Nastavljamo da pričamo o akcijama sa matricama. Naime - tokom proučavanja ovog predavanja naučićete kako pronaći inverznu matricu. Naučite. Čak i ako je matematika teška.
Šta je inverzna matrica? Ovdje se može povući analogija inverzni brojevi: Razmotrite, na primjer, optimistični broj 5 i njegov inverz. Proizvod ovih brojeva jednak je jedan:. Sa matricama je sve slično! Proizvod matrice na njenu inverznu matricu je - matrica identiteta, što je matrični analog numeričke jedinice. Međutim, prvo, prvo, odlučimo o važnom praktično pitanje, naime, naučit ćemo kako pronaći ovu inverznu matricu.
Šta trebate znati i biti u stanju učiniti da biste pronašli inverznu matricu? Moraš biti u stanju da odlučiš odrednice... Morate shvatiti šta je to matrica i biti u stanju da izvršite neke radnje sa njima.
Postoje dvije glavne metode za pronalaženje inverzne vrijednosti matrice:
preko algebarske komplemente i koristeći elementarne transformacije.
Danas ćemo istražiti prvi, lakši način.
Počnimo s najstrašnijim i najnerazumljivijim. Razmislite kvadrat matrica. Inverzna matrica se može naći po sljedećoj formuli:
Gdje je determinanta matrice, je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
Koncept inverzne matrice postoji samo za kvadratne matrice, matrice "dva po dva", "tri po tri" itd.
Oznake: Kao što ste vjerovatno već primijetili, inverzna vrijednost matrice je označena superskriptom
Počnimo s najjednostavnijim slučajem - matricom dva po dva. Najčešće je, naravno, potrebno "tri po tri", ali, ipak, toplo preporučujem da proučite jednostavniji zadatak kako biste naučili opšti princip rješenja.
primjer:
Naći inverz matrice
Mi odlučujemo. Redoslijed radnji može se prikladno podijeliti na tačke.
1) Prvo pronađite determinantu matrice.
Ako vaše razumijevanje ove akcije nije dovoljno dobro, pročitajte materijal Kako izračunati determinantu?
Bitan! U slučaju da je determinanta matrice NULA- inverzna matrica NE POSTOJI.
U primjeru koji se razmatra, kako se ispostavilo, to znači da je sve u redu.
2) Pronađite matricu minora.
Da bismo riješili naš problem, nije potrebno znati što je maloljetnik, ali je preporučljivo pročitati članak Kako izračunati determinantu.
Matrica minora ima iste dimenzije kao i matrica, odnosno in u ovom slučaju.
Stvar je mala, ostaje da pronađemo četiri broja i stavimo ih umjesto zvjezdica.
Nazad na našu matricu
Pogledajmo prvo gornji lijevi element:
Kako ga pronaći minor?
A to se radi ovako: RAZMISLENO precrtajte red i stupac u kojem se ovaj element nalazi:
Preostali broj je minor ovog elementa, koje upisujemo u našu matricu minora:
Razmotrite sljedeći matrični element:
Mentalno precrtavamo red i stupac u kojem se ovaj element nalazi:
Ono što ostaje je minor ovog elementa, koji upisujemo u našu matricu:
Slično, razmatramo elemente drugog reda i pronalazimo njihove minore:
Spreman.
To je jednostavno. U matrici maloljetnika, trebate PROMENI ZNAKOVE dva broja:
Ovo su brojevi koje sam zaokružio!
- matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
I to je samo...
4) Pronađite transponovanu matricu algebarskih komplementa.
- transponovana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
5) Odgovor.
Prisjećajući se naše formule
Sve je pronađeno!
Dakle, inverz matrice je: 
Odgovor je najbolje ostaviti takav kakav jeste. NO NEED podijelite svaki element matrice sa 2, jer dobijete razlomke. O ovoj nijansi detaljnije se govori u istom članku. Matrične operacije.
Kako mogu provjeriti rješenje?
Potrebno je izvršiti množenje matrice ili
pregled: 
Već pomenuti matrica identiteta Je matrica sa jedinicama glavna dijagonala i nule na drugim mestima.
Dakle, obrnuto je tačno.
Ako izvršite akciju, rezultat će također biti matrica identiteta. Ovo je jedan od rijetkih slučajeva gdje je množenje matrice promjenjivo, više detaljne informacije možete pronaći u članku Svojstva operacija nad matricama. Matrični izrazi... Također imajte na umu da se tokom provjere konstanta (razlomak) prenosi naprijed i obrađuje na samom kraju - nakon množenja matrice. Ovo je standardna tehnika.
