Kod rješavanja nekih geometrijskih zadataka metodom koordinata potrebno je pronaći koordinate tačke preseka pravih linija. Najčešće je potrebno tražiti koordinate presečne tačke dve prave na ravni, ali ponekad postaje neophodno odrediti koordinate presečne tačke dve prave u prostoru. U ovom članku ćemo samo shvatiti kako pronaći koordinate tačke u kojoj se sijeku dvije prave.
Navigacija po stranici.
Presjek dvije prave - definicija.
Počnimo sa definisanjem tačke preseka dve prave.
U odeljku o relativnom položaju pravih na ravni, pokazano je da se dve prave na ravni mogu ili poklapati (i imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka), ili biti paralelne (dok dve prave nemaju zajedničke tačke), ili seku, imaju jednu zajedničku tačku. Opcije međusobno raspoloženje u prostoru postoje još dvije prave - mogu se poklapati (imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka), mogu biti paralelne (tj. ležati u istoj ravni i ne sijeku se), mogu se sijeći (ne ležati u istoj ravni ), a mogu imati i jednu zajedničku tačku, odnosno sjeći se. Dakle, dvije prave i na ravni i u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako imaju jednu zajedničku tačku.
Definicija linija koje se seku implicira definicija tačke preseka pravih: Tačka u kojoj se dvije prave seku naziva se tačka preseka ovih pravih. Drugim rečima, jedina zajednička tačka dveju pravih koje se seku je tačka preseka ovih pravih.
Radi jasnoće dajemo grafičku ilustraciju tačke preseka dve prave na ravni i u prostoru.
Povratak na vrh stranice
Pronalaženje koordinata presečne tačke dve prave na ravni.
Prije pronalaženja koordinata točke presjeka dvije prave na ravni koristeći njihove dobro poznate jednačine, razmotrite pomoćni problem.
Oxy a i b... Pretpostavićemo da je prava linija a odgovara opštoj jednačini prave i prave linije b- vrste. Neka je neka tačka ravni, a potrebno je da se sazna da li je tačka M 0 tačka preseka datih pravih.
Hajde da rešimo problem.
Ako M 0 a i b, tada po definiciji pripada pravoj liniji a i ravno b, odnosno njegove koordinate moraju zadovoljiti i jednadžbu i jednačinu. Stoga moramo zamijeniti koordinate tačke M 0 u jednačine datih pravih i vidjeti da li to rezultira dvije istinite jednakosti. Ako su koordinate tačke M 0 zadovoljavaju obje jednačine i, tada je tačka presjeka pravih a i b, inače M 0 .
To je poenta M 0 sa koordinatama (2, -3) tačka preseka linija 5x-2y-16 = 0 i 2x-5y-19 = 0?
Ako M 0 je zaista tačka preseka datih pravih, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačine pravih. Provjerimo ovo zamjenom koordinata tačke M 0 u date jednačine:
Dakle, dobili smo dve tačne jednakosti, M 0 (2, -3)- tačka preseka linija 5x-2y-16 = 0 i 2x-5y-19 = 0.
Radi jasnoće predstavljamo crtež, koji prikazuje prave linije i vidljive su koordinate tačke njihovog presjeka.
da tačka M 0 (2, -3) je tačka preseka linija 5x-2y-16 = 0 i 2x-5y-19 = 0.
Da li se linije seku 5x + 3y-1 = 0 i 7x-2y + 11 = 0 u tački M 0 (2, -3)?
Zamijenite koordinate tačke M 0 u jednačine pravih, ovom radnjom ćemo provjeriti da li je tačka M 0 oba direktna u isto vrijeme:
Od druge jednadžbe, prilikom zamjene koordinata tačke u nju M 0 nije se pretvorilo u istinsku jednakost, onda poenta M 0 ne pripada direktnom 7x-2y + 11 = 0... Iz ove činjenice može se zaključiti da je tač M 0 nije presečna tačka datih linija.
Crtež takođe jasno pokazuje da je poenta M 0 nije tačka preseka linija 5x + 3y-1 = 0 i 7x-2y + 11 = 0... Očigledno da se date prave seku u tački sa koordinatama (-1, 2) .
M 0 (2, -3) nije tačka preseka linija 5x + 3y-1 = 0 i 7x-2y + 11 = 0.
Sada možete preći na problem pronalaženja koordinata tačke preseka dve prave linije prema datim jednačinama pravih linija na ravni.
Neka pravougaonik kartezijanski sistem koordinate Oxy i date su dvije linije koje se seku a i b jednačine i, respektivno. Označimo točku preseka datih pravih kao M 0 i riješite sljedeći zadatak: nađite koordinate presečne tačke dve prave a i b prema poznatim jednačinama ovih linija i.
Dot M 0 pripada svakoj od linija koje se seku a i b po definiciji. Zatim koordinate tačke preseka pravih linija a i b zadovoljiti i jednačinu i jednačinu u isto vrijeme. Dakle, koordinate tačke preseka dve prave a i b su rješenje sistema jednačina (vidi članak Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina).
