Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков . Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.
Рассмотрим подробней основные правила знаков.
Деление.
Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».
Умножение.
Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».
Вычитание и сложение.
Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.
Минус на минус даёт плюс – это правило, которые мы выучили в школе и применяем всю жизнь. А кто из нас интересовался почему? Конечно, проще без лишних вопросов запомнить данное утверждение и глубоко не вникать в суть вопроса. Сейчас и без того достаточно информации, которую необходимо «переварить». Но для тех, кого всё же заинтересует этот вопрос, постараемся дать объяснение этому математическому явлению.
С древних времён люди пользуются положительными натуральными числами: 1, 2, 3, 4, 5,… С помощью чисел считали скот, урожай, врагов и т.д. При сложении и умножении двух положительных чисел получали всегда положительное число, при делении одних величин на другие не всегда получали натуральные числа – так появились дробные числа. Что же с вычитанием? С детских лет мы знаем, что лучше к большему прибавить меньшее и из большего вычесть меньшее, при этом мы опять же не используем отрицательные числа. Получается, если у меня есть 10 яблок, я могу отдать кому-то только меньше 10 или 10. Я никак не смогу отдать 13 яблок, потому что у меня их нет. Нужды в отрицательных числах не было долгое время.
Только с VII века н.э. отрицательные числа использовались в некоторых счётных системах, как вспомогательные величины, которые позволяли получить положительное число в ответе.
Рассмотрим пример , 6х – 30 = 3х – 9. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные - в правую: 6х – 3х = 30 – 9, 3х = 21, х = 7. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Мы могли бы члены с неизвестными перенести в правую часть, а без неизвестных - в левую: 9 – 30 = 3х – 6х, (-21) = (-3х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 7.
Что мы видим?
Действия с использованием отрицательных чисел должны привести нас к такому же ответу, что и действия только с положительными числами. Мы можем больше не думать о практической непригодности и осмысленности действий – они помогают нам решить задачу гораздо быстрее, не приводя уравнение к виду только с положительными числами. В нашем примере мы не использовали сложных вычислений, но при большом количестве слагаемых вычисления с отрицательными числами могут облегчить нам работу.
Со временем, после проведения длительных опытов и вычислений удалось выявить правила, которым подчиняются все числа и действия над ними (в математике они называются аксиомами). Отсюда и появилась аксиома, которая утверждает, что при умножении двух отрицательных чисел получаем положительное.
www.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Слушая учителя математики, большинство учеников воспринимают материал как аксиому. При этом мало кто пытается добраться до сути и разобраться, почему «минус» на «плюс» дает знак «минус», а при умножении двух отрицательных чисел выходит положительное.
Законы математики
Большинство взрослых не в силах объяснить ни себе, ни своим детям, почему так получается. Они твердо усвоили этот материал в школе, но при этом даже не попытались выяснить, откуда взялись такие правила. А зря. Зачастую современные дети не столь доверчивы, им необходимо докопаться до самой сути и понять, скажем, почему «плюс» на «минус» дает «минус». А иногда сорванцы специально задают каверзные вопросы, дабы насладиться моментом, когда взрослые не могут дать вразумительного ответа. И совсем уж беда, если впросак попадает молодой учитель...
Кстати, следует отметить, что упомянутое выше правило действенно как для умножения, так и для деления. Произведение отрицательного и положительного числа даст лишь «минус. Если речь идет о двух цифрах со знаком «-», то в результате получится положительное число. То же касается и деления. Если одно из чисел будет отрицательным, то частное тоже будет со знаком «-».
Для объяснения правильности этого закона математики, необходимо сформулировать аксиомы кольца. Но для начала следует понять, что это такое. В математике кольцом принято называть множество, в котором задействованы две операции с двумя элементами. Но разбираться с этим лучше на примере.
Аксиома кольца
Существует несколько математических законов.
- Первый из них переместительный, согласно ему, C + V = V + C.
- Второй называется сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).
Им же подчиняется и умножение (V х C) х D = V х (C х D).
Никто не отменял и правил, по которым открываются скобки (V + C) х D = V х D + C х D, также верно, что C х (V + D) = C х V + C х D.
Кроме того, установлено, что в кольцо можно ввести специальный, нейтральный по сложению элемент, при использовании которого будет верно следующее: C + 0 = C. Кроме того, для каждого C есть противоположный элемент, который можно обозначить, как (-C). При этом C + (-C) = 0.
Выведение аксиом для отрицательных чисел
Приняв приведенные выше утверждения, можно ответить на вопрос: «"Плюс" на "минус" дает какой знак?» Зная аксиому про умножение отрицательных чисел, необходимо подтвердить, что действительно (-C) х V = -(C х V). А также, что верно такое равенство: (-(-C)) = C.
Для этого придется вначале доказать, что у каждого из элементов существует лишь один ему противоположный «собрат». Рассмотрим следующий пример доказательства. Давайте попробуем представить, что для C противоположными являются два числа - V и D. Из этого следует, что C + V = 0 и C + D = 0, то есть C + V = 0 = C + D. Вспоминая о переместительных законах и о свойствах числа 0, можно рассмотреть сумму всех трех чисел: C, V и D. Попробуем выяснить значение V. Логично, что V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ведь значение C + D, как было принято выше, равняется 0. Значит, V = V + C + D.
