Minus i plus su znaci negativnih i pozitivnih brojeva u matematici. Oni djeluju sami sa sobom na različite načine, stoga je potrebno uzeti u obzir prilikom izvođenja bilo kakvih radnji s brojevima, na primjer, dijeljenje, množenje, oduzimanje, sabiranje itd. potpisati pravila. Bez ovih pravila nikada nećete moći riješiti čak ni najjednostavniji algebarski ili geometrijski problem. Bez poznavanja ovih pravila nećete moći učiti ne samo matematiku, već ni fiziku, hemiju, biologiju, pa čak i geografiju.
Razmotrimo detaljnije osnovna pravila znakova.
divizija.
Ako "plus" podelimo sa "minus", uvek dobijamo "minus". Ako "minus" podelimo sa "plus", uvek dobijamo i "minus". Ako "plus" podelimo sa "plus", dobijamo "plus". Ako podijelimo "minus" sa "minus", tada, začudo, dobijamo i "plus".
Množenje.
Ako pomnožimo "minus" sa "plus", uvijek dobijemo "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "minus", uvek dobijamo i "minus". Ako pomnožimo "plus" sa "plus", onda ćemo dobiti pozitivan broj, odnosno "plus". Isto važi i za njih dvoje negativni brojevi. Ako pomnožimo "minus" sa "minus", dobićemo "plus".
Oduzimanje i sabiranje.
Oni su zasnovani na drugim principima. Ako je negativni broj veći po apsolutnoj vrijednosti od našeg pozitivnog, onda će rezultat, naravno, biti negativan. Sigurno se pitate šta je modul i zašto je uopšte tu. Sve je vrlo jednostavno. Modul je vrijednost broja, ali bez predznaka. Na primjer -7 i 3. Modulo -7 će biti samo 7, a 3 će ostati 3. Kao rezultat, vidimo da je 7 veći, odnosno ispada da je naš negativni broj veći. Tako će izaći -7 + 3 \u003d -4. To se može učiniti još lakšim. Samo stavite pozitivan broj na prvo mjesto, i izaći će 3-7 = -4, možda je nekome razumljivije. Oduzimanje radi na potpuno isti način.
Dva negativa čine afirmativnu- ovo je pravilo koje smo naučili u školi i primjenjujemo cijeli život. Ko se od nas pitao zašto? Naravno, lakše je zapamtiti ovu izjavu bez dodatnih pitanja i ne ulaziti duboko u suštinu problema. Sada već ima dovoljno informacija koje treba “svariti”. Ali za one koje još uvijek zanima ovo pitanje, pokušat ćemo objasniti ovaj matematički fenomen.
Od davnina ljudi koriste pozitivu prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, 5, ... Goveda, usevi, neprijatelji, itd. su brojani brojevima. Prilikom sabiranja i množenja dva pozitivna broja uvijek su dobili pozitivan broj, pri dijeljenju nekih veličina s drugima nisu uvijek dobili prirodne brojeve - tako su se pojavili razlomci. Šta je sa oduzimanjem? Od djetinjstva znamo da je bolje većem dodavati manje, a većem oduzimati manje, dok opet ne koristimo negativne brojeve. Ispada da ako imam 10 jabuka, nekome mogu dati manje od 10 ili 10. Nema šanse da dam 13 jabuka, jer ih nemam. Dugo nije bilo potrebe za negativnim brojevima.
Tek od 7. veka nove ere. negativni brojevi su korišteni u nekim sistemima brojanja kao pomoćne vrijednosti, što je omogućilo da se dobije pozitivan broj u odgovoru.
Razmotrimo primjer, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Da biste pronašli odgovor, potrebno je ostaviti pojmove s nepoznanicama na lijevoj strani, a ostatak na desnoj: 6x - 3x = 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Prilikom rješavanja ove jednadžbe čak i nema negativnih brojeva. Mogli bismo premjestiti članove sa nepoznatim desna strana, i bez nepoznatih - lijevo: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Kada podijelimo negativan broj negativnim, dobijemo pozitivan odgovor: x = 7.
šta vidimo?
Radnje s negativnim brojevima trebale bi nas dovesti do istog odgovora kao i radnje samo s pozitivnim brojevima. Ne možemo više razmišljati o praktičnoj neprikladnosti i smislenosti radnji - one nam pomažu da problem riješimo mnogo brže, bez svođenja jednadžbe na oblik samo s pozitivnim brojevima. U našem primjeru nismo koristili složene proračune, ali uz veliki broj pojmova, proračuni sa negativnim brojevima nam mogu olakšati rad.
Vremenom, nakon dugih eksperimenata i proračuna, bilo je moguće utvrditi pravila kojima se svi brojevi i radnje na njima povinuju (u matematici se zovu aksiomi). Odatle je došlo aksiom koji kaže da kada pomnožite dva negativna broja, dobijete pozitivan broj.
www.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Kada slušaju nastavnika matematike, većina učenika gradivo doživljava kao aksiom. Istovremeno, malo ljudi pokušava doći do dna i shvatiti zašto "minus" na "plus" daje znak "minus", a kada se množe dva negativna broja, izlazi pozitivan.
Zakoni matematike
Većina odraslih nije u stanju da objasni sebi ili svojoj djeci zašto se to događa. Oni su temeljno učili ovo gradivo u školi, ali nisu ni pokušali da otkriju odakle takva pravila. Ali uzalud. Često moderna djeca nisu toliko lakovjerna, treba da dođu do dna stvari i razumiju, recimo, zašto “plus” na “minus” daje “minus”. A ponekad dječaci namjerno postavljaju škakljiva pitanja kako bi uživali u trenutku kada odrasli ne mogu dati razumljiv odgovor. I zaista je katastrofa ako mladi učitelj upadne u nevolju...
Usput, treba napomenuti da gore navedeno pravilo vrijedi i za množenje i za dijeljenje. Proizvod negativnih i pozitivan broj daće samo minus. Ako govorimo o dvije znamenke sa znakom "-", tada će rezultat biti pozitivan broj. Isto važi i za podjelu. Ako je jedan od brojeva negativan, tada će i količnik biti sa znakom "-".
Da bi se objasnila ispravnost ovog zakona matematike, potrebno je formulisati aksiome prstena. Ali prvo morate razumjeti šta je to. U matematici je uobičajeno da se prstenom naziva skup u kojem su uključene dvije operacije sa dva elementa. Ali bolje je ovo razumjeti na primjeru.
Aksiom prstena
Postoji nekoliko matematičkih zakona.
- Prvi od njih je pomjenjiv, po njemu, C + V = V + C.
- Drugi se naziva asocijativnim (V + C) + D = V + (C + D).
Množenje (V x C) x D \u003d V x (C x D) također ih poštuje.
Niko nije poništio pravila po kojima se otvaraju zagrade (V + C) x D = V x D + C x D, istina je i da je C x (V + D) = C x V + C x D.
Osim toga, ustanovljeno je da se u prsten može uvesti poseban, adicijski neutralan element, pomoću kojeg će vrijediti: C + 0 = C. Osim toga, za svaki C postoji suprotan element, koji može biti označen kao (-C). U ovom slučaju, C + (-C) \u003d 0.
Derivacija aksioma za negativne brojeve
Prihvatanjem gornjih tvrdnji možemo odgovoriti na pitanje: "Plus" na "minus" daje koji znak? Poznavajući aksiom o množenju negativnih brojeva, potrebno je potvrditi da je zaista (-C) x V = -(C x V). I takođe da je tačna sljedeća jednakost: (-(-C)) = C.
Da bismo to učinili, prvo moramo dokazati da svaki od elemenata ima samo jednog suprotnog "brata". Razmotrite sljedeći primjer dokaza. Pokušajmo zamisliti da su dva broja suprotna za C - V i D. Iz ovoga slijedi da je C + V = 0 i C + D = 0, odnosno C + V = 0 = C + D. Prisjećajući se zakona pomaka a o svojstvima broja 0, možemo razmotriti zbir sva tri broja: C, V i D. Pokušajmo odgonetnuti vrijednost V. Logično je da je V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, jer je vrijednost C + D, kako je prethodno prihvaćeno, jednaka 0. Dakle, V = V + C + D.
Vrijednost za D se izvodi na isti način: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Na osnovu ovoga postaje jasno da je V = D.
Da biste razumjeli zašto, ipak, "plus" na "minus" daje "minus", morate razumjeti sljedeće. Dakle, za element (-C), suprotnosti su C i (-(-C)), odnosno jednaki su jedan drugom.
Tada je očito da je 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iz ovoga slijedi da je C x V suprotno od (-) C x V , što znači (- C) x V = -(C x V).