Dakle, pronaći koordinate presečne tačke dve prave linije definisane na ravni opšte jednačine, potrebno je riješiti sistem sastavljen od jednačina datih pravih linija.
Razmotrimo rješenje na primjeru.
Naći presječnu točku dvije prave definirane u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni jednadžbama x-9y + 14 = 0 i 5x-2y-16 = 0.
Date su nam dvije opće jednačine pravih, od kojih ćemo sastaviti sistem:. Rješenja rezultujućeg sistema jednadžbi lako se nalaze ako riješimo njegovu prvu jednačinu u odnosu na varijablu x i zamijeni ovaj izraz u drugu jednačinu:
Pronađeno rešenje sistema jednačina daje nam tražene koordinate tačke preseka dve prave.
M 0 (4, 2)- tačka preseka linija x-9y + 14 = 0 i 5x-2y-16 = 0.
Dakle, pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave, definisane opštim jednačinama na ravni, svodi se na rešavanje sistema dva linearne jednačine sa dvije nepoznate varijable. Ali šta ako prave linije na ravni nisu date opštim jednačinama, već jednačinama druge vrste (pogledajte tipove jednačine prave na ravni)? U tim slučajevima se najprije mogu svesti jednačine pravih na opšti pogled, i tek nakon toga pronađite koordinate točke presjeka.
Prije pronalaženja koordinata točke presjeka datih pravih, dovedimo njihove jednačine u opći oblik. Prelaz sa parametarskih jednadžbi prave na opštu jednačinu ove prave izgleda ovako:
Sada izvodimo potrebne radnje s kanonskom jednadžbom linije:
Dakle, tražene koordinate tačke preseka pravih su rešenje sistema jednačina oblika. Za rješavanje koristimo Cramerovu metodu:
M 0 (-5, 1)
Postoji još jedan način da pronađete koordinate presečne tačke dve prave na ravni. Pogodno ga je koristiti kada je jedna od pravih data parametarskim jednačinama oblika, a druga je data jednadžbom prave linije različitog oblika. U ovom slučaju, u drugu jednačinu umjesto varijabli x i y možete zamijeniti izraze i odakle možete dobiti vrijednost koja odgovara presjeku datih linija. U ovom slučaju, tačka preseka linija ima koordinate.
Nađimo koordinate tačke preseka pravih iz prethodnog primera na ovaj način.
Odredite koordinate presječne točke pravih i.
Zamenimo direktni izraz u jednačinu:
Nakon što smo riješili rezultirajuću jednačinu, dobijamo. Ova vrijednost odgovara zajedničkoj tački linija i. Izračunavamo koordinate točke presjeka, zamjenjujući pravu liniju u parametarske jednadžbe:
.
M 0 (-5, 1).
Da bismo upotpunili sliku, trebalo bi razmotriti još jednu tačku.
Prije pronalaženja koordinata točke sjecišta dvije prave na ravni, korisno je provjeriti da li se date prave sijeku. Ako se ispostavi da se originalne linije poklapaju ili su paralelne, onda ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke presjeka takvih linija.
Možete, naravno, bez takve provjere, ali odmah sastavite sistem jednadžbi oblika i riješite ga. Ako sistem jednadžbi ima jedinstveno rješenje, onda daje koordinate tačke u kojoj se originalne prave seku. Ako sistem jednadžbi nema rješenja, onda možemo zaključiti da su originalne prave paralelne (pošto ne postoji takav par realnih brojeva x i yšto bi istovremeno zadovoljilo obje jednačine datih linija). Iz prisustva beskonačnog skupa rješenja sistema jednačina, slijedi da originalne prave imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, odnosno da se poklapaju.
Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.
Saznajte da li se prave i sijeku, a ako se sijeku, onda pronađite koordinate točke presjeka.
Date jednačine pravih linija odgovaraju jednadžbi i. Hajde da rešimo sistem sastavljen od ovih jednačina.
Očigledno, jednačine sistema se linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednačina sistema se dobija iz prve množenjem oba njegova dela sa 4 ), dakle, sistem jednačina ima beskonačan skup rješenja. Dakle, jednadžbe i definiraju istu pravu liniju, te se ne može govoriti o pronalaženju koordinata presječne točke ovih pravih.
jednadžbi i određuju se u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy ista prava linija, tako da ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka.
Pronađite koordinate tačke preseka linija i, ako je moguće.
Uslov problema priznaje da linije mogu biti disjunktne. Hajde da sastavimo sistem ovih jednačina. Primijenimo Gaussov metod da ga riješimo, jer nam omogućava da utvrdimo kompatibilnost ili nekompatibilnost sistema jednadžbi, a u slučaju njegove kompatibilnosti pronađemo rješenje:
Posljednja jednačina sistema nakon direktnog rada Gaussove metode pretvorila se u netačnu jednakost, pa sistem jednačina nema rješenja. Dakle, možemo zaključiti da su prvobitne prave paralelne i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata presečne tačke ovih pravih.
Drugo rješenje.
Hajde da saznamo da li se date prave sijeku.
