Ako se koordinatni sistem uvede na ravan ili u trodimenzionalni prostor, tada ćemo moći da opišemo geometrijske figure i njihova svojstva pomoću jednačina i nejednačina, odnosno moći ćemo koristiti metode algebre. Stoga je koncept koordinatnog sistema veoma važan.
U ovom članku ćemo pokazati kako definirati pravokutni Dekartov koordinatni sistem na ravni i u trodimenzionalnom prostoru i saznati kako se određuju koordinate tačaka. Radi jasnoće predstavljamo grafičke ilustracije.
Navigacija po stranici.
Pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem na ravni.
Hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem na ravni.
Da biste to učinili, nacrtajte dvije međusobno okomite ravne linije na ravnini, odaberite na svakoj od njih pozitivnog smjera, označavajući ga strelicom, i odaberite na svakom od njih skala(jedinica dužine). Tačku preseka ovih linija označavamo slovom O i razmotrićemo je referentna tačka... Ovako smo dobili pravougaoni koordinatni sistem na površini.
Poziva se svaka od pravih linija sa odabranim ishodištem O, smjerom i razmjerom koordinatna linija ili koordinatna osa.
Pravougaoni koordinatni sistem na ravni obično se označava Oxy, gde su Ox i Oy njegove koordinatne ose. Osa Ox se zove apscisa, a osa Oy je y-osa.
Sada se složimo sa slikom pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.
Obično se jedinica mjerenja dužine na osi Ox i Oy bira ista i iscrtava se od početka na svakoj koordinatnoj osi u pozitivnom smjeru (označeno crticom na koordinatnim osa i jedinica je ispisana pored nje), osa apscise je usmjerena udesno, a osa ordinata prema gore. Sve ostale opcije za smjer koordinatnih osa svode se na zvučnu (os Ox je desno, os Oy je gore) rotacijom koordinatnog sistema za određeni ugao u odnosu na ishodište i gledanjem na njega iz drugu stranu aviona (ako je potrebno).
Pravougaoni koordinatni sistem se često naziva Kartezijanskim, jer ga je prvi uveo René Descartes u ravan. Još češće, pravougaoni koordinatni sistem se naziva pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem, koji sve spaja.
Pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru.
Slično se postavlja i pravougaoni koordinatni sistem Oxyz u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, samo što se ne uzimaju dvije, već tri međusobno okomite prave. Drugim riječima, koordinatna osa Oz se dodaje koordinatnim osama Ox i Oy, što se naziva axis applicate.
U zavisnosti od smera koordinatnih ose, u trodimenzionalnom prostoru postoje desni i levi pravougaoni koordinatni sistemi.
Ako gledate iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox u pozitivnom smjeru ose Oy odvija se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva u pravu.
Ako gledate iz pozitivnog smjera ose Oz i najkraća rotacija iz pozitivnog smjera ose Ox na pozitivan smjer ose Oy se odvija u smjeru kazaljke na satu, tada se koordinatni sistem naziva lijevo.
Koordinate tačke u kartezijanskom koordinatnom sistemu na ravni.
Prvo, razmotrite koordinatnu pravu Ox i uzmite neku tačku M na njoj.
Svaki realan broj odgovara jednoj tački M na ovoj koordinatnoj liniji. Na primjer, tačka koja se nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od početka u pozitivnom smjeru odgovara broju, a broj -3 odgovara tački koja se nalazi na udaljenosti od 3 od početka u negativnom smjeru. Broj 0 odgovara poreklu.
S druge strane, realan broj odgovara svakoj tački M na koordinatnoj pravoj Ox. Ovaj realni broj je nula ako se tačka M poklapa sa ishodištem (sa tačkom O). Ovaj realni broj je pozitivan i jednak je dužini segmenta OM na ovoj skali, ako se tačka M udalji od početka u pozitivnom pravcu. Ovaj realni broj je negativan i jednak je dužini odsječka OM sa predznakom minus, ako se tačka M udalji od početka u negativnom smjeru.
Broj je pozvan koordinata tačke M na koordinatnoj liniji.
Sada razmotrite ravan sa uvedenim pravougaonim Kartezijanskim koordinatnim sistemom. Označimo proizvoljnu tačku M na ovoj ravni.
Neka je projekcija tačke M na pravu Ox, a projekcije tačke M na koordinatnu liniju Oy (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, ako kroz tačku M povučemo linije okomite na koordinatne ose Ox i Oy, tada su tačke preseka ovih linija sa pravim linijama Ox i Oy tačke i, respektivno.
Neka broj odgovara tački na osi Ox, a broj tački na osi Oy.