Za potpunu matematičku strogost, također je potrebno potvrditi da je 0 x V = 0 za bilo koji element. Ako slijedite logiku, tada je 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. To znači da dodavanje proizvoda 0 x V ni na koji način ne mijenja postavljeni iznos. Na kraju krajeva, ovaj proizvod je jednak nuli.
Poznavajući sve ove aksiome, moguće je zaključiti ne samo koliko daje "plus" sa "minusom", već i šta se dešava kada se negativni brojevi pomnože.
Množenje i dijeljenje dva broja sa znakom "-".
Ako ne ulazite u matematičke nijanse, onda možete pokušati objasniti pravila djelovanja s negativnim brojevima na jednostavniji način.
Pretpostavimo da je C - (-V) = D, na osnovu ovoga, C = D + (-V), odnosno C = D - V. Prenosimo V i dobijamo da je C + V = D. To jest, C + V = C - (-V). Ovaj primjer objašnjava zašto u izrazu u kojem postoje dva "minusa" u nizu, pomenute znakove treba promijeniti u "plus". Sada se pozabavimo množenjem.
(-C) x (-V) \u003d D, dva identična proizvoda se mogu dodati i oduzeti izrazu, koji neće promijeniti njegovu vrijednost: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Sjećajući se pravila za rad sa zagradama, dobijamo:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Iz ovoga slijedi da je C x V \u003d (-C) x (-V).
Slično, možemo dokazati da će rezultat dijeljenja dva negativna broja biti pozitivan.
Opća matematička pravila
Naravno, ovo objašnjenje nije prikladno za školarce. nižim razredima koji tek počinju učiti apstraktne negativne brojeve. Bolje im je da objašnjavaju na vidljivim objektima, manipulišući poznatim pojmom kroz ogledalo. Na primjer, tamo se nalaze izmišljene, ali ne postojeće igračke. Mogu se prikazati sa znakom "-". Množenje dva zrcalna predmeta odvodi ih u drugi svijet, koji je jednak stvarnom, odnosno kao rezultat imamo pozitivne brojeve. Ali množenje apstraktnog negativnog broja pozitivnim daje samo svima poznat rezultat. Uostalom, "plus" pomnožen sa "minus" daje "minus". Istina, djeca se ne trude previše da uđu u sve matematičke nijanse.
Mada, ako se suočite sa istinom, za mnoge ljude, čak i sa više obrazovanje a mnoga pravila ostaju misterija. Svi uzimaju zdravo za gotovo ono što ih uče njihovi nastavnici, ne libeći se da se udube u svu složenost kojom je matematika bremenita. "Minus" na "minus" daje "plus" - svi znaju za ovo bez izuzetka. Ovo vrijedi i za cijele i za razlomke.
1) Zašto je minus jedan puta minus jedan jednako plus jedan?
2) Zašto je minus jedan puta plus jedan jednako minus jedan?
"Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj."
Najlakši odgovor je: "Zato što su ovo pravila za rad s negativnim brojevima." Pravila koja učimo u školi i primjenjujemo ih kroz cijeli život. Međutim, udžbenici ne objašnjavaju zašto su pravila takva kakva jesu. Ovo ćemo prvo pokušati da shvatimo iz istorije razvoja aritmetike, a zatim ćemo odgovoriti na ovo pitanje sa stanovišta savremene matematike.
Nekada su ljudima bili poznati samo prirodni brojevi: 1, 2, 3, ... Korišćeni su za brojanje pribora, plijena, neprijatelja itd. Ali sami brojevi su prilično beskorisni - morate znati rukovati njima. Sabiranje je jasno i razumljivo, osim toga, zbir dva prirodna broja je i prirodan broj (matematičar bi rekao da je skup prirodnih brojeva zatvoren pod operacijom sabiranja). Množenje je, u stvari, isti sabirak ako govorimo o prirodnim brojevima. U životu često izvodimo radnje vezane za ove dvije operacije (na primjer, kada kupujemo, sabiramo i množimo), a čudno je pomisliti da su se naši preci rjeđe susreli s njima - sabiranje i množenje je čovječanstvo ovladalo jako dugo prije. Često je potrebno podijeliti jednu količinu drugom, ali ovdje rezultat nije uvijek izražen kao prirodan broj - tako su se pojavili razlomci.
Oduzimanje je, naravno, takođe neophodno. Ali u praksi, mi težimo da manji broj oduzmemo od većeg broja i nema potrebe za korištenjem negativnih brojeva. (Ako imam 5 bombona i dam 3 svojoj sestri, onda ću imati 5 - 3 = 2 bombona, ali ne mogu joj dati 7 bombona uz svu svoju želju.) Ovo može objasniti zašto ljudi nisu koristili negativne brojeve dugo vremena.
Negativni brojevi pojavljuju se u indijskim dokumentima iz 7. stoljeća nove ere; Kinezi su ih, očigledno, počeli koristiti nešto ranije. Korišćeni su za obračun dugova ili u srednjim proračunima da bi se pojednostavilo rešavanje jednačina - to je bio samo alat za dobijanje pozitivnog odgovora. Činjenica da negativni brojevi, za razliku od pozitivnih, ne izražavaju prisustvo nijednog entiteta, izazvala je snažno nepovjerenje. Ljudi u doslovnom smislu riječi izbjegavali su negativne brojeve: ako je problem dobio negativan odgovor, vjerovali su da odgovora uopće nema. Ovo nepoverenje je opstalo veoma dugo, pa ih je čak i Descartes - jedan od "osnivača" moderne matematike - nazvao "lažnim" (u 17. veku!).
Razmotrite, na primjer, jednačinu 7x - 17 = 2x - 2. To se može riješiti ovako: pomjerite pojmove s nepoznatim na lijevu stranu, a ostatak na desnu, ispostaviće se 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa ovim rješenjem nismo naišli ni na negativne brojeve.
Ali slučajno bi se moglo drugačije: pomeriti pojmove sa nepoznatim na desnu stranu i dobiti 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) = (–5)x. Da biste pronašli nepoznati, trebate podijeliti jedan negativan broj drugim: x = (–15)/(–5). Ali tačan odgovor je poznat, a to ostaje da se zaključi (–15)/(–5) = 3 .
Šta ovaj jednostavan primjer pokazuje? Prvo, postaje jasna logika koja je odredila pravila za radnje na negativne brojeve: rezultati ovih radnji moraju odgovarati odgovorima koji su dobijeni na drugačiji način, bez negativnih brojeva. Drugo, dozvoljavanjem upotrebe negativnih brojeva, oslobađamo se zamorne (ako se jednačina pokaže složenijom, s velikim brojem pojmova) traženja putanje rješenja u kojoj se sve radnje izvode samo na prirodnim brojevima. Štaviše, ne možemo više svaki put razmišljati o smislenosti veličina koje se pretvaraju - a ovo je već korak ka pretvaranju matematike u apstraktnu nauku.
Pravila za radnje na negativne brojeve nisu formirana odmah, već su postala generalizacija brojnih primjera koji su se javljali prilikom rješavanja primijenjenih problema. Općenito, razvoj matematike se može uvjetno podijeliti na faze: svaka sledeća faza razlikuje se od prethodnog po novom nivou apstrakcije u proučavanju objekata. Dakle, u 19. veku, matematičari su shvatili da celi brojevi i polinomi, uprkos svojoj spoljašnjoj različitosti, imaju mnogo zajedničkog: oba se mogu sabirati, oduzimati i množiti. Ove operacije poštuju iste zakone - i u slučaju brojeva i u slučaju polinoma. Ali dijeljenje cijelih brojeva međusobno, tako da rezultat opet budu cijeli brojevi, nije uvijek moguće. Isto vrijedi i za polinome.
Zatim su otkrivene druge kolekcije matematičkih objekata na kojima se takve operacije mogu izvoditi: formalne snaga serije, kontinuirane funkcije... Konačno je došlo do razumijevanja da ako proučavate svojstva samih operacija, onda se rezultati mogu primijeniti na sve ove kolekcije objekata (ovaj pristup je tipičan za svu modernu matematiku).
Kao rezultat toga, pojavio se novi koncept: prsten. To je samo gomila elemenata plus radnje koje se mogu izvršiti na njima. Osnovna pravila ovdje su samo pravila (nazvana su aksiome) kojima podliježu radnje, a ne priroda elemenata skupa (ovdje je, novi nivo apstrakcije!). Želeći da naglase da je važna struktura koja nastaje nakon uvođenja aksioma, matematičari kažu: prsten cijelih brojeva, prsten polinoma itd. Polazeći od aksioma mogu se izvesti i druga svojstva prstenova.