Vektor normale je prava linija, a vektor je vektor normale prave linije. Provjerimo ispunjenost uvjeta kolinearnosti vektora i: jednakost je tačna, jer su, dakle, normalni vektori datih pravih kolinearni. Tada su ove prave paralelne ili se poklapaju. Dakle, ne možemo pronaći koordinate presečne tačke originalnih linija.
nemoguće je pronaći koordinate tačke preseka datih pravih, pošto su ove prave paralelne.
Pronađite koordinate tačke preseka pravih 2x-1 = 0 i ako se preklapaju.
Hajde da sastavimo sistem jednačina, koje su opšte jednačine datih pravih linija:. Determinanta glavne matrice ovog sistema jednačina je različita od nule, stoga sistem jednačina ima jedinstveno rešenje, koje označava presek datih pravih linija.
Da bismo pronašli koordinate tačke preseka pravih linija, moramo da rešimo sistem:
Rezultirajuće rješenje nam daje koordinate tačke preseka pravih, odnosno - tačke preseka pravih 2x-1 = 0 i .
Povratak na vrh stranice
Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru.
Na sličan način se nalaze koordinate tačke preseka dve prave u trodimenzionalnom prostoru.
Neka linije koje se seku a i b dat u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz jednačine dvije ravni koje se ukrštaju, odnosno prave linije a je određen sistemom oblika i prave linije b-. Neka M 0- tačka preseka linija a i b... Onda poenta M 0 po definiciji pripada direktnom a i ravno b prema tome, njegove koordinate zadovoljavaju jednačine obje prave. Dakle, koordinate tačke preseka pravih linija a i b predstavljaju rješenje sistema linearnih jednačina oblika. Ovdje su nam potrebne informacije iz odjeljka o rješavanju sistema linearnih jednačina u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli.
Razmotrimo rješenja primjera.
Naći koordinate tačke preseka dve prave, date u prostoru jednačinama i.
Sastavimo sistem jednačina od jednačina datih pravih:. Rešenje ovog sistema će nam dati tražene koordinate tačke preseka pravih linija u prostoru. Nađimo rješenje pisanog sistema jednačina.
Glavna matrica sistema je, a proširena je.
Definiramo rang matrice A i rang matrice T... Koristimo metodu graničnih minora, dok računanje determinanti nećemo detaljno opisivati (ako je potrebno, pogledajte članak o izračunavanju determinante matrice):
Dakle, rang glavne matrice jednak rangu proširena matrica i jednaka je tri.
Shodno tome, sistem jednačina ima jedinstveno rješenje.
Determinantu ćemo uzeti kao osnovni minor, pa posljednju jednačinu treba isključiti iz sistema jednačina, jer ne učestvuje u formiranju osnovnog minora. dakle,
Rješenje rezultirajućeg sistema je lako pronaći:
Dakle, tačka preseka linija i ima koordinate (1, -3, 0) .
(1, -3, 0) .
Treba napomenuti da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje ako i samo ako su prave linije a i b presecati. Ako je ravno a i b onda paralelno ili ukršteno najnoviji sistem jednadžbe nemaju rješenja, jer u ovom slučaju prave nemaju zajedničkih tačaka. Ako je ravno a i b poklapaju, onda imaju beskonačan skup zajedničkih tačaka, dakle, naznačeni sistem jednačina ima beskonačan skup rješenja. Međutim, u ovim slučajevima se ne može govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka pravih, jer se prave ne seku.
Dakle, ako ne znamo unaprijed, date prave se sijeku a i b ili ne, onda je razumno sastaviti sistem jednačina oblika i riješiti ga Gaussovom metodom. Ako dobijemo jedinstveno rješenje, onda će ono odgovarati koordinatama točke presjeka pravih linija a i b... Ako se pokaže da je sistem nekonzistentan, onda direktan a i b ne seku. Ako sistem ima beskonačan skup rješenja, onda su linije a i b podudaraju se.
Možete i bez upotrebe Gaussove metode. Alternativno, može se izračunati rang glavne i proširene matrice ovog sistema i, na osnovu dobijenih podataka i Kronecker-Capellijeve teoreme, izvući zaključak ili o postojanju jedinstvenog rješenja, ili o postojanju skupa. rješenja, ili o odsustvu rješenja. To je stvar ukusa.
Ako se linije i sijeku, onda odredite koordinate točke presjeka.
Sastavimo sistem datih jednačina:. Rešimo ga Gaussovom metodom u matričnom obliku:
Postalo je jasno da sistem jednačina nema rješenja, dakle, date prave se ne seku, i ne može biti govora o pronalaženju koordinata presečne tačke ovih pravih.
ne možemo pronaći koordinate tačke preseka datih pravih, pošto se te prave ne seku.
Kada su siječne prave date kanonskim jednadžbama prave u prostoru ili parametarskim jednadžbama prave u prostoru, tada prvo treba dobiti njihove jednadžbe u obliku dvije ravnine koje se sijeku, a tek nakon toga pronaći koordinate presjeka tačka.
