Ang minus times minus table ay nagbibigay ng plus. Mga aksyon na may minus

Dalawang negatibo ang nagpapatunay- ito ay isang alituntunin na natutunan natin sa paaralan at ginagamit sa buong buhay natin. Sino sa atin ang nagtaka kung bakit? Siyempre, mas madaling kabisaduhin ang pahayag na ito nang walang karagdagang mga katanungan at hindi malalim na suriin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "digested". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa tanong na ito, susubukan naming ipaliwanag ang mathematical phenomenon na ito.

Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng mga positibong natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5, ... Ang mga baka, pananim, kaaway, atbp. ay binilang sa tulong ng mga numero. Kapag nagdadagdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi tayong nakakakuha ng positibong numero, kapag hinahati ang ilang dami sa iba, hindi tayo palaging nakakakuha mga integer- kaya lumitaw ang mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mabuting idagdag ang mas maliit sa mas malaki at ibawas ang mas maliit sa mas malaki, habang muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari lamang akong magbigay ng mas mababa sa 10 o 10 sa isang tao. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Mula lamang sa ika-7 siglo AD. Ang mga negatibong numero ay ginamit sa ilang mga sistema ng pagbibilang bilang mga auxiliary na halaga, na naging posible upang makakuha ng positibong numero sa sagot.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Upang mahanap ang sagot, kinakailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga miyembro na hindi alam kanang banda, at walang alam - sa kaliwa: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kapag hinahati ang isang negatibong numero sa isang negatibo, nakakakuha kami ng isang positibong sagot: x \u003d 7.

Ano ang nakikita natin?

Mga aksyon gamit ang mga negatibong numero dapat humantong sa amin sa parehong sagot bilang mga aksyon lamang sa mga positibong numero. Hindi na natin maiisip ang tungkol sa praktikal na hindi kaangkupan at kahalagahan ng mga aksyon - tinutulungan nila tayong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa anyo lamang na may mga positibong numero. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit may sa malaking bilang mga tuntunin, ang mga kalkulasyon na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang ating trabaho.

Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng mahabang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na matukoy ang mga patakaran na sinusunod ng lahat ng mga numero at aksyon sa kanila (sa matematika ay tinatawag silang mga axiom). Doon nanggaling isang axiom na nagsasaad na kapag pinarami mo ang dalawang negatibong numero, makakakuha ka ng positibong numero.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Pagtuturo

Mayroong apat na uri ng mga operasyong matematikal: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Samakatuwid, magkakaroon ng apat na uri ng mga halimbawa na may. Ang mga negatibong numero sa loob ng halimbawa ay naka-highlight upang hindi malito ang mathematical operation. Halimbawa, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) o 34:(-17).

Dagdag. Ang pagkilos na ito ay maaaring magmukhang: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Pagpapalit ng aksyon: una, ang mga bracket ay binuksan, ang "+" sign ay baligtad, pagkatapos ay ang mas maliit na "3" ay ibawas mula sa mas malaking (modulo) na numero "6", pagkatapos kung saan ang sagot ay itinalaga ang mas malaking sign, iyon ay , "-".
2) -3+6=3. Ang isang ito ay maaaring isulat bilang - ("6-3") o ayon sa prinsipyong "ibawas ang mas maliit sa mas malaki at italaga ang tanda ng mas malaki sa sagot."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Kapag binubuksan, ang pagpapalit ng aksyon ng karagdagan sa pamamagitan ng pagbabawas, pagkatapos ay ang mga module ay summed up at ang resulta ay binibigyan ng minus sign.

Pagbabawas.1) 8-(-5)=8+5=13. Ang mga bracket ay binuksan, ang tanda ng aksyon ay nababaligtad, at isang karagdagan halimbawa ay nakuha.
2) -9-3=-12. Ang mga elemento ng halimbawa ay idinagdag nang sama-sama at makuha karaniwang tanda "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Kapag binubuksan ang mga bracket, ang sign ay nagbabago muli sa "+", pagkatapos ay ang mas maliit na numero ay ibabawas mula sa mas malaking numero at ang sign ng mas malaking numero ay kinuha mula sa sagot.