Pređimo na češći slučaj u praksi - matricu "tri po tri":
primjer:
Naći inverz matrice 
Algoritam je potpuno isti kao i za slučaj dva po dva.
Inverznu matricu nalazimo po formuli:, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
1) Pronađite determinantu matrice.
Ovdje se otkriva determinanta na prvoj liniji.
Takođe, ne zaboravite to, što znači da je sve u redu - inverzna matrica postoji.
2) Pronađite matricu minora.
Matrix manjina ima dimenziju "tri sa tri" 
i moramo pronaći devet brojeva.
Ući ću u nekoliko manjih detalja:
Razmotrite sljedeći matrični element: 
PROMISNO precrtajte red i kolonu u kojoj se nalazi ovaj element: 
Preostala četiri broja upisuju se u odrednicu "dva po dva" 
Ovaj kvalifikator je "dva po dva" i je minor ovog elementa... Potrebno je izračunati: 
To je to, mol je pronađen, upisujemo ga u našu matricu minora: 
Kao što ste možda pretpostavili, potrebno je izračunati devet determinanti dva po dva. Proces je, naravno, mukotrpan, ali slučaj nije najteži, može biti i gori.
Pa da konsolidiramo - pronalazak još jednog maloljetnika na slikama: 
Pokušajte sami izračunati ostatak maloljetnika.
Konačan rezultat: 
- matrica minora odgovarajućih elemenata matrice.
Činjenica da su svi maloljetnici ispali negativni je čista slučajnost.
3) Pronađite matricu algebarskih komplementa.
U matrici maloljetnika to je neophodno PROMENI ZNAKOVE striktno za sljedeće elemente: 
U ovom slučaju:
Pronalaženje inverzne matrice za matricu "četiri puta četiri" se ne razmatra, jer takav zadatak može dati samo učitelj sadista (tako da učenik izračuna jednu determinantu "četiri sa četiri" i 16 determinanti "tri sa tri" ”). U svojoj praksi sam sreo samo jedan takav slučaj, a kupac testa je dosta skupo platio moju muku =).
U brojnim udžbenicima, priručnicima možete pronaći nešto drugačiji pristup pronalaženju inverzne matrice, međutim, preporučujem korištenje gornjeg algoritma rješenja. Zašto? Jer je vjerovatnoća da ćete se zbuniti u proračunima i znakovima mnogo manja.
Matrica $ A ^ (- 1) $ naziva se inverzna u odnosu na kvadratnu matricu $ A $ ako je ispunjen uslov $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ , gdje je $ E $ matrica identiteta, čiji je red jednak redu matrice $ A $.
Nedegenerirana matrica - matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, degenerirana matrica je ona za koju je determinanta jednaka nuli.
inverzna matrica$ A ^ (- 1) $ postoji ako i samo ako je matrica $ A $ nedegenerirana. Ako inverzna matrica $ A ^ (- 1) $ postoji, onda je jedinstvena.
Postoji nekoliko načina za pronalaženje inverza matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Ova stranica će raspravljati o metodi spojene matrice, koja se smatra standardnom u većini viših matematičkih kurseva. Druga metoda za pronalaženje inverzne matrice (metoda elementarnih transformacija), koja uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode, razmatra se u drugom dijelu.
Metoda spojene (adjoint) matrice
Neka je data matrica $ A_ (n \ puta n) $. Da bi se pronašao inverz od $ A ^ (- 1) $, potrebna su tri koraka:
- Pronađite determinantu matrice $ A $ i uvjerite se da je $ \ Delta A \ neq 0 $, tj. da je matrica A nedegenerisana.
- Napravite algebarske komplemente $ A_ (ij) $ svakog elementa matrice $ A $ i napišite matricu $ A_ (n \ puta n) ^ (*) = \ lijevo (A_ (ij) \ desno) $ od pronašao algebarske komplemente.
- Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.
Matrica $ (A ^ (*)) ^ T $ se često naziva pridruženom (recipročnom, adjointiranom) matrici $ A $.
Ako se rješenje radi ručno, tada je prva metoda dobra samo za matrice relativno malog reda: drugi (), treći (), četvrti (). Druge metode se koriste za pronalaženje inverza matrice višeg reda. Na primjer, Gaussova metoda, o kojoj se govori u drugom dijelu.
Primjer br. 1
Pronađite inverz od $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ kraj (niz) \ desno) $.
