Úvod ………………………………………………………………………………… 3
1. Vektorová a skalárna hodnota ………………………………………… .4
2. Určenie priemetu, osi a súradnice bodu ……………… ... 5
3. Vektorové premietanie na os ………………………………………… ... 6
4. Základný vzorec vektorovej algebry …………………………… ..8
5. Výpočet modulu vektora pomocou jeho priemetov ………………… ... 9
Záver ………………………………………………………………… ... 11
Literatúra ………………………………………………………………… ... 12
Úvod:
Fyzika je neoddeliteľne spojená s matematikou. Matematika poskytuje fyzike prostriedky a techniky na všeobecné a presné vyjadrenie vzťahu medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú objavené ako výsledok experimentu alebo teoretického výskumu, keďže hlavnou výskumnou metódou vo fyzike je experiment. To znamená, že vedec identifikuje výpočty pomocou meraní. Označuje vzťah medzi rôznymi fyzikálnymi veličinami. Potom sa všetko preloží do jazyka matematiky. Sformovaný matematický model... Fyzika je veda, ktorá študuje najjednoduchšie a zároveň najviac všeobecné vzory... Úlohou fyziky je vytvoriť v našom vedomí taký obraz fyzického sveta, ktorý čo najplnšie odráža jeho vlastnosti a poskytuje také vzťahy medzi prvkami modelu, aké existujú medzi prvkami.
Fyzika teda vytvára model sveta okolo nás a študuje jeho vlastnosti. Ale každý model je obmedzený. Pri tvorbe modelov toho či onoho javu sa berú do úvahy len vlastnosti a súvislosti, ktoré sú pre daný okruh javov podstatné. Toto je umenie vedca - zo všetkej rozmanitosti vybrať to hlavné.
Fyzikálne modely sú matematické, ale matematika nie je ich základom. Kvantitatívne vzťahy medzi fyzikálnymi veličinami sa zisťujú ako výsledok meraní, pozorovaní a experimentálnych výskumov a sú vyjadrené len jazykom matematiky. Neexistuje však žiadny iný jazyk na vytváranie fyzikálnych teórií.
1. Hodnota vektora a skaláru.
Vo fyzike a matematike je vektor veličina, ktorá je charakterizovaná svojou číselnou hodnotou a smerom. Vo fyzike existuje veľa dôležitých veličín, ktoré sú vektormi, napríklad sila, poloha, rýchlosť, zrýchlenie, krútiaci moment, hybnosť, sila elektrických a magnetických polí. Môžu byť porovnané s inými veličinami, ako je hmotnosť, objem, tlak, teplota a hustota, ktoré možno opísať obvyklým číslom a nazývajú sa „ skaláre" .
Píšu sa buď písmenami bežného písma, alebo číslicami (a, b, t, G, 5, −7 ....). Skaláre môžu byť pozitívne alebo negatívne. Zároveň niektoré predmety štúdia môžu mať takéto vlastnosti pre úplný popis ktorých znalosť len číselnej miery sa ukazuje ako nedostatočná, je ešte potrebné tieto vlastnosti charakterizovať podľa smeru v priestore. Takéto vlastnosti sú charakterizované vektorovými veličinami (vektormi). Vektory sa na rozdiel od skalárov označujú tučnými písmenami: a, b, g, F, C….
Vektor je často označený písmenom obyčajným (nie tučným) písmom, ale so šípkou nad ním:
Okrem toho sa vektor často označuje dvojicou písmen (zvyčajne veľkých písmen), pričom prvé písmeno označuje začiatok vektora a druhé jeho koniec.
Modul vektora, teda dĺžka nasmerovaného priameho segmentu, sa označuje rovnakými písmenami ako samotný vektor, ale normálnym (nie tučným) písmom a bez šípky nad nimi, alebo rovnako ako vektor ( to znamená tučným alebo normálnym písmom, ale so šípkou), ale potom je označenie vektora uzavreté zvislými pomlčkami.
Vektor je komplexný objekt, ktorý je súčasne charakterizovaný veľkosťou aj smerom.
Neexistujú ani pozitívne a negatívne vektory. Ale vektory sa môžu navzájom rovnať. To je, keď napríklad a a b majú rovnaké moduly a sú nasmerované rovnakým smerom. V tomto prípade je zápis platný a= b. Malo by sa tiež pamätať na to, že pred symbolom vektora sa môže objaviť znamienko mínus, napríklad - c, toto znamienko však symbolicky naznačuje, že vektor -c má rovnaký modul ako vektor c, ale je nasmerovaný v opačným smerom.
Vektor -c sa nazýva opak (alebo inverzný) vektora c.
Vo fyzike je však každý vektor naplnený špecifickým obsahom a pri porovnávaní vektorov rovnakého typu (napríklad síl) môžu mať body ich aplikácie značný význam.
