Definicja: kwadratowa odpowiadające symetrycznej formie dwuliniowej na przestrzeni liniowej V , nazywana jest funkcją jednego argumentu wektorowego .

Niech zostanie podana forma kwadratowa, odpowiadająca symetrycznej formie dwuliniowej. Następnie

stąd wynika, że odpowiednia symetryczna forma dwuliniowa jest również jednoznacznie określona przez formę kwadratową. Czyli między symetrycznymi formami dwuliniowymi i kwadratowymi na przestrzeni liniowej V ustalana jest korespondencja jeden do jednego, dlatego formy kwadratowe można badać za pomocą symetrycznych form dwuliniowych.

Rozważać n-wymiarowa przestrzeń liniowa. Przez macierz postaci kwadratowej w danej bazie przestrzeni liniowej wywoływana jest macierz odpowiadającej symetrycznej postaci dwuliniowej w tej samej bazie. Macierz kwadratowa jest zawsze symetryczna.

Oznaczmy macierz formy kwadratowej w jakiejś bazie przestrzeni. Jeśli jak zwykle oznaczamy x jest kolumną współrzędnych wektora w tej samej podstawie, to z Równania 5.5 otrzymujemy zapis macierzowy postaci kwadratowej:

Twierdzenie 5.4. Niech dwie bazy będą podane w przestrzeni liniowej

(5.10)

, (5.11)

oraz niech i będą macierzami postaci kwadratowej odpowiednio w podstawach (5.10) i (5.11). Więc gdzie T Czy macierz przejścia z (5.10) do (5.11).

Dowód wynika z Twierdzenia 5.2 i definicji macierzy postaci kwadratowej.

Ze względu na to, że macierz przejścia T jest niezdegenerowana, to rząd macierzy formy kwadratowej nie zmienia się po przejściu do nowej bazy. Dlatego można sformułować następującą definicję.

Definicja. Według rangi formy kwadratowej podanej na przestrzeni liniowej jest rządem jej macierzy w jakiejś, a więc w dowolnej bazie przestrzeni (oznaczonej).

Zapiszmy teraz formę kwadratową w formie współrzędnych. Aby to zrobić, rozszerzamy wektor w podstawie (5.10):. Jeśli jest macierzą postaci kwadratowej w tej samej podstawie, to zgodnie z równością (5.4) mamy

– (5.12)

współrzędna forma pisania formy kwadratowej. Napiszmy (5.12) szczegółowo dla n= 3, biorąc pod uwagę, że

Tak więc, jeśli podana jest podstawa, to forma kwadratowa w zapisie współrzędnych wygląda jak jednorodny wielomian drugiego stopnia w n zmienne - współrzędne wektora w danej bazie. Ten wielomian nazywa się uprzejmy forma kwadratowa w danej podstawie. Ale w zastosowaniach takie wielomiany często powstają niezależnie, bez widocznego związku z przestrzeniami liniowymi (na przykład drugie różniczki funkcji), więc sformułujemy inną definicję formy kwadratowej.

Definicja... Kwadratowy od n zmienne nazywa się w tych zmiennych wielomianem jednorodnym drugiego stopnia, czyli funkcją postaci (5.12). Macierz postaci kwadratowej (5.12) nazywana jest macierzą symetryczną.

Przykład kompilacja macierzy postaci kwadratowej. Pozwalać

Jak widać z (5.12) i (5.13), współczynnik przy pokrywa się z, tj. elementy diagonalne macierzy kwadratowej są współczynnikami kwadratów. W ten sam sposób widzimy, że - połowa współczynnika produktu. Zatem macierz postaci kwadratowej (5.14) wygląda tak:

Wybierzmy teraz ponownie w przestrzeni dwie bazy (5.10) i (5.11) i oznaczmy, jak zwykle, Czy kolumny współrzędnych wektora znajdują się odpowiednio w podstawach (5.10) i (5.11). Przy przejściu z bazy (5.10) do bazy (5.11) współrzędne wektora zmieniają się zgodnie z prawem:

gdzie jest macierz przejścia z (5.10) do (5.11). Zauważ, że macierz jest niezdegenerowana. Zapiszmy równość (5.15) w postaci współrzędnych:

lub szczegółowo:

(5.17)

Używając równości (5.17) (lub (5.16), która jest taka sama), przechodzimy od zmiennych do zmiennych.

Definicja. Liniowa niezdegenerowana transformacja zmiennych nazywa się przekształceniem zmiennych danych układem równości (5.16) lub (5.17), lub przez jedną macierz równości (5.15), pod warunkiem, że jest to macierz niezdegenerowana. Matryca T nazywa się macierzą tej transformacji zmiennych.

Jeżeli w (5.12) zamiast zmiennych podstawimy ich wyrażenia w kategoriach zmiennych według wzorów (5.17), otworzymy nawiasy i podasz podobne, to otrzymamy kolejny wielomian jednorodny drugiego stopnia:

W tym przypadku mówi się, że liniowa niezdegenerowana transformacja zmiennych (5.17) przekształca formę kwadratową w formę kwadratową. Wartości zmiennych i powiązane relacją (5.15) (lub relacje (5.16) lub (5.17)) będą nazywane właściwy dla danej liniowej niezdegenerowanej transformacji zmiennych.

Definicja. Zbiór zmiennych nazywa się nietrywialne jeśli wartość przynajmniej jednej ze zmiennych jest niezerowa. W przeciwnym razie zbiór zmiennych nazywa się trywialny .

Lemat 5.2. W ramach liniowej niezdegenerowanej transformacji zmiennych, trywialny zbiór zmiennych odpowiada trywialnemu zbiorowi.

Wynika to oczywiście z równości (5.15): jeśli, to ... Z drugiej strony, używając niezdegeneracji macierzy T, znowu z (5.15) otrzymujemy, skąd widać, że dla, również .◄

Konsekwencja. W ramach liniowej niezdegenerowanej transformacji zmiennych, nietrywialny zbiór zmiennych odpowiada nietrywialnemu zbiorowi.

Twierdzenie 5.5. Jeśli przekształcenie liniowe niezdegenerowane (5.15) przyjmuje postać kwadratową z matrycą A w formie kwadratowej z matrycą A", to (inne sformułowanie Twierdzenia 5.4).