Formulisaćemo aksiome prstena (koji su, naravno, slični pravilima za operacije sa celim brojevima), a zatim ćemo dokazati da u bilo kom prstenu množenje minusa sa minusom rezultira plusom.
prsten naziva se skup sa dvije binarne operacije (tj. u svakoj operaciji su uključena dva elementa prstena), koji se tradicionalno nazivaju zbrajanjem i množenjem, i sljedećim aksiomima:
- sabiranje prstenastih elemenata je komutativno ( A + B = B + A za bilo koje elemente A I B) i asocijativni ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; prsten sadrži poseban element 0 (neutralni element dodavanjem) tako da A + 0 = A, i za bilo koji element A postoji suprotan element (označen (–A)), šta A + (–A) = 0 ;
- množenje se pridržava zakona kombinacije: A (B C) = (A B) C ;
- sabiranje i množenje su povezani sljedećim pravilima proširenja zagrada: (A + B) C = A C + B C I A (B + C) = A B + A C .
Imajte na umu da prstenovi, u najopštijoj konstrukciji, ne zahtijevaju množenje da bi bilo promjenjivo, niti je invertibilno (to jest, nije uvijek moguće podijeliti), niti zahtijeva postojanje jedinice – neutralnog elementa s obzirom na na množenje. Ako se uvedu ovi aksiomi, onda se dobijaju druge algebarske strukture, ali će u njima sve dokazane teoreme za prstenove biti tačne.
Sada to dokazujemo za sve elemente A I B proizvoljni prsten je istinit, prvo, (–A) B = –(A B), i drugo (–(–A)) = A. Iz ovoga lako slijede izjave o jedinicama: (–1) 1 = –(1 1) = –1 I (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .
Da bismo to učinili, moramo utvrditi neke činjenice. Prvo ćemo dokazati da svaki element može imati samo jednu suprotnost. Zaista, neka element A postoje dvije suprotnosti: B I OD. tj A + B = 0 = A + C. Uzmite u obzir sumu A+B+C. Koristeći asocijativni i komutativni zakon i svojstvo nule, dobijamo da je, s jedne strane, zbir jednak B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, a s druge strane, jednako je C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. znači, B=C .
Zabilježimo sada to A, And (–(–A)) suprotne su istom elementu (–A), tako da moraju biti jednaki.
Prva činjenica glasi ovako: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tj (–A) B suprotno A B, pa je jednako –(A B) .
Da budemo matematički rigorozni, hajde da objasnimo zašto 0 B = 0 za bilo koji element B. Zaista, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Odnosno dodatak 0 B ne mijenja iznos. Dakle, ovaj proizvod je jednak nuli.
A činjenicu da u prstenu postoji tačno jedna nula (uostalom, aksiomi kažu da takav element postoji, ali se ništa ne govori o njegovoj jedinstvenosti!), ostavićemo čitaocu kao jednostavnu vježbu.
Odgovoreno: Evgeny Epifanov
Prikaži komentare (37)
Sažmi komentare (37)
Dobar odgovor. Ali za nivo brucoša srednje škole. Čini mi se da se to može jednostavnije i jasnije objasniti na primjeru formule "udaljenost = brzina * vrijeme" (ocjena 2).
Pretpostavimo da hodamo cestom, automobil nas sustigne i počne da se udaljava. Vrijeme raste - i distanca do njega raste. Brzina takve mašine smatrat će se pozitivnom, može biti, na primjer, 10 metara u sekundi. Usput, koliko milja na sat je to? 10/1000(km)*60(sek)*60(min)= 10*3,6=36 km/h. Malo. Možda je put loš...
Ali auto koji ide prema nama se ne udaljava, već se približava. Stoga je zgodno njegovu brzinu smatrati negativnom. Na primjer -10 m/sec. Udaljenost se smanjuje: 30, 20, 10 metara do nadolazećeg automobila. Svaka sekunda je minus 10 metara. Sada je jasno zašto brzina sa minusom? Evo je leti. Kolika je njegova udaljenost u sekundi? Tako je, -10 metara, tj. "10 metara iza."
Evo prve izjave. (-10 m/sec) * (1 sek) = -10 m.
Minus (negativna brzina) puta plus (pozitivno vrijeme) dao je minus (negativna udaljenost, auto iza mene).
A sada pažnja - minus na minus. Gdje je bio nadolazeći automobil sekund prije nego što je prošao? (-10 m/sec) * (- 1 sek) = 10 m.
Minus (negativna brzina) puta minus (negativno vrijeme) = plus (pozitivna udaljenost, auto je bio 10 metara ispred mene).
Je li ovo jasno ili neko zna još jednostavniji primjer?
Odgovoriti
Da, lakše je dokazati! 5 * 2 je dva puta odloženo na brojevnoj pravoj, u pozitivnu stranu, broj 5, a onda dobijemo broj 10. ako je 2 * (-5), onda brojimo dva puta po broju 5, ali već u negativnom smjeru, i dobijemo broj (-10), sada zamislite 2 * (-5), as
2 * 5 * (-1) \u003d -10, odgovor je prepisan iz prethodnog izračuna, a ne dobijen u ovom, tako da možemo reći da kada se broj množi sa (-1), dolazi do inverzije numeričke dvije polarne ose, tj preokret polariteta. Ono što smo ostavili na stranu u pozitivnom dijelu postalo je negativno i obrnuto. Sada (-2)*(-5), zapisujemo to kao (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), ostavljajući po strani broj (-10) i mijenjajući polaritet ose, jer . pomnožimo sa (-1), dobijemo +10, ne znam da li je bilo lakše?
Odgovoriti
Mislim da si u pravu. Pokušaću samo detaljnije da prikažem vaše gledište, jer. Vidim da ovo ne razumeju svi.
Minus znači oduzeti. Ako vam je 1 put oduzeto 5 jabuka, onda vam je na kraju uzeto 5 jabuka, što je uslovno označeno minusom, tj. - (+5). Uostalom, potrebno je nekako odrediti radnju. Ako je 1 jabuka odabrana 5 puta, onda su na kraju također odabrali: - (+5). Istovremeno, odabrane jabuke nisu postale imaginarne, jer niko nije poništio zakon održanja materije. Pozitivne jabuke su jednostavno otišle onome ko ih je ubrao. Dakle, nema izmišljenih brojeva, postoje relativno kretanje materija sa znakom + ili -. Ali ako je tako, onda unos: (-5) * (+1) \u003d -5 ili (+5) * (-1) \u003d -5 ne odražava tačno stvarnost, već je označava samo uslovno. Budući da nema zamišljenih brojeva, cijeli proizvod je uvijek pozitivan → "+" (5 * 1). Zatim se negira pozitivan proizvod, što znači odvikavanje → “- +” (5 * 1). Ovdje minus ne nadoknađuje plus, već ga poriče i zauzima njegovo mjesto. Tada na kraju dobijamo: -(5*1) = -(+5).
Za dva minusa možete napisati: "- -" (5 * 1) \u003d 5. Znak "- -" znači "+", tj. eksproprijacija eksproprijatora. Prvo su ti oduzete jabuke, a onda si ih oduzeo svom nasilniku. Kao rezultat toga, sve jabuke su ostale pozitivne, samo do selekcije nije došlo, jer. dogodila se socijalna revolucija.
Uopšteno govoreći, razumljivo je i bez objašnjenja činjenica da se negacijom negacije eliminiše negacija i sve na šta se negacija odnosi na djecu, jer. To je očigledno. Djeci samo treba objasniti da su odrasli umjetno zbunjeni, toliko da sada ni sami ne mogu to shvatiti. A zabuna je u tome što su umjesto negiranja radnje uvedeni negativni brojevi, tj. negativna materija. Dakle, djeca su zbunjena zašto pri dodavanju negativne materije zbir ispada negativan, što je sasvim logično: (-5) + (-3) = -8, a pri množenju iste negativne materije: (-5) * (-3) = 15, odjednom na kraju postaje pozitivno, što nije logično! Uostalom, sa negativnom materijom trebalo bi da se desi isto što i sa pozitivnom materijom, samo sa drugačijim predznakom. Stoga se djeci čini logičnijim da kada se umnožava negativna materija, množi se upravo negativna materija.
Ali ni tu nije sve glatko, jer za umnožavanje negativne materije dovoljno je da samo jedan broj bude sa minusom. Pritom je jedan od faktora, koji označava ne stvarni sadržaj, već vremena ponavljanja odabrane materije, uvijek pozitivan, jer vremena ne mogu biti negativna čak i ako se negativna (odabrana) materija ponavlja. Stoga je pri množenju (dijeljenju) ispravnije staviti znakove ispred cijelog proizvoda (podjele), koji smo pokazali iznad: “- +” (5*1) ili “- -” (5*1).