Точно так же выводится и значение для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Исходя из этого, становится ясно, что V = D.
Для того чтобы понять, почему все же «плюс» на «минус» дает «минус», необходимо разобраться со следующим. Так, для элемента (-C) противоположными являются C и (-(-C)), то есть между собой они равны.
Тогда очевидно, что 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. Из этого следует, что C х V противоположно (-)C х V, значит, (-C) х V = -(C х V).
Для полной математической строгости необходимо еще подтвердить, что 0 х V = 0 для любого элемента. Если следовать логике, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А это значит, что прибавление произведения 0 х V никак не меняет установленную сумму. Ведь это произведение равняется нулю.
Зная все эти аксиомы, можно вывести не только, сколько «плюс» на «минус» дает, но и что получается при умножении отрицательных чисел.
Умножение и деление двух чисел со знаком «-»
Если не углубляться в математические нюансы, то можно попробовать более простым способом объяснить правила действий с отрицательными числами.
Допустим, что C - (-V) = D, исходя из этого, C = D + (-V), то есть C = D - V. Переносим V и получаем, что C + V = D. То есть C + V = C - (-V). Этот пример объясняет, почему в выражении, где идут два «минуса» подряд, упомянутые знаки следует поменять на «плюс». Теперь разберемся с умножением.
(-C) х (-V) = D, в выражение можно добавить и вычесть два одинаковых произведения, которые не поменяют его значения: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.
Вспомная о правилах работы со скобками, получаем:
1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;
2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;
3) (-C) х 0 + C х V = D;
Из этого следует, что C х V = (-C) х (-V).
Аналогично можно доказать, что и в результате деления двух отрицательных чисел выйдет положительное.
Общие математические правила
Конечно, такое объяснение не подойдет для школьников младших классов, которые только начинают учить абстрактные отрицательные числа. Им лучше объяснять на видимых предметах, манипулируя знакомым им термином зазеркалья. Например, придуманные, но не существующие игрушки находятся именно там. Их и можно отобразить со знаком «-». Умножение двух зазеркальных объектов переносит их в еще один мир, который приравнивается к настоящему, то есть в результате мы имеем положительные числа . А вот умножение абстрактного отрицательного числа на положительное лишь дает знакомый всем результат. Ведь «плюс» умножить на «минус» дает «минус». Правда, в дети не слишком-то пытаются вникнуть во все математические нюансы.
Хотя, если смотреть правде в глаза, для многих людей даже с высшим образованием так и остаются загадкой многие правила. Все принимают как данность то, что преподают им учителя, не затрудняясь вникать во все сложности, которые таит в себе математика. «Минус» на «минус» дает «плюс» - об этом знают все без исключения. Это верно как для целых, так и для дробных чисел.
1) Почему минус один умножить на минус один равно плюс один?
2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?
«Враг моего врага - мой друг».
Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны - нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел - тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение - это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже - сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом - так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений - это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт - один из «основателей» современной математики - называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2 . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные - в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3 . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5) . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3 .
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел . Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин - а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам - как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо . Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами ), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
- сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B ) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C ) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A) ), что A + (–A) = 0 ;
- умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C ;
- сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C .
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы - нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B) , а во-вторых (–(–A)) = A . Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С . То есть A + B = 0 = A + C . Рассмотрим сумму A + B + C . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C , а с другой стороны, она равна C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C . Значит, B = C .
Заметим теперь, что и A , и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A) , поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B , то есть (–A)·B противоположно A·B , значит, оно равно –(A·B) .
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B . В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B . То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Ответил: Евгений Епифанов
Показать комментарии (37)
Свернуть комментарии (37)
Хороший ответ. Но для уровня старшекласника-первокурсника. Мне кажется можно объяснить проще и нагляднее, на примере формулы "расстояние = скорость * время" (2 класс).
Допустим мы идем вдоль дороги, нас обгоняет машина и начинает удаляться. Время растет - и расстояние до нее растет. Скорость такой машины будем считать положительной, она может быть например 10 метров в секунду. Кстати, а сколько это километров в час? 10/1000(км)*60(сек)*60 (мин)= 10*3,6 = 36 км/ч. Немного. Наверное дорога плохая...
А вот машина идущая нам навстречу не удаляется, а приближается. Поэтому и скорость ее удобно считать отрицательной. Например -10 м/сек. Расстояние уменьшается: 30, 20, 10 метров до встречной машины. Каждая секунда - минус 10 метров. Теперь понятно почему скорость с минусом? Вот она пролетела мимо. Какое до нее расстояние через секунду? Правильно, -10 метров, т.е. "в 10 метрах позади".
Вот мы получили первое утверждение. (-10 м/сек) * (1 сек) = -10 м.
Минус (отрицательная скорость) на плюс (положительное время) дал минус (отрицательное расстояние, машина у меня за спиной).
А теперь внимание - минус на минус. Где встречная машина была за секунду ДО того как проехала мимо? (-10 м/сек) * (- 1 сек) = 10 м.
Минус (отрицательная скорость) на минус (отрицательное время) = плюс (положительное расстояние, машина была в 10 метрах у меня перед носом).
Так понятно, или кто-то знает пример еще проще?
