit ng susunod na digit, isagawa ang aksyon.
Basahin ang sagot.
Mga kaugnay na video
tala
Ipagbawal ang iyong anak na gumamit ng calculator, kahit na suriin ang solusyon ng isang halimbawa. Ang pagdaragdag ay sinusubok sa pamamagitan ng pagbabawas, at ang pagbabawas ay sinusuri sa pamamagitan ng karagdagan.
Kung ang isang bata ay mahusay na natututo ng mga diskarte ng nakasulat na mga kalkulasyon sa loob ng 1000, kung gayon ang mga aksyon na may mga multi-digit na numero na ginawa sa pamamagitan ng pagkakatulad ay hindi magiging sanhi ng mga paghihirap.
Ayusin ang isang kompetisyon para sa iyong anak: gaano karaming mga halimbawa ang maaari niyang lutasin sa loob ng 10 minuto. Ang ganitong pagsasanay ay makakatulong sa pag-automate ng mga diskarte sa pag-compute.
Ang multiplikasyon ay isa sa apat na pangunahing pagpapatakbo ng matematika na sumasailalim sa marami pang iba kumplikadong mga pag-andar. Sa kasong ito, sa katunayan, ang pagpaparami ay batay sa pagpapatakbo ng karagdagan: ang kaalaman tungkol dito ay nagbibigay-daan sa iyo upang maayos na malutas ang anumang halimbawa.
Upang maunawaan ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami, kinakailangang isaalang-alang na ang tatlong pangunahing bahagi ay kasangkot dito. Ang isa sa mga ito ay tinatawag na unang kadahilanan at kumakatawan sa bilang na napapailalim sa pagpaparami ng pagpaparami. Para sa kadahilanang ito, mayroon itong pangalawang, medyo hindi gaanong karaniwang pangalan - "multiplier". Ang pangalawang bahagi ng pagpaparami ng pagpaparami ay tinatawag na pangalawang kadahilanan: ito ay ang bilang kung saan ang multiplican ay pinarami. Kaya, ang parehong mga sangkap na ito ay tinatawag na mga multiplier, na nagbibigay-diin sa kanilang pantay na katayuan, pati na rin ang katotohanan na maaari silang mapalitan: ang resulta ng multiplikasyon ay hindi magbabago mula dito. Sa wakas, ang ikatlong bahagi ng pagpaparami ng pagpaparami, na nagreresulta mula dito, ay tinatawag na produkto.
Ang pagkakasunud-sunod ng pagpaparami ng pagpaparami
Ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami ay batay sa isang mas simple operasyon ng aritmetika- . Sa katunayan, ang multiplikasyon ay ang pagsusuma ng unang salik, o multiplicand, tulad ng ilang beses na tumutugma sa pangalawang salik. Halimbawa, upang i-multiply ang 8 sa 4, kailangan mong idagdag ang numero ng 8 4 na beses, na nagreresulta sa 32. Ang pamamaraang ito, bilang karagdagan sa pagbibigay ng pag-unawa sa kakanyahan ng pagpaparami ng operasyon, ay maaaring magamit upang suriin ang resulta na nakuha. sa pamamagitan ng pagkalkula ng nais na produkto. Dapat tandaan na ang pagpapatunay ay kinakailangang ipinapalagay na ang mga terminong kasama sa pagbubuod ay pareho at tumutugma sa unang salik.Paglutas ng mga halimbawa ng multiplikasyon
Kaya, upang malutas ang , na nauugnay sa pangangailangang magsagawa ng pagpaparami, maaaring sapat na upang magdagdag ng isang naibigay na bilang ng beses kinakailangang numero unang multiplier. Ang ganitong paraan ay maaaring maging maginhawa para sa pagsasagawa ng halos anumang mga kalkulasyon na nauugnay sa operasyong ito. Kasabay nito, sa matematika ay madalas na mayroong mga tipikal, kung saan lumahok ang mga karaniwang single-digit na integer. Upang mapadali ang kanilang pagkalkula, ang tinatawag na multiplikasyon ay nilikha, na kinabibilangan ng isang kumpletong listahan ng mga produkto ng mga positibong integer na single-digit na numero, iyon ay, mga numero mula 1 hanggang 9. Kaya, kapag natutunan mo na, maaari mong makabuluhang pasimplehin ang proseso ng paglutas ng mga halimbawa ng multiplikasyon, batay sa paggamit ng mga naturang numero. Gayunpaman, para sa mas kumplikadong mga opsyon, kakailanganin itong ipatupad mathematical operation sa sarili.Mga kaugnay na video
Mga pinagmumulan:
- Multiplikasyon sa 2019
Ang multiplikasyon ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika, na kadalasang ginagamit sa paaralan at sa loob Araw-araw na buhay. Paano mo mabilis na mapaparami ang dalawang numero?