2. Určenie priemetu, osi a súradnice bodu.
Os- toto je priamka, ktorá má určitý smer.
Os je označená ľubovoľným písmenom: X, Y, Z, s, t ... Zvyčajne sa na osi volí bod (ľubovoľne), ktorý sa nazýva počiatok a spravidla sa označuje písmenom O. Od tohto bodu sa počítajú vzdialenosti k iným bodom záujmu pre nás.
Bodová projekcia na osi sa nazýva základňa kolmice spadnutá z tohto bodu na tejto osi. To znamená, že priemet bodu na os je bod.
Súradnicový bod na tejto osi je číslo absolútna hodnota ktorá sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke), uzavretého medzi počiatkom osi a priemetom bodu na túto os. Toto číslo sa berie so znamienkom plus, ak sa priemet bodu nachádza v smere osi od jeho začiatku, a so znamienkom mínus, ak je v opačnom smere.
3.Premietnutie vektora na os.
Projekcia vektora na os je vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárnej projekcie vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak a x je skalárna projekcia vektora a na os X, potom a x i je jeho vektorová projekcia na túto os.
Vektorovú projekciu označujeme rovnako ako samotný vektor, avšak s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Takže vektorovú projekciu vektora a na os X označíme x (tučné písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) resp.
(netučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).
Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke), uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto vyjadrenia skalárna projekcia len hovoria - projekcia... Projekcia sa označuje rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom) s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os X a, potom jeho priemet označíme x. Pri premietaní toho istého vektora na inú os, ak je os Y, jeho priemet bude označený y.
Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad na osi X) odčítajte súradnicu začiatočného bodu od súradnice bodu jeho konca, tj.
a x = x k - x n.
Priemet vektora na os je číslo. Okrem toho môže byť projekcia kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,
záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n
a rovné nule, ak x k sa rovná x n.
Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.
Obrázok ukazuje, že a x = a Cos α
To znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora o kosínus uhla medzi smerom osi a vektorový smer... Ak je uhol ostrý, potom
Cos α> 0 a a x> 0, a ak je tupý, potom kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.
Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne a pozdĺž cesty - negatívne. Keďže je však kosínus párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (- α), potom pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.
Aby sme našli priemet vektora na os, musí sa modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.
4. Hlavný vzorec vektorovej algebry.
Projektový vektor a na osiach X a Y pravouhlého súradnicového systému. Nájdite vektorové projekcie vektora a na týchto osiach:
a x = a x i a y = a y j.
Ale v súlade s pravidlom sčítania vektorov
a = a x + a y.
a = a x i + a y j.
Vektor sme teda vyjadrili z hľadiska jeho projekcií a jednotkových vektorov pravouhlého súradnicového systému (alebo z hľadiska jeho vektorových projekcií).
Vektorové projekcie a x a a y sa nazývajú zložky alebo zložky vektora a. Operácia, ktorú sme vykonali, sa nazýva expanzia vektora pozdĺž osí pravouhlého súradnicového systému.
Ak je vektor uvedený v priestore, potom
a = a x i + a y j + a z k.
Tento vzorec sa nazýva vzorec základnej vektorovej algebry. Samozrejme, že sa to dá napísať aj takto.
Mnoho fyzikálnych veličín je úplne určených špecifikovaním určitého čísla. Sú to napríklad objem, hmotnosť, hustota, telesná teplota atď. Takéto veličiny sa nazývajú skalárne. Z tohto dôvodu sa čísla niekedy nazývajú skaláre. Existujú však aj také množstvá, ktoré sú určené nielen číslom, ale aj určitým smerom. Napríklad pri pohybe telesa treba udávať nielen rýchlosť, akou sa teleso pohybuje, ale aj smer pohybu. Tak isto pri štúdiu pôsobenia akejkoľvek sily je potrebné naznačiť nielen zmysel tejto sily, ale aj smer jej pôsobenia. Takéto množstvá sa nazývajú vektor. Na ich popis bol zavedený pojem vektor, ktorý sa ukázal byť užitočný pre matematiku.
Definícia vektora
Akýkoľvek usporiadaný pár bodov A až B priestoru definuje smerový segment, t.j. segment spolu so smerom, ktorý je na ňom určený. Ak je bod A prvý, potom sa nazýva začiatok smerovaného segmentu a bod B sa nazýva jeho koniec. Smer segmentu sa považuje za smer od začiatku do konca.
Definícia
Smerovaný úsečka sa nazýva vektor.
Vektor budeme označovať symbolom \ (\ overrightarrow (AB) \), kde prvé písmeno označuje začiatok vektora a druhé jeho koniec.
Vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú, sa nazýva nula a označené \ (\ vec (0) \) alebo len 0.
Vzdialenosť medzi začiatkom a koncom vektora sa nazýva jeho dĺžka a označuje sa ako \ (| \ šípka vpravo (AB) | \) alebo \ (| \ vec (a) | \).
