čak, ako je za sve \(x\) iz njegove domene istina: \(f(-x)=f(x)\) .
Graf parne funkcije je simetričan oko ose \(y\):
Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). odd, ako je za sve \(x\) iz njegove domene istina: \(f(-x)=-f(x)\) .
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:
Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu ni parne ni neparne nazivaju se funkcijama opšti pogled. Takva funkcija se uvijek može jedinstveno predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.
Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbir parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne funkcije \(f_2=-x\).
\(\crni trougao desno\) Neke nekretnine:
1) Umnožak i količnik dvije funkcije istog pariteta je parna funkcija.
2) Proizvod i količnik dvije funkcije različitog pariteta - neparna funkcija.
3) Zbir i razlika parnih funkcija je parna funkcija.
4) Zbir i razlika neparnih funkcija je neparna funkcija.
5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, onda jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ima jedinstveni korijen ako i samo ako, kada \(x =0\) .
6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednadžba \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\) , tada će ova jednadžba nužno imati drugi korijen \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) se naziva periodičnom na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) imamo \(f(x)=f(x+) T) \) , gdje je \(x, x+T\u X\) . Najmanji \(T\) , za koji ova jednakost vrijedi, naziva se glavnim (osnovnim) periodom funkcije.
At periodična funkcija bilo koji broj oblika \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti tačka.
Primjer: bilo koji trigonometrijska funkcija je periodičan;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je \(2\pi\) , za funkcije \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavni period je \(\pi\) .
Da biste nacrtali periodičnu funkciju, možete nacrtati njen graf na bilo kojem segmentu dužine \(T\) (glavni period); tada se graf cijele funkcije dovršava pomicanjem izgrađenog dijela za cijeli broj tačaka udesno i ulijevo:
\(\blacktriangleright\) Domen \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (definisano).
Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in
Zadatak 1 #6364
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Za koje vrijednosti parametra \(a\) jednačina
ima jedinstveno rješenje?
Imajte na umu da pošto su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednačina ima korijen \(x_0\) , ona će također imati korijen \(-x_0\) .
Zaista, neka je \(x_0\) korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) u pravu. Zamjena \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednačina već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . onda:
Dobili smo dvije vrijednosti parametra \(a\) . Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) upravo korijen originalne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga je potrebno zamijeniti rezultirajuće vrijednosti parametra \(a\) u originalnu jednadžbu i provjeriti za koje će točno \(a\) korijen \(x=0\) zaista biti jedinstven.
1) Ako je \(a=0\), tada će jednačina imati oblik \(2x^2=0\) . Očigledno, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Dakle, vrijednost \(a=0\) nam odgovara.
2) Ako je \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada jednačina poprima oblik \ Prepisujemo jednačinu u formu \ Jer \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), onda \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dakle, vrijednosti desne strane jednačine (*) pripadaju segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednačine (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Dakle, jednakost (*) može vrijediti samo kada su obje strane jednačine jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znači to \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(case)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).
odgovor:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Zadatak 2 #3923
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je graf funkcije \
simetrično u odnosu na porijeklo.
Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, onda je takva funkcija neparna, to jest, \(f(-x)=-f(x)\) je zadovoljena za bilo koje \(x\) iz domena funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje je \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(poravnano) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(poravnano)\]
Posljednja jednadžba mora vrijediti za sve \(x\) iz domene \(f(x)\) , stoga \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
odgovor:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Zadatak 3 #3069
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednačina \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijeloj realnoj liniji , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Zadatak od pretplatnika)
Budući da je \(f(x)\) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na y-os, dakle, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Dakle, kod \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a ovo je segment dužine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .
1) Neka \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako: 
Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi kroz tačku \(A\) : 
shodno tome, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( okupio)\desno.\] Pošto \(a>0\) , onda je \(a=\dfrac(18)(23)\) u redu.
2) Neka \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Potreban nam je graf \(g(x)\) da prođe kroz tačku \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno.\] Pošto \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Slučaj kada \(a=0\) nije prikladan, jer tada \(f(x)=0\) za sve \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i jednačina će imati samo 1 korijen.
odgovor:
\(a\in \lijevo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)
Zadatak 4 #3072
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \
ima barem jedan korijen.