Dve prave koje se seku date su u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz jednačine i. Pronađite koordinate tačke preseka ovih pravih.
Postavimo originalne ravne jednadžbama dvije ravnine koje se sijeku:
Da bismo pronašli koordinate tačke preseka pravih linija, ostaje da se reši sistem jednačina. Rang glavne matrice ovog sistema jednak je rangu proširene matrice i jednak je tri (preporučujemo da proverite ovu činjenicu). Uzet ćemo kao osnovni minor, pa se posljednja jednačina može isključiti iz sistema. Nakon što smo riješili rezultirajući sistem bilo kojom metodom (na primjer, Cramerovom metodom), dobijamo rješenje. Dakle, tačka preseka linija i ima koordinate (-2, 3, -5) .
Kod rješavanja nekih geometrijskih zadataka metodom koordinata potrebno je pronaći koordinate tačke preseka pravih linija. Najčešće je potrebno tražiti koordinate presečne tačke dve prave na ravni, ali ponekad postaje neophodno odrediti koordinate presečne tačke dve prave u prostoru. U ovom članku ćemo samo shvatiti kako pronaći koordinate tačke u kojoj se sijeku dvije prave.
Navigacija po stranici.
Presjek dvije prave - definicija.
Počnimo sa definisanjem tačke preseka dve prave.
Dakle, da biste pronašli koordinate tačke preseka dve prave, definisane na ravni opštim jednačinama, potrebno je da rešite sistem sastavljen od jednačina datih pravih.
Razmotrimo rješenje na primjeru.
Primjer.
Pronađite presek dve prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni jednačinama x-9y + 14 = 0 i 5x-2y-16 = 0.
Rješenje.
Date su nam dvije opšte jednadžbe pravih linija, od njih ćemo sastaviti sistem: 
... Rješenja rezultujućeg sistema jednadžbi lako se nalaze ako riješimo njegovu prvu jednačinu u odnosu na varijablu x i zamijenimo ovaj izraz drugom jednačinom: 
Pronađeno rešenje sistema jednačina daje nam tražene koordinate tačke preseka dve prave.
odgovor:
M 0 (4, 2) x-9y + 14 = 0 i 5x-2y-16 = 0.
Dakle, pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave, definisane opštim jednačinama na ravni, svodi se na rešavanje sistema dve linearne jednačine sa dve nepoznate varijable. Ali šta ako prave linije na ravni nisu date opštim jednačinama, već jednačinama druge vrste (pogledajte tipove jednačine prave na ravni)? U tim slučajevima možete najprije dovesti jednačine pravih u opći oblik, a tek nakon toga pronaći koordinate točke presjeka.
Primjer.
i .
Rješenje.
Prije pronalaženja koordinata točke presjeka datih pravih, dovedimo njihove jednačine u opći oblik. Prijelaz sa parametarskih jednadžbi na pravu liniju opšta jednačina ove prave je sljedeća: 
Sada izvodimo potrebne radnje s kanonskom jednadžbom linije:
Dakle, tražene koordinate tačke preseka pravih su rešenje sistema jednačina oblika 
... Za rješavanje koristimo: 
odgovor:
M 0 (-5, 1)
Postoji još jedan način da pronađete koordinate presečne tačke dve prave na ravni. Pogodno ga je koristiti kada je jedna od pravih data parametarskim jednadžbama oblika 
, a drugi - jednadžbom ravne druge vrste. U ovom slučaju, umjesto varijabli x i y, možete zamijeniti izraze 
i 
, odakle možete dobiti vrijednost koja odgovara tački presjeka datih linija. U ovom slučaju, tačka preseka linija ima koordinate.
Nađimo koordinate tačke preseka pravih iz prethodnog primera na ovaj način.
Primjer.
Odredite koordinate tačke preseka pravih i .
Rješenje.
Zamenimo direktni izraz u jednačinu: 
Nakon što smo riješili rezultirajuću jednačinu, dobijamo. Ova vrijednost odgovara zajedničkoj tački linija i . Izračunavamo koordinate točke presjeka, zamjenjujući pravu liniju u parametarske jednadžbe: 
.
odgovor:
M 0 (-5, 1).
Da bismo upotpunili sliku, trebalo bi razmotriti još jednu tačku.
Prije pronalaženja koordinata točke sjecišta dvije prave na ravni, korisno je provjeriti da li se date prave sijeku. Ako se ispostavi da se originalne linije poklapaju ili su paralelne, onda ne može biti govora o pronalaženju koordinata točke presjeka takvih linija.
Možete, naravno, bez takve provjere i odmah sastaviti sistem jednadžbi oblika 
i riješi to. Ako sistem jednadžbi ima jedinstveno rješenje, onda daje koordinate tačke u kojoj se originalne prave seku. Ako sistem jednačina nema rješenja, onda možemo zaključiti da su originalne prave paralelne (pošto ne postoji takav par realnih brojeva x i y koji bi istovremeno zadovoljio obje jednačine datih pravih). Iz prisustva beskonačnog skupa rješenja sistema jednačina, slijedi da originalne prave imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, odnosno da se poklapaju.
Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.
Primjer.
Saznajte da li se prave i sijeku, a ako se sijeku, onda pronađite koordinate točke presjeka.
Rješenje.
Date jednačine pravih linija odgovaraju jednačinama 
i 
... Hajde da rešimo sistem sastavljen od ovih jednačina 
.
Očigledno je da se jednačine sistema linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednačina sistema se dobija iz prve množenjem oba njena dela sa 4), dakle, sistem jednačina ima beskonačan skup rešenja. Dakle, jednadžbe i definiraju istu pravu liniju, te se ne može govoriti o pronalaženju koordinata presječne točke ovih pravih.
odgovor:
Jednačine i definišu istu pravu liniju u Oxy pravougaonom koordinatnom sistemu, tako da se ne može govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka.
Primjer.
Pronađite koordinate tačke preseka pravih 
i 
, ako je moguće.
Rješenje.
Uslov problema priznaje da linije mogu biti disjunktne. Hajde da sastavimo sistem ovih jednačina. Primijenit ćemo ga da ga riješimo, jer vam omogućava da utvrdite kompatibilnost ili nekompatibilnost sistema jednačina, au slučaju njegove kompatibilnosti, nađete rješenje: 
Posljednja jednačina sistema nakon direktnog rada Gaussove metode pretvorila se u netačnu jednakost, pa sistem jednačina nema rješenja. Dakle, možemo zaključiti da su prvobitne prave paralelne i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata presečne tačke ovih pravih.
Drugo rješenje.
Hajde da saznamo da li se date prave sijeku.
je normalni vektor prave linije i vektor 
je normalni vektor prave ... Hajde da proverimo izvršenje i : jednakost 
je tačno, jer su, dakle, normalni vektori datih pravih kolinearni. Tada su ove prave paralelne ili se poklapaju. Dakle, ne možemo pronaći koordinate presečne tačke originalnih linija.
odgovor:
Nemoguće je pronaći koordinate tačke preseka datih pravih, jer su ove prave paralelne.
Primjer.
Naći koordinate tačke preseka pravih 2x-1 = 0 i ako se sijeku.
Rješenje.
Hajde da sastavimo sistem jednačina, koje su opšte jednačine zadatih pravih linija: 
... Determinanta glavne matrice ovog sistema jednačina nije nula 
, dakle, sistem jednačina ima jedinstveno rešenje, koje označava presek datih pravih linija.
Da bismo pronašli koordinate tačke preseka pravih linija, moramo da rešimo sistem: 
Rezultirajuće rješenje daje nam koordinate tačke preseka pravih, tj. 
2x-1 = 0 i.
odgovor:
Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru.
Na sličan način se nalaze koordinate tačke preseka dve prave u trodimenzionalnom prostoru.
Razmotrimo rješenja primjera.
Primjer.
Naći koordinate tačke preseka dve prave, date u prostoru jednačinama 
i 
.
Rješenje.
Sastavimo sistem jednačina od jednačina datih pravih linija: 
... Rešenje ovog sistema će nam dati tražene koordinate tačke preseka pravih linija u prostoru. Nađimo rješenje pisanog sistema jednačina.
Glavna matrica sistema ima oblik 
, i produženo - 
.
Mi definišemo A i rang matrice T. Koristimo
Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"
Zdravo dragi čitaoče!
Nastavimo se upoznati s geometrijskim algoritmima. U prošloj lekciji smo pronašli jednadžbu prave linije koristeći koordinate dvije tačke. Dobili smo jednačinu oblika:
Danas ćemo napisati funkciju koja će, koristeći jednačine dvije prave, pronaći koordinate njihove točke presjeka (ako ih ima). Za provjeru jednakosti realnih brojeva koristit ćemo specijalnu funkciju RealEq ().
Tačke na ravni su opisane parom realnih brojeva. Kada koristite realni tip, bolje je formalizirati operacije poređenja posebnim funkcijama.
Razlog je poznat: ne postoji relacija reda na tipu Real u Pascal programskom sistemu, pa je bolje ne koristiti notacije oblika a = b, gdje su a i b realni brojevi.
Danas ćemo predstaviti funkciju RealEq () za implementaciju “=” (strogo jednake) operacije:
Funkcija RealEq (Const a, b: Real): Boolean; (strogo jednako) počinje RealEq: = Abs (a-b)<=_Eps End; {RealEq}
Zadatak. Date su jednačine dvije prave: i. Pronađite tačku njihovog presjeka.
Rješenje. Očigledno rješenje je riješiti sistem jednadžbi za prave: Hajde da prepišemo ovaj sistem na malo drugačiji način:
(1)
 |
Hajde da uvedemo notaciju:, 
, 
... Ovdje je D determinanta sistema, a predstavljaju determinante dobijene kao rezultat zamjene stupca koeficijenata odgovarajućim nepoznatim stupcem slobodnih članova. Ako je onda sistem (1) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo rješenje se može naći pomoću sljedećih formula:, koje se nazivaju Cramerove formule... Dozvolite mi da vas podsjetim kako se izračunava determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i bočnu. Glavna dijagonala se sastoji od elemenata preuzetih od gornjeg lijevog ugla identifikatora do donjeg desnog ugla. Bočna dijagonala je od gornjeg desnog prema donjem lijevom. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale minus proizvod elemenata sekundarne dijagonale.
