U procesu izučavanja kursa geometrije, koncepti "ugao", "vertikalni uglovi", " susedni uglovi” se nalaze prilično često. Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će vam da shvatite problem i da ga ispravno riješite. Šta su susjedni uglovi i kako ih odrediti?
Susjedni uglovi - definicija pojma
Termin "susedni uglovi" karakteriše dva ugla formirana zajedničkom zrakom i dve dodatne poluprave koje leže na istoj pravoj liniji. Sva tri zraka izlaze iz iste tačke. Zajednička poluprava je istovremeno strana i jednog i drugog ugla.
Susjedni uglovi - osnovna svojstva
1. Na osnovu formulacije susednih uglova, lako je uočiti da zbir takvih uglova uvek čini obrnuti ugao, čija je stepenska mera 180°:
- Ako su μ i η susjedni uglovi, tada je μ + η = 180°.
- Poznavajući veličinu jednog od susjednih uglova (na primjer, μ), lako možete izračunati mjeru stepena drugog ugla (η) koristeći izraz η = 180° – μ.
2. Ova nekretnina uglovi nam omogućavaju da izvučemo sledeći zaključak: ugao koji je susedan pravi ugao, takođe će biti direktni.
3. Uzimajući u obzir trigonometrijske funkcije(sin, cos, tg, ctg), na osnovu formula redukcije za susjedne uglove μ i η, vrijedi sljedeće:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Susjedni uglovi - primjeri
Primjer 1
Dat je trokut sa vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Pronađite uglove koji su susedni uglovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Produžimo svaku stranu trougla ravnom linijom.
- Znajući da se susjedni uglovi međusobno nadopunjuju do obrnutog ugla, saznajemo da:
pored ugla ∠QMP je ∠LMP,
pored ugla ∠MPQ je ∠SPQ,
pored ugla ∠PQM je ∠HQP.
Primjer 2
Vrijednost jednog susjednog ugla je 35°. Kolika je mjera stepena drugog susjednog ugla?
- Zbir dva susjedna ugla je 180°.
- Ako je ∠μ = 35°, onda uz njega ∠η = 180° – 35° = 145°.
Primjer 3
Odredite vrijednosti susjednih uglova ako je poznato da je mjera stepena jednog od njih tri puta veća od stepena mjere drugog ugla.
- Označimo veličinu jednog (manjeg) ugla sa – ∠μ = λ.
- Tada će, prema uslovima zadatka, vrijednost drugog ugla biti jednaka ∠η = 3λ.
- Na osnovu osnovnog svojstva susjednih uglova, slijedi μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
To znači da je prvi ugao ∠μ = λ = 45°, a drugi ugao ∠η = 3λ = 135°.
Sposobnost korištenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih uglova, pomoći će vam u rješavanju mnogih geometrijskih problema.
U ovoj lekciji ćemo pogledati i razumjeti koncept susjednih uglova. Hajde da razmotrimo teoremu koja se njih tiče. Hajde da uvedemo koncept „vertikalnih uglova“. Pogledajmo neke potkrepljujuće činjenice o ovim uglovima. Zatim formuliramo i dokazujemo dvije posljedice o kutu između simetrala vertikalnih uglova. Na kraju lekcije razmotrićemo nekoliko problema na ovu temu.
Počnimo našu lekciju s konceptom „susjednih uglova“. Na slici 1 prikazan je razvijeni ugao ∠AOC i zraka OB, koja ovaj ugao deli na 2 ugla.
Rice. 1. Ugao ∠AOC
Razmotrimo uglove ∠AOB i ∠BOC. Sasvim je očigledno da jesu zajednička strana VO, a stranke AO i OS su suprotne. Zraci OA i OS se međusobno nadopunjuju, što znači da leže na istoj pravoj liniji. Uglovi ∠AOB i ∠BOC su susjedni.
Definicija: Ako dva ugla imaju zajedničku stranu, a druge dvije strane su komplementarne zrake, onda se ti uglovi nazivaju susjedni.
