T. Kosyakova,
škola br. 80, Krasnodar

Rješenje kvadratnih i razlomačno-racionalnih jednačina koje sadrže parametre

Lekcija 4

Tema lekcije:

Svrha lekcije: formirati sposobnost rješavanja frakciono-racionalnih jednačina koje sadrže parametre.

Vrsta lekcije: uvođenje novog materijala.

1. (Usmeno.) Riješite jednačine:

Primjer 1. Riješite jednačinu

Rješenje.

Pronađite nevažeće vrijednosti a:

Odgovori. Ako ako a = – 19 , onda nema korijena.

Primjer 2. Riješite jednačinu

Rješenje.

Pronađite nevažeće vrijednosti parametara a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovori. Ako a = 5 a № 5 , onda x=10– a .

Primjer 3. Na kojim vrijednostima parametra b jednačina Ima:

a) dva korena b) jedini korijen?

Rješenje.

1) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ili b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ili b = – 2.

2) Riješite jednačinu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Isključujući nevažeće vrijednosti parametara b , dobijamo da jednačina ima dva korijena, ako b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ali ovo je nevažeća vrijednost parametra b ; ako b 2 –1=0 , tj. b=1 ili.

Odgovor: a) ako b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , zatim dva korijena; b) ako b=1 ili b=-1 , tada jedini korijen.

Samostalan rad

Opcija 1

Riješite jednačine:

Opcija 2

Riješite jednačine:

Odgovori

U 1. i ako a=3 , tada nema korijena; ako b) ako ako a № 2 , onda nema korijena.

U 2. Ako a=2 , tada nema korijena; ako a=0 , tada nema korijena; ako
b) ako a=– 1 , tada jednačina gubi smisao; ako tada nema korijena;
ako

Domaći zadatak.

Riješite jednačine:

Odgovori: a) Ako a № –2 , onda x= a ; ako a=–2 , onda nema rješenja; b) ako a № –2 , onda x=2; ako a=–2 , onda nema rješenja; c) ako a=–2 , onda x- bilo koji broj osim 3 ; ako a № –2 , onda x=2; d) ako a=–8 , tada nema korijena; ako a=2 , tada nema korijena; ako

Lekcija 5

Tema lekcije:"Rješenje frakciono-racionalnih jednačina koje sadrže parametre".

Ciljevi lekcije:

učenje rješavanja jednačina sa nestandardnim uslovom;
svjesno usvajanje od strane studenata algebarskih pojmova i odnosa među njima.

Vrsta lekcije: sistematizacija i generalizacija.

Provjera domaćeg.

Primjer 1. Riješite jednačinu

a) u odnosu na x; b) u odnosu na y.

Rješenje.

a) Pronađite nevažeće vrijednosti y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– nevažeća vrijednost parametra y.

Ako y№ 0 , onda x=y-2; ako y=0, tada jednačina gubi smisao.

b) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nevažeća vrijednost parametra x; y(2+x-y)=0, y=0 ili y=2+x;

y=0 ne zadovoljava uslov y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) ako y=0, tada jednačina gubi smisao; ako y№ 0 , onda x=y-2; b) ako x=0 x№ 0 , onda y=2+x .

Primjer 2. Za koje su cjelobrojne vrijednosti parametra a korijeni jednadžbe pripadaju intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ako a № 0 ili a № – 1 , onda

odgovor: 5 .

Primjer 3. Pronađi relativno x cjelokupna rješenja jednadžbe

Odgovori. Ako y=0, onda jednačina nema smisla; ako y=–1, onda x- bilo koji cijeli broj osim nule; ako y# 0, y# – 1, onda nema rješenja.

Primjer 4 Riješite jednačinu sa parametrima a i b .

Ako a№ – b , onda

Odgovori. Ako a= 0 ili b= 0 , tada jednačina gubi smisao; ako a№ 0,b№ 0, a=-b , onda x- bilo koji broj osim nule; ako a№ 0,b№ 0,a№ -b onda x=-a, x=-b .

Primjer 5. Dokažite da je za bilo koju vrijednost parametra n različitu od nule jednačina ima jedan korijen jednak – n .

Rješenje.

tj. x=-n, što je trebalo dokazati.

Domaći zadatak.

1. Naći cjelokupna rješenja jednačine

2. Na kojim vrijednostima parametra c jednačina Ima:
a) dva korena b) jedini korijen?

3. Pronađite sve cjelobrojne korijene jednadžbe ako a O N .

4. Riješite jednačinu 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativno y; b) relativno x .

1. Jednačinu zadovoljavaju bilo koje cjelobrojne jednake vrijednosti x i y osim nule.
2. a) Kada
b) na ili
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ako tada nema korijena; ako
b) ako tada nema korijena; ako

Test

Opcija 1

1. Odredite vrstu jednačine 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 u: a) c=-3; b) c=2 ; v) c=4 .

2. Riješite jednačine: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; v)

3. Riješite jednačinu 3x-xy-2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti b radi jednačina Ima:

a) dva korena
b) jedini korijen?

