Teória pravdepodobnosti je špeciálny odbor matematiky, ktorý študujú len vysokoškoláci. Máte radi výpočty a vzorce? Nebojíte sa vyhliadky na zoznámenie sa s normálnym rozdelením, ansámblovou entropiou, matematickým očakávaním a diskrétnym rozptylom náhodná premenná? Potom bude pre vás táto téma veľmi zaujímavá. Poďme sa zoznámiť s niektorými z najdôležitejších základných pojmov v tomto odbore vedy.
Pripomeňme si základy
Aj keď si pamätáte najjednoduchšie pojmy teórie pravdepodobnosti, nezanedbávajte prvé odseky článku. Faktom je, že bez jasného pochopenia základov nebudete môcť pracovať s nižšie uvedenými vzorcami.
Takže nejaké sú náhodná udalosť, akýsi experiment. V dôsledku vykonaných akcií môžeme získať niekoľko výsledkov - niektoré z nich sú bežnejšie, iné sú menej časté. Pravdepodobnosť udalosti je pomer počtu skutočne získaných výsledkov jedného typu k celkom možné. Len ak poznáte klasickú definíciu tohto pojmu, môžete začať študovať matematické očakávania a rozptyl spojitých náhodných premenných.
Priemerná
Ešte v škole, na hodinách matematiky, ste začali pracovať s aritmetickým priemerom. Tento pojem je široko používaný v teórii pravdepodobnosti, a preto ho nemožno ignorovať. Pre nás je momentálne hlavné, že sa s ňou stretneme vo vzorcoch pre matematické očakávanie a rozptyl náhodnej veličiny.
Máme postupnosť čísel a chceme nájsť aritmetický priemer. Všetko, čo sa od nás vyžaduje, je sčítať všetko, čo je k dispozícii, a rozdeliť počtom prvkov v postupnosti. Predpokladajme, že máme čísla od 1 do 9. Súčet prvkov bude 45 a túto hodnotu vydelíme 9. Odpoveď: - 5.
Disperzia
Z vedeckého hľadiska je rozptyl stredná druhá mocnina odchýlok získaných hodnôt vlastnosti od aritmetického priemeru. Jeden je označený veľkým latinským písmenom D. Čo potrebujete na jeho výpočet? Pre každý prvok postupnosti vypočítajte rozdiel medzi dostupným číslom a aritmetickým priemerom a umocnite ho. Pre udalosť, o ktorej uvažujeme, bude presne toľko hodnôt, koľko môže byť výsledkov. Ďalej zhrnieme všetko prijaté a vydelíme počtom prvkov v sekvencii. Ak máme päť možných výsledkov, potom ich vydelíme piatimi.
Rozptyl má tiež vlastnosti, ktoré je potrebné mať na pamäti, aby sa mohli uplatniť pri riešení problémov. Napríklad, keď sa náhodná premenná zvýši X-krát, rozptyl sa zvýši X-krát na druhú (t.j. X * X). Nikdy sa nestane menej ako nula a nezávisí od posunu hodnôt o rovnakú hodnotu hore alebo dole. Navyše, pre nezávislé testy sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov.
Teraz určite musíme zvážiť príklady rozptylu diskrétnej náhodnej premennej a matematického očakávania.
Povedzme, že sme vykonali 21 experimentov a získali sme 7 rôznych výsledkov. Každý z nich sme pozorovali 1, 2, 2, 3, 4, 4 a 5 krát. Aký je rozptyl?
Najprv vypočítajme aritmetický priemer: súčet prvkov sa, samozrejme, rovná 21. Vydeľte ho číslom 7 a získajte 3. Teraz od každého čísla v pôvodnej postupnosti odčítajte 3, odmocnite každú hodnotu a pridajte hodnotu výsledky spolu. Ukáže sa 12. Teraz nám zostáva rozdeliť číslo počtom prvkov a zdá sa, že to je všetko. Má to však háčik! Poďme o tom diskutovať.
Závislosť od počtu pokusov
Ukazuje sa, že pri výpočte rozptylu môže byť menovateľom jedno z dvoch čísel: buď N alebo N-1. Tu N je počet vykonaných experimentov alebo počet položiek v sekvencii (ktoré sú v podstate rovnaké). Od čoho to závisí?
Ak sa počet testov meria v stovkách, potom by sme mali zadať menovateľa N. Ak v jednotkách, potom N-1. Vedci sa rozhodli nakresliť hranicu celkom symbolicky: dnes beží na čísle 30. Ak sme vykonali menej ako 30 experimentov, tak súčet vydelíme N-1, ak viac, tak N.
Úloha
Vráťme sa k nášmu príkladu riešenia problému rozptylu a očakávania. Dostali sme medzičíslo 12, ktoré bolo potrebné vydeliť N alebo N-1. Keďže sme uskutočnili 21 pokusov, čo je menej ako 30, zvolíme druhú možnosť. Takže odpoveď je: rozptyl je 12/2 = 2.
Očakávaná hodnota
Prejdime k druhému konceptu, ktorý musíme v tomto článku určite zvážiť. Očakávaná hodnota je súčet všetkých možných výsledkov vynásobený zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Je dôležité pochopiť, že výsledná hodnota, ako aj výsledok výpočtu rozptylu, sa získa iba raz za celú úlohu bez ohľadu na to, koľko výsledkov sa v ňom zohľadňuje.
Matematický vzorec očakávania je pomerne jednoduchý: vezmeme výsledok, vynásobíme jeho pravdepodobnosťou, pripočítame to isté pre druhý, tretí výsledok atď. Všetko, čo súvisí s týmto pojmom, sa dá ľahko vypočítať. Napríklad súčet očakávaní sa rovná očakávanému súčtu. To isté platí pre dielo. Nie každá hodnota v teórii pravdepodobnosti umožňuje vykonávať takéto jednoduché operácie so sebou samým. Zoberme si problém a vypočítajme význam dvoch pojmov, ktoré sme študovali naraz. Navyše nás rozptyľovala teória – je čas na prax.
Ešte jeden príklad
Uskutočnili sme 50 pokusov a získali sme 10 druhov výsledkov – čísla od 0 do 9 – vyskytujúcich sa v rôznych percentách. Sú to v tomto poradí: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Pripomeňme, že na získanie pravdepodobnosti je potrebné vydeliť hodnoty v percentách číslom 100. Dostaneme teda 0,02; 0,1 atď. Uveďme príklad riešenia úlohy pre rozptyl náhodnej premennej a matematického očakávania.
Aritmetický priemer vypočítame pomocou vzorca, ktorý si pamätáme Základná škola: 50/10 = 5.
Teraz preveďme pravdepodobnosti na počet výsledkov „v kusoch“, aby bolo počítanie jednoduchšie. Dostaneme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 a 9. Od každej získanej hodnoty odpočítajte aritmetický priemer, potom odmocníme každý zo získaných výsledkov. Pozrite si, ako to urobiť pomocou prvého prvku ako príkladu: 1 - 5 = (-4). Ďalej: (-4) * (-4) = 16. Pre ostatné hodnoty vykonajte tieto operácie sami. Ak ste urobili všetko správne, po pridaní všetkého dostanete 90.