U programskom kodu, funkcija RealEq () se koristi za provjeru jednakosti. Proračuni sa realnim brojevima se izvode sa preciznošću _Eps = 1e-7.
Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (preciznost) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; Funkcija RealEq (Const a, b: Real): Boolean; (strogo jednako) počinje RealEq: = Abs (a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.
Sastavili smo program pomoću kojeg je moguće, poznavajući jednačine pravih, pronaći koordinate njihove tačke preseka.
Ako se prave seku u tački, tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina 
Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.
Toliko o tebi geometrijsko značenje sistema od dve linearne jednačine u dve nepoznanice Da li su dvije prave linije koje se seku (najčešće) na ravni.
Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira šta je potrebno:
1) Sastavite jednačinu jedne prave.
2) Sastaviti jednačinu druge prave.
3) Pronađite relativni položaj pravih linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.
Primjer 13.
Pronađite tačku preseka pravih
Rješenje: Preporučljivo je tražiti presečnu tačku analitičkom metodom. Rešimo sistem: 
Odgovori:
A.6.4. Udaljenost od tačke do linije
Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Prepreke nema, a najoptimalnija ruta će biti vožnja po okomici. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomite linije.
Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".
Udaljenost od tačke na ravno izraženo formulom
Primjer 14.
Pronađite udaljenost od tačke do prave linije 
Rješenje: sve što je potrebno je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:
Odgovori: 
A.6.5. Ugao između pravih linija.
Primjer 15.
Pronađite ugao između pravih linija.
1. Provjerite jesu li prave linije okomite:
Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera pravih linija:
, što znači da prave linije nisu okomite.
2. Ugao između pravih linija nalazi se pomoću formule:
Na ovaj način:
Odgovori:
Krive drugog reda. Krug
Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem 0xy.
Kriva drugog reda naziva se prava na ravni, određena jednačinom drugog stepena u odnosu na trenutne koordinate tačke M (x, y, z). Općenito, ova jednačina ima oblik:
gdje su koeficijenti A, B, C, D, E, L bilo koji realni brojevi, a najmanje jedan od brojeva A, B, C je različit od nule.
1.Circle naziva se skup tačaka na ravni, udaljenost od koje je do fiksne tačke M 0 (x 0, y 0) konstantna i jednaka R. Tačka M 0 naziva se središtem kruga, a broj R je njegov radijus
- jednačina kružnice sa centrom u tački M 0 (x 0, y 0) i poluprečnika R.
Ako se centar kruga poklapa sa ishodištem, onda imamo:
- kanonska jednadžba kruga.
Elipsa.
Elipsa naziva se skup tačaka na ravni, za svaku od kojih je zbir udaljenosti do dvije date tačke konstantna vrijednost (štaviše, ova vrijednost je veća od udaljenosti između ovih tačaka). Ove tačke se nazivaju žarišta elipse.
- kanonska jednačina elipse.
Veza se zove ekscentričnost elipse i označava se sa:,. Od tada< 1.
Posljedično, sa smanjenjem, omjer teži 1, tj. b se malo razlikuje od a i oblik elipse postaje bliži obliku kruga. U graničnom slučaju na 
, dobijamo krug čija je jednadžba
x 2 + y 2 = a 2.
Hiperbola
Hiperbola naziva se skup tačaka na ravni, za svaku od kojih je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dvije date tačke, tzv. trikovi, je konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ova vrijednost manja od udaljenosti između žarišta i nije jednaka 0).
Neka su F 1, F 2 fokusi, rastojanje između njih će biti označeno sa 2s, parametrom parabole).
- kanonska jednadžba parabole.
Imajte na umu da jednačina za negativno p također definira parabolu, koja će se nalaziti lijevo od ose 0y. Jednačina opisuje parabolu simetričnu oko ose 0y, koja leži iznad ose 0x za p> 0 i koja leži ispod ose 0x za p< 0.
Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je tačka presjeka čije se koordinate koriste u rješenju. Situacija nastaje kada je potrebno tražiti koordinate sjecišta dvije prave u ravnini ili odrediti koordinate istih pravih u prostoru. Ovaj članak ispituje slučajeve pronalaženja koordinata tačaka u kojima se date prave seku.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Potrebno je definisati tačke preseka dve prave.
Odsjek o relativnom položaju pravih na ravni pokazuje da se one mogu poklapati, biti paralelne, sijeći u jednoj zajedničkoj tački ili seći. Dvije prave u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako imaju jednu zajedničku tačku.
Definicija tačke preseka pravih linija zvuči ovako:
Definicija 1
Tačka u kojoj se dvije prave seku naziva se njihova presečna tačka. Drugim rečima, tačka preseka linija je tačka preseka.