Opcija 2

1. Odredite vrstu jednačine 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 u: a) c=-4 ; b) c=7 ; v) c=1 .

2. Riješite jednačine: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; v)

3. Riješite jednačinu 6x-xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno y .

4. Pronađite cjelobrojne korijene jednadžbe nx 2 -22x+2n=0 , znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti parametra a jednačina Ima:

a) dva korena
b) jedini korijen?

Odgovori

U 1. 1. a) Linearna jednačina;
b) nepotpuna kvadratna jednačina; c) kvadratna jednačina.
2. a) Ako b=0, onda x=0; ako b#0, onda x=0, x=b;
b) ako cO (9;+Ґ ), tada nema korijena;
c) ako a=–4 , tada jednačina gubi smisao; ako a№ –4 , onda x=- a .
3. a) Ako y=3, tada nema korijena; ako);
b) a=–3, a=1.

Dodatni zadaci

Riješite jednačine:

Književnost

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrima od samog početka. - Tutor, br. 2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Potrebni uslovi u zadacima sa parametrima. – Kvant, br. 11/1991, str. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rješavanje problema, koji sadrži parametre. Dio 2. - M., Perspektiva, 1990, str. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Pet stotina četrnaest zadataka sa parametrima. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Zadaci sa parametrima. - M., Prosveta, 1986.

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Nastavljamo da savladavamo jednačine. Već znamo kako se radi sa linearnim i kvadratnim jednačinama. Ostaje posljednji pogled frakcione jednačine . Ili se nazivaju i mnogo solidnijim - frakcione racionalne jednadžbe. Ovo je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Da vas podsjetim, ako samo u nazivnicima brojevi, ovo su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcione jednačine? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo šta da radimo... U nekim slučajevima, može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netačan izraz, kao što je 7=2. Ali to se retko dešava. U nastavku ću to spomenuti.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjena svih istih identičnih transformacija.

Moramo pomnožiti cijelu jednačinu istim izrazom. Tako da se svi imenioci smanjuju! Sve će odmah postati lakše. Objašnjavam na primjeru. Recimo da trebamo riješiti jednačinu:

Kako su ih učili u osnovnoj školi? Sve prenosimo u jednom pravcu, svodimo na zajednički imenilac itd. Zaboravi kako noćna mora! Ovako to radite kada zbrajate ili oduzimate frakcioni izrazi. Ili radite sa nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo oba dijela izrazom koji će nam dati priliku da sve imenioce svedemo (tj. u suštini, zajedničkim nazivnikom). A koji je ovo izraz?

Na lijevoj strani, da biste smanjili nazivnik, trebate pomnožiti sa x+2. A na desnoj strani je potrebno množenje sa 2. Dakle, jednačina se mora pomnožiti sa 2(x+2). množimo:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću detaljno napisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagrade. (x + 2)! Dakle, pišem u celosti:

Na lijevoj strani je u potpunosti smanjen (x+2), a u desnom 2. Po potrebi! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednadžba:

Ovu jednačinu može riješiti svako! x = 2.

Hajde da riješimo još jedan primjer, malo kompliciraniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1 se može napisati:

I opet se oslobađamo onoga što nam se baš i ne sviđa - od razlomaka.

Vidimo da je za smanjenje nazivnika sa x potrebno razlomak pomnožiti sa (x - 2). A jedinice nam nisu smetnja. Pa, hajde da množimo. Sve lijevoj strani i sve desna strana:

Opet zagrade (x - 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom, kao da je jedan broj! To se uvijek mora raditi, inače se ništa neće smanjiti.

Sa osećajem dubokog zadovoljstva presecamo (x - 2) i dobijamo jednačinu bez razlomaka, u ravnalu!

A sada otvaramo zagrade:

Dajemo slične, prebacimo sve na lijevu stranu i dobijemo:

Ali prije toga ćemo naučiti rješavati druge probleme. Za kamatu. Usput, te grabulje!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Same jednadžbe sa razlomcima nisu teške i vrlo zanimljive. Razmotrite vrste frakcijskih jednadžbi i načine za njihovo rješavanje.

Kako riješiti jednadžbe sa razlomcima - x u brojiocu

Ako je data jednadžba razlomaka, gdje je nepoznata u brojniku, rješenje ne zahtijeva dodatne uslove i rješava se bez ekstra gnjavaža. Opšti oblik takva jednačina je x/a + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b i c su obični brojevi.

Pronađite x: x/5 + 10 = 70.