Ang batayan ng pinakamasalimuot na mga kalkulasyon sa matematika ay apat na pangunahing pagpapatakbo ng aritmetika: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami at paghahati. Kasabay nito, sa kabila ng kanilang kalayaan, ang mga operasyong ito, sa mas malapit na pagsusuri, ay nagiging magkakaugnay. Ang ganitong relasyon ay umiiral, halimbawa, sa pagitan ng pagdaragdag at pagpaparami.
Operasyon ng pagpaparami ng numero
Mayroong tatlong pangunahing elemento na kasangkot sa pagpaparami. Ang una sa mga ito, na karaniwang tinutukoy bilang ang unang kadahilanan o multiplicand, ay ang bilang na sasailalim sa pagpaparami ng pagpaparami. Ang pangalawa, na tinatawag na pangalawang kadahilanan, ay ang bilang kung saan ang unang kadahilanan ay i-multiply. Sa wakas, ang resulta ng pagpaparami na isinasagawa ay kadalasang tinatawag na produkto.Dapat alalahanin na ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami ay talagang batay sa karagdagan: para sa pagpapatupad nito, kinakailangan upang magdagdag ng isang tiyak na bilang ng mga unang kadahilanan, at ang bilang ng mga termino sa kabuuan na ito ay dapat na katumbas ng pangalawang kadahilanan. Bilang karagdagan sa pagkalkula ng produkto ng dalawang salik na isinasaalang-alang, maaari ding gamitin ang algorithm na ito upang suriin ang resultang resulta.
Isang halimbawa ng paglutas ng multiplication task
Isaalang-alang ang mga solusyon sa problema sa pagpaparami. Ipagpalagay, ayon sa mga kondisyon ng pagtatalaga, kinakailangang kalkulahin ang produkto ng dalawang numero, kung saan ang unang kadahilanan ay 8, at ang pangalawa ay 4. Alinsunod sa kahulugan ng pagpaparami ng pagpaparami, ito ay talagang nangangahulugan na ikaw kailangang idagdag ang numero ng 8 4 na beses. Ang resulta ay 32 - ito ang produkto na itinuturing na mga numero, iyon ay, ang resulta ng kanilang pagpaparami.Bilang karagdagan, dapat tandaan na ang tinatawag na commutative law ay nalalapat sa multiplication operation, na nagtatatag na ang pagbabago ng mga lugar ng mga salik sa orihinal na halimbawa ay hindi magbabago sa resulta nito. Kaya, maaari mong idagdag ang numero 4 8 beses, na nagreresulta sa parehong produkto - 32.
Talaan ng multiplikasyon
Ito ay malinaw na upang malutas sa ganitong paraan malaking bilang ng ang mga halimbawa ng parehong uri ay medyo nakakapagod na gawain. Upang mapadali ang gawaing ito, naimbento ang tinatawag na multiplication. Sa katunayan, ito ay isang listahan ng mga produkto ng integer positive single-digit na numero. Sa madaling salita, ang multiplication table ay isang koleksyon ng mga resulta ng multiplication sa pagitan ng isa't isa mula 1 hanggang 9. Kapag natutunan mo na ang talahanayang ito, hindi ka na maaaring gumamit ng multiplication sa tuwing kailangan mong lutasin ang isang halimbawa para sa naturang mga pangunahing numero, ngunit alalahanin lamang ang resulta nito.Mga kaugnay na video
Naiintindihan ba natin ng tama ang multiplication?
"- Nakaupo si A at B sa tubo. Nahulog si A, nawala si B, ano ang natira sa tubo?
"Ang sulat mo ay nananatili ako."(Mula sa pelikulang "Youths in the Universe")
Bakit ang pagpaparami ng numero sa zero ay nagreresulta sa zero?
7 * 0 = 0
Bakit kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibong numero, makakakuha ka ng positibong numero?