Teorema 1: Zbir susjednih uglova je 180 o.
Rice. 2. Crtež za teoremu 1
∠MOL + ∠LON = 180 o. Ova tvrdnja je tačna, jer zraka OL dijeli nerasklopljeni ugao ∠MON na dva susjedna ugla. Odnosno, ne znamo stepene mere nijednog od susednih uglova, ali znamo samo njihov zbir - 180 stepeni.
Razmotrimo presek dve prave. Na slici je prikazan presek dve prave u tački O.
Rice. 3. Vertikalni uglovi ∠VOA i ∠SOD
Definicija: Ako su stranice jednog ugla nastavak drugog ugla, onda se takvi uglovi nazivaju vertikalni. Zato su na slici prikazana dva para vertikalnih uglova: ∠AOB i ∠COD, kao i ∠AOD i ∠BOC.
Teorema 2: Vertikalni uglovi su jednaki.
Koristimo sliku 3. Razmotrimo rotirani ugao ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Razmotrimo rotirani ugao ∠BOD. ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β.
Iz ovih razmatranja zaključujemo da je ∠AOB = ∠COD = α. Slično, ∠AOD = ∠BOS = β.
Posljedica 1: Ugao između simetrala susjednih uglova je 90°.
Rice. 4. Crtež za zaključak 1
Pošto je OL simetrala ugla ∠BOA, onda je ugao ∠LOB = , slično kao i ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Zbir uglova α + β jednak je 180°, pošto su ovi uglovi susedni.
Posljedica 2: Ugao između simetrala vertikalnih uglova jednak je 180°.
Rice. 5. Crtež za zaključak 2
KO je simetrala ∠AOB, LO je simetrala ∠COD. Očigledno, ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Zbir uglova α + β jednak je 180°, pošto su ovi uglovi susedni.
Pogledajmo neke zadatke:
Nađite ugao pored ∠AOC ako je ∠AOC = 111 o.
Napravimo crtež za zadatak:
Rice. 6. Crtež na primjer 1
Kako su ∠AOC = β i ∠COD = α susjedni uglovi, onda je α + β = 180 o. To jest, 111 o + β = 180 o.
To znači β = 69 o.
Ova vrsta problema koristi teoremu o sumi susjednih uglova.
Jedan od susjednih uglova je pravi ugao, a koji je drugi ugao (oštar, tup ili pravi)?
Ako je jedan od uglova pravi, a zbir ta dva ugla 180°, onda je i drugi ugao pravi. Ovaj zadatak testira znanje o zbiru susjednih uglova.
Da li je tačno da ako su susjedni uglovi jednaki, onda su pravi uglovi?
Napravimo jednačinu: α + β = 180 o, ali pošto je α = β, onda je β + β = 180 o, što znači β = 90 o.
Odgovor: Da, izjava je tačna.
Data su dva jednaka ugla. Da li je tačno da će i uglovi koji se nalaze uz njih biti jednaki?
Rice. 7. Crtež na primjer 4
Ako su dva ugla jednaka α, tada će im odgovarajući susjedni uglovi biti 180 o - α. To jest, oni će biti jednaki jedni drugima.
Odgovor: Tvrdnja je tačna.
- Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. i dr. Geometrija 7. - M.: Obrazovanje.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. i dr. Geometrija 7. 5. izd. - M.: Prosvetljenje.
- \Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, urednik V.A. Sadovnichigo. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Mjerenje segmenata ().
- Opšti čas iz geometrije u 7. razredu ().
- Prava linija, segment ().
- br. 13, 14. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolov, urednik V.A. Sadovnichigo. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Nađi dva susjedna ugla ako je jedan 4 puta veći.
- S obzirom na ugao. Konstruirajte susjedne i okomite uglove za to. Koliko se takvih uglova može konstruisati?
- * U kom slučaju se dobija više parova vertikalnih uglova: kada se tri prave seku u jednoj tački ili u tri tačke?
Poznata vrijednost glavnog ugla α₁ = α₂ = 180°-α.