A da se znak minus ne percipira kao znak imaginarnog broja, tj. negativnu materiju, ali kao radnju, odrasli prvo treba da se međusobno dogovore da ako je znak minus ispred broja, onda označava negativnu radnju sa brojem koji je uvijek pozitivan, a ne zamišljen. Ako je znak minus ispred drugog znaka, onda on označava negativnu radnju sa prvim znakom, tj. preokreće ga. Tada će sve prirodno doći na svoje mjesto. Onda morate to objasniti djeci i ona će savršeno razumjeti i naučiti tako razumljivo pravilo odraslih. Uostalom, sada svi odrasli učesnici u diskusiji zapravo pokušavaju da objasne neobjašnjivo, jer nema fizičkog objašnjenja za ovo pitanje, to je samo konvencija, pravilo. A objašnjavati apstrakciju apstrakcijom je tautologija.
Ako znak minus negira broj, onda je ovo fizička radnja, ali ako negira samu radnju, onda je ovo samo uvjetno pravilo. Odnosno, odrasli su se jednostavno složili da ako je selekcija odbijena, kao u pitanju koje se razmatra, onda nema selekcije, ma koliko puta! Pritom vam ostaje sve što ste imali, bilo da je to samo broj, bilo da je proizvod brojeva, tj. mnogo pokušaja selekcije. To je sve.
Ako se neko ne slaže, onda opet mirno razmisli. Uostalom, primjer s automobilima, u kojima je negativna brzina i negativno vrijeme sekundu prije susreta, samo je uvjetno pravilo povezano s referentnim sistemom. U drugom referentnom okviru, ista brzina i isto vrijeme će postati pozitivni. A primjer sa ogledalom povezan je sa fantastičnim pravilom u kojem minus koji se ogleda u ogledalu samo uslovno, ali nikako fizički postaje plus.
Odgovoriti
Sa matematičkim minusima, čini se da je sve jasno. Ali u jeziku, kada se pitanje postavi sa negacijom, kako na njega odgovoriti? Evo, na primjer, uvijek me je zbunilo takvo pitanje: "Želite li čaj?" Kako da odgovorim, pod uslovom da želim čaj? Cini se da ako kazes "Da", onda nece dati caj (to je kao + i -), ako ne, onda treba da daju (- i -), a ako "Ne, necu" ?? ?
Odgovoriti
Da biste odgovorili na takve pitanje za bebu, prvo morate odgovoriti na nekoliko pitanja odraslih: "Šta je minus u matematici?" i "Šta je množenje i dijeljenje?". Koliko sam shvatio, tu počinju problemi koji na kraju dovode do zvonjenja i drugih gluposti kada se odgovori na tako jednostavno djetinjasto pitanje.
Odgovoriti
Odgovor očito nije za obične školarce!
U osnovnoj školi sam pročitao jednu divnu knjigu - onu o Dwarfingu i Al-Jebri, ili su možda dali primjer u matematičkom krugu - stavili su dvije osobe sa jabukama na suprotne strane znaka jednakosti različite boje i ponudili da jedni drugima daju jabuke. Zatim su između učesnika igre postavljeni drugi znakovi - plus, minus, više, manje.
Odgovoriti
Detinjasti odgovor, ha??))
Možda zvuči okrutno, ali sam autor ne razumije zašto minus po minus daje plus :-)
Sve na svijetu može se objasniti vizualno, jer su apstrakcije potrebne samo da bi se svijet objasnio. Vezani su za stvarnost i ne žive sami u zabludnim udžbenicima.
Mada za objašnjenje morate znati barem fiziku, a ponekad i biologiju, zajedno sa osnovama ljudske neurofiziologije.
Ali ipak, prvi dio je dao nadu za razumijevanje i vrlo jasno objasnio potrebu za negativnim brojevima.
Ali drugi je tradicionalno prešao u šizofreniju. A i B moraju biti stvarni objekti! pa zašto ih zvati ovakvim slovima kada možete uzeti, na primjer, vekne hleba ili jabuke
Ako .. ako bi bilo moguće ... da?))))))
I... čak i koristeći pravi temelj iz prvog dijela (to množenje je isto sabiranje) - sa minusima se dobiva kontradikcija))
-2 + -2 = -4
ali
-2 * -2 =+4))))
pa čak i ako pretpostavimo da je ovo minus dva, uzeto minus dva puta, ispostaviće se
-2 -(-2) -(-2) = +2
Vrijedilo je jednostavno priznati da, pošto su brojevi virtuelni, onda sam za relativno korektno računovodstvo morao smisliti virtuelna pravila.
I to bi bila ISTINA, a ne prstenaste gluposti.
Odgovoriti
U svom primjeru, Academon je napravio grešku:
U stvari, (-2)+(-2) = (-4) je 2 puta (-2), tj. (-2) * 2 = (-4).
Što se tiče množenja dva negativna broja, bez kontradikcije, ovo je isti sabirak, samo s druge strane "0" na brojevnoj pravoj. naime:
(-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Dakle, sve se zbraja.
Pa, što se tiče realnosti negativnih brojeva, kako vam se sviđa ovaj primjer?
Ako imam, recimo, 1.000 dolara u džepu, moje raspoloženje se može nazvati “pozitivnim”.
Ako je 0$, respektivno, stanje će biti "none".
A ako je (-1000)$ dug koji treba otplatiti, a para nema...?
Odgovoriti
Minus na minus - uvek će postojati plus,
Zašto se to dešava - ne mogu reći.
Zašto me je -na-=+ zbunilo još u školi, u 7. razredu (1961). Pokušao sam smisliti drugu, "pošteniju" algebru, gdje je + na + = +, i - na - = -. Pa sam mislio da bi bilo iskrenije. Ali kako onda biti sa + na- i -na +? Nisam želio da izgubim komutativnost xy=yx, inače neće raditi.
Ali šta ako uzmemo ne 2 znaka, već tri, na primjer +, - i *. Jednako i simetrično.
DODATAK
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) se ne zbrajaju(!), kao stvarni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja.
Ali za to (+a)+(-a)+(*a)=0.
Na primjer, šta je (+6)+(-4)+(*2)?
(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Nije lako, ali možete se naviknuti.
Sada MNOŽENJE.
Pretpostavljamo:
+on+=+ -on-=- *on*=* (zar ne?)
+on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (pošteno!)
Čini se da je sve u redu, ali množenje nije asocijativno, tj.
a(bc) nije jednako (ab)c.
I ako je tako
+on+=+ -on-=* *on*=-
+on-=-on+=- +on*=*on+=* -on*=*on-=+
Opet nepravedno, + istaknuto kao posebno. ALI rođena je NOVA ALGEBRA sa tri znaka. Komutativno, asocijativno i distributivno. Ona ima geometrijsku interpretaciju. Ona je izomorfna Kompleksni brojevi. Može se dalje proširiti: četiri karaktera, pet...
Ovo se ranije nije desilo. Uzmite, ljudi, koristite.
Odgovoriti
Dječije pitanje je općenito dječji odgovor.
Postoji naš svijet, gdje je sve "plus": jabuke, igračke, mačke i psi, oni su pravi. Možete pojesti jabuku, možete pomaziti mačku. A postoji i izmišljeni svijet, kroz ogledalo. Tu su i jabuke i igračke, zrcalne, možemo ih zamisliti, ali ne možemo ih dodirnuti - izmišljene su. Iz jednog svijeta u drugi možemo doći uz pomoć znaka minus. Ako imamo dvije prave jabuke (2 jabuke), a stavimo znak minus (-2 jabuke) - dobićemo dvije izmišljene jabuke u ogledalu. Znak minus nas vodi iz jednog svijeta u drugi, naprijed-nazad. U našem svijetu nema zrcalnih jabuka. Možemo ih zamisliti čitavu gomilu, čak milion (minus milion jabuka). Samo ih nećete moći jesti, jer kod nas nema jabuka minus, sve jabuke u našim prodavnicama su plus jabuke.
Pomnožiti znači složiti neke objekte u obliku pravokutnika. Uzmimo dva boda ":" i pomnožimo ih sa tri, dobićemo: ": : :" - ukupno šest bodova. Možete uzeti pravu jabuku (+I) i pomnožiti je sa tri, dobićemo: "+ÂÂÂ" - tri prave jabuke.
Sada pomnožite jabuku sa minus tri. Opet ćemo dobiti tri jabuke "+ÂÂÂ", ali znak minus će nas provesti kroz ogledalo, i imaćemo tri zrcalne jabuke (minus tri jabuke -ÂÂÂ).
A sada pomnožite minus jabuka (-I) sa minus tri. Odnosno, uzimamo jabuku, a ako je ispred nje minus, prenosimo je u ogledalo. Tu ga množimo sa tri. Sada imamo tri zrcalne jabuke! Ali postoji još jedna loša strana. On će primljene jabuke vratiti u naš svijet. Kao rezultat, dobijamo tri zaista ukusne jabuke + YYYYA koje možete pojesti.