Konsekwencja. Przy liniowej niezdegenerowanej transformacji zmiennych wyznacznik macierzy postaci kwadratowej nie zmienia znaku.

Komentarz. W przeciwieństwie do macierzy przejścia i macierzy operator liniowy, macierz liniowej niezdegenerowanej transformacji zmiennych jest zapisywana nie przez kolumny, ale przez wiersze.

Niech dane będą dwie liniowe niezdegenerowane przekształcenia zmiennych:

Zastosujmy je po kolei:

Składanie liniowych niezdegenerowanych przekształceń zmiennych(5.18) i (5.19) nazywa się ich sekwencyjnym zastosowaniem, czyli transformacją zmiennych Z (5.20) jasno wynika, że złożenie dwóch liniowych niezdegenerowanych transformacji zmiennych jest również liniową niezdegenerowaną transformacją zmiennych.

Definicja. Formy kwadratowe są nazywane równowartość jeśli istnieje liniowa niezdegenerowana transformacja zmiennych, która przekształca jedną z nich w drugą.

Definicja. Forma kwadratowa nazywana jest dodatnio określoną, jeśli wszystkie jej wartości dla rzeczywistych wartości zmiennych, które nie są równe zeru w tym samym czasie, są dodatnie. Oczywiście forma kwadratowa jest określona dodatnio.

Definicja. Mówi się, że kwadratowa forma jest ujemnie określona, jeśli wszystkie jej wartości są ujemne, z wyjątkiem wartości niezerowej dla niezerowych wartości zmiennych.

Definicja... Forma kwadratowa nazywana jest dodatnią (ujemną) półokreśloną, jeśli nie przyjmuje wartości ujemnych (dodatnich).

Formy kwadratowe, które przyjmują zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, nazywane są niezdefiniowanymi.

Na n= 1 forma kwadratowa jest albo dodatnio określona (for) albo ujemna (for). Formy nieokreślone pojawiają się, kiedy.

Twierdzenie(Kryterium Sylvestera dla dodatniej określoności formy kwadratowej). Dla formy kwadratowej

zostało pozytywnie ocenione, jest to konieczne i wystarczające do spełnienia warunków:

Dowód. Stosujemy indukcję na liczbie uwzględnionych zmiennych. Dla postaci kwadratowej w zależności od jednej zmiennej, a stwierdzenie twierdzenia jest oczywiste. Zakładamy, że twierdzenie twierdzenia jest ważne dla postaci kwadratowej w zależności od n-1 zmienne.

1. Dowód konieczności. Pozwalać

pozytywnie zdefiniowane. Następnie forma kwadratowa

będzie dodatnio określony, ponieważ jeśli, to o godz.

Zgodnie z hipotezą indukcji wszystkie główne drugorzędne formy są pozytywne, tj.

Pozostaje to udowodnić.

Dodatnia określona forma kwadratowa przez niezdegenerowaną transformację liniową X = BY zredukowana do postaci kanonicznej

Forma kwadratowa odpowiada macierzy diagonalnej

z wyznacznikiem.

Transformacja liniowa dana przez niezdegenerowaną macierz V, przekształca macierz Z forma kwadratowa w macierz. Lecz odkąd następnie .

2. Dowód wystarczalności. Załóżmy, że wszystkie wiodące molle formy kwadratowej są dodatnie :.

Udowodnijmy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona. Hipoteza indukcji implikuje pozytywną określoność formy kwadratowej ... Więc jest redukowany do postaci normalnej przez niezdegenerowaną transformację liniową. Dokonując odpowiedniej zmiany zmiennych i ustawień uzyskujemy

gdzie - kilka nowych współczynników.

Zmieniając zmienne, otrzymujemy

Wyznacznik macierzy tej formy kwadratowej jest równy, a ponieważ jego znak pokrywa się ze znakiem, a zatem forma kwadratowa - zdefiniowane pozytywnie. Twierdzenie jest udowodnione.

Aby forma kwadratowa była ujemnie określona, konieczne i wystarczające jest, aby

była pozytywna, co oznacza, że wszystkie główne drugorzędne matryce

były pozytywne. Ale to oznacza, że

tych. że znaki głównych nieletnich matrycy C naprzemiennie zaczynając od znaku minus.

Przykład. Oblicz, czy forma kwadratowa jest dodatnia (ujemna) określona czy nieokreślona.

Rozwiązanie. Macierz postaci kwadratowej to:

Obliczamy główne minory macierzy Z:

Forma kwadratowa jest pozytywna.

Rozwiązanie. Obliczamy główne minory macierzy

Forma kwadratowa jest nieokreślona.

Podsumowując, formułujemy następujące twierdzenie.

Twierdzenie(prawo bezwładności form kwadratowych). Liczba dodatnich i liczba ujemnych kwadratów w postaci normalnej, do której sprowadza się postać kwadratową niezdegenerowanymi przekształceniami liniowymi, nie zależy od wyboru tych przekształceń.

7.5. Zadania dla niezależna praca zgodnie z rozdziałem 7

7.1. Udowodnij, że jeśli forma kwadratowa z macierzą A jest dodatnio określona, to forma kwadratowa z odwrotna macierz pozytywnie zdefiniowane.

7.2. Znajdź normalny widok w dziedzinie liczb rzeczywistych

7.3. Znajdź normalny widok w dziedzinie liczb rzeczywistych

Formy kwadratowe

Forma kwadratowa f (x 1, x 2, ..., xn) n zmiennych nazywamy sumą, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej ze zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych, wziętym z pewnym współczynnikiem: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Macierz A złożona z tych współczynników nazywana jest macierzą kwadratową. to zawsze symetryczny macierz (tj. macierz symetryczna względem głównej przekątnej, a ij = a ji).

W notacji macierzowej formą kwadratową jest f (X) = X T AX, gdzie

W rzeczy samej

Na przykład zapiszmy formę kwadratową w formie macierzowej.

Aby to zrobić, znajdujemy macierz formy kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom kwadratów zmiennych, a pozostałe elementy są równe połowie odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Więc

Niech macierz-kolumna zmiennych X zostanie otrzymana przez niezdegenerowane przekształcenie liniowe macierz-kolumny Y, tj. X = CY, gdzie С jest niezdegenerowaną macierzą rzędu n. Następnie forma kwadratowa
f (X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (CT AC) Y.

Zatem przy niezdegenerowanym przekształceniu liniowym C macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać: A * = C T AC.

