U ovoj lekciji ćemo učiti razne opcije interakcija kružnice i prave linije. Podsjećamo na definicije koje se široko koriste u ovom slučaju. Prava linija je nedefinirana aksiomatika geometrijska figura, što je prava linija bez početka i kraja. Krug je skup tačaka koje leže jednako udaljene od zajedničkog centra (centra kruga) povezanih zajedničkom krivom. Drugim riječima, krug je pravilna zatvorena kriva koja ocrtava najveću moguću površinu.
Strogo govoreći, postoje tri opcije za relativni položaj kruga i linije. U prvom slučaju, prava linija leži potpuno izvan date kružnice, niti je seče niti se igdje dodiruje. Ako prava dodiruje tačno jednu određenu tačku iz skupa na kružnici, tada se ova prava naziva tangenta u odnosu na datu kružnicu.
Tangenta ima jednu najvažnija imovina. Poluprečnik povučen do tačke kontakta je okomit na samu liniju. Video prikazuje kružnicu sa centrom O, liniju A i tačku tangente K. Pošto je ova tačka u singularu, prava A je tangenta na ovu kružnicu. A ugao u K, formiran radijusom i bilo kojim dijelom linije, je pravi - jednak 90 stepeni. Također je vrijedno napomenuti važna karakteristika- tangenta ima samo jednu dodirnu tačku. Nemoguće je nacrtati pravu liniju tako da dodiruje dvije tačke na tangenti kružnice.
Ako naša linija A prolazi kroz cijeli krug, utječući na njegovu unutrašnju regiju, onda je ovo treća poseban slučaj interakcije između ovih figura. U ovom slučaju, prava linija prolazi striktno kroz dvije tačke na kružnici - recimo, B i C. To se zove sekansa kružnice. Sekansa uvijek prolazi samo kroz bilo koje dvije tačke iz skupa na krivoj. Pošto u krugu postoji mnogo tačaka, moguće je nacrtati beskonačan broj sekanti (kao i tangenti) za dati krug.
Unutrašnji dio sekantne linije, zapravo segment BC, je tetiva za kružnicu. Ako sekansa prolazi kroz središte kruga, tada je njegov unutrašnji dio predstavljen najvećom tetivom - promjerom. U ovom slučaju, tačke preseka B i C su na najvećoj udaljenosti jedna od druge (prema svojstvu prečnika). Lako je razumjeti da je suprotan poseban slučaj sekansa koja formira tetivu s infinitezimalnom vrijednošću, u stvari, ovo je već tangenta.
U problemima se često nalazi segment P - on povezuje najkraći put do odgovarajuće tačke na pravoj liniji i centra samog kruga. Drugim riječima, P je segment TO, gdje je T tačka na pravoj BC. Ovaj segment je okomit na pravu, njegov nastavak na samu kružnicu je njegov polumjer. linearna vrijednost ovaj segment se može izračunati kroz kosinus ugla koji formiraju radijus i sekantna linija, sa vrhom u tački preseka.
Prisjetite se važne definicije - definicije kruga]
definicija:
Krug sa centrom u tački O i radijusom R je skup svih tačaka u ravni koje su udaljene R od tačke O.
Obratimo pažnju na činjenicu da se skup zove krug. sve tačke koje zadovoljavaju opisani uslov. Razmotrimo primjer:
Tačke A, B, C, D kvadrata su jednako udaljene od tačke E, ali nisu kružnica (slika 1).
Rice. 1. Ilustracija na primjer
IN ovaj slučaj figura je krug, jer je sve skup tačaka jednako udaljenih od centra.
Ako spojimo bilo koje dvije tačke kruga, dobićemo tetivu. Tetiva koja prolazi kroz centar naziva se prečnik.
MB - akord; AB - prečnik; MnB - luk, skupljen je akordom MB;
Ugao se zove centralni.
Tačka O je centar kružnice.
Rice. 2. Ilustracija na primjer
Tako smo se prisjetili šta je krug i njegove glavne elemente. Sada pređimo na razmatranje relativnog položaja kružnice i prave.
Zadana je kružnica sa centrom O i polumjerom r. Prava P, udaljenost od centra do prave, odnosno okomite OM, jednaka je d.