Svaka tačka M ravni u datom pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu odgovara jednom uređenom paru realnih brojeva, tzv. koordinate tačke M na površini. Koordinata se zove apscisa tačke M, a - ordinata tačke M.
Vrijedi i obrnuto: svaki uređeni par realnih brojeva odgovara tački M ravni u datom koordinatnom sistemu.
Koordinate tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru.
Pokažimo kako se koordinate tačke M određuju u pravougaonom koordinatnom sistemu definisanom u trodimenzionalnom prostoru.
Neka su i projekcije tačke M na koordinatne ose Ox, Oy i Oz, redom. Neka ove tačke na koordinatnim osama Ox, Oy i Oz odgovaraju realnim brojevima i.
U prostoru u kome se pozicija tačke može definisati kao njena projekcija na fiksne prave linije koje se seku u jednoj tački, naziva se ishodište. Ove projekcije se nazivaju koordinate tačke, a prave se nazivaju koordinatne ose.
U opštem slučaju, na ravni, Dekartov koordinatni sistem (afini koordinatni sistem) je određen tačkom O (početak koordinata) i uređenim parom vektora e 1 i e 2 (bazisnih vektora) primenjenih na njega koji ne odgovaraju leže na istoj pravoj liniji. Prave koje prolaze kroz ishodište u pravcu baznih vektora nazivaju se koordinatne ose datog Dekartovog koordinatnog sistema. Prva, definirana vektorom e 1, naziva se osa apscisa (ili osa Ox), druga - osa ordinata (ili osa Oy). Sam Dekartov koordinatni sistem je označen kao Oe 1 e 2 ili Oxy. Dekartovske koordinate tačke M (slika 1) u Dekartovom koordinatnom sistemu Oe 1 e 2 nazivaju se uređenim parom brojeva (x, y), koji su koeficijenti proširenja vektora OM u bazi (e 1 , e 2), odnosno, x i y su takvi da je OM = xe 1 + ye 2. Broj x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Ako se dva kartezijanska koordinatna sistema Oe 1 e 2 i 0'e '1 e' 2 uvedu u ravan tako da su bazni vektori (e '1, e' 2) izraženi u terminima baznih vektora (e 1, e 2) po formulama
e '1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
a tačka O 'ima koordinate (x 0, y 0) u Dekartovom koordinatnom sistemu Oe 1 e 2, zatim koordinate (x, y) tačke M u Dekartovom koordinatnom sistemu Oe 1 e2 i koordinate (x', y ' ) iste tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu O'e 1 e '2 povezani su relacijama
x = a 11 x '+ a 21 y' + x 0, y = a 12 x '+ a 22 y' + y 0.
Dekartov koordinatni sistem naziva se pravougaonim ako je osnova (e 1, e 2) ortonormalna, odnosno, vektori e 1 i e 2 su međusobno okomiti i imaju dužine, jednako jedan(vektori e 1 i e 2 se u ovom slučaju nazivaju orti). U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu, x i y koordinate tačke M su vrednosti ortogonalnih projekcija tačke M na osi Ox i Oy, respektivno. U pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu Oxy, udaljenost između tačaka M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) je √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2
Formule za prelazak iz jednog pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema Oxy u drugi pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O'kh'y', čije je poreklo O'Kartezijanskog koordinatnog sistema Oxy O' (x0, y0), imaju oblik
x = x'cosα - y'sinα + x 0, y = x'sin α + y'cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
U prvom slučaju, O'kh'yu sistem se formira rotacijom baznih vektora e 1; e 2 za ugao α i naknadni prijenos ishodišta koordinata O u tačku O' (slika 2),
i u drugom slučaju, rotiranjem baznih vektora e 1, e 2 za ugao α, zatim reflektujući osu koja sadrži vektor e 2 u odnosu na pravu liniju koja nosi vektor e 1, i pomeranjem početka koordinata O u tačku O '(Slika 3).
Ponekad se koriste kosi Kartezijanski koordinatni sistemi, koji se razlikuju od pravougaonih po tome što ugao između vektora jedinične baze nije ispravan.
Opšti Dekartov koordinatni sistem (afini koordinatni sistem) u prostoru definisan je na sličan način: postavljena je tačka O - ishodište koordinata i uređeni triplet vektora e 1, e 2, e 3 (bazni vektori) koji su joj pridruženi koji ne leže u istoj ravni. Kao iu slučaju ravnine, određuju se koordinatne osi - osa apscisa (Ox osa), osa ordinata (Oy osa) i aplikativne ose (Oz osa) (slika 4).