Na przykład znajdźmy formę kwadratową f (y 1, y 2), otrzymaną z formy kwadratowej f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 przez przekształcenie liniowe.

Forma kwadratowa nazywa się kanoniczny(To ma widok kanoniczny) jeśli wszystkie jego współczynniki a ij = 0 dla i ≠ j, to znaczy,
f (x 1, x 2, ..., x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 +… + a nn x n 2 =.

Jego macierz jest ukośna.

Twierdzenie(tu nie podano dowodu). Dowolną formę kwadratową można zredukować do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej.

Na przykład do formy kanonicznej wprowadzamy formę kwadratową
f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Aby to zrobić, najpierw wybierz cały kwadrat ze zmienną x 1:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Teraz wybieramy pełny kwadrat ze zmienną x 2:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Wtedy niezdegenerowana transformacja liniowa y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 i y 3 = x 3 redukuje tę kwadratową formę do postaci kanonicznej f (y 1, y 2 , r 3) = 2 r 1 2 - 5 lat 2 2 - (1/20) r 3 2.

Zwróć uwagęże kanoniczna forma formy kwadratowej jest określona niejednoznacznie (ta sama forma kwadratowa może być sprowadzona do formy kanonicznej różne sposoby). Jednakże różne sposoby formy kanoniczne mają szereg wspólnych właściwości. W szczególności liczba terminów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od metody sprowadzania postaci do tej postaci (na przykład w rozważanym przykładzie zawsze będą dwa współczynniki ujemne i jeden dodatni) . Ta właściwość nazywa się prawo bezwładności form kwadratowych.

Zweryfikujmy to, sprowadzając tę samą formę kwadratową do formy kanonicznej w inny sposób. Zacznijmy transformację od zmiennej x 2:
f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (r 1, r 2, r 3) = -3 r 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdzie y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1. Tutaj dodatni współczynnik 2 dla y 3 i dwa ujemne współczynniki (-3) dla y 1 i y 2 (a przy użyciu innej metody otrzymaliśmy dodatni współczynnik 2 dla y 1 i dwa ujemne - (-5) dla y 2 i (-1 / 20) dla y 3).

Należy również zauważyć, że rząd macierzy postaci kwadratowej, zwany rząd formy kwadratowej, jest równa liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej i nie zmienia się pod wpływem przekształceń liniowych.

Kwadratowa forma f (X) nazywa się pozytywnie (ujemnie) pewien jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, które nie są równe zeru w tym samym czasie, jest dodatnia, tj. f (X)> 0 (ujemne, tj.
f (X)< 0).

Na przykład forma kwadratowa f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 jest dodatnio określona, ponieważ jest sumą kwadratów, a kwadratowa forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 jest ujemnie określona, ponieważ reprezentuje to może być reprezentowane jako f 2 (X) = - (x 1 - x 2) 2.

W większości praktycznych sytuacji nieco trudniej jest ustalić określoność formy kwadratowej, dlatego stosuje się do tego jedno z poniższych twierdzeń (sformułujemy je bez dowodów).

Twierdzenie... Forma kwadratowa jest dodatnia (ujemna) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne jej macierzy są dodatnie (ujemne).

Twierdzenie (kryterium Sylwestra)... Forma kwadratowa jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie główne minory macierzy tej formy są dodatnie.

Major (róg) minor K-ty rząd macierzy A n-tego rzędu nazywany jest wyznacznikiem macierzy złożonej z pierwszych k wierszy i kolumn macierzy A ().

Zauważ, że dla ujemnych określonych form kwadratowych znaki durowych molowych zmieniają się naprzemiennie, a molowe pierwszego rzędu muszą być ujemne.

Na przykład przeanalizujmy kwadratową formę f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pod kątem określoności znaku.

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Dlatego forma kwadratowa jest dodatnio określona.

Metoda 2. Główna pomocnicza pierwszego rzędu macierzy А D 1 = a 11 = 2> 0. Główna pomocnicza drugiego rzędu D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Zatem zgodnie z kryterium Sylwestra, forma kwadratowa jest określona dodatnio.

Zbadajmy inną formę kwadratową dla określenia znaku, f (x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A =. Równanie charakterystyczne będzie miało postać = (-2 - l) *
* (- 3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
... Dlatego forma kwadratowa jest ujemnie określona.

Pojęcie formy kwadratowej. Macierz kwadratowa. Forma kanoniczna formy kwadratowej. Metoda Lagrange'a. Normalny widok forma kwadratowa. Ranga, indeks i podpis formy kwadratowej. Pozytywnie określona forma kwadratowa. Kwadryki.

Koncepcja formy kwadratowej: funkcji na przestrzeni wektorowej, określonej przez wielomian jednorodny drugiego stopnia we współrzędnych wektora.

Kwadratowy od n nieznany jest sumą, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej z tych niewiadomych, albo iloczynem dwóch różnych niewiadomych.

Macierz kwadratowa: Macierz nazywana jest w danej podstawie macierzą o postaci kwadratowej. Jeżeli charakterystyka pola nie jest równa 2, możemy przyjąć, że macierz postaci kwadratowej jest symetryczna, to znaczy.

Napisz macierz postaci kwadratowej:

W związku z tym,

W postaci wektorowej macierzy forma kwadratowa to:

A, gdzie

Forma kanoniczna formy kwadratowej: Forma kwadratowa nazywana jest kanoniczną, jeśli wszystko tj.

Każdą formę kwadratową można zredukować do formy kanonicznej za pomocą przekształceń liniowych. W praktyce zwykle stosuje się następujące metody.

Metoda Lagrange'a : sekwencyjny wybór kompletnych kwadratów. Na przykład, jeśli

Następnie podobny zabieg wykonuje się z formą kwadratową itd. Jeśli w formie kwadratowej wszystko, ale nie jest następnie po wstępnej transformacji sprawa zostaje sprowadzona do rozważanego postępowania. Czyli, jeśli na przykład umieścimy

Widok normalny postaci kwadratowej: Normalna forma kwadratowa to kanoniczna forma kwadratowa, w której wszystkie współczynniki są równe +1 lub -1.

Ranga, indeks i podpis formy kwadratowej: Według rangi formy kwadratowej A nazwany rangą macierzy A... Ranga formy kwadratowej nie zmienia się pod wpływem niezdegenerowanych przekształceń niewiadomych.