Odgovoriti
Sve je dobro dok poslednji korak. Kada množimo tri zrcalne jabuke sa minus jednom, ove jabuke moramo odraziti u još jednom ogledalu. Lokacijski će se podudarati sa stvarnim, ali će biti zamišljeni kao i prva ogledala i jednako nejestivi. To jest, (-1)*(-1)= -1<> 1.
Zapravo, zbunjuje me još jedna stvar vezana za množenje negativnih brojeva, naime:
Da li je tačna jednadžba:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?Ovo pitanje je proizašlo iz pokušaja da se razumije ponašanje grafa funkcije y=x^n, gdje su x i n realni brojevi.
Ispada da će se graf funkcije uvijek nalaziti u 1. i 3. kvartalu, osim u slučajevima kada je n paran. U ovom slučaju se mijenja samo zakrivljenost grafa. Ali paritet od n je relativna vrijednost, jer možemo uzeti drugi referentni okvir, u kojem je n = 1,1 * k, onda dobijamo
y = x^(1.1*k) = (x^1.1)^k
i paritet će ovdje biti drugačiji...I pored toga, predlažem da se argumentu doda ono što se dešava sa grafom funkcije y = x^(1/n). Pretpostavljam, ne bez razloga, da bi graf funkcije trebao biti simetričan grafu y = x^n u odnosu na graf funkcije y = x.
Odgovoriti
Postoji nekoliko načina da se objasni pravilo "minus puta minus je plus". Evo najjednostavnijeg. Množenje po prirodi. broj n je rastezanje segmenta (koji se nalazi na brojevnoj osi) n puta. Množenje sa -1 je odraz segmenta u odnosu na ishodište. Kao najkraće objašnjenje zašto (-1)*(-1) = +1, ova metoda je prikladna.Usko grlo ovog pristupa je to što još uvijek morate posebno odrediti zbir takvih operatora.
Odgovoriti
Možete ići kada objašnjavate iz kompleksnih brojeva
kao opštiji oblik predstavljanja brojeva
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Ojlerova formula
Znak je u ovom slučaju samo argument (ugao rotacije)
Uglovi se zbrajaju kada se pomnože
0 stepeni odgovara +
180 stepeni odgovara -
Množenje - sa - je ekvivalentno 180+180=360=0
Odgovoriti
Hoće li se ovo kotrljati?
Negativci su suprotni. Radi jednostavnosti, da bismo se privremeno udaljili od minusa, zamijenit ćemo iskaze i početnu tačku učiniti većom. Počnimo brojati ne od nule, već od 1000.
Recimo da mi dvije osobe duguju po dvije rublje: 2_osobe * 2_rublja = 4_rublja duguju mi ukupno. (moj bilans je 1004)
Sada inverzi (negativni brojevi, ali inverzni/pozitivni iskazi):
minus 2 osobe = tako da mi ne duguju, ali ja dugujem (dužan sam više ljudima nego što sam dužan). Na primjer, dugujem 10 ljudi, a imam samo 8. Međusobna poravnanja se mogu smanjiti i zanemariti, ali možete to imati na umu ako je zgodnije raditi s pozitivnim brojevima. Odnosno, svi jedni drugima daju novac.
minus 2 rublje = sličan princip - trebali biste uzeti više nego što dajete. Tako da svima dugujem dvije rublje.
-(2_persons)*2_rubles=I_dug_to_each_by_2=-4 za mene. Moje stanje je 996 rubalja.
2_people*(-2_rubles)=two_should_take_2_rubles_from_me=- 4 od mene. Moje stanje je 996 rubalja.
-(2_osobe)*(-2_rubli)= svako_treba_uzeti_od_me_manje_nego_treba_dati_2_rublja
Općenito, ako zamislimo da se sve ne vrti oko 0, već oko, na primjer, 1000, ali daju novac na 10, oduzimaju na 8. Zatim, uzastopno obavljanje svih operacija izdavanja novca nekome ili njegovog oduzimanja , doći do zaključka da ako će mi dva viška (ostale ćemo smanjiti mrežama) uzeti dvije rublje manje nego što će mi vratiti, onda će se moje blagostanje povećati za pozitivnu brojku od 4.
Odgovoriti
U potrazi za JEDNOSTAVNIM (djetetu razumljivim) odgovorom na postavljeno pitanje ("Zašto minus sa minusom daje plus"), marljivo sam čitao i članak koji je predložio autor i sve komentare. Najuspješnijim odgovorom smatram onaj u epigrafu: "Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj." Koliko jasnije! Jednostavno i briljantno!
Određeni putnik stiže na ostrvo, o čijim stanovnicima zna samo jedno: neki od njih govore samo istinu, drugi samo lažu. Izvana ih je nemoguće razlikovati. Putnik je pristao na obalu i ugledao cestu. Želi da zna da li ovaj put vodi u grad. Ugledavši lokalnog stanovnika na putu, postavlja mu SAMO JEDNO pitanje, omogućavajući mu da sazna da put vodi u grad. Kako je pitao o tome?
Rješenje je tri reda niže (samo da zastanem i da vama odraslima dam priliku da zastanete i razmislite o ovom divnom problemu!) Moj unuk iz trećeg razreda je još uvijek pretvrd za problem, ali razumijevanje odgovora ga je bez sumnje približilo razumijevanje predstojećih matematičkih problema, trikovi poput "minus puta minus daje plus."
Dakle, odgovor je:
"Kada bih vas pitao vodi li ovaj put do grada, šta biste mi odgovorili?"
"Algebarsko" objašnjenje nije moglo poljuljati moju goruću ljubav prema ocu, niti duboko poštovanje prema njegovoj nauci. Ali zauvijek sam mrzeo aksiomatsku metodu sa njenim nemotivisanim definicijama.
Zanimljivo je da se ovaj odgovor I. V. Arnolda na dječje pitanje praktično poklopio s objavljivanjem njegove knjige "Negativni brojevi u algebri". Tamo je (u 7. poglavlju) dat sasvim drugačiji odgovor, po mom mišljenju, vrlo opisan. Knjiga je dostupna na adresi u elektronskom formatu http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm
Odgovoriti
Ako postoji paradoks, treba tražiti greške u osnovama. Postoje tri greške u formulaciji množenja. Otuda dolazi "paradoks". Samo trebate dodati nulu.
(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Množenje je ponovljeno dodavanje nuli (ili oduzimanje od nule).
Množilac (4) pokazuje broj operacija sabiranja ili oduzimanja (broj znakova "minus" ili "plus" pri dekomponovanju množenja sabiranjem).
Znaci "minus" i "plus" na faktoru (4) propisuju ili oduzimanje množenika od nule, ili dodavanje množenika nuli.
Konkretno, u ovom primjeru, (-4) određuje oduzimanje ("-") od nule množenika (-3) četiri puta (4).
Ispravite tekst (tri logičke greške). Samo dodajte nulu. Pravila aritmetike se od ovoga neće promijeniti.
Više o ovoj temi ovdje:
http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm
Koja je navika mehanički vjerovati udžbenicima? Morate imati i vlastiti mozak. Pogotovo ako postoje paradoksi, bijele mrlje, očigledne kontradikcije. Sve je to rezultat grešaka u teoriji.
Nemoguće je rastaviti proizvod dva negativna broja na pojmove, prema trenutnoj formulaciji množenja (bez nule). Zar to nikome ne smeta?
Kakva je to formulacija množenja, prema kojoj je nemoguće izvršiti množenje? :)
Problem je i čisto psihološki. Slijepo povjerenje u autoritete, nespremnost da razmišljate svojom glavom. Ako udžbenici tako kažu, ako škola tako uči, onda je to konačna istina. Sve se menja, uključujući i nauku. Inače ne bi bilo razvoja civilizacije.
Ispravite tekst množenja u svim udžbenicima! Pravila aritmetike se od ovoga neće promijeniti.
Štaviše, kao što slijedi iz članka na koji je povezana gore, ispravljena formulacija množenja postat će slična formulaciji podizanja broja na stepen. I tamo ne zapisuju jedinicu kada se podignu na pozitivnu potenciju. Međutim, jedan se zapisuje kada se broj podigne na negativan stepen.
Gospodaru matematike, tvoja majka, uvijek treba da napišeš nulu i jedan, čak i ako se rezultat ne promijeni od njihovog odsustva.
Značenje skraćenih unosa se mijenja (ili čak nestaje). I kod školaraca postoje problemi sa razumijevanjem.