Pokračujme vo výpočte rozptylu a priemeru delením 90 N. Prečo volíme N a nie N-1? Je to tak, pretože počet vykonaných experimentov presahuje 30. Takže: 90/10 = 9. Dostali sme rozptyl. Ak vám vyjde iné číslo, nezúfajte. S najväčšou pravdepodobnosťou ste urobili bežnú chybu vo výpočtoch. Ešte raz skontrolujte, čo ste napísali, a určite všetko zapadne na svoje miesto.
Na záver si pripomeňme vzorec pre matematické očakávanie. Nebudeme uvádzať všetky výpočty, napíšeme iba odpoveď, ktorú si môžete skontrolovať po dokončení všetkých požadovaných postupov. Očakávaná hodnota bude 5,48. Pripomeňme si len, ako vykonávať operácie na príklade prvých prvkov: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... atď. Ako vidíte, jednoducho vynásobíme hodnotu výsledku jeho pravdepodobnosťou.
Odchýlka
Ďalším pojmom úzko súvisiacim s rozptylom a matematickým očakávaním je štandardná odchýlka. Označuje sa buď latinskými písmenami sd, alebo gréckymi malými písmenami „sigma“. Tento koncept ukazuje, ako veľmi sa v priemere hodnoty odchyľujú od centrálnej funkcie. Ak chcete zistiť jeho hodnotu, musíte vypočítať Odmocnina z rozptylu.
Ak vykreslíte normálne rozdelenie a chcete priamo na ňom vidieť smerodajnú odchýlku, môžete to urobiť v niekoľkých krokoch. Vezmite polovicu obrázka naľavo alebo napravo od režimu (stredová hodnota), nakreslite kolmicu na vodorovnú os tak, aby boli plochy výsledných tvarov rovnaké. Hodnota segmentu medzi stredom rozdelenia a výslednou projekciou na vodorovnú os bude predstavovať štandardnú odchýlku.
softvér
Ako je zrejmé z opisov vzorcov a uvedených príkladov, výpočet rozptylu a matematického očakávania nie je z aritmetického hľadiska najjednoduchší postup. Aby sa nestrácal čas, má zmysel používať program používaný vo vysokoškolskom vzdelávaní. vzdelávacie inštitúcie- volá sa to "R". Má funkcie, ktoré vám umožňujú vypočítať hodnoty pre mnohé pojmy zo štatistiky a teórie pravdepodobnosti.
Napríklad definujete vektor hodnôt. Toto sa robí nasledovne: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Konečne
Rozptyl a matematické očakávanie – bez ktorých je ťažké v budúcnosti niečo vypočítať. V hlavnom kurze prednášok na vysokých školách sa s nimi počíta už v prvých mesiacoch štúdia predmetu. Práve z dôvodu nepochopenia týchto jednoduchých pojmov a neschopnosti ich vypočítať mnohí študenti okamžite začnú v programe zaostávať a neskôr dostávajú slabé známky v relácii, čo ich pripravuje o štipendiá.
Cvičte aspoň jeden týždeň, pol hodiny denne, riešte úlohy podobné tým, ktoré sú uvedené v tomto článku. Potom sa pri akomkoľvek teste z teórie pravdepodobnosti vyrovnáte s príkladmi bez nadbytočných tipov a podvádzačov.
Matematické očakávanie (priemerná hodnota) náhodnej premennej X, dané na diskrétnom pravdepodobnostnom priestore, je číslo m = M [X] = ∑x i p i, ak rad absolútne konverguje.
Účel služby... Používanie služby online vypočítajú sa matematické očakávania, rozptyl a smerodajná odchýlka(pozri príklad). Okrem toho sa vykreslí graf distribučnej funkcie F (X).
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej
- Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná jej samotnej: M [C] = C, C je konštanta;
- M = C M [X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: M = M [X] + M [Y]
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M = M [X] M [Y], ak sú X a Y nezávislé.
Disperzné vlastnosti
- Rozptyl konštanty je nula: D (c) = 0.
- Konštantný faktor možno zo znamienka rozptylu vyňať jeho umocnením: D (k * X) = k 2 D (X).
- Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potom sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
- Ak sú náhodné premenné X a Y závislé: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
- Výpočtový vzorec platí pre rozptyl:
D (X) = M (X2) - (M (X)) 2
Príklad. Matematické očakávania a rozptyly dvoch nezávislých náhodných premenných X a Y sú známe: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej Z = 9X-8Y + 7.
Riešenie. Na základe vlastností matematického očakávania: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23...
Na základe disperzných vlastností: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
Algoritmus na výpočet očakávanej hodnoty
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; každej hodnote priraďte nenulovú pravdepodobnosť.- Postupne vynásobíme dvojice: x i p i.
- Pridajte súčin každého páru x i p i.
Napríklad pre n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Príklad #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematické očakávanie nájdeme podľa vzorca m = ∑x i p i.
Matematické očakávanie M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Rozptyl nájdeme podľa vzorca d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Rozptyl D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Smerodajná odchýlka σ (x).
σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7,69) = 2,78
Príklad č.2. Diskrétna náhodná premenná má nasledujúce distribučné rady:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | a | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Riešenie. Hodnotu a zistíme zo vzťahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 alebo 0,24 = 3 a, odkiaľ a = 0,08
Príklad č.3. Určte distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej, ak je známy jej rozptyl a x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d (x) = 12,96
Riešenie.
Tu musíte zostaviť vzorec na nájdenie rozptylu d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
kde očakávanie m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Pre naše údaje
m (x) = 6 * 0,3 + 9 * 0,3 + x 3 * 0,1 + 15 * 0,3 = 9 + 0,1 x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1 x 3) 2
alebo -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
Preto je potrebné nájsť korene rovnice a budú dva.
x 3 = 8, x 3 = 12
Vyberieme ten, ktorý spĺňa podmienku x 1
Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej
x 1 = 6; x2 = 9; x3 = 12; x 4 = 15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
Každá samostatne získaná hodnota je úplne určená jej distribučnou funkciou. Na riešenie praktických problémov tiež stačí poznať niekoľko numerických charakteristík, vďaka ktorým je možné prezentovať hlavné znaky náhodnej premennej v krátkej forme.
Tieto hodnoty zahŕňajú predovšetkým očakávaná hodnota a disperzia .
Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej veličiny v teórii pravdepodobnosti. Označuje sa ako.
Najjednoduchším spôsobom, matematické očakávanie náhodnej premennej X (š) nájsť ako integrálneLebesgue vo vzťahu k pravdepodobnostnej miere R originálny pravdepodobnostný priestor
Môžete tiež nájsť matematické očakávanie hodnoty ako Lebesgueov integrál od X podľa rozdelenia pravdepodobnosti P X magnitúdy X:
kde je množina všetkých možných hodnôt X.