Dekartov koordinatni sistem u prostoru označava se Oe 1 e 2 e 3 (ili Oxyz). Ravnine koje prolaze kroz par koordinatnih osa nazivaju se koordinatne ravni. Dekartov koordinatni sistem u prostoru naziva se desnim ako se rotacija od ose Ox do ose Oy izvrši u suprotnom smeru od kretanja u smeru kazaljke na satu, ako gledate na ravan Oxy iz neke tačke na pozitivnoj poluosi Oz, u u suprotnom slučaju, Kartezijanski koordinatni sistem se naziva levim. Ako osnovni vektori e 1, e 2, e 3 imaju dužine jednake jedan i po paru su okomiti, onda se Dekartov koordinatni sistem naziva pravougaonim. Položaj jednog pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema u prostoru u odnosu na drugi pravougaoni Dekartov koordinatni sistem sa istom orijentacijom određen je sa tri Eulerova ugla.
Kartezijanski koordinatni sistem je nazvan po R. Descartesu, iako je u njegovom djelu "Geometrija" (1637) razmatran kosi koordinatni sistem u kojem su koordinate tačaka mogle biti samo pozitivne. U izdanju iz 1659-61, rad holandskog matematičara I. Guddea pridodat je "Geometriji", u kojoj su po prvi put dozvoljene i pozitivne i negativne vrijednosti koordinata. Prostorni Kartezijanski koordinatni sistem uveo je francuski matematičar F. Laire (1679). Početkom 18. stoljeća uspostavljena je oznaka x, y, z za kartezijanske koordinate.
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije
FSBEI HPE „Mari Državni univerzitet»
Odsjek za pedagogiju
esej
Po disciplini: Metodika nastave matematike
na temu: "Kartezijanski koordinatni sistem"
Izvedeno:
Viktorova O.K.
Provjereno:
Cand. ped. nauke, profesor
Borodina M.V.
Yoshkar-Ola
2015
- Rene Descartes. Biografija …………………………………………………………… .3
- Descartesov doprinos razvoju matematike kao nauke …………………… .6
- Moguća metoda proučavanje kartezijanskog koordinatnog sistema na primjeru legende o njegovom otkriću …………………………………………………………… 8
- Zaključak …………………………………………………………………………… 15
- Spisak korištene literature ……………………………………………… ..16
- Biografija
René Descartes je francuski filozof, matematičar, mehaničar, fizičar i fiziolog, tvorac analitičke geometrije i modernog algebarskog simbolizma, autor metode radikalne sumnje u filozofiji, mehanizma u fizici, preteče refleksologije.
Descartes je potekao iz stare, ali osiromašene plemićke porodice de Cartes - otuda njegovo latinizirano ime, Cartesius, i trend u filozofiji - kartezijanizam; i bio je najmlađi (treći) sin u porodici. Rođen je 31. marta 1596. godine u Laeu u Francuskoj. Majka mu je umrla kada je imao godinu dana. Descartesov otac je bio sudija u gradu Rennesu i rijetko se pojavljivao u Laeu; Dječaka je odgojila njegova baka po majci. Kao dijete, Rene se odlikovao krhkim zdravljem i nevjerovatnom radoznalošću.
Osnovno obrazovanje Descartes je dobio na jezuitskom koledžu La Flèche, gdje mu je učitelj bio Jean François. Na koledžu je Descartes upoznao Maren Mersenne (tada student, kasnije svećenik), buduću koordinatoricu naučni život Francuska. Vjeronauka je kod mladog Descartesa samo ojačala skeptičan odnos prema tadašnjim filozofskim autoritetima. Kasnije je formulisao svoju metodu spoznaje: deduktivno (matematičko) razmišljanje o rezultatima reproducibilnih eksperimenata.
Godine 1612. Descartes je diplomirao na koledžu, studirao pravo neko vrijeme u Poitiersu, a zatim je otišao u Pariz, gdje je nekoliko godina naizmenično smjenjivao odsutan život s matematičkim istraživanjem. Onda se upisao vojna služba(1617) - prvo u revolucionarnoj Holandiji (u tim godinama - saveznik Francuske), zatim u Nemačkoj, gde je učestvovao u kratkoj bici za Prag (Tridesetogodišnji rat). U Holandiji je 1618. godine Descartes upoznao izvanrednog fizičara i prirodnog filozofa Isaaca Beckmana, koji je imao značajan utjecaj na njegovo formiranje kao naučnika. Descartes je proveo nekoliko godina u Parizu, odajući se naučnom radu, gdje je, između ostalog, otkrio princip virtuelnih brzina, koji u to vrijeme još niko nije bio spreman cijeniti.