Od ovoga postoje . Ako su dva ugla susedna i jednaka, onda su to pravi uglovi. Ako je jedan od susednih uglova pravi, odnosno 90 stepeni, onda je i drugi ugao pravi. Ako je jedan od susjednih uglova oštar, onda će drugi biti tup. Slično tome, ako je jedan od uglova tup, onda će drugi, prema tome, biti oštar.
Oštar ugao je onaj čija je mera stepena manja od 90 stepeni, ali veća od 0. Tupi ugao ima stepen stepena veću od 90 stepeni, ali manju od 180.
Još jedno svojstvo susjednih uglova formulira se na sljedeći način: ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi susjedni njima jednaki. To znači da ako postoje dva ugla za koje je mjera stepena ista (na primjer, 50 stepeni) i istovremeno jedan od njih ima susjedni ugao, tada se i vrijednosti ovih susjednih uglova poklapaju ( u primjeru, njihova mjera stepena će biti jednaka 130 stepeni).
Izvori:
- Veliki enciklopedijski rječnik - susjedni uglovi
- ugao 180 stepeni
Riječ "" ima različite interpretacije. U geometriji, ugao je deo ravni omeđen sa dve zrake koje izlaze iz jedne tačke - vrha. Kada govorimo o ravnim, oštrim i nesavijenim uglovima, mislimo na geometrijske uglove.
Kao i sve figure u geometriji, uglovi se mogu porediti. Jednakost uglova se utvrđuje kretanjem. Lako je podijeliti ugao na dva jednaka dijela. Podjela na tri dijela je malo teže, ali se ipak može učiniti pomoću ravnala i šestara. Inače, ovaj zadatak se činio prilično teškim. Opisivanje da je jedan ugao veći ili manji od drugog je geometrijski jednostavno.
Mjerna jedinica za uglove je 1/180 razvijenog ugla. Veličina ugla je broj koji pokazuje koliko se ugao odabran kao jedinica mjerenja uklapa u dotičnu sliku.
Svaki ugao ima stepen, veće od nule. Pravi ugao je 180 stepeni. Stepen mjera ugla smatra se jednakom zbiru mjera stepena uglova na koje ga dijeli bilo koji zrak na ravni ograničenoj njegovim stranicama.
Ugao sa mjerom određenog stepena koji ne prelazi 180 može se nacrtati iz bilo kojeg zraka u datu ravan. Štaviše, postojaće samo jedan takav ugao. Mjera ravan ugao, koji je dio poluravnine, smatra se stepenom mjera ugla sa sličnim stranama. Mjera ravni ugla koji sadrži poluravninu je vrijednost 360 – α, gdje je α stepena mjera komplementarnog ravan ugla.
Mera stepena ugla omogućava prelazak sa geometrijskog opisa na numerički. Dakle, pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni, tupi ugao je ugao manji od 180 stepeni, ali veći od 90, oštar ugao ne prelazi 90 stepeni.
Pored stepeni, postoji i radijanska mjera ugla. U planimetriji, dužina je L, poluprečnik je r, a odgovarajući centralni ugao je α. Štaviše, ovi parametri su povezani relacijom α = L/r. Ovo je osnova radijanske mjere uglova. Ako je L=r, tada će ugao α biti jednak jednom radijanu. Dakle, radijanska mjera ugla je omjer dužine luka nacrtanog proizvoljnim polumjerom i zatvorenog između strana ovog ugla i poluprečnika luka. Potpuna rotacija u stepenima (360 stepeni) odgovara 2π u radijanima. Jedan je 57,2958 stepeni.
Video na temu
Izvori:
- Formula stepena mere uglova
Dva ugla koji se nalaze na istoj pravoj liniji i imaju isti vrh nazivaju se susjednim.
Inače, ako je zbir dva ugla na jednoj pravoj liniji jednak 180 stepeni i imaju jednu zajedničku stranu, onda su to susedni uglovi.
1 susjedni ugao + 1 susjedni ugao = 180 stepeni.