Pagpaparami at paghahati. Kapag nagsasagawa ng multiplikasyon o paghahati, ang tanda ay hindi nakakaapekto sa mismong operasyon. Kapag nagpaparami o naghahati ng mga numero, isang minus sign ang itinalaga sa sagot, kung ang mga numero na may parehong mga palatandaan, ang resulta ay palaging may plus sign. 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Mga pinagmumulan:

mesa na may kahinaan

Paano magdesisyon mga halimbawa? Ang mga bata ay madalas na bumaling sa kanilang mga magulang sa tanong na ito kung kailangang gawin ang araling-bahay. Paano ipaliwanag nang tama sa isang bata ang solusyon ng mga halimbawa para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga multi-digit na numero? Subukan nating alamin ito.

Kakailanganin mong

1. Batayang aklat sa matematika.
2. Papel.
3. Panghawakan.

Pagtuturo

Basahin ang halimbawa. Upang gawin ito, ang bawat multivalued ay nahahati sa mga klase. Simula sa dulo ng numero, magbilang ng tatlong digit at maglagay ng tuldok (23.867.567). Alalahanin na ang unang tatlong digit mula sa dulo ng numero hanggang sa mga yunit, ang susunod na tatlo - sa klase, pagkatapos ay mayroong milyun-milyon. Nabasa natin ang bilang: dalawampu't tatlong walong daan animnapu't pitong libo animnapu't pito.

Sumulat ng isang halimbawa. Pakitandaan na ang mga yunit ng bawat digit ay mahigpit na nakasulat sa ilalim ng bawat isa: mga yunit sa ilalim ng mga yunit, sampu sa ilalim ng sampu, daan-daan sa ilalim ng daan-daan, atbp.

Magsagawa ng pagdaragdag o pagbabawas. Simulan ang paggawa ng aksyon gamit ang mga unit. Isulat ang resulta sa ilalim ng kategorya kung saan isinagawa ang aksyon. Kung ito ay naging isang numero (), pagkatapos ay isulat namin ang mga yunit sa lugar ng sagot, at idagdag ang bilang ng sampu sa mga yunit ng paglabas. Kung ang bilang ng mga unit ng anumang digit sa minuend ay mas mababa kaysa sa subtrahend, kukuha kami ng 10 unit ng susunod na digit, isagawa ang aksyon.

Basahin ang sagot.

Mga kaugnay na video

tala

Ipagbawal ang iyong anak na gumamit ng calculator, kahit na suriin ang solusyon ng isang halimbawa. Ang pagdaragdag ay sinusubok sa pamamagitan ng pagbabawas, at ang pagbabawas ay sinusuri sa pamamagitan ng karagdagan.

Kapaki-pakinabang na payo

Kung natututo nang mabuti ang isang bata sa mga pamamaraan ng nakasulat na mga kalkulasyon sa loob ng 1000, kung gayon ang mga aksyon na may mga multi-digit na numero na isinagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad ay hindi magiging sanhi ng mga paghihirap.
Ayusin ang isang kompetisyon para sa iyong anak: gaano karaming mga halimbawa ang maaari niyang lutasin sa loob ng 10 minuto. Ang ganitong pagsasanay ay makakatulong sa pag-automate ng mga diskarte sa pag-compute.

