Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! *Ďalej v texte „KU“. Priatelia, zdalo by sa, že v matematike to môže byť jednoduchšie ako riešenie takejto rovnice. Niečo mi však hovorilo, že veľa ľudí s ním má problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení poskytuje Yandex na žiadosť za mesiac. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že mesačne hľadá asi 70 000 ľudí táto informácia, čo s tým má toto leto spoločné a čo sa bude diať počas školského roka - žiadostí bude dvakrát toľko. To nie je prekvapujúce, pretože tieto informácie hľadajú chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na skúšku, a školáci sa tiež snažia osviežiť svoju pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré hovoria, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prišli na moju stránku na základe tejto žiadosti; po druhé, v iných článkoch, keď príde reč „KU“, dám odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba s ľubovoľnými číslami, s a≠0.

V školskom kurze je materiál uvedený v tejto forme - rozdelenie rovníc do troch tried je podmienené:

1. Mať dva korene.

2. * Mať len jeden koreň.

3. Nemať korene. Tu stojí za zmienku, že nemajú skutočné korene

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva veľmi jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

*Tieto vzorce musíte poznať naspamäť.

Môžete okamžite napísať a rozhodnúť sa:

Príklad:

1. Ak D > 0, potom má rovnica dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

Autor: túto príležitosť, keď je diskriminant nula, školský kurz hovorí, že sa získa jeden odmocninec, tu sa rovná deviatke. Je to tak, ale...

Toto znázornenie je trochu nesprávne. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, áno, nečudujte sa, ukáže sa, že dva rovnaké korene, a aby to bolo matematicky presné, mali by byť v odpovedi napísané dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si môžete zapísať a povedať, že koreň je len jeden.

Teraz nasledujúci príklad:

Ako vieme, koreň z záporné číslo sa nenačíta, takže riešenia v tento prípadč.

To je celý rozhodovací proces.

Kvadratická funkcia.

Takto vyzerá riešenie geometricky. Toto je mimoriadne dôležité pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie kvadratickej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c sú dané čísla, kde a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s "y" rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) alebo žiadny (diskriminant je záporný). Podrobnosti o kvadratickej funkcie Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Zvážte príklady:

Príklad 1: Rozhodnite sa 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = -12

* Mohli ste okamžite odísť a pravá strana vydeľte rovnicu 2, teda zjednodušte ju. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dostali sme, že x 1 \u003d 11 a x 2 \u003d 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a kde vznikli a aká je ich špecifická úloha a nevyhnutnosť v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a+bi je JEDNO ČÍSLO, nie sčítanie.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Získajte dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Zvážte špeciálne prípady, keď sa koeficient "b" alebo "c" rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Riešia sa jednoducho bez akýchkoľvek diskriminácií.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica má tvar:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Prípad 2. Koeficient c = 0.

Rovnica má tvar:

Transformovať, faktorizovať:

*Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 alebo x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a + b+ c = 0, potom

— ak pre koeficienty rovnice aX 2 + bx+ c=0 rovnosť

a+ s =b, potom

Tieto vlastnosti pomáhajú určitý druh rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, takže

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť a+ s =b, znamená

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak v rovnici ax 2 + bx + c \u003d 0 je koeficient „b“ (a 2 +1) a koeficient „c“ sa číselne rovná koeficientu „a“, potom jeho korene sú

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ak v rovnici ax 2 - bx + c \u003d 0 je koeficient "b" (a 2 +1) a koeficient "c" sa číselne rovná koeficientu "a", potom jeho korene sú

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rovnici ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" rovná sa (2 – 1) a koeficient „c“ číselne sa rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene rovnaké

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" rovná (a 2 - 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Príklad. Zvážte rovnicu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Francoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety je možné vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KU pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Suma sumárum, číslo 14 dáva len 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete vyriešiť veľa kvadratických rovníc okamžite ústne.

Navyše Vietova veta. pohodlné, pretože po vyriešení kvadratická rovnica obvyklým spôsobom(cez diskriminant) získané korene možno skontrolovať. Odporúčam to robiť stále.