7 * (-3) = + 21
Ano ang hindi naiisip ng mga guro upang masagot ang dalawang tanong na ito.
Ngunit walang sinuman ang may lakas ng loob na umamin na mayroong tatlong pagkakamali sa semantiko sa pagbabalangkas ng multiplikasyon!
Mayroon bang mga pagkakamali sa mga pangunahing kaalaman sa aritmetika? Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay nagpoposisyon sa sarili bilang isang eksaktong agham ...
Ang mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan ay hindi nagbibigay ng mga sagot sa mga tanong na ito, na pinapalitan ang mga paliwanag ng isang hanay ng mga tuntunin na dapat tandaan. Marahil nahihirapan silang ipaliwanag ang paksang ito sa gitnang paaralan? Subukan nating unawain ang mga isyung ito.
7 - multiplier. 3 ay isang multiplier. 21 - trabaho.
Ayon sa opisyal na salita:
- upang i-multiply ang isang numero sa isa pang numero ay nangangahulugan na magdagdag ng maraming multiplicand gaya ng inireseta ng multiplier.
Ayon sa tinatanggap na mga salita, ang kadahilanan 3 ay nagsasabi sa amin na dapat mayroong tatlong pito sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Ngunit ang pagbabalangkas ng multiplikasyon na ito ay hindi maipaliwanag ang mga tanong sa itaas.
Ayusin natin ang wording ng multiplication
Kadalasan, sa matematika, marami ang ibig sabihin, ngunit hindi ito sinasabi o isinulat.
Ito ay tumutukoy sa plus sign sa harap ng unang pito sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Isulat natin ito.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Ngunit ano ang idinagdag ng unang pito? Nangangahulugan ito na sa zero, siyempre. Sumulat tayo ng zero.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
Paano kung i-multiply natin ng tatlo minus pito?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Isinulat namin ang pagdaragdag ng multiplicand -7, sa katunayan, nagsasagawa kami ng maramihang pagbabawas mula sa zero. Palawakin natin ang mga bracket.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Ngayon ay maaari tayong magbigay ng isang pinong pagbabalangkas ng multiplikasyon.
- Ang multiplikasyon ay ang paulit-ulit na pagdaragdag sa zero (o pagbabawas mula sa zero) ng multiplicand (-7) nang kasing dami ng ipinapahiwatig ng multiplier. Ang factor (3) at ang sign nito (+ o -) ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga operasyon na idaragdag sa zero o ibawas mula sa zero.
Ayon sa pino at medyo binagong pormulasyon ng multiplikasyon, ang "sign rules" para sa multiplikasyon kapag negatibo ang multiplier ay madaling maipaliwanag.
7 * (-3) - dapat mayroong tatlong minus sign pagkatapos ng zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - muli dapat mayroong tatlong minus sign pagkatapos ng zero =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Multiplikasyon sa zero
7 * 0 = 0 + ... walang add-to-zero na operasyon.
Kung ang multiplikasyon ay idinaragdag sa zero, at ipinapakita ng multiplier ang bilang ng mga operasyon na idaragdag sa zero, kung gayon ang zero multiplier ay nagpapakita na walang idinagdag sa zero. Samakatuwid, ito ay nananatiling zero.
Kaya, sa umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon, nakakita kami ng tatlong semantic error na humaharang sa pag-unawa sa dalawang "rules of signs" (kapag negatibo ang multiplier) at ang multiplikasyon ng isang numero sa zero.
- Ito ay kinakailangan hindi upang idagdag ang multiplicand, ngunit upang idagdag ito sa zero.
- Ang pagpaparami ay hindi lamang pagdaragdag sa zero, ngunit din pagbabawas mula sa zero.
- Ang multiplier at ang sign nito ay hindi nagpapakita ng bilang ng mga termino, ngunit ang bilang ng mga plus o minus na palatandaan kapag nabubulok ang multiplikasyon sa mga termino (o binabawasan).
Ang pagkakaroon ng medyo linawin ang mga salita, pinamamahalaan naming ipaliwanag ang mga patakaran ng mga palatandaan sa multiplikasyon at ang pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero nang walang tulong ng commutative law ng multiplikasyon, nang walang distributive law, nang hindi gumagamit ng mga pagkakatulad sa linya ng numero, nang walang mga equation, walang katibayan na kabaligtaran, atbp.