Ang pagpaparami ay isa sa apat na pangunahing pagpapatakbo ng matematika na sumasailalim sa marami pang iba kumplikadong mga pag-andar. Sa kasong ito, sa katunayan, ang pagpaparami ay batay sa pagpapatakbo ng karagdagan: ang kaalaman tungkol dito ay nagbibigay-daan sa iyo upang maayos na malutas ang anumang halimbawa.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami, kinakailangang isaalang-alang na ang tatlong pangunahing bahagi ay kasangkot dito. Ang isa sa mga ito ay tinatawag na unang kadahilanan at kumakatawan sa bilang na napapailalim sa pagpaparami ng pagpaparami. Para sa kadahilanang ito, mayroon itong pangalawang, medyo hindi gaanong karaniwang pangalan - "multiplier". Ang pangalawang bahagi ng pagpaparami ng pagpaparami ay tinatawag na pangalawang kadahilanan: ito ay ang bilang kung saan ang multiplican ay pinarami. Kaya, ang parehong mga sangkap na ito ay tinatawag na mga multiplier, na binibigyang diin ang kanilang pantay na katayuan, pati na rin ang katotohanan na maaari silang palitan: ang resulta ng multiplikasyon ay hindi magbabago mula dito. Sa wakas, ang ikatlong bahagi ng pagpaparami ng pagpaparami, na nagreresulta mula dito, ay tinatawag na produkto.

Ang pagkakasunud-sunod ng pagpaparami ng pagpaparami

Ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami ay batay sa isang mas simple operasyon ng aritmetika- . Sa katunayan, ang multiplikasyon ay ang pagsusuma ng unang factor, o multiplicand, tulad ng ilang beses na tumutugma sa pangalawang kadahilanan. Halimbawa, upang i-multiply ang 8 sa 4, kailangan mong idagdag ang numero ng 8 4 na beses, na nagreresulta sa 32. Ang pamamaraang ito, bilang karagdagan sa pagbibigay ng pag-unawa sa kakanyahan ng pagpaparami ng operasyon, ay maaaring magamit upang suriin ang resulta na nakuha. sa pamamagitan ng pagkalkula ng nais na produkto. Dapat tandaan na ang pagpapatunay ay kinakailangang ipinapalagay na ang mga terminong kasangkot sa pagbubuod ay pareho at tumutugma sa unang salik.

Paglutas ng mga halimbawa ng multiplikasyon

Kaya, upang malutas ang , na nauugnay sa pangangailangan na magsagawa ng pagpaparami, maaaring sapat na upang magdagdag ng isang naibigay na bilang ng beses kinakailangang numero unang multiplier. Ang ganitong paraan ay maaaring maging maginhawa para sa pagsasagawa ng halos anumang mga kalkulasyon na nauugnay sa operasyong ito. Kasabay nito, sa matematika ay madalas na mayroong mga tipikal, kung saan lumahok ang mga karaniwang single-digit na integer. Upang mapadali ang kanilang pagkalkula, ang tinatawag na multiplikasyon ay nilikha, na kinabibilangan ng isang kumpletong listahan ng mga produkto ng mga positibong integer na single-digit na numero, iyon ay, mga numero mula 1 hanggang 9. Kaya, kapag natutunan mo na, maaari mong makabuluhang pasimplehin ang proseso ng paglutas ng mga halimbawa ng multiplikasyon, batay sa paggamit ng mga naturang numero. Gayunpaman, para sa mas kumplikadong mga opsyon, kakailanganin itong ipatupad mathematical operation sa sarili.

Mga kaugnay na video

Mga pinagmumulan:

Multiplikasyon sa 2019

Ang multiplikasyon ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika, na kadalasang ginagamit kapwa sa paaralan at sa loob Araw-araw na buhay. Paano mo mabilis na mapaparami ang dalawang numero?

Ang batayan ng pinakamasalimuot na mga kalkulasyon sa matematika ay apat na pangunahing pagpapatakbo ng aritmetika: pagbabawas, pagdaragdag, pagpaparami at paghahati. Kasabay nito, sa kabila ng kanilang kalayaan, ang mga operasyong ito, sa mas malapit na pagsusuri, ay nagiging magkakaugnay. Ang ganitong relasyon ay umiiral, halimbawa, sa pagitan ng pagdaragdag at pagpaparami.

Pagpaparami ng numero

Mayroong tatlong pangunahing elemento na kasangkot sa pagpaparami. Ang una sa mga ito, na karaniwang tinutukoy bilang ang unang kadahilanan o multiplicand, ay ang bilang na sasailalim sa pagpaparami ng pagpaparami. Ang pangalawa, na tinatawag na pangalawang kadahilanan, ay ang bilang kung saan ang unang kadahilanan ay i-multiply. Sa wakas, ang resulta ng pagpaparami na isinasagawa ay kadalasang tinatawag na produkto.