Zatim - još nekoliko godina učešća u ratu (opsada La Rochellea). Po povratku u Francusku, pokazalo se da je Descartesovo slobodoumlje postalo poznato jezuitima, te su ga optužili za jeres. Stoga se Descartes preselio u Holandiju (1628), gdje je proveo 20 godina u povučenim naučnim aktivnostima.
Održava opsežnu prepisku sa najboljim naučnicima u Evropi (preko vjernog Mersennea), proučava razne nauke - od medicine do meteorologije. Konačno, 1634. završio je svoju prvu, programsku knjigu pod nazivom "Svijet" (Le Monde), koja se sastojala od dva dijela: "Traktat o svjetlu" i "Traktat o čovjeku". Ali trenutak za objavljivanje bio je nesretan - godinu dana ranije inkvizicija je gotovo mučila Galilea. Stoga je Descartes odlučio da ovo djelo ne objavi za svog života. Pisao je Mersenneu o osudi Galileja:
“To me je toliko pogodilo da sam odlučio da spalim sve svoje papire, barem da ih nikome ne pokažem; jer nisam mogao da zamislim da bi on, Italijan koji je uživao naklonost čak i pape, mogao biti osuđen jer je nesumnjivo hteo da dokaže kretanje Zemlje... Priznajem, ako je kretanje Zemlje laž, pa laž i svi temelji moje filozofije, jer jasno vode do istog zaključka."
Međutim, ubrzo, jedna za drugom, pojavljuju se druge Descartesove knjige:
"Rasprava o metodi..." (1637.)
"Razmišljanja o prvoj filozofiji..." (1641.)
"Poreklo filozofije" (1644.)
U "Načelima filozofije" formulirane su glavne Descartesove teze:
"Bog je stvorio svijet i zakone prirode, a onda Univerzum djeluje kao nezavisni mehanizam."
“Ne postoji ništa na svijetu osim pokretne materije različite vrste... Materija se sastoji od elementarnih čestica, čija lokalna interakcija proizvodi sve prirodne pojave."
“Matematika je moćna i univerzalna metoda poznavanje prirode, model za druge nauke."
Kardinal Rišelje je blagonaklono reagovao na Dekartova dela i odobrio njihovo objavljivanje u Francuskoj, ali su protestantski teolozi Holandije nametnuli kletvu na njih (1642); bez podrške Princa od Orange, naučniku bi bilo teško.
Godine 1649. Descartes, iscrpljen godinama progona zbog slobodoumlja, podlegao je nagovorima švedske kraljice Christine (s kojom se dugo godina aktivno dopisivao) i preselio se u Stockholm. Gotovo odmah nakon preseljenja, ozbiljno se prehladio i ubrzo umro. Pretpostavljeni uzrok smrti bila je upala pluća. Postoji i hipoteza o njegovom trovanju, jer su simptomi Descartesove bolesti bili slični onima koji se javljaju kod akutnog trovanja arsenom. Ovu hipotezu je izneo Aiki Pease, nemački naučnik, a zatim je podržao Teodor Ebert. Razlog trovanja, prema ovoj verziji, bio je strah katoličkih agenata da bi Descartesovo slobodno razmišljanje moglo ometati njihove napore da pretvore kraljicu Christinu u katoličanstvo (ovo se preobraćenje zapravo dogodilo 1654. godine).
Pred kraj Descartesovog života, stav crkve prema njegovom učenju postao je oštro neprijateljski. Ubrzo nakon njegove smrti, glavna Descartesova djela uvrštena su u ozloglašeni "Indeks", a Luj XIV je posebnim dekretom zabranio učenje Dekartove filozofije ("kartezijanizam") u svim obrazovne institucije Francuska.
- Descartesov doprinos razvoju matematike kao nauke
Godine 1637. objavljeno je glavno filozofsko i matematičko djelo Descartesa, "Rasprava o metodi" (puni naziv: "Rasprava o metodi, koja vam omogućava da usmjerite svoj um i tragate za istinom u znanostima").
Ova knjiga predstavila je analitičku geometriju, au aplikacijama - brojne rezultate u algebri, geometriji, optici (uključujući - ispravna formulacija zakon prelamanja svjetlosti) i još mnogo toga.
Posebno se ističe matematička simbolika Viete, koju je od tog trenutka preradio blisko modernoj. Označio je koeficijente a, b, c ..., a nepoznanice - x, y, z. Prirodni eksponent je uzeo moderan izgled(razlomak i negativ ustanovljeni su zahvaljujući Newtonu). Iznad radikalnog izraza pojavila se linija. Jednačine su svedene na kanonski oblik (nula desno).
