odgovor: Hiperboličke funkcije - porodica elementarne funkcije izraženo eksponencijalno i blisko povezano sa trigonometrijske funkcije. Hiperboličke funkcije uveo je Vincenzo Riccati 1757. (Opusculorum, tom I). Dobio ih je razmatranjem jedne hiperbole.
Dalje istraživanje svojstava hiperboličkih funkcija proveo je Lambert. Hiperboličke funkcije se često susreću u proračunu različitih integrala. Neki integrali iz racionalne funkcije i od funkcija koje sadrže radikale prilično je lako izvesti putem promjena varijabli koristeći hiperboličke funkcije. Izvode hiperboličkih funkcija je lako pronaći jer su hiperboličke funkcije kombinacije.Na primjer, hiperbolički sinus i kosinus su definirani kao 
Izvodi ovih funkcija imaju oblik 
Hiperboličke funkcije su date sljedećim formulama: 1) hiperbolički sinus: 
(v strane književnosti označeno sinx); 2) hiperbolički kosinus: 
(u stranoj literaturi označava se kao cosx); 3) hiperbolička tangenta: 
(u stranoj literaturi se označava kao tanx); 4) hiperbolički kotangens: 
; 5) hiperbolički sekans i kosekant: 
Geometrijska definicija: U pogledu odnosa, hiperboličke funkcije daju parametarski prikaz hiperbole. U ovom slučaju, argument je t=2S, gdje je S površina krivolinijskog trokuta OQR, uzeta sa " +” znak ako sektor leži iznad ose OX, i “−” u suprotnom slučaju. Ova definicija je analogna definiciji trigonometrijskih funkcija u terminima jedinične kružnice, koja se također može konstruirati na sličan način. Veza sa trigonometrijskim funkcijama: Hiperboličke funkcije se izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija imaginarnog argumenta. Analitička svojstva: Hiperbolički sinus i hiperbolički kosinus su analitički u cijeloj kompleksnoj ravni, osim suštinske singularne tačke u beskonačnosti.
Tabela izvedenica.
odgovor:
Tabela derivata (koja nam je uglavnom potrebna): 
46) Izvod funkcije je zadan parametarski.
odgovor:
Neka je data ovisnost dvije varijable x i y o parametru t koji varira unutar od. Neka funkcija ima inverznu vrijednost: 
Tada možemo, uzimajući kompoziciju funkcija 
dobiti y ovisnost o x: 
Ovisnost vrijednosti y od vrijednosti x, data parametarski, može se izraziti u terminima izvoda funkcija jer i, prema formuli za izvod inverzne funkcije, 
gdje je vrijednost parametra pri kojem dobijamo vrijednost x koja nas zanima pri izračunavanju izvoda. Imajte na umu da nas primjena formule vodi do odnosa između, opet izraženog kao parametarski odnos: 
druga od ovih relacija je ista kao ona uključena u parametarsku specifikaciju funkcije y(x) . Unatoč činjenici da derivacija nije eksplicitno izražena u smislu ovoga, to nas ne sprječava da rješavamo probleme vezane za pronalaženje izvoda pronalaženjem odgovarajuće vrijednosti parametra t. Pokažimo to na sljedećem primjeru. Primjer 4.22: Neka ovisnost između x i y bude data parametarski sljedećim formulama: Nađimo jednadžbu tangente na graf ovisnosti y(x) u tački Vrijednosti se dobijaju ako uzmemo t=1. Nađimo izvode x i y u odnosu na parametar t: Dakle 
Na t=1 dobijamo vrijednost izvoda, ova vrijednost postavlja nagib k željene tangente. Koordinate 
dodirne tačke su navedene u izjavi o problemu. Dakle, jednadžba tangente je sljedeća: Imajte na umu da na osnovu dobijene parametarske zavisnosti možemo pronaći drugi izvod funkcije y u odnosu na varijablu x: 
Referentni podaci o hiperboličkim funkcijama. Definicije, grafovi i svojstva hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Formule za zbrojeve, razlike i proizvode. Derivati, integrali, proširenja nizova. Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija.
