Dĺžka vektora sa teda vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc
... Dĺžka n-rozmerného vektora sa vypočíta podobne
... Ak si zapamätáme, že každá súradnica vektora je rozdiel medzi súradnicami konca a začiatku, tak dostaneme vzorec pre dĺžku segmentu, t.j. Euklidovská vzdialenosť medzi bodmi.

Skalárny súčin dva vektory v rovine sú súčinom dĺžok týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi:
... Dá sa dokázať, že skalárny súčin dvoch vektorov = (x 1, x 2) a = (y 1, y 2) sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

V n-rozmernom priestore je skalárny súčin vektorov X = (x 1, x 2, ..., xn) a Y = (y 1, y 2, ..., yn) definovaný ako súčet súčinov. ich príslušných súradníc: X * Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * yn.

Operácia vzájomného násobenia vektorov je podobná násobeniu riadkovej matice stĺpcovou maticou. Zdôrazňujeme, že výsledkom bude číslo, nie vektor.

Skalárny súčin vektorov má nasledujúce vlastnosti (axiómy):

1) Komutatívna vlastnosť: X * Y = Y * X.

2) Distributívna vlastnosť vzhľadom na sčítanie: X (Y + Z) = X * Y + X * Z.

3) Pre akékoľvek reálne číslo 
.

4)
ak X nie je nulový vektor;
ak X je nulový vektor.

Lineárny vektorový priestor, v ktorom je daný skalárny súčin vektorov, ktorý spĺňa štyri zodpovedajúce axiómy, sa nazýva Euklidovský lineárny vektorpriestor.

Je ľahké vidieť, že keď vynásobíme ľubovoľný vektor sám o sebe, dostaneme druhú mocninu jeho dĺžky. Takže iným spôsobom dĺžka vektor môže byť definovaný ako druhá odmocnina jeho skalárneho štvorca :.

Dĺžka vektora má nasledujúce vlastnosti:

1) | X | = 0X = 0;

2) | X | = |  | * | X |, kde je reálne číslo;

3) | X * Y |  | X | * | Y | ( Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť);

4) | X + Y |  | X | + | Y | ( trojuholníková nerovnosť).

Uhol  medzi vektormi v n-rozmernom priestore je určený na základe konceptu skalárneho súčinu. Skutočne, ak
, potom
... Tento zlomok nie je väčší ako jedna (podľa Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti), preto ho možno nájsť odtiaľto.

Tieto dva vektory sa nazývajú ortogonálne alebo kolmý ak je ich bodový súčin nula. Z definície bodového súčinu vyplýva, že nulový vektor je ortogonálny k ľubovoľnému vektoru. Ak sú oba ortogonálne vektory nenulové, potom cos = 0, teda =  / 2 = 90 о.

Znova si pozrite obrázok 7.4. Z obrázku je vidieť, že kosínus uhla  sklonu vektora k horizontálnej osi možno vypočítať ako
, a kosínus uhla sklonu vektora k zvislej osi ako
... Tieto čísla sa zvyčajne volajú smerové kosínusy... Je ľahké overiť, že súčet druhých mocnín smerových kosínusov je vždy rovný jednej: cos 2  + cos 2  = 1. Podobne môžeme zaviesť pojem smerových kosínusov pre priestory vyššej dimenzie.

Vektorový priestorový základ

Pre vektory môžete definovať pojmy lineárna kombinácia,lineárny vzťah a nezávislosť podobne ako boli tieto koncepty zavedené pre riadky matice. Tiež platí, že ak sú vektory lineárne závislé, potom aspoň jeden z nich môže byť lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných (t. j. ide o ich lineárnu kombináciu). Platí to aj naopak: ak je jeden z vektorov lineárnou kombináciou ostatných, potom sú všetky tieto vektory v súhrne lineárne závislé.

Všimnite si, že ak medzi vektormi a l, a 2, ... a m existuje nulový vektor, potom je táto množina vektorov nevyhnutne lineárne závislá. Skutočne dostaneme l a l +  2 a 2 + ... +  m a m = 0, ak napríklad koeficient j pri nulovom vektore prirovnáme k jednej a všetky ostatné koeficienty k nule. Navyše nie všetky koeficienty sa budú rovnať nule ( j ≠ 0).

Okrem toho, ak je niektorá časť vektorov z množiny vektorov lineárne závislá, potom všetky tieto vektory sú lineárne závislé. V skutočnosti, ak niektoré vektory dávajú nulový vektor vo svojej lineárnej kombinácii s koeficientmi, ktoré nie sú súčasne nulové, potom k tomuto súčtu súčinov môžete pridať zvyšné vektory vynásobené nulovými koeficientmi a stále to bude nulový vektor.

Ako zistiť, či sú vektory lineárne závislé?

Vezmime si napríklad tri vektory: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) a a 3 = (3, 1, 4, 3). Poskladáme si z nich maticu, v ktorej budú stĺpce:

Potom sa otázka lineárnej závislosti zredukuje na určenie poradia tejto matice. Ak sa ukáže, že sa rovná trom, potom sú všetky tri stĺpce lineárne nezávislé, a ak sa ukáže, že sú menšie, bude to hovoriť o lineárnej závislosti vektorov.

Keďže poradie je 2, vektory sú lineárne závislé.

Všimnite si, že riešenie problému by sa mohlo začať úvahou založenou na definícii lineárnej nezávislosti. Konkrétne napíšte vektorovú rovnicu  lal +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, ktorá bude mať tvar l * (1, 0, 1, 5) +  2 * (2, 1, 3, -2 ) +  3 * (3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Potom dostaneme sústavu rovníc:

Riešenie tohto systému Gaussovou metódou sa zredukuje na získanie rovnakej stupňovitej matice, len bude mať o jeden stĺpec viac - voľné členy. Všetky budú nulové, pretože lineárne prevody núl nemôžu priniesť iný výsledok. Transformovaný systém rovníc bude mať tvar:

Riešenie tejto sústavy bude (-s; -s; c), kde c je ľubovoľné číslo; napríklad (-1; -1; 1). To znamená, že ak vezmeme  l = -1; 2 = -1 a 3 = 1, potom l a l +  2 a 2 +  3 a 3 = 0, t.j. vektory sú v skutočnosti lineárne závislé.

Z riešeného príkladu je zrejmé, že ak vezmeme počet vektorov väčší ako rozmer priestoru, potom budú nevyhnutne lineárne závislé. Ak by sme v tomto príklade zobrali päť vektorov, dostali by sme maticu 4 x 5, ktorej poradie nemôže byť väčšie ako štyri. Tie. maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov by stále nebol väčší ako štyri. Dva, tri alebo štyri štvorrozmerné vektory môžu byť lineárne nezávislé, ale päť alebo viac nie. V dôsledku toho nie viac ako dva vektory môžu byť lineárne nezávislé na rovine. Akékoľvek tri vektory v dvojrozmernom priestore sú lineárne závislé. V trojrozmernom priestore sú ľubovoľné štyri (alebo viac) vektorov vždy lineárne závislé. Atď.

Takže rozmer priestor možno definovať ako maximálny počet lineárne nezávislých vektorov, ktoré sa v ňom môžu nachádzať.

Súbor n lineárne nezávislých vektorov n-rozmerného priestoru R sa nazýva základ tento priestor.

Veta. Každý vektor lineárneho priestoru môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov bázy a navyše jedinečným spôsobom.

Dôkaz. Nech vektory e l, e 2, ... e n tvoria základ n-rozmerného priestoru R. Dokážme, že ľubovoľný vektor X je lineárnou kombináciou týchto vektorov. Keďže spolu s vektorom X sa počet vektorov stane (n + 1), tieto (n + 1) vektory budú lineárne závislé, t.j. existujú čísla l,  2, ...,  n, , ktoré nie sú súčasne nula, takže

 l e l +  2 e 2 + ... +  n e n + Х = 0

Navyše 0, keďže inak by sme dostali l e l +  2 e 2 + ... +  n e n = 0, kde nie všetky koeficienty l,  2, ...,  n sa rovnajú nule. To znamená, že základné vektory by boli lineárne závislé. Preto môžeme obe strany prvej rovnice rozdeliť na:

( l / ) e l + ( 2 / ) e 2 + ... + ( n / ) e n + X = 0

X = - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

kde х j = - ( j / ),
.

Teraz dokážme, že takéto zobrazenie vo forme lineárnej kombinácie je jedinečné. Predpokladajme opak, t.j. že existuje iný pohľad:

X = y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Odčítajme od neho výraz získaný predchádzajúci výraz po výraze:

0 = (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Keďže vektory bázy sú lineárne nezávislé, dostaneme, že (y j - x j) = 0,
, t.j. y j ​​​​= x j. Takže výraz sa ukázal byť rovnaký. Veta je dokázaná.

Výraz X = x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n je tzv. rozklad vektor X v základe e l, e 2, ... e n a čísla x l, x 2, ... x n - súradnice vektor x vzhľadom k tejto báze, alebo v tejto báze.

Dá sa dokázať, že ak je nnenulových vektorov n-rozmerného euklidovského priestoru párovo ortogonálnych, potom tvoria základ. V skutočnosti obe strany rovnosti l e l +  2 e 2 + ... +  n e n = 0 vynásobíme ľubovoľným vektorom е i. Dostaneme  l (el * e i) +  2 (e 2 * e i) + ... +  n (en * e i) = 0   i (ei * e i) = 0   i = 0 pre  i .

Vektory e l, e 2, ... e n n-rozmerného euklidovského priestoru tvoria ortonormálny základ ak sú tieto vektory párovo ortogonálne a norma každého z nich je rovná jednej, t.j. ak е i * e j = 0 pre i ≠ j a | е i | = 1 pre i.

Veta (bez dôkazu). Každý n-rozmerný euklidovský priestor má ortonormálny základ.

Príkladom ortonormálnej bázy je systém n jednotkových vektorov e i, v ktorom sa i-tá zložka rovná jednej a ostatné zložky sa rovnajú nule. Každý takýto vektor sa nazýva ort... Napríklad jednotkové vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Skalárny súčin vektorov (ďalej len SP). Drahí priatelia! Skúška z matematiky zahŕňa skupinu úloh na riešenie vektorov. Niektoré úlohy sme už riešili. Môžete si ich pozrieť v kategórii "Vektory". Vo všeobecnosti vektorová teória nie je náročná, hlavnou vecou je dôsledne ju študovať. Výpočty a operácie s vektormi v kurze školskej matematiky sú jednoduché, vzorce nie sú zložité. Pozri sa na. V tomto článku budeme analyzovať úlohy pre vektory SP (zahrnuté v skúške). Teraz "ponorenie" do teórie:

H Ak chcete nájsť súradnice vektora, musíte odpočítať od súradníc jeho koncazodpovedajúce súradnice jeho začiatku

A ďalej:

* Dĺžka vektora (modul) je definovaná takto:

Tieto vzorce si treba zapamätať!!!

Ukážme uhol medzi vektormi:

Je jasné, že sa môže meniť od 0 do 180 0(alebo v radiánoch od 0 do Pi).

O znaku bodkového produktu môžeme vyvodiť nejaké závery. Dĺžky vektorov majú kladná hodnota, Je to jasné. Takže znamienko bodového súčinu závisí od hodnoty kosínusu uhla medzi vektormi.

Prípady sú možné:

1. Ak je uhol medzi vektormi ostrý (od 0 0 do 90 0), potom bude mať kosínus uhla kladnú hodnotu.

2. Ak je uhol medzi vektormi tupý (od 90 0 do 180 0), potom bude mať kosínus uhla zápornú hodnotu.

* Pri nula stupňoch, to znamená, keď majú vektory rovnaký smer, kosínus sa rovná jednej a preto bude výsledok pozitívny.

Pri 180 °, to znamená, keď majú vektory opačné smery, je kosínus rovný mínus jedna,a preto bude výsledok negatívny.

Teraz DÔLEŽITÝ MOMENT!

Pri 90 o, teda keď sú vektory na seba kolmé, je kosínus rovný nule, čo znamená, že SP sa rovná nule. Tento fakt (následok, záver) sa využíva pri riešení mnohých problémov, o ktorých hovoríme vzájomná dispozícia vektory, a to aj v problémoch zahrnutých v otvorenej banke úloh z matematiky.

Formulujme tvrdenie: skalárny súčin sa rovná nule práve vtedy, ak tieto vektory ležia na kolmých priamkach.

Takže vzorce pre SP vektory:

Ak sú známe súradnice vektorov alebo súradnice bodov ich začiatkov a koncov, vždy môžeme nájsť uhol medzi vektormi:

Zvážte úlohy:

27724 Nájdite bodový súčin vektorov a a b.

Skalárny súčin vektorov môžeme nájsť pomocou jedného z dvoch vzorcov:

Uhol medzi vektormi nie je známy, ale ľahko zistíme súradnice vektorov a potom použijeme prvý vzorec. Keďže počiatky oboch vektorov sa zhodujú s počiatkom, súradnice týchto vektorov sa rovnajú súradniciam ich koncov, tj.

Ako nájsť súradnice vektora je popísané v.

Vypočítame:

odpoveď: 40

Nájdite súradnice vektorov a použite vzorec:

Na nájdenie súradníc vektora je potrebné odpočítať zodpovedajúce súradnice jeho začiatku od súradníc konca vektora, čo znamená

Vypočítame bodový súčin:

odpoveď: 40

Nájdite uhol medzi vektormi a a b. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Nech súradnice vektorov majú tvar:

Na nájdenie uhla medzi vektormi používame vzorec pre bodový súčin vektorov:

Kosínus uhla medzi vektormi:

teda:

Súradnice týchto vektorov sú:

Nahradíme ich vo vzorci:

Uhol medzi vektormi je 45 stupňov.

odpoveď: 45

Bodový súčin vektorov

Naďalej sa zaoberáme vektormi. V prvej lekcii Vektory pre figuríny skúmali sme pojem vektor, akcie s vektormi, súradnice vektora a najjednoduchšie úlohy s vektormi. Ak ste sa na túto stránku dostali prvýkrát z vyhľadávača, vrelo odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na zvládnutie látky sa musíte orientovať v termínoch a zápisoch, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a byť schopný riešiť elementárne problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a budem v nej podrobne analyzovať typické úlohy ktoré využívajú bodový súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ aktivita.... Snažte sa nepreskakovať príklady, sú sprevádzané užitočným bonusom – prax vám pomôže upevniť si preberaný materiál a dostať sa do rúk pri riešení bežných problémov v analytickej geometrii.

Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom…. Bolo by naivné si myslieť, že matematici na nič iné neprišli. Okrem už uvažovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, vektorový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov... Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine už tradične súvisia s priebehom vyššia matematika... Témy sú jednoduché, algoritmus riešenia mnohých problémov stereotypný a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa VŠETKO RAZ zvládnuť, riešiť. To platí najmä pre čajníky, verte, že autor sa vôbec nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No a z matematiky samozrejme tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu materiály využiť selektívne, v istom zmysle „dostať“ chýbajúce vedomosti, pre vás budem neškodný gróf Drakula =)

Nakoniec pootvorme dvere a s nadšením sa pozrime, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory....

Stanovenie bodového súčinu vektorov.
Bodové vlastnosti produktu. Typické úlohy

Bodový koncept produktu

Najprv o uhol medzi vektormi... Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu podrobnejšie. Zvážte voľné nenulové vektory a. Ak tieto vektory odložíte z ľubovoľného bodu, získate obrázok, ktorý si už mnohí v mysli predstavili:

Priznám sa, že tu som načrtol situáciu len v rovine porozumenia. Ak potrebujete presné definovanie uhla medzi vektormi, pozrite si učebnicu, ale pre praktické problémy to v zásade nepotrebujeme. Aj TU A ĎALEJ budem miestami ignorovať nulové vektory z dôvodu ich nízkeho praktického významu. Urobil som rezerváciu špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vyčítať teoretickú neúplnosť niektorých z nasledujúcich tvrdení.

môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (od 0 do radiánov) vrátane. Analyticky je táto skutočnosť zapísaná vo forme dvojitej nerovnosti: alebo (v radiánoch).

V literatúre sa ikona uhla často prehliada a píše sa jednoducho.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi:

Toto je už dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: bodový súčin je označený alebo jednoducho.

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vektor sa vynásobí vektorom a výsledkom je číslo. V skutočnosti, ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov zahrievania:

Príklad 1

Riešenie: Používame vzorec ... V v tomto prípade:

odpoveď:

Kosínusové hodnoty možno nájsť v trigonometrická tabuľka... Odporúčam si to vytlačiť - bude sa vyžadovať takmer vo všetkých častiach veže a bude sa vyžadovať veľakrát.

Z čisto matematického hľadiska je bodový súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a je to. Z hľadiska fyzikálnych problémov má bodový súčin vždy určitú fyzický význam, to znamená, že po výsledku musí byť uvedená jedna alebo druhá fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne bodový súčin). Práca sily sa teda meria v jouloch a odpoveď bude napísaná celkom konkrétne, napr.

Príklad 2

Nájdite ak a uhol medzi vektormi je.

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, odpoveď je na konci lekcie.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa bodový produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie bodového produktu. Pozrime sa na náš vzorec: ... Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné:, takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Funkčné grafy a vlastnosti... Pozrite sa, ako sa kosínus správa v segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť a sú možné tieto prípady:

1) Ak injekciou medzi vektormi pikantné: (od 0 do 90 stupňov), potom a bodový súčin bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a bodový súčin bude tiež kladný. Pretože vzorec je zjednodušený:.

2) Ak injekciou medzi vektormi tupý: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom bodový súčin je negatívny: . Špeciálny prípad: ak vektory opačný smer, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi nasadené: (180 stupňov). Bodový súčin je tiež negatívny, keďže

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

1) Ak, potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory kosmerné.

2) Ak, tak uhol medzi danými vektormi je tupý. Alternatívne sú vektory orientované opačne.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak injekciou medzi vektormi rovno: (90 stupňov), teda bodový súčin je nula:. Platí to aj naopak: ak, tak. Vyhlásenie je kompaktne formulované takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú tieto vektory ortogonálne... Krátky matematický zápis:

! Poznámka : opakovať základy matematickej logiky: ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „vtedy a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z toho, čo vyplýva z tohto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona tvrdí len to, žeže „z tohto vyplýva“ a nie je pravdou, že opak je pravdou. Napríklad: ale nie každé zviera je panter, takže ikonu v tomto prípade nemožno použiť. Zároveň namiesto ikony môcť použite jednosmernú ikonu. Napríklad pri riešení problému sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam. pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.

Bodové vlastnosti produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný... V tomto prípade je uhol medzi nimi rovný nule a vzorec bodového súčinu má tvar:.

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je kodirectný sám so sebou, takže použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a označuje sa ako.

Touto cestou, skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Aj keď sa to zdá nejasné, ale úlohy lekcie umiestnia všetko na svoje miesto. Na riešenie problémov potrebujeme aj my bodové vlastnosti produktu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) - posuvné resp komutatívny skalárny produktový zákon.

2) - distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho, môžete rozšíriť zátvorky.

3) - kombinácia resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštanta môže byť vyňatá z bodového súčinu.

Často sú všetky druhy vlastností (ktoré je tiež potrebné dokázať!) študentmi vnímať ako zbytočné haraburdy, ktorú si treba len zapamätať a bezpečne zabudnúť hneď po skúške. Zdalo by sa, že čo je tu dôležité, každý vie od prvej triedy, že produkt sa nemení z preskupenia faktorov:. Musím vás varovať, vo vyššej matematike s týmto prístupom je ľahké lámať drevo. Takže napríklad vlastnosť posunutia nie je platná algebraické matice... Tiež to nie je pravda pre vektorový súčin vektorov... Preto je prinajmenšom lepšie zahĺbiť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete na kurze vyššej matematiky, aby ste pochopili, čo sa dá a čo nie.

Príklad 3

.

Riešenie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. Čo je to vôbec? Súčet vektorov a je dobre definovaný vektor, ktorý sa označuje ako. Geometrický výklad akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny... Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a.

Takže podľa podmienok je potrebné nájsť bodový produkt. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale podmienka dáva podobné parametre pre vektory, takže pôjdeme iným spôsobom:

(1) Náhradné vektorové výrazy.

(2) Zátvorky rozširujeme podľa pravidla o násobení mnohočlenov, vulgárny jazykolam nájdete v článku Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovej racionálnej funkcie... Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distribučná vlastnosť skalárneho súčinu nám umožňuje rozšíriť zátvorky. máme právo.

(3) V prvom a poslednom člene kompaktne píšeme skalárne štvorce vektorov: ... V druhom člene používame permutabilitu skalárneho súčinu:.

(4) Dávame podobné výrazy:.

(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nie tak dávno. V poslednom termíne, respektíve, to isté funguje:. Druhý člen rozširujeme podľa štandardného vzorca .

(6) Tieto podmienky nahrádzame a OPATRNE urobte konečné výpočty.

odpoveď:

Záporná hodnota bodového súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Úloha je typická, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Nájdite bodový súčin vektorov a ak je známy .

Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec pre dĺžku vektora. Označenia sa tu budú trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť to prepíšem na iné písmeno:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora if .

Riešenie bude nasledovný:

(1) Dodajte vektorový výraz.

(2) Používame vzorec dĺžky:, pričom celý výraz funguje ako vektor „ve“.

(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Všimnite si, ako to tu kuriózne funguje: - v skutočnosti je to druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti je. Záujemcovia si môžu vektory preusporiadať na miestach: - dopadlo to rovnako až po preskupenie termínov.

(4) Zvyšok je už známy z dvoch predchádzajúcich problémov.

odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer – „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora if .

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí z bodkového produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec ... Podľa pravidla proporcie prestavme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany:

A vymeníme diely:

Aký je význam tohto vzorca? Ak poznáte dĺžky dvoch vektorov a ich bodový súčin, môžete vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi, a teda aj samotný uhol.