Ответить
Да можно доказать проще! 5*2-это два раза отложить на числовой прямой, в положительную сторону, число 5, и тогда получим число 10. если 2*(-5), то отсчитываем два раза по числу 5, но уже в отрицательную сторону, и получим число(-10), теперь представим 2*(-5), как
2*5*(-1)=-10, ответ переписываем из предыдущего вычисления, а не полученного в этом, Значит можно сказать, что при умножении числа на (-1), есть перевёртывание числовой двух полярной оси, т.е. смена полярности на противоположную. То что мы отложили в положительную часть стало отрицательным и наоборот. Теперь (-2)*(-5), запишем как (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), отложив число (-10), и поменяв полярность оси, т.к. умножаем на (-1), получим +10, не знаю только получилось ли проще?
Ответить
Думаю вы правы. Я лишь попытаюсь показать вашу точку зрения подробнее, т.к. вижу, что не все это поняли.
Минус означает отобрать. Если у вас отобрали 5 яблок 1 раз, то в итоге у вас отобрали 5 яблок, что условно обозначается минусом, т.е. – (+5). Ведь надо же как то обозначить действие. Если 5 раз отобрали по 1 яблоку, то в итоге так же отобрали: – (+5). При этом отобранные яблоки не стали мнимыми, т.к. закон сохранения материи никто не отменял. Положительные яблоки просто перешли к тому, кто их отобрал. Значит мнимых чисел нет, есть относительное движение материи со знаком + или -. Но раз так, то запись: (-5) * (+1) = -5 или (+5) * (-1) = -5 не точно отражает действительность, а обозначает её только условно. Поскольку мнимых чисел нет, то всё произведение всегда положительное → «+» (5*1). Далее происходит отрицание положительного произведения, что означает отъём → «- +» (5*1). Здесь минус не компенсирует плюс, а отрицает его и становится на его место. Тогда в итоге получаем: -(5*1) = -(+5).
Для двух минусов можно записать: «- -» (5*1) = 5. Знак «- -» означает «+», т.е. экспроприацию экспроприаторов. Сначала яблоки отобрали у вас, а затем вы их отобрали у вашего обидчика. В результате все яблоки остались положительными, только отбор не состоялся, т.к. произошла социальная революция.
Вообще говоря, то что отрицание отрицания ликвидирует отрицание и всё к чему отрицание относится детям понятно и без объяснений, т.к. это очевидно. Объяснить детям нужно только то, что взрослые искусственно запутали, да так, что и сами теперь не могут разобраться. А путаница состоит в том, что вместо отрицания действия ввели отрицательные числа, т.е. отрицательную материю. Вот дети и недоумевают, почему при сложении отрицательной материи сумма получается отрицательной, что вполне логично: (-5) + (-3) = -8, а при умножении такой же отрицательной материи: (-5) * (-3) = 15, она вдруг в итоге становится положительной, что не логично! Ведь с отрицательной материей должно происходить всё тоже самое, что и с положительной, только с другим знаком. Поэтому детям кажется логичнее, что при умножении отрицательной материи должно происходить приумножение именно отрицательной материи.
Но и здесь не всё гладко, ведь для приумножения отрицательной материи достаточно чтобы только одно число было с минусом. При этом один из сомножителей, который обозначает не вещественное наполнение, а разы повторения отобранной материи всегда положительный, т.к. разы не могут быть отрицательными даже если повторяется отрицательная (отобранная) материя. Поэтому при умножении (делении) знаки правильнее ставить перед всем произведением (делением), что мы и показали выше: «- +» (5*1) или «- -» (5*1).
А для того, чтобы знак минус воспринимался не как признак мнимого числа, т.е. отрицательной материи, а как действие, взрослым нужно договориться сначала между собой, что если знак минус стоит пред числом, то он обозначает отрицательное действие с числом, которое всегда положительное, а не мнимое. Если же знак минус стоит перед другим знаком, то он обозначает отрицательное действие с первым знаком, т.е. меняет его на противоположный. Тогда всё станет на свои места естественным образом. Затем надо объяснить это детям и они прекрасно поймут и усвоят такое понятное правило взрослых. Ведь сейчас все взрослые участники обсуждения фактически пытаются объяснить необъяснимое, т.к. физического объяснения этому вопросу нет, это просто условность, правило. А объяснять абстракцию абстракцией же - это тавтология.
Если знак минус отрицает число, то это физическое действие, но если он отрицает само действие, то это просто условное правило. То есть взрослые просто договорились, что если отбор отрицается, как в рассматриваемом вопросе, то отбора нет, неважно сколько раз! При этом всё, что у вас было остаётся с вами, будь то просто число, будь то произведение чисел, т.е. много попыток отбора. Вот и всё.
Если кто-то не согласен, то подумайте спокойно ещё раз. Ведь и пример с машинами, в котором есть отрицательная скорость и отрицательное время за секунду до встречи это всего лишь условное правило связанное с системой отсчёта. В другой системе отсчёта та же скорость и то же время станут положительными. А пример с зазеркальем связан со сказочным правилом, в котором минус отражаясь в зеркале только условно, но вовсе не физически становится плюсом.