Ang mga alituntunin ng mga palatandaan ayon sa pinong pagbabalangkas ng pagpaparami ay hinango nang napakasimple.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Ang multiplier at ang sign nito (+3 o -3) ay nagpapahiwatig ng bilang ng "+" o "-" na mga palatandaan sa kanang bahagi ng equation.
Ang binagong mga salita ng multiplikasyon ay tumutugma sa pagpapatakbo ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (ang isa ay hindi na-multiply o nahahati sa anumang bagay, kaya nananatili itong isa)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Sumasang-ayon ang mga mathematician na ang pagtaas ng isang numero sa isang positibong kapangyarihan ay isang maramihang pagpaparami ng isa. At ang pagtaas ng numero sa isang negatibong kapangyarihan ay isang maramihang dibisyon ng isa.
Ang pagpaparami ng operasyon ay dapat na katulad ng pagpaparami ng pagpapatakbo.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (walang idinagdag sa zero at walang ibinabawas sa zero)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Ang binagong mga salita ng multiplikasyon ay hindi nagbabago ng anuman sa matematika, ngunit ibinabalik ang orihinal na kahulugan ng pagpaparami ng pagpaparami, ipinapaliwanag ang "mga panuntunan ng mga palatandaan", pagpaparami ng isang numero sa zero, at pinagkasundo ang multiplikasyon sa exponentiation.
Suriin natin kung ang ating pagbabalangkas ng multiplikasyon ay sumasang-ayon sa operasyon ng paghahati.
15: 5 = 3 (reverse operation ng multiplication 5 * 3 = 15)
Ang quotient (3) ay tumutugma sa bilang ng mga operasyon sa pagdaragdag sa zero (+3) sa panahon ng multiplikasyon.
Ang paghahati ng numero 15 sa 5 ay nangangahulugan ng paghahanap kung ilang beses mo kailangang ibawas ang 5 mula sa 15. Ginagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas hanggang sa makuha ang isang zero na resulta.
Upang mahanap ang resulta ng paghahati, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga minus na palatandaan. Tatlo sila.
15: 5 = 3 operasyon upang ibawas ang lima mula sa 15 hanggang makuha ang zero.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (dibisyon 15:5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiply 5 * 3)
Dibisyon na may natitira.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17:5 = 3 at 2 natitira
Kung mayroong isang dibisyon na may natitira, bakit hindi isang multiplikasyon na may isang appendage?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Tinitingnan namin ang pagkakaiba sa mga salita sa calculator
Ang umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon (tatlong termino).
10 + 10 + 10 = 30
Nawastong mga salita ng multiplikasyon (tatlong pagpapatakbo ng pagdaragdag sa zero).
0 + 10 = = = 30
(I-click ang "katumbas" ng tatlong beses.)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Ang isang kadahilanan ng 3 ay nagpapahiwatig na ang multiplier ng 10 ay dapat idagdag sa zero nang tatlong beses.
Subukang i-multiply ang (-10) * (-3) sa pamamagitan ng pagdaragdag ng terminong (-10) minus tatlong beses!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Ano ang ibig sabihin ng minus sign para sa tatlo? Siguro nga?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Ops... Hindi posibleng i-decompose ang produkto sa kabuuan (o pagkakaiba) ng mga termino (-10).
Gamit ang binagong mga salita, ito ay ginagawa nang tama.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Ang multiplier (-3) ay nagpapahiwatig na ang multiplicand (-10) ay dapat ibawas mula sa zero nang tatlong beses.
Lagdaan ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas
Sa itaas, ipinakita ang isang simpleng paraan upang makuha ang mga panuntunan sa pag-sign para sa multiplikasyon, sa pamamagitan ng pagbabago ng kahulugan ng pagbabalangkas ng multiplikasyon.
Ngunit para sa output, ginamit namin ang mga patakaran ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas. Ang mga ito ay halos kapareho ng para sa pagpaparami. Gumawa tayo ng visualization ng mga alituntunin ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas, upang kahit na ang isang unang baitang ay maunawaan ito.
Ano ang "minus", "negatibo"?
Walang negatibo sa kalikasan. Hindi negatibong temperatura, walang negatibong direksyon, walang negatibong masa, walang negatibong singil... Kahit na ang isang sine sa likas na katangian nito ay maaari lamang maging positibo.