(Zadatak od pretplatnika)
Prepisujemo jednačinu u formu \
i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna, ima minimalnu tačku \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Zaista, za \(x>0\) drugi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\) ), stoga, bez obzira na to kako se prvi modul širi, \(f(x)\) će biti jednako \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je jednako ili \(-9\) ili \(-3\) . Za \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Pronađite vrijednost \(f\) u maksimalnoj tački: \ 
Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu presječnu točku. Stoga vam je potrebno: \ \\]
odgovor:
\(a\u \(-7\)\šolja\)
Zadatak 5 #3912
Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu
Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \
ima šest različitih rješenja.
Napravimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednačina poprimiti oblik \
Postepeno ćemo ispisivati uslove pod kojima će originalna jednačina imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Bilo koja kubna jednačina \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) može imati najviše tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, budući da \(t\) mora biti veći od nule) \(t_1\) i \(t_2\), tada, nakon što smo napravili obrnuto zamjenom, dobijamo: \[\left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(sakupljeno)\desno.\] Pošto se bilo koji pozitivan broj može predstaviti kao \(\sqrt2\) do određenog stepena, na primjer, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednačina skupa biti prepisana u obliku \
Kao što smo već rekli, svaka kubična jednadžba nema više od tri rješenja, dakle, svaka jednačina iz skupa neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli set neće imati više od šest rješenja.
To znači da da bi originalna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubična jednačina (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedne jednadžbe treba da se poklopi s kojom - ili odlukom druge!)
Očigledno, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja za originalnu jednačinu.
Dakle, plan rješenja postaje jasan. Hajde da napišemo uslove koji moraju biti ispunjeni tačku po tačku.
1) Da bi jednačina \((*)\) imala dva različita rješenja, njen diskriminanta mora biti pozitivna: \
2) Također trebamo da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je proizvod dva korijena pozitivan, a njihov zbir pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Dakle, već smo si dali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .
3)
Pogledajmo ovu jednačinu \
Za koji \(t\) će imati tri različita rješenja? Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednačine \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovo stanje? imao četiri različita korijena različita od nule, što predstavlja zajedno sa \(x=0\) aritmetičku progresiju. Imajte na umu da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) parna, pa ako je \(x_0\) korijen jednadžbe \((* )\ ) , tada će \(-x_0\) također biti njegov korijen. Tada je potrebno da korijeni ove jednadžbe budu brojevi poredani uzlaznim redoslijedom: \(-2d, -d, d, 2d\) (onda \(d>0\) ). Tada će ovih pet brojeva formirati aritmetičku progresiju (s razlikom \(d\)). Da bi ovi korijeni bili brojevi \(-2d, -d, d, 2d\), potrebno je da brojevi \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) budu korijeni jednadžba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Zatim prema Vietinoj teoremi: Prepisujemo jednačinu u formu \
i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, potrebno je da grafovi funkcija \(f\) i \(g\) imaju barem jednu presječnu točku. Stoga vam je potrebno: \
Rešavanjem ovog skupa sistema dobijamo odgovor: \\]
odgovor: \(a\u \(-2\)\šolja\) Konverzija grafikona. Verbalni opis funkcije. Grafički način. Grafički način specificiranja funkcije je najilustrativniji i često se koristi u inženjeringu. U matematičkoj analizi se kao ilustracija koristi grafički način specificiranja funkcija. Funkcija Graf f je skup svih tačaka (x; y) koordinatne ravni, gdje je y=f(x), a x "prolazi" kroz cijeli domen date funkcije. Podskup koordinatne ravni je graf neke funkcije ako ima najviše jednu zajedničku tačku sa bilo kojom linijom paralelnom sa Oy osom. Primjer. Da li su slike ispod grafikona funkcija? Prednost grafičkog zadatka je njegova jasnoća. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava, gdje smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije. Općenito, analitički i grafički načini definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad sa formulom pomaže u izgradnji grafikona. A grafikon često predlaže rješenja koja nećete primijetiti u formuli. Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koja smo upravo pokrili. Pokušajmo odgovoriti na pitanje: "Postoje li drugi načini za definiranje funkcije?" Postoji takav način. Funkcija se može sasvim nedvosmisleno definirati riječima. Na primjer, funkcija y=2x može se definirati sljedećim verbalnim opisom: svakoj realnoj vrijednosti argumenta x dodjeljuje se udvostručena vrijednost. Pravilo je postavljeno, funkcija je postavljena. Štaviše, moguće je verbalno specificirati funkciju, što je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, specificirati formulom. Na primjer: svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbirom cifara koje čine vrijednost x. Na primjer, ako je x=3, onda je y=3. Ako je x=257, onda je y=2+5+7=14. I tako dalje. Teško je to zapisati u formulu. Ali sto je lako napraviti. Metoda verbalnog opisa je prilično rijetko korištena metoda. Ali ponekad se to dogodi. Ako postoji zakon korespondencije jedan prema jedan između x i y, onda postoji funkcija. Koji zakon, u kom obliku je to izraženo - formulom, tablicom, grafikonom, riječima - ne mijenja suštinu stvari. Razmotrimo funkcije čiji su domeni definicije simetrični u odnosu na ishodište, tj. za bilo koga X izvan opsega broj (- X) također pripada domenu definicije. Među ovim funkcijama su paran i neparan. Definicija. Poziva se funkcija f čak, ako postoji X van svog domena Primjer. Razmotrite funkciju Ona je kvit. Hajde da to proverimo. Za bilo koga X jednakosti Dakle, oba uslova su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon ove funkcije. Definicija. Poziva se funkcija f odd, ako postoji X van svog domena Primjer. Razmotrite funkciju Ona je čudna. Hajde da to proverimo. Domen definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična u odnosu na tačku (0; 0). Za bilo koga X jednakosti Dakle, oba uslova su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon ove funkcije. Grafikoni prikazani na prvoj i trećoj slici su simetrični oko y-ose, a grafovi prikazani na drugoj i četvrtoj slici su simetrični u odnosu na ishodište. Koje od funkcija čiji su grafovi prikazani na slikama su parne, a koje neparne? Koje su vam u ovom ili onom stepenu bile poznate. Tamo je također napomenuto da će se zaliha svojstava funkcije postepeno popunjavati. U ovom odjeljku će se raspravljati o dvije nove nekretnine. Definicija 1. Funkcija y = f (x), x ê X, poziva se čak i ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X tačna jednakost f (-x) = f (x). Definicija 2. Funkcija y = f (x), x ê X, naziva se neparnom ako je za bilo koju vrijednost x iz skupa X tačna jednakost f (-x) = -f (x). Dokažite da je y = x 4 parna funkcija. Rješenje. Imamo: f (x) = x 4, f (-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4 . Dakle, za bilo koje x, jednakost f (-x) = f (x), tj. funkcija je parna. Slično, može se dokazati da su funkcije y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 parne. Dokažite da je y = x 3 neparna funkcija. Rješenje. Imamo: f (x) = x 3, f (-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3 . Dakle, za bilo koji x, jednakost f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcija je neparna. Slično, može se dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne. Vi i ja smo se više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju „zemaljsko“ porijeklo, tj. mogu se na neki način objasniti. Ovo je slučaj i za parne i neparne funkcije. Vidite: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y \u003d x "(u nastavku ćemo posebno proučavati ove funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, onda je funkcija y \u003d x " je čudno; ako je n paran broj, tada je funkcija y = xn paran. Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je, na primjer, funkcija y = 2x + 3. Zaista, f (1) = 5, i f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje Dakle, ni identitet f (-x ) \u003d f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x). Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna. Proučavanje pitanja da li je data funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanjem funkcije za paritet. Definicije 1 i 2 bave se vrijednostima funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u tački x i u tački -x. To znači da tačka -x pripada domenu funkcije u isto vrijeme kada i točka x. Ako numerički skup X zajedno sa svakim svojim elementom x sadrži suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok je : neka x 1a;b, a x 2a;b .
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se množiti: \
Prema tome, njegove nule su: \(x=-1;2\) .
Ako nađemo izvod \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije ekstremne točke \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Stoga graf izgleda ovako: 
Vidimo da je bilo koja horizontalna linija \(y=k\) , gdje je \(0
Dakle, potrebno vam je: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Odmah napomenimo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, onda će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti različite, pa jednačine \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) i \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imaće različite korene.
\((**)\) sistem se može prepisati ovako: \[\početak(slučajevi) 1
Nećemo eksplicitno pisati korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola sa granama prema gore, koja ima dvije točke sjecišta sa osom apscisa (ovaj uvjet smo napisali u pasusu 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf tako da su tačke presjeka sa osom apscise u intervalu \((1;4)\) ? dakle: 
Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u tačkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Dakle, sistem se može napisati: \[\begin(slučajevi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funkcija \(g(x)\) ima maksimalnu tačku \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Izvod nule: \(x=0\) . Za \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , za \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) raste, a za \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Zaista, za \(x>0\) prvi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\) ), stoga, bez obzira na to kako se širi drugi modul, \(f(x)\) će biti jednako \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je ili \(13-10=3\) ili \(13+10=23\) . Za \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Nađimo vrijednost \(f\) u minimalnoj tački: \