Nazývajú sa vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \). kolineárne ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Kolineárne vektory môžu byť nasmerované rovnakým alebo opačným smerom.
Teraz môžeme sformulovať dôležitý koncept rovnosti dvoch vektorov.
Definícia
Vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \) sa nazývajú rovnaké (\ (\ vec (a) = \ vec (b) \)), ak sú kolineárne, majú rovnaký smer a ich dĺžka je rovnaká...
Na obr. 1 ukazuje nerovnaké vektory vľavo a rovnaké vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \) vpravo. Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že ak sa daný vektor prenáša rovnobežne so sebou samým, získa sa vektor rovný danému. V tomto ohľade sa vektory v analytickej geometrii nazývajú zadarmo.
Premietanie vektora na os
Nech os \ (u \) a nejaký vektor \ (\ šípka vpravo (AB) \) sú dané v priestore. Narysujme bodmi A a B roviny kolmé na os \ (u \). Označme A "a B" priesečníky týchto rovín s osou (pozri obrázok 2).
Premietnutie vektora \ (\ šípka vpravo (AB) \) na os \ (u \) je hodnota A "B" smerovaného segmentu A "B" na osi \ (u \). Pripomeň si to
\ (A "B" = | \ šípka vpravo (A "B") | \), ak sa smer \ (\ šípka vpravo (A "B") \) zhoduje so smerom osi \ (u \),
\ (A "B" = - | \ šípka vpravo (A "B") | \), ak je smer \ (\ šípka vpravo (A "B") \) opačný ako smer osi \ (u \),
Premietnutie vektora \ (\ šípka vpravo (AB) \) na os \ (u \) sa označí takto: \ (Pr_u \ šípka vpravo (AB) \).
Veta
Priemet vektora \ (\ šípka prekrytia (AB) \) na os \ (u \) sa rovná dĺžke vektora \ (\ šípka vpravo (AB) \) vynásobenej kosínusom uhla medzi vektorom \ (\ overrightarrow (AB) \) a \ ( u \), t.j.
Komentujte
Nech je daná \ (\ šípka vpravo (A_1B_1) = \ šípka vpravo (A_2B_2) \) a nejaká os \ (u \). Aplikovaním vzorca vety na každý z týchto vektorov dostaneme
Vektorové projekcie na súradnicovej osi
Nech je daný priestor pravouhlý systém súradníc Oxyz a ľubovoľného vektora \ (\ šípka vpravo (AB) \). Ďalej, \ (X = Pr_u \ šípka vpravo (AB), \; \; Y = Pr_u \ šípka vpravo (AB), \; \; Z = Pr_u \ šípka vpravo (AB) \). Projekcie X, Y, Z vektora \ (\ šípka vpravo (AB) \) na súradnicovej osi to nazývajú súradnice. Zároveň píšu
\ (\ šípka vpravo (AB) = (X; Y; Z) \)
Veta
Bez ohľadu na dva body A (x 1; y 1; z 1) a B (x 2; y 2; z 2), súradnice vektora \ (\ overrightarrow (AB) \) sú určené nasledujúcimi vzorcami:
X = x2-x1, Y = y2-y1, Z = z2-z1
Komentujte
Ak vektor \ (\ overrightarrow (AB) \) opustí počiatok, t.j. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, potom súradnice X, Y, Z vektora \ (\ overrightarrow (AB) \) sa rovnajú súradniciam jeho konca:
X = x, Y = y, Z = z.
Smerové kosínusy vektora
Nech je daný ľubovoľný vektor \ (\ vec (a) = (X; Y; Z) \); budeme predpokladať, že \ (\ vec (a) \) opúšťa počiatok a neleží v žiadnej súradnicovej rovine. Nakreslite roviny kolmé na osi cez bod A. Spolu so súradnicovými rovinami tvoria pravouhlý rovnobežnosten, ktorého uhlopriečka je segmentom OA (pozri obrázok).
Z elementárnej geometrie je známe, že druhá mocnina dĺžky uhlopriečky pravouhlý rovnobežnosten sa rovná súčtu druhých mocnín dĺžok jeho troch rozmerov. teda
\ (| OA | ^ 2 = | OA_x | ^ 2 + | OA_y | ^ 2 + | OA_z | ^ 2 \)
Ale \ (| OA | = | \ vec (a) |, \; \; | OA_x | = | X |, \; \; | OA_y | = | Y |, \; \; | OA_z | = | Z | \); tak dostaneme
\ (| \ vec (a) | ^ 2 = X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 \)
alebo
\ (| \ vec (a) | = \ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2) \)
Tento vzorec vyjadruje dĺžku ľubovoľného vektora z hľadiska jeho súradníc.