Dapat alalahanin na ang kakanyahan ng pagpaparami ng pagpaparami ay talagang batay sa karagdagan: para sa pagpapatupad nito, kinakailangan upang magdagdag ng isang tiyak na bilang ng mga unang kadahilanan, at ang bilang ng mga termino sa kabuuan na ito ay dapat na katumbas ng pangalawang kadahilanan. Bilang karagdagan sa pagkalkula ng produkto ng dalawang salik na isinasaalang-alang, maaari ding gamitin ang algorithm na ito upang suriin ang resultang resulta.

Isang halimbawa ng paglutas ng multiplication task

Isaalang-alang ang mga solusyon sa problema sa pagpaparami. Ipagpalagay, ayon sa mga kondisyon ng pagtatalaga, kinakailangang kalkulahin ang produkto ng dalawang numero, kung saan ang unang kadahilanan ay 8, at ang pangalawa ay 4. Alinsunod sa kahulugan ng pagpaparami ng pagpaparami, ito ay talagang nangangahulugan na ikaw kailangang idagdag ang numero ng 8 4 na beses. Ang resulta ay 32 - ito ang produkto na itinuturing na mga numero, iyon ay, ang resulta ng kanilang pagpaparami.

Bilang karagdagan, dapat itong alalahanin na ang tinatawag na commutative law ay nalalapat sa pagpaparami ng operasyon, na nagtatatag na ang pagbabago ng mga lugar ng mga kadahilanan sa orihinal na halimbawa ay hindi magbabago sa resulta nito. Kaya, maaari mong idagdag ang numero 4 8 beses, na nagreresulta sa parehong produkto - 32.

Talaan ng multiplikasyon

Malinaw na ang paglutas ng isang malaking bilang ng mga halimbawa ng parehong uri sa ganitong paraan ay isang medyo nakakapagod na gawain. Upang mapadali ang gawaing ito, naimbento ang tinatawag na multiplikasyon. Sa katunayan, ito ay isang listahan ng mga produkto ng integer positive single-digit na numero. Sa madaling salita, ang multiplication table ay isang koleksyon ng mga resulta ng multiplication sa pagitan ng isa't isa mula 1 hanggang 9. Kapag natutunan mo na ang talahanayang ito, hindi ka na maaaring gumamit ng multiplication sa tuwing kailangan mong lutasin ang isang halimbawa para sa naturang mga pangunahing numero, ngunit alalahanin lamang ang resulta nito.

Mga kaugnay na video

Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang mga tao ang sumusubok na pumunta sa ibaba at alamin kung bakit ang "minus" hanggang "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibo ang lalabas.

Mga Batas ng Matematika

Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Lubusan nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang nila sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain, kailangan nilang makarating sa ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin nating, bakit ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga matatanda ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nasangkot sa problema ...

Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng minus. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang numero na may tanda na "-", kung gayon ang resulta ay isang positibong numero. Ganun din sa division. Kung negatibo ang isa sa mga numero, magkakaroon din ng "-" sign ang quotient.

Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, kaugalian na tawagan ang isang singsing na isang set kung saan ang dalawang operasyon na may dalawang elemento ay kasangkot. Ngunit ito ay mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.

Ring axiom

Mayroong ilang mga batas sa matematika.

Ang una sa kanila ay displaceable, ayon sa kanya, C + V = V + C.
Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).

Ang multiplikasyon (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.

Walang kinansela ang mga panuntunan kung saan binubuksan ang mga bracket (V + C) x D = V x D + C x D, totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.

Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipasok sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.

Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero

Sa pamamagitan ng pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong: "Plus" sa "minus" ay nagbibigay ng anong senyales? Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.

Upang gawin ito, kailangan muna nating patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay may isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na ang dalawang numero ay magkasalungat para sa C - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng displacement at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Kaya, V = V + C + D.

Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.

Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), ang kabaligtaran ay C at (-(-C)), iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.

Pagkatapos ay halata na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sumusunod dito na ang C x V ay kabaligtaran ng (-) C x V , na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).

Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produkto 0 x V ay hindi nagbabago sa itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Sa pag-alam sa lahat ng mga axiom na ito, posibleng mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" ng "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag pinarami ang mga negatibong numero.

Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may tanda na "-".

Kung hindi mo malalaman ang mga nuances sa matematika, maaari mong subukan ang higit pa sa simpleng paraan ipaliwanag ang mga tuntunin sa pagharap sa mga negatibong numero.

Ipagpalagay na ang C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Iyon ay, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.

(-C) x (-V) \u003d D, dalawang magkaparehong produkto ang maaaring idagdag at ibawas sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Ito ay sumusunod mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).

Katulad nito, maaari nating patunayan na ang resulta ng paghahati ng dalawang negatibong numero ay magiging positibo.

Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika

Siyempre, ang paliwanag na ito ay hindi angkop para sa mga mag-aaral. mababang grado na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mainam para sa kanila na magpaliwanag sa mga nakikitang bagay, manipulahin ang pamilyar na termino sa pamamagitan ng salamin. Halimbawa, imbento, ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na may salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na tinutumbas sa kasalukuyan, iyon ay, bilang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resultang pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi nagsisikap nang husto upang bungkalin ang lahat ng mga nuances sa matematika.

Bagaman, kung harapin mo ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na sa mataas na edukasyon at marami sa mga tuntunin ay nananatiling isang misteryo. Ang bawat tao'y tumatagal para sa ipinagkaloob kung ano ang kanilang mga guro na itinuturo sa kanila, hindi sa kawalan upang bungkalin ang lahat ng mga kumplikado na ang matematika ay puno ng. Ang "minus" sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat ang tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at fractional na numero.

"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan"

Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one? Bakit ang minus one times plus one ay katumbas ng minus one? Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.

Noong unang panahon, ang mga natural na numero lamang ang alam ng mga tao: Ginagamit ang mga ito upang magbilang ng mga kagamitan, biktima, mga kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero sa kanilang sarili ay sa halip ay walang silbi - kailangan mong mahawakan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng pagdaragdag). Ang multiplikasyon ay, sa katunayan, ang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang dami sa isa pa, ngunit dito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.

Ang pagbabawas, siyempre, ay kailangan din. Ngunit sa pagsasagawa, malamang na ibawas natin ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong kendi at ibibigay ko ito sa aking kapatid na babae, magkakaroon ako ng kendi, ngunit hindi ko siya maibibigay sa lahat ng aking pagnanais.) Maipaliwanag nito kung bakit ang mga tao ay hindi gumamit ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang tool lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi tulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes - isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika - ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).

Kunin natin ang equation bilang isang halimbawa. Maaari itong malutas tulad nito: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas , , . Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.

Ngunit maaari itong gawin sa ibang paraan kung nagkataon: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin ang , . Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: . Ngunit ang tamang sagot ay alam na, at ito ay nananatiling concluded na .

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, nagiging malinaw ang lohika na tumutukoy sa mga panuntunan para sa mga aksyon sa mga negatibong numero: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may malaking bilang ng mga termino) na paghahanap para sa landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa mga natural na numero. Bukod dito, hindi na natin maiisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga dami na kino-convert - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.

Ang mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring may kondisyon na nahahati sa mga yugto: bawat isa susunod na yugto naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction sa pag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, para sa lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba-iba, ay may maraming pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas, at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa, upang ang resulta ay muling integer, ay hindi laging posible. Ang parehong ay totoo para sa polynomials.

Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga koleksyon ng mga bagay sa matematika, kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal serye ng kapangyarihan, tuloy-tuloy na pag-andar... Sa wakas, ang pag-unawa ay dumating na kung pag-aaralan mo ang mga katangian ng mga operasyon sa kanilang sarili, ang mga resulta ay maaaring mailapat sa lahat ng mga koleksyon ng mga bagay na ito (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).

Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: ang singsing. Ito ay isang grupo lamang ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing patakaran dito ay ang mga patakaran lamang (tinatawag silang mga axiom), na napapailalim sa mga aksyon, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, bagong antas abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: ang singsing ng mga integer, ang singsing ng polynomial, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.

Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, katulad ng mga patakaran para sa mga operasyon na may mga integer), at pagkatapos ay patunayan namin na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay nagreresulta sa isang plus.

Ang singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, dalawang elemento ng singsing ang kasangkot sa bawat operasyon), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng multiplikasyon upang maging permutable, at hindi rin ito mababaligtad (iyon ay, hindi laging posible na hatiin), o ang pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento na may paggalang sa multiplikasyon. Kung ang mga axiom na ito ay ipinakilala, kung gayon ang iba pang mga istrukturang algebraic ay nakuha, ngunit ang lahat ng mga theorems na pinatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.

Ngayon pinatunayan namin na para sa anumang mga elemento at isang arbitrary na singsing, una, at pangalawa, . Mula dito, madaling sundin ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: at .

Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming pinatunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang isang elemento na magkaroon ng dalawang magkasalungat: at . Yan ay . Isaalang-alang natin ang kabuuan. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang ari-arian ng zero, nakukuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay pantay, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng. Ibig sabihin, .

Tandaan ngayon na ang at , at ay kabaligtaran ng parehong elemento , kaya dapat ay pantay ang mga ito.

Ang unang katotohanan ay nakuha tulad ng sumusunod: , iyon ay, kabaligtaran sa , na nangangahulugang ito ay katumbas ng .

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag din natin kung bakit para sa anumang elemento . Sa katunayan, . Ibig sabihin, hindi binabago ng karagdagan ang kabuuan. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.

Evgeny Epifanov
"Mga elemento"

Mga komento: 0

Jacques Cesiano

Nagkaroon ng tatlong mahahalagang pagpapalawak ng numerical domain sa dalawang milenyo. Una, mga 450 B.C. pinatunayan ng mga siyentipiko ng paaralan ng Pythagoras ang pagkakaroon ir makatwirang mga numero. Ang kanilang unang layunin ay ang numerong ipahayag ang dayagonal ng unit square. Pangalawa, sa XIII-XV siglo, European siyentipiko, paglutas ng mga sistema linear na equation, inamin ang posibilidad ng isa negatibong desisyon. At pangatlo, noong 1572, ang Italian algebraist na si Rafael Bombelli ay gumamit ng mga kumplikadong numero upang makakuha ng tunay na solusyon sa isang partikular na cubic equation.

Proskuryakov I.V.

Ang layunin ng aklat na ito ay mahigpit na tukuyin ang mga numero, polynomial, at algebraic fraction at bigyang-katwiran ang kanilang mga katangian na kilala na mula sa paaralan, at hindi upang ipakilala ang mambabasa sa mga bagong katangian. Samakatuwid, ang mambabasa ay hindi makakahanap dito ng mga bagong katotohanan para sa kanya (maliban sa ilang mga katangian na totoo at kumplikadong mga numero), ngunit natututo kung paano napatunayan ang mga bagay na kilalang-kilala niya, simula sa "dalawang dalawa ay apat" at nagtatapos sa mga tuntunin ng mga operasyon na may mga polynomial at algebraic fractions. Ngunit malalaman ng mambabasa pangkalahatang konsepto, na gumaganap ng pangunahing papel sa algebra.

Ilya Shchurov

Mathematician na si Ilya Shchurov decimal fractions, transcendence at irrationality ng Pi.

Leon Takhtajyan

Ito ay magiging apat na maikling kwento. Magsisimula tayo sa mga numero, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paggalaw, tungkol sa pagbabago, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga hugis at sukat, at pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa simula at wakas. Sa ganoong medyo naka-encrypt na istilo, susubukan naming tingnan ang matematika mula sa loob at labas, at tiyak bilang isang bagay. Kung ano ang iniisip ng mga mathematician at kung ano ang kanilang nabubuhay - maaari nating pag-usapan ito mamaya.

