Zadaci za konstruiranje presjeka kocke s ravninom, u pravilu su lakši od, na primjer, zadataka za dijelove piramide.
Možemo povući pravu liniju kroz dvije tačke ako leže u istoj ravni. Prilikom konstruisanja preseka kocke postoji još jedna opcija za konstruisanje traga rezne ravni. Pošto treća ravan siječe dvije paralelne ravni duž paralelnih pravih, onda ako je u jednoj od lica već izgrađena prava, a u drugoj postoji tačka kroz koju presjek prolazi, onda možemo povući pravu liniju kroz ova tačka paralelna sa datom.
Razmotrite na konkretnim primjerima kako konstruisati delove kocke sa ravninom.
1) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke A, C i M.
Problemi ovog tipa su najjednostavniji od svih zadataka za konstruisanje preseka kocke. Kako tačke A i C leže u istoj ravni (ABC), kroz njih možemo povući pravu liniju. Njen trag je segment AC. Nevidljiv je, pa ga crtamo AC potezom. Slično povezujemo tačke M i C koje leže u istoj ravni (CDD1) i tačke A i M koje leže u istoj ravni (ADD1). Trougao ACM je obavezna sekcija.
2) Konstruišite presek kocke ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.
Ovdje samo tačke M i N leže u istoj ravni (ADD1), pa kroz njih povučemo pravu liniju i dobijemo trag MN (nevidljiv). Pošto suprotne strane kocke leže u paralelne ravni, tada rezna ravan siječe paralelne ravni (ADD1) i (BCC1) u paralelnim linijama. Već smo izgradili jednu od paralelnih linija - ovo je MN.
Povucite pravu liniju kroz tačku P paralelnu sa MN. Seče ivicu BB1 u tački S. PS - presek ravni traga na licu (BCC1).
Povucite pravu liniju kroz tačke M i S koje leže u istoj ravni (ABB1). Dobio sam otisak MS (vidljivo).
Ravni (ABB1) i (CDD1) su paralelne. U ravni (ABB1) već postoji prava MS, pa kroz tačku N u ravni (CDD1) povlačimo pravu paralelnu sa MS. Ova linija seče ivicu D1C1 u tački L. Njen trag je NL (nevidljiv). Tačke P i L leže u istoj ravni (A1B1C1), pa kroz njih povlačimo pravu liniju.
Pentagon MNLPS je potreban odsjek.
3) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.
Tačke M i N leže u istoj ravni (BCC1), pa se kroz njih može povući prava linija. Dobijamo stazu MN (vidljiva). Ravan (BCC1) je paralelna sa ravninom (ADD1), stoga, kroz tačku P koja leži u (ADD1), povucite pravu liniju paralelnu sa MN. Prelazi rub AD u tački E. Dobili smo PE trag (nevidljiv).
Nema više tačaka koje leže u istoj ravni, niti pravih linija i tačaka u paralelnim ravnima. Stoga je potrebno nastaviti jednu od postojećih pravih linija da biste dobili dodatnu tačku.
Ako nastavimo pravu liniju MN, onda, pošto ona leži u ravni (BCC1), moramo tražiti tačku preseka MN sa jednom od pravih linija ove ravni. Već postoje tačke preseka sa CC1 i B1C1 - to su M i N. Prave linije BC i BB1 ostaju. Proširujemo BC i MN do sjecišta u tački K. Tačka K leži na pravoj BC, što znači da pripada ravni (ABC), pa kroz nju i tačku E, koja leži u ovoj ravni, možemo povući pravu . Prelazi rub CD u tački H. EH je njegov trag (nevidljiv). Pošto H i N leže u istoj ravni (CDD1), kroz njih se može povući prava linija. Dobijamo HN trag (nevidljiv).
Ravni (ABC) i (A1B1C1) su paralelne. U jednom od njih je prava EH, u drugom - tačka M. Možemo povući pravu kroz M paralelnu sa EH. Dobijamo stazu MF (vidljiva). Povucite pravu liniju kroz tačke M i F.
Šestougao MNHEPF je obavezna sekcija.