Pošto su svi elementi četvrte kolone jednaki nuli, onda je $ \ Delta A = 0 $ (to jest, matrica $ A $ je degenerisana). Pošto je $ \ Delta A = 0 $, matrica inverzna matrici $ A $ ne postoji.
Primjer br. 2
Nađite inverz matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ kraj (niz) \ desno) $.
Koristimo metodu spojene matrice. Prvo, nalazimo determinantu date matrice $ A $:
$$ \ Delta A = \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ kraj (niz) \ desno | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$
Pošto je $ \ Delta A \ neq 0 $, tada postoji inverzna matrica, stoga ćemo nastaviti sa rješenjem. Pronalaženje algebarskih komplementa
\ započeti (poravnati) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ kraj (poravnano)
Sastavljamo matricu od algebarskih komplementa: $ A ^ (*) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ kraj (niz) \ desno) $.
Transponirajte rezultirajuću matricu: $ (A ^ (*)) ^ T = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ kraj (niz) \ desno) $ (rezultirajući matrica se često naziva adjuint ili adjuint matrica matrici $A$). Koristeći formulu $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, imamo:
$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ kraj (niz) \ desno) $$
Dakle, nalazi se inverz: $ A ^ (- 1) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ kraj (niz) \ desno) $. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ ili $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Provjerimo jednakost $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $ A ^ (- 1) $ ne u obliku $ \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (niz) \ desno) $, i kao $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ kraj (niz) \ desno) $:
Odgovori: $ A ^ (- 1) = \ lijevo (\ početak (niz) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ kraj (niz) \ desno) $.
Primjer br. 3
Nađite inverz matrice $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ kraj (niz) \ desno) $.
Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $ A $. Dakle, determinanta matrice $ A $ je sljedeća:
$$ \ Delta A = \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ kraj (niz) \ desno | = 18-36 + 56-12 = 26. $$
Pošto je $ \ Delta A \ neq 0 $, tada postoji inverzna matrica, stoga ćemo nastaviti sa rješenjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa date matrice:
Sastavljamo matricu algebarskih komplementa i transponiramo je:
$$ A ^ * = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ kraj (niz) \ desno); \; (A ^ *) ^ T = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ kraj (niz) \ desno) $$
Koristeći formulu $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, dobijamo:
$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ kraj (niz) \ desno) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ kraj (niz) \ desno) $$
Dakle $ A ^ (- 1) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ kraj (niz) \ desno) $. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ ili $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Provjerimo jednakost $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $ A ^ (- 1) $ ne u obliku $ \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ kraj (niz) \ desno) $, i kao $ \ frac (1) (26) \ cdot \ lijevo ( \ početak (niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ kraj (niz) \ desno) $:
Provjera je bila uspješna, inverzni $ A ^ (- 1) $ je ispravno pronađen.
Odgovori: $ A ^ (- 1) = \ lijevo (\ početak (niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ kraj (niz) \ desno) $.
Primjer br. 4
Pronađite inverz od $ A = \ lijevo (\ početak (niz) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ kraj (niz) \ desno) $.
Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice koristeći algebarske komplemente je donekle teško. Međutim, takvi primjeri u kontrolni radovi upoznaj.
Da biste pronašli inverznu vrijednost matrice, prvo morate izračunati determinantu matrice $ A $. Najbolji način da to učinite u ovoj situaciji je da proširite determinantu po redu (kolona). Odaberemo bilo koji red ili stupac i pronađemo algebarske komplemente svakog elementa odabranog reda ili stupca.
Obično se inverzne operacije koriste za pojednostavljenje složenih algebarskih izraza. Na primjer, ako problem sadrži operaciju dijeljenja razlomkom, možete je zamijeniti operacijom množenja inverznim razlomkom, što je inverzna operacija. Štaviše, matrice se ne mogu podijeliti, tako da morate pomnožiti s inverzom matrice. Izračunavanje inverzne vrijednosti matrice 3x3 je zamorno, ali morate biti u mogućnosti to učiniti ručno. Recipročnu vrijednost također možete pronaći pomoću dobrog grafičkog kalkulatora.
Koraci
Sa pridruženom matricom
Transponirajte originalnu matricu. Transponiranje je zamjena redova kolonama u odnosu na glavnu dijagonalu matrice, odnosno potrebno je zamijeniti elemente (i, j) i (j, i). U ovom slučaju, elementi glavne dijagonale (počevši od gornjeg lijevog kuta i završavajući u donjem desnom kutu) se ne mijenjaju.