Definicije hiperboličkih funkcija, njihovi domeni definicija i vrijednosti
sh x - hiperbolički sinus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - hiperbolički kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - hiperbolički tangent
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - hiperbolički kotangens
X≠ 0; y< -1 или y > +1 .
Grafovi hiperboličkih funkcija
Grafikon hiperboličkog sinusa y = sh x
Dijagram hiperboličkog kosinusa y = ch x
Dijagram hiperboličke tangente y= hvala
Grafikon hiperboličkog kotangensa y= cth x
Formule s hiperboličkim funkcijama
Veza sa trigonometrijskim funkcijama
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = - 1
.
Primjenom ovih formula na trigonometrijske funkcije dobijamo formule koje se odnose na hiperboličke funkcije.
Paritet
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkcija ch(x)- čak. Funkcije sh(x), hvala), cth(x)- čudno.
Razlika kvadrata
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Formule za zbir i razliku argumenata
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Formule za proizvode hiperboličkog sinusa i kosinusa
,
,
,
,
,
.
Formule za zbir i razliku hiperboličkih funkcija
,
,
,
,
.
Odnos hiperboličkog sinusa i kosinusa sa tangentom i kotangensom
,
,
,
.
Derivati
,
Integrali od sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Proširenja u serije
sh x
ch x
hvala
cth x
Inverzne funkcije
Areasine
Na - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacosine
At 1 ≤ x< ∞
i 0 ≤ y< ∞
postoje formule:
,
.
Druga grana areakosinusa nalazi se na 1 ≤ x< ∞
i - ∞< y ≤ 0
:
.
Areatangent
u - 1
< x < 1
i - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areacotangent
Na - ∞< x < - 1
ili 1
< x < ∞
i y ≠ 0
postoje formule:
,
.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
Hiperboličke funkcije se nalaze u mehanici, elektrotehnici i drugim tehničkim disciplinama. Mnoge formule za hiperboličke funkcije slične su formulama za trigonometrijske funkcije, osim svojstva ograničenosti.
| № | Funkcija | Ime | Derivat  |
| 1. |  | hiperbolički sinus |  |
| 2. |  | hiperbolički kosinus |  |
| 3. |  | hiperbolička tangenta |  |
| 4. |  | hiperbolički kotangens |  |
Formule za hiperboličke funkcije
1. 
.
Dokaz. Uzmite u obzir željenu razliku
. .
Dokaz. Razmotrite proizvod
.
Razmotrite proizvod 
.
Dodajemo dva proizvoda i dajemo slične:
Povezujući početak i kraj, dobijamo traženu jednakost: .
Postoje mnoga druga svojstva hiperboličkih funkcija slična svojstvima trigonometrijskih funkcija, a koja se na sličan način dokazuju.
Dokažimo formule za izvode hiperboličkih funkcija.
1. Razmotrite hiperbolički sinus 
.
Prilikom pronalaženja derivacije konstantu uzimamo iz predznaka izvoda. Zatim, primjenjujemo svojstvo izvoda razlike dvije funkcije i . Izvod funkcije nalazimo iz tabele derivacija: 
. Tražimo derivaciju funkcije kao derivaciju složena funkcija 
.
Dakle, derivat 
.
Povezujući početak i kraj, dobijamo traženu jednakost: 
.
2. Razmotrimo hiperbolički kosinus .
U potpunosti primjenjujemo prethodni algoritam, samo umjesto svojstva na derivaciju razlike dvije funkcije koristimo svojstvo na derivaciju zbira ove dvije funkcije. 
.
Povezujući početak i kraj, dobijamo traženu jednakost: 
.
3. Razmotrite hiperboličku tangentu .
Izvod nalazimo prema pravilu za nalaženje izvoda razlomka.