Ako bismo nastavili pravu MN do preseka sa drugom pravom linijom ravni (BCC1), sa BB1, onda bismo dobili tačku G koja pripada ravni (ABB1). To znači da se kroz G i P može povući prava linija čiji je trag PF. Dalje, crtamo prave kroz tačke koje leže u paralelnim ravnima i dolazimo do istog rezultata.
Rad sa ravnim PE daje isti presek MNHEPF.
4) Konstruišite presek kocke sa ravni koja prolazi kroz tačku M, N, P.
Ovdje možemo povući pravu liniju kroz tačke M i N koje leže u istoj ravni (A1B1C1). Njen otisak je MN (vidljiv). Nema više tačaka koje leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima.
Nastavimo pravu liniju MN. Leži u ravni (A1B1C1), tako da se može seći samo sa jednom od pravih linija ove ravni. Sa A1D1 i C1D1 već postoje tačke preseka - N i M. Još dve prave ove ravni - A1B1 i B1C1. Tačka preseka A1B1 i MN je S. Pošto leži na pravoj A1B1, ona pripada ravni (ABB1), što znači da se kroz nju može povući prava i tačka P koja leži u istoj ravni. Prava PS siječe rub AA1 u tački E. PE je njen trag (vidljiv). Kroz tačke N i E, koje leže u istoj ravni (ADD1), možete povući pravu liniju čiji je trag NE (nevidljiv). U ravni (ADD1) nalazi se prava NE, u ravni paralelnoj sa njom (BCC1) - tačka P. Kroz tačku P možemo povući pravu PL paralelnu sa NE. Presijeca ivicu CC1 u tački L. PL je trag ove prave (vidljiv). Tačke M i L leže u istoj ravni (CDD1), što znači da se kroz njih može povući prava linija. Njen otisak je ML (nevidljiv). Pentagon MLPEN je željeni presek.
Bilo je moguće nastaviti pravu liniju NM u oba smjera i tražiti njene presečne tačke ne samo sa pravom linijom A1B1, već i sa pravom linijom B1C1, koja takođe leži u ravni (A1B1C1). U ovom slučaju crtamo dvije prave odjednom kroz tačku P: jednu - u ravnini (ABB1) kroz tačke P i S, a drugu - u ravni (BCC1), kroz tačke P i R. Nakon toga, ostaje spojiti tačke koje leže u istoj ravni: M c L, E - c N.
Instrukcije
Metoda za izračunavanje površine poprečnog presjeka ovisi i o podacima koji su već dostupni u zadatku. Osim toga, rješenje je određeno onim što leži u osnovi prizme. Ako trebate pronaći dijagonalni presjek prizme, nađite dužinu dijagonale, koja je jednaka korijenu zbira (osnove stranica). Na primjer, ako su osnovice 3 cm, odnosno 4 cm, dužina dijagonale jednaka je korijenu (4x4 + 3x3) = 5 cm. Nađite površinu dijagonalnog presjeka po formuli: dijagonala baze se množi sa visinom.
Ako u osnovi prizme postoji trokut, za izračunavanje površine poprečnog presjeka prizme koristite formulu: 1/2 osnove trokuta puta visina.
Razlikovati sledeće vrste prizme - pravilne i ravne. Ako trebate pronaći poprečni presjek ispravne prizme, morate znati dužinu samo jedne od stranica mnogougla, jer se u osnovi nalazi kvadrat, u kojem su sve stranice jednake. Pronađite dijagonalu kvadrata koja je jednaka proizvodu njegove stranice korijenom iz dva. Nakon toga, množenjem dijagonale, dobivate površinu poprečnog presjeka ispravne prizme.
Prizma ima svoje. Dakle, površina bočne površine proizvoljne prizme izračunava se po formuli, gdje je perimetar okomitog presjeka, dužina bočne ivice. U ovom slučaju, okomit presjek je okomit na sve bočne ivice prizme, a njegovi uglovi su linearni uglovi diedarskih uglova na odgovarajućim bočnim ivicama. Okomit presjek je također okomit na sve bočne strane.