Označme \ (\ alfa, \; \ beta, \; \ gama \) uhly medzi vektorom \ (\ vec (a) \) a súradnicovými osami. Zo vzorcov na premietnutie vektora na os a dĺžku vektora získame
\ (\ cos \ alpha = \ frac (X) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ beta = \ frac (Y) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ gama = \ frac (Z) (\ sqrt (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2)) \)
\ (\ cos \ alpha, \; \; \ cos \ beta, \; \; \ cos \ gama \) sú tzv. smerové kosínusy vektora \ (\ vec (a) \).
Máme kvadratúru ľavej a pravej strany každej z predchádzajúcich rovníc a sčítanie výsledkov
\ (\ cos ^ 2 \ alfa + \ cos ^ 2 \ beta + \ cos ^ 2 \ gama = 1 \)
tie. súčet druhých mocnín smerových kosínusov ľubovoľného vektora sa rovná jednej.
Lineárne operácie s vektormi a ich základné vlastnosti
Lineárne operácie s vektormi sú operácie sčítania a odčítania vektorov a násobenia vektorov číslami.Pridanie dvoch vektorov
Nech sú dané dva vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \). Súčet \ (\ vec (a) + \ vec (b) \) je vektor, ktorý ide od začiatku vektora \ (\ vec (a) \) po koniec vektora \ (\ vec (b) \) za predpokladu, že vektor \ (\ vec (b) \) je pripojený na koniec vektora \ (\ vec (a) \) (pozri obrázok).Komentujte
Pôsobenie odčítacích vektorov je inverzné k pôsobeniu sčítania, t.j. rozdiel \ (\ vec (b) - \ vec (a) \) vektorov \ (\ vec (b) \) a \ (\ vec (a) \) je vektor, ktorý spolu s vektorom \ (\ vec (a ) \) dáva vektor \ (\ vec (b) \) (pozri obrázok).
Komentujte
Po určení súčtu dvoch vektorov môžete nájsť súčet ľubovoľného počtu daných vektorov. Napríklad nech sú dané tri vektory \ (\ vec (a), \; \; \ vec (b), \; \; \ vec (c) \). Sčítaním \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \ dostaneme vektor \ (\ vec (a) + \ vec (b) \). Keď k tomu teraz pridáme vektor \ (\ vec (c) \), dostaneme vektor \ (\ vec (a) + \ vec (b) + \ vec (c) \) 
Súčin vektora číslom
Nech je daný vektor \ (\ vec (a) \ neq \ vec (0) \) a číslo \ (\ lambda \ neq 0 \). Súčin \ (\ lambda \ vec (a) \) je vektor, ktorý je kolineárny s vektorom \ (\ vec (a) \), má dĺžku rovnú \ (| \ lambda | | \ vec (a) | \) a smer je rovnaký ako vektor \ (\ vec (a) \), ak \ (\ lambda> 0 \), a opačný, ak \ (\ lambda Geometrický význam operáciu vynásobenia vektora \ (\ vec (a) \ neq \ vec (0) \) číslom \ (\ lambda \ neq 0 \) možno vyjadriť takto: ak \ (| \ lambda |> 1 \ ), potom sa pri násobení vektora \ (\ vec (a) \) číslom \ (\ lambda \) vektor \ (\ vec (a) \) "natiahne" \ (\ lambda \) krát, a ak \ (| \ lambda | 1 \ ).Ak \ (\ lambda = 0 \) alebo \ (\ vec (a) = \ vec (0) \), potom sa súčin \ (\ lambda \ vec (a) \) považuje za rovný nulovému vektoru.
Komentujte
Pomocou definície násobenia vektora číslom je ľahké dokázať, že ak vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \) sú kolineárne a \ (\ vec (a) \ neq \ vec (0) \), potom existuje (a iba jedno) číslo \ (\ lambda \) také, že \ (\ vec (b) = \ lambda \ vec (a) \)
Základné vlastnosti lineárnych operácií
1. Vlastnosť posunu sčítania
\ (\ vec (a) + \ vec (b) = \ vec (b) + \ vec (a) \)
2. Kombinačná vlastnosť sčítania
\ ((\ vec (a) + \ vec (b)) + \ vec (c) = \ vec (a) + (\ vec (b) + \ vec (c)) \)
3. Kombinačná vlastnosť násobenia
\ (\ lambda (\ mu \ vec (a)) = (\ lambda \ mu) \ vec (a) \)
4. Distribučný majetok vzhľadom na súčet čísel
\ ((\ lambda + \ mu) \ vec (a) = \ lambda \ vec (a) + \ mu \ vec (a) \)
5. Distribučná vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov
\ (\ lambda (\ vec (a) + \ vec (b)) = \ lambda \ vec (a) + \ lambda \ vec (b) \)
Komentujte
Tieto vlastnosti lineárnych operácií majú zásadný význam, pretože umožňujú vykonávať bežné algebraické operácie s vektormi. Napríklad vďaka vlastnostiam 4 a 5 môžete vynásobiť skalárny polynóm vektorovým polynómom „člen po člene“.