Da biste riješili jednačinu, morate se riješiti razlomaka. Pomnožite svaki član jednačine sa 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x i 5 se smanji, 10 i 70 se pomnože sa 5 i dobijemo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Pronađite x: x/5 + x/10 = 90.

Ovaj primjer je malo kompliciranija verzija prvog. Ovdje postoje dva rješenja.

• Opcija 1: Riješite se razlomaka množenjem svih članova jednadžbe sa većim nazivnikom, odnosno sa 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opcija 2: Dodajte lijevu stranu jednačine. x/5 + x/10 = 90. Zajednički nazivnik je 10. Podijelite 10 sa 5, pomnožite sa x, dobijamo 2x. 10 podeljeno sa 10, pomnoženo sa x, dobijamo x: 2x+x/10 = 90. Otuda 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Često postoje frakcijske jednačine u kojima su x na suprotnim stranama znaka jednakosti. U takvoj situaciji potrebno je sve razlomke sa x prenijeti u jednom smjeru, a brojeve u drugom.

• Pronađite x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Pomerite 2x/5 udesno sa suprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Smanjimo 5x/5 i dobijemo: x = 130.

Kako riješiti jednačinu sa razlomcima - x u nazivniku

Ova vrsta frakcionih jednačina zahteva pisanje dodatnih uslova. Navođenje ovih uslova je obavezan i sastavni dio ispravna odluka. Ako ih ne pripisujete, rizikujete, jer se odgovor (čak i ako je tačan) možda jednostavno neće računati.

Opšti oblik jednadžbi razlomaka, gdje je x u nazivniku, je: a/x + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b, c su obični brojevi. Imajte na umu da x ne može biti bilo koji broj. Na primjer, x ne može biti nula, jer se ne može podijeliti sa 0. Ovo je ono što je dodatni uslov, što moramo specificirati. To se zove područje dozvoljene vrijednosti skraćeno ODZ.

Pronađite x: 15/x + 18 = 21.

Odmah zapisujemo ODZ za x: x ≠ 0. Sada kada je ODZ naznačen, rješavamo jednačinu koristeći standardna šema osloboditi se razlomaka. Sve članove jednačine množimo sa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Često postoje jednadžbe u kojima nazivnik sadrži ne samo x, već i neku drugu operaciju s njim, kao što je sabiranje ili oduzimanje.

Pronađite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Već znamo da imenilac ne može biti jednak nuli, što znači x-3 ≠ 0. Prenosimo -3 na desnu stranu, a znak “-” mijenjamo u “+” i dobijamo da je x ≠ 3. ODZ je naznačeno.

Riješite jednačinu, pomnožite sve sa x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pomjerite x udesno, brojeve ulijevo: 24 = 3x => x = 8.

Prezentacija i lekcija na temu: "Racionalne jednadžbe. Algoritam i primjeri za rješavanje racionalnih jednačina"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 8. razred
Priručnik za udžbenik Makarychev Yu.N. Priručnik za udžbenik Mordkovich A.G.

Uvod u iracionalne jednadžbe

Ljudi, naučili smo da rešavamo kvadratne jednačine. Ali matematika nije ograničena na njih. Danas ćemo naučiti kako riješiti racionalne jednačine. Koncept racionalnih jednačina je na mnogo načina sličan konceptu racionalni brojevi. Samo pored brojeva, sada smo uveli i neku varijablu $x$. I tako dobijamo izraz u kojem postoje operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i podizanja na cijeli broj.

Neka je $r(x)$ racionalno izražavanje. Takav izraz može biti jednostavan polinom u varijabli $x$ ili omjer polinoma (uvodi se operacija dijeljenja, kao i za racionalne brojeve).
Poziva se jednačina $r(x)=0$ racionalna jednačina.
Bilo koja jednačina oblika $p(x)=q(x)$, gdje su $p(x)$ i $q(x)$ racionalni izrazi, također će biti racionalna jednačina.

Razmotrimo primjere rješavanja racionalnih jednačina.

Primjer 1
Riješite jednačinu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Rješenje.
Pomjerimo sve izraze na lijevu stranu: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kada bi obični brojevi bili predstavljeni na lijevoj strani jednačine, tada bismo dva razlomka doveli do zajedničkog nazivnika.
Uradimo ovo: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Dobili smo jednačinu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Razlomak je nula ako i samo ako je brojnik razlomka nula, a nazivnik nije nula. Zatim zasebno izjednačite brojilac sa nulom i pronađite korijene brojnika.
$3(x^2+2x-3)=0$ ili $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sada provjerimo nazivnik razlomka: $(x-3)*x≠0$.
Proizvod dva broja jednak je nuli kada je barem jedan od ovih brojeva jednak nuli. Zatim: $x≠0$ ili $x-3≠0$.
$x≠0$ ili $x≠3$.
Korijeni dobijeni u brojniku i nazivniku se ne poklapaju. Dakle, kao odgovor zapisujemo oba korijena brojila.
Odgovor: $x=1$ ili $x=-3$.