Liczba ujemnych współczynników nazywana jest ujemnym indeksem kształtu.

Liczbę wyrazów dodatnich w postaci kanonicznej nazywamy dodatnim wskaźnikiem bezwładności postaci kwadratowej, liczbę wyrazów ujemnych nazywamy wskaźnikiem ujemnym. Różnica między indeksami dodatnimi i ujemnymi nazywana jest sygnaturą kwadratową

Pozytywna określona forma kwadratowa: Rzeczywista forma kwadratowa nazywa się dodatnio określoną (ujemną określoną), jeśli dla dowolnych rzeczywistych wartości zmiennych, które nie są jednocześnie równe zeru

. (36)

W tym przypadku macierz nazywana jest również określoną dodatnio (określoną ujemnie).

Klasa form dodatnio określonych (określonych ujemnie) jest częścią klasy form nieujemnych (odpowiednio niedodatnich).

Kwadryki: Quadric - n-wymiarowa hiperpowierzchnia w n+ Przestrzeń jednowymiarowa, zdefiniowana jako zbiór zer wielomianu drugiego stopnia. Jeśli wpiszesz współrzędne ( x 1 , x 2 , x n+1) (w przestrzeni euklidesowej lub afinicznej), ogólne równanie kwadryka ma formę

To równanie można przepisać bardziej zwięźle w notacji macierzowej:

gdzie x = ( x 1 , x 2 , x n+1) to wektor wierszowy, x T - transponowany wektor, Q- macierz wielkości ( n+1) × ( n+1) (przyjmuje się, że przynajmniej jeden z jego elementów jest niezerowy), P Jest wektorem wierszowym i r Jest stałą. Najczęściej kwadryki są uważane za rzeczywiste lub Liczby zespolone... Definicję można rozszerzyć na kwadryki w przestrzeni rzutowej, patrz poniżej.

Bardziej ogólnie, zbiór zer układu równań wielomianowych jest znany jako rozmaitość algebraiczna. Tak więc kwadryka jest (afiniczną lub rzutową) rozmaitością algebraiczną drugiego stopnia i miarecznika 1.

Przekształcenia płaszczyzn i przestrzeni.

Zdefiniuj transformację płaszczyzny. Detekcja ruchu. właściwości ruchu. Dwa rodzaje ruchów: ruch I rodzaju i ruch II rodzaju. Przykłady ruchów. Analityczna ekspresja ruchu. Klasyfikacja ruchów płaskich (w zależności od obecności punktów stałych i linii niezmiennych). Grupa ruchów samolotu.

Definicja transformacji płaszczyzny: Definicja. Transformacja płaszczyzny, która zachowuje odległość między punktami, nazywa się ruch(lub poruszając się) samolotem. Transformacja płaszczyzny nazywa się powinowaty jeśli przekształca dowolne trzy punkty leżące na jednej prostej w trzy punkty również leżące na jednej prostej i jednocześnie zachowuje prosty stosunek trzech punktów.

Detekcja ruchu: jest to transformacja kształtu, która zachowuje odległość między punktami. Jeśli dwie figury są dokładnie dopasowane do siebie za pomocą ruchu, to te figury są takie same, równe.

Właściwości ruchu: każdy ruch płaszczyzny zachowujący orientację jest albo translacją równoległą, albo obrotem; każdy ruch odwracający orientację płaszczyzny jest albo symetrią osiową, albo symetrią ślizgową. Punkty leżące na linii prostej, podczas ruchu przechodzą do punktów leżących na linii prostej, a ich kolejność jest zachowana wzajemne usposobienie... Podczas ruchu kąty między półprostami są zachowane.

Dwa rodzaje ruchów: ruch I rodzaju i ruch II rodzaju: Ruchy pierwszego rodzaju to ruchy, które zachowują orientację podstaw pewnej postaci. Można je realizować ciągłymi ruchami.

Ruchy drugiego rodzaju to te ruchy, które zmieniają orientację podstaw na przeciwną. Nie można ich zrealizować przez ciągłe ruchy.

Przykładami ruchów pierwszego rodzaju są ruchy translacyjne i rotacyjne wokół linii prostej, a ruchy drugiego rodzaju to symetrie centralne i lustrzane.

Kompozycja dowolnej liczby ruchów pierwszego rodzaju jest ruchem pierwszego rodzaju.

Złożenie parzystej liczby ruchów drugiego rodzaju to ruch pierwszego rodzaju, a złożenie nieparzystej liczby ruchów drugiego rodzaju to ruch drugiego rodzaju.

Przykłady ruchów:Transfer równoległy. Niech a będzie danym wektorem. Przeniesienie równoległe do wektora a nazywa się odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na punkt M 1, że wektor MM 1 jest równy wektorowi a.

Translacja równoległa to ruch, ponieważ jest to odwzorowanie płaszczyzny na siebie, które zachowuje odległości. Ruch ten można zwizualizować jako przesunięcie całej płaszczyzny w kierunku ten wektor ale na jego długości.

Skręcać. Oznaczamy punkt O ( środek obrotu) i ustaw kąt α ( kąt obrotu). Obrót płaszczyzny wokół punktu O o kąt α nazywa się odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na punkt M 1, że OM = OM 1 i kąt MOM 1 jest równy α . W tym przypadku punkt O pozostaje na swoim miejscu, to znaczy jest wyświetlany sam w sobie, a wszystkie inne punkty obracają się wokół punktu O w tym samym kierunku - zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (rysunek pokazuje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Obrót jest ruchem, ponieważ jest odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, które utrzymuje odległości.

Analityczna ekspresja ruchu: związek analityczny między współrzędnymi przedobrazu a obrazem punktu ma postać (1).

Klasyfikacja ruchów płaskich (w zależności od obecności punktów stałych i niezmiennych linii): Definicja:

Punkt płaszczyzny jest niezmienny (stały), jeśli przekształca się w siebie pod zadaną transformacją.

Przykład: Kiedy centralna symetria punkt środka symetrii jest niezmienny. Podczas skręcania punkt środkowy skrętu jest niezmienny. Na symetria osiowa linia jest niezmienna - osią symetrii jest linia punktów niezmiennych.

Twierdzenie: Jeżeli ruch nie ma punktu niezmiennego, to ma co najmniej jeden niezmienny kierunek.