Izvori:
- dijagonalni presjek prizme
Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz osu geometrijskog tijela nastalog rotacijom određene geometrijski oblik... Cilindar se dobija okretanjem pravougaonika oko jedne od njegovih stranica, a to je razlog mnogih njegovih svojstava. Generatorice ovog geometrijskog tijela su paralelne i jednake jedna drugoj, što je veoma važno za određivanje parametara njegovog aksijalnog presjeka, uključujući i dijagonalu.
Trebaće ti
- - cilindar sa zadatim parametrima;
- - papir;
- - olovka;
- - vladar;
- - kompasi;
- - Pitagorina teorema;
- - teoreme sinusa i kosinusa.
Instrukcije
Napravite cilindar prema datim uslovima. Da biste ga nacrtali, morate znati i visinu. Međutim, u zadatku se na dijagonali mogu specificirati i drugi uvjeti, na primjer, ugao između dijagonale i generatrise ili prečnik baze. U tom slučaju, kada kreirate crtež, koristite veličinu koju ste dobili. Ostatak uzmi nasumično i naznači šta ti je tačno dato. Označite točke presjeka ose i baza kao O i O".
Nacrtajte aksijalni presjek. To je pravougaonik čije su dvije strane prečnici baza, a druge dvije su generatori. Budući da su generatori okomiti na baze, oni su istovremeno i visine datog geometrijskog tijela. Označite rezultirajući pravougaonik ABCD. Nacrtajte dijagonale AC i BD. Vratite se na dijagonale pravougaonika. Oni su jednaki jedan drugom i podijeljeni su na pola na mjestu sjecišta.
Razmotrite ADC trougao. Pravougaona je jer je generatrisa CD okomita na bazu. Jedan je prečnik baze, drugi je. Dijagonala je. Zapamtite kako se izračunava dužina hipotenuze bilo kojeg pravokutnika. Jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata kateta. To jest, u u ovom slučaju d = √4r2 + h2, gde je d dijagonala, r poluprečnik osnove, a h visina cilindra.
Ako u zadatku nije data visina cilindra, ali je naveden kut dijagonale aksijalnog presjeka s bazom ili generatricom, upotrijebite teoremu sinusa ili kosinusa. Zapamtite, podaci su trigonometrijski. Ovo je omjer suprotnog ili susjednog ugla kraka prema hipotenuzi, koju trebate pronaći. Recimo da imate CAD visinu i ugao između dijagonale i prečnika baze. U ovom slučaju koristite teoremu sinusa jer je CAD ugao nasuprot generatrisi. Nađite hipotenuzu d koristeći formulu d = h / sinCAD. Ako vam je dat polumjer i isti ugao, koristite kosinusni teorem. U ovom slučaju d = 2r / cos CAD.
Postupite na isti način kada je naveden ugao ACD između dijagonale i generatrike. U ovom slučaju, teorema sinusa se koristi kada je dat radijus, a kosinus teorema se koristi kada je visina poznata.
Povezani video zapisi
Zlatni omjer je omjer koji se od davnina smatra najsavršenijim i najskladnijim. On čini osnovu mnogih drevnih struktura, od kipova do hramova, i vrlo je čest u prirodi. Istovremeno, ova proporcija je izražena u iznenađujuće elegantnim matematičkim konstrukcijama.
Instrukcije
Ako se dužina cijelog segmenta uzme kao 1, a dužina većeg dijela kao x, tada će se tražena proporcija izraziti jednadžbom:
(1 - x) / x = x / 1.
Množenjem obe strane proporcije sa x i prenošenjem članova, dobijamo kvadratnu jednačinu:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Jednačina ima dva realna korijena, od kojih nas prirodno zanima samo pozitivan. Jednako je (√5 - 1) / 2, što je približno jednako 0,618. Ovaj broj izražava poprečni presjek. U njemu se najčešće označava slovom φ.
Broj φ ima niz izvanrednih matematičkih svojstava. Na primjer, čak i iz originalne jednačine se vidi da je 1 / φ = φ + 1. Zaista, 1 / (0,618) = 1,618.
Drugi način za izračunavanje zlatnog omjera je korištenje beskonačnog razlomka. Počevši od bilo kojeg proizvoljnog x, možete konstruirati razlomak uzastopno:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
Da bismo olakšali proračune, ovaj razlomak se može predstaviti kao iterativni razlomak, u kojem da biste izračunali sljedeći korak, morate dodati jedan rezultatu prethodnog koraka i podijeliti jedan s rezultirajućim brojem. Drugim riječima:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ovaj proces konvergira, a njegova granica je φ + 1.