Ako se odjednom jedan od korijena brojnika poklopio s korijenom nazivnika, onda ga treba isključiti. Takvi korijeni se nazivaju stranim!

Algoritam za rješavanje racionalnih jednačina:

1. Premjestite sve izraze sadržane u jednadžbi lijevo od znaka jednakosti.
2. Pretvorite ovaj dio jednačine u algebarski razlomak: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Izjednačite rezultirajući brojnik sa nulom, odnosno riješite jednačinu $p(x)=0$.
4. Izjednačite nazivnik sa nulom i riješite rezultirajuću jednačinu. Ako se korijeni nazivnika poklapaju s korijenima brojnika, onda ih treba isključiti iz odgovora.

Primjer 2
Riješite jednačinu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Rješenje.
Riješit ćemo prema tačkama algoritma.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Izjednačite brojilac sa nulom: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Izjednačite imenilac sa nulom:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ i $x=-1$.
Jedan od korijena $x=1$ se poklopio sa korijenom brojilaca, tada ga ne zapisujemo kao odgovor.
Odgovor: $x=-1$.

Pogodno je rješavati racionalne jednačine metodom promjene varijabli. Hajde da to demonstriramo.

Primjer 3
Riješite jednačinu: $x^4+12x^2-64=0$.

Rješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x^2$.
Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:
$t^2+12t-64=0$ je obična kvadratna jednačina.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Hajde da uvedemo inverznu zamenu: $x^2=4$ ili $x^2=-16$.
Korijeni prve jednadžbe su par brojeva $x=±2$. Drugi nema korijena.
Odgovor: $x=±2$.

Primjer 4
Riješite jednačinu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Rješenje.
Hajde da uvedemo novu varijablu: $t=x^2+x+1$.
Tada će jednačina dobiti oblik: $t=\frac(15)(t+2)$.
Zatim ćemo djelovati prema algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - korijeni se ne poklapaju.
Uvodimo obrnutu zamjenu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Riješimo svaku jednačinu posebno:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne korijenje.
I druga jednačina: $x^2+x-2=0$.
Korijeni ove jednadžbe će biti brojevi $x=-2$ i $x=1$.
Odgovor: $x=-2$ i $x=1$.

Primjer 5
Riješite jednačinu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Rješenje.
Uvodimo zamjenu: $t=x+\frac(1)(x)$.
onda:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ili $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Dobili smo jednačinu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Korijeni ove jednadžbe su par:
$t=-3$ i $t=2$.
Hajde da uvedemo obrnutu zamenu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Odlučićemo posebno.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Rešimo drugu jednačinu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Koren ove jednačine je broj $x=1$.
Odgovor: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Zadaci za samostalno rješavanje

Riješite jednačine:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje ove jednačine. Ova metoda se koristi kada ne možete napisati datu jednačinu s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristite metodu unakrsnog množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka bolje je unakrsno množenje).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim nazivnikom.

• Ponekad je NOZ očigledan broj. Na primjer, ako je data jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, onda je očigledno da će najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 biti 6.
• Ako NOD nije očigledan, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i među njima pronađite onaj koji je također višekratnik ostalih nazivnika. Često možete pronaći NOD jednostavnim množenjem dva nazivnika zajedno. Na primjer, ako je data jednadžba x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOZ = 8*9 = 72.
• Ako jedan ili više nazivnika sadrže varijablu, tada je proces nešto složeniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOZ je izraz (koji sadrži varijablu) koji je djeljiv sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednačini 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz djeljiv sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite i brojilac i imenilac svakog razlomka brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOZ-a odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Pošto množite i brojilac i imenilac istim brojem, efektivno množite razlomak sa 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

• Dakle, u našem primjeru, pomnožite x/3 sa 2/2 da biste dobili 2x/6, i pomnožite 1/2 sa 3/3 da biste dobili 3/6 (3x + 1/6 ne treba množiti jer je imenilac 6).
• Postupite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru NOZ = 3x(x-1), tako da je 5/(x-1) puta (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x puta 3(x-1)/3(x-1) da biste dobili 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnožite sa (x-1)/(x-1) i dobijete 2(x-1)/3x(x-1).

Pronađite x. Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednačine zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite rezultirajuću jednačinu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednačine.

• U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete dodati 2 razlomka sa isti imenilac, pa zapišite jednačinu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednačine sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobijete x = 2.
• U našem drugom primjeru (sa varijablom u nazivniku), jednačina izgleda ovako (nakon redukcije na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe sa NOZ-om, riješite se nazivnika i dobijete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

Povratak