4. Derivat hiperboličkog kotangensa
može se naći kao derivat kompleksne funkcije 
.
Povezujući početak i kraj, dobijamo traženu jednakost: 
.
Funkcijski diferencijal
Neka funkcija 
je diferencibilan u tački , tada se njegov prirast ove funkcije u tački , koji odgovara inkrementu argumenta , može predstaviti kao
gdje je neki broj koji ne ovisi o , i funkcija je argumenta , koji je beskonačno mali na 
.
Dakle, inkrement funkcije je zbir dva infinitezimalna člana 
i 
. Pokazalo se da je drugi mandat 
je infinitezimalna funkcija višeg reda od tj. (vidi 8.1). Dakle, prvi mandat 
je glavni linearni dio inkrementa funkcije . U napomeni 8.1. dobija se druga formula (8.1.1) za prirast funkcije , i to: . (8.1.1)
Definicija 8.3 Diferencijal funkcije na tački se zove dom linearni dio njegov prirast, jednak proizvodu derivacije 
u ovom trenutku proizvoljnim povećanjem argumenta , i označava se (ili 
):
(8.4)
Funkcijski diferencijal takođe pozvan diferencijal prvog reda.
Diferencijal nezavisne varijable je bilo koji broj nezavisan od . Najčešće se kao ovaj broj uzima prirast varijable, tj. 
. Ovo se slaže s pravilom (8.4) za pronalaženje diferencijala funkcije
Razmotrite funkciju 
i pronađite njegov diferencijal.
Jer derivat 
. Tako smo dobili: 
i diferencijalna funkcija može se pronaći pomoću formule
. (8.4.1)
Napomena 8.7. Iz formule (8.4.1) slijedi da. 
Dakle, notacija se može shvatiti ne samo kao notacija za derivaciju 
, ali i kao omjer diferencijala zavisnih i nezavisnih varijabli.
8.7. Geometrijsko značenje diferencijala funkcije
Neka je graf funkcije 
nacrtana (vidi sliku 8.1) tangenta . Dot 
je na grafu funkcije i ima apscisu - . Dajemo proizvoljan prirast tako da je tačka 
nije izvan opsega funkcije .
Slika 8.1 Slika grafa funkcije
Tačka ima koordinate 
. Odjeljak 
. Tačka leži na tangenti na graf funkcije i ima apscisu . Od pravougaonika 
slijedi da je , gdje je kut kut između pozitivnog smjera osi i tangente nacrtane na graf funkcije u tački . Po definiciji diferencijala funkcija i geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački , zaključujemo da 
. Na ovaj način, geometrijskom smislu diferencijalna funkcija leži u činjenici da je diferencijal povećanje ordinate tangente na graf funkcije u tački .
Napomena 8.8. Diferencijal i prirast za proizvoljnu funkciju U opštem slučaju, razlika između inkrementa i diferencijala funkcije je beskonačno mali red manje od inkrementa argumenta. Iz definicije 8.1 slijedi da 
, tj. 
.
Na slici 8.1, tačka leži na grafu funkcije i ima koordinate 
. Odjeljak .
Na slici 8.1, nejednakost 
, tj. 
. Ali postoje slučajevi kada je istinita suprotna nejednakost 
. Ovo je urađeno za linearna funkcija i za konveksnu funkciju prema gore.
Date su definicije inverznih hiperboličkih funkcija i njihovi grafovi. Kao i formule koje povezuju inverzne hiperboličke funkcije - formule za zbrojeve i razlike. Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija. Derivati, integrali, proširenja nizova.
Definicije inverznih hiperboličkih funkcija, njihovi domeni definicija i vrijednosti
arsh x - inverzni hiperbolički sinus
Inverzni hiperbolički sinus (areasin), je inverzna funkcija hiperboličkog sinusa ( x= sh y) , s domenom -∞< x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .
Površinski sinus se striktno povećava na cijeloj brojevnoj osi.
arch x - inverzni hiperbolički kosinus
Inverzni hiperbolički kosinus (areakosinus), je inverzna funkcija hiperboličkog kosinusa ( x= ch y) , koji ima domenu definicije 1 ≤ x< +∞ i mnoge vrijednosti 0 ≤ y< +∞ .
Arekosinus se striktno povećava u svom domenu definicije.
Druga grana areakosinusa je također definirana za x ≥ 1
i nalazi se simetrično oko x-ose, - ∞< y ≤ 0
:
. Ona se striktno smanjuje na domenu definicije.
arth x - inverzni hiperbolički tangent
Inverzni hiperbolički tangent (areatangent), je inverzna funkcija hiperboličkog tangenta ( x= thy) , koji ima domenu definicije - 1 < x < 1 i skup vrijednosti -∞< y < +∞ .
Tangenta površine se striktno povećava u svom domenu definicije.
arcth x - inverzni hiperbolički kotangens
Inverzni hiperbolički kotangens (areakotangens), je inverzna funkcija hiperboličkog kotangensa ( x= cth y) , koji ima domenu |x| > 1 i skup vrijednosti y ≠ 0 .
Arekotangens se striktno smanjuje u svom domenu definicije.
Grafikon inverznog hiperboličkog sinusa (areasin) y = arsh x
Grafikon inverznog hiperboličkog kosinusa (areakosinus) y = luk x , x ≥ 1
Isprekidana linija pokazuje drugu granu arekosinusa.
Grafikon inverzne hiperboličke tangente (areatangenta) y = arth x , |x|< 1
Grafikon inverznog hiperboličkog kotangensa (areakotangensa) y = arcth x , |x| > 1
Formule s inverznim hiperboličkim funkcijama
Veza sa trigonometrijskim funkcijama
Arsh iz = i Arcsin z;
Arch z = i Arccos z;
Arcsin iz = i Arsh z;
Arccos z = - i Arch z;
Arth iz = i Arctg z;
Arcth iz = - i Arcctg z;
Arctg iz = i Arth z;
Arcctg iz = - i Arcth z;
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = - 1
.
Paritet
arsh(-x) = - arsh x;
arch(-x) ≠ arch x;
arth(-x) = - arth x;
arcth(-x) = - arcth x.
Funkcije arsh(x), arth(x), arcth(x)- čudno. Funkcija luk (x)- nije paran ili neparan.
Formule odnosa za inverzne hiperboličke sinuse kroz tangente i kosinuse kroz kotangense
;
;
;
.
Formule zbira i razlike
;
;
;
.
Derivati inverznih hiperboličkih funkcija
;
.
Integrali arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Da bismo izračunali integral hiperboličkog inverznog sinusa, pravimo supstituciju x = sh t i integrirati po dijelovima:
.
arch x
Slično, za hiperbolički arc kosinus. Napravimo zamjenu x = ch t i integrirati po dijelovima, uzimajući u obzir da je t ≥ 0
:
.
arth x
Napravimo zamjenu x = th t i integrirati po dijelovima:
;
;
;
.
arcth x
Slično, dobijamo:
.
Proširenja u serije
arsh x
Za |x|< 1
arth x
Za |x|< 1
odvija se sljedeća razgradnja:
arcth x
Za |x| > 1
odvija se sljedeća razgradnja:
Inverzne funkcije
Hiperbolički sinus
Na - ∞< y < ∞
и - ∞ < x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hiperbolički kosinus
At 1 ≤ y< ∞
i 0 ≤ x< ∞
postoje formule:
,
.
Hiperbolički tangent
u - 1
< y < 1
i - ∞< x < ∞
имеют место формулы:
,
.
Hiperbolički kotangens
Na - ∞< y < - 1
ili 1
< y < ∞
i x ≠ 0
postoje formule:
,
.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.