Odgovoriti
Napišite komentar
Uputstvo
Postoje četiri vrste matematičkih operacija: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Stoga će biti četiri vrste primjera sa. Negativni brojevi u primjeru su istaknuti kako se ne bi zbunila matematička operacija. Na primjer, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) ili 34:(-17).
Dodatak. Ova akcija može izgledati ovako: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Zamjena radnje: prvo se otvore zagrade, obrne se znak "+", zatim se od većeg (modulo) broja "6" oduzima manje "3", nakon čega se odgovoru dodjeljuje veći znak, tj. , "-".
2) -3+6=3. Ovaj se može napisati kao - ("6-3") ili po principu "oduzmi manje od većeg i odgovoru dodijeli predznak većeg".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Prilikom otvaranja, zamjena akcije sabiranja oduzimanjem, zatim se moduli sabiraju i rezultat se daje znakom minus.
Oduzimanje.1) 8-(-5)=8+5=13. Zagrade se otvaraju, predznak radnje se obrće i dobije se primjer sabiranja.
2) -9-3=-12. Elementi primjera se zbrajaju i dobijaju zajednički znak "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Prilikom otvaranja zagrada znak se ponovo mijenja u "+", zatim se manji broj oduzima od većeg broja i od odgovora se uzima predznak većeg broja.
Množenje i dijeljenje Prilikom množenja ili dijeljenja znak ne utiče na samu operaciju. Prilikom množenja ili dijeljenja brojeva odgovoru se dodjeljuje znak minus, ako su brojevi sa istim predznacima, rezultat uvijek ima znak plus 1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.
Izvori:
- tabela sa kontra
Kako odlučiti primjeri? Djeca se često obraćaju roditeljima sa ovim pitanjem ako treba da urade domaći zadatak. Kako pravilno objasniti djetetu rješenje primjera za sabiranje i oduzimanje višecifrenih brojeva? Pokušajmo ovo shvatiti.
Trebaće ti
- 1. Udžbenik matematike.
- 2. Papir.
- 3. Drška.
Uputstvo
Pročitajte primjer. Da bi se to postiglo, svaka višeznačna vrijednost je podijeljena u klase. Počevši od kraja broja, odbrojite tri cifre i stavite tačku (23.867.567). Podsjetimo da prve tri cifre od kraja broja do jedinica, sljedeće tri - do klase, zatim postoje milioni. Čitamo broj: dvadeset tri osam stotina šezdeset sedam hiljada šezdeset sedam.
Zapišite primjer. Imajte na umu da se jedinice svake cifre pišu striktno jedna ispod druge: jedinice pod jedinicama, desetice ispod desetice, stotine ispod stotine itd.
Izvršite sabiranje ili oduzimanje. Počnite izvoditi akciju s jedinicama. Rezultat upišite pod kategoriju s kojom je radnja izvedena. Ako se ispostavilo da je to broj (), tada upisujemo jedinice na mjesto odgovora i dodajemo broj desetica jedinicama pražnjenja. Ako je broj jedinica bilo koje cifre u minuendu manji nego u oduzetom, uzimamo 10 jedinica sljedeće cifre, izvršimo radnju.
Pročitajte odgovor.
Povezani video zapisi
Bilješka
Zabranite svom djetetu da koristi kalkulator, čak i da provjeri rješenje primjera. Sabiranje se ispituje oduzimanjem, a oduzimanje sabiranjem.
Ako dijete dobro nauči tehnike pisanih računanja unutar 1000, tada radnje s višecifrenim brojevima izvedene po analogiji neće uzrokovati poteškoće.
Organizirajte takmičenje za svoje dijete: koliko primjera može riješiti za 10 minuta. Takva obuka će pomoći u automatizaciji računskih tehnika.
Množenje je jedna od četiri osnovne matematičke operacije koje su u osnovi mnogih drugih složene funkcije. U ovom slučaju, u stvari, množenje se zasniva na operaciji sabiranja: poznavanje ovoga omogućava vam da ispravno riješite bilo koji primjer.
Da bi se razumjela suština operacije množenja, potrebno je uzeti u obzir da su u njoj uključene tri glavne komponente. Jedan od njih naziva se prvi faktor i predstavlja broj koji je podvrgnut operaciji množenja. Iz tog razloga ima i drugi, nešto manje uobičajen naziv - "multiplikator". Druga komponenta operacije množenja naziva se drugi faktor: to je broj kojim se množi množenik. Stoga se obje ove komponente nazivaju multiplikatori, što naglašava njihov ravnopravan status, kao i činjenicu da se mogu zamijeniti: rezultat množenja se od ovoga neće promijeniti. Konačno, treća komponenta operacije množenja, koja je rezultat toga, naziva se proizvod.
Redoslijed operacije množenja
Suština operacije množenja zasniva se na jednostavnijoj aritmetička operacija- . U stvari, množenje je zbir prvog faktora, ili množenika, tolikog broja puta koji odgovara drugom faktoru. Na primjer, da biste pomnožili 8 sa 4, trebate dodati broj 8 4 puta, što rezultira 32. Ova metoda, osim što omogućava razumijevanje suštine operacije množenja, može se koristiti i za provjeru dobivenog rezultata izračunavanjem željenog proizvoda. Treba imati na umu da verifikacija nužno pretpostavlja da su članovi uključeni u sumiranje isti i da odgovaraju prvom faktoru.Rješavanje primjera množenja
Dakle, da bi se riješilo , povezano s potrebom da se izvrši množenje, može biti dovoljno da se zbroji određeni broj puta potreban broj prvi množitelji. Takva metoda može biti zgodna za izvođenje gotovo svih proračuna povezanih s ovom operacijom. Istovremeno, u matematici često postoje tipični, u kojima učestvuju standardni jednocifreni cijeli brojevi. Kako bi se olakšalo njihovo izračunavanje, kreirano je tzv. množenje, koje uključuje kompletnu listu proizvoda pozitivnih cijelih jednocifrenih brojeva, odnosno brojeva od 1 do 9. Tako, kada naučite, možete značajno pojednostaviti proces rješavanja primjera množenja, na osnovu upotrebe takvih brojeva. Međutim, za složenije opcije to će biti potrebno implementirati matematička operacija na svoju ruku.Povezani video zapisi
Izvori:
- Množenje u 2019
Množenje je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije, koja se često koristi i u školi i u školi Svakodnevni život. Kako možete brzo pomnožiti dva broja?
Osnovu najsloženijih matematičkih proračuna čine četiri osnovne aritmetičke operacije: oduzimanje, sabiranje, množenje i dijeljenje. Istovremeno, uprkos njihovoj nezavisnosti, ove operacije, nakon detaljnijeg razmatranja, pokazuju se kao međusobno povezane. Takav odnos postoji, na primjer, između sabiranja i množenja.
Operacija množenja brojeva
Tri su glavna elementa uključena u operaciju množenja. Prvi od njih, koji se obično naziva prvi faktor ili množenik, je broj koji će biti podvrgnut operaciji množenja. Drugi, koji se zove drugi faktor, je broj kojim će se prvi faktor pomnožiti. Konačno, rezultat izvršene operacije množenja najčešće se naziva proizvod.Treba imati na umu da je suština operacije množenja zapravo zasnovana na sabiranju: za njenu implementaciju potrebno je sabrati određeni broj prvih faktora, a broj članova u ovom zbiru mora biti jednak drugom faktoru. Pored izračunavanja proizvoda dva faktora koja se razmatraju, ovaj algoritam se može koristiti i za provjeru rezultirajućeg rezultata.
Primjer rješavanja zadatka množenja
Razmotrite rješenja problema množenja. Pretpostavimo da je prema uslovima zadatka potrebno izračunati umnožak dva broja, među kojima je prvi faktor 8, a drugi 4. U skladu sa definicijom operacije množenja, to zapravo znači da potrebno je 4 puta sabrati broj 8. Rezultat je 32 - ovo je proizvod koji se smatra brojevima, odnosno rezultat njihovog množenja.Osim toga, mora se imati na umu da se za operaciju množenja primjenjuje takozvani komutativni zakon, koji utvrđuje da promjena mjesta faktora u originalnom primjeru neće promijeniti njegov rezultat. Dakle, možete dodati broj 4 8 puta, što rezultira istim proizvodom - 32.
Tablica množenja
Jasno je da se rješava na ovaj način veliki broj primjeri istog tipa je prilično zamoran zadatak. Kako bi se olakšao ovaj zadatak, izmišljeno je tzv. množenje. U stvari, to je lista proizvoda cjelobrojnih pozitivnih jednocifrenih brojeva. Jednostavno rečeno, tablica množenja je zbirka rezultata međusobnog množenja od 1 do 9. Nakon što naučite ovu tablicu, više ne možete pribjegavati množenju kad god trebate riješiti primjer za takav primarni brojevi, ali jednostavno se prisjetite njegovog rezultata.Povezani video zapisi
Razumijemo li pravilno množenje?