Przykład: transfer równoległy. Rzeczywiście, linie proste równoległe do tego kierunku są niezmienne jako całość, chociaż nie składają się z punktów niezmiennych.

Twierdzenie: Jeśli promień się porusza, promień przekłada się na siebie, to ruch ten jest albo identyczną transformacją, albo symetrią względem prostej zawierającej dany promień.

W związku z tym, zgodnie z obecnością niezmiennych punktów lub figur, można sklasyfikować ruchy.

Nazwa ruchu	Punkty niezmienne	Niezmienne linie
Ruch pierwszego rodzaju.
1. - obrót	(środek) - 0	Nie
2. Identyczna transformacja	wszystkie punkty samolotu	wszystko proste
3. Centralna symetria	punkt 0 - środek	wszystkie linie przechodzące przez punkt 0
4. Transfer równoległy	Nie	wszystko proste
Ruch drugiego rodzaju.
5. Symetria osiowa.	zbiór punktów	oś symetrii (linia prosta) wszystkie linie proste

Grupa ruchów samolotu: W geometrii ważna rola grupy figur grają w samodopasowanie. Jeśli - jakaś figura na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), to możesz rozważyć zbiór wszystkich tych ruchów płaszczyzny (lub przestrzeni), w których figura wchodzi w siebie.

Ta mnogość to grupa. Na przykład w przypadku trójkąta równobocznego grupa ruchów płaskich, które przekształcają trójkąt w siebie, składa się z 6 elementów: obrotu o kąty wokół punktu i symetrii wokół trzech linii prostych.

Pokazano je na ryc. 1 z czerwonymi liniami. Elementy grupy samowyrównania trójkąta foremnego można określić w inny sposób. Aby to wyjaśnić, ponumerujmy wierzchołki trójkąta foremnego liczbami 1, 2, 3. Dowolne wyrównanie trójkąta przekłada punkty 1, 2, 3 na te same punkty, ale w innej kolejności, tj. można umownie zapisać w postaci jednego z tych nawiasów:

itp.

gdzie liczby 1, 2, 3 oznaczają numery tych wierzchołków, do których przechodzą wierzchołki 1, 2, 3 w wyniku rozważanego ruchu.

Przestrzenie rzutowe i ich modele.

Pojęcie przestrzeni rzutowej i modele przestrzeni rzutowej. Podstawowe fakty geometrii rzutowej. Wiązka prostych linii wyśrodkowanych w punkcie O jest modelem płaszczyzny rzutowej. Punkty rzutowe. Płaszczyzna przedłużona jest modelem płaszczyzny rzutowej. Rozszerzona trójwymiarowa przestrzeń afiniczna lub euklidesowa - model przestrzeni rzutowej. Obrazy figur płaskich i przestrzennych w układzie równoległym.

Pojęcie przestrzeni rzutowej i modele przestrzeni rzutowej:

Przestrzeń rzutowa nad polem to przestrzeń składająca się z linii prostych (podprzestrzeni jednowymiarowych) pewnej przestrzeni liniowej nad danym polem. Proste spacje nazywają się kropki przestrzeń rzutowa. Ta definicja nadaje się do uogólnienia na organ arbitralny

Jeśli ma wymiar, to wymiar przestrzeni rzutowej jest liczbą, a sama przestrzeń rzutowa jest oznaczona i nazwana powiązana z (aby to wskazać, przyjmuje się notację).

Nazywa się przejście z przestrzeni wektorowej wymiaru do odpowiedniej przestrzeni rzutowej projekcja przestrzeń.

Punkty można opisywać za pomocą współrzędnych jednorodnych.

Podstawowe fakty geometrii rzutowej: Geometria rzutowa to gałąź geometrii, która bada płaszczyzny i przestrzenie rzutowe. główna cecha geometria projekcyjna opiera się na zasadzie dwoistości, która dodaje wdzięcznej symetrii wielu projektom. Geometrię rzutową można badać zarówno z punktu widzenia czysto geometrycznego, jak i analitycznego (z wykorzystaniem współrzędnych jednorodnych) i salgebraicznego, traktując płaszczyznę rzutową jako strukturę nad polem. Często i historycznie rzeczywista płaszczyzna rzutowa jest postrzegana jako płaszczyzna euklidesowa z dodatkiem „linii prostej w nieskończoności”.

Natomiast własności figur, którymi zajmuje się geometria euklidesowa, to: metryczny(określone wartości kątów, odcinków, powierzchni), a ekwiwalentność figur jest z nimi równoważna stosowność(to znaczy, gdy liczby można przekładać na siebie za pomocą ruchu z zachowaniem właściwości metrycznych), jest więcej „głębszych” właściwości figury geometryczne które są zachowane w przekształceniach bardziej ogólnego typu niż ruch. Geometria rzutowa bada właściwości figur, które są niezmienne w ramach klasy transformacje rzutowe, a także same te przemiany.

Geometria rzutowa uzupełnia Euklidesa, zapewniając piękne i proste rozwiązania dla wielu zadań skomplikowanych przez obecność równoległych linii. Szczególnie prosta i elegancka jest teoria projekcyjna przekrojów stożkowych.

Istnieją trzy główne podejścia do geometrii rzutowej: niezależna aksjomatyzacja, uzupełnienie geometrii euklidesowej i struktura nad polem.

Aksjomatyzacja

Przestrzeń projekcyjną można zdefiniować za pomocą inny zestaw aksjomaty.

Coxeter zapewnia:

1. Jest linia i nie ma na niej punktu.

2. Każda linia ma co najmniej trzy punkty.

3. Dokładnie jedną prostą można poprowadzić przez dwa punkty.

4. Jeśli A, b, C, oraz D- różne punkty i AB oraz płyta CD przecinają się, to AC oraz BD przecinać.

5. Jeśli ABC- samolot, wtedy przynajmniej jednego punktu nie ma na płaszczyźnie ABC.

6. Dwie różne płaszczyzny przecinają co najmniej dwa punkty.

7. Trzy punkty po przekątnej pełnego czworoboku nie są współliniowe.

8. Jeśli trzy punkty na linii prostej x x

Płaszczyzna rzutowa (bez trzeciego wymiaru) jest określona przez nieco inne aksjomaty:

1. Dokładnie jedną prostą można poprowadzić przez dwa punkty.

2. Przecinają się dowolne dwie linie.

3. Istnieją cztery punkty, z których nie ma trzech współliniowych.

4. Trzy punkty po przekątnej pełnych czworokątów nie są współliniowe.

5. Jeśli trzy punkty na linii prostej x są niezmienne względem rzutowości φ, to wszystkie punkty na x są niezmienne względem φ.