Ngunit ang mga mathematician ay nakabuo ng mga negatibong numero. Para saan? Ano ang ibig sabihin ng "minus"?
Ang ibig sabihin ng minus ay ang kabaligtaran na direksyon. Kaliwa Kanan. Taas baba. Clockwise - counterclockwise. Pabalik-balik. Malamig mainit. Banayad na mabigat. Dahan-dahan - mabilis. Kung iisipin mo ito, maaari kang magbigay ng maraming iba pang mga halimbawa kung saan maginhawang gumamit ng mga negatibong halaga.
Sa mundong alam natin, ang infinity ay nagsisimula sa zero at napupunta sa plus infinity.
Naka-on ang "Minus Infinity". tunay na mundo ay wala. Ito ay ang parehong mathematical convention bilang ang konsepto ng "minus".
Kaya, ang ibig sabihin ng "minus" ay ang kabaligtaran na direksyon: paggalaw, pag-ikot, proseso, pagpaparami, pagdaragdag. Pag-aralan natin iba't ibang direksyon kapag nagdaragdag at nagbawas ng positibo at negatibo (tumataas sa kabilang direksyon) na mga numero.
Ang pagiging kumplikado ng pag-unawa sa mga tuntunin ng mga palatandaan para sa karagdagan at pagbabawas ay dahil sa ang katunayan na ang mga panuntunang ito ay karaniwang sinusubukang ipaliwanag sa isang linya ng numero. Sa linya ng numero, tatlong magkakaibang bahagi ang pinaghalo, kung saan nagmula ang mga panuntunan. At dahil sa paghahalo, dahil sa pagtatapon ng iba't ibang konsepto sa isang bunton, nagkakaroon ng mga kahirapan sa pag-unawa.
Upang maunawaan ang mga patakaran, kailangan nating paghiwalayin:
- ang unang termino at ang kabuuan (sila ay nasa pahalang na axis);
- ang pangalawang termino (ito ay nasa vertical axis);
- direksyon ng mga operasyon sa pagdaragdag at pagbabawas.
Ang dibisyon na ito ay malinaw na ipinapakita sa figure. Isipin sa isip na ang vertical axis ay maaaring paikutin, na nakapatong sa pahalang na axis.
Ang operasyon ng karagdagan ay palaging ginagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng vertical axis clockwise (plus sign). Ang operasyon ng pagbabawas ay palaging ginagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng vertical axis na pakaliwa (minus sign).
Halimbawa. Diagram sa kanang sulok sa ibaba.
Makikita na ang dalawang magkatabing minus sign (ang tanda ng operasyon ng pagbabawas at ang tanda ng numero 3) ay may magkaibang kahulugan. Ang unang minus ay nagpapakita ng direksyon ng pagbabawas. Ang pangalawang minus ay ang tanda ng numero sa vertical axis.
Hanapin ang unang termino (-2) sa pahalang na axis. Hanapin ang pangalawang termino (-3) sa patayong axis. Iikot sa isip ang vertical axis nang pakaliwa hanggang sa (-3) ay tumutugma sa numero (+1) sa pahalang na axis. Ang numero (+1) ay ang resulta ng pagdaragdag.
operasyon ng pagbabawas
ay nagbibigay ng parehong resulta gaya ng pagdaragdag na operasyon sa diagram sa kanang sulok sa itaas.
Samakatuwid, ang dalawang katabing "minus" na mga palatandaan ay maaaring mapalitan ng isang "plus" na tanda.
Nakasanayan na nating lahat na gumamit ng mga nakahandang alituntunin ng aritmetika nang hindi iniisip ang kahulugan nito. Samakatuwid, madalas na hindi natin napapansin kung paano naiiba ang mga patakaran ng mga palatandaan bilang karagdagan (pagbabawas) mula sa mga patakaran ng mga palatandaan sa pagpaparami (dibisyon). Parang pareho sila? Halos... Makakakita ka ng kaunting pagkakaiba sa sumusunod na paglalarawan.
Ngayon ay mayroon na tayo ng lahat ng kailangan natin upang makuha ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami. Ang pagkakasunod-sunod ng output ay ang mga sumusunod.
- Malinaw naming ipinapakita kung paano nakuha ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas.
- Gumagawa kami ng mga pagbabago sa semantiko sa umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon.
- Batay sa binagong mga salita ng multiplikasyon at mga panuntunan ng mga palatandaan para sa karagdagan, nakukuha namin ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami.