Ответить
С математическими минусами все вроде понятно. А вот в языке, когда задается вопрос с отрицанием как на него отвечать? Вот, например, меня всегда ставил такой вопрос в тупик: "Вы не хоти ли чая?". Как на него ответить при условии, что я чай хочу? Вроде если сказать "Да", то чая не дадут (это как + и -), если нет то должны дать (- и -), а если "Нет, не хочу"???
Ответить
Для того, что бы ответить на такой детский вопрос, нужно сперва ответить на парочку взрослых вопросов: "Что такое минус в математике?" и "Что такое умножение и деление?". Насколько понимаю я, именно там начинаются проблемы, которые в итоге приводят к кольцам и прочей ахинее при ответе на такой простой детский вопрос.
Ответить
Ответ явно не для простых школьников!
В младших классах читала чудесную книжку - ту что про Карликанию и Аль-Джебру, а может и в математическом кружке приводили пример - ставили по разные стороны знака равно двух человек с яблоками разных цветов и предлагали давать друг другу яблоки. Потом между участниками игры ставили и другие знаки - плюс, минус, больше, меньше.
Ответить
Детский ответ, да??))
Может прозвучит жестоко, но автор сам не понимает почему минус на минус даёт плюс:-)
Всё в мире можно объяснить наглядно, ведь абстракции нужны лишь для объяснения мира. Они привязаны к реальности, а не живут сами по себе в бредоватых учебниках.
Хотя для объяснения нужно как минимум знать физику а иногда и биологию в купе с основами нейрофизиологи человека.
Но тем не менее, первая часть дала надежду понять, и очень доступно объяснила необходимость отрицательных чисел.
Но вторая традиционно съехала в шизофрению. А и В - это должны быть реальные объекты! так зачем же их называть этими буквами, когда можно взять например буханки хлеба или яблоки
Если.. если было бы можно... да?))))))
И... даже пользуясь правильной основой из первой части (что умножение это то же сложение) - с минусами получается противоречие))
-2 + -2 = -4
но
-2 * -2 =+4))))
и даже если считать что это минус два, взятое минус два раза, то получится
-2 -(-2) -(-2) = +2
Стоило просто признаться, что раз числа виртуальные, то для относительно правильного учёта пришлось придумать виртуальные правила.
И это было бы ПРАВДОЙ, а не окольцованной чушью.
Ответить
В своём примере Academon допустил ошибку:
На самом деле (-2)+(-2) = (-4) – это 2 раза по (-2), т.е. (-2) * 2 = (-4).
Что же касается умножения двух отрицательных чисел, без противоречий, это то же сложение, только с другой стороны от «0» на числовой прямой. А именно:
(-2) * (-2) = 0 –(-2) –(-2) = 2 + 2 = 4. Так что всё сходится.
Ну, а относительно реальности отрицательных чисел, как вам такой пример?
Если у меня в кармане, допустим, 1000$, настроение моё можно назвать «положительным».
Если 0$, соответственно состояние будет «никаким».
А если (-1000)$ – долг, который надо возвращать, а денег нет...?
Ответить
Минус на минус - всегда будет плюс,
Отчего так бывает - сказать не берусь.
Почему -на-=+ привел меня в недоумение еще в школе, в 7 классе (1961 г). Я попытался придумать другую, более "справедливую" алгебру, где +на+=+, а -на-=-. Так мне показалось будет честнее. Но как тогда быть с +на- и -на+? Потерять коммутативность xy=yx не хотелось, а иначе не выходит.
А что если взять не 2 знака а три, например +, - и *. Равноправные и симметричные.
СЛОЖЕНИЕ
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) не складывются(!), как действительная и мнимая части комплексного числа.
Но за то (+a)+(-a)+(*a)=0.
Например, чему равно (+6)+(-4)+(*2)?
(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Не просто, но привыкнуть можно.
Теперь УМНОЖЕНИЕ.
Постулируем:
+на+=+ -на-=- *на*=* (справедливо?)
+на-=-на+=* +на*=*на+=- -на*=*на-=+ (справедливо!)
Казалось бы все хорошо, но умножение не ассоциативно, т.е.
а(bс) не равно (аb)с.
А если так
+на+=+ -на-=* *на*=-
+на-=-на+=- +на*=*на+=* -на*=*на-=+
Опять несправедливо, + выделен как особый. НО родилась НОВАЯ АЛГЕБРА с тремя знаками. Коммутативная, ассоциативная и дистрибутивная. У нее есть геометрическая интерпретация. Она изоморфна Комплексным числам. Ее можно расширять дальше: четыре знака, пять...
Такого еще не было. Берите, люди, пользуйтесь.
Ответить
Детский вопрос - вообще детский ответ.
Есть наш мир, где всё "плюс": яблоки, игрушки, кошки и собаки, они настоящие. Яблоко можно съесть, кошку можно погладить. А ещё есть придуманный мир, зазеркалье. Там тоже есть яблоки и игрушки, зазеркальные, мы можем их представить, но потрогать не можем - они придуманные. Попасть из одного мира в другой мы можем с помощью знака "минус". Если у нас есть два настоящих яблока (2 яблока), и мы поставим знак минус (-2 яблока) - получим два придуманных яблока в зазеркалье. Знак минус переносит нас из одного мира в другой, туда-обратно. Зазеркальных яблок в нашем мире нет. Мы можем их представить целую кучу, даже миллион (минус миллион яблок). Вот только съесть их не получится, потому что минус яблок у нас нет, все яблоки в наших магазинах - это плюс яблоки.