- Da biste zamijenili redove kolonama, upišite stavke prvog reda u prvu kolonu, stavke drugog reda u drugu kolonu i stavke trećeg reda u treću kolonu. Redoslijed promjene položaja elemenata prikazan je na slici, na kojoj su odgovarajući elementi okruženi krugovima u boji.
Pronađite definiciju svake 2x2 matrice. Svaki element bilo koje matrice, uključujući i transponiranu, pridružen je odgovarajućoj matrici 2x2. Da biste pronašli matricu 2x2 koja odgovara određenom elementu, precrtajte red i stupac u kojem se ovaj element nalazi, odnosno potrebno je precrtati pet elemenata originalne matrice 3x3. Četiri elementa ostaju neukrštena, koji su elementi odgovarajuće matrice 2x2.
- Na primjer, da biste pronašli matricu 2x2 za element koji se nalazi na sjecištu drugog reda i prve kolone, precrtajte pet elemenata koji se nalaze u drugom redu i prvoj koloni. Preostala četiri elementa su elementi odgovarajuće matrice 2x2.
- Pronađite determinantu svake matrice 2x2. Da biste to učinili, oduzmite proizvod elemenata sekundarne dijagonale od proizvoda elemenata glavne dijagonale (vidi sliku).
- Detaljne informacije o matricama 2x2 koje odgovaraju specifičnim elementima matrice 3x3 mogu se pronaći na Internetu.
Kreirajte matricu kofaktora. Zabilježite ranije dobivene rezultate u obliku nove matrice kofaktora. Da biste to učinili, napišite pronađenu determinantu svake matrice 2x2 gdje se nalazi odgovarajući element matrice 3x3. Na primjer, ako razmatramo matricu 2x2 za element (1,1), zapišite njenu determinantu na poziciji (1,1). Zatim promijenite znakove odgovarajućih elemenata prema određenoj shemi, koja je prikazana na slici.
- Šema promjene znakova: znak prvog elementa prvog reda se ne mijenja; znak drugog elementa prve linije je obrnut; predznak trećeg elementa prvog reda se ne mijenja, i tako red po red. Imajte na umu da znakovi "+" i "-", koji su prikazani na dijagramu (vidi sliku), ne označavaju da će odgovarajući element biti pozitivan ili negativan. U ovom slučaju, znak "+" označava da se predznak elementa ne mijenja, a znak - da se predznak elementa promijenio.
- Detaljne informacije o matricama kofaktora mogu se naći na Internetu.
- Ovo će pronaći pridruženu matricu originalne matrice. Ponekad se naziva kompleksna konjugirana matrica. Ova matrica se naziva adj (M).
Podijelite svaki element spojene matrice determinantom. Determinanta matrice M izračunata je na samom početku kako bi se provjerilo postoji li inverzna vrijednost matrice. Sada podijelite svaki element spojene matrice ovom determinantom. Napišite rezultat svake operacije dijeljenja gdje se nalazi odgovarajući element. Ovo će pronaći inverznu vrijednost originalne matrice.
- Determinanta matrice prikazane na slici je 1. Dakle, ovdje je pridružena matrica inverzna matrica (jer kada se bilo koji broj podijeli sa 1, ne mijenja se).
- U nekim izvorima, operacija dijeljenja je zamijenjena operacijom množenja sa 1 / det (M). U ovom slučaju, konačni rezultat se ne mijenja.
Zapišite inverznu vrijednost matrice. Zapišite elemente koji se nalaze na desnoj polovini velike matrice kao posebnu matricu, koja je inverzna matrici.
Unesite originalnu matricu u memoriju kalkulatora. Da biste to učinili, kliknite na dugme Matrix, ako je dostupno. Za kalkulator Texas Instruments, možda ćete morati da pritisnete 2 nd i Matrix dugmad.
Odaberite meni Uredi. Uradite to pomoću dugmadi sa strelicama ili odgovarajućeg funkcijskog dugmeta koje se nalazi na vrhu tastature kalkulatora (lokacija dugmeta zavisi od modela kalkulatora).
Unesite oznaku matrice. Većina grafičkih kalkulatora može raditi sa 3-10 matrica, koje se mogu odrediti slova A-J... Obično samo odaberite [A] da biste označili originalnu matricu. Zatim pritisnite dugme Enter.
Unesite veličinu matrice. Ovaj članak govori o matricama 3x3. Ali grafički kalkulatori mogu da obrađuju velike matrice. Unesite broj redova, pritisnite tipku Enter, zatim unesite broj kolona i ponovo pritisnite tipku Enter.