Ako izračun recipročne vrijednosti zamijenimo ekstrakcijom kvadratni korijen, odnosno za pokretanje iterativne petlje:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1),
tada će rezultat ostati nepromijenjen: bez obzira na početno odabrano x, iteracije konvergiraju na vrijednost φ + 1.
Geometrijski zlatni omjer može se izgraditi pomoću pravilnog pentagona. Ako u njemu nacrtamo dvije dijagonale koje se sijeku, onda će svaka od njih podijeliti drugu strogo u zlatnom omjeru. Ovo zapažanje, prema legendi, pripada Pitagori, koji je bio toliko šokiran pronađenim uzorkom da je ispravnu petokraku zvijezdu (pentagram) smatrao svetim božanskim simbolom.
Nepoznati su razlozi zbog kojih se zlatni rez čini najskladnijim. Međutim, više puta je potvrđeno da su ispitanici koji su dobili instrukciju da najljepše podijele segment na dva nejednaka dijela, to je u proporcijama vrlo bliskim zlatnom rezu.
Pitanje se odnosi na analitičku geometriju. Rješava se pomoću jednačina prostornih linija i ravni, koncepta kocke i njenih geometrijskih svojstava, kao i korištenjem vektorske algebre. Možda će biti potrebne metode renijumskih sistema linearne jednačine.
Instrukcije
Odaberite uslove problema tako da budu iscrpni, ali ne i suvišni. Treba postaviti reznu ravninu α opšta jednačina oblika Ax + By + Cz + D = 0, što najbolji način u skladu sa njegovim proizvoljnim izborom. Za definiranje kocke dovoljne su koordinate bilo koja tri njena vrha. Uzmimo, na primjer, tačke M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), u skladu sa slikom 1. Ova slika ilustruje poprečni presjek kocke. Presijeca dva bočna i tri osnovna rebra.
Odlučite se za plan dalji rad... Potrebno je tražiti koordinate tačaka Q, L, N, W, R preseka preseka sa odgovarajućim ivicama kocke. Da biste to učinili, morat ćete pronaći jednadžbe linija koje sadrže ove rubove i potražiti točke presjeka ivica sa ravninom α. Nakon toga slijedi podjela QLNWR-a na trokute (vidi sliku 2) i izračunavanje površine svakog od njih koristeći svojstva unakrsnog proizvoda. Tehnika je svaki put ista. Stoga se možemo ograničiti na tačke Q i L i površinu trokuta ∆QLN.
Vektor pravca h prave linije koja sadrži ivicu M1M5 (i tačku Q), pronađite kao vektorski proizvod M1M2 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) i M2M3 = (x3-x2, y3-y2 , z3-z2), h = (m1, n1, p1) =. Rezultirajući vektor je također smjer za sve ostale bočne ivice. Nađite dužinu ivice kocke kao, na primer, ρ = √ ((x2-x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2 + (z2-z1) ^ 2). Ako je modul vektora h | h | ≠ ρ, zamijenite ga odgovarajućim kolinearnim vektorom s = (m, n, p) = (h / | h |) ρ. Sada zapišite parametarski jednačinu prave linije koja sadrži M1M5 (vidi sliku 3). Nakon zamjene odgovarajućih izraza u jednačinu rezne ravni, dobićete A (x1 + mt) + B (y1 + nt) + C (z1 + pt) + D = 0. Odredite t, zamenite ga u jednačine za M1M5 i zapišite koordinate tačke Q (qx, qy, qz) (slika 3).
Očigledno, tačka M5 ima koordinate M5 (x1 + m, y1 + n, z1 + p). Vektor pravca za liniju koja sadrži ivicu M5M8 poklapa se sa M2M3 = (x3-x2, y3-y2, z3-z2). Zatim ponovite prethodno rezonovanje L (lx, ly, lz) (vidi sliku 4). Sve dalje, za N (nx, ny, nz) je kopija ovog koraka.