Pretpostavljamo da tačka O ne leži na pravoj P.
S obzirom na kružnicu i pravu liniju, moramo pronaći broj zajedničkih tačaka.
Slučaj 1 - udaljenost od središta kruga do prave je manja od polumjera kružnice:
U prvom slučaju, kada je udaljenost d manja od polumjera kružnice r, tačka M leži unutar kružnice. Od ove tačke ćemo izdvojiti dva segmenta - MA i MB, čija će dužina biti. Znamo vrijednosti r i d, d je manji od r, što znači da izraz postoji i tačke A i B postoje. Ove dvije tačke po konstrukciji leže na pravoj liniji. Provjerimo da li leže na krugu. Izračunajte udaljenost između OA i OB koristeći Pitagorinu teoremu:
Rice. 3. Ilustracija slučaja 1
Udaljenost od centra do dvije tačke jednaka je poluprečniku kružnice, pa smo dokazali da tačke A i B pripadaju kružnici.
Dakle, tačke A i B po konstrukciji pripadaju pravoj, pripadaju krugu prema onome što je dokazano - krug i prava imaju dve zajedničke tačke. Dokažimo da nema drugih tačaka (slika 4).
Rice. 4. Ilustracija za dokaz
Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu tačku C na pravoj liniji i pretpostavite da leži na kružnici - udaljenost OS = r. U ovom slučaju, trokut je jednakokračan i njegova medijana ON, koja se ne poklapa sa segmentom OM, je visina. Dobili smo kontradikciju: dvije okomice su ispuštene iz tačke O na pravu.
Dakle, na pravoj P nema drugih zajedničkih tačaka sa kružnicom. Dokazali smo da u slučaju kada je udaljenost d manja od polumjera r kružnice, prava i kružnica imaju samo dvije zajedničke tačke.
Slučaj dva - udaljenost od centra kružnice do prave je jednaka poluprečniku kružnice (slika 5):
Rice. 5. Ilustracija slučaja 2
Podsjetimo da je udaljenost od tačke do prave dužina okomice, u ovom slučaju OH je okomica. Pošto je po uslovu dužina OH jednaka poluprečniku kružnice, tada tačka H pripada kružnici, tako da je tačka H zajednička pravoj i kružnici.
Dokažimo da nema drugih zajedničkih tačaka. Naprotiv: pretpostavimo da tačka C na pravoj pripada kružnici. U ovom slučaju, udaljenost OC je r, a zatim je OC OH. Ali u pravokutnom trokutu hipotenuza OS je veća od kraka OH. Imamo kontradikciju. Dakle, pretpostavka je pogrešna i nema druge tačke osim H koja je zajednička pravoj i kružnici. Dokazali smo da je u ovom slučaju zajednička tačka jedinstvena.
Slučaj 3 - udaljenost od središta kruga do prave je veća od polumjera kružnice:
Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice. Iz tačke O povučemo okomitu na pravu P, dobijemo tačku H koja ne leži na kružnici, pošto je OH po uslovu veći od poluprečnika kružnice. Dokažimo da nijedna druga tačka ove prave ne leži na kružnici. To se jasno vidi iz pravouglog trougla, čija je hipotenuza OM veća od kraka OH, a samim tim i od poluprečnika kružnice, pa tačka M ne pripada kružnici, kao bilo koja druga tačka na pravoj. Dokazali smo da u ovom slučaju kružnica i prava nemaju zajedničke tačke (slika 6).
Rice. 6. Ilustracija slučaja 3
Razmislite teorema . Pretpostavimo da prava AB ima dvije zajedničke tačke sa kružnicom (slika 7).
Rice. 7. Ilustracija za teoremu
Imamo tetivu AB. Tačka H, prema uslovu, je sredina tetive AB i leži na prečniku CD.
Potrebno je dokazati da je u ovom slučaju dimetar okomit na tetivu.
dokaz:
Razmotrite jednakokračan trokut OAB, to je jednakokračan, budući da .
Tačka H, pod uslovom, je sredina tetive, što znači sredina medijane AB jednakokračnog trougla. Znamo da je medijana jednakokračnog trougla okomita na njegovu osnovu, što znači da je visina: dakle, dokazano je da je prečnik koji prolazi kroz sredinu tetive okomit na nju.
pošteno i obrnuta teorema : ako je prečnik okomit na tetivu, onda prolazi kroz njenu sredinu.