Matematické očakávanie funkcií náhodnej premennej X je prostredníctvom distribúcie P X. napríklad, ak X- náhodná premenná s hodnotami v a f (x)- jednoznačný Borelfunkciu X , potom:
Ak F (x)- distribučná funkcia X, potom je matematické očakávanie reprezentovateľné integrálneLebesgue - Stieltjes (alebo Riemann - Stieltjes):
navyše integrovateľnosť X v akom zmysle ( * ) zodpovedá konečnosti integrálu
V konkrétnych prípadoch, ak X má diskrétne rozdelenie s pravdepodobnými hodnotami x k, k = 1,2,. , a potom pravdepodobnosti
ak X má absolútne spojité rozdelenie s hustotou pravdepodobnosti p (x), potom
v tomto prípade je existencia matematického očakávania ekvivalentná absolútnej konvergencii zodpovedajúceho radu alebo integrálu.
Vlastnosti matematického očakávania náhodnej premennej.
- Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná tejto hodnote:
C- konštantný;
- M = C.M [X]
- Matematické očakávanie súčtu náhodne získaných hodnôt sa rovná súčtu ich matematických očakávaní:
- Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodne vybraných veličín = súčin ich matematických očakávaní:
M = M [X] + M [Y]
ak X a Y nezávislý.
ak rad konverguje:
Algoritmus na výpočet matematického očakávania.
Vlastnosti diskrétnych náhodných premenných: všetky ich hodnoty možno prečíslovať prirodzenými číslami; prirovnať každú hodnotu s nenulovou pravdepodobnosťou.
1. Postupne vynásobte dvojice: x i na p i.
2. Pridajte súčin každého páru x i p i.
Napríklad, pre n = 4 :
Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej postupne sa prudko zvyšuje v tých bodoch, ktorých pravdepodobnosti majú kladné znamienko.
Príklad: Nájdite očakávanú hodnotu podľa vzorca.
Koncept matematického očakávania možno zvážiť na príklade hodu kockou. Stratené body sa zaznamenávajú pri každom hode. Na ich vyjadrenie sa používajú prirodzené hodnoty v rozmedzí 1 - 6.
Po určitom počte hodov môžete pomocou jednoduchých výpočtov nájsť aritmetický priemer stratených bodov.
Okrem vypadnutia z ktorejkoľvek hodnoty rozsahu bude táto hodnota náhodná.
A ak niekoľkokrát zvýšite počet hodov? Pri veľkom počte hodov sa aritmetický priemer bodov priblíži konkrétnemu číslu, ktoré sa v teórii pravdepodobnosti nazýva matematické očakávanie.
Matematické očakávanie sa teda chápe ako priemerná hodnota náhodnej premennej. Tento ukazovateľ možno prezentovať aj ako vážený súčet hodnôt pravdepodobnej hodnoty.
Tento pojem má niekoľko synoným:
- priemerný;
- priemerná hodnota;
- ukazovateľ centrálneho trendu;
- prvý moment.
Inými slovami, nie je to nič iné ako číslo, okolo ktorého sú rozdelené hodnoty náhodnej premennej.
V rôznych sférach ľudskej činnosti budú prístupy k chápaniu matematického očakávania mierne odlišné.
Dá sa na to pozerať takto:
- priemerný úžitok z rozhodovania v prípade, keď sa takéto rozhodnutie posudzuje z hľadiska teórie veľkých čísel;
- možná výška výhier alebo prehier (teória hazardných hier), vypočítaná v priemere pre každú zo stávok. V slangu znejú ako „výhoda hráča“ (pozitívna pre hráča) alebo „výhoda kasína“ (negatíva pre hráča);
- percento zisku získaného z výhier.
Očakávanie nie je potrebné pre absolútne všetky náhodné premenné. Chýba pre tie, u ktorých sa pozoruje nesúlad zodpovedajúceho súčtu alebo integrálu.
Vlastnosti matematického očakávania
Ako každý štatistický parameter, aj matematické očakávanie má nasledujúce vlastnosti:
Základné vzorce pre matematické očakávania
Výpočet matematického očakávania možno vykonať pre náhodné premenné charakterizované ako spojitosťou (vzorec A), tak aj diskrétnosťou (vzorec B):
- M (X) = ∑i = 1nxi⋅pi, kde xi sú hodnoty náhodnej premennej, pi sú pravdepodobnosti:
- M (X) = ∫ + ∞ − ∞f (x) ⋅xdx, kde f (x) je daná hustota pravdepodobnosti.
Príklady výpočtu očakávanej hodnoty
Príklad A.
Je možné zistiť priemernú výšku trpaslíkov v rozprávke o Snehulienke. Je známe, že každý zo 7 trpaslíkov mal určitú výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.
Algoritmus výpočtu je pomerne jednoduchý:
- nájdeme súčet všetkých hodnôt ukazovateľa rastu (náhodná premenná):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - výsledné množstvo sa vydelí počtom škriatkov:
6,31:7=0,90.
Priemerná výška škriatkov v rozprávke je teda 90 cm Inými slovami, toto je matematické očakávanie rastu škriatkov.
Pracovný vzorec - M (x) = 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 = 6
Praktická implementácia matematického očakávania
Výpočet štatistického ukazovateľa matematického očakávania sa používa v rôznych oblastiach praxe. V prvom rade hovoríme o komerčnej sfére. Zavedenie tohto ukazovateľa Huygensom je totiž spojené s určovaním šancí, ktoré môžu byť pre nejakú udalosť priaznivé, alebo naopak nepriaznivé.
Tento parameter je široko používaný na hodnotenie rizík, najmä pokiaľ ide o finančné investície.
Takže v podnikaní funguje výpočet matematického očakávania ako metóda na hodnotenie rizika pri výpočte cien.
Tento ukazovateľ možno použiť aj pri výpočte účinnosti určitých opatrení, napríklad na ochranu práce. Vďaka nemu môžete vypočítať pravdepodobnosť výskytu udalosti.
Ďalšou oblasťou použitia tohto parametra je správa. Dá sa vypočítať aj pri kontrole kvality produktu. Napríklad pomocou podložky. očakávania, môžete vypočítať možný počet výrobných chybných dielov.
Očakávanie sa ukazuje ako nenahraditeľné pri vykonávaní štatistického spracovania výsledkov získaných v rámci vedeckého výskumu. Umožňuje vám vypočítať pravdepodobnosť požadovaného alebo nežiaduceho výsledku experimentu alebo výskumu v závislosti od úrovne dosiahnutia cieľa. Koniec koncov, jeho dosiahnutie môže byť spojené so ziskom a prospechom, a nie jeho dosiahnutie - ako strata alebo strata.
Použitie matematických očakávaní na Forexe
Praktická aplikácia tohto štatistického parametra je možná pri vykonávaní operácií na devízovom trhu. Môže sa použiť na analýzu úspešnosti obchodných transakcií. Navyše, zvýšenie hodnoty očakávania naznačuje zvýšenie ich úspechu.
Je tiež dôležité pamätať na to, že matematické očakávania by sa nemali považovať za jediný štatistický parameter používaný na analýzu výkonnosti obchodníka. Použitie niekoľkých štatistických parametrov spolu s priemernou hodnotou občas zvyšuje presnosť analýzy.