Razmotrite sliku ispod.
Prije pronalaženja koordinata točke presjeka dvije prave, potrebno je razmotriti primjer koji je predložen u nastavku.
Ako na ravni postoji koordinatni sistem O x y, tada su navedene dvije prave a i b. Prava a odgovara opštoj jednačini oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, za pravu b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je M 0 (x 0, y 0) neka tačka ravni, potrebno je odrediti da li će tačka M 0 biti tačka preseka ovih pravih.
Da biste riješili problem, morate se pridržavati definicije. Tada se prave moraju seći u tački čije su koordinate rješenje datih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znači da se koordinate presečne tačke zamenjuju u sve date jednačine. Ako nakon zamjene daju ispravan identitet, tada se M 0 (x 0, y 0) smatra njihovom presječnom točkom.
Primjer 1
Date su vam dvije prave linije koje se seku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0. Hoće li tačka M 0 sa koordinatama (2, - 3) biti tačka preseka?
Rješenje
Da bi presek pravih bio realan, potrebno je da koordinate tačke M 0 zadovoljavaju jednačine pravih. To se potvrđuje njihovim zamjenom. Shvatili smo to
5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0
Obe jednakosti su tačne, pa je M 0 (2, - 3) tačka preseka datih pravih.
Predstavimo ovo rješenje na koordinatnoj liniji na slici ispod.
odgovor: navedena tačka sa koordinatama (2, - 3) će biti tačka preseka navedenih linija.
Primjer 2
Seku li se prave 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 u tački M 0 (2, - 3)?
Rješenje
Za rješavanje problema potrebno je zamijeniti koordinate tačke u svim jednačinama. Shvatili smo to
5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
Druga jednakost nije tačna, što znači da data tačka ne pripada pravoj 7 x - 2 y + 11 = 0. Otuda imamo da tačka M 0 nije tačka preseka pravih.
Crtež jasno pokazuje da M 0 nije tačka preseka pravih. Imaju zajedničku tačku sa koordinatama (- 1, 2).
odgovor: tačka sa koordinatama (2, - 3) nije presečna tačka datih pravih.
Prelazimo na pronalaženje koordinata tačaka preseka dve prave koristeći date jednačine na ravni.
Dvije prave linije a i b koje se seku date su jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, koje se nalaze u O x y. Prilikom označavanja tačke preseka M 0 dobijamo da traženje koordinata treba nastaviti prema jednačinama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Iz definicije je očigledno da je M 0 zajednička tačka preseka pravih. U ovom slučaju, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Drugim riječima, ovo je rješenje rezultirajućeg sistema A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
To znači da je za pronalaženje koordinata tačke preseka potrebno sistemu dodati sve jednačine i rešiti ga.
Primjer 3
Date su dvije prave x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 na ravni. potrebno je pronaći njihovu raskrsnicu.
Rješenje
Podaci o stanju jednačine se moraju prikupiti u sistem, nakon čega dobijamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Da bi se to riješilo, rješava se prva jednačina za x, a izraz se zamjenjuje u drugi:
x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2
Rezultirajući brojevi su koordinate koje treba pronaći.
odgovor: M 0 (4, 2) je tačka preseka pravih x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0.
Potraga za koordinatama svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ako je, u skladu sa uslovom, dat drugačiji oblik jednačine, onda je treba dovesti u normalni oblik.
Primjer 4
Odredite koordinate presječnih tačaka pravih x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R.
Rješenje
Prvo, trebate dovesti jednačine u opći oblik. Tada dobijamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R transformira na sljedeći način:
x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0
Zatim preuzimamo jednačinu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo. Shvatili smo to
x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0
Dakle, imamo da su koordinate presječna tačka
x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20
Primijenimo Cramerovu metodu da pronađemo koordinate:
∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22
odgovor: M 0 (- 5, 1).
Postoji i način da pronađete koordinate tačke preseka pravih linija na ravni. Primjenjivo je kada je jedna od pravih data parametarskim jednačinama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R. Tada se umjesto vrijednosti x zamjenjuju x = x 1 + ax λ i y = y 1 + ay λ, gdje dobijamo λ = λ 0 koja odgovara tački presjeka koja ima koordinate x 1 + ax λ 0, y 1 + ay λ 0.
Primjer 5
Pronađite koordinate tačke preseka prave x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3.
Rješenje
Potrebno je zamijeniti u x - 5 = y - 4 - 3 izrazom x = 4 + 9 λ, y = 2 + λ, tada dobijamo:
4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3
Prilikom rješavanja nalazimo da je λ = - 1. To implicira da postoji tačka preseka između pravih x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3. Za izračunavanje koordinata potrebno je u parametarsku jednačinu zamijeniti izraz λ = - 1. Tada dobijamo da je x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.
odgovor: M 0 (- 5, 1).
Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke od nijansi.
Prvo, morate razumjeti lokaciju pravih linija. Kada se sijeku, naći ćemo koordinate, u drugim slučajevima rješenje neće postojati. Da ne biste izvršili ovu provjeru, možete napraviti sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da su linije presecati. Ako nema rješenja, onda su paralelne. Kada sistem ima beskonačan broj rješenja, onda se kaže da su ista.