6. Twierdzenie Desarguesa: Jeśli dwa trójkąty są w perspektywie przez punkt, to są w perspektywie przez linię.

W obecności trzeciego wymiaru twierdzenie Desarguesa można udowodnić bez wprowadzania idealnych punktów i linii.

Płaszczyzna przedłużona - model płaszczyzny rzutowej: bierzemy w przestrzeni afinicznej A3 wiązkę prostych S (O) wyśrodkowanych w punkcie O i płaszczyznę Π nie przechodzącą przez środek wiązki: O 6∈ Π. Wiązka linii w przestrzeni afinicznej jest modelem płaszczyzny rzutowej. Przypiszmy odwzorowanie ze zbioru punktów płaszczyzny Π do zbioru prostych spójnika S

Rozszerzona trójwymiarowa przestrzeń afiniczna lub euklidesowa - model przestrzeni rzutowej:

Aby odwzorowanie było surjektywne, powtarzamy proces formalnego rozszerzania płaszczyzny afinicznej Π do płaszczyzny rzutowej Π, uzupełniając płaszczyznę Π o zbiór punktów niewłaściwych (M∞) takich, że: ((M∞)) = P0 (O ). Ponieważ w odwzorowaniu przedobraz każdej płaszczyzny wiązki płaszczyzn S(O) jest prostą na płaszczyźnie d, oczywiste jest, że zbiór wszystkich punktów niewłaściwych płaszczyzny rozszerzonej: Π = Π ∩ (M∞), (M∞), to prosta niewłaściwa d∞ przedłużonej płaszczyzny będącej odwrotnym obrazem płaszczyzny osobliwej Π0: (d∞) = P0 (O) (= Π0). (I.23) Umówmy się, że ostatnią równość P0 (O) = Π0 tu i dalej rozumiemy w sensie równości zbiorów punktów, ale wyposażonych w inną strukturę. Uzupełniając płaszczyznę afiniczną niewłaściwą linią prostą osiągnęliśmy, że odwzorowanie (I.21) staje się bijektywne na zbiorze wszystkich punktów rozszerzonej płaszczyzny:

Obrazy figur płaskich i przestrzennych w układzie równoległym:

W stereometrii badane są figury przestrzenne, ale na rysunku są one przedstawiane jako figury płaskie. Jak należy przedstawić figurę przestrzenną na płaszczyźnie? Zazwyczaj w geometrii używa się do tego projektowania równoległego. Niech p będzie jakimś samolotem, ja- przecinającą ją prostą (rys. 1). Przez arbitralny punkt A nie należące do linii prostej ja, narysuj linię prostą równoległą do linii prostej ja... Punkt przecięcia tej prostej z płaszczyzną p nazywamy rzutem równoległym punktu A na płaszczyźnie p w kierunku linii prostej ja... Oznaczamy to A". Jeśli punkt A należy do bezpośredniego ja, a następnie projekcja równoległa A na płaszczyźnie p jest punktem przecięcia prostej ja z samolotem s.

Tak więc każdy punkt A przestrzeń jest odwzorowana na jej rzut A"na płaszczyźnie p. Ta korespondencja nazywana jest rzutem równoległym na płaszczyznę p w kierunku linii prostej l.

Grupa przekształceń rzutowych. Aplikacja do rozwiązywania problemów.

Pojęcie transformacji rzutowej samolotu. Przykłady przekształceń rzutowych płaszczyzny. Własności przekształceń rzutowych. Homologia, własności homologii. Grupa przekształceń rzutowych.

Pojęcie transformacji rzutowej samolotu: Pojęcie transformacji projekcyjnej uogólnia pojęcie projekcji centralnej. Jeśli wykonamy rzut centralny płaszczyzny α na jakąś płaszczyznę α 1, to rzut α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... i w końcu pewną płaszczyznę α n znowu na α 1, to złożenie wszystkich tych rzutów jest przekształceniem rzutowym płaszczyzny α; w takim łańcuchu można uwzględnić występy równoległe.

Przykłady przekształceń rzutowych płaszczyzny: Przekształcenie projekcyjne ukończonej płaszczyzny to jej odwzorowanie jeden do jednego na siebie, w którym zachowana jest kolinearność punktów, czyli innymi słowy, obraz dowolnej linii prostej jest linią prostą. Każda transformacja projekcyjna jest kompozycją łańcucha projekcji środkowych i równoległych. Transformacja afiniczna to szczególny przypadek rzutowy, w którym linia w nieskończoności przechodzi w siebie.

Właściwości przekształceń rzutowych:

W ramach transformacji rzutowej trzy punkty, które nie leżą na linii, przechodzą w trzy punkty, które nie leżą na linii.

W przypadku transformacji projekcyjnej rama jest przekształcana w klatkę.

W ramach transformacji projekcyjnej linia prosta zamienia się w linię prostą, ołówek zamienia się w ołówek.

Homologia, właściwości homologii:

Przekształcenie rzutowe płaszczyzny, która ma prostą linię niezmiennych punktów, a więc ołówek niezmiennych linii prostych, nazywa się homologią.

1. Linia prosta przechodząca przez nie pokrywające się odpowiadające punkty homologii jest niezmienniczą linią prostą;

2. Linie przechodzące przez odpowiednie nie zbiegające się punkty homologii należą do jednego snopa, którego środek jest punktem niezmiennym.

3. Punkt, jego obraz i środek homologii są współliniowe.

Grupa przekształceń rzutowych: rozważ odwzorowanie rzutowe płaszczyzny rzutowej P 2 na siebie, to znaczy przekształcenie rzutowe tej płaszczyzny (P 2 '= P 2).

Tak jak poprzednio, skład f transformacji rzutowych f 1 i f 2 płaszczyzny rzutowej P 2 jest wynikiem sekwencyjnego wykonania transformacji f 1 i f 2: f = f 2 ° f 1.

Twierdzenie 1: zbiór H wszystkich przekształceń rzutowych płaszczyzny rzutowej P 2 jest grupą ze względu na złożenie przekształceń rzutowych.