Susjedni uglovi su dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije stranice općenito čine pravu liniju.
Zbir dva susedna ugla je uvek 180 stepeni. Na primjer, ako je jedan ugao 60 stepeni, onda će drugi nužno biti jednak 120 stepeni (180-60).
Uglovi AOC i BOC su susedni uglovi jer su ispunjeni svi uslovi za karakteristike susednih uglova:
1.OS - zajednička strana dva ugla
2.AO - strana ugla AOS, OB - strana ugla BOS. Ove strane zajedno čine pravu liniju AOB.
3. Postoje dva ugla i njihov zbir je 180 stepeni.
Prisjećajući se školskog kursa geometrije, možemo reći sljedeće o susjednim uglovima:
susedni uglovi imaju jednu zajedničku stranu, a druge dve strane pripadaju istoj pravoj liniji, odnosno nalaze se na istoj pravoj liniji. Ako prema slici, onda su uglovi SOV i BOA susjedni uglovi, čiji je zbir uvijek jednak 180, jer dijele pravi ugao, a ravan ugao je uvijek jednak 180.
Susjedni uglovi su lak koncept u geometriji. Susedni uglovi, ugao plus ugao, sabiraju do 180 stepeni.
Dva susedna ugla će biti jedan rasklopljeni ugao.
Postoji još nekoliko nekretnina. Sa susjednim uglovima, probleme je lako riješiti, a teoreme dokazati.
Susedni uglovi se formiraju povlačenjem zraka iz proizvoljne tačke na pravoj liniji. Tada se ispostavlja da je ova proizvoljna tačka vrh ugla, zraka je zajednička strana susjednih uglova, a prava linija iz koje je povučena zraka su dvije preostale strane susjednih uglova. Susjedni uglovi mogu biti isti u slučaju okomite, ili različiti u slučaju kosih greda. Lako je shvatiti da je zbir susjednih uglova jednak 180 stepeni ili jednostavno prava linija. Drugi način da se objasni ovaj ugao je jednostavan primjer- prvo ste išli u jednom pravcu u pravoj liniji, zatim ste se predomislili, odlučili da se vratite i, okrenuvši se za 180 stepeni, krenuli istom pravom linijom u suprotnom smeru.
Dakle, šta je susedni ugao? definicija:
Dva ugla sa zajedničkim vrhom i jednom zajedničkom stranom nazivaju se susednim, a druge dve strane ovih uglova leže na istoj pravoj liniji.
I kratki video lekcija u kojoj se razumno prikazuje o susjednim uglovima, okomitim uglovima, plus o okomitim linijama, koje su poseban slučaj susjednih i okomitih uglova
Susedni uglovi su uglovi kod kojih je jedna strana zajednička, a druga jedna prava.
Susedni uglovi su uglovi koji zavise jedan od drugog. Odnosno, ako se zajednička strana malo zarotira, tada će se jedan kut smanjiti za nekoliko stupnjeva, a automatski će se drugi kut povećati za isti broj stupnjeva. Ovo svojstvo susjednih uglova omogućava rješavanje različitih problema u geometriji i izvođenje dokaza različitih teorema.
Ukupan zbir susednih uglova je uvek 180 stepeni.
Iz predmeta geometrija, (koliko se sećam u 6. razredu), dva ugla se nazivaju susedni, kod kojih je jedna strana zajednička, a druge strane su dodatne zrake, zbir susednih uglova je 180. Svaki od dva susjedni uglovi nadopunjuju drugi u prošireni kut. Primjer susjednih uglova:
Susedni uglovi su dva ugla sa zajedničkim vrhom, čija je jedna strana zajednička, a preostale stranice leže na istoj pravoj liniji (ne poklapaju se). Zbir susjednih uglova je sto osamdeset stepeni. Generalno, sve ovo je vrlo lako pronaći u Google-u ili udžbeniku geometrije.
Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju zajednički vrh i jednu stranu, a druge dvije stranice čine pravu liniju. Zbir susjednih uglova je 180 stepeni.
Na slici su uglovi AOB i BOC susedni.