Tento parameter sa dobre osvedčil pri monitorovaní obchodných účtov. Vďaka nemu sa vykonáva rýchle posúdenie práce vykonanej na vkladovom účte. V prípadoch, keď je činnosť obchodníka úspešná a vyhýba sa stratám, sa neodporúča používať iba výpočet matematického očakávania. V týchto prípadoch sa neberú do úvahy riziká, čo znižuje účinnosť analýzy.
Výskum taktiky obchodníkov ukazuje, že:
- najúčinnejšia je taktika založená na náhodnom vstupe;
- najmenej efektívna je taktika založená na štruktúrovaných zápisoch.
Pri dosahovaní pozitívnych výsledkov je rovnako dôležité:
- taktiky hospodárenia s peniazmi;
- výstupné stratégie.
Pomocou takého ukazovateľa, akým je matematické očakávanie, je možné predpokladať, aký bude zisk alebo strata pri investovaní 1 dolára. Je známe, že tento ukazovateľ, vypočítaný pre všetky hry praktizované v kasíne, je v prospech inštitúcie. To je to, čo vám umožňuje zarábať peniaze. V prípade dlhej série hier sa výrazne zvyšuje pravdepodobnosť, že klient príde o peniaze.
Hry profesionálnych hráčov sú obmedzené na krátke časové intervaly, čo zvyšuje pravdepodobnosť výhry a znižuje riziko prehry. Rovnaký model sa pozoruje pri vykonávaní investičných operácií.
Investor môže zarobiť značné množstvo s pozitívnym očakávaním a veľkým počtom transakcií v krátkom časovom období.
Očakávanie si možno predstaviť ako rozdiel medzi percentom zisku (PW) krát priemerný zisk (AW) a pravdepodobnosťou straty (PL) a priemernou stratou (AL).
Ako príklad zvážte nasledovné: pozícia - 12,5 tisíc dolárov, portfólio - 100 tisíc dolárov, riziko vkladov - 1%. Ziskovosť transakcií je 40 % prípadov s priemerným ziskom 20 %. V prípade straty je priemerná strata 5 %. Výpočet očakávanej hodnoty obchodu dáva hodnotu 625 USD.
Matematické očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej
Očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných veličín, vzorka, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, rozptyl, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu
Rozbaliť obsah
Zbaliť obsah
Matematické očakávanie je definícia
Jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, ktorý charakterizuje rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobností náhodnej premennej. Zvyčajne sa vyjadruje ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Je široko používaný v technickej analýze, štúdiu číselných radov, štúdiu kontinuálnych a dlhodobých procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predikcii cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a využíva sa pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v teórii hazardných hier.
Matematické očakávanie je stredná hodnota náhodnej premennej sa v teórii pravdepodobnosti uvažuje o rozdelení pravdepodobnosti náhodnej premennej.
Matematické očakávanie je miera strednej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Matematické očakávanie náhodnej premennej X označené M (x).
Matematické očakávanie je
Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže táto náhodná premenná nadobudnúť.
Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej pravdepodobnosti týchto hodnôt.
Matematické očakávanie je priemerný úžitok z jedného alebo druhého riešenia za predpokladu, že takéto riešenie možno uvažovať v rámci teórie veľkých čísel a dlhých vzdialeností.
Matematické očakávanie je v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže hráč v priemere zarobiť alebo stratiť za každú stávku. V reči gamblerov sa to niekedy nazýva „výhoda hráča“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „výhoda kasína“ (ak je pre hráča negatívna).
Matematické očakávanie je percento zisku z výhier vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.
Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii
Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Zvážte súbor náhodných premenných, ktoré sú výsledkom toho istého náhodného experimentu. Ak - jedna z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorovove axiómy. Funkcia definovaná pre všetky možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon spoločného rozdelenia. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí. Ide najmä o spoločný zákon rozdelenia náhodných premenných, ktoré nadobúdajú hodnoty z množiny a sú dané pravdepodobnosťami.
Pojem „matematické očakávanie“ zaviedol Pierre Simon markíz de Laplace (1795) a vznikol z pojmu „očakávaná hodnota odmeny“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardných hier v dielach Blaise Pascala. a Christian Huygens. Prvé úplné teoretické pochopenie a posúdenie tohto konceptu však poskytol Pafnutii Ľvovič Čebyšev (polovica 19. storočia).
Distribučný zákon náhodných číselných hodnôt (distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) plne popisuje správanie náhodnej premennej. Ale v rade úloh stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme mohli odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávania, rozptyl, modus a medián.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov jej možných hodnôt zodpovedajúcich pravdepodobností. Niekedy sa matematické očakávanie nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pre veľký počet experimentov. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) hodnota.
Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak je jednotková hmotnosť umiestnená na priamke umiestnením nejakej hmoty v niektorých bodoch (pre diskrétne rozdelenie), alebo "rozmazaním" s určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie), potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnica "Ťažisko" je rovné.
Priemerná hodnota náhodnej veličiny je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v hrubých približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „stredný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá popisuje jej umiestnenie na číselnej osi, tzn "Charakteristika pozície".
Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho stredná hodnota náhodnej premennej.
Zvážte náhodnú premennú X s možnými hodnotami x1, x2, ..., xn s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pn... Musíme charakterizovať nejakým číslom polohu hodnôt náhodnej premennej na úsečke, berúc do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s "váhou" úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X ktoré budeme označovať M | X |:
Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Preto sme uviedli do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej pravdepodobnosti týchto hodnôt.
X spojené s určitým druhom vzťahu s aritmetickým priemerom pozorovaných hodnôt náhodnej premennej s veľkým počtom experimentov. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, a to: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (pravdepodobne konverguje) k jej matematickému očakávaniu. Z prítomnosti vzťahu medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou možno v dôsledku toho odvodiť prítomnosť podobného vzťahu medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním. Skutočne, zvážte náhodnú premennú X charakterizované distribučným radom:
Nech sa vyrába N nezávislé experimenty, v každom z nich hodnotu X nadobúda určitý význam. Predpokladajme hodnotu x1 objavil m1 krát, hodnota x2 objavil m2časy, vo všeobecnosti znamená xi objavil sa mi krát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt veličiny X, ktorý na rozdiel od matematického očakávania M | X | určíme M * | X |:
S nárastom počtu experimentov N frekvencia pi sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M | X | s nárastom počtu experimentov sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojmu matematickému očakávaniu. Uvedená súvislosť medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním je obsahom jednej z foriem zákona veľkých čísel.
Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že určité priemery sú stabilné pre veľký počet experimentov. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní rovnakej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; pri dostatočnom zvýšení počtu experimentov sa stáva „takmer náhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote – matematickému očakávaniu.
Vlastnosť stability priemerov pri veľkom počte experimentov je ľahko overiteľná experimentálne. Napríklad vážením telesa v laboratóriu na presných váhach dostaneme zakaždým novú hodnotu ako výsledok váženia; aby sme znížili chybu pozorovania, telo niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Ľahko sa presvedčíme, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast stále menej reaguje a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.
Je potrebné poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika pozície náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože príslušný súčet alebo integrál sa líšia. Pre prax však takéto prípady nie sú veľmi zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.
Okrem najdôležitejších charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä modus a medián náhodnej premennej.
Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa striktne vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod tá hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné veličiny.
Ak má distribučný polygón (krivka rozdelenia) viac ako jedno maximum, rozdelenie sa nazýva „polymodálne“.
Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede minimum, nie maximum. Takéto distribúcie sa nazývajú "antimodálne".
Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je rozdelenie symetrické a modálne (t. j. má mód) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.
Často sa používa aj ďalšia charakteristika pozície – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa len pre spojité náhodné premenné, hoci formálne ju možno určiť aj pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou polovičná.
V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s matematickým očakávaním a módom.
Matematické očakávanie je stredná hodnota náhodnej premennej - číselná charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Vo všeobecnosti ide o matematické očakávanie náhodnej premennej X (š) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R v pôvodnom pravdepodobnostnom priestore:
Matematické očakávanie možno vypočítať aj ako Lebesgueov integrál X podľa rozdelenia pravdepodobnosti px magnitúdy X:
Prirodzeným spôsobom môžete definovať pojem náhodnej premennej s nekonečným matematickým očakávaním. Typickými príkladmi sú časy návratu v niektorých náhodných prechádzkach.
Pomocou matematického očakávania sú určené mnohé číselné a funkčné charakteristiky rozdelenia (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty ľubovoľného rádu, najmä rozptyl, kovariancia.
Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemerná hodnota jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako nejaký "typický" distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu - súradníc ťažiska rozloženia hmoty - v mechanike. Matematické očakávanie sa líši od ostatných charakteristík umiestnenia, pomocou ktorých je distribúcia popísaná vo všeobecných pojmoch, mediáne, módoch, tým, že má väčšiu hodnotu a zodpovedajúca charakteristika rozptylu - disperzia - v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. S najväčšou úplnosťou odhaľuje zmysel matematického očakávania zákon veľkých čísel (Čebyševova nerovnosť) a zosilnený zákon veľkých čísel.
Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi pri takejto hodnote často vyvstáva otázka: akú hodnotu má „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových operácií?
Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je rentabilné sa na ňom zúčastniť (alebo sa ho zúčastniť opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý výherný tiket, cena je 300 rubľov a cena akéhokoľvek tiketu je 100 rubľov. Pri nekonečne veľkej účasti sa to deje. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri straty budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že za štyri účasti stratíme v priemere 100 rubľov, za jednu - v priemere 25 rubľov. Celkovo bude priemerná sadzba našej ruiny 25 rubľov za lístok.
Hádžeme kockou. Ak nejde o podvádzanie (žiadne posunutie ťažiska a pod.), tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Keďže každá možnosť je rovnako pravdepodobná, vezmeme hlúpy aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže ide o PRIEMER, netreba sa rozhorčovať, že žiadny konkrétny hod neprinesie 3,5 bodu – no, táto kocka s takýmto číslom nemá hranu!
Teraz si zhrňme naše príklady:
Pozrime sa na práve zobrazený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže nadobudnúť jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Iné hodnoty nemôžu byť. Každá možná hodnota nižšie je označená svojou pravdepodobnosťou. Vpravo je vzorec, kde M (X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude priemerná hodnota inklinovať k tomuto matematickému očakávaniu.
Vráťme sa k tej istej hracej kocke. Matematické očakávanie počtu bodov pri hode je 3,5 (ak neveríte, vypočítajte si sami pomocou vzorca). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Klesli 4 a 6. V priemere to vyšlo na 5, teda ďaleko od 3,5. Hodili to ešte raz, klesli o 3, teda v priemere (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Akosi ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte tento bláznivý experiment - hoďte kockou 1000-krát! A ak priemer nebude presne 3,5, bude sa tomu blížiť.
Vypočítajme matematické očakávanie pre vyššie uvedenú lotériu. Doska bude vyzerať takto:
Potom budú matematické očakávania, ako sme uviedli vyššie .:
Ďalšia vec je, že by bolo ťažké použiť to isté „na prstoch“ bez vzorca, ak by bolo viac možností. Povedzme, že ste mali 75 % stratených tiketov, 20 % výherných tiketov a 5 % extra výherných tiketov.
Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.
Dokázať to je jednoduché:
Zo znamienka matematického očakávania je možné vyňať konštantný faktor, to znamená:
Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.
Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:
to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.
Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, potom:
To sa dá tiež ľahko dokázať) XY sama o sebe je náhodná premenná, zatiaľ čo ak počiatočné hodnoty môžu nadobudnúť n a m hodnoty, resp XY môže nadobúdať hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej z hodnôt sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa vynásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:
Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej
Spojité náhodné veličiny majú takú charakteristiku, ako je hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V skutočnosti charakterizuje situáciu, že náhodná premenná naberá niektoré hodnoty z množiny reálnych čísel častejšie, niektoré menej často. Zvážte napríklad nasledujúci graf:
Tu X je náhodná premenná sama o sebe, f (x)- hustota distribúcie. Súdiac podľa tohto grafu, v experimentoch, hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance na prekročenie 3 alebo byť menej -3 skôr čisto teoretické.
Predpokladajme napríklad, že existuje rovnomerné rozdelenie:
To je celkom v súlade s intuitívnym chápaním. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentov |0; 1| , potom by mal byť aritmetický priemer približne 0,5.
Aj tu sú aplikovateľné vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., použiteľné pre diskrétne náhodné premenné.
Vzťah medzi matematickým očakávaním a inými štatistickými ukazovateľmi
V štatistickej analýze spolu s matematickým očakávaním existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov odrážajúcich homogenitu javov a stabilitu procesov. Variačné ukazovatele často nemajú samostatný význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistika.
Mieru variability či stability procesov v štatistickej vede možno merať pomocou viacerých ukazovateľov.
Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Disperzia, ktorá úzko a priamo súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistických analýz (testovanie hypotéz, analýza vzťahov príčin a následkov atď.). Rovnako ako lineárny priemer, rozptyl tiež odráža mieru rozšírenia údajov okolo priemeru.
Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je stredná druhá mocnina odchýlok. To znamená, že najprv sa vypočíta priemer, potom sa vezme rozdiel medzi každým originálom a priemerom, umocní sa, pridá sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi jednotlivou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Umocňuje sa tak, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami a aby sa zabránilo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok pri ich sčítaní. Potom so štvorcami odchýlok jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemer - štvorec - odchýlky. Odchýlky sú umocnené na druhú a berie sa do úvahy priemer. Riešenie magického slovíčka „variance“ spočíva len v troch slovách.
Vo svojej čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo index, sa však rozptyl nepoužíva. Je to skôr pomocný a prechodný ukazovateľ, ktorý sa používa pre iné typy štatistických analýz. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, ide o druhú mocninu mernej jednotky pôvodných údajov.
Poďme zmerať náhodnú premennú N krát, napríklad desaťkrát meriame rýchlosť vetra a chceme zistiť priemernú hodnotu. Ako súvisí priemer s distribučnou funkciou?
Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré padnú na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobudnúť akékoľvek prirodzené hodnoty od 1 do 6. Aritmetický priemer padnutých bodov vypočítaný pre všetky hody kockami je tiež náhodná hodnota, ale pre veľké N smeruje k veľmi konkrétnemu číslu – matematickému očakávaniu Mx... V tomto prípade Mx = 3,5.