Je bodový súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov číslami? čísla. Zlomok je teda tiež určité číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom použite inverzná funkcia je ľahké nájsť samotný roh: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a, ak je to známe.

Riešenie: Používame vzorec:

Na záverečná fáza pri výpočtoch bola použitá technika - eliminácia iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa o.

Ak teda , potom:

Obrátené hodnoty goniometrické funkcie možno nájsť podľa trigonometrická tabuľka... Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie objavuje nejaký nemotorný medveď a hodnotu uhla je potrebné zistiť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti takýto obrázok uvidíme viackrát.

odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmer – radiány a stupne. Osobne, aby som vedome "vyčistil všetky otázky", uprednostňujem označenie toho aj toho (pokiaľ, samozrejme, podľa podmienky nie je potrebné uvádzať odpoveď iba v radiánoch alebo len v stupňoch).

Teraz sa budete môcť sami vyrovnať s ťažšou úlohou:

Príklad 7 *

Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi.

Úloha nie je ani taká náročná ako viackroková.
Poďme analyzovať algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky je potrebné nájsť uhol medzi vektormi, a preto musíte použiť vzorec .

2) Nájdite bodový súčin (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č.7 - poznáme číslo, čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Druhá časť lekcie sa zameriava na rovnaký bodový produkt. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový súčin vektorov,
daný súradnicami na ortonormálnom základe

odpoveď:

Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.

Príklad 14

Nájdite bodový súčin vektorov a ak

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Tu môžete využiť asociativitu operácie, teda nepočítať, ale hneď presunúť trojku zo skalárneho súčinu a vynásobiť ňou v posledný... Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , ak

Riešenie: opäť sa naznačuje spôsob predchádzajúcej časti:, ale existuje aj iný spôsob:

Nájdite vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca :

Bodkový produkt tu vôbec neprichádza do úvahy!

Ako mimo podnikania je to pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Prečo nevyužiť očividnú vlastnosť dĺžky vektora? A čo dĺžka vektora? Tento vektor 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, lebo reč je o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
- znamienko modulu "žerie" prípadné mínus čísla.

Touto cestou:

odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú dané súradnicami

teraz máme úplné informácie takže predtým odvodený vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi vyjadrite pomocou súradníc vektorov:

Kosínus uhla medzi vektormi roviny a podávané na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi podávané na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Príklad 16

Sú dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

Riešenie: Podľa podmienky sa kresba nemusí vykonať, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Okamžite si zapamätajte školské označenie uhla: - Osobitná pozornosť na priemer písmeno - to je vrchol rohu, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť by sa to dalo napísať aj jednoducho.

Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a inými slovami: .

Je žiaduce naučiť sa vykonávať analýzu vykonanú mentálne.

Nájsť vektory:

Vypočítajme bodový súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Toto je poradie plnenia úlohy, ktoré odporúčam čajníkom. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „v jednom riadku“:

Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.

Poďme nájsť samotný roh:

Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Pre kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte kryt monitora =)

odpoveď:

V odpovedi na to nezabudnite spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: nájsť pomocou kalkulačky.

Tí, ktorí si tento proces užili, môžu vypočítať uhly a uistiť sa, že kanonická rovnosť je pravdivá

Príklad 17

Trojuholník je definovaný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu

Krátka záverečná časť bude venovaná projekciám, v ktorých sa „namieša“ aj skalárny súčin:

Projekcia vektor-vektor. Priemet vektora na súradnicové osi.
Smerové kosínusy vektora

Zvážte vektory a:

Vektor premietneme na vektor, preto vynecháme začiatok a koniec vektora kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si lúče svetla dopadajúce kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) "tieňom" vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. To znamená, že PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené nasledovne: "veľký vektor" označuje vektor KTORÝ projekt, "malý dolný index" označuje vektor NA ktorý sa premieta.

Samotný záznam znie takto: "projekcia vektora" a "na vektor" bh "".

Čo sa stane, ak je vektor „bs“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „byť“. A vektor "a" sa už premietne v smere vektora "bh", jednoducho - na priamke obsahujúcej vektor "byť". To isté sa stane, ak sa vektor "a" odloží v tridsiatom kráľovstve - stále sa bude ľahko premietať na priamku obsahujúcu vektor "bh".

Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda

Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi tupý(na obrázku mentálne preusporiadajte šípku vektora), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).

Odložme tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že keď sa vektor pohybuje, jeho projekcia sa nemení.

Návrat