Умножить - значит расставить какие-нибудь предметы в виде прямоугольника. Возьмём две точки ":" и умножим их на три, получим: ": : :" - всего шесть точек. Можно взять настоящее яблоко (+Я) и умножить его на три, получим: "+ЯЯЯ" - три настоящих яблока.
А теперь умножим яблоко на минус три. Мы снова получим три яблока "+ЯЯЯ", но знак минус перенесёт нас в зазеркалье, и у нас окажется три зазеркальных яблока (минус три яблока -ЯЯЯ).
А теперь умножим минус яблоко (-Я) на минус три. То есть берём яблоко, а коли перед ним минус - переносим в зазеркалье. Там мы умножаем его на три. Теперь у нас три зазеркальных яблока! Но остался ещё один минус. Он переместит полученные яблоки назад, в наш мир. В итоге получим три настоящих вкусных яблока +ЯЯЯ, которые можно слопать.
Ответить
Всё хорошо до последнего шага. При умножении на минус единицу трёх зеркальных яблок, мы должны отразить эти яблоки ещё в одном зеркале. Они по расположению будут совпадать с реальными, но будут такими же мнимыми, как и первые зеркальные и такими же несъедобными. То есть (-1)*(-1)= --1 <> 1.
На самом деле меня смущает другой момент связанный с умножением отрицательных чисел, а именно:
Верно ли равенство:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?Этот вопрос возник из попытки осознать поведение графика функции y=x^n, где x и n - действительные числа.
Получается что график функции расположен будет в 1 и 3 четвертях всегда, кроме тех случаев когда n - чётное. При этом меняется лишь кривизна графика. Но чётность n - величина относительная, ведь мы можем принять другую систему отсчёта, в которой n = 1,1*k, далее мы получаем
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
и чётность здесь будет уже другая...И в добавок я предлагаю добавить к рассуждению то что происходит с графиком функции y = x^(1/n). Я не без оснований предполагаю что график функции должен быть симметричен графику y = x^n относительно графика функции y = x.
Ответить
Есть несколько способов объяснения правила "минус на минус дает плюс".Вот самый простой. Умножение на натур. число n - это растяжение отрезка (расположенного на числовой оси) в n раз. Умножение на -1 это отражение отрезка относительно начала координат. В качестве кратчайшего объяснения, почему (-1)*(-1) = +1 этот способ пригоден.Узкое место этого подхода в том, что нужно еще отдельно определить сумму таких операторов.
Ответить
Можно идти при объяснении от комплексных чисел
как более общей формы представления чисел
Тригонометрическая форма комплексного числа
Формула Эйлера
Знак в этом случае это просто аргумент (угол поворота)
При умножении углы складываются
0 градусов соответствует +
180 градусов соответствует -
Умножение - на - эквивалентно 180+180=360=0
Ответить
Такое покатит?
Отрицания - это обратная вещь. Для простоты, чтобы временно отойти от минусов, заменим утверждения и сделаем точку отсчета больше. Начнем отсчет не с нуля, а с 1000.
Допустим, мне два человека должны дать по два рубля: 2_человека*2_рубля=4_рубля мне должны в сумме. (мой баланс 1004)
Теперь обратные (отрицательные числа, но обратные/положительные утверждения):
минус 2 человека = значит не мне должны, а я должен (я должен большему числу людей, чем мне должны). Например, я должен 10-и людям, а мне всего 8. Взаимные расчеты можно сократить и не учитывать, но можно иметь ввиду, если удобнее работать с положительными числами. То есть все друг другу выдают деньги.
минус 2 рубля = аналогичный принцип - должно забрать больше, чем дать. Значит я каждому должен по два рубля.
-(2_человека)*2_рубля=я_должен_каждому_по_2=-4 у меня. Мой баланс 996 рублей.
2_человека*(-2_рубля)=двое_должы_забрать_по_2_рубля_у_меня=- 4 у меня. Мой баланс 996 рублей.
-(2_человека)*(-2_рубля)= каждый_должен_взять_у_меня_меньше_чем_должен_дать_на_2_рубля
Вообще, если представить, что все крутится не около 0, а около, к примеру, 1000, а выдают денег по 10, забирая по 8. То можно последовательно выполняя все операции выдачи кому-то денег или отбирания, придти к выводу, что если двое лишних (остальных сократим взаимозачетом) заберут у меня на два рубля меньше, чем вернут, то мое благосостоянии вырастет на положительную цифру 4.
Ответить
В поисках ПРОСТОГО (понятного ребенку) ответа на поставленный вопрос ("Почему минус на минус дает плюс") я старательно прочла и предложенную автором статью, и все комментарии. Считаю наиболее удачным ответом тот, который вынесен в эпиграф: "Враг моего врага - мой друг". Куда уж понятнее! Просто и гениально!