Ako táto hodnota vznikla? Vpustiť N skúšok n1 raz klesol o 1 bod, n2časy - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, pri ktorých bol vynechaný jeden bod, je:
To isté platí pre výsledky, keď sa hádžu 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.
Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, to znamená, že vieme, že náhodná premenná x môže nadobúdať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pk.
Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x je:
Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemernej mzdy je teda rozumnejšie použiť pojem medián, teda takú hodnotu, aby sa zhodoval počet ľudí, ktorí poberajú plat nižší ako medián a vyšší.
Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1/2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1/2, sú rovnaké a rovné 1/2. Medián nie je určený jednoznačne pre všetky rozdelenia.
Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike je miera, do akej sa pozorované údaje alebo súbory odchyľujú od priemeru. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka znamená, že údaje sú zoskupené okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka znamená, že pôvodné údaje sú od neho ďaleko. Smerodajná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu štvorcových rozdielov počiatočných údajov odchyľujúcich sa od priemeru. Odmocnina odmocniny náhodnej premennej sa nazýva druhá odmocnina rozptylu:
Príklad. V testovacích podmienkach pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej premennej:
Variácia- variabilita, premenlivosť hodnoty vlastnosti v jednotkách populácie. Jednotlivé číselné hodnoty prvku, ktoré sa nachádzajú v skúmanej populácii, sa nazývajú hodnotové možnosti. Nedostatočnosť priemernej hodnoty pre úplnú charakteristiku populácie si vyžaduje doplnenie priemerných hodnôt ukazovateľmi, ktoré umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (variácie) študovaného znaku. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:
Variácia potiahnutia prstom(R) je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami znaku v skúmanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najvšeobecnejšiu predstavu o variabilite študovaného znaku, pretože ukazuje rozdiel iba medzi hraničnými hodnotami možností. Závislosť od extrémnych hodnôt vlastnosti dáva variácii nestabilný, náhodný charakter.
Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych (modulo) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:
Očakávaná hodnota v teórii hazardných hier
Matematické očakávanie je priemerná suma peňazí, ktorú môže hráč vyhrať alebo prehrať pri danej stávke. Toto je pre hráča veľmi dôležitý koncept, pretože je základom pre hodnotenie väčšiny herných situácií. Očakávanie je tiež optimálnym nástrojom na analýzu základných rozložení kariet a herných situácií.
Povedzme, že hráte o mincu s priateľom, pričom vždy vsádzate 1 $ rovnako, bez ohľadu na to, čo príde. Chvosty - vyhráte, hlavy - prehráte. Pravdepodobnosť, že prídete na druhú stranu, je jedna ku jednej a stavíte 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože Matematicky povedané, nemôžete vedieť, či budete viesť alebo prehrávať po dvoch hodoch alebo po 200.
Váš hodinový zisk je nula. Hodinová výhra je suma peňazí, ktorú očakávate, že vyhráte za hodinu. Za hodinu si môžete hodiť mincou 500-krát, ale nevyhráte ani neprehráte, pretože vaše šance nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Z pohľadu seriózneho hráča nie je takýto systém stávok zlý. Ale toto je jednoducho strata času.
Predpokladajme však, že niekto chce staviť 2 doláre proti vášmu 1 doláru v tej istej hre. Potom máte hneď pozitívne očakávanie 50 centov z každej stávky. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Stavte prvý dolár a prehráte 1 dolár, vsaďte druhý a vyhrajte 2 doláre. Stavíte 1 $ dvakrát a máte náskok 1 $. Takže každá z vašich jednodolárových stávok vám dala 50 centov.
Ak minca vypadne 500-krát za hodinu, vaša hodinová výhra už bude 250 $, pretože v priemere ste prehrali 1 250-krát a vyhrali 2 250-krát. 500 USD mínus 250 USD sa rovná 250 USD, čo je celková výhra. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je suma, ktorú ste v priemere vyhrali na jednej stávke, je 50 centov. Vyhrali ste 250 $ umiestnením stávky v dolároch 500-krát, čo sa rovná 50 centom z vkladu.
Očakávaná hodnota nemá nič spoločné s krátkodobým výsledkom. Váš súper, ktorý sa rozhodol proti vám staviť 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy s výhodou stávkovania 2 ku 1 za rovnakých okolností za každých okolností zarobíte 50 centov z každého stávka 1 dolár. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, ale iba ak máte dostatok hotovosti na vyrovnanie nákladov. Ak budete pokračovať v tipovaní rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry po dlhšom čase vyrovnajú súčtu vašich očakávaní v jednotlivých hodoch.
Zakaždým, keď urobíte stávku s najlepším výsledkom (stávka, ktorá môže byť dlhodobo zisková), keď je kurz vo váš prospech, určite na nej niečo vyhráte a nezáleží na tom, či ju prehráte alebo nie v tejto ruke. Naopak, ak urobíte stávku s najhorším výsledkom (stávka, ktorá nie je z dlhodobého hľadiska zisková), keď kurz nie je vo váš prospech, niečo strácate bez ohľadu na to, či vyhráte alebo prehráte kombináciu.
Stavíte s najlepším výsledkom, ak sú vaše očakávania pozitívne, a kladné je, ak sú kurzy na vašej strane. Pri uzatváraní stávky s najhorším výsledkom máte negatívne očakávania, čo sa stane, keď sú kurzy proti vám. Vážni hráči vsádzajú len s najlepším výsledkom, v najhoršom prípade zložia. Čo znamená kurz vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné kurzy. Skutočné šance na to, že sa dostanete na chvost, sú 1 ku 1, ale vďaka pomeru stávok dostávate 2 ku 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Najlepší výsledok určite dosiahnete s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.
Tu je komplexnejší príklad očakávanej hodnoty. Váš kamarát napíše čísla od jedna do päť a vsadí 5 USD proti vášmu 1 USD, že nezistíte skryté číslo. Mali by ste súhlasiť s takouto stávkou? Aké je tu očakávanie?
V priemere sa pomýlite štyrikrát. Na základe toho je pravdepodobnosť, že uhádnete číslo, 4 ku 1. Pravdepodobnosť je taká, že prehráte jeden dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5 ku 1, ak môžete prehrať 4 ku 1. Takže kurz je vo váš prospech, môžete vziať stávku a dúfať v lepší výsledok. Ak podáte túto stávku päťkrát, v priemere štyrikrát prehráte 1 dolár a raz vyhráte 5 dolár. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár s kladnou očakávanou hodnotou 20 centov na stávku.
Hráč, ktorý vyhrá viac, ako vsadí, ako v príklade vyššie, chytí kurz. Naopak, zruinuje kurz, keď očakáva, že vyhrá menej, ako vsadí. Hráč uzatvárajúci stávku môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania, čo závisí od toho, či chytí alebo zničí šance.