Tandaan.
Sa ibaba ay nakasulat panuntunan ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas nakuha mula sa visualization. At sa pula, para sa paghahambing, ang parehong mga patakaran ng mga palatandaan mula sa isang aklat-aralin sa matematika. Ang gray na plus sa mga bracket ay ang invisible plus, na hindi isinulat para sa isang positibong numero.
Mayroong palaging dalawang palatandaan sa pagitan ng mga termino: ang tanda ng operasyon at ang tanda ng numero (hindi namin isinusulat ang plus, ngunit sinadya namin ito). Ang mga patakaran ng mga palatandaan ay nagrereseta ng pagpapalit ng isang pares ng mga palatandaan sa isa pang pares nang hindi binabago ang resulta ng karagdagan (pagbabawas). Sa totoo lang, dalawa lang ang rules.
Mga Panuntunan 1 at 3 (para sa visualization) - mga dobleng panuntunan 4 at 2 .. Mga Panuntunan 1 at 3 sa interpretasyon ng paaralan ay hindi nag-tutugma sa visual scheme, samakatuwid, hindi sila nalalapat sa mga panuntunan ng mga palatandaan bilang karagdagan. Ilan pa yan sa rules...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) sige
Ang panuntunan ng paaralan 1. (pula) ay nagbibigay-daan sa iyong palitan ang dalawang magkasunod na plus ng isang plus. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.
Panuntunan ng paaralan 3. (pulang kulay) ay nagbibigay-daan sa iyo na huwag magsulat ng plus sign para sa isang positibong numero pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.
Ang kahulugan ng mga alituntunin ng mga palatandaan bilang karagdagan ay ang pagpapalit ng isang PAIR ng mga palatandaan sa isa pang PAIR ng mga palatandaan nang hindi binabago ang resulta ng karagdagan.
Pinaghalo ng mga metodologo ng paaralan ang dalawang panuntunan sa isang panuntunan:
Dalawang panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga positibo at negatibong numero (pagpapalit ng isang pares ng mga palatandaan ng isa pang pares ng mga palatandaan);
Dalawang panuntunan kung saan hindi ka makakasulat ng plus sign para sa isang positibong numero.
Dalawa iba't ibang mga patakaran, halo-halong sa isa, ay katulad ng mga alituntunin ng mga palatandaan sa pagpaparami, kung saan ang ikatlo ay sumusunod mula sa dalawang palatandaan. Parang one to one.
Buti nalilito! Gawin ang parehong muli, para sa mas mahusay na pagkakabukod. I-highlight natin ang mga palatandaan ng mga operasyon sa pula upang makilala ang mga ito mula sa mga palatandaan ng mga numero.
1. Pagdaragdag at pagbabawas. Dalawang tuntunin ng tanda kung saan ang mga pares ng mga palatandaan sa pagitan ng mga termino ay ipinagpapalit. Operation sign at number sign.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Dalawang panuntunan kung saan ang plus sign ng isang positibong numero ay pinapayagang hindi isulat. Ito ang mga patakaran ng entry form. Hindi nalalapat sa karagdagan. Para sa isang positibong numero, tanging ang senyales ng operasyon ang nakasulat.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Apat na panuntunan ng mga palatandaan sa pagpaparami. Kapag ang ikatlong sign ng produkto ay sumusunod mula sa dalawang multiplier sign. Sa mga tuntunin ng mga palatandaan para sa pagpaparami, tanging mga palatandaan ng mga numero.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Ngayong pinaghiwalay na natin ang mga panuntunan sa notasyon, dapat na malinaw na ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawas ay hindi katulad ng mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami.
V.Kozarenko
Bakit ang isang minus na beses sa isang minus ay katumbas ng isang plus?
- (1 stick) - (2 sticks) = ((1 stick)+(2 sticks))= 2 sticks (At dalawang sticks ay + dahil may 2 sticks sa poste)))
Ang minus na beses sa isang minus ay nagbibigay ng plus dahil ito ay panuntunan ng paaralan. Sa ngayon, walang eksaktong sagot kung bakit, sa aking opinyon. Ito ang tuntunin at ito ay umiikot sa loob ng maraming taon. Kailangan mo lamang tandaan ang isang sliver para sa isang sliver ay nagbibigay ng clothespin.