Vektorové projekčné teorémy
Veta
Priemet súčtu dvoch vektorov na os sa rovná súčtu ich priemetov na túto os, t.j.
\ (Pr_u (\ vec (a) + \ vec (b)) = Pr_u \ vec (a) + Pr_u \ vec (b) \)
Veta sa dá zovšeobecniť na prípad ľubovoľného počtu členov.
Veta
Pri vynásobení vektora \ (\ vec (a) \) číslom \ (\ lambda \) sa týmto číslom vynásobí aj jeho priemet na os, t.j. \ (Pr_u \ lambda \ vec (a) = \ lambda Pr_u \ vec (a) \)
Dôsledok
Ak \ (\ vec (a) = (x_1; y_1; z_1) \) a \ (\ vec (b) = (x_2; y_2; z_2) \), potom
\ (\ vec (a) + \ vec (b) = (x_1 + x_2; \; y_1 + y_2; \; z_1 + z_2) \)
Dôsledok
Ak \ (\ vec (a) = (x; y; z) \), potom \ (\ lambda \ vec (a) = (\ lambda x; \; \ lambda y; \; \ lambda z) \) pre ľubovoľné číslo \ (\ lambda \)
Odtiaľ sa to dá ľahko odvodiť podmienka kolinearity dvoch vektorov v súradniciach.
Vskutku, rovnosť \ (\ vec (b) = \ lambda \ vec (a) \) je ekvivalentná rovnosti \ (x_2 = \ lambda x_1, \; y_2 = \ lambda y_1, \; z_2 = \ lambda z_1 \ ) alebo
\ (\ frac (x_2) (x_1) = \ frac (y_2) (y_1) = \ frac (z_2) (z_1) \) t.j. vektory \ (\ vec (a) \) a \ (\ vec (b) \) sú kolineárne práve vtedy, ak sú ich súradnice proporcionálne.
Rozšírenie vektora v báze
Nech vektory \ (\ vec (i), \; \ vec (j), \; \ vec (k) \) sú jednotkové vektory súradnicových osí, t.j. \ (| \ vec (i) | = | \ vec (j) | = | \ vec (k) | = 1 \) a každá z nich je v rovnakom smere s príslušnou súradnicovou osou (pozri obrázok). Trojica vektorov \ (\ vec (i), \; \ vec (j), \; \ vec (k) \) sa nazýva základ.
Platí nasledujúca veta.
Veta
Akýkoľvek vektor \ (\ vec (a) \) možno jednoznačne rozšíriť v základe \ (\ vec (i), \; \ vec (j), \; \ vec (k) \; \), t.j. prezentované vo formulári
\ (\ vec (a) = \ lambda \ vec (i) + \ mu \ vec (j) + \ nu \ vec (k) \)
kde \ (\ lambda, \; \; \ mu, \; \; \ nu \) sú nejaké čísla. 
Os je smer. To znamená, že projekcia na os alebo na nasmerovanú čiaru sa považuje za rovnakú. Projekcia môže byť algebraická a geometrická. Geometricky sa priemet vektora na os chápe ako vektor a algebraicky ako číslo. To znamená, že sa používajú koncepty premietania vektora na os a numerické premietanie vektora na os.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ak máme os L a nenulový vektor A B →, potom môžeme zostrojiť vektor A 1 B 1 ⇀, označujúci priemety jeho bodov A 1 a B 1.
A 1 B → 1 bude projekcia vektora A B → na L.
Definícia 1
Priemet vektora na os nazývaný vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekcie začiatku a konca tento vektor... n p L A B → → je zvykom označovať projekciu A B → na L. Na vytvorenie projekcie na L sa kolmice na L vypustia.
Príklad 1
Príklad vektorovej projekcie na os.
Bod M 1 (x 1, y 1) je určený na súradnicovej rovine O x y. Pre obraz polomerového vektora bodu M 1 je potrebné zostrojiť projekcie na O x a O y. Získame súradnice vektorov (x 1, 0) a (0, y 1).
Ak hovoríme o priemete a → na nenulové b → alebo priemete a → do smeru b →, potom máme na mysli priemet a → na os, s ktorou sa zhoduje smer b →. Priemet a → na priamku definovanú b → označujeme n p b → a → →. Je známe, že keď je uhol medzi a → a b →, môžeme považovať n p b → a → → a b → kosmerné. V prípade, že je uhol tupý, n p b → a → → a b → smerujú opačne. V situácii kolmosti a → a b → a a → je nula, priemet a → v smere b → je nulový vektor.
Číselná charakteristika premietania vektora na os je číselná premietanie vektora na zadanú os.
Definícia 2
Numerické premietanie vektora na os je číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora kosínusom uhla medzi týmto vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.
Číselná projekcia A B → na L sa označuje n p L A B → a a → na b → - n p b → a →.