Некий путешественник прибывает на остров, о жителях которого ему известно лишь одно: некоторые из них говорят только правду, другие - только ложь. Внешне их различить невозможно. Путешественник высадился на берег и видит дорогу. Он хочет узнать, ведет ли эта дорога в город. Увидев на дороге местного жителя, он задает ему ТОЛЬКО ОДИН вопрос, позволяющий ему узнать, что дорога в город ведет. Как он спросил об этом?
Решение - тремя строками ниже (просто чтобы сделать паузу и дать вам, взрослым, шанс приостановиться и подумать над этой замечательной задачей!) Моему внуку-третьекласснику задачка оказалась пока не по зубам, но осмысление ответа, без сомнения, приблизило его к пониманию грядущих математических премудростей типа "минус на минус дает плюс".
Итак, ответ:
"Если бы я спросил у вас, ведет ли эта дорога в город, что бы вы мне ответили?"
«Алгебраическое» объяснение не смогло поколебать ни моей горячей любви к отцу, ни глубокого уважения к его науке. Но я навсегда возненавидел аксиоматический метод с его немотивированными определениями.
Интересно, что этот ответ И.В.Арнольда на детский вопрос практически совпал по времени с выходом в свет его книги "Отрицательные числа в курсе алгебры". Там (в главе 7) приводится совершенно другой ответ, по-моему, очень наглядный. Книга доступна в электронном виде http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm
Ответить
Если есть парадокс, нужно искать ошибки в основах. В формулировке умножения три ошибки. Отсюда и получается "парадокс". Нужно просто добавить ноль.
(-3) х (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля).
Множитель (4) показывает количество операций прибавления или вычитания (количество знаков "минус" или "плюс" при разложении умножения на сложение).
Знаки "минус" и "плюс" у множителя (4) предписывают либо вычитать множимое из нуля, либо прибавлять множимое к нулю.
Конкретно в этом примере (-4) указывает, что нужно вычесть ("-") из нуля множимое (-3) четыре раза (4).
Исправьте формулировку (три логические ошибки). Просто добавьте ноль. Правила арифметики от этого не изменятся.
Подробно на эту тему здесь:
http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm
Что за привычка механически верить учебникам? Нужно и собственные мозги иметь. Особенно, если встречаются парадоксы, белые пятна, явные противоречия. Все это следствие ошибок в теории.
Разложить на слагаемые произведение двух отрицательных чисел, по существующей сейчас формулировке умножения (без нуля), невозможно. Это никого не напрягает?
Что же это за формулировка умножения, по которой невозможно выполнить умножение? :)
Проблема ещё и чисто психологическая. Слепое доверие авторитетам, нежелание думать самостоятельно. Если в учебниках так написано, если в школе так учат, значит, это истина в последней инстанции. Все меняется, в том числе и науки. Иначе бы не было развития цивилизации.
Исправьте формулировку умножения во всех учебниках! Правила арифметики от этого не изменятся.
Более того, как следует из статьи по ссылки выше, исправленная формулировка умножения станет аналогичной формулировки возведения числа в степень. Там тоже не записывают единицу при возведении в положительную степень. Однако записывают единицу при возведении числа в отрицательную степень.
Господа математики, вашу мать, нужно всегда записывать ноль и единицу, даже если результат от их отсутствия не изменяется.
Изменяется (или даже пропадает) смысл от сокращенных записей. И появляются проблемы с пониманием у школьников.
Ответить
Написать комментарий
Инструкция
Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров с будет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).
Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак "+" меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа "6" отнимается меньшее - "3", после чего ответу присваивается знак большего, то есть "-".
2) -3+6=3. Этот можно записать по- ("6-3") или по принципу "из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули и результату ставиться знак "минус".
Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и получает общий знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на "+", далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа - знак большего числа.
Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с ответу присваивается знак "минус", если числа с одинаковыми знаками - у результата всегда знак "плюс".1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Источники:
- таблица с минусами
Как решать примеры ? С таким вопросом часто обращаются дети к родителям, если уроки требуется сделать дома. Как правильно объяснить ребенку решение примеров на сложение и вычитание многозначных чисел? Попробуем в этом разобраться.
Вам понадобится
- 1. Учебник по математике.
- 2. Бумага.
- 3. Ручка.
Инструкция
Прочитайте пример. Для этого каждое многозначное разбить на классы. Начиная с конца числа, отсчитываем по три цифры и ставим точку (23.867.567). Напомним, что первые три цифры с конца числа к единиц, следующие три - к классу , далее идут миллионы. Читаем число: двадцать три восемьсот шестьдесят семь тысяч шестьдесят семь.
Запишите пример . Обратите внимание, что единицы каждого разряда записываются строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.
Выполните сложение или вычитание. Начинайте выполнять действие с единиц. Результат записывайте под тем разрядом, действие с которым выполняли. Если получилось число(), то единицы записываем на месте ответа, а число десятков прибавляем к единицам разряда. Если количество единиц какого-либо разряда в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимаем 10 единиц следующего разряда, выполняем действие.
Прочитайте ответ.
Видео по теме
Обратите внимание
Запретите ребенку использование калькулятора даже для проверки решения примера. Сложение проверяется вычитанием, а вычитание - сложением.
Если ребенок хорошо усвоит приемы письменных вычислений в пределах 1000, то действия с многозначными числами, выполненные по-аналогии, не вызовут затруднений.
Устройте ребенку соревнование: сколько примеров он может решить за 10 минут. Такие тренировки помогут автоматизировать вычислительные приемы.
Умножение - одна из четырех основных математических операций, которая лежит в основе многих более сложных функций. При этом фактически умножение основывается на операции сложения: знание об этом позволяет правильно решить любой пример.
Для понимания сущности операции умножения необходимо принять во внимание, что в ней участвуют три основных компонента. Один из них носит название первого множителя и представляет собой число, которое подвергается операции умножения. По этой причине у него имеется второе, несколько менее распространенное название - «множимое». Второй компонент операции умножения принято называть вторым множителем: он представляет собой число, на которое умножается множимое. Таким образом, оба эти компонента носят название множителей, что подчеркивает их равноправный статус, а также то, что их можно поменять местами: результат умножения от этого не изменится. Наконец, третий компонент операции умножения, получающийся в ее результате, носит название произведения.
Порядок операции умножения
Сущность операции умножения основывается на более простом арифметическом действии - . Фактически умножение представляет собой суммирование первого множителя, или множимого, такое количество раз, которое соответствует второму множителю. Например, для того, чтобы умножить 8 на 4 необходимо 4 раза сложить число 8, получив в результате 32. Этот способ, помимо обеспечения понимания сущности операции умножения, можно использовать для проверки результата, получившегося при вычислении искомого произведения. При этом следует иметь в виду, осуществление проверки обязательно предполагает, что слагаемые, участвующие в суммировании, одинаковы и соответствуют первому множителю.Решение примеров на умножение
Таким образом, для того, чтобы решить , связанный с необходимостью осуществления умножения, может быть достаточно заданное количество раз сложить необходимое число первых множителей. Такой способ может быть удобен для осуществления практически любых расчетов, связанных с этой операцией. Вместе с тем, в математике достаточно часто встречаются типовые , в которых участвуют стандартные целые однозначные числа. Для того, чтобы облегчить их расчет, была создана так называемая умножения, которая включает в себя полный перечень произведений целых положительных однозначных чисел, то есть чисел от 1 до 9. Таким образом, однажды выучив , можно существенно облегчить себе процесс решения примеров на умножение, основанных на использовании таких чисел. Однако для более сложных вариантов необходимо будет осуществлять эту математическую операцию самостоятельно.Видео по теме
Источники:
- Умножение в 2019
Умножение - одна из четырех основных арифметических операций, которая часто встречается как в учебе, так и в повседневной жизни. Как можно быстро перемножить два числа?
Основу самых сложных математических вычислений составляют четыре основных арифметических операции: вычитание, сложение, умножение и деление. При этом, несмотря на свою самостоятельность, эти операции при ближайшем рассмотрении оказываются связанными между собой. Такая связь существует, например, между сложением и умножением.
Операция умножения чисел
В операции умножения участвуют три основных элемента. Первый из них, который обычно называют первым множителем или множимым, представляет собой число, которое будет подвергнуто операции умножения. Второй, который именуют вторым множителем, является числом, на которое будет умножен первый множитель. Наконец, результат осуществленной операции умножения чаще всего носит название произведения.При этом следует помнить, что сущность операции умножения фактически основывается на сложении: для ее осуществления необходимо сложить между собой определенное количество первых множителей, причем количество слагаемых этой суммы должно быть равно второму множителю. Помимо вычисления самого произведения двух рассматриваемых множителей, этот алгоритм можно использовать также для проверки получившегося результата.
Пример решения задания на умножение
Рассмотрим решения задачи на умножение. Предположим, по условиям задания необходимо вычислить произведение двух чисел, среди которых первый множитель равен 8, а второй 4. В соответствии с определением операции умножения, это фактически означает, что нужно 4 раза сложить цифру 8. В результате получается 32 - это и есть произведение рассматриваемых чисел, то есть результат их умножения.Кроме того, необходимо помнить, что в отношении операции умножения действует так называемый переместительный закон, который устанавливает, что от изменения мест множителей в первоначальном примере его результат не изменится. Таким образом, можно 8 раз сложить цифру 4, получив в результате то же произведение - 32.
Таблица умножения
Понятно, что решать таким способом большое количество однотипных примеров - довольно утомительное занятие. Для того чтобы облегчить эту задачу, была придумана так называемая умножения. Фактически она представляет собой перечень произведений целых положительных однозначных чисел. Проще говоря, таблица умножения - это совокупность результатов перемножения между собой от 1 до 9. Один раз выучив эту таблицу, можно уже не прибегать к осуществлению умножения всякий раз, когда потребуется решить пример на такие простые числа, а просто вспомнить его результат.Видео по теме
Правильно ли мы понимаем умножение?
"- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
- Осталась ваша буква И".(Из к/ф "Отроки во Вселенной")
Почему при умножении числа на ноль получается ноль?
7 * 0 = 0
Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?
7 * (-3) = + 21
Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.
Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!
Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой...
Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.
7 - множимое. 3 - множитель. 21- произведение.
По официальной формулировке:
- умножить число на другое число - значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.
По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.
Исправим формулировку умножения
Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.
Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
А если мы будем умножать на три минус семь?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.
- Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются "правила знаков" при умножении, когда множитель отрицательный.
7 * (-3) - должно быть после нуля три знака "минус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - снова должно быть после нуля три знака "минус" =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Умножение на ноль
7 * 0 = 0 + ... нет операций прибавления к нулю.
Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.
Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух "правил знаков" (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.
- Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
- Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
- Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).
Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.
Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков "+" или "-" в правой части равенства.
Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Математики согласны, что возведение числа в положительную степень - это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень - это многократное деление единицы.
Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет "правила знаков", умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.
Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.
15: 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)
Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.
Разделить число 15 на 5 - значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.
Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков "минус". Их три.
15: 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (деление 15: 5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)
Деление с остатком.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17: 5 = 3 и 2 остаток
Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Смотрим разницу формулировок на калькуляторе
Существующая формулировка умножения (три слагаемых).
10 + 10 + 10 = 30
Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).
0 + 10 = = = 30
(Три раза нажимаем "равняется".)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.
Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Что значит знак минус у тройки? Может так?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Опс... Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).
С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.
Правила знаков при сложении и вычитании
Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.
Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.
Что такое "минус", "отрицательный"?
Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов... Даже синус по своей природе может быть только положительным.
Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает "минус"?
Минус означает противоположное направление. Левый - правый. Верх - низ. По часовой стрелке - против часовой стрелки. Вперед - назад. Холодно - горячо. Легкий - тяжелый. Медленно - быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.
В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.
"Минус бесконечности" в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие "минус".
Итак, "минус" обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.
Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.
Для понимания правил, нам нужно разделить:
- первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
- второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
- направление операций сложения и вычитания.
Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.
Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак "плюс"). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак "минус").
Пример. Схема в нижнем правом углу.
Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус - знак числа на вертикальной оси.
Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.
Операция вычитания
дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.
Поэтому два рядом стоящих знака "минус" можно заменить одним знаком "плюс".
Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти... Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.
- Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
- Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
- На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.
Примечание.
Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании , полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках - это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.
Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.
Правила 1 и 3 (по визуализации) - дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok
Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.
Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.
Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:
Два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);
Два правила, по которым можно не писать знак "плюс" у положительного числа.
Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.
Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.
1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.
В.Козаренко
Почему минус на минус дает плюс?
- (1 палочка) - (2 палочка) = ((1 палочка)+(2 палочка))= 2 палочки (А две палочки равны + , потому что в полюсе 2 палочки)))
Минус на минус дает плюс потому,что это школьное правило. На данный момент точного ответа почему по моему нет. Это правило и оно существует уже много лет. Просто надо запомнить щепка на щепку дает прищепку.
Из школьного курса математики мы знаем, что минус на минус дает плюс. Есть и упрощенное, шутливое объяснение этого правила: минус это одна черта, два минуса две черты, плюс как раз состоит из 2-х черточек. Поэтому то минус на минус и дает знак плюса.
Я считаю так: минус это палка - добавить ещ один минус палку - то получится две палки, а если их соединить крест на крест то поучится знак +, это я так сказала сво мнение по поводу вопроса: минус на минус дат плюс.
Минус на минус дает плюс не всегда, даже в математике. Но в основном я сравниваю это утверждение именно с математикой, там это чаще всего встречается. Еще говорят лом ломом вышибают - это тоже как то у меня ассоциируется с минусами.
Представьте, что вы взяли в долг 100 рублей. Теперь ваш счет: -100 рублей. Потом вы этот долг вернули. Вот и получается что вы уменьшили (-) свой долг (-100) на такое же количество денег. Получаем: -100-(-100)=0
Минус указывает на противоположность: число, противоположное 5 - это -5. А вот -(-5) - это число противоположное противоположному, т.е. 5.
Как в анекдоте:
1й -Где у вас тут противоположная сторона улицы?
2й - на той стороне
1й - а там сказали, что на этой...
Представим весы с двумя чашами. То, что на правой чаше всегда имеет знак плюс, на левой чаше - минус. Теперь, умножение на число со знаком плюс будет означать, что оно происходит на той же чаше, а умножение на число со знаком минус будет означать, что результат переносится на другую чашу. Примеры. Умножаем 5 яблок на 2. Получаем на правой чаше 10 яблок. Умножаем - 5 яблок на 2, ролучаем 10 яблок на левой чаше, то есть -10. Тепрь умножаем -5 на -2. Это значит 5 яблок на левой чаше умножили на 2 и переложили на правую чашу, то есть ответ 10. Интересно, что умножение плюса на минус, то есть яблок на правой чаше имеет результат минусовой, то есть яблоки переходят налево. А умномение минусовых левых яблок на плюс оставляет их в минусе, на левой чаше.
Думаю, что это можно продемонстрировать следующим образом. Если в пять корзин положить по пять яблок, то всего будет 25 яблок. В корзинах. А минус пять яблок, означает, что я их не доложил, а вынул из каждой из пяти корзин. и получилось те же 25 яблок, но не в корзинах. Поэтому корзины идут как минус.
А еще отлично можно продемонстрировать это следующим примером. Если у тебя дома начался пожар - это минус. Но если ты ещ и забыл закрыть кран в ванне, и у тебя начался потоп, то это тоже минус. Но это по раздельности. А вот если это все случилось одновременно, то минус на минус дает плюс, и у твоей квартиры есть шанс уцелеть.