Unesite svaki element matrice. Kalkulator prikazuje matricu. Ako je matrica prethodno unesena u kalkulator, ona će se pojaviti na ekranu. Kursor će označiti prvi element matrice. Unesite vrijednost za prvu stavku i pritisnite Enter. Kursor će se automatski pomaknuti na sljedeći element matrice.
Inverzna matrica za datu je takva matrica, množenjem originala sa kojom daje matrica identiteta: Preduslov i dovoljan uslov za prisustvo inverzne matrice je da determinanta originala nije jednaka nuli (što zauzvrat implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se naziva degenerisana i takva matrica nema inverznu. U višoj matematici, inverzne matrice imaju bitno i koriste se za rješavanje brojnih problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruisana je matrična metoda za rešavanje sistema jednačina. Naša servisna stranica dozvoljava izračunaj inverznu matricu na mreži dvije metode: Gauss-Jordan metoda i korištenje matrice algebarskih komplementa. Povremeno implicira veliki broj elementarne transformacije unutar matrice, druga je izračunavanje determinante i algebarskih komplemenata za sve elemente. Za online izračunavanje determinante matrice, možete koristiti našu drugu uslugu - Izračunajte determinantu matrice online
.Pronađite inverznu matricu web stranice
site omogućava vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na sajtu naše usluge vrše kalkulacije i vraćamo rezultat detaljno rješenje pronalaženjem inverzna matrica... Server uvijek vraća samo tačan i tačan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da determinanta matrice bio različit od nule, inače siteće izvesti nemogućnost pronalaženja inverzne matrice zbog jednakosti determinante originalne matrice nuli. Zadatak pronalaženja inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih koncepata algebre i matematičko oruđe u primijenjenim problemima. Nezavisna definicija inverzne matrice zahtijeva mnogo truda, puno vremena, računanja i velike pažnje kako bi se izbjeglo proklizavanje ili manja greška u proračunima. Stoga je naš servis za pronalaženje inverzne matrice na mreži uvelike će vam olakšati zadatak i postati nezamjenjiv alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronaći inverznu vrijednost matrice sami, preporučujemo da svoje rješenje provjerite na našem serveru. Unesite svoju originalnu matricu u našu Izračunaj inverznu matricu na mreži i provjerite svoj odgovor. Naš sistem nikada ne zakaže i pronalazi inverzna matrica date dimenzije u modu online odmah! Na sajtu site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online biće predstavljen u opštem simboličkom obliku.
Metode za pronalaženje inverzne matrice,. Razmotrimo kvadratnu matricu
Postavljamo Δ = det A.
Kvadratna matrica A se naziva nedegenerisan, ili nespecijalan ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerisati ili poseban, akoΔ = 0.
Kvadratna matrica B postoji za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.
Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, neophodno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.
Inverzna matrica matrice A, označena sa A- 1, tako da je B = A - 1 a izračunava se po formuli
, (1)
gdje su A i j algebarski komplementi elemenata a i j matrice A ..
Izračunavanje A -1 prema formuli (1) za matrice visokog reda je vrlo naporno, stoga je u praksi zgodno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (EP). Bilo koja nesingularna matrica A može se svesti na matricu identiteta E pomoću EP samo kolona (ili samo redova). Pogodno je izvoditi EP preko matrica A i E u isto vrijeme, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Imajte na umu da prilikom pronalaženja kanonskog oblika matrice u svrhu pronalaženja možete koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu vrijednost matrice, u procesu transformacije treba koristiti samo redove ili samo stupce.
Primjer 2.10... Za matricu 
nađi A -1.
Rješenje.Prvo ćemo pronaći determinantu matrice A 
dakle, inverzna matrica postoji i možemo je pronaći po formuli: 
, gdje su A i j (i, j = 1,2,3) algebarski komplementi elemenata a i j originalne matrice. 
Gdje 
.
Primjer 2.11... Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronađite A -1 za matricu: A =.
Rješenje.Originalnoj matrici na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: 
... Uz pomoć elementarnih transformacija stupaca, dovodimo lijevu "polovinu" u jediničnu, istovremeno obavljajući potpuno iste transformacije nad desnom matricom.
Da bismo to učinili, zamijenimo prvi i drugi stupac: 
~
... Dodajte prvi u treću kolonu, a prvi pomnožen sa -2 u drugi: 
... Od prvog stupca oduzimamo drugi udvostručen, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; 
... Dodajmo treću kolonu prvom i drugom: 
... Pomnožimo posljednju kolonu sa -1: 
... Izvedeno desno od vertikalne trake kvadratna matrica je inverzna matrica A. Dakle,
.