Descartes je simboličku algebru nazvao "Opća matematika" i napisao da ona treba da objasni "sve što se odnosi na red i mjeru".
Stvaranje analitičke geometrije omogućilo je da se proučavanje geometrijskih svojstava krivih i tijela prevede na algebarski jezik, odnosno da se analizira jednačina krive u određenom koordinatnom sistemu. Ovaj prevod je imao nedostatak što je sada bilo potrebno precizno odrediti prava geometrijska svojstva koja ne zavise od koordinatnog sistema (invarijante). Međutim, prednosti nove metode bile su izuzetno velike, a Descartes ih je demonstrirao u istoj knjizi, otkrivajući mnoge tvrdnje nepoznate drevnim i savremenim matematičarima.
U prilogu "Geometrija" date su metode za rješavanje algebarskih jednačina (uključujući geometrijske i mehaničke), klasifikacija algebarskih krivulja. Novi način specificiranje krive - korištenjem jednačine - bio je ključni korak ka konceptu funkcije. Descartes formulira tačno "pravilo predznaka" za određivanje broja pozitivnih korijena jednadžbe, iako to ne dokazuje.
Descartes je proučavao algebarske funkcije (polinome), kao i niz "mehaničkih" funkcija (spirale, cikloide). Za transcendentalne funkcije, prema Descartesu, opšta metoda istraživanje ne postoji.
Kompleksni brojevi Descartes još nije razmatrao ravnopravno sa stvarnim, ali je formulirao (iako nije dokazao) glavnu teoremu algebre: ukupan broj realnih i kompleksnih korijena polinoma jednaka je njegovom stepenu. Prema tradiciji, Descartes je negativne korijene nazvao lažnim, ali ih je kombinirao s pozitivnim pojmom realni brojevi, odvajajući ih od imaginarnih (složenih). Ovaj termin je ušao u matematiku. Međutim, Descartes je pokazao neku nedosljednost: koeficijenti a, b, c... smatrani su pozitivnim za njega, a slučaj nepoznatog znaka posebno je označen elipsom na lijevoj strani.
Sve nenegativne realne brojeve, ne isključujući iracionalne, Descartes smatra jednakim; definišu se kao odnos dužine određenog segmenta prema standardu dužine. Kasnije su Newton i Euler usvojili sličnu definiciju broja. Descartes još ne odvaja algebru od geometrije, iako mijenja njihove prioritete; on shvata rešenje jednačine kao konstrukciju segmenta dužine jednake korenu jednačine. Ovaj anahronizam ubrzo su odbacili njegovi učenici, posebno Englezi, kojima su geometrijske konstrukcije čisto pomoćno sredstvo.
Knjiga "Metoda" je Descartesa odmah učinila priznatim autoritetom u matematici i optici. Važno je napomenuti da je objavljen na francuskom, a ne na latinskom. Aplikacija Geometrija je, međutim, odmah prevedena na latinski jezik i više puta je zasebno objavljivana, izrasla iz komentara i postala stona knjiga Evropski naučnici. Radovi matematičara druge polovine 17. veka odražavaju najjači Dekartov uticaj.
- Moguća metoda za proučavanje kartezijanskog koordinatnog sistema na primjeru legende o njegovom otkriću
Postoji nekoliko legendi o pronalasku koordinatnog sistema koji nosi Descartesovo ime.
Jednom je Rene Descartes ležao u krevetu po ceo dan, razmišljajući o nečemu, a muva je zujala okolo i nije mu dala da se koncentriše. Počeo je da razmišlja kako da matematički opiše položaj muve u bilo kom trenutku, kako bi mogao da je udari a da ne promaši. I... došao do kartezijanskih koordinata, jedne od najveći izumi u istoriji čovečanstva. Pratimo put otvaranja koordinatnog sistema prema ovoj legendi na slikama.
Radno vrijeme: 1637
Scena: Radna soba Renea Descartesa.
Na slici su prikazana tri zida kancelarije:
zid sa vratima
Profilna ravnina
pod - horizontalna ravan
zid sa prozorski otvori
Frontal plane;
Bilješka!Svake dvije ravni se seku u pravoj liniji
linije.
- Muva slijeće na frontalnu ravan
- Pretvarajmo se to
René Descartes gleda
frontalna ravan unutra
okomito na njega
smjer.
Vidimo da muva
se nalazi na
frontalnoj ravni.
Ali kako tačno odrediti
njen položaj?
- Eureka!