Susjedni uglovi su oni koji imaju zajednički vrh, jednu zajedničku stranu, a druge strane su nastavci jedna na drugu i čine prošireni ugao. Izvanredno svojstvo susednih uglova je da je zbir ovih uglova uvek jednak 180 stepeni.
Uglovi sa zajedničkim vrhom i jednom zajedničkom stranom u geometriji se nazivaju susjedni
Zbir susjednih uglova je 180 stepeni
Treba napomenuti da susjedni uglovi imaju jednake sinuse
Da biste saznali više o susjednim uglovima, pročitajte ovdje
POGLAVLJE I.
OSNOVNI KONCEPTI.
§jedanaest. SUSJEDNI I VERTIKALNI UGLOVI.
1. Susedni uglovi.
Ako produžimo stranu bilo kojeg ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): / I sunce i / SVD, u kojem je jedna strana BC zajednička, a druge dvije A i BD čine pravu liniju.
Dva ugla kod kojih je jedna strana zajednička, a druge dvije čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.
Susedni uglovi se takođe mogu dobiti na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj (koja ne leži na datoj pravoj), dobićemo susedne uglove.
Na primjer, /
ADF i /
FDV - susedni uglovi (Sl. 73).
Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).
Susjedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle umma dva susedna ugla je jednaka 2d.
Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.
Znajući veličinu jednog od susjednih uglova, možemo pronaći veličinu drugog ugla koji je uz njega.
Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 3/5 d, tada će drugi ugao biti jednak:
2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.
2. Vertikalni uglovi.
Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalne uglove. Na crtežu 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.
Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla nastavak stranica drugog ugla.
Neka / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). Pored njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, odnosno 1 1/8 d.
Na isti način možete izračunati koliko su jednaki /
3 i /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Slika 77).
Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.
Možete riješiti još nekoliko istih problema i svaki put ćete dobiti isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.
Međutim, da bismo bili sigurni da su vertikalni uglovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.
Valjanost svojstava vertikalnih uglova potrebno je provjeriti rasuđivanjem, dokazivanjem.
Dokaz se može izvesti na sledeći način (slika 78):
/
a +/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(pošto je zbir susjednih uglova 2 d).
/ a +/ c = / b+/ c
(pošto je i lijeva strana ove jednakosti jednaka 2 d, a njegova desna strana je također jednaka 2 d).
Ova jednakost uključuje isti ugao With.
Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, tada će ostati jednaki iznosi. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.
Kada smo razmatrali pitanje vertikalnih uglova, prvo smo objasnili koji se uglovi nazivaju vertikalnim, tj. definicija vertikalni uglovi.
Zatim smo donijeli sud (tvrdnju) o jednakosti vertikalnih uglova i kroz dokaz se uvjerili u valjanost ovog suda. Takve presude, čija valjanost mora biti dokazana, nazivaju se teoreme. Dakle, u ovom dijelu smo dali definiciju vertikalnih uglova, te iznijeli i dokazali teoremu o njihovim svojstvima.
U budućnosti, prilikom proučavanja geometrije, stalno ćemo se morati susresti sa definicijama i dokazima teorema.
3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.
Na crtežu 79 /
1, /
2, /
3 i /
4 nalaze se na jednoj strani prave i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Zbir ovih uglova je puni ugao, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Vježbe.
1. Jedan od susjednih uglova je 0,72 d. Izračunajte ugao koji formiraju simetrale ovih susjednih uglova.
2. Dokazati da simetrale dva susedna ugla čine pravi ugao.
3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.
4. Koliko parova susjednih uglova ima na crtežu 81?
5. Može li se par susjednih uglova sastojati od dva oštra ugla? iz dva tupa ugla? iz pravog i tupog ugla? iz pravog i oštrog ugla?
6. Ako je jedan od susjednih uglova pravi, šta se onda može reći o veličini ugla koji se nalazi na njemu?
7. Ako je u preseku dve prave jedan ugao pravi, šta se onda može reći o veličini ostala tri ugla?