Dat je krug sa središtem O, njegovim prečnikom CD i tetivom AB. Poznato je da je prečnik okomit na tetivu, potrebno je dokazati da ona prolazi kroz njenu sredinu (slika 8).
Rice. 8. Ilustracija za teoremu
dokaz:
Razmotrite jednakokračan trokut OAB, to je jednakokračan, budući da . OH, po uslovu, je visina trougla, budući da je prečnik okomit na tetivu. Visina u jednakokračnom trouglu je takođe medijana, pa je AH = HB, što znači da je tačka H središte tetive AB, što znači da je dokazano da prečnik okomit na tetivu prolazi kroz njenu sredinu.
Direktna i inverzna teorema se može generalizirati na sljedeći način.
Teorema:
Prečnik je okomit na tetivu ako i samo ako prolazi kroz njegovu sredinu.
Dakle, razmotrili smo sve slučajeve međusobnog rasporeda prave linije i kružnice. U sljedećoj lekciji razmatrat ćemo tangentu na kružnicu.
Bibliografija
- Aleksandrov A.D. itd. Geometrija 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija 8. - M.: Prosvjeta, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija 8 razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Zadaća
Zadatak 1. Nađite dužine dvaju odsječaka tetive na koje ga dijeli prečnik kružnice, ako je dužina tetive 16 cm, a prečnik okomit na nju.
Zadatak 2. Navedite broj zajedničkih tačaka prave i kružnice ako:
a) udaljenost od prave do središta kružnice je 6 cm, a poluprečnik kružnice 6,05 cm;
b) rastojanje od prave do centra kružnice je 6,05 cm, a poluprečnik kružnice je 6 cm;
c) udaljenost od prave do centra kružnice je 8 cm, a poluprečnik kružnice je 16 cm.
Zadatak 3. Odredite dužinu tetive ako je prečnik okomit na nju, a jedan od segmenata odsečenih prečnikom od nje iznosi 2 cm.
Neka su na ravni date kružnica i neka prava linija. Spustimo na ovu pravu okomicu iz središta kružnice C; označimo osnovom ove okomice. Tačka može zauzimati tri moguća položaja u odnosu na krug: a) ležati izvan kruga, b) na kružnici, c) unutar kruga. Ovisno o tome, ravna linija će također zauzeti jednu od tri moguća različita položaja u odnosu na krug, opisana u nastavku.
a) Neka osnova okomice ispuštena iz centra C kružnice na pravu liniju a leži izvan kružnice (Sl. 197). Tada prava ne siječe kružnicu, sve njene točke leže u vanjskom području. Zaista, in ovaj slučaj uvjetom uklonjeno od centra za udaljenost veću od radijusa). Štaviše, za bilo koju tačku M prave a imamo, tj. svaka tačka date prave leži izvan kruga.
b) Neka osnova okomice padne na kružnicu (Sl. 198). Tada prava a ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom. Zaista, ako je M bilo koja druga tačka na pravoj, onda (kosi su duži od okomice) i tačka M leži u vanjskom području. Takva prava linija, koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, naziva se tangenta na kružnicu u ovoj tački. Pokažimo da obrnuto, ako prava ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, tada je poluprečnik povučen do ove tačke okomit na datu pravu. Zaista, pustimo okomicu iz centra na datu pravu. Ako bi njegova osnova ležala unutar kruga, tada bi prava imala dvije zajedničke tačke s njom, kao što je prikazano na c). Ako leži izvan kruga, onda na osnovu a) prava ne bi imala zajedničke tačke sa kružnicom.
Stoga ostaje pretpostaviti da okomica pada u zajedničku tačku prave i kružnice - u tački njihovog kontakta. Dokazano je važno
Teorema. Prava linija koja prolazi kroz tačku kružnice dodiruje kružnicu ako i samo ako je okomita na poluprečnik povučen do te tačke.