Na základe vzorca dostaneme npb → a → = a → · cos a →, b → ^, odkiaľ a → je dĺžka vektora a →, a ⇀, b → ^ je uhol medzi vektormi a → a b →.
Dostaneme vzorec na výpočet numerickej projekcie: n p b → a → = a → · cos a →, b → ^. Platí pre známe dĺžky a → a b → a uhol medzi nimi. Vzorec je použiteľný pre známe súradnice a → a b →, existuje však zjednodušený tvar.
Príklad 2
Zistite číselnú projekciu a → na priamku v smere b → s dĺžkou a → rovnou 8 a uhlom medzi nimi 60 stupňov. Podľa hypotézy máme a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Preto dosadíme číselné hodnoty do vzorca n p b ⇀ a → = a → cos a →, b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4.
odpoveď: 4.
Pre známe cos (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → b → máme a →, b → ako skalárny produkt a → a b →. Podľa vzorca n p b → a → = a → cos a ⇀, b → ^ môžeme nájsť numerickú projekciu a → smerujúcu pozdĺž vektora b → a dostaneme n p b → a → = a →, b → b →. Vzorec je ekvivalentný definícii uvedenej na začiatku odseku.
Definícia 3
Číselný priemet vektora a → na os zhodnú s b → je pomer skalárneho súčinu vektorov a → a b → k dĺžke b →. Vzorec n p b → a → = a →, b → b → je použiteľný na nájdenie numerického priemetu a → na priamku zhodnú v smere s b →, so známymi súradnicami a → a b →.
Príklad 3
B → = (- 3, 4) je dané. Nájdite numerickú projekciu a → = (1, 7) na L.
Riešenie
Na súradnicovej rovine npb → a → = a →, b → b → má tvar npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2, pre a → = (ax, ay ) a b → = bx, tým. Na nájdenie numerickej projekcie vektora a → na os L potrebujete: np L a → = npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
odpoveď: 5.
Príklad 4
Nájdite priemet a → na L, ktorý sa zhoduje so smerom b →, kde sú a → = - 2, 3, 1 a b → = (3, - 2, 6). Je daný trojrozmerný priestor.
Riešenie
Vzhľadom na a → = a x, a y, a z a b → = b x, b y, b z vypočítame skalárny súčin: a ⇀, b → = a x b x + a y b y + a z b z. Dĺžka b → sa zistí podľa vzorca b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Z toho vyplýva, že vzorec na určenie číselnej projekcie a → bude: n p b → a ⇀ = a →, b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.
Náhradné číselné hodnoty: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ...
Odpoveď: - 67.
Zvážte súvislosť medzi a → na L a projekčnou dĺžkou a → na L. Nakreslite os L pridaním a → a b → z bodu do L, potom nakreslíme kolmú čiaru z konca a → do L a priemet do L. Existuje 5 variácií obrázka:
najprv prípad pre a → = npb → a → → znamená a → = npb → a → →, teda nasleduje npb → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → a → →.
Po druhé prípad implikuje aplikáciu n p b → a → ⇀ = a → cos a →, b →, teda n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = n p b → a → →.
Po tretie prípad vysvetľuje, že pre npb → a → → = 0 → dostaneme npb ⇀ a → = a → cos (a →, b → ^) = a → cos 90 ° = 0, potom npb → a → → = 0 a npb → a → = 0 = npb → a → →.
Po štvrté prípad ukazuje npb → a → → = a → cos (180 ° - a →, b → ^) = - a → cos (a →, b → ^), nasleduje npb → a → = a → cos (a →, b → ^) = - npb → a → →.
Po piate prípad ukazuje a → = npb → a → →, čo znamená a → = npb → a → →, teda máme npb → a → = a → cos a →, b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - npb → a →.
Definícia 4
Numerická projekcia vektora a → na os L, ktorá smeruje ako b →, má nasledujúci význam:
- dĺžka priemetu vektora a → na L za predpokladu, že uhol medzi a → a b → je menší ako 90 stupňov alebo rovný 0: npb → a → = npb → a → → s podmienkou 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
- nula pod podmienkou kolmosti a → a b →: n p b → a → = 0, keď (a →, b → ^) = 90 °;
- dĺžka priemetu a → na L, vynásobená -1, keď je tupý alebo rozvinutý uhol vektorov a → a b →: n p b → a → = - n p b → a → → s podmienkou 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Príklad 5
Vzhľadom na dĺžku priemetu a → na L sa rovná 2. Nájdite číselnú projekciu a → za predpokladu, že uhol je 5 π 6 radiánov.
Riešenie
Z podmienky je zrejmé, že tento uhol je tupý: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
odpoveď: - 2.
Príklad 6
Daná je rovina O x y z s vektorovou dĺžkou a → rovnou 6 3, b → (- 2, 1, 2) s uhlom 30 stupňov. Nájdite súradnice priemetu a → na osi L.
Riešenie
Najprv vypočítame numerickú projekciu vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.