Trebate uzeti dvije međusobno okomite brojevne prave. Tačka preseka pravih linija označena je kao O - ishodište koordinatnog sistema. Nazovimo jednu od pravih X-osa, drugu - Y-osa.
Na našoj slici, udaljenost između podjela na brojevnim pravima
je jednako jedan.
Pažnja! Možete odabrati porijeklo i smjer osi
onako kako je to zgodno za određeni zadatak.
- Definirajmo tačnu poziciju "koautora" - muhe.
Nacrtajmo dvije prave kroz tačku u kojoj se nalazi muha:
- Paralelno sa osom X. Prava linija siječe Y osu u tački s brojčanom
vrijednost jednaka 4. Ova vrijednost će se zvati "y" koordinata naše
- Paralelno sa Y-osom. Prava linija siječe X-osu u tački s brojčanom
vrijednost jednaka (-2). Ova vrijednost će se zvati x-koordinata našeg objekta.
Prihvaćene koordinate objekta, obično tačke, zapisuju se u obliku (x, y). Za našu muhu možemo reći da se nalazi u tački sa koordinatama (-2, 4).
Problem tačnog određivanja položaja mušice je riješen!
Novina ideje leži u činjenici da je pozicija tačke ili objekta na
ravan je definirana pomoću dvije ose koje se ukrštaju.
Isto se može učiniti za određivanje položaja muhe na
plafon.
Odredite položaj bube i leptira na koordinatnoj ravni.
Svi ovi primjeri demonstriraju prednosti koordinatnog metoda za određivanje položaja muve, bube i leptira u ravni pomoću Descartesovog koordinatnog sistema. I kako odrediti koordinate istih insekata ako lete, jer u ovom slučaju ne puze po površini zida ili stropa.
Za mjerenje položaja objekata u prostoru početkom 19. stoljeća
dodana je Z-osa koja je okomita na X i Y osi.
Na ilustraciji, Z-osa je usmjerena prema gore.
Zamislite da amurska mačka sjedi na grani drveta.
Ako je mačka pala na horizontalnu ravan - ravan XOY, tačka
njegov pad je imao koordinate (X1, Y1). Mačka sjedi na visini Z1 od horizontalne ravni. Dakle, položaj amurske mačke u svemiru
može se opisati sa tri koordinate (X1, Y1 Z1), nalazi se na nekoj
visina iznad tla.
Koordinate mogu imati različite numeričke vrijednosti, uključujući
nula, to znači da se objekt nalazi na nekoj koordinatnoj osi.
Ako sve tri koordinate imaju nulte vrijednosti, objekt se nalazi na početku koordinatnog sistema.
Definirajmo koordinate raznih objekata u nastavku
figure.
Papagaj je u tački sa koordinatama(0, 0, Z1).
Dabar lijevo - (X1 0 0). Dabar desno - (0 Y1 0).
Miš - (X1 Y1 0). Amur mačka - (X1 Y1 Z1).
Odgovori na pitanje:
"Gdje bi trebao sjediti ovaj kameleon?"
- Zaključak
Kartezijanski koordinatni sistem je pogurao nauku matematiku, doveo je do potpunog novi nivo... Geometrija se počela brže razvijati. U ovom radu se razmatra koordinatni sistem na nivou 5-6 razreda, kako bi se djeca zainteresovala i, što je najvažnije, razumjela kako raditi sa koordinatnim sistemom. Naravno, u budućnosti će proučavanje kartezijanskog koordinatnog sistema biti dublje. U višim razredima radit će se o trodimenzionalnom prostoru. O konstrukciji volumetrijskih figura itd. Proučavanje Dekartovog koordinatnog sistema je jedno od najvažnijih važni aspekti matematike kao nauke, a svaki nastavnik mora prenijeti svoje znanje svakom učeniku kako bi se ta znanja asimilirala za cijeli život.
- Bibliografija
- Lyubimov N.A. Descartesova filozofija. SPb., 1886
- Lyatker Ya.A. Descartes. M., 1975
- Fischer K. Descartes: njegov život, spisi i učenja. SPb., 1994
- Mamardashvili M.K. Kartezijanske refleksije. M., 1995
- Korištene web stranice: https://ru.wikipedia.org
Da bismo odredili položaj tačke u prostoru, koristićemo kartezijanske pravougaone koordinate (slika 2).
Dekartov pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY, OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište koordinata, na svakoj osi se bira pozitivan smjer označen strelicama i jedinica mjere za segmente na osi. Jedinice su obično (nisu potrebne) iste za sve osovine. Osa OX se naziva osa apscisa (ili jednostavno apscisa), osa OY je osa ordinata (ordinata), a OZ osa je osa primjene.