Formy kwadratowe.
Znakoznaczność form. Kryterium Sylwestra

Przymiotnik „kwadratowy” od razu sugeruje, że coś tutaj ma związek z kwadratem (drugi stopień) i już niedługo dowiemy się tego „czegoś” i czym jest forma. Okazało się wprost :)

Zapraszam na moją nową lekcję i jako natychmiastową rozgrzewkę przyjrzymy się pasiakiem. liniowy. Forma liniowa zmienne są nazywane jednorodny wielomian I stopnia:

- kilka konkretnych liczb * (zakładamy, że przynajmniej jeden z nich jest niezerowy), oraz - zmienne, które mogą przyjmować dowolne wartości.

* W ramach tego tematu rozważymy tylko liczby rzeczywiste .

Spotkaliśmy się już z terminem „jednorodny” w lekcji na temat jednorodne układy równań liniowych, i w w tym przypadku zakłada, że wielomian nie ma dodanej stałej.

Na przykład: - postać liniowa dwóch zmiennych

Teraz forma jest kwadratowa. Forma kwadratowa zmienne są nazywane jednorodny wielomian II stopnia, z których każdy termin zawiera kwadrat zmiennej lub para iloczyn zmiennych. Na przykład kwadratowa forma dwóch zmiennych ma następny widok:

Uwaga! To jest standardowy wpis i nie musisz niczego w nim zmieniać! Mimo „przerażającego” wyglądu wszystko jest tutaj proste – podwójne indeksy stałych sygnalizują, które zmienne są zawarte w tym lub innym terminie:
- termin ten zawiera produkt i (kwadrat);
- oto praca;
- a oto praca.

- Od razu przewiduję rażący błąd, gdy stracą "minus" współczynnika, nie zdając sobie sprawy, że dotyczy to pojęcia:

Czasami w duchu jest opcja projektowania „szkoła”, ale tylko czasami. Nawiasem mówiąc, zauważ, że stałe tutaj nic nam nie mówią, dlatego trudniej jest zapamiętać „łatwy zapis”. Zwłaszcza, gdy zmiennych jest więcej.

i kwadratowy kształt trzech zmienne zawiera już sześć elementów:

... dlaczego „dwa” czynniki są ujęte w terminach „mieszanych”? Jest to wygodne i wkrótce stanie się jasne, dlaczego.

ale ogólna formuła napiszemy, wygodnie jest ułożyć to za pomocą „arkusza”:

- dokładnie badamy każdą linię - nie ma w tym nic złego!

Forma kwadratowa zawiera wyrazy z kwadratami zmiennych oraz wyrazy z ich iloczynami sparowanymi (cm. kombinatoryczna formuła kombinacyjna) ... Nic więcej - bez "samotnych iksów" i bez dodanej stałej (wtedy nie otrzymujesz formy kwadratowej, ale heterogeniczny wielomian stopnia 2).

Zapis macierzowy postaci kwadratowej

W zależności od wartości rozpatrywana forma może przybierać zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, to samo dotyczy dowolnej postaci liniowej - jeśli przynajmniej jeden z jej współczynników jest niezerowy, to może okazać się zarówno dodatni, jak i ujemny (w zależności od wartości ).

Ta forma nazywa się zmienny... A jeśli wszystko jest przezroczyste z formą liniową, to sytuacja z formą kwadratową jest o wiele ciekawsza:

Jest całkiem jasne, że ta forma może przybierać znaczenia dowolnego znaku, a zatem forma kwadratowa może być również naprzemienna.

Może nie być:

- zawsze, chyba że jednocześnie jest równy zero.

- dla kazdego wektor inny niż zero.

I ogólnie mówiąc, jeśli w ogóle niezerowe wektor, wtedy forma kwadratowa jest nazywana pozytywnie określony; Jeśli następnie negatywnie zdefiniowany.

I wszystko byłoby w porządku, ale pewność formy kwadratowej widoczna jest tylko w proste przykłady, a ta widoczność jest tracona nawet przy niewielkiej komplikacji:
– ?

Można przypuszczać, że forma jest zdefiniowana pozytywnie, ale czy rzeczywiście tak jest? Nagle pojawiają się wartości, przy których to mniej niż zero?

W związku z tym istnieje twierdzenie: spadam wartości własne macierze postaci kwadratowej są dodatnie * , to jest zdefiniowane pozytywnie. Jeśli wszystkie są negatywne, to negatywne.

* Udowodniono teoretycznie, że wszystkie wartości własne rzeczywistej macierzy symetrycznej ważny

Napiszmy macierz powyższej postaci:
i z równania Znajdź ją wartości własne:

Rozwiązywanie starego dobrego równanie kwadratowe:

więc forma jest zdefiniowany pozytywnie, tj. dla dowolnych wartości niezerowych, it Powyżej zera.

Rozważana metoda wydaje się działać, ale jest jedno duże ALE. Już dla macierzy „trzy na trzy” szukanie wartości własnych jest długim i nieprzyjemnym zadaniem; z dużym prawdopodobieństwem otrzymasz wielomian 3 stopnia z irracjonalnymi pierwiastkami.

Jak być? Jest prostszy sposób!

Kryterium Sylwestra

Nie, nie Sylvester Stallone :) Najpierw przypomnę co nieletni narożni macierze. Ten wyznaczniki które „wyrastają” z lewego górnego rogu:

a ostatni jest dokładnie równy wyznacznikowi macierzy.

Teraz w rzeczywistości kryterium:

1) Zdefiniowano formę kwadratową pozytywnie wtedy i tylko wtedy, gdy WSZYSTKIE z jego narożnych pomniejszych są większe od zera:.

2) Zdefiniowano formę kwadratową ujemnie wtedy i tylko wtedy, gdy jego małe kątowe przeplatają się ze znakami, podczas gdy pierwszy mniejszy jest mniejszy od zera:,, if - parzysty lub, jeśli - nieparzysty.

Jeżeli przynajmniej jeden kątowy nieletni ma przeciwny znak, to forma zmienny... Jeśli kątowe nieletnie „tamtego” znaku, ale wśród nich jest zero, to to specjalny przypadek, które przeanalizuję nieco później, po przejrzeniu bardziej typowych przykładów.

Przeanalizujmy narożne minory macierzy :

A to od razu mówi nam, że forma nie jest zdefiniowana negatywnie.