Ak vsadíte 50 USD na výhru 10 USD s pravdepodobnosťou výhry 4 ku 1, potom dostanete negatívne očakávanie 2 USD, pretože v priemere vyhráte štyrikrát 10 USD a raz prehráte 50 USD, čo ukazuje, že strata na jednu stávku je 10 USD. Ak však vsadíte 30 USD, aby ste vyhrali 10 USD, s rovnakými šancami na výhru 4 ku 1, potom v tomto prípade pozitívne očakávate 2 USD, pretože opäť štyrikrát vyhráte za 10 USD a raz prehráte 30 USD so ziskom 10 USD. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.
Očakávanie je stredobodom každej hernej situácie. Keď stávková kancelária povzbudí futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, majú pozitívne očakávania 50 centov za každých 10 dolárov. Ak kasíno vypláca rovnaké peniaze z prechádzajúcej línie v kockách, potom pozitívne očakávanie kasína je približne 1,40 USD za každých 100 USD, pretože Táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto vsadí na túto líniu, prehrá v priemere 50,7 % a vyhrá 49,3 % z celkového času. Nepochybne práve toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie prináša majiteľom kasín po celom svete kolosálne zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak: "Jedna tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhú vzdialenosť zruinuje najbohatšieho človeka na svete."
Matematické očakávania pri hraní pokru
Hra Poker je najnázornejším a najnázornejším príkladom z hľadiska využitia teórie a vlastností matematického očakávania.
Očakávaná hodnota v pokri je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti. Úspešná pokerová hra je o akceptovaní ťahov s pozitívnym očakávaním.
Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru spočíva v tom, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, ktoré karty sú v rukách súpera, ktoré karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme zvážiť z pohľadu teórie veľkých čísel, ktorá hovorí, že pri dostatočne veľkej vzorke bude priemerná hodnota náhodnej premennej inklinovať k jej matematickému očakávaniu.
Spomedzi konkrétnych vzorcov na výpočet matematického očakávania je v pokri najviac použiteľné:
Pri hraní pokru je možné vypočítať očakávanú hodnotu pre stávky aj cally. V prvom prípade by sa mala brať do úvahy fold equity, v druhom prípade vlastný kurz banku. Pri posudzovaní matematického očakávania pohybu treba pamätať na to, že fold má vždy nulové očakávanie. Zahodenie kariet bude teda vždy výnosnejším rozhodnutím ako akýkoľvek negatívny krok.
Očakávanie vám povie, čo môžete očakávať (zisk alebo strata) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú, pretože očakávanie všetkých hier, ktoré sa v nich praktizujú, je v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier sa dá očakávať, že klient o svoje peniaze príde, keďže „pravdepodobnosť“ je v prospech kasína. Profesionálni hráči kasín však obmedzujú svoje hry na krátke časové úseky, čím zvyšujú šance v ich prospech. To isté platí pre investovanie. Ak sú vaše očakávania pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom časovom období. Očakávanie je vaše percento zisku z výhry vynásobené priemerným ziskom mínus vaša pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.
Na poker sa dá pozerať aj z hľadiska matematických očakávaní. Môžete predpokladať, že určitý pohyb je ziskový, ale v niektorých prípadoch nemusí byť najlepší, pretože iný ťah je ziskovejší. Povedzme, že ste dosiahli plnú hru v pokri s piatimi kartami. Váš súper vsádza. Viete, že ak zvýšite svoju ponuku, odpovie. Zvyšovanie preto vyzerá ako najlepšia taktika. Ak však stávku navýšite, zvyšní dvaja hráči určite zložia karty. Ale ak zavoláte, budete si úplne istí, že ďalší dvaja hráči po vás urobia to isté. Keď zvýšite stávku, získate jednu jednotku a jednoducho dorovnáte - dve. Vyrovnávanie vám teda dáva vyššie pozitívne matematické očakávania a je tou najlepšou taktikou.
Matematické očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktorá taktika je v pokri menej zisková a ktorá viac. Napríklad, keď hráte určitú kombináciu, veríte, že vaše straty budú v priemere 75 centov, vrátane ante, potom by ste mali hrať túto handu, pretože je to lepšie ako zahodiť, keď je ante 1 dolár.
Ďalším dôležitým dôvodom na pochopenie podstaty matematického očakávania je, že vám dáva pocit pokoja, či už ste stávku vyhrali alebo nie: ak ste dobre stavili alebo zložili karty včas, budete vedieť, že ste zarobili alebo ušetrili určitú sumu. peňazí, ktoré slabší hráč nedokázal ušetriť. Je oveľa ťažšie zahodiť, ak ste naštvaný, že váš súper vytvoril silnejšiu kombináciu na výmene. Vďaka tomu všetkému sa peniaze, ktoré ste ušetrili bez hrania, namiesto stávkovania, pripočítajú k vašim výhram za noc alebo za mesiac.
Nezabudnite, že ak by ste zmenili ruky, váš súper by vás dorovnal a ako uvidíte v článku „Základná veta pokru“, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť šťastní, keď sa to stane. Môžete sa dokonca naučiť užiť si prehru, pretože viete, že iní hráči na vašom mieste by stratili oveľa viac.
Ako už bolo spomenuté v príklade coin-play na začiatku, hodinová miera návratnosti súvisí s očakávanou hodnotou a tento koncept je dôležitý najmä pre profesionálnych hráčov. Keď sa chystáte hrať poker, musíte v duchu odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hrania. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete použiť aj nejakú matematiku. Napríklad hráte draw lowball a vidíte, že traja hráči vsadili 10 USD a potom si vymenili dve karty, čo je veľmi zlá taktika, možno si myslíte, že zakaždým, keď vsadia 10 USD, prehrajú približne 2 USD. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja stratia približne 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 USD a zisk každého z nich bude 12 USD za hodinu. Vaše hodinové kurzy sú v tomto prípade jednoducho vaším podielom na množstve peňazí, ktoré prehrali traja zlí hráči za hodinu.
Počas dlhého časového obdobia je celková odmena hráča súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac hráte s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhrávate a naopak, čím viac rúk s negatívnym očakávaním hráte, tým viac prehrávate. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať negatívne, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.
Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii
Ak viete, ako počítať karty, môžete mať náskok pred kasínom, ak to neuvidia a vyhodia vás von. Kasína milujú opitých hazardných hráčov a neznášajú pulty kariet. Výhoda vám umožní v priebehu času viackrát vyhrať, ako prehrať. Dobrá správa peňazí pomocou matematických výpočtov očakávaní vám môže pomôcť získať viac z vašej výhody a znížiť straty. Bez výhody je lepšie darovať peniaze na charitu. Pri obchodovaní na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára viac ziskov ako strát, cenových rozdielov a provízií. Žiadna správa peňazí nezachráni zlý systém hazardných hier.
Pozitívne očakávanie je definované hodnotou väčšou ako nula. Čím väčšie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, matematické očakávanie bude tiež záporné. Čím väčší je modul zápornej hodnoty, tým je situácia horšia. Ak je výsledok nula, potom je očakávanie zlomové. Vyhrať môžete len vtedy, keď máte pozitívne matematické očakávania, rozumný systém hry. Hra podľa intuície vedie ku katastrofe.