Imajte na umu da se ovdje data definicija tangente na kružnicu ne prenosi na druge krive. Više opšta definicija tangenta na krivu liniju povezana je s konceptima teorije granica i detaljno se razmatra u predmetu višu matematiku. Ovdje ćemo dati samo o tome opšti koncept. Neka je dat krug i na njemu tačka A (Sl. 199).
Uzmite drugu tačku A na kružnici i spojite obje tačke pravom linijom AA. Neka tačka A, krećući se oko kružnice, zauzima sukcesivno niz novih pozicija, približavajući se sve više tački A. Prava linija AA, koja rotira oko A, zauzima više položaja: u ovom slučaju, kao pokretna tačka približava se tački A, prava teži da se poklopi sa tangentom AT. Stoga možemo govoriti o tangenti kao graničnom položaju sekante koja prolazi kroz datu tačku i tačku krive, približavajući joj se na neodređeno vrijeme. U ovom obliku, definicija tangente je vrlo primjenjiva na krivulje opšti pogled(Sl. 200).
c) Neka, konačno, tačka leži unutar kruga (Sl. 201). Onda . Razmotrit ćemo nagnute linije povučene u pravu a iz centra C kružnice, sa bazama koje se udaljuju od tačke u bilo kojem od dva moguća smjera. Dužina kose će se monotono povećavati kako se njena baza udaljava od tačke; ovo povećanje dužine kosog se dešava postepeno („kontinuirano“) od vrednosti bliskih do proizvoljno velikih vrednosti, pa se čini jasnim da za određeni položaj osnova kosih, njihova dužina će biti tačno jednaka odgovarajućim tačkama K i L prave će ležati na kružnici.
Sastavio nastavnik matematike
MBOU srednja škola br. 18, Krasnojarsk
Andreeva Inga Viktorovna
Međusobni raspored prave i kružnice
O R- radijus
OD D- prečnika
AB- akord
- Krug u centru u tački O radijus r
- Prava linija koja ne prolazi kroz centar O
- Udaljenost od središta kruga do prave linije označena je slovom s
Moguća su tri slučaja:
- 1) s
- manje poluprečnik kružnice, tada prava i kružnica imaju dve zajedničke tačke .
Zove se prava AB secant u odnosu na krug.
Moguća su tri slučaja:
- 2 ) s = r
- Ako je udaljenost od središta kruga do prave jednaki poluprečnik kružnice, tada prava i kružnica imaju samo jedna zajednička tačka .
s = r
r Ako je udaljenost od centra kružnice do prave veća od polumjera kružnice, tada prava i kružnica nemaju zajedničkih tačaka. sr rO" width="640" Moguća su tri slučaja:
- 3 ) sr
- Ako je udaljenost od središta kruga do prave više poluprečnik kruga, zatim prava linija i kružnica nemaju zajedničkih tačaka .
Tangenta na kružnicu
definicija: P prava koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se naziva tangentna tačka prave i kružnice.
s = r
- prava linija - sekansa
- prava linija - sekansa
- nema zajedničkih tačaka
- prava linija - sekansa
- prava linija - tangenta
- r=15 cm, s=11 cm
- r = 6 cm, s = 5,2 cm
- r = 3,2 m, s = 4,7 m
- r = 7 cm, s = 0,5 dm
- r = 4 cm, s = 40 mm
Reši br. 633.
- OABC-kvadrat
- AB=6cm
- Krug sa centrom O poluprečnika 5 cm
sekanti od pravih OA , AB , BC , AC
Svojstvo tangente: Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen u tačku tangente.
m- tangenta na kružnicu sa centrom O
M- dodirna tačka
OM- radijus
Znak tangente: Ako prava prolazi kraj poluprečnika koji leži na kružnici i okomita je na poluprečnik, onda je to tangenta.
krug sa centrom O
radijus OM
m- prava koja prolazi kroz tačku M
m - tangenta
Svojstvo tangenti koje prolaze kroz jednu tačku:
Tangentni segmenti na
nacrtani krugovi
iz jedne tačke, jednaki su i
napraviti jednake uglove
sa ravnom linijom
ovu tačku i centar kružnice.
▼ Po svojstvu tangente
∆ ABO, ∆ ASO-pravokutni
∆ ABO \u003d ∆ ASO - duž hipotenuze i kraka:
OA - general,