Položaj tačke A u prostoru određen je sa tri koordinate x, y i z. Koordinata x je jednaka dužini OB segmenta, y koordinata je dužina OC segmenta, a z koordinata je dužina OD segmenta u odabranim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD definisani su ravninama povučenim iz tačke paralelne sa ravnima YOZ, XOZ i XOY, respektivno.
Koordinata x naziva se apscisa tačke A, y koordinata je ordinata tačke A, a z koordinata je aplikacija tačke A.
Ovo je simbolično zapisano na sljedeći način:
ili povežite zapis koordinata za određenu točku koristeći indeks:
x A, y A, z A,
Svaka os se smatra numeričkom ravnom linijom, odnosno ima pozitivan smjer, a negativne koordinate su dodijeljene točkama koje leže na negativnoj zraki (udaljenost se uzima sa predznakom minus). To jest, ako, na primjer, tačka B ne leži kao na slici - na zraku OX, već na njegovom nastavku u poleđina iz tačke O (na negativnom delu OX-ose), tada bi x-apscisa tačke A bila negativna (minus rastojanje OB). Isto tako i za druge dvije ose.
Koordinatne ose OX, OY, OZ, prikazane na sl. 2, formiraju desnoruki koordinatni sistem. To znači da ako gledate u ravninu YOZ duž pozitivnog smjera ose OX, tada će kretanje ose OY prema osi OZ biti u smjeru kazaljke na satu. Ova situacija se može opisati pomoću pravila kardanskog zgloba: ako se kardan (vijak s desnim navojem) rotira u smjeru od ose OY prema OZ osi, tada će se kretati duž pozitivnog smjera ose OX.
Vektori jedinične dužine usmjereni duž koordinatnih osa nazivaju se koordinatni vektori. Obično se označavaju kao 
(sl. 3). Tu je i oznaka 
Jedinični vektori čine osnovu koordinatnog sistema.
U slučaju desnorukog koordinatnog sistema, važe sledeće formule sa vektorskim proizvodima jediničnih vektora:
DECARTOV SISTEM KOORDINATA DECARTOV SISTEM KOORDINATA
DEKARTOVSKI KOORDINATNI SISTEM, pravolinijski koordinatni sistem na ravni ili u prostoru (obično sa međusobno okomitim osama i istim razmjerima duž osa). Ime je dobio po R. Descartesu (cm. DECART Rene).
Descartes je prvi uveo koordinatni sistem koji se značajno razlikovao od opšteprihvaćenog danas. Koristio je kosi koordinatni sistem na ravni, uzimajući u obzir krivu u odnosu na neku pravu liniju sa fiksnim referentnim okvirom. Položaj tačaka krive je postavljen pomoću sistema paralelnih segmenata linija, nagnutih ili okomitih na prvobitnu pravu liniju. Descartes nije uveo drugu koordinatnu osu, nije fiksirao smjer reference od početka. Tek u 18. veku. formirano je moderno shvatanje koordinatnog sistema, koji je dobio ime Descartes.
***
Da biste odredili kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, biraju se međusobno okomite prave linije, koje se nazivaju ose. Tačka presjeka osi O zove poreklo. Svakoj osi se daje pozitivan smjer i odabire se jedinica skale. Koordinate tačke P smatraju se pozitivnim ili negativnim u zavisnosti od toga na koju poluos pada projekcija tačke P.
2D koordinatni sistem
P na ravni u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu su udaljenosti koje se uzimaju određenim predznakom (izraženim u jedinicama skale) ove tačke do dvije međusobno okomite prave linije - koordinatne ose ili projekcije radijus vektora r bodova P na dvije međusobno okomite koordinatne ose.
U dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu, horizontalna os se naziva osa apscisa (os OX), vertikalna os je ordinata (os OY). Pozitivni pravci se biraju na osi OX- desno, na osi OY- gore. Koordinate x i y nazivaju se apscisa i ordinata tačke, respektivno. Pisanje P (a, b) znači da tačka P na ravni ima apscisu a i ordinatu b.
3D koordinatni sistem
Kartezijanske pravougaone koordinate tačke P u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se udaljenosti uzete sa određenim predznakom (izraženim u jedinicama skale) ove tačke do tri međusobno okomite koordinatne ravni ili projekcije radijus vektora (cm. RADIJUS VEKTOR) r bodova P na tri međusobno okomite koordinatne ose.
Kroz proizvoljnu tačku u prostoru O- ishodište - povučene su tri uparne okomite prave linije: osa OX(os apscise), os OY(osa ordinate), os OZ(osovina se primjenjuje).