SPÔSOB PRENOSU

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ vynásobí voľným členom, akoby sa naň „preniesol“, preto sa nazýva tzv. spôsob prenosu. Táto metóda sa používa, keď je ľahké nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak a± b+c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Podľa Vietovej vety v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Získané korene rovnice je potrebné vydeliť 2 (keďže boli „vyhodené“ z x 2), dostaneme

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozrite sa, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú:

Ak sa pozriete na korene rovníc, získajú sa iba rôzne menovatele a výsledok závisí presne od koeficientu pri x 2:

Druhé (upravené) korene sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

*Ak hodíme trojicu, tak výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq ur-ie a skúšku.

O jeho dôležitosti poviem stručne – MALI BY STE SA SCHOPNI ROZHODNÚŤ rýchlo a bez rozmýšľania, treba poznať vzorce koreňov a rozlišovača naspamäť. Mnoho úloh, ktoré sú súčasťou úloh USE, sa týka riešenia kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Čo stojí za povšimnutie!

1. Tvar rovnice môže byť „implicitný“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x+42+9x 2 - 45x=0 alebo 15 -5x+10x 2 = 0.

Musíte ho priviesť štandardný pohľad(aby ste sa pri rozhodovaní nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma hodnota a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a inými.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diskriminant vám umožňuje riešiť akékoľvek kvadratické rovnice pomocou všeobecného vzorca, ktorý má nasledujúci tvar:

Diskriminačný vzorec závisí od stupňa polynómu. Vyššie uvedený vzorec je vhodný na riešenie kvadratických rovníc nasledujúceho druhu:

Diskriminant má nasledujúce vlastnosti, ktoré potrebujete vedieť:

* "D" je 0, ak má polynóm viacero koreňov (rovnaké korene);

* "D" je symetrický polynóm vzhľadom na korene polynómu, a preto je vo svojich koeficientoch polynóm; navyše koeficienty tohto polynómu sú celé čísla bez ohľadu na rozšírenie, v ktorom sú korene.

Predpokladajme, že dostaneme kvadratickú rovnicu nasledujúceho tvaru:

1 rovnica

Podľa vzorca máme:

Keďže \, potom má rovnica 2 korene. Poďme si ich definovať:

Kde môžem vyriešiť rovnicu prostredníctvom diskriminačného online riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa do našej skupiny, vždy vám radi pomôžeme.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho v rovnici môže byť (alebo nemusí byť!) len x (do prvého stupňa) a len číslo (voľný člen). A nemalo by tam byť x v stupni väčšom ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale a- všetko okrem nuly. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

V týchto kvadratických rovniciach je vľavo Plný setčlenov. x na druhú s koeficientom a, x na prvú mocninu s koeficientom b a voľný člen

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú kompletný.

Čo ak b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to násobením nulou.) Ukazuje sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

Atď. A ak oba koeficienty b a c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom prečo a nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate a nula.) X v štvorci zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A robí sa to inak...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze potrebujete daná rovnica priniesť do štandardnej formy, t.j. na pohľad:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Proste to dopadne správne. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Vedeli ste?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly dosaďte do vzorca c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý a ktorý druhý - je úplne ľahostajné. Jednoduché písanie v poradí x 1- podľa toho, čo je menej x 2- čo je viac.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím x zo zátvoriek, alebo jednoduchý prenosčísla vpravo, po ktorej nasleduje extrakcia koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Je jednoduchá a bezproblémová pri manipulácii.) Pripomínam najviac všeobecný vzorec pre riešenia akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Diskriminant sa zvyčajne označuje písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také zvláštne? Prečo si zaslúži špeciálne meno? Čo zmysel slova diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Ide o to. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušená verzia, je zvykom rozprávať jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, o jednoduché riešenie kvadratických rovníc, pojem diskriminant nie je zvlášť potrebný. Dosadíme hodnoty koeficientov do vzorca a zvážime. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene a jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačný vzorec nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre GIA a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo naučené, čo tiež nie je zlé.) Viete sa správne identifikovať a, b a c. Vieš ako opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne spočítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - opatrne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhý príjem. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b s opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale skontrolujte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity". Pri práci so zlomkami sa chyby z nejakého dôvodu šplhajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient na nej rovný jednej, riešenie možno ľahko overiť Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešiť rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Sedí všetko? Výborne! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesť hlavy. Prvé tri dopadli, ale zvyšok nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nefunguje? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže sekcia 555. Tam sú všetky tieto príklady zoradené podľa kostí. Zobrazuje sa hlavné chyby v riešení. Samozrejme je popísaná aj aplikácia identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľmi pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Pokračujeme v štúdiu témy riešenie rovníc". S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a teraz sa s nimi zoznámime kvadratické rovnice.

Najprv si rozoberieme, čo je to kvadratická rovnica, ako sa v nej píše všeobecný pohľad a uveďte súvisiace definície. Potom na príkladoch podrobne analyzujeme, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Prejdime k riešeniu. úplné rovnice, získame vzorec koreňov, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec sledujeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať hovoriť o kvadratických rovniciach s definíciou kvadratickej rovnice, ako aj definíciami s ňou súvisiacimi. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je odlišné od nuly.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to preto, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Znela definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a , b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c \u003d 0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo vyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen.

Zoberme si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x−3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient je −2 a voľný člen je −3. Všimnite si, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, potom krátka forma napísanie kvadratickej rovnice v tvare 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo −1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v zápise kvadratickej rovnice, čo je spôsobené zvláštnosťami zápisu takejto rovnice. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient v y je −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 redukovaná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica neznížené.

Podľa túto definíciu, kvadratické rovnice x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 atď. - znížený, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1 .

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch jej častí vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Uveďme si príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Nám stačí vykonať delenie oboch častí pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, ten je nenulový, takže môžeme vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , čo je rovnaké ako (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 a tak ďalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Tak sme dostali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

V definícii kvadratickej rovnice existuje podmienka a≠0. Táto podmienka je potrebná na to, aby rovnica a x 2 +b x+c=0 bola presne kvadratická, keďže s a=0 sa vlastne stáva lineárnou rovnicou v tvare b x+c=0 .

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, samostatne aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b , c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Tieto mená nie sú dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcej diskusie.

Ak sa koeficient b rovná nule, potom má kvadratická rovnica tvar a x 2 +0 x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a x 2 +b x+0=0 , potom ju možno prepísať ako a x 2 +b x=0 . A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 = 0, −2 x 2 = 0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií z predchádzajúceho odseku vyplýva, že existuje tri druhy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 =0, zodpovedajú tomu koeficienty b=0 a c=0;
• ax2+c=0, keď b=0;
• a ax2+bx=0, keď c=0.

Poďme analyzovať v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 \u003d 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda s rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením jej oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d 0 je nula, pretože 0 2 \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené, skutočne, pre akékoľvek nenulové číslo p nastáva nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 \u003d 0 má teda jeden koreň x \u003d 0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4·x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d 0, jej jediný koreň je x \u003d 0, preto má pôvodná rovnica jednu odmocninu nulu.

Krátke riešenie v tomto prípade môže byť vydané takto:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz zvážte, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých sa koeficient b rovná nule a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že prenos člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto je možné vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + c = 0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
• a obe jeho časti vydelíme a , dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6 , potom ), nerovná sa nule , pretože podľa podmienky c≠0 . Samostatne budeme analyzovať prípady a .

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si spomenieme na, potom je koreň rovnice okamžite zrejmý, je to číslo, pretože. Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme práve vyjadrené korene rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má iný koreň x 2 odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1 . Je známe, že substitúcia do rovnice namiesto x jej koreňov zmení rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie skutočných numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 − x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Zo získanej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0 , čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 = −x 1 . Dostali sme sa teda do rozporu, keďže sme na začiatku povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1 . To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici , ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0 .

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0 . Po prenesení voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9·x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 dostaneme . Keďže na pravej strane sa získa záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7=0 nemá korene.

Vyriešme ešte jednu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Prenesieme deväť na pravú stranu: -x 2 \u003d -9. Teraz obe časti vydelíme −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho usudzujeme, že alebo . Po zapísaní konečnej odpovede: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 +b x=0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0 . A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a x+b=0 , z ktorých posledná je lineárna a má koreň x=−b/a .

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +b x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie konkrétneho príkladu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vyberieme x zo zátvoriek, čím získame rovnicu. Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Výslednú lineárnu rovnicu riešime: , a po delení zmiešané číslo na spoločný zlomok, nájdeme. Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe je možné riešenia takýchto rovníc stručne napísať:

odpoveď:

x=0,.

Diskriminant, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si zapísať vzorec koreňov kvadratickej rovnice: , kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako sa získal koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme sa s tým vysporiadať.

Odvodenie vzorca koreňov kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0 . Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obe časti tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je redukovaná kvadratická rovnica.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
• V tejto fáze je možné vykonať presun posledných dvoch pojmov na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
• A pretvorme aj výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici , ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0 .

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme analyzovali . To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
• if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
• if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4 a 2 je vždy kladný, teda znamienko výrazu b 2 −4 a c . Tento výraz b 2 −4 a c sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice a označené písmenom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka sa usudzuje, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aký je ich počet - jeden alebo dva.

Vrátime sa k rovnici , prepíšeme ju pomocou zápisu diskriminantu: . A uzatvárame:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo , ktoré možno prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a zmenšení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme .

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú takto , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4 a c .

S ich pomocou, s kladným diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď je diskriminant rovný nule, oba vzorce dávajú rovnakú koreňovú hodnotu zodpovedajúcu jedinému riešeniu kvadratickej rovnice. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii odmocnina od záporného čísla, čo nás vytiahne zo škatuľky a školské osnovy. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratickej rovnice môžete okamžite použiť koreňový vzorec, pomocou ktorého vypočítate ich hodnoty. Ale tu ide skôr o hľadanie zložitých koreňov.

V kurze školskej algebry však zvyčajne nehovoríme o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné najskôr nájsť diskriminant pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá žiadne skutočné korene) a potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c \u003d 0 potrebujete:

• pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4 a c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0 ;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu len poznamenáme, že ak je diskriminant rovný nule, dá sa použiť aj vzorec, dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Zvážte riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Začnime.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2 x−6=0 .

Riešenie.

V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1 , b=2 a c=−6 . Podľa algoritmu musíte najskôr vypočítať diskriminant, na to dosadíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Keďže 28>0 , teda diskriminant Nad nulou, potom má kvadratická rovnica dva reálne korene. Nájdeme ich podľa vzorca koreňov , dostaneme , tu môžeme zjednodušiť výrazy získané vykonaním vylúčenie znamienka koreňa nasleduje redukcia frakcií:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5 , b=6 a c=2 . Nahradením týchto hodnôt do diskriminačného vzorca máme D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak potrebujete špecifikovať zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, komplexné korene sú: .

Ešte raz poznamenávame, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, škola zvyčajne ihneď zapíše odpoveď, v ktorej uvedie, že neexistujú žiadne skutočné korene a nenájdu zložité korene.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice , kde D=b 2 −4 a c vám umožňuje získať kompaktnejší vzorec, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pri x (alebo jednoducho s koeficientom, ktorý vyzerá ako 2 n napríklad alebo 14 ln5 = 2 7 ln5). Zoberme ju von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x + c=0 . Nájdite jeho korene pomocou nám známeho vzorca. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Výraz n 2 −a c označme ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n nadobúda tvar , kde D 1 = n 2 −a c .

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n potrebujete

• Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
• Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Zvážte riešenie príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tu a=5 , n=−3 a c=−32 a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Nájdeme ich pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako sa pustíme do výpočtu koreňov kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice“? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x −6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Zvyčajne sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo vydelením oboch jej strán nejakým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku sa nám podarilo dosiahnuť zjednodušenie rovnice 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100 .

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . Obe strany rovnice sa bežne delia absolútne hodnoty jeho koeficienty. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Vydelením oboch častí pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0 .

A násobenie oboch častí kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva na menovateľoch jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe časti kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6 , potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4 x−18=0 .

Na záver tohto odseku poznamenávame, že takmer vždy sa zbavíme mínusu na vodiacom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch častí −1. Napríklad z kvadratickej rovnice −2·x 2 −3·x+7=0 prejdite na riešenie 2·x 2 +3·x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej koeficientov. Na základe vzorca koreňov môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety o tvare a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov je voľný člen. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x+22=0 môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov je 7/3 a súčin koreňov je 22/3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších vzťahov medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Môžete napríklad vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice pomocou jej koeficientov: .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14. hodine 1. časť vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratická rovnica je rovnica, ktorá vyzerá ax 2 + dx + c = 0. Má to význam a, c a s akékoľvek číslo, zatiaľ čo a nerovná sa nule.

Všetky kvadratické rovnice sú rozdelené do niekoľkých typov, a to:

Rovnice iba s jedným koreňom.
- Rovnice s dvoma rôznymi koreňmi.
- Rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene.

Toto rozlišuje lineárne rovnice v ktorých je koreň vždy rovnaký, od štvorcových. Aby ste pochopili, koľko koreňov vo výraze potrebujete Kvadratický diskriminant.

Povedzme, že naša rovnica ax 2 + dx + c =0. Prostriedky diskriminant kvadratickej rovnice -

D \u003d b 2 - 4 st

A toto si treba pamätať navždy. Pomocou tejto rovnice určíme počet koreňov v kvadratickej rovnici. A robíme to takto:

Keď D menej ako nula, rovnica nemá korene.
- Keď D je nula, existuje len jeden koreň.
- Keď je D väčšie ako nula, v rovnici sú dva korene.
Pamätajte, že diskriminant ukazuje, koľko koreňov je v rovnici bez zmeny znamienka.

Pre prehľadnosť zvážte:

Musíte zistiť, koľko koreňov v tejto kvadratickej rovnici.

1) x 2 - 8 x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 - 6 x + 9 = 0

Zadáme hodnoty do prvej rovnice, nájdeme diskriminant.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminant so znamienkom plus znamená, že v tejto rovnosti sú dva korene.

Urobte to isté s druhou rovnicou
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Hodnota je mínus, čo znamená, že v tejto rovnosti nie sú žiadne korene.

Nasledujúcu rovnicu rozšírime o analógiu.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
v dôsledku toho máme v rovnici jeden koreň.

Je dôležité, aby sme v každej rovnici vypísali koeficienty. Samozrejme, že to nie je príliš dlhý proces, ale pomohlo nám to nezmiasť sa a predísť chybám. Ak takéto rovnice riešite veľmi často, môžete vykonávať výpočty mentálne a vopred vedieť, koľko koreňov má rovnica.

Pozrime sa na ďalší príklad:

1) x 2 - 2 x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12 x + 36 = 0

Rozloženie prvého
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, čo je väčšie ako nula, to znamená dva korene, odvodíme ich
x 1 = 2 + A 16/2 * 1 = 3, x 2 = 2 - A 16/2 * 1 = -1.

Rozložíme druhú
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, čo je väčšie ako nula a má tiež dva korene. Poďme ich von:
x 1 = 2 + 64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2 - 64/2 * (-1) = 3.

Rozložíme tretiu
a = 1, b = 12, c = 36
D \u003d 12 2 - 4 * 1 * 36 \u003d 0, čo je nula a má jeden koreň
x \u003d -12 +? 0 / 2 * 1 \u003d -6.
Riešenie týchto rovníc nie je ťažké.

Ak dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu. Ako napr

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Tieto rovnice sa líšia od tých vyššie, pretože nie sú úplné, nemajú tretiu hodnotu. Ale napriek tomu je jednoduchšia ako úplná kvadratická rovnica a netreba v nej hľadať diskriminant.

Čo robiť, keď je to naliehavo potrebné absolventská práca alebo esej, ale nie je čas ju napísať? Toto všetko a oveľa viac si môžete objednať na webovej stránke Deeplom.by (http://deeplom.by/) a získať najvyššie skóre.

Návrat