Wniosek: wszystkie rogi pomocnicze są większe od zera, więc kształt jest zdefiniowany pozytywnie.

Czy jest różnica w metodzie wartości własnej? ;)

Napiszmy macierz kształtów z Przykład 1:

jego pierwszy róg mniejszy, a drugi , stąd wynika, że forma jest znakiem przemiennym, tj. w zależności od wartości może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Jest to jednak już oczywiste.

Weźmy formę i jej macierz z Przykład 2:

nie możesz tego rozgryźć bez pewnego wglądu. Ale nie obchodzi nas kryterium Sylwestra:
stąd forma zdecydowanie nie jest negatywna.

i zdecydowanie nie pozytywne (ponieważ wszystkie dzieci narożne muszą być pozytywne).

Wniosek: forma jest naprzemienna.

Przykłady rozgrzewki dla niezależna decyzja:

Przykład 4

Zbadaj kwadratowe formy pod kątem określoności

W tych przykładach wszystko przebiega gładko (patrz koniec lekcji), ale tak naprawdę do wykonania takiego zadania Kryterium Sylwestra może nie wystarczyć.

Chodzi o to, że istnieją przypadki „krawędziowe”, a mianowicie: jeśli w ogóle niezerowe wektor, to kształt jest zdefiniowany nieujemny Jeśli następnie nie pozytywne... Te formularze mają niezerowe wektory dla których.

Tutaj możesz zacytować taki „akordeon guzikowy”:

Podświetlanie pełny kwadrat, od razu widzimy nienegatywność forma: ponadto jest równa zero i dla dowolnego wektora z równe współrzędne, Na przykład: .

Przykład lustra nie pozytywne pewna forma:

i jeszcze bardziej trywialny przykład:
- tutaj forma jest równa zero dla dowolnego wektora, gdzie jest dowolną liczbą.

Jak rozpoznać nienegatywność lub niepozytywność formy?

Do tego potrzebujemy koncepcji starsi nieletni macierze. Major minor to minor składający się z elementów, które znajdują się na przecięciu wierszy i kolumn o tych samych numerach. Tak więc macierz ma dwie główne drugorzędne elementy pierwszego rzędu:
(element znajduje się na przecięciu 1. rzędu i 1. kolumny);
(element znajduje się na przecięciu 2. rzędu i 2. kolumny),

i jeden główny drugorzędny drugorzędny:
- składa się z elementów 1., 2. rzędu i 1., 2. kolumny.

Matryca ma „trzy na trzy” jest siedem głównych nieletnich, a tutaj musisz pomachać bicepsem:
- trzy drobne klawisze I rzędu,
trzy drobne klawisze II rzędu:
- składa się z elementów 1., 2. rzędu i 1., 2. kolumny;
- składa się z elementów 1., 3. rzędu i 1., 3. kolumny;
- składa się z elementów 2., 3. rzędu i 2., 3. kolumny,
i jeden małoletni III rzędu:
- składa się z elementów 1., 2., 3. rzędu oraz 1., 2. i 3. kolumny.
Ćwiczenie zrozumienie: zapisz wszystkie główne drugorzędne matrycy .
Sprawdzamy pod koniec lekcji i kontynuujemy.

Kryterium Schwarzeneggera:

1) Niezerowa * zdefiniowana jest forma kwadratowa nieujemny wtedy i tylko wtedy, gdy WSZYSTKIE z jego głównych drugorzędnych nieujemny(większe lub równe zero).

* Zerowa (zdegenerowana) forma kwadratowa ma wszystkie współczynniki równe zero.

2) Zdefiniowano niezerową formę kwadratową z macierzą nie pozytywne wtedy i tylko wtedy, gdy jest:
- major małoletni I rzędu niepozytywny(mniejsze lub równe zero);
- major drugorzędni II rzędu nieujemny;
- major minors III rzędu niepozytywny(na przemian poszła);
…
- duże drobne zamówienie nie pozytywne jeśli - nieparzyste lub nieujemny Jeśli nawet.

Jeżeli przynajmniej jeden małoletni ma przeciwny znak, to forma jest naprzemienna.

Zobaczmy, jak działa kryterium w powyższych przykładach:

Skomponujmy macierz kształtów i Przede wszystkim obliczmy nieletni kątowe - co jeśli jest zdefiniowane dodatnio lub ujemnie?

Uzyskane wartości nie spełniają kryterium Sylwestra, ale drugie drobne nie negatywny, a to powoduje konieczność sprawdzenia drugiego kryterium (w przypadku II kryterium nie zostanie spełniony automatycznie, tj. natychmiast zostanie wyciągnięty wniosek o zmianie formy).

Główne dzieci pierwszego rzędu:
- pozytywne,
Major drugorzędny drugorzędny:
- nie negatywne.

W związku z tym WSZYSTKIE główne niepełnoletnie nie są negatywne, co oznacza, że forma nieujemny.

Napiszmy macierz postaci , dla którego oczywiście kryterium Sylwestra nie jest spełnione. Ale nie otrzymaliśmy również przeciwnych znaków (ponieważ oba narożniki niepełnoletnie są równe zeru). Dlatego sprawdzamy spełnienie kryterium nieujemny/niedodatni. Główne dzieci pierwszego rzędu:
- nie pozytywne,
Major drugorzędny drugorzędny:
- nie negatywne.

Zatem zgodnie z kryterium Schwarzeneggera (pkt 2) forma nie jest zdefiniowana pozytywnie.

Teraz, w pełni uzbrojeni, przeanalizujmy bardziej zabawny problem:

Przykład 5

Zbadaj kwadratową formę pod kątem jednoznaczności

Ta forma jest ozdobiona porządkiem „alfa”, który może być równy dowolnej liczbie rzeczywistej. Ale to będzie tylko fajniejsze my decydujemy.

Najpierw zapiszmy macierz formularza, prawdopodobnie wielu już przyzwyczaiło się do robienia tego ustnie: on główna przekątna umieszczamy współczynniki dla kwadratów, a w symetrycznych miejscach - o połowę współczynniki odpowiednich „mieszanych” prac:

Obliczmy drobne kątowe:

Rozszerzę trzeci wyznacznik wzdłuż trzeciej linii:

Formy kwadratowe. Pozytywne określone formy kwadratowe