Očakávanie a obchodovanie na burze
Matematické očakávanie je pomerne široko žiadaným a obľúbeným štatistickým ukazovateľom pri realizácii burzového obchodovania na finančných trhoch. V prvom rade sa tento parameter používa na analýzu úspešnosti obchodu. Nie je ťažké uhádnuť, že čím väčšia daná hodnota, tým väčší dôvod považovať študovaný obchod za úspešný. Rozbor práce obchodníka sa samozrejme nedá robiť len pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota však v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce môže výrazne zlepšiť presnosť analýzy.
Matematické očakávanie sa často počíta v službách sledovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Ako výnimky je možné uviesť stratégie, ktoré využívajú „vysedenie“ nerentabilných obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusia byť žiadne straty. V tomto prípade sa nebude dať orientovať len očakávaním, pretože sa nebudú brať do úvahy riziká použité pri práci.
Pri obchodovaní na trhu sa očakávanie používa najčastejšie pri predpovedaní ziskovosti obchodnej stratégie alebo pri predikcii príjmu obchodníka na základe štatistických údajov jeho predchádzajúcich obchodov.
Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnymi očakávaniami neexistuje schéma správy peňazí, ktorá by určite mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete pokračovať v hraní na burze za týchto podmienok, tak bez ohľadu na to, ako spravujete svoje peniaze, prídete o celý účet, bez ohľadu na to, aký bol na začiatku akokoľvek veľký.
Táto axióma neplatí len pre hry alebo obchody s negatívnymi očakávaniami, ale platí aj pre hry s rovnakými kurzami. Preto jediný čas, kedy máte šancu profitovať z dlhodobého hľadiska, je vtedy, keď vstupujete do obchodov s kladnou očakávanou hodnotou.
Rozdiel medzi negatívnym očakávaním a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; dôležité je, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto pred zvažovaním problémov so správou peňazí musíte nájsť hru s pozitívnym očakávaním.
Ak takúto hru nemáte, tak vás nezachráni žiaden money management na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich pomocou dobrého money managementu premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, aké malé je toto pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký ziskový je systém obchodovania s jedným kontraktom. Ak máte systém, ktorý vyhráva 10 USD za kontrakt na jeden obchod (po odpočítaní provízií a sklzu), môžete použiť techniky správy peňazí, aby bol ziskovejší ako systém, ktorý vykazuje priemerný zisk 1 000 USD na obchod (po odpočítaní provízií a sklzu).
Nie je dôležité, nakoľko bol systém ziskový, ale s akou istotou možno povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Najdôležitejšou prípravou, ktorú môže obchodník urobiť, je preto zabezpečiť, aby systém v budúcnosti vykazoval pozitívne matematické očakávania.
Ak chcete mať v budúcnosti pozitívne matematické očakávania, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú vykonáte v systéme, znižuje počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude trvalo generovať malé zisky na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký ziskový je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte obchodovaním, získate efektívnym hospodárením s peniazmi.
Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívne matematické očakávania, aby bolo možné použiť správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálny zisk) len na jednom alebo niekoľkých trhoch, prípadne majú rôzne pravidlá či parametre pre rôzne trhy, s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú fungovať v reálnom čase dostatočne dlho. Problémom väčšiny technicky zdatných obchodníkov je, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a hodnôt parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a počítačového času zvyšovaním ziskov obchodného systému zamerajte svoju energiu na zvyšovanie úrovne spoľahlivosti dosahovania minimálneho zisku.
S vedomím, že money management je len numerická hra, ktorá si vyžaduje využitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať testovať svoju obchodnú metódu, zistiť, aká je táto metóda logická, či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy správy peňazí aplikované na akékoľvek, dokonca aj priemerné obchodné metódy, urobia zvyšok práce samy.
Aby každý obchodník uspel vo svojej práci, je potrebné vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy:. Zabezpečte, aby počet úspešných obchodov prevýšil nevyhnutné chyby a nesprávne výpočty; Nastavte svoj obchodný systém tak, aby príležitosť zarábať peniaze bola čo najčastejšie; Aby ste dosiahli stabilitu pozitívneho výsledku vašich operácií.
A tu nám, pracujúcim obchodníkom, môže pomôcť matematické očakávanie. Tento pojem v teórii pravdepodobnosti je jedným z kľúčových. S jeho pomocou môžete poskytnúť priemerný odhad určitej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej premennej je podobné ako ťažisko, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíme ako body s rôznou hmotnosťou.
Pri použití obchodnej stratégie sa na posúdenie jej účinnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet súčinov daných úrovní ziskov a strát a pravdepodobnosti ich výskytu. Napríklad vyvinutá obchodná stratégia predpokladá, že 37 % všetkých operácií prinesie zisk a zvyšok – 63 % – bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 USD a priemerná strata 1,4 USD. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou nasledujúceho systému:
Čo znamená toto číslo? Hovorí sa, že podľa pravidiel tohto systému dostaneme v priemere 1,708 $ z každého uzavretého obchodu. Keďže získaný odhad účinnosti je väčší ako nula, potom je možné takýto systém použiť na reálnu prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže, že matematické očakávanie je negatívne, potom to už hovorí o priemernej strate a takýto obchod povedie k krachu.
Výšku zisku na jeden obchod je možné vyjadriť aj ako relatívnu hodnotu vo forme %. Napríklad:
- percento príjmu na 1 obchod - 5%;
- percento úspešných obchodných operácií - 62 %;
- percento straty na 1 obchod - 3%;
- percento neúspešných transakcií - 38 %;
To znamená, že priemerný obchod vygeneruje 1,96 %.
Je možné vyvinúť systém, ktorý napriek prevahe nerentabilných obchodov prinesie pozitívny výsledok, keďže jeho MO> 0.
Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém poskytuje veľmi málo obchodných signálov. V tomto prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s bankovým úrokom. Nech každá transakcia dáva v priemere len 0,50 USD, ale čo ak systém predpokladá 1000 transakcií za rok? V relatívne krátkom čase to bude veľmi vážna suma. Z toho logicky vyplýva, že za ďalší rozlišovací znak dobrého obchodného systému možno považovať krátke obdobie držania pozícií.
Zdroje a odkazy
dic.academic.ru - Akademický internetový slovník
mathematics.ru - vzdelávacia stránka v matematike
nsu.ru - vzdelávacia stránka Štátnej univerzity v Novosibirsku
webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.
Vzdelávacia matematická webová stránka exponenta.ru
ru.tradimo.com - bezplatná online obchodná škola
crypto.hut2.ru - multidisciplinárny informačný zdroj
poker-wiki.ru – bezplatná encyklopédia pokru
sernam.ru - Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií
reshim.su - webová stránka VYRIEŠIME úlohy kontroly kurzu
unfx.ru - Forex v UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery
slovopedia.com - Veľký encyklopedický slovník Slovopedia
pokermansion.3dn.ru - Váš sprievodca svetom pokru
statanaliz.info - informačný blog "Analýza štatistických údajov"
forex-trader.rf - Portál Forex-Trader
megafx.ru - aktuálna analýza Forexu
fx-by.com - všetko pre obchodníka