"- A i B su sjedili na luli. A je pao, B je nestao, šta je ostalo na luli?
"Tvoje pismo I ostaje."(Iz filma "Mladi u svemiru")
Zašto množenje broja sa nulom rezultira nulom?
7 * 0 = 0
Zašto kada pomnožite dva negativna broja, dobijete pozitivan broj?
7 * (-3) = + 21
Ono što nastavnici samo ne smisle da daju odgovore na ova dva pitanja.
Ali niko nema hrabrosti da prizna da postoje tri semantičke greške u formulaciji množenja!
Ima li grešaka u osnovama aritmetike? Uostalom, matematika se pozicionira kao egzaktna nauka...
Školski udžbenici matematike ne daju odgovore na ova pitanja, zamjenjujući objašnjenja skupom pravila koja treba zapamtiti. Možda im je ovu temu teško objasniti u srednjoj školi? Pokušajmo razumjeti ova pitanja.
7 - množitelj. 3 je množitelj. 21 - rad.
Prema zvaničnoj formulaciji:
- pomnožiti broj drugim brojem znači sabrati onoliko množitelja koliko množitelj propisuje.
Prema prihvaćenoj formulaciji, faktor 3 nam govori da na desnoj strani jednakosti treba da budu tri sedmice.
7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21
Ali ova formulacija množenja ne može objasniti gore postavljena pitanja.
Popravimo formulaciju množenja
Obično se u matematici mnogo misli, ali se to ne kaže niti zapisuje.
Ovo se odnosi na znak plus ispred prvih sedam na desnoj strani jednakosti. Hajde da zapišemo ovo.
7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21
Ali čemu se dodaje prvih sedam? To znači da na nulu, naravno. Hajde da napišemo nulu.
7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21
Šta ako pomnožimo sa tri minus sedam?
7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21
Pišemo sabiranje množenika -7, u stvari, vršimo višestruko oduzimanje od nule. Hajde da proširimo zagrade.
7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21
Sada možemo dati rafiniranu formulaciju množenja.
- Množenje je ponovljeno zbrajanje na nulu (ili oduzimanje od nule) množenika (-7) onoliko puta koliko množitelj pokazuje. Faktor (3) i njegov znak (+ ili -) označavaju broj operacija koje treba dodati nuli ili oduzeti od nule.
Prema ovoj rafiniranoj i donekle izmijenjenoj formulaciji množenja, "pravila znaka" za množenje kada je množitelj negativan se lako objašnjavaju.
7 * (-3) - iza nule moraju biti tri znaka minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21
7 * (-3) - opet bi trebala biti tri znaka minus nakon nule =
0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21
Množenje sa nulom
7 * 0 = 0 + ... nema operacija dodavanja na nulu.
Ako je množenje zbrajanje na nulu, a množitelj pokazuje broj operacija za dodavanje na nulu, tada množitelj nule pokazuje da se ništa ne dodaje na nulu. Dakle, ostaje nula.
Dakle, u postojećoj formulaciji množenja pronašli smo tri semantičke greške koje blokiraju razumijevanje dvaju "pravila znakova" (kada je množitelj negativan) i množenje broja nulom.
- Potrebno je ne sabrati množenik, već ga dodati nuli.
- Množenje nije samo dodavanje na nulu, već i oduzimanje od nule.
- Množilac i njegov predznak ne pokazuju broj članova, već broj znakova plus ili minus kada se množenje rastavlja na članove (ili oduzima).
Nakon što smo donekle razjasnili formulaciju, uspjeli smo objasniti pravila znakova u množenju i množenju broja nulom bez pomoći komutativnog zakona množenja, bez distributivnog zakona, bez upotrebe analogija sa brojevnom pravom, bez jednačina, bez dokaza o suprotnom itd.
Pravila znakova prema rafiniranoj formulaciji množenja izvedena su vrlo jednostavno.
7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)
7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)
7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)
7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)
Množilac i njegov znak (+3 ili -3) označavaju broj znakova "+" ili "-" na desnoj strani jednačine.
Izmijenjeni tekst množenja odgovara operaciji podizanja broja na stepen.
2^3 = 1*2*2*2 = 8
2^0 = 1 (jedan se ne množi niti dijeli ničim, tako da ostaje jedan)
2^-1 = 1: 2 = 1/2
2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4
2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8
Matematičari se slažu da je podizanje broja na pozitivan stepen višestruko množenje jedinice. A podizanje broja na negativan stepen je višestruko dijeljenje jedinice.
Operacija množenja bi trebala biti slična operaciji eksponencijalnosti.
2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6
2*2 = 0 + 2 + 2 = 4
2*0 = 0 (ništa se ne dodaje nuli i ništa se ne oduzima od nule)
2*-1 = 0 - 2 = -2
2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4
2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6
Modificirana formulacija množenja ne mijenja ništa u matematici, ali vraća izvorno značenje operacije množenja, objašnjava "pravila znakova", množenje broja nulom i pomiruje množenje sa eksponencijalnim.
Provjerimo da li se naša formulacija množenja slaže s operacijom dijeljenja.
15: 5 = 3 (obrnuta operacija množenja 5 * 3 = 15)
Količnik (3) odgovara broju operacija sabiranja na nulu (+3) tokom množenja.
Podijeliti broj 15 sa 5 znači pronaći koliko puta trebate oduzeti 5 od 15. Ovo se radi uzastopnim oduzimanjem dok se ne dobije nulti rezultat.
Da biste pronašli rezultat dijeljenja, morate izbrojati broj znakova minus. Ima ih tri.
15: 5 = 3 operacije za oduzimanje pet od 15 dok se ne dobije nula.
15 - 5 - 5 - 5 = 0 (divizija 15:5)
0 + 5 + 5 + 5 = 15 (pomnoži 5 * 3)
Podjela s ostatkom.
17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0
17:5 = 3 i 2 ostatak
Ako postoji dijeljenje s ostatkom, zašto ne množenje sa dodatkom?
2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17
Razliku u tekstu gledamo na kalkulatoru
Postojeća formulacija množenja (tri člana).
10 + 10 + 10 = 30
Ispravljen tekst množenja (tri operacije sabiranja na nulu).
0 + 10 = = = 30
(Kliknite na "jednako" tri puta.)
10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Faktor 3 označava da se množitelj od 10 mora dodati na nulu tri puta.
Pokušajte pomnožiti (-10) * (-3) dodavanjem člana (-10) minus tri puta!
(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?
Šta znači znak minus za tri? Možda je tako?
(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?
Ops... Nije moguće rastaviti proizvod na zbir (ili razliku) pojmova (-10).
Uz izmijenjenu formulaciju, ovo je ispravno urađeno.
0 - (-10) = = = +30
(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30
Množilac (-3) označava da se množitelj (-10) mora oduzeti od nule tri puta.
Znak pravila za sabiranje i oduzimanje
Iznad je prikazan jednostavan način za izvođenje znakovnih pravila za množenje, promjenom značenja formulacije množenja.
Ali za izlaz smo koristili pravila znakova sabiranja i oduzimanja. Oni su skoro isti kao i za množenje. Napravimo vizualizaciju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje, tako da to može razumjeti i učenik prvog razreda.
Šta je "minus", "negativno"?
U prirodi nema ničeg negativnog. Ne negativnu temperaturu, nema negativnog smjera, nema negativne mase, nema negativnih naboja... Čak i sinus po svojoj prirodi može biti samo pozitivan.
Ali matematičari su došli do negativnih brojeva. Za što? Šta znači "minus"?
Minus znači suprotan smjer. Lijevo desno. Top bottom. U smjeru kazaljke na satu - suprotno od kazaljke na satu. Naprijed-nazad. Hladno - vruće. Lagano težak. Polako - brzo. Ako razmislite o tome, možete dati mnogo drugih primjera gdje je zgodno koristiti negativne vrijednosti.
U svijetu koji poznajemo, beskonačnost počinje od nule i ide do plus beskonačnosti.
"Minus beskonačnost" uključen stvarnom svijetu ne postoji. Ovo je ista matematička konvencija kao i koncept "minusa".
Dakle, "minus" znači suprotan smjer: kretanje, rotacija, proces, množenje, sabiranje. Hajde da analiziramo različitim pravcima pri sabiranju i oduzimanju pozitivnih i negativnih (rastući u drugom smjeru) brojeva.
Poteškoće u razumijevanju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje nastaju zbog činjenice da se ova pravila obično pokušavaju objasniti na brojevnoj pravoj. Na brojevnoj pravoj su pomiješane tri različite komponente iz kojih su izvedena pravila. A zbog miješanja, zbog bacanja različitih koncepata u jednu hrpu, stvaraju se poteškoće u razumijevanju.