Jedinični vektori se mogu specificirati na koordinatnim osama i, j, k duž osi OX,OY, OZ respektivno.
U zavisnosti od međusobno raspoloženje pozitivni smjerovi koordinatnih osa su mogući desni i lijevi koordinatni sistemi. U pravilu se koristi desnoruki koordinatni sistem. U desnom koordinatnom sistemu pozitivni pravci se biraju na sledeći način: duž ose OX- posmatraču; duž ose OY - desno; duž OZ osi - gore. U desnom koordinatnom sistemu, najkraća rotacija od X-ose do Y-ose je u smeru suprotnom od kazaljke na satu; ako se istovremeno s takvim okretom krećemo duž pozitivnog smjera ose Z, onda dobijete kretanje po pravilu desnog zavrtnja.
Oznaka P (a, b, c) znači da tačka P ima apscisu a, ordinatu b i aplikaciju c.
Svaki triplet brojeva (a, b, c) definiše jednu tačku P. Stoga, pravougaoni Dekartov koordinatni sistem uspostavlja korespondenciju jedan prema jedan između skupa tačaka u prostoru i skupa uređenih trojki realnih brojeva.
Osim koordinatnih osa, postoje i koordinatne ravni. Koordinatne površine, za koje jedna od koordinata ostaje konstantna, ovdje su ravni paralelne sa koordinatnim ravnima, a koordinatne linije duž kojih se mijenja samo jedna koordinata su prave paralelne sa koordinatnim osama. Koordinatne površine se sijeku duž koordinatnih linija.
Koordinatna ravan XOY sadrži osovine OX i OY, koordinatna ravan YOZ sadrži osovine OY i OZ, koordinatna ravan XOZ sadrži osovine OX i OZ.
enciklopedijski rječnik. 2009 .
Pogledajte šta je "DECARTIAN KOORDINATNI SISTEM" u drugim rječnicima:
DECARTOV SISTEM KOORDINATA- pravougaoni koordinatni sistem na ravni ili u prostoru, u kojem su skale duž osa iste, a koordinatne ose međusobno okomite. D. s. K. označena slovima x :, y za tačku u ravni ili x, y, z za tačku u prostoru. (Cm.… …
DECARTIAN COORDINATE SYSTEM, sistem koji je uveo Rene DECARTH, u kojem je položaj tačke određen rastojanjem od nje do linija (ose) koje se međusobno sijeku. U najjednostavnijoj verziji sistema, ose (označene kao x i y) su okomite. Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik
Pravougaoni ili Dekartov koordinatni sistem je najčešći koordinatni sistem u ravni i prostoru. Sadržaj 1 Pravougaoni koordinatni sistem na ravni ... Wikipedia
kartezijanski koordinatni sistem
Pravolinijski koordinatni sistem (vidi Koordinate) na ravni ili u prostoru (obično sa istim razmjerima duž osa). I sam R. Descartes u Geometriji (1637) koristio je samo koordinatni sistem na ravni (općenito, kosoj). Često… … Velika sovjetska enciklopedija
Skup definicija koji implementira metodu koordinata, odnosno način određivanja položaja tačke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Zbirka brojeva koji određuju položaj određene tačke nazivaju se koordinate te tačke. U ... ... Wikipediji
kartezijanski sistem- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. kartezijanski sistem; Dekartov sistem koordinata vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Dekartov sistem, f; Kartezijanski sistem ... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINATNI SISTEM- skup uslova koji određuju položaj tačke na pravoj liniji, na ravni, u prostoru. Postoje razni S. do: kartezijanski, kosi, cilindrični, sferni, krivolinijski itd. Linearne i ugaone veličine koje određuju položaj ... ... Velika politehnička enciklopedija
Ortonormirani pravolinijski koordinatni sistem u Euklidskom prostoru. D. p. With. Budući da su na ravni postavljene dvije međusobno okomite ravne ose koordinata, na svakoj od njih se bira pozitivan smjer i segment jedinice ... Enciklopedija matematike
Pravougaoni koordinatni sistem je pravolinijski koordinatni sistem sa međusobno okomitim osama u ravni ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sistem. Vrlo lako i direktno generalizirano za ... ... Wikipediju
Knjige
- Računarska dinamika fluida. Teorijska osnova. Vodič za učenje, Pavlovski Valerij Aleksejevič, Nikuščenko Dmitrij Vladimirovič. Knjiga je posvećena sistematskom izlaganju teorijske osnove za postavljanje zadataka matematičko modeliranje tokovi tečnosti i gasova. Posebna pažnja plaćena za pitanja izgradnje ...