Vladlen Timorin

Mathematician na si Vladlen Timorin sa mga pakinabang ng mga kumplikadong numero, Hamilton quaternions, eight-dimensional Cayley na mga numero at ang iba't ibang mga numero sa geometry.

Jacques Cesiano

Wala kaming alam tungkol kay Diophantus. Sa Alexandria daw siya nakatira. Walang Greek mathematician ang nagbanggit sa kanya bago ang ika-4 na siglo, kaya malamang na nabuhay siya sa kalagitnaan ng ika-3 siglo. Ang pinaka pangunahing trabaho Ang Diophantus, "Arithmetic" (Ἀριθμητικά), ay naganap sa simula ng 13 "aklat" (βιβλία), ibig sabihin, mga kabanata. Mayroon tayong 10 sa kanila ngayon, ibig sabihin: 6 sa tekstong Griyego at 4 pa sa medieval pagsasalin ng Arabic, na ang lugar ay nasa gitna ng mga aklat ng Greek: mga aklat I-III sa Greek, IV-VII sa Arabic, VIII-X sa Greek. Ang "Arithmetic" ng Diophantus ay pangunahing isang koleksyon ng mga problema, mga 260 sa kabuuan. Sa totoo lang, walang teorya; meron lang Pangkalahatang Panuto sa pagpapakilala ng aklat, at mga pribadong pahayag sa ilang problema, kung kinakailangan. Ang "Arithmetic" ay mayroon nang mga katangian ng isang algebraic treatise. Unang tinatangkilik ni Diophantus iba't ibang palatandaan, upang ipahayag ang hindi alam at ang mga kapangyarihan nito, pati na rin ang ilang mga kalkulasyon; tulad ng lahat ng simbolismong algebraic ng Middle Ages, ang simbolismo nito ay nagmula sa mga salitang matematika. Pagkatapos, ipinaliwanag ni Diophantus kung paano lutasin ang problema sa algebraic na paraan. Ngunit ang mga problema ni Diophantine ay hindi algebraic sa karaniwang kahulugan, dahil halos lahat ng mga ito ay nabawasan sa paglutas ng isang hindi tiyak na equation o mga sistema ng naturang mga equation.

Ang mundo ng matematika ay hindi maiisip kung wala ang mga ito - walang mga pangunahing numero. Ano ang mga pangunahing numero, ano ang espesyal sa kanila, at ano ang kahalagahan ng mga ito sa pang-araw-araw na buhay? Sa pelikulang ito, ibubunyag ng propesor sa matematika ng Britanya na si Marcus du Sotoy ang sikreto ng mga prime number.

George Shabat

Sa paaralan, lahat tayo ay nakikintal sa maling ideya na sa hanay ng mga makatwirang numero Q mayroong isang natatanging natural na distansya (ang modulus ng pagkakaiba), kung saan ang lahat ng mga operasyon ng aritmetika ay tuluy-tuloy. Gayunpaman, mayroon ding walang katapusang bilang ng tinatawag na p-adic na mga distansya, isa para sa bawat numerong p. Ayon sa theorem ni Ostrovskii, ang "ordinaryong" distansya, kasama ang lahat ng p-adic na mga distansya, ay talagang nauubos ang lahat ng makatwirang distansya Q. Ang terminong adele democracy ay ipinakilala ni Yu. I. Manin. Ayon sa prinsipyo ng adele democracy, ang lahat ng makatwirang distansya sa Q ay pantay-pantay bago ang mga batas ng matematika (marahil ang tradisyonal na "slightly = bahagyang mas pantay ...". Ang kurso ay magpapakilala ng adele ring na nagpapahintulot sa iyo na magtrabaho kasama ang lahat. ang mga distansyang ito sa parehong oras.

Vladimir Arnold

Pinatunayan ni JL Lagrange na ang isang sequence ng mga hindi kumpletong quotient (nagsisimula sa ilang lugar) ay panaka-nakang kung at kung ang numerong x ay isang quadratic irrationality. Pinatunayan ni R. O. Kuzmin na sa isang pagkakasunud-sunod ng mga hindi kumpletong quotient ng halos anumang tunay na numero, ang proporsyon ng d_m na katumbas ng m hindi kumpletong quotient ay pareho (para sa mga tipikal na tunay na numero). Ang fraction d_m ay bumababa bilang m→∞ bilang 1/m^2 at ang halaga nito ay hinulaan ni Gauss (na walang napatunayan). Iminungkahi ni V. I. Arnol'da (mga 20 taon na ang nakakaraan) ang hypothesis na hawak din ng Gauss–Kuzmin statistic d_m para sa mga panahon ng patuloy na mga fraction ng mga ugat. quadratic equation x^2+px+q=0 (na may integer p at q): kung isusulat natin nang sama-sama ang mga partial quotient na bumubuo sa mga yugto ng lahat ng patuloy na fraction ng mga ugat ng naturang mga equation na may p^2+q^2≤R^ 2, kung gayon ang proporsyon ng partial quotient m sa mga ito ay may posibilidad sa bilang na d_m bilang R→∞. Pinatunayan kamakailan ni V. A. Bykovsky at ng kanyang mga estudyante mula sa Khabarovsk ang matagal nang hypothesis na ito. Sa kabila nito, ang tanong tungkol sa mga istatistika ng hindi mga titik, ngunit mga salita na binubuo ng mga ito, na mga panahon ng patuloy na mga fraction ng anumang mga ugat x ng mga equation na x^2+px+q=0, ay malayong malutas.

Reid Miles

Iniiwan ko ang pamagat at abstract bilang malabo hangga't maaari, upang mapag-usapan ko ang anumang nararamdaman ko sa araw na iyon. Maraming mga uri ng interes sa pag-uuri ng mga varieties ay nakuha bilang Spec o Proj ng isang Gorenstein ring. Sa codimension ⩽3, ang kilalang teorya ng istruktura ay nagbibigay ng mga tahasang pamamaraan ng pagkalkula gamit ang mga singsing na Gorenstein. Sa kaibahan, walang magagamit na teorya ng istraktura para sa mga singsing ng codimension ⩾4. Gayunpaman, sa maraming kaso, ang Gorenstein projection (at ang kabaligtaran nito, ang Kustin–Miller unprojection) ay nagbibigay ng mga paraan ng pag-atake sa mga singsing na ito. Nalalapat ang mga pamamaraang ito sa mga sporadic na klase ng canonical ring ng mga regular na algebraic surface, at sa mas sistematikong mga konstruksyon ng Q-Fano 3-folds, Sarkisov links sa pagitan ng mga ito, at ang 3-folds flips ng Type A ng Mori theory.

Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng mga positibong natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5, ... Ang mga baka, pananim, kaaway, atbp. ay binilang sa tulong ng mga numero. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero, kapag hinahati ang ilang dami sa iba, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito ang paglitaw ng mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mabuting idagdag ang mas maliit sa mas malaki at ibawas ang mas maliit sa mas malaki, habang muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari lamang akong magbigay ng mas mababa sa 10 o 10 sa isang tao. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Isaalang-alang ang isang halimbawa, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Upang mahanap ang sagot, kinakailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi, at walang hindi alam - sa kaliwa: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kapag hinahati ang isang negatibong numero sa isang negatibo, nakakakuha kami ng isang positibong sagot: x \u003d 7.

Ano ang nakikita natin?

Ang mga aksyon na may mga negatibong numero ay dapat humantong sa amin sa parehong sagot tulad ng mga aksyon na may mga positibong numero lamang. Hindi na natin maiisip ang tungkol sa praktikal na hindi kaangkupan at kahalagahan ng mga aksyon - tinutulungan nila tayong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa anyo lamang na may mga positibong numero. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit sa malaking bilang ng mga termino, ang mga kalkulasyon na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang aming trabaho.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.