Da bismo razumjeli pravila, moramo razdvojiti:
- prvi član i zbir (oni će biti na horizontalnoj osi);
- drugi član (biće na vertikalnoj osi);
- smjer operacija sabiranja i oduzimanja.
Ova podjela je jasno prikazana na slici. Mentalno zamislite da se vertikalna os može rotirati, postavljena na horizontalnu os.
Operacija sabiranja se uvijek izvodi rotacijom vertikalne ose u smjeru kazaljke na satu (znak plus). Operacija oduzimanja se uvijek izvodi rotacijom vertikalne ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (znak minus).
Primjer. Dijagram u donjem desnom uglu.
Može se vidjeti da dva susjedna znaka minus (znak operacije oduzimanja i znak broja 3) imaju različita značenja. Prvi minus pokazuje smjer oduzimanja. Drugi minus je znak broja na okomitoj osi.
Pronađite prvi član (-2) na horizontalnoj osi. Nađite drugi član (-3) na okomitoj osi. Mentalno rotirajte vertikalnu osu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se (-3) ne poklopi s brojem (+1) na horizontalnoj osi. Broj (+1) je rezultat zbrajanja.
operacija oduzimanja
daje isti rezultat kao operacija sabiranja na dijagramu u gornjem desnom uglu.
Dakle, dva susjedna znaka "minus" mogu se zamijeniti jednim znakom "plus".
Svi smo navikli koristiti gotova pravila aritmetike ne razmišljajući o njihovom značenju. Stoga često ni ne primjećujemo kako se pravila znakova sabiranja (oduzimanja) razlikuju od pravila znakova u množenju (dijeljenju). Čini se da su isti? Skoro... Na sljedećoj ilustraciji možete vidjeti malu razliku.
Sada imamo sve što nam je potrebno da izvedemo pravila znakova za množenje. Izlazni niz je sljedeći.
- Jasno pokazujemo kako se dobijaju pravila znakova za sabiranje i oduzimanje.
- Unosimo semantičke promjene u postojeću formulaciju množenja.
- Na osnovu izmijenjenog teksta množenja i pravila znakova za sabiranje, izvodimo pravila znakova za množenje.
Bilješka.
Ispod su napisani pravilo znakova za sabiranje i oduzimanje dobijene vizualizacijom. A crvenom bojom, za poređenje, ista pravila znakova iz udžbenika matematike. Sivi plus u zagradama je nevidljivi plus, koji nije napisan za pozitivan broj.
Uvek postoje dva znaka između pojmova: predznak operacije i znak broja (ne pišemo plus, ali to mislimo). Pravila znakova propisuju zamjenu jednog para znakova drugim parom bez promjene rezultata sabiranja (oduzimanja). U stvari, postoje samo dva pravila.
Pravila 1 i 3 (za vizualizaciju) - duplikat pravila 4 i 2. Pravila 1 i 3 u školskoj interpretaciji se ne poklapaju sa vizuelnom šemom, stoga se ne primjenjuju na pravila znakova dodatno. To su neka druga pravila...
1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???
2. +- = -(+)......... + - = - (+) ok
3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???
4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok
Školsko pravilo 1. (crveno) vam omogućava da dva plusa u nizu zamijenite jednim plusom. Pravilo se ne primjenjuje na zamjenu znakova u sabiranju i oduzimanju.
Školsko pravilo 3. (crvena boja) dozvoljava vam da ne pišete znak plus za pozitivan broj nakon operacije oduzimanja. Pravilo se ne primjenjuje na zamjenu znakova u sabiranju i oduzimanju.
Značenje pravila znakova dodatno je zamjena jednog PAR znakova drugim PARom znakova bez promjene rezultata zbrajanja.
Školski metodičari su pomiješali dva pravila u jedno pravilo:
Dva znakovna pravila za sabiranje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva (zamjena jednog para znakova drugim parom znakova);
Dva pravila po kojima ne možete napisati znak plus za pozitivan broj.
Dva drugačija pravila, pomiješani u jedan, slični su pravilima znakova u množenju, gdje treći slijedi iz dva znaka. Izgledajte kao jedan na jedan.
Pa zbunjen! Ponovite isto, za bolje raspetljavanje. Označimo znakove operacija crvenom bojom da ih razlikujemo od znakova brojeva.
1. Sabiranje i oduzimanje. Dva znakovna pravila po kojima se parovi znakova između pojmova zamjenjuju. Znak operacije i znak broja.
+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)
+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)
2. Dva pravila po kojima je dozvoljeno da se znak plus pozitivnog broja ne piše. Ovo su pravila prijavnog formulara. Ne odnosi se na dodavanje. Za pozitivan broj upisuje se samo predznak operacije.
- + = - |||||||||| - (+2) = - 2
+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2
3. Četiri pravila znakova u množenju. Kada treći znak proizvoda slijedi iz dva znaka množenja. U pravilima znakova za množenje samo znakovi brojeva.
+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2
+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2
- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2
- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2
Sada kada smo razdvojili pravila notacije, trebalo bi biti jasno da pravila predznaka za sabiranje i oduzimanje uopće nisu poput pravila predznaka za množenje.
V.Kozarenko
Zašto je minus puta minus jednak plusu?
- (1 štap) - (2 štapa) = ((1 štap)+(2 štapa))= 2 štapa (A dva štapa su + jer su 2 štapa na motki)))
Minus puta minus daje plus jer je to školsko pravilo. Trenutno ne postoji tačan odgovor zašto, po mom mišljenju. Ovo je pravilo i postoji već dugi niz godina. Samo treba da zapamtite da komadić daje štipaljku.
Iz školskog kursa matematike znamo da minus puta minus daje plus. Postoji i pojednostavljeno, razigrano objašnjenje ovog pravila: minus je jedan red, dva minusa su dva reda, plus se sastoji samo od 2 reda. Dakle, minus puta minus daje znak plus.
Mislim da je tako: minus je štap - dodaj još jedan minus štapić - onda dobijete dva štapa, a ako ih spojite unakrsno, onda će znak + quot ; naučiti, ovako sam rekao svoje mišljenje na pitanje: minus minus datumi plus.
Minus puta minus ne daje uvijek plus, čak ni u matematici. Ali u osnovi, ovu izjavu upoređujem s matematikom, gdje se najčešće nalazi. Kažu i da otpatke izbijaju pajserom - to je također nekako povezano s minusima.
Zamislite da ste pozajmili 100 rubalja. Sada vaš račun: -100 rubalja. Onda ste vratili ovaj dug. Dakle, ispada da ste smanjili (-) svoj dug (-100) za isti iznos novca. Dobijamo: -100-(-100)=0
Minus ukazuje na suprotno: suprotno od 5 je -5. Ali -(-5) je broj suprotan suprotnom, tj. pet.
kao u šali:
1. - Gdje je suprotna strana ulice?
2. - na drugoj strani
1. - i rekli su da na ovom ...
Zamislite vagu s dvije posude. Činjenica da na desnoj posudi uvijek ima znak plus, na lijevoj posudi - minus. Sada, množenje brojem sa znakom plus će značiti da se to dešava na istoj posudi, a množenje brojem sa predznakom minus će značiti da se rezultat prenosi u drugu posudu. Primjeri. Pomnožimo 5 jabuka sa 2. Dobijamo 10 jabuka u desnoj posudi. Pomnožimo - 5 jabuka sa 2, dobijemo 10 jabuka na lijevoj posudi, to je -10. Sada pomnožite -5 sa -2. To znači 5 jabuka na lijevoj posudi pomnoženo sa 2 i prebačeno u desnu činiju, odnosno odgovor je 10. Zanimljivo, množenje plus sa minusom, odnosno jabuke u desnoj posudi, ima negativan rezultat, tj. jabuke idu lijevo. A množenje minus lijeve jabuke sa plusom ostavlja ih u minusu, na lijevoj posudi.
Mislim da se to može pokazati na sljedeći način. Ako stavite pet jabuka u pet korpi, onda će biti ukupno 25 jabuka. U korpama. A minus pet jabuka znači da ih nisam prijavio, nego sam ih izvadio iz svake od pet korpi. i ispalo je istih 25 jabuka, ali ne u korpama. Dakle, korpe idu kao minus.
To također možete vrlo dobro pokazati na sljedećem primjeru. Ako vam gori kuća, to je minus. Ali ako ste zaboravili da zatvorite slavinu u kadi i počeli ste da poplavite, onda je i ovo minus. Ali ovo je odvojeno. Ali ako se sve dogodilo u isto vrijeme, onda minus po minus daje plus, a vaš stan ima šansu da preživi.