Mula sa kursong matematika ng paaralan, alam natin na ang minus na beses ng minus ay nagbibigay ng plus. Mayroon ding pinasimple at mapaglarong paliwanag ng panuntunang ito: ang minus ay isang linya, dalawang minus ay dalawang linya, ang plus ay binubuo lamang ng 2 linya. Samakatuwid, ang minus na beses na minus ay nagbibigay ng plus sign.
Sa tingin ko kaya: minus ay isang stick magdagdag ng isa pang minus stick - pagkatapos ay makakakuha ka ng dalawang stick, at kung ikinonekta mo ang mga ito nang crosswise, pagkatapos ay ang sign na + quot ; ay matututo, ito ay kung paano ko sinabi ang aking opinyon sa tanong: minus minus mga petsa plus.
Ang isang minus na beses ng isang minus ay hindi palaging nagbibigay ng isang plus, kahit na sa matematika. Ngunit karaniwang, inihahambing ko ang pahayag na ito sa matematika, kung saan ito ay madalas na matatagpuan. Sinasabi rin nila na nag-knock out sila ng scrap gamit ang crowbar - kahit papaano ay nauugnay din ito sa mga minus.
Isipin na humiram ka ng 100 rubles. Ngayon ang iyong account: -100 rubles. Pagkatapos ay binayaran mo ang utang na ito. Kaya lumalabas na binawasan mo (-) ang iyong utang (-100) sa parehong halaga ng pera. Nakukuha namin ang: -100-(-100)=0
Ang minus ay nagpapahiwatig ng kabaligtaran: ang kabaligtaran ng 5 ay -5. Ngunit ang -(-5) ay ang bilang na kabaligtaran ng kabaligtaran, i.e. 5.
Tulad ng sa isang biro:
1st - Nasaan ang tapat ng kalye?
2nd - sa kabilang panig
1st - at sinabi nila na tungkol dito ...
Isipin ang isang timbangan na may dalawang mangkok. Ang katotohanan na sa kanang mangkok ay laging may plus sign, sa kaliwang mangkok - minus. Ngayon, ang pagpaparami sa isang numero na may plus sign ay nangangahulugan na ito ay nangyayari sa parehong mangkok, at ang pagpaparami sa isang numero na may minus sign ay nangangahulugan na ang resulta ay dadalhin sa isa pang mangkok. Mga halimbawa. Pinaparami namin ang 5 mansanas sa 2. Nakukuha namin ang 10 mansanas sa kanang mangkok. Nag-multiply kami - 5 mansanas sa 2, nakakakuha kami ng 10 mansanas sa kaliwang mangkok, iyon ay -10. Ngayon i-multiply ang -5 sa -2. Nangangahulugan ito ng 5 mansanas sa kaliwang mangkok na pinarami ng 2 at inilipat sa kanang mangkok, iyon ay, ang sagot ay 10. Kapansin-pansin, ang pagpaparami ng plus sa pamamagitan ng minus, iyon ay, ang mga mansanas sa kanang mangkok, ay may negatibong resulta, iyon ay, ang mga mansanas ay pumunta sa kaliwa. At ang pagpaparami ng minus na kaliwang mansanas sa pamamagitan ng plus ay iniiwan ang mga ito sa minus, sa kaliwang mangkok.
Sa tingin ko ito ay maipapakita sa sumusunod na paraan. Kung maglalagay ka ng limang mansanas sa limang basket, magkakaroon ng 25 mansanas sa kabuuan. Sa mga basket. At minus limang mansanas ay nangangahulugan na hindi ko ito iniulat, ngunit kinuha ang mga ito mula sa bawat isa sa limang basket. at ito ay naging parehong 25 mansanas, ngunit hindi sa mga basket. Samakatuwid, ang mga basket ay pumunta bilang isang minus.
Maaari mo ring ipakita ito nang napakahusay sa sumusunod na halimbawa. Kung ang iyong bahay ay nasusunog, iyon ay isang minus. Ngunit kung nakalimutan mong patayin ang gripo sa paliguan, at nagsimula kang baha, kung gayon ito ay isang minus din. Ngunit ito ay hiwalay. Ngunit kung nangyari ang lahat nang sabay-sabay, kung gayon ang minus sa pamamagitan ng minus ay nagbibigay ng isang plus, at ang iyong apartment ay may pagkakataon na mabuhay.