Primjer 6
Date su vam prave linije x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4. Odredite da li imaju zajedničku tačku.
Rješenje
Pojednostavljujući date jednačine, dobijamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0.
Potrebno je sakupiti jednadžbe u sistem za sljedeće rješenje:
1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4
Otuda je jasno da su jednačine izražene jedna kroz drugu, tada dobijamo beskonačan skup rješenja. Tada jednačine x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju istu pravu. Dakle, nema raskrsnica.
odgovor: date jednačine definišu istu pravu liniju.
Primjer 7
Nađite koordinate tačke preseka pravih 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.
Rješenje
Pod uslovom, to je moguće, prave linije se neće preseći. Potrebno je sastaviti sistem jednačina i rešiti. Za rješenje je potrebno koristiti Gaussovu metodu, jer je uz njenu pomoć moguće provjeriti kompatibilnost jednačine. Dobijamo sistem oblika:
2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2
Dobili smo pogrešnu jednakost, što znači da sistem nema rješenja. Zaključujemo da su prave paralelne. Ne postoje raskrsnice.
Drugo rješenje.
Prvo morate utvrditi prisutnost presjeka linija.
n 1 → = (2, 2 - 3) je vektor normale prave 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 vektor normale za pravu 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.
Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2), - 7). Dobijamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Tačno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Otuda slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su prave paralelne i da nemaju presečne tačke.
odgovor: nema tačaka preseka, prave su paralelne.
Primjer 8
Pronađite koordinate presjeka datih pravih 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2.
Rješenje
Da bismo to riješili, pravimo sistem jednačina. Dobijamo
2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2
Nađimo determinantu glavne matrice. Da biste to učinili, 2 0 5 4 - 1 = 2 (- 1) - 0 5 4 = - 2. Pošto nije jednako nuli, sistem ima 1 rješenje. Iz toga slijedi da se prave sijeku. Rešimo sistem za pronalaženje koordinata tačaka preseka:
2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8
Dobili smo da tačka preseka datih pravih ima koordinate M 0 (1 2, - 11 8).
odgovor: M 0 (1 2, - 11 8) .
Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru
Na isti način se nalaze tačke preseka pravih u prostoru.
Kada su prave a i b u koordinatnoj ravni O xyz date jednačinama ravnina koje se seku, onda postoji prava linija a, koja se može odrediti korišćenjem datog sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 prava linija b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.
Kada je tačka M 0 tačka preseka pravih, tada njene koordinate treba da budu rešenja obe jednačine. Dobijamo linearne jednačine u sistemu:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
Razmotrimo slične zadatke s primjerima.
Primjer 9
Pronađite koordinate presečne tačke datih linija x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0
Rješenje
Izgradite sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i riješite ga. Da biste pronašli koordinate, potrebno je riješiti kroz matricu. Tada dobijamo glavnu matricu oblika A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Odrediti Gausov rang matrice.
Shvatili smo to
1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0
Iz toga slijedi da je rang proširene matrice 3. Tada sistem jednačina x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 kao rezultat daje samo jedno rješenje.
Osnovni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, tada posljednja jednačina ne odgovara. Dobijamo x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Rješenje sistema x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3.
Dakle, imamo da tačka preseka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1, - 3, 0) .
odgovor: (1 , - 3 , 0) .
Sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. Dakle, prave a i b se sijeku.
U drugim slučajevima jednačina nema rješenja, odnosno nema ni zajedničkih tačaka. Odnosno, nemoguće je pronaći tačku sa koordinatama, jer ona ne postoji.
Dakle, sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gaussovom metodom. Ako je nekompatibilan, prave se linije ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona poklapaju.
Možete napraviti rješenje tako što ćete izračunati osnovni i prošireni rang matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capelli teorem. Dobijamo jedno, mnogo ili potpuno odsustvo rješenja.
Primjer 10
Date su jednadžbe pravih x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite tačku raskrsnice.
Rješenje
Prvo, sastavimo sistem jednačina. Dobijamo x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. rješavamo Gaussovom metodom:
1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10
Očigledno, sistem nema rješenja, pa se prave ne seku. Ne postoji raskrsnica.
odgovor: nema raskrsnice.
Ako su ravne date pomoću kononičnih ili parametarskih jednadžbi, potrebno je svesti na oblik jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.
Primjer 11
Dvije prave x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O h u z. Pronađite tačku raskrsnice.
Rješenje
Prave linije definiramo jednadžbama dvije ravnine koje se sijeku. Shvatili smo to
x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0
Pronađite koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je 3, a bazni minor je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, što znači da posljednja jednačina mora biti isključena iz sistema. Shvatili smo to
3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0
Rešimo sistem pomoću Kramerove metode. Dobijamo x = - 2 y = 3 z = - 5. Dakle, nalazimo da presek datih pravih daje tačku sa koordinatama (- 2, 3, - 5).
odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter