Podmienka kolmosti pre vektory
Vektory sú kolmé vtedy a len vtedy, ak sú ich skalárny produkt sa rovná nule.
Sú dané dva vektory a (xa; ya) a b (xb; yb). Tieto vektory budú kolmé, ak xaxb + yayb = 0.
Vektory sú paralelné, ak ich krížový súčin je nula
Rovnica priamky na rovine. Hlavné úlohy na priamke v rovine.
Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého rádu Ax + By + C = 0, pričom konštanty A, B sa súčasne nerovnajú nule, t.j. A2 + B2 0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica rovno. V závislosti od hodnôt konštanty A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady: - C = 0, A 0, B 0 - priamka prechádza počiatkom - A = 0, B 0, C 0 (O
C = 0) - priamka je rovnobežná s osou Ox- B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0) - priamka je rovnobežná s osou Oy- B = C = 0, A 0 - priamka sa zhoduje s osou Oy A = C = 0, B 0 - priamka sa zhoduje s osou Ox Rovnica priamky môže byť znázornená v rôzne formy v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.
Ak aspoň jeden z koeficientov A, B, C ur-i Ax + Vu + C = 0 sa rovná 0, ur-e
volal neúplné. Podľa tvaru rovnice priamky je možné posúdiť jej polohu
ploxoti OHU. Prípady sú možné:
1 С = 0 L: Ax + By = 0 т. О (0,0) spĺňa túto rovnicu znamená priamu čiaru
prechádza cez pôvod
2 A = 0 L: Vy + C = 0 - normálny vr n = (0, B) je odtiaľto kolmá na os ОХ
z toho vyplýva, že priamka je rovnobežná s osou OX
3 B = 0 L: Ay + C = 0 0 - nominálne v-p n = (A, 0) je kolmé na os OY odtiaľto
z toho vyplýva, že priamka je rovnobežná s osou ОУ
4 А = 0, С = 0 L: By = 0 (y = 0 (L = OX
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - neprechádza počiatkom a pretína
obe osi.
Rovnica priamka prechádza cez dva dané body a: 
Uhol medzi rovinami.
Výpočet determinantov
Výpočet determinantov je založený na ich známych vlastnostiach, ktoré platia pre determinanty všetkých rádov. Tieto vlastnosti sú:
1. Ak preusporiadate dva riadky (alebo dva stĺpce) determinantu, potom determinant zmení znamienko.
2. Ak sú zodpovedajúce prvky dvoch stĺpcov (alebo dvoch riadkov) determinantu rovnaké alebo úmerné, potom je determinant nulový.
3. Hodnota determinantu sa nezmení, ak vymeníte riadky a stĺpce pri dodržaní ich poradia.
4. Ak všetky prvky ktoréhokoľvek riadku (alebo stĺpca) majú spoločný činiteľ, potom ho možno vyňať zo znamienka determinantu.
5. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa zodpovedajúce prvky druhého riadka (alebo stĺpca), vynásobené rovnakým číslom, pripočítajú k prvkom jedného riadka (alebo stĺpca).
Matrix a dey-iya nad nimi
Matrix- matematický objekt zapísaný vo forme pravouhlej tabuľky čísel (alebo prstencových prvkov) a umožňujúci algebraické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie atď.) medzi ním a inými podobnými objektmi. Typicky sú matice reprezentované dvojrozmernými (obdĺžnikovými) tabuľkami. Niekedy sa berú do úvahy viacrozmerné alebo neobdĺžnikové matice.
Matica je zvyčajne označená veľkým písmenom latinskej abecedy a uzavretá v zátvorkách "(...)" (existuje aj výber s hranatými zátvorkami "[...]" alebo dvojitými rovnými čiarami "|| ... ||").
Čísla tvoriace maticu (prvky matice) sa často označujú rovnakým písmenom ako samotná matica, ale malým písmenom (napríklad a11 je prvkom matice A).
Každý prvok matice má 2 dolné indexy (aij) – prvé „i“ označuje číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza, a druhé „j“ je číslo stĺpca. Hovorí sa, že "matica dimenzie", čo znamená, že v matici je m riadkov a n stĺpcov. Vždy v jednej matrici,
Maticové operácie
Nech aij sú prvky matice A a bij sú prvky matice B.
Lineárne operácie:
Násobenie matice A číslom λ (zápis: λA) spočíva v zostrojení matice B, ktorej prvky sa získajú vynásobením každého prvku matice A týmto číslom, to znamená, že každý prvok matice B sa rovná
Sčítanie matíc A + B je operácia nájdenia matice C, ktorej všetky prvky sa rovnajú párovému súčtu všetkých zodpovedajúcich prvkov matíc A a B, to znamená, že každý prvok matice C sa rovná
Odčítanie matíc A - B je definované podobne ako sčítanie, ide o operáciu hľadania matice C, ktorej prvky
Sčítanie a odčítanie je povolené len pre matice rovnakej veľkosti.
Existuje nulová matica Θ, takže jej pridanie k inej matici A nemení A, tj.
Všetky prvky nulovej matice sa rovnajú nule.
Nelineárne operácie:
Násobenie matice (označenie: AB, menej často so znamienkom násobenia) je operácia výpočtu matice C, ktorej prvky sa rovnajú súčtu súčinov prvkov v príslušnom riadku prvého faktora a stĺpca Cj = ∑ aikbkj k
Prvý faktor by mal mať toľko stĺpcov, koľko je riadkov v druhom. Ak má matica A rozmer B -, potom rozmer ich súčinu AB = C je. Maticové násobenie nie je komutatívne.
Maticové násobenie je asociatívne. Iba štvorcové matice môžu byť umocnené.
Transpozícia matice (symbol: AT) - operácia, pri ktorej sa matica odráža vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, tj.
Ak A je matica veľkosti, potom AT je matica veľkosti
Derivát komplexná funkcia
Komplexná funkcia má tvar: F (x) = f (g (x)), t.j. je funkciou funkcie. Napríklad y = sin2x, y = ln (x2 + 2x) atď.
Ak je v bode x funkcia g (x) deriváciou g "(x) a v bode u = g (x) má funkcia f (u) deriváciu f" (u), potom derivácia zložená funkcia f (g (x)) v bode x existuje a rovná sa f "(u) g" (x).
Implicitná derivácia funkcie
V mnohých úlohách je funkcia y (x) daná implicitným spôsobom. Napríklad pre funkcie uvedené nižšie
nie je možné získať závislosť y (x) v explicitnom tvare.
Algoritmus na výpočet derivácie y "(x) implicitnej funkcie je nasledujúci:
Najprv musíte derivovať obe strany rovnice vzhľadom na x, za predpokladu, že y je diferencovateľná funkcia x a pomocou pravidla na výpočet derivácie komplexnej funkcie;
Vyriešte výslednú rovnicu pre deriváciu y "(x).
Na ilustráciu si uveďme niekoľko príkladov.
Diferencujte funkciu y (x) danú rovnicou.
Derivujme obe strany rovnice vzhľadom na premennú x:
čo vedie k výsledku
Lapitalovo pravidlo
L'Hôpitalovo pravidlo. Nech f-tion f (x) a g (x) majú v env. t-ku x0 pr-ny f 'a g', s vylúčením možnosti práve tohto t-ku x0. Nech lim (x®Dx) = lim (x®Dx) g (x) = 0, takže f (x) / g (x) dáva 0/0 pre x®x0. lim (x®x0) f '(x) / g' (x) $ (4), keď sa zhoduje s limitom pomeru funkcie lim (x®x0) f (x) / g (x) = lim (x ®x0) f '(x) / g' (x) (5)
44
.1.(Kritérium monotónnosti funkcie s deriváciou na intervale) Nech je funkcia 
nepretržite zapnuté
(a, b) a má deriváciu f "(x) v každom bode. Potom
1) f rastie na (a, b) vtedy a len vtedy
2) klesá o (a, b) vtedy a len vtedy
2. (Postačujúca podmienka pre striktnú monotónnosť funkcie s deriváciou na intervale) Nech funkcia 
je spojitá na (a, b) a má deriváciu f "(x) v každom bode. Potom
1) ak potom f je striktne rastúce na (a, b);
2) ak potom f striktne klesá na (a, b).
Všeobecne povedané, opak nie je pravdou. Derivát striktne monotónnej funkcie môže zaniknúť. Množina bodov, kde derivácia nie je nulová, však musí byť hustá na intervale (a, b). Presnejšie povedané, koná sa.
3. (Kritérium pre striktnú monotónnosť funkcie s deriváciou na intervale) Nech a derivácia f "(x) je definovaná všade na intervale. Potom f striktne rastie na intervale (a, b) vtedy a len vtedy, ak sú splnené nasledujúce dve podmienky:
Bodový súčin vektorov. Uhol medzi vektormi. Podmienka, aby vektory boli rovnobežné alebo kolmé.
Skalárny súčin vektorov je súčinom ich dĺžok kosínusom uhla medzi nimi:
Presne rovnakým spôsobom ako v planimetrii sa dokazujú nasledujúce tvrdenia:
Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov je nula práve vtedy, ak sú tieto vektory kolmé.
Skalárny štvorec vektora, teda jeho samotný skalárny súčin, sa rovná štvorcu jeho dĺžky.
Skalárny súčin dvoch vektorov a daný ich súradnicami možno vypočítať podľa vzorca
Vektory sú kolmé vtedy a len vtedy, ak ich bodový súčin je nula. Príklad. Sú dané dva vektory a. Tieto vektory budú kolmé, ak výraz x1x2 + y1y2 = 0. Uhol medzi nenulovými vektormi je uhol medzi priamkami, pre ktoré sú tieto vektory vodidlami. Uhol medzi akýmkoľvek vektorom a nulovým vektorom sa podľa definície považuje za rovný nule. Ak je uhol medzi vektormi 90 °, potom sa takéto vektory nazývajú kolmé. Uhol medzi vektormi bude označený takto:
ohm. Na tento účel najprv predstavíme koncept segmentu.
Definícia 1
Úsečka je časť priamky, ktorá je na oboch stranách ohraničená bodmi.
Definícia 2
Konce segmentu sa budú nazývať body, ktoré ho spájajú.
Aby sme zaviedli definíciu vektora, jeden z koncov segmentu sa bude nazývať začiatok.
Definícia 3
Vektor (nasmerovaný segment) sa bude nazývať segment, pre ktorý je uvedené, ktorý hraničný bod je jeho začiatkom a ktorý je jeho koncom.
Zápis: \ overline (AB) - vektor AB, začínajúci v bode A a končiaci v bode B.
V opačnom prípade jedno malé písmeno: \ overline (a) (obr. 1).
Definícia 4
Každý bod, ktorý patrí do roviny, sa bude nazývať nulový vektor.
Označenie: \ overline (0).
Teraz zavedieme priamo definíciu kolineárnych vektorov.
Zavedieme aj definíciu bodového súčinu, ktorú budeme potrebovať neskôr.
Definícia 6
Skalárny súčin dvoch daných vektorov je skalár (alebo číslo), ktorý sa rovná súčinu dĺžok týchto dvoch vektorov s kosínusom uhla medzi týmito vektormi.
Matematicky by to mohlo vyzerať takto:
\ overline (α) \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos∠ (\ overline (α), \ overline (β))
Bodový súčin možno nájsť aj pomocou súradníc vektorov nasledovne
\ overline (α) \ overline (β) = α_1 β_1 + α_2 β_2 + α_3 β_3
Znak kolmosti prostredníctvom proporcionality
Veta 1
Aby boli nenulové vektory na seba kolmé, je potrebné a postačujúce, aby sa ich skalárny súčin týchto vektorov rovnal nule.
Dôkaz.
Nevyhnutnosť: Dajme vektory \ overline (α) a \ overline (β), ktoré majú súradnice (α_1, α_2, α_3) a (β_1, β_2, β_3) a sú na seba kolmé. Potom musíme dokázať nasledujúcu rovnosť
Pretože vektory \ overline (α) a \ overline (β) sú kolmé, uhol medzi nimi je 90 ^ 0. Nájdite bodový súčin týchto vektorov pomocou vzorca z definície 6.
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = | \ overline (α) || \ overline (β) | cos90 ^ \ circ = | \ overline (α) || \ overline (β) | \ cdot 0 = 0
Dostatočnosť: Nech je rovnosť pravdivá \ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 0... Dokážme, že vektory \ overline (α) a \ overline (β) budú na seba kolmé.
Podľa definície 6, rovnosť
| \ overline (α) || \ overline (β) | cos∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0
Cos∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 0
∠ (\ overline (α), \ overline (β)) = 90 ^ \ circ
Preto vektory \ overline (α) a \ overline (β) budú navzájom kolmé.
Veta je dokázaná.
Príklad 1
Dokážte, že vektory so súradnicami (1, -5,2) a (2,1,3 / 2) sú kolmé.
Dôkaz.
Nájdite bodový súčin pre tieto vektory pomocou vyššie uvedeného vzorca
\ overline (α) \ cdot \ overline (β) = 1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac (3) (2) = 2 \ cdot 5 + 3 = 0
Podľa vety 1 sú teda tieto vektory kolmé.
Nájdenie vektora kolmého na dva dané vektory prostredníctvom krížového súčinu
Najprv predstavme koncept vektorového produktu.
Definícia 7
Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor, ktorý bude kolmý na oba dané vektory a jeho dĺžka sa bude rovnať súčinu dĺžok týchto vektorov so sínusom uhla medzi týmito vektormi a tohto vektora s dvoma počiatočnými vektormi. má rovnakú orientáciu ako karteziánsky súradnicový systém.
Označenie: \ overline (α) x \ overline (β) x.
Na nájdenie krížového produktu použijeme vzorec
\ overline (α) x \ overline (β) = \ begin (vmatica) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ end (vmatica) x
Keďže vektor vektorového súčinu dvoch vektorov je kolmý na oba tieto vektory, bude to vyhľadávací vektor. To znamená, že ak chcete nájsť vektor kolmý na dva vektory, musíte nájsť ich krížový súčin.
Príklad 2
Nájdite vektor kolmý na vektory so súradnicami \ overline (α) = (1,2,3) a \ overline (β) = (- 1,0,3)
Nájdite krížový súčin týchto vektorov.
\ overline (α) x \ overline (β) = \ begin (vmatica) \ overline (i) & \ overline (j) & \ overline (k) \\ 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 3 \ koniec (vmatica) = (6- 0) \ overline (i) - (3 + 3) \ overline (j) + (0 + 2) \ overline (k) = 6 \ overline (i) -6 \ overline (j ) +2 \ overline (k) = (6,6,2) x
Inštrukcie
Ak je pôvodný vektor na výkrese zobrazený v pravouhlom dvojrozmernom súradnicovom systéme a kolmicu k nemu je potrebné postaviť na rovnaké miesto, postupujte z definície kolmosti vektorov na rovinu. Uvádza, že uhol medzi takouto dvojicou smerovaných úsečiek musí byť 90°. Takéto vektory môžu byť nekonečné. Preto kreslite v akomkoľvek pohodlné miesto rovina kolmá na pôvodný vektor, položte na ňu segment, rovná dĺžke danú usporiadanú dvojicu bodov a označte jeden z jej koncov ako začiatok kolmého vektora. Urobte to pomocou uhlomeru a pravítka.
Ak je pôvodný vektor daný dvojrozmernými súradnicami ā = (X₁; Y₁), vychádzame z toho, že skalárny súčin dvojice kolmých vektorov by sa mal rovnať nule. To znamená, že pre požadovaný vektor ō = (X₂, Y₂) musíte vybrať také súradnice, pri ktorých bude splnená rovnosť (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0. Môžete to urobiť takto: vyberte akúkoľvek nenulovú hodnotu pre súradnicu X₂ a vypočítajte súradnicu Y₂ podľa vzorca Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁. Napríklad pre vektor ā = (15; 5) bude vektor ō s osou, rovný jednej a ordináta rovná - (15 * 1) / 5 = -3, t.j. ō = (1; -3).
Pre trojrozmerný a akýkoľvek iný ortogonálny súradnicový systém platí rovnaká nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby vektory boli kolmé – ich skalárny súčin sa musí rovnať nule. Preto, ak je pôvodný smerovaný segment určený súradnicami ā = (X₁, Y₁, Z₁), vyberte pre usporiadanú dvojicu bodov ō = (X₂, Y₂, Z₂) tak, aby podmienka (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. Najjednoduchší spôsob je priradiť X2 a Y2 jednotlivé hodnoty a vypočítať Z2 zo zjednodušenej rovnosti Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ + Y1)/Z1. Napríklad pre vektor ā = (3,5,4) to nadobudne nasledujúci tvar: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. Potom vezmite osi x kolmý vektor ako jeden a v tomto prípade to bude - (3 + 5) / 4 = -2.
Zdroje:
- nájdite vektor, ak je kolmý
Kolmé sú tzv vektor, uhol medzi ktorým je 90º. Kolmé vektory sa kreslia pomocou nástrojov na kreslenie. Ak poznáte ich súradnice, môžete pomocou analytických metód skontrolovať alebo nájsť kolmosť vektorov.
Budete potrebovať
- - uhlomer;
- - kompasy;
- - pravítko.
Inštrukcie
Nastavte ho na počiatočný bod vektora. Nakreslite kruh s ľubovoľným polomerom. Potom nakreslite dva so stredmi v bodoch, kde prvý kruh pretínal čiaru, na ktorej leží vektor. Polomery týchto kružníc musia byť rovnaké a väčšie ako prvá zostrojená kružnica. V priesečníkoch kružníc nakreslite čiaru, ktorá bude v bode jeho začiatku kolmá na pôvodný vektor, a umiestnite na ňu vektor kolmý na daný vektor.
Nájdite vektor kolmý na objem, ktorého súradnice a sú rovné (x; y). Ak to chcete urobiť, nájdite pár čísel (x1; y1), ktoré by vyhovovali rovnosti x x1 + y y1 = 0. V tomto prípade bude vektor so súradnicami (x1; y1) kolmý na vektor so súradnicami (x; y).
Tento článok odhaľuje význam kolmosti dvoch vektorov na rovinu v trojrozmernom priestore a nájdenie súradníc vektora kolmého na jeden alebo celý pár vektorov. Téma je použiteľná pre úlohy týkajúce sa rovníc priamok a rovín.
Zvážime nevyhnutnú a postačujúcu podmienku kolmosti dvoch vektorov, vyriešime ju metódou hľadania vektora kolmého na daný, dotkneme sa situácií hľadania vektora, ktorý je kolmý na dva vektory.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby dva vektory boli kolmé
Aplikujme pravidlo o kolmých vektoroch v rovine a v trojrozmernom priestore.
Definícia 1
Za predpokladu, že hodnota uhla medzi dvoma nenulovými vektormi je rovná 90° (π 2 radiány), je tzv. kolmý.
Čo to znamená a v akých situáciách potrebujete vedieť o ich kolmosti?
Stanovenie kolmosti je možné pomocou výkresu. Pri vykresľovaní vektora na rovinu z stanovené body môžete geometricky zmerať uhol medzi nimi. Kolmosť vektorov, aj keď je stanovená, nie je úplne presná. Tieto úlohy vám to najčastejšie neumožňujú pomocou uhlomeru, takže táto metóda je použiteľná iba v prípade, že o vektoroch nie je nič iné.
Väčšina prípadov dokazovania kolmosti dvoch nenulových vektorov v rovine alebo v priestore sa vykonáva pomocou nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť dvoch vektorov.
Veta 1
Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov a → a b → rovný nule na splnenie rovnosti a →, b → = 0 je dostatočný na ich kolmosť.
Dôkaz 1
Nech sú dané vektory a → a b → kolmé, potom vykonáme dôkaz rovnosti a ⇀, b → = 0.
Z definície pro bodový súčin vektorov vieme, že sa rovná súčin dĺžok daných vektorov kosínusom uhla medzi nimi. Podľa podmienky sú a → a b → kolmé, a preto na základe definície je uhol medzi nimi 90 °. Potom máme a →, b → = a → b → cos (a →, b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.
Druhá časť dôkazu
Za predpokladu, že a ⇀, b → = 0, dokážte kolmosť a → a b →.
V skutočnosti je dôkaz opačný ako ten predchádzajúci. Je známe, že a → a b → sú nenulové, preto z rovnosti a ⇀, b → = a → b → cos (a →, b →) ^ nájdeme kosínus. Potom dostaneme cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → b → = 0 a → b → = 0. Keďže kosínus je nula, môžeme konštatovať, že uhol a →, b → ^ vektorov a → a b → je 90°. Podľa definície ide o nevyhnutnú a dostatočnú vlastnosť.
Podmienka kolmosti na rovinu súradníc
kapitola bodový súčin v súradniciach demonštruje nerovnosť (a →, b →) = ax bx + ay by, ktorá platí pre vektory so súradnicami a → = (ax, ay) a b → = (bx, by), v rovine a (a →, b → ) = ax bx + ay by pre vektory a → = (ax, ay, az) a b → = (bx, by, bz) v priestore. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť dvoch vektorov v súradnicovej rovine má tvar a x b x + a y b y = 0, pre trojrozmerný priestor a x b x + a y b y + a z b z = 0.
Aplikujme to v praxi a pouvažujme na príkladoch.
Príklad 1
Skontrolujte vlastnosť kolmosti dvoch vektorov a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Riešenie
Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte nájsť bodový produkt. Ak sa podľa podmienky bude rovnať nule, potom sú kolmé.
(a →, b →) = a x b x + ay b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0. Podmienka je splnená, to znamená, že dané vektory sú kolmé na rovinu.
odpoveď:áno, dané vektory a → a b → sú kolmé.
Príklad 2
Sú dané súradnicové vektory i →, j →, k →. Skontrolujte, či vektory i → - j → a i → + 2 j → + 2 k → môžu byť kolmé.
Riešenie
Aby ste si zapamätali, ako sa určujú súradnice vektora, musíte si prečítať článok o vektorové súradnice v pravouhlý systém súradnice. Dostaneme teda, že dané vektory i → - j → a i → + 2 j → + 2 k → majú zodpovedajúce súradnice (1, - 1, 0) a (1, 2, 2). Dosaďte číselné hodnoty a získajte: i → + 2 j → + 2 k →, i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1.
Výraz sa nerovná nule, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, čo znamená, že vektory i → - j → a i → + 2 j → + 2 k → nie sú kolmé, pretože nebola splnená podmienka.
odpoveď: nie, vektory i → - j → a i → + 2 j → + 2 k → nie sú kolmé.
Príklad 3
Dané vektory a → = (1, 0, - 2) a b → = (λ, 5, 1). Nájdite hodnotu λ, pri ktorej sú tieto vektory kolmé.
Riešenie
Použijeme podmienku kolmosti dvoch vektorov v priestore v štvorcový tvar, potom dostaneme
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
odpoveď: vektory sú kolmé na λ = 2.
Sú prípady, keď otázka kolmosti nie je možná ani za nevyhnutnej a postačujúcej podmienky. Vzhľadom na známe údaje o troch stranách trojuholníka o dvoch vektoroch je možné nájsť uhol medzi vektormi a skontrolujte to.
Príklad 4
Je daný trojuholník A B C so stranami A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Skontrolujte kolmosť vektorov A B → a A C →.
Riešenie
Ak sú vektory A B → a A C → kolmé, trojuholník A B C sa považuje za pravouhlý. Potom použijeme Pytagorovu vetu, kde B C je prepona trojuholníka. Rovnosť B C 2 = A B 2 + A C 2 musí byť pravdivá. Z toho vyplýva, že 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. To znamená, že A B a A C sú nohy trojuholníka A B C, teda A B → a A C → sú kolmé.
Je dôležité naučiť sa nájsť súradnice vektora kolmého na daný vektor. To je možné v rovine aj v priestore za predpokladu, že vektory sú kolmé.
Nájdenie vektora kolmého na daný v rovine.
Nenulový vektor a → môže mať v rovine nekonečný počet kolmých vektorov. Znázorníme to na súradnicovej čiare.
Je daný nenulový vektor a → ležiaci na priamke a. Potom sa dané b → nachádzajúce sa na ľubovoľnej priamke kolmej na priamku a stane kolmou a a →. Ak je vektor i → kolmý na vektor j → alebo ktorýkoľvek z vektorov λ j → pre λ sa rovná akémukoľvek reálnemu číslu okrem nuly, potom nájdenie súradníc vektora b → kolmé na a → = (ax, ay) redukuje na nekonečnú množinu riešení. Je však potrebné nájsť súradnice vektora kolmé na a → = (a x, a y). Na to je potrebné zapísať podmienku kolmosti vektorov v nasledujúcom tvare a x b x + a y b y = 0. Máme b x a b y, čo sú požadované súradnice kolmého vektora. Keď a x ≠ 0, hodnota b y je nenulová a b x sa vypočíta z nerovnosti a x b x + a y b y = 0 ⇔ b x = - a y b y a x. Pre a x = 0 a a y ≠ 0 priraďte b x akúkoľvek inú hodnotu ako nulu a nájdite b y z výrazu b y = - a x b x a y.
Príklad 5
Je daný vektor so súradnicami a → = (- 2, 2). Nájdite vektor kolmý na daný.
Riešenie
Požadovaný vektor označme ako b → (b x, b y). Jeho súradnice možno zistiť z podmienky kolmosti vektorov a → a b →. Potom dostaneme: (a →, b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0. Priraďte b y = 1 a dosaďte: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0. Zo vzorca teda získame b x = - 2 - 2 = 1 2. Vektor b → = (1 2, 1) je teda vektor kolmý na a →.
odpoveď: b → = (1 2, 1) .
Ak je položená otázka o trojrozmernom priestore, problém sa rieši podľa rovnakého princípu. Pre daný vektor a → = (a x, a y, a z) existuje nekonečná množina kolmých vektorov. Opraví to na rovinu 3D súradníc. Dané a → ležiace na čiare a. Rovina kolmá na priamku a je označená α. V tomto prípade je ľubovoľný nenulový vektor b → z roviny α kolmý na a →.
Je potrebné nájsť súradnice b → kolmé na nenulový vektor a → = (a x, a y, a z).
Nech b → je dané so súradnicami b x, b y a b z. Na ich nájdenie je potrebné aplikovať definíciu podmienky kolmosti dvoch vektorov. Musí platiť rovnosť a x b x + a y b y + a z b z = 0. Z podmienky a → - nenulová, čo znamená, že jedna zo súradníc má inú hodnotu ako nulu. Predpokladajme, že a x ≠ 0, (ay ≠ 0 alebo az ≠ 0). Preto máme právo vydeliť touto súradnicou všetku nerovnosť a x b x + a y b y + a z b z = 0, dostaneme výraz b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x. Súradniciam b y a b x priradíme ľubovoľnú hodnotu, vypočítame hodnotu b x na základe vzorca, b x = - a y b y + a z b z a x. Požadovaný kolmý vektor bude mať hodnotu a → = (a x, a y, a z).
Pozrime sa na príklad dôkazu.
Príklad 6
Je daný vektor so súradnicami a → = (1, 2, 3). Nájdite vektor kolmý na daný.
Riešenie
Hľadaný vektor označíme b → = (b x, b y, b z). Na základe podmienky, že vektory sú kolmé, bodový súčin sa musí rovnať nule.
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ak je hodnota b y = 1, b z = 1, potom b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Z toho vyplýva, že súradnice vektora b → (- 5, 1, 1). Vektor b → je jeden z kolmých vektorov na daný vektor.
odpoveď: b → = (- 5, 1, 1).
Nájdenie súradníc vektora kolmého na dva dané vektory
Potrebujeme nájsť súradnice vektora v trojrozmernom priestore. Je kolmá na nekolineárne vektory a → (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z). Za predpokladu, že vektory a → a b → sú kolineárne, bude stačiť nájsť v úlohe vektor kolmý na a → alebo b →.
Pri riešení sa používa pojem vektorový súčin vektorov.
Vektorový súčin vektorov a → a b → volajú vektor súčasne kolmý na a → aj b →. Na vyriešenie tohto problému sa používa vektorový súčin a → × b →. Pre trojrozmerný priestor má tvar a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Pozrime sa bližšie na krížový produkt na príklade problému.
Príklad 7
Sú dané vektory b → = (0, 2, 3) a a → = (2, 1, 0). Nájdite súradnice ľubovoľného kolmého vektora k údajom súčasne.
Riešenie
Aby ste to vyriešili, musíte nájsť vektorový súčin vektorov. (Je potrebné odkázať na položku výpočet determinantu matice nájsť vektor). Dostaneme:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
odpoveď: (3 , - 6 , 4) - súradnice vektora, ktorý je súčasne kolmý na dané a → a b →.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter