วิธีแก้สัดส่วนทางคณิตศาสตร์ โพสต์ติดแท็ก "การจัดสัดส่วนตามเงื่อนไขปัญหา"

§ 125 แนวคิดเรื่องสัดส่วน

สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน นี่คือตัวอย่างของความเท่าเทียมกันที่เรียกว่าสัดส่วน:

บันทึก. ไม่ได้ระบุชื่อปริมาณตามสัดส่วน

สัดส่วนมักจะอ่านได้ดังนี้ 2 คือ 1 (หน่วย) และ 10 คือ 5 (สัดส่วนแรก) คุณสามารถอ่านในรูปแบบอื่นได้ เช่น 2 มากกว่า 1 หลายเท่า 10 มากกว่า 5 เท่า สัดส่วนที่สามสามารถอ่านได้ดังนี้: - 0.5 น้อยกว่า 2 หลายเท่า 0.75 กี่ครั้ง น้อยกว่า 3

ตัวเลขที่รวมอยู่ในสัดส่วนเรียกว่า สมาชิกของสัดส่วน- ซึ่งหมายความว่าสัดส่วนประกอบด้วยสี่พจน์ สมาชิกคนแรกและคนสุดท้ายคือสมาชิกที่ยืนอยู่ริมขอบจะถูกเรียก สุดขีดและเงื่อนไขของสัดส่วนที่อยู่ตรงกลางเรียกว่า เฉลี่ยสมาชิก. ซึ่งหมายความว่าในสัดส่วนแรก ตัวเลข 2 และ 5 จะเป็นพจน์สุดขั้ว และตัวเลข 1 และ 10 จะเป็นพจน์ตรงกลางของสัดส่วน

§ 126 ทรัพย์สินหลักของสัดส่วน

พิจารณาสัดส่วน:

ให้เราคูณเงื่อนไขสุดขั้วและเงื่อนไขกลางแยกกัน ผลคูณของค่าสุดขั้วคือ 6 4 = 24 ผลคูณของค่าที่อยู่ตรงกลางคือ 3 8 = 24

ลองพิจารณาสัดส่วนอื่น: 10: 5 = 12: 6 ลองคูณพจน์สุดขั้วและพจน์กลางแยกกันตรงนี้ด้วย

ผลคูณของค่าสุดขั้วคือ 10 6 = 60 ผลคูณของค่าที่อยู่ตรงกลางคือ 5 12 = 60

คุณสมบัติหลักของสัดส่วน: ผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง

ใน ปริทัศน์คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนเขียนได้ดังนี้: โฆษณา = พ.ศ .

เรามาตรวจสอบกันในหลายสัดส่วน:

1) 12: 4 = 30: 10.

สัดส่วนนี้ถูกต้อง เนื่องจากอัตราส่วนที่ใช้ประกอบจะเท่ากัน ในเวลาเดียวกันเมื่อนำผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วน (12 10) และผลิตภัณฑ์ของเทอมกลาง (4 30) เราจะเห็นว่าพวกมันเท่ากันนั่นคือ

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

สัดส่วนนั้นถูกต้อง ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยการลดความซับซ้อนของอัตราส่วนที่หนึ่งและที่สอง คุณสมบัติหลักของสัดส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันโดยที่ด้านซ้ายเป็นผลคูณของตัวเลขสองตัว และทางด้านขวาเป็นผลคูณของตัวเลขอีกสองตัว ก็สามารถกำหนดสัดส่วนจากตัวเลขสี่ตัวนี้ได้

ขอให้เรามีความเท่าเทียมกันโดยมีตัวเลขสี่ตัวคูณกันเป็นคู่:

ตัวเลขสี่ตัวนี้สามารถเป็นเทอมของสัดส่วนได้ ซึ่งเขียนได้ไม่ยากถ้าเราเอาผลคูณแรกเป็นผลคูณของเทอมสุดขั้ว และตัวที่สองเป็นผลคูณของเทอมกลาง ความเท่าเทียมกันที่เผยแพร่สามารถรวบรวมได้ เช่น ในสัดส่วนต่อไปนี้:

โดยทั่วไปจากความเท่าเทียมกัน โฆษณา = พ.ศ สามารถรับสัดส่วนดังต่อไปนี้:

ทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้ด้วยตัวเอง เมื่อพิจารณาผลคูณของตัวเลขสองคู่ ให้เขียนสัดส่วนที่สอดคล้องกับแต่ละความเท่าเทียมกัน:

ก) 1 6 = 2 3;

ข) 2 15 = ข 5

§ 127. การคำนวณเงื่อนไขสัดส่วนที่ไม่ทราบ

คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนทำให้คุณสามารถคำนวณเงื่อนไขใดๆ ของสัดส่วนได้หากไม่ทราบ มาดูสัดส่วนกัน:

เอ็กซ์ : 4 = 15: 3.

ในสัดส่วนนี้ ไม่ทราบสมาชิกสุดโต่งคนหนึ่ง เรารู้ว่าในสัดส่วนใดก็ตาม ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง บนพื้นฐานนี้เราสามารถเขียนได้:

x 3 = 4 15.

หลังจากคูณ 4 ด้วย 15 แล้ว เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ได้ดังนี้:

เอ็กซ์ 3 = 60.

ลองพิจารณาความเท่าเทียมกันนี้ ในนั้นไม่ทราบปัจจัยแรก ปัจจัยที่สองเป็นที่รู้จัก และผลิตภัณฑ์เป็นที่รู้จัก เรารู้ว่าการหาปัจจัยที่ไม่ทราบ ก็เพียงพอที่จะหารผลคูณด้วยปัจจัยอื่น (ที่ทราบ) ก็เพียงพอแล้ว จากนั้นปรากฎว่า:

เอ็กซ์ = 60:3 หรือ เอ็กซ์ = 20.

ลองตรวจสอบผลลัพธ์ที่พบโดยการแทนที่หมายเลข 20 แทน เอ็กซ์ ในสัดส่วนนี้:

สัดส่วนได้ถูกต้อง

ลองคิดดูว่าเราต้องดำเนินการอะไรบ้างเพื่อคำนวณระยะสุดขั้วที่ไม่ทราบของสัดส่วน จากเงื่อนไขทั้งสี่ของสัดส่วน เราไม่ทราบเพียงเงื่อนไขสุดขั้วเท่านั้น เป็นที่ทราบกันดีว่าสองตรงกลางและสุดขั้วที่สอง ในการค้นหาเทอมสุดขั้วของสัดส่วน ขั้นแรกให้คูณเทอมกลาง (4 และ 15) แล้วหารผลคูณที่พบด้วยเทอมค่าสุดขีดที่ทราบ ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าการกระทำจะไม่เปลี่ยนแปลงหากระยะสุดโต่งของสัดส่วนที่ต้องการไม่ได้อยู่ในอันดับแรก แต่สุดท้าย มาดูสัดส่วนกัน:

70: 10 = 21: เอ็กซ์ .

ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน: 70 เอ็กซ์ = 10 21.

การคูณตัวเลข 10 และ 21 เราจะเขียนความเท่าเทียมกันใหม่ดังนี้:

70 เอ็กซ์ = 210.

ไม่ทราบปัจจัยประการหนึ่ง หากต้องการคำนวณ ก็เพียงพอที่จะหารผลคูณ (210) ด้วยอีกปัจจัยหนึ่ง (70)

เอ็กซ์ = 210: 70; เอ็กซ์ = 3.

เราก็เลยพูดแบบนั้นได้ แต่ละเทอมสุดขั้วของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยหารด้วยค่าสุดโต่งอีกอัน

ตอนนี้เรามาดูการคำนวณระยะเฉลี่ยที่ไม่รู้จักกันดีกว่า มาดูสัดส่วนกัน:

30: เอ็กซ์ = 27: 9.

ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน:

30 9 = เอ็กซ์ 27.

ลองคำนวณผลคูณของ 30 x 9 และจัดเรียงส่วนของความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดใหม่:

เอ็กซ์ 27 = 270.

มาหาปัจจัยที่ไม่ทราบกัน:

เอ็กซ์ = 270:27 หรือ เอ็กซ์ = 10.

ตรวจสอบด้วยการทดแทน:

30:10 = 27:9 สัดส่วนถูกต้อง

มาดูสัดส่วนอื่นกัน:

12: ข = เอ็กซ์ : 8. ลองเขียนคุณสมบัติหลักของสัดส่วน:

12 . 8 = 6 เอ็กซ์ - เมื่อคูณ 12 และ 8 แล้วจัดเรียงส่วนของความเท่าเทียมกันใหม่ เราจะได้:

6 เอ็กซ์ = 96. ค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ:

เอ็กซ์ = 96:6 หรือ เอ็กซ์ = 16.

ดังนั้น, แต่ละเทอมกลางของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของค่าสุดขั้วหารด้วยค่ากลางอีกค่าหนึ่ง

ค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก สัดส่วนดังต่อไปนี้:

1) ก : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: ข = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: เอ็กซ์ .

กฎสองข้อสุดท้ายสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปได้ดังนี้:

1) ถ้าสัดส่วนมีลักษณะดังนี้:

x: ก = ข: ค , ที่

2) หากสัดส่วนมีลักษณะดังนี้:

ก: x = ข: ค , ที่

§ 128 การลดความซับซ้อนของสัดส่วนและการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่

ในส่วนนี้ เราจะมากฎที่ช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของสัดส่วนในกรณีที่ประกอบด้วยจำนวนจำนวนมากหรือเศษส่วน การแปลงที่ไม่ละเมิดสัดส่วนมีดังนี้:

1. การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของทั้งสองเงื่อนไขของอัตราส่วนใด ๆ พร้อมกัน หมายเลขเดียวกันครั้งหนึ่ง.

ตัวอย่าง 40:10 = 60:15.

เมื่อคูณทั้งสองเทอมของอัตราส่วนแรกด้วย 3 ครั้ง เราจะได้:

120:30 = 60: 15.

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด

เมื่อลดทั้งสองเทอมของอัตราส่วนที่สองลง 5 เท่า เราจะได้:

เราได้สัดส่วนที่ถูกต้องอีกครั้ง

2. การเพิ่มขึ้นหรือลดลงของข้อกำหนดก่อนหน้าหรือทั้งสองครั้งถัดไปพร้อมกันด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน

ตัวอย่าง. 16:8 = 40:20.

ให้เราเพิ่มเงื่อนไขก่อนหน้าของความสัมพันธ์ทั้งสองเป็นสองเท่า:

เราได้สัดส่วนที่ถูกต้อง

ให้เราลดเงื่อนไขที่ตามมาของความสัมพันธ์ทั้งสองลง 4 เท่า:

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด

ข้อสรุปทั้งสองที่ได้รับสามารถระบุสั้น ๆ ได้ดังนี้: สัดส่วนจะไม่ถูกละเมิดหากเราเพิ่มหรือลดลงพร้อมกันด้วยจำนวนเท่าของระยะสุดโต่งของสัดส่วนและค่าที่อยู่ตรงกลางใด ๆ

ตัวอย่างเช่น เมื่อลดลง 4 เท่าของค่าสุดขั้วที่ 1 และค่ากลางที่ 2 ของสัดส่วน 16:8 = 40:20 เราจะได้:

3. เพิ่มหรือลดเงื่อนไขทั้งหมดของสัดส่วนพร้อมกันด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน ตัวอย่าง. 36:12 = 60:20. ลองเพิ่มตัวเลขทั้งสี่จำนวน 2 ครั้ง:

สัดส่วนไม่ถูกละเมิด ลองลดตัวเลขทั้งสี่ลง 4 ครั้ง:

สัดส่วนได้ถูกต้อง

การแปลงที่ระบุไว้ทำให้เป็นไปได้ ประการแรก ลดความซับซ้อนของสัดส่วน และประการที่สอง ทำให้เป็นอิสระจากเศษส่วน ลองยกตัวอย่าง

1) ให้มีสัดส่วน:

200: 25 = 56: x .

ในนั้นสมาชิกของอัตราส่วนแรกจะมีจำนวนค่อนข้างมากและหากเราต้องการหาค่า เอ็กซ์ จากนั้นเราจะต้องคำนวณตัวเลขเหล่านี้ แต่เรารู้ว่าสัดส่วนจะไม่ถูกละเมิดหากอัตราส่วนทั้งสองหารด้วยจำนวนเท่ากัน ลองหารแต่ละอันด้วย 25 สัดส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

8:1 = 56: x .

เราจึงได้สัดส่วนที่สะดวกมากขึ้นจากที่นี้ เอ็กซ์ สามารถพบได้ในจิตใจ:

2) มาดูสัดส่วนกัน:

2: 1 / 2 = 20: 5.

ในสัดส่วนนี้มีเทอมเศษส่วน (1/2) ซึ่งคุณสามารถกำจัดออกไปได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคูณเทอมนี้ด้วย 2 แต่เราไม่มีสิทธิ์เพิ่มเทอมกลางของสัดส่วนหนึ่งเทอม มีความจำเป็นต้องเพิ่มหนึ่งในสมาชิกสุดขั้วพร้อมกับมัน จะได้ไม่เสียสัดส่วน (อิงจาก 2 แต้มแรก) ลองเพิ่มเทอมแรกสุดของเทอมแรกกัน

(2 2) : (2 1/2) = 20:5 หรือ 4:1 = 20:5

มาเพิ่มสมาชิกสุดโต่งตัวที่สองกัน:

2: (2 1/2) = 20: (2 5) หรือ 2: 1 = 20: 10

เรามาดูตัวอย่างอีกสามตัวอย่างของการปลดปล่อยสัดส่วนจากเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 1 / 4: 3 / 8 = 20:30 น.

นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

เมื่อคูณทั้งสองพจน์ของอัตราส่วนแรกด้วย 8 เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

ลองคูณทั้งสองเทอมต่อมาด้วย 14 จะได้: 12:15 = 16:20

ตัวอย่างที่ 3 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

ลองคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสัดส่วนด้วย 48:

24: 1 = 960: 40.

เมื่อแก้ไขปัญหาที่มีสัดส่วนเกิดขึ้น มักจะจำเป็นต้องจัดเรียงเงื่อนไขของสัดส่วนใหม่เพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน พิจารณาว่าการเรียงสับเปลี่ยนใดที่ถูกกฎหมายเช่น อย่าละเมิดสัดส่วน มาดูสัดส่วนกัน:

3: 5 = 12: 20. (1)

เมื่อจัดเรียงเงื่อนไขสุดโต่งใหม่ เราจะได้:

20: 5 = 12:3. (2)

ให้เราจัดเรียงคำกลางใหม่:

3:12 = 5: 20. (3)

ให้เราจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงและเงื่อนไขกลางใหม่พร้อมกัน:

20: 12 = 5: 3. (4)

สัดส่วนทั้งหมดนี้ถูกต้อง ทีนี้ลองวางความสัมพันธ์แรกในตำแหน่งที่สอง และความสัมพันธ์ที่สองในตำแหน่งแรก คุณจะได้สัดส่วน:

12: 20 = 3: 5. (5)

ในสัดส่วนนี้ เราจะทำการจัดเรียงใหม่แบบเดียวกับที่เราเคยทำมาก่อน กล่าวคือ เราจะจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงก่อน จากนั้นจึงจัดเรียงเงื่อนไขที่อยู่ตรงกลาง และสุดท้ายคือทั้งเงื่อนไขสุดขั้วและที่อยู่ตรงกลางในเวลาเดียวกัน คุณจะได้รับสัดส่วนเพิ่มอีกสามสัดส่วนซึ่งจะยุติธรรมเช่นกัน:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

จากสัดส่วนที่กำหนดมา โดยการจัดเรียงใหม่ คุณจะได้อีก 7 สัดส่วน ซึ่งเมื่อรวมกับสัดส่วนนี้ จะได้ 8 สัดส่วน.

ความถูกต้องของสัดส่วนทั้งหมดนี้เป็นเรื่องง่ายอย่างยิ่งที่จะค้นพบเมื่อใด สัญกรณ์ตัวอักษร- สัดส่วน 8 ประการที่ได้รับข้างต้นมีรูปแบบ:

ก: ข = ค: ง; ค: ง = ก: ข ;

ง: ข = ค: ก; ข:d = มี:ค;

ก: ค = ข: ง; ค: ก = ง: ข;

ง: ค = ข: ก; ข: ก = ง: ค.

จะเห็นได้ง่ายว่าในแต่ละสัดส่วนเหล่านี้ คุณสมบัติหลักจะอยู่ในรูปแบบ:

โฆษณา = พ.ศ.

ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้จึงไม่ละเมิดความเป็นธรรมของสัดส่วนและสามารถใช้ได้หากจำเป็น

จัดเป็นสัดส่วน. ในบทความนี้ฉันต้องการพูดคุยกับคุณเกี่ยวกับสัดส่วน การทำความเข้าใจว่าสัดส่วนคืออะไรและความสามารถในการแต่งเพลงเป็นสิ่งสำคัญมาก มันช่วยคุณได้จริงๆ นี่ดูเหมือนจะเป็น "ตัวอักษร" ขนาดเล็กและไม่มีนัยสำคัญในตัวอักษรขนาดใหญ่ของคณิตศาสตร์ แต่ถ้าไม่มีมัน คณิตศาสตร์ก็ถึงวาระที่จะง่อยและไม่สมบูรณ์ก่อนอื่นให้ฉันเตือนคุณก่อนว่าสัดส่วนคืออะไร นี่คือความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

ซึ่งก็เหมือนกัน (นี่คือ รูปร่างที่แตกต่างกันบันทึก)

ตัวอย่าง:

เขาว่ากันว่าหนึ่งต่อสอง สี่ต่อแปด นั่นคือนี่คือความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสอง (ใน ในตัวอย่างนี้ความสัมพันธ์เป็นตัวเลข)

กฎพื้นฐานของสัดส่วน:

ก:ข=ค:ง

ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง

นั่นคือ

a∙d=b∙c

*หากไม่ทราบค่าใดๆ ในสัดส่วน ก็สามารถหาค่าดังกล่าวได้เสมอ

หากเราพิจารณารูปแบบการบันทึกเช่น:

จากนั้นคุณสามารถใช้ กฎถัดไปมันถูกเรียกว่า "กฎแห่งไม้กางเขน": เขียนความเท่าเทียมกันของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบ (ตัวเลขหรือนิพจน์) ที่ยืนอยู่บนเส้นทแยงมุม

a∙d=b∙c

อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

หากทราบองค์ประกอบทั้งสามของสัดส่วนแล้วเราสามารถหาหนึ่งในสี่ได้เสมอ

นี่คือแก่นแท้ของประโยชน์และความจำเป็นอย่างแท้จริงสัดส่วนเมื่อแก้ไขปัญหา

ลองดูตัวเลือกทั้งหมดที่ปริมาณที่ไม่รู้จัก x ตั้งอยู่ "ทุกที่" ในสัดส่วน โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข:

ปริมาณที่อยู่ในแนวทแยงมุมจาก x เขียนด้วยตัวส่วนของเศษส่วน และปริมาณที่ทราบในแนวทแยงจะถูกเขียนด้วยตัวเศษเป็นผลคูณ ไม่จำเป็นต้องจดจำ คุณจะคำนวณทุกอย่างถูกต้องแล้วหากคุณได้เรียนรู้กฎพื้นฐานของสัดส่วน

ตอนนี้ คำถามหลักที่เกี่ยวข้องกับชื่อบทความ สัดส่วนจะเซฟเมื่อใด และใช้ที่ไหน? ตัวอย่างเช่น:

1. ประการแรก ปัญหาเหล่านี้เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ เราดูพวกเขาในบทความ "" และ ""

2. มีสูตรหลายสูตรให้ไว้เป็นสัดส่วน:

>ทฤษฎีบทของไซน์

> ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยม

> ทฤษฎีบทแทนเจนต์

> ทฤษฎีบทของทาเลสและอื่นๆ

3. ในปัญหาเรขาคณิต เงื่อนไขมักจะระบุอัตราส่วนของด้าน (องค์ประกอบอื่นๆ) หรือพื้นที่ เช่น 1:2, 2:3 และอื่นๆ

4. การแปลงหน่วยวัด โดยมีสัดส่วนที่ใช้ในการแปลงหน่วยทั้งในการวัดหนึ่งและการแปลงจากการวัดหนึ่งไปอีกการวัดหนึ่ง:

- ชั่วโมง เป็น นาที (และในทางกลับกัน)

- หน่วยปริมาตรพื้นที่

— ความยาว เช่น ไมล์เป็นกิโลเมตร (และในทางกลับกัน)

— องศา เป็น เรเดียน (และในทางกลับกัน)

ที่นี่คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องวาดสัดส่วน

ประเด็นสำคัญคือคุณต้องสร้างการติดต่ออย่างถูกต้อง ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

คุณต้องกำหนดตัวเลขที่เท่ากับ 35% ของ 700

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ ค่าที่เรากำลังเปรียบเทียบจะถือเป็น 100% เราแสดงตัวเลขที่ไม่รู้จักเป็น x มาสร้างการติดต่อกันเถอะ:

เราสามารถพูดได้ว่าเจ็ดร้อยสามสิบห้าสอดคล้องกับ 100 เปอร์เซ็นต์

X สอดคล้องกับ 35 เปอร์เซ็นต์ วิธี,

700 – 100%

x – 35%

มาตัดสินใจกัน

คำตอบ: 245

ลองแปลง 50 นาทีเป็นชั่วโมง.

เรารู้ว่าหนึ่งชั่วโมงเท่ากับ 60 นาที ให้เราแสดงถึงการติดต่อ -x ชั่วโมง คือ 50 นาที วิธี

1 – 60

x – 50

เราตัดสินใจ:

นั่นคือ 50 นาทีคือห้าในหกของชั่วโมง

คำตอบ: 5/6

Nikolai Petrovich ขับรถ 3 กิโลเมตร จะเป็นไมล์เท่าไร (พิจารณาว่า 1 ไมล์เท่ากับ 1.6 กม.)