Podľa hypotézy je uhol ostrý, potom numerická projekcia a → = dĺžka priemetu vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Tento prípad ukazuje, že vektory n p L a → → a b → sú kosmerné, takže existuje číslo t, pre ktoré platí rovnosť: n p L a → → = t b →. Odtiaľto vidíme, že np L a → → = tb →, takže môžeme nájsť hodnotu parametra t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.
Potom np L a → → = 3 b → so súradnicami priemetu vektora a → na osi L sa rovnajú b → = (- 2, 1, 2), kde je potrebné vynásobiť hodnoty o 3. Máme np L a → → = (- 6 , 3, 6). Odpoveď: (- 6, 3, 6).
Je potrebné zopakovať predtým študované informácie o stave kolinearity vektorov.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Na výkresoch sa obrázky geometrických telies vytvárajú pomocou metódy projekcie. Ale na tento jeden obrázok nestačí, sú potrebné aspoň dve projekcie. Pomocou nich sa určujú body v priestore. Preto musíte vedieť, ako nájsť projekciu bodu.
Bodová projekcia
Aby ste to dosiahli, musíte zvážiť priestor dihedrálneho uhla s bodom (A) umiestneným vo vnútri. Tu sa používajú horizontálne projekčné roviny P1 a vertikálne P2. Bod (A) sa premieta na projekčné roviny kolmo. Pokiaľ ide o kolmé premietacie lúče, sú spojené do projekčnej roviny, kolmo na roviny projekcie. Pri kombinácii horizontálnej roviny P1 a čelnej roviny P2 otáčaním pozdĺž osi P2 / P1 teda získame plochý výkres.
Potom je kolmá na os znázornená čiara s projekčnými bodmi, ktoré sa na nej nachádzajú. Takto sa získa zložitý výkres. Vďaka zostrojeným segmentom na ňom a zvislej komunikačnej línii ľahko určíte polohu bodu voči projekčným rovinám.
Aby ste ľahšie pochopili, ako nájsť projekciu, musíte zvážiť pravouhlý trojuholník. Jeho krátka strana je noha a dlhá strana je prepona. Ak urobíte projekciu nohy na preponu, bude rozdelená na dva segmenty. Ak chcete určiť ich hodnotu, musíte vypočítať súbor počiatočných údajov. Zvážte na tomto trojuholníku metódy výpočtu hlavných projekcií.
Spravidla sa v tejto úlohe uvádza dĺžka ramena N a dĺžka prepony D, ktorej priemet treba nájsť. Aby sme to dosiahli, naučíme sa, ako nájsť projekciu nohy.
Zvážte spôsob, ako zistiť dĺžku nohy (A). Vzhľadom na to, že geometrický priemer priemetu nohy a dĺžky prepony sa rovná požadovanej veľkosti nohy: N = √ (D * Nd).
Ako zistiť dĺžku projekcie
Koreň súčinu možno nájsť odmocnením dĺžky požadovanej vetvy (N) a potom vydelený dĺžkou prepony: Nd = (N / √ D) ² = N² / D. Pri špecifikácii v počiatočných údajoch hodnoty iba nôh D a N, projekcie dĺžky by sa mali nájsť pomocou Pytagorovej vety.
Nájdite dĺžku prepony D. Na tento účel použite hodnoty nôh √ (N² + T²) a výslednú hodnotu potom nahraďte nasledujúcim vzorcom na nájdenie projekcie: Nd = N² / √ (N² + T²).
Keď počiatočné údaje obsahujú údaje o projekčnej dĺžke ramena RD, ako aj údaje o veľkosti prepony D, mala by sa dĺžka priemetu druhého ramena ND vypočítať pomocou jednoduchého vzorca na odčítanie: ND = D - RD.
Projekcia rýchlosti
Pozrime sa, ako nájsť projekciu rýchlosti. Aby daný vektor predstavoval popis pohybu, musí byť premietnutý na súradnicové osi. Rozlišuje sa jedna súradnicová os (lúč), dve súradnicové osi (rovina) a tri súradnicové osi (priestor). Pri hľadaní projekcie je potrebné znížiť kolmice na osi od koncov vektora.
Aby ste pochopili význam projekcie, musíte vedieť nájsť projekciu vektora.
Vektorová projekcia
Keď sa teleso pohybuje kolmo na os, projekcia bude reprezentovaná ako bod a bude mať hodnotu rovnú nule. Ak sa pohyb vykonáva rovnobežne s osou súradníc, potom sa projekcia zhoduje s modulom vektora. V prípade, že sa teleso pohybuje tak, že vektor rýchlosti smeruje k osi (x) pod uhlom φ, priemetom na túto os bude úsečka: V (x) = V cos (φ), kde V je model vektora rýchlosti.smery vektora rýchlosti a súradnicovej osi sa zhodujú, potom je projekcia kladná a naopak.
Vezmite nasledujúcu súradnicovú rovnicu: x = x (t), y = y (t), z = z (t). V v tomto prípade funkcia rýchlosti sa bude premietať na tri osi a bude mať ďalší pohľad: V (x) = dx / dt = x "(t), V (y) = dy / dt = y" (t), V (z) = dz / dt = z "(t). Z toho vyplýva, že nájsť rýchlosť, je potrebné vziať derivácie. Samotný vektor rýchlosti je vyjadrený rovnicou tohto tvaru: V = V (x) i + V (y) j + V (z) k. Tu i, j, k sú jednotkové vektory súradnicových osí x, y, z. Modul rýchlosti sa teda vypočíta podľa nasledujúceho vzorca: V = √ (V (x) ^ 2 + V (y) ^ 2 + V (z ) ^ 2).
Označme a uhol medzi vektorom a osou premietania a prenesme vektor
aby sa jeho začiatok zhodoval s nejakým bodom na osi. Ak sú smery vektorovej zložky a osi rovnaké, potom uhol a bude ostrý a ako je vidieť z obr. 24, a,
kde a je modul vektora a. Ak sú smery vektora a osi opačné, potom, berúc do úvahy znamienko projekcie, budeme mať - (pozri obr. 24, b)
t.j. predchádzajúci výraz (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je uhol a tupý a
Priemet vektora na os sa teda rovná súčinu modulu vektora o kosínus uhla medzi vektorom a osou:
Okrem tohto mať výlučne nevyhnutné vzorce na premietnutie vektora na os možno dať aj iným veľmi jednoduchý vzorec... Nastavíme počiatok na osi a zvolíme mierku, ktorá je spoločná s mierkou vektorov. Ako viete, súradnica bodu je číslo, ktoré vo vybranej mierke vyjadruje vzdialenosť od začiatku osi k priemetu daného bodu na osi a toto číslo sa berie so znamienkom plus, ak priemet bodu sa odstráni z počiatku v smere osi a so znamienkom mínus inak. Takže napríklad súradnica bodu A (obr. 23, b) bude číslo so znamienkom, ktoré vyjadruje dĺžku úseku a súradnica bodu B bude braná so znamienkom - číslom, ktoré určuje dĺžku úseku. segmente (týmto sa nezaoberáme
podrobnejšie za predpokladu, že čitateľ pozná pojem súradnice bodov z kurzu elementárnej matematiky).
Označme cez súradnicu začiatku a cez súradnicu konca vektora na osi x. Potom, ako je možné vidieť na obr. 23, ale budeme mať
Premietnutie vektora na os x bude
alebo, berúc do úvahy predchádzajúce rovnosti,
Je ľahké vidieť, že tento vzorec má všeobecný charakter a nezávisí od umiestnenia vektora vzhľadom na os a počiatok. V skutočnosti zvážte prípad znázornený na obr. 23, b. Z určenia súradníc bodov a premietnutia vektora postupne získame
(čitateľ si ľahko overí platnosť vzorca a pri inej polohe vektora voči osi a počiatku).
Z (6.11) vyplýva, že priemet vektora na os sa rovná rozdielu súradníc konca a začiatku vektora.
Výpočet projekcie vektora na osi sa vyskytuje veľmi často v rôznych problémoch. Preto je potrebné rozvíjať solídne zručnosti pri výpočte projekcií. Môžete uviesť niektoré techniky na uľahčenie procesu výpočtu projekcií.
1. Znamienko projekcie vektora na os je spravidla možné určiť priamo z výkresu a modul premietania možno vypočítať podľa vzorca
kde je ostrý uhol medzi vektorom a projekčnou osou - ak a ak táto technika, bez zavedenia niečoho zásadne nového, niekoľko
uľahčuje výpočet projekcie, pretože nevyžaduje trigonometrické transformácie.
2. Ak je potrebné určiť priemet vektora do dvoch vzájomne kolmých osí x a y (predpokladá sa, že vektor leží v rovine týchto osí) a ide o ostrý uhol medzi vektorom a osou x, je potrebné určiť priemet vektora na dve vzájomne kolmé osi x a y (predpokladá sa, že vektor leží v rovine týchto osí), potom
(znamienko výbežkov je určené z výkresu).
Príklad. Nájdite projekcie na súradnicových osiach x a y sily znázornenej na obr. 25. Z nákresu môžete vidieť, že obe projekcie budú negatívne. teda
3. Niekedy sa uplatňuje pravidlo dvojitého dizajnu, čo je nasledovné. Nech je daný vektor a os ležiaca v rovine Znížime kolmice z konca vektora na rovinu a priamku a potom spojíme podstavy kolmíc úsečkou (obr. 26). Označme uhol medzi vektorom a rovinou cez uhol medzi a cez a uhol medzi vektorom a osou premietania cez a. Keďže uhol je priamka (podľa konštrukcie), potom