เป็นที่รู้กันว่า 1 ไมล์ เท่ากับ 1.6 กิโลเมตร ลองหาจำนวนไมล์ที่นิโคไล เปโตรวิชเดินทางเป็น x กัน เราสามารถจับคู่:

หนึ่งไมล์เท่ากับ 1.6 กิโลเมตร

X ไมล์คือสามกิโลเมตร

1 – 1,6

x – 3

คำตอบ: 1,875 ไมล์

คุณรู้ว่ามีสูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียน (และในทางกลับกัน) ฉันไม่ได้จดไว้เพราะฉันคิดว่ามันไม่จำเป็นต้องจดจำ ดังนั้นคุณจึงต้องเก็บข้อมูลมากมายไว้ในความทรงจำ คุณสามารถแปลงองศาเป็นเรเดียนได้เสมอ (และในทางกลับกัน) หากคุณใช้สัดส่วน

ลองแปลง 65 องศาเป็นหน่วยเรเดียนกัน.

สิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้คือ 180 องศาคือ Pi เรเดียน

ให้เราแสดงปริมาณที่ต้องการเป็น x เราสร้างการโต้ตอบ

หนึ่งร้อยแปดสิบองศาสอดคล้องกับ Pi เรเดียน

หกสิบห้าองศาสอดคล้องกับ x เรเดียน ศึกษาบทความ ในหัวข้อนี้ในบล็อก เนื้อหาในนั้นนำเสนอแตกต่างออกไปเล็กน้อย แต่หลักการก็เหมือนกัน ฉันจะจบเรื่องนี้ จะมีอะไรน่าสนใจกว่านี้อีกแน่นอน อย่าพลาด!

หากเราจำคำจำกัดความที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้ มันก็จะมีคำต่อไปนี้: คณิตศาสตร์ศึกษา เชิงปริมาณ ความสัมพันธ์ (RELATIONS)- คำสำคัญที่นี่) อย่างที่คุณเห็น คำจำกัดความของคณิตศาสตร์นั้นมีสัดส่วนอยู่ด้วย โดยทั่วไปแล้ว คณิตศาสตร์ไม่มีสัดส่วนไม่ใช่คณิตศาสตร์!!!

ขอให้ดีที่สุด!

ขอแสดงความนับถืออเล็กซานเดอร์

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

การแก้ปัญหาโดยใช้สัดส่วนจะลดลงจนกลายเป็นค่าที่ไม่ทราบ xสมาชิกของสัดส่วนนี้ จากนั้นใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนจะได้ สมการเชิงเส้นและแก้ไขมัน

ทักษะเบื้องต้น เนื้อหาบทเรียน

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้สัดส่วน

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด- สามกลุ่มจะต้องได้รับค่าจ้างกลุ่มละ 1,600 รูเบิล มีนักเรียน 20 คนในกลุ่มแรก ซึ่งหมายความว่ากลุ่มแรกจะได้รับเงิน 1,600 × 20 นั่นคือ 32,000 รูเบิล

กลุ่มที่สองมี 17 คน ซึ่งหมายความว่ากลุ่มที่สองจะได้รับเงิน 1600 × 17 นั่นคือ 27,200,000 รูเบิล

เราจะจ่ายค่าจ้างให้กับกลุ่มที่สาม มี 15 คนอยู่ในนั้น คุณต้องใช้จ่าย 1,600 × 15 กับพวกเขานั่นคือ 24,000 รูเบิล

ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีวิธีแก้ปัญหาดังต่อไปนี้:

สำหรับปัญหาดังกล่าว สามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สัดส่วนได้

สัดส่วนตามคำนิยามคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน เช่น ความเท่าเทียมกันคือสัดส่วน สัดส่วนนี้สามารถอ่านได้ดังนี้:

กสิ่งนี้ใช้กับ ข, ยังไง คใช้ ง

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถเชื่อมโยงทุนการศึกษากับนักเรียนได้ เพื่อให้แต่ละคนได้รับ 1,600 รูเบิล

เรามาเขียนอัตราส่วนแรกกันคืออัตราส่วนหนึ่งพันหกร้อยรูเบิลต่อคน:

เราพบว่าในการจ่ายเงินให้นักเรียน 20 คนคนละ 1,600 รูเบิล เราจะต้องมี 32,000 รูเบิล ดังนั้นอัตราส่วนที่สองจะเป็นอัตราส่วนของนักเรียนสามหมื่นสองพันถึงยี่สิบคน:

ตอนนี้เราเชื่อมโยงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นกับเครื่องหมายเท่ากับ:

เราได้สัดส่วน. สามารถอ่านได้ดังนี้:

หนึ่งพันหกร้อยรูเบิลเกี่ยวข้องกับนักเรียนหนึ่งคน ขณะที่สามหมื่นสองพันรูเบิลเกี่ยวข้องกับนักเรียนยี่สิบคน.

ทำความเข้าใจกับ 1,600 รูเบิลต่อคน ถ้าคุณหารทั้งสองข้างของสมการ จากนั้นเราจะพบว่านักเรียนหนึ่งคนเช่นนักเรียนยี่สิบคนจะได้รับ 1,600 รูเบิล

ตอนนี้ลองจินตนาการว่าไม่ทราบจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการจ่ายทุนการศึกษาให้กับนักเรียนยี่สิบคน สมมติว่าคำถามเป็นแบบนี้: วี กลุ่มมีนักเรียน 20 คน ต้องจ่ายคนละ 1,600 รูเบิล ต้องจ่ายทุนการศึกษากี่รูเบิล?

ในกรณีนี้คือสัดส่วน จะเอาแบบฟอร์ม นั่นคือจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการชำระค่าทุนการศึกษากลายเป็นสัดส่วนที่ไม่ทราบแน่ชัด สัดส่วนนี้สามารถอ่านได้ดังนี้:

หนึ่งพันหกร้อยรูเบิลเกี่ยวข้องกับนักเรียนคนหนึ่งเช่น หมายเลขที่ไม่รู้จักรูเบิลหมายถึงนักเรียนยี่สิบคน

ทีนี้ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนกัน โดยระบุว่าผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วนเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง:

เมื่อคูณเงื่อนไขของสัดส่วน "ขวาง" เราจะได้ความเท่ากัน 1600 × 20 = 1 × x- เมื่อคำนวณความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านแล้ว เราจะได้ 32000 = xหรือ x= 32000 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะค้นหาค่าของปริมาณที่ไม่ทราบที่เรากำลังมองหา

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถกำหนดจำนวนรวมของจำนวนนักเรียนที่เหลือได้ - สำหรับ 17 และ 15 ปี สัดส่วนเหล่านี้ดูเหมือนและ การใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน จะทำให้คุณสามารถหาค่าได้ x

ปัญหาที่ 2- รถบัสครอบคลุมระยะทาง 100 กม. ใน 2 ชั่วโมง รถบัสจะใช้เวลานานเท่าใดในการเดินทาง 300 กม. หากเดินทางด้วยความเร็วเท่ากัน?

ก่อนอื่นคุณสามารถกำหนดระยะทางที่รถบัสเดินทางได้ในหนึ่งชั่วโมง จากนั้นพิจารณาว่าระยะทางนี้มีกี่ครั้งใน 300 กิโลเมตร:

100: 2 = 50 กม. ต่อชั่วโมงการเดินทาง

300 กม.: 50 = 6 ชั่วโมง

หรือคุณสามารถหาสัดส่วน “หนึ่งร้อยกิโลเมตรเป็นหนึ่งชั่วโมง และสามร้อยกิโลเมตรเป็นจำนวนชั่วโมงที่ไม่ทราบ”:

อัตราส่วนของปริมาณที่เท่ากัน

หากสลับเงื่อนไขที่รุนแรงหรือเป็นกลางของสัดส่วน สัดส่วนจะไม่ถูกละเมิด

ใช่ครับ ตามสัดส่วน คุณสามารถสลับสมาชิกสุดขั้วได้ แล้วคุณจะได้สัดส่วน .

สัดส่วนจะไม่ถูกละเมิดหากพลิกคว่ำนั่นคือใช้อัตราส่วนผกผันในทั้งสองส่วน

ลองกลับสัดส่วนกัน - จากนั้นเราจะได้สัดส่วน - ความสัมพันธ์ไม่ขาด. อัตราส่วนระหว่างนักเรียนเท่ากับอัตราส่วนระหว่างจำนวนเงินที่มีไว้สำหรับนักเรียนเหล่านี้ สัดส่วนนี้มักถูกกำหนดขึ้นในโรงเรียนเมื่อมีการรวบรวมตารางเพื่อแก้ปัญหา

วิธีการเขียนนี้สะดวกมากเพราะช่วยให้คุณสามารถแปลคำชี้แจงปัญหาให้อยู่ในรูปแบบที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น มาแก้ปัญหาที่เราจำเป็นต้องกำหนดจำนวนรูเบิลที่จำเป็นในการจ่ายทุนการศึกษาให้กับนักเรียนยี่สิบคน

ให้เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาดังต่อไปนี้:

มาสร้างตารางตามเงื่อนไขนี้:

เรามาสร้างสัดส่วนโดยใช้ข้อมูลตารางกัน:

ด้วยการใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน เราได้สมการเชิงเส้นและค้นหารากของมัน:

ในตอนแรกเรากำลังจัดการกับสัดส่วน ซึ่งประกอบด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่มีลักษณะต่างกัน ตัวเศษของอัตราส่วนประกอบด้วยจำนวนเงิน และตัวส่วนรวมจำนวนนักเรียนด้วย:

เมื่อสลับสมาชิกสุดโต่ง เราจะได้สัดส่วน - สัดส่วนนี้ประกอบด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่มีลักษณะเดียวกัน ความสัมพันธ์แรกประกอบด้วยจำนวนนักเรียน และความสัมพันธ์ที่สองคือจำนวนเงิน:

หากความสัมพันธ์ประกอบด้วยปริมาณที่มีลักษณะเดียวกัน เราจะเรียกมันว่า อัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกัน- ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างผลไม้ เงิน ปริมาณทางกายภาพ ปรากฏการณ์ การกระทำ

อัตราส่วนสามารถประกอบด้วยทั้งจากปริมาณที่มีชื่อเดียวกันและจากปริมาณที่มีลักษณะต่างกัน ตัวอย่างอย่างหลัง ได้แก่ อัตราส่วนระยะทางต่อเวลา อัตราส่วนต้นทุนของผลิตภัณฑ์ต่อปริมาณ และอัตราส่วนของจำนวนทุนการศึกษาทั้งหมดต่อจำนวนนักเรียน

ตัวอย่างที่ 2- มีการปลูกต้นสนและต้นเบิร์ชในสวนของโรงเรียน โดยต้นสนแต่ละต้นจะมีต้นเบิร์ช 2 ต้น ในสวนมีต้นสนกี่ต้นที่ปลูกถ้าปลูกต้นเบิร์ช 240 ต้น

มาดูกันว่าในสวนมีต้นสนกี่ต้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างสัดส่วนกัน สภาพบอกว่าต้นสนทุกต้นจะมีต้นเบิร์ช 2 ต้น ลองเขียนความสัมพันธ์ที่แสดงว่าต้นสนต้นหนึ่งมีต้นเบิร์ช 2 ต้น:

ทีนี้ลองเขียนความสัมพันธ์ที่สองเพื่อแสดงสิ่งนั้น xต้นสนคิดเป็น 240 ต้นเบิร์ช

ให้เราเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับและรับสัดส่วนต่อไปนี้:

“ต้นเบิร์ชสองต้นปฏิบัติต่อต้นสนหนึ่งต้นเช่นนี้
ต้นเบิร์ช 240 ต้นเกี่ยวข้องกับต้นสน x อย่างไร"

โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน เราจะหาค่าได้ x

หรือสัดส่วนสามารถทำได้โดยการเขียนเงื่อนไขลงไปก่อน ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้:

คุณจะได้สัดส่วนเท่ากัน แต่คราวนี้จะประกอบด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกัน:

ซึ่งหมายความว่ามีการปลูกต้นสน 120 ต้นในสวน

ตัวอย่างที่ 3- จากแร่ 225 กิโลกรัม จะได้ทองแดง 34.2 กิโลกรัม ทองแดงในแร่มีกี่เปอร์เซ็นต์?

คุณสามารถหาร 34.2 ด้วย 225 และแสดงผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์:

หรือทำให้แร่มีสัดส่วน 225 กิโลกรัมเป็น 100% เนื่องจากทองแดง 34.2 กิโลกรัมไม่ทราบจำนวนเปอร์เซ็นต์:

หรือสร้างสัดส่วนที่อัตราส่วนประกอบด้วยปริมาณที่มีชื่อเดียวกัน:

ปัญหาสัดส่วนโดยตรง

การทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่มีชื่อเดียวกันนำไปสู่ความเข้าใจในการแก้ปัญหาในบรรทัดและ สัดส่วนผกผัน- เริ่มจากปัญหาสัดส่วนโดยตรงกันก่อน

ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่าสัดส่วนโดยตรงคืออะไร นี่คือความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณซึ่งการเพิ่มขึ้นของปริมาณหนึ่งจะทำให้อีกจำนวนหนึ่งเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หากรถบัสครอบคลุมระยะทาง 50 กม. ใน 1 ชั่วโมง ดังนั้นเพื่อให้ครอบคลุมระยะทาง 100 กม. (ที่ความเร็วเท่ากัน) รถบัสจะใช้เวลา 2 ชั่วโมง เมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น ระยะเวลาในการเดินทางก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน จะแสดงสิ่งนี้โดยใช้สัดส่วนได้อย่างไร?

วัตถุประสงค์ประการหนึ่งของอัตราส่วนคือเพื่อแสดงจำนวนครั้งที่ปริมาณแรกมากกว่าปริมาณที่สอง ซึ่งหมายความว่าการใช้สัดส่วนทำให้เราสามารถแสดงว่าระยะทางและเวลาเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ในการทำเช่นนี้ เราใช้อัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกัน

ให้เราแสดงว่าระยะทางเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า:

ในทำนองเดียวกัน เราจะแสดงว่าเวลาเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

“100 กิโลเมตร เป็น 50 กิโลเมตร เพราะ 2 ชั่วโมง เป็น 1 ชั่วโมง”

ถ้าเราหารทั้งสองข้างของสมการ เราจะพบว่าระยะทางและเวลาเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าเดิม

2 = 2

ปัญหาที่ 2- 27 ตันถูกบดที่โรงสีใน 3 ชั่วโมง แป้งสาลี- ใน 9 ชั่วโมงสามารถโม่แป้งสาลีได้กี่ตันหากอัตราการทำงานไม่เปลี่ยนแปลง?

สารละลาย

ระยะเวลาการทำงานของโรงสีและมวลแป้งบดเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรง โดยการเพิ่มระยะเวลาการทำงานหลายๆ ครั้ง ปริมาณแป้งบดก็จะเพิ่มขึ้นตามปริมาณที่เท่ากัน ลองแสดงนี่โดยใช้สัดส่วนกัน.

ในโจทย์ให้เวลา 3 ชั่วโมง 3 ชั่วโมงนี้เพิ่มเป็น 9 ชั่วโมง ให้เราเขียนอัตราส่วน 9 ชั่วโมงต่อ 3 ชั่วโมง

ทีนี้ลองเขียนความสัมพันธ์ที่สองลงไป มันจะเป็นทัศนคติ xแป้งสาลีตันเป็น 27 ตัน อัตราส่วนนี้จะแสดงว่าปริมาณแป้งที่บดแล้วเพิ่มขึ้นตามระยะเวลาการทำงานของโรงสี

มาเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับและรับสัดส่วนกัน

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วค้นหากัน x

ซึ่งหมายความว่าภายใน 9 ชั่วโมงคุณสามารถบดแป้งสาลีได้ 81 ตัน

โดยทั่วไป หากคุณนำปริมาณที่เป็นสัดส่วนโดยตรงสองปริมาณแล้วเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนครั้งเท่ากัน อัตราส่วนของค่าใหม่ต่อค่าเดิมของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าใหม่ต่อค่าเก่าของ ปริมาณที่สอง

ดังนั้นในปัญหาก่อนหน้านี้ค่าเดิมคือ 3 ชั่วโมง และ 27 ตัน ค่าเหล่านี้เพิ่มขึ้นตามจำนวนเท่าเดิม (สามครั้ง) ค่าใหม่คือ 9 ชั่วโมง และ 81 ชั่วโมง จากนั้นอัตราส่วนของค่าใหม่ของเวลาทำงานของโรงสีต่อค่าเก่าจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าใหม่ของมวลแป้งบดต่อค่าเก่า

ถ้าเราหารทั้งสองข้างของสมการ เราจะพบว่าเวลาการทำงานของโรงโม่และปริมาณแป้งที่โม่เพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าเดิม:

3 = 3

สัดส่วนที่บวกเข้ากับปัญหาสัดส่วนโดยตรงสามารถอธิบายได้โดยใช้นิพจน์:

ต่อมาก็เท่ากับ 81

ปัญหาที่ 2- ให้วัวตัวละ 8 ตัว เวลาฤดูหนาวสาวใช้รีดนมเตรียมหญ้าแห้ง 80 กก. รากพืช 96 กก. หญ้าหมัก 120 กก. และหญ้าเข้มข้น 12 กก. ในแต่ละวัน กำหนดการบริโภคอาหารนี้ในแต่ละวันสำหรับวัว 18 ตัว

สารละลาย

จำนวนโคและน้ำหนักของอาหารแต่ละมื้อเป็นสัดส่วนโดยตรง เมื่อจำนวนวัวเพิ่มขึ้นหลายครั้ง น้ำหนักของอาหารแต่ละมื้อก็จะเพิ่มขึ้นตามปริมาณที่เท่ากัน

เรามาสร้างสัดส่วนหลายๆ แบบเพื่อคำนวณมวลของอาหารแต่ละมื้อสำหรับวัว 18 ตัวกัน

เริ่มจากหญ้าแห้งกันก่อน เตรียมวัว 8 ตัวจำนวน 80 กิโลกรัมทุกวัน จากนั้นจะเตรียมวัว 18 ตัว xหญ้าแห้งกิโลกรัม

ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนวัวเพิ่มขึ้น:

ทีนี้ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนหญ้าแห้งที่เพิ่มขึ้น:

มาเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับและรับสัดส่วน:

จากที่นี่เราพบว่า x

ซึ่งหมายความว่าสำหรับวัว 18 ตัวคุณต้องเตรียมหญ้าแห้ง 180 กิโลกรัม ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดมวลของพืชราก หญ้าหมัก และพืชเข้มข้น

สำหรับวัว 8 ตัว จะเก็บเกี่ยวพืชรากได้ 96 กิโลกรัมต่อวัน จากนั้นจะเตรียมวัว 18 ตัว xกิโลกรัมของผักราก เรามาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนแล้วคำนวณค่ากัน x

เรามาพิจารณาว่าต้องเตรียมหญ้าหมักและความเข้มข้นเท่าใดสำหรับวัว 18 ตัว:

ซึ่งหมายความว่าต้องเตรียมวัว 18 ตัว หญ้าแห้ง 180 กก. พืชราก 216 กก. หญ้าหมัก 270 กก. และสารเข้มข้น 27 กก. ทุกวัน

ปัญหา 3- แม่บ้านทำแยมเชอร์รี่ และใส่น้ำตาล 2 ถ้วยตวงสำหรับเชอร์รี่ 3 ถ้วย ฉันควรใส่น้ำตาลเท่าไหร่ในเชอร์รี่ 12 ถ้วย? สำหรับเชอร์รี่ 10 แก้วเหรอ? สำหรับเชอร์รี่หนึ่งแก้วเหรอ?

สารละลาย

จำนวนเชอร์รี่หนึ่งแก้วและจำนวนน้ำตาลทรายหนึ่งแก้วเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรง ถ้าจำนวนเชอร์รี่เพิ่มขึ้นหลายเท่า จำนวนน้ำตาลก็จะเพิ่มขึ้นตามปริมาณที่เท่ากัน

ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนเชอร์รี่เพิ่มขึ้นกี่แก้ว:

ทีนี้ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนแก้วน้ำตาลที่เพิ่มขึ้น:

เรามาเชื่อมโยงอัตราส่วนเหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับ หาสัดส่วนแล้วหาค่ากัน x

ซึ่งหมายความว่าสำหรับเชอร์รี่ 12 ถ้วยคุณต้องใส่น้ำตาล 8 ถ้วย

กำหนดจำนวนน้ำตาลสำหรับเชอร์รี่ 10 ถ้วยและเชอร์รี่ 1 ถ้วย

ปัญหาสัดส่วนผกผัน

ในการแก้ปัญหาเรื่องสัดส่วนผกผัน คุณสามารถใช้สัดส่วนที่ประกอบด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกันได้อีกครั้ง

ต่างจากสัดส่วนโดยตรงที่ปริมาณเพิ่มขึ้นหรือลดลงในทิศทางเดียวกัน ในสัดส่วนผกผัน ปริมาณจะเปลี่ยนผกผันกัน

หากค่าหนึ่งเพิ่มขึ้นหลายครั้ง อีกค่าหนึ่งก็จะลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน และในทางกลับกัน หากค่าหนึ่งลดลงหลายครั้ง อีกค่าหนึ่งก็จะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน

สมมติว่าคุณต้องทาสีรั้วประกอบด้วย 8 แผ่น

จิตรกรคนหนึ่งจะลงสีเองทั้งหมด 8 แผ่น

ถ้ามีช่างทาสี 2 คน ก็จะทาสีคนละ 4 แผ่น

แน่นอนว่านี่คือเงื่อนไขว่าจิตรกรจะต้องซื่อสัตย์ต่อกันและแบ่งงานนี้อย่างเท่าเทียมกันระหว่างสองคน

ถ้ามีช่างทาสี 4 คน ก็จะทาสีคนละ 2 แผ่น

เราสังเกตว่าเมื่อจำนวนจิตรกรเพิ่มขึ้นหลายครั้ง จำนวนแผ่นต่อจิตรกรหนึ่งคนจะลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ดังนั้นเราจึงเพิ่มจำนวนจิตรกรจาก 1 เป็น 4 หรืออีกนัยหนึ่ง เราได้เพิ่มจำนวนจิตรกรเป็นสี่เท่า ลองเขียนสิ่งนี้โดยใช้ความสัมพันธ์:

ส่งผลให้จำนวนแผ่นรั้วต่อจิตรกรลดลงสี่เท่า ลองเขียนสิ่งนี้โดยใช้ความสัมพันธ์:

มาเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วได้สัดส่วนกัน

“จิตรกร 4 คนต่อจิตรกร 1 คน 8 แผ่นต่อ 2 แผ่น”

ปัญหาที่ 2- คนงาน 15 คนสร้างอพาร์ทเมนท์ในอาคารใหม่เสร็จภายใน 24 วัน คนงาน 18 คนจะใช้เวลากี่วันจึงจะเสร็จสิ้นงานนี้?

สารละลาย

จำนวนคนงานและจำนวนวันที่ทำงานเป็นสัดส่วนผกผัน หากจำนวนพนักงานเพิ่มขึ้นหลายครั้ง จำนวนวันที่ต้องใช้ในการทำงานนี้ให้เสร็จสิ้นจะลดลงด้วยจำนวนเท่าเดิม

ให้เราเขียนอัตราส่วนของคนงาน 18 คนต่อคนงาน 15 คน อัตราส่วนนี้จะแสดงจำนวนคนงานที่เพิ่มขึ้น

ทีนี้มาเขียนอัตราส่วนที่สองกัน โดยแสดงจำนวนวันที่ลดลงไปกี่ครั้ง เนื่องจากจำนวนวันจะลดลงจาก 24 วันเป็น xวัน ดังนั้นอัตราส่วนที่สองจะเป็นอัตราส่วนของจำนวนวันเก่า (24 วัน) กับจำนวนวันใหม่ ( xวัน)

มาเชื่อมโยงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นกับเครื่องหมายเท่ากับและรับสัดส่วน:

จากที่นี่เราพบว่า x

ซึ่งหมายความว่าคนงาน 18 คนจะเสร็จสมบูรณ์ งานที่จำเป็นภายใน 20 วัน

โดยทั่วไป หากคุณหาปริมาณที่มีสัดส่วนผกผันสองปริมาณแล้วเพิ่มขึ้นหนึ่งปริมาณด้วย จำนวนที่แน่นอนครั้งแล้วอีกอันก็จะลดลงตามจำนวนที่เท่ากัน จากนั้นอัตราส่วนของค่าใหม่ต่อค่าเดิมของปริมาณแรกจะเท่ากับอัตราส่วนของค่าเก่าต่อค่าใหม่ของปริมาณที่สอง

ดังนั้นในโจทย์ที่แล้วค่าเก่าคือ 15 วันทำการ และ 24 วัน จำนวนคนงานเพิ่มขึ้นจาก 15 เป็น 18 (นั่นคือเพิ่มขึ้นหลายครั้ง) ส่งผลให้จำนวนวันที่ต้องทำงานให้เสร็จสิ้นลดลงด้วยจำนวนเท่าเดิม ค่าใหม่คือ 18 วันทำการ และ 20 วัน จากนั้นอัตราส่วนของจำนวนคนงานใหม่ต่อจำนวนเดิมจะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนวันเดิมต่อจำนวนใหม่

ในการสร้างสัดส่วนสำหรับปัญหาสัดส่วนผกผัน คุณสามารถใช้สูตร:

สัมพันธ์กับปัญหาของเราค่าของตัวแปรจะเป็นดังนี้:

ต่อมาก็เท่ากับ 20

ปัญหาที่ 2- ความเร็วของเรือกลไฟสัมพันธ์กับความเร็วของแม่น้ำที่ไหลเป็น 36:5 เรือกลไฟเคลื่อนตัวไปตามน้ำเป็นเวลา 5 ชั่วโมง 10 นาที นานแค่ไหนที่เขาจะกลับมา?

สารละลาย

ความเร็วของเรือคือ 36 กม./ชม. ความเร็วน้ำไหล 5 กม./ชม. เนื่องจากเรือกลไฟเคลื่อนที่ตามกระแสมือ ความเร็วของมันคือ 36 + 5 = 41 กม./ชม. ใช้เวลาเดินทาง 5 ชั่วโมง 10 นาที เพื่อความสะดวกเราแสดงเวลาเป็นนาที:

5 ชั่วโมง 10 นาที = 300 นาที + 10 นาที = 310 นาที

เนื่องจากระหว่างทางกลับเรือแล่นทวนกระแสน้ำ ความเร็วของเรือคือ 36 − 5 = 31 กม./ชม.

ความเร็วของเรือและเวลาที่เรือเคลื่อนที่นั้นเป็นปริมาณแปรผกผันกัน หากความเร็วลดลงหลายครั้ง เวลาในการเคลื่อนที่จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน

ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนครั้งที่ความเร็วในการเคลื่อนที่ลดลง:

ทีนี้มาเขียนอัตราส่วนที่สองกัน โดยแสดงว่าเวลาการเคลื่อนไหวเพิ่มขึ้นกี่ครั้ง ตั้งแต่เวลาใหม่ xจะมากกว่าครั้งเก่าเราจะเขียนเวลาเป็นตัวเศษของอัตราส่วน xและตัวส่วนคือเวลาเดิมเท่ากับสามร้อยสิบนาที

ลองเชื่อมต่ออัตราส่วนผลลัพธ์ด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วรับสัดส่วน จากตรงนี้เราจะพบคุณค่า x

410 นาที คือ 6 ชั่วโมง 50 นาที ซึ่งหมายความว่าเรือจะใช้เวลาเดินทางกลับ 6 ชั่วโมง 50 นาที

ปัญหา 3- มีคนทำงานซ่อมแซมถนน 15 คน และต้องทำงานให้เสร็จภายใน 12 วัน ในวันที่ห้า มีคนงานเข้ามาอีกหลายคนในตอนเช้า และงานที่เหลือก็เสร็จสิ้นภายใน 6 วัน มีคนงานมาเพิ่มอีกกี่คน?

สารละลาย

ลบ 4 วันทำงานจาก 12 วัน ด้วยวิธีนี้ เราจะพิจารณาว่าคนงานทั้ง 15 คนเหลือเวลาทำงานอีกกี่วัน

12 วัน - 4 วัน = 8 วัน

ในวันที่ห้าการมาถึงเพิ่มเติม xคนงาน จากนั้นจำนวนคนงานทั้งหมดก็กลายเป็น 15+ x .

จำนวนคนงานและจำนวนวันที่ต้องทำงานให้เสร็จนั้นเป็นสัดส่วนผกผัน ถ้าจำนวนคนทำงานเพิ่มขึ้นหลายครั้ง จำนวนวันก็จะลดลงตามจำนวนที่เท่ากัน

มาเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนคนงานเพิ่มขึ้น:

ทีนี้ลองเขียนดูว่าจำนวนวันที่ต้องทำงานลดลงไปกี่ครั้ง:

มาเชื่อมโยงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับและรับสัดส่วนกัน จากที่นี่คุณสามารถคำนวณค่าได้ x

ซึ่งหมายความว่ามีคนงานมาเพิ่มอีก 5 คน

มาตราส่วน

สเกลคืออัตราส่วนของความยาวของส่วนในภาพต่อความยาวของส่วนที่เกี่ยวข้องบนพื้น

สมมติว่าระยะทางจากบ้านไปโรงเรียนคือ 8 กม. ลองวาดแผนผังบริเวณที่จะระบุบ้าน โรงเรียน และระยะห่างระหว่างกัน แต่เราไม่สามารถพรรณนาระยะทาง 8 กม. บนกระดาษได้เพราะมันค่อนข้างใหญ่ แต่เราสามารถลดระยะห่างนี้ได้หลายครั้งเพื่อให้พอดีกับกระดาษ

ให้กิโลเมตรบนพื้นดินในแผนของเราแสดงเป็นเซนติเมตร ลองแปลง 8 กิโลเมตรเป็นเซนติเมตร เราจะได้ 800,000 เซนติเมตร.

มาลด 800,000 ซม. ลงหนึ่งแสนครั้งกันเถอะ:

800,000 ซม.: 100,000 ซม. = 8 ซม

8 ซม. คือระยะทางจากบ้านไปโรงเรียน ลดลงแสนเท่า ตอนนี้คุณสามารถวาดบ้านและโรงเรียนบนกระดาษได้อย่างง่ายดาย ระยะห่างระหว่างพวกเขาจะอยู่ที่ 8 ซม.

8 ซม. นี้หมายถึง 800,000 ซม. จริง เราจึงเขียนโดยใช้อัตราส่วน:

8: 800 000

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ประการหนึ่งระบุว่าความสัมพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากสมาชิกคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน

เพื่อลดความซับซ้อนของอัตราส่วน 8: 800,000 ทั้งสองพจน์สามารถหารด้วย 8 ได้ จากนั้นเราจะได้อัตราส่วน 1: 100,000 เราเรียกอัตราส่วนนี้ว่ามาตราส่วน อัตราส่วนนี้แสดงว่าหนึ่งเซนติเมตรบนแผนสัมพันธ์ (หรือสอดคล้องกัน) กับหนึ่งแสนเซนติเมตรบนพื้น

ดังนั้นในรูปวาดของเราจึงจำเป็นต้องระบุว่าแผนถูกร่างขึ้นในระดับ 1: 100,000

1 ซม. บนแผนหมายถึง 100,000 ซม. บนพื้น
2 ซม. บนแผนหมายถึง 200,000 ซม. บนพื้น
3 ซม. บนแผนหมายถึง 300,000 บนพื้น ฯลฯ

สำหรับแผนที่หรือแผนใดๆ จะมีการระบุว่าสร้างขึ้นตามขนาดเท่าใด มาตราส่วนนี้ช่วยให้คุณกำหนดระยะห่างที่แท้จริงระหว่างวัตถุได้

ดังนั้น แผนของเราจึงวาดขึ้นเป็นมาตราส่วน 1: 100,000 ในแผนนี้ ระยะห่างระหว่างบ้านกับโรงเรียนคือ 8 ซม. หากต้องการคำนวณระยะทางจริงระหว่างบ้านกับโรงเรียน คุณต้องเพิ่มขึ้น 8 ซม. 100,000 เท่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้คูณ 8 ซม. ด้วย 100,000

8 ซม. × 100,000 = 800,000 ซม

เราจะได้ 800,000 ซม. หรือ 8 กม. ถ้าเราแปลงเซนติเมตรเป็นกิโลเมตร

สมมติว่ามีต้นไม้อยู่ระหว่างบ้านกับโรงเรียน ตามแผนระยะห่างระหว่างโรงเรียนกับต้นไม้ต้นนี้คือ 4 ซม.

จากนั้น ระยะห่างจริงระหว่างบ้านกับต้นไม้จะเท่ากับ 4 ซม. × 100,000 = 400,000 ซม. หรือ 4 กม.

ระยะทางบนพื้นสามารถกำหนดได้โดยใช้สัดส่วน ในตัวอย่างของเรา ระยะทางระหว่างบ้านและโรงเรียนจะคำนวณโดยใช้สัดส่วนต่อไปนี้:

1 ซม. บนแผนสัมพันธ์กับ 100,000 ซม. บนพื้น เช่นเดียวกับ 8 ซม. บนแผนสัมพันธ์กับ x ซม. บนพื้น

จากสัดส่วนนี้เราจะพบว่ามีค่า xเท่ากับ 800000 ซม.

ตัวอย่างที่ 2- บนแผนที่ ระยะห่างระหว่างสองเมืองคือ 8.5 ซม. ให้กำหนดระยะห่างที่แท้จริงระหว่างเมืองทั้งสองหากวาดแผนที่ขึ้นมาเป็นมาตราส่วน 1: 1,000,000

สารละลาย

สเกล 1:1,000,000 แสดงว่า 1 ซม. บนแผนที่สอดคล้องกับ 1,000,000 ซม. บนพื้น จากนั้น 8.5 ซม. จะสอดคล้องกัน xซม. บนพื้น ลองสร้างสัดส่วน 1 ถึง 1000000 เป็น 8.5 ถึง x

1 กม. มี 100,000 ซม. จากนั้น 8,500,000 ซม. จะมี

หรือจะคิดแบบนี้ก็ได้ ระยะทางบนแผนที่และระยะทางบนพื้นเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรง หากระยะทางบนแผนที่เพิ่มขึ้นหลายครั้ง ระยะทางบนพื้นจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน จากนั้นสัดส่วนก็จะเป็น มุมมองถัดไป- อัตราส่วนแรกจะแสดงจำนวนครั้งที่ระยะทางบนพื้นมากกว่าระยะทางบนแผนที่:

อัตราส่วนที่สองจะแสดงว่าระยะทางบนพื้นเป็นจำนวนเท่ากันมากกว่า 8.5 ซม. บนแผนที่:

จากที่นี่ xเท่ากับ 8,500,000 ซม. หรือ 85 กม.

ปัญหา 3- ความยาวของแม่น้ำเนวาคือ 74 กม. ความยาวบนแผนที่ที่มีมาตราส่วน 1: 2,000,000 เป็นเท่าใด

สารละลาย

สเกล 1: 2,000,000 หมายความว่า 1 ซม. บนแผนที่สอดคล้องกับ 2,000,000 ซม. บนพื้น

และ 74 กม. เท่ากับ 74 × 100,000 = 7,400,000 ซม. บนพื้น โดยการลดจำนวน 7,400,000 เหลือ 2,000,000 เราจะกำหนดความยาวของแม่น้ำเนวาบนแผนที่

7,400,000: 2,000,000 = 3.7 ซม

ซึ่งหมายความว่าบนแผนที่ที่มีมาตราส่วน 1: 2,000,000 ความยาวของแม่น้ำเนวาคือ 3.7 ซม.

ลองเขียนคำตอบโดยใช้สัดส่วนกัน. อัตราส่วนแรกจะแสดงจำนวนครั้งที่ความยาวบนแผนที่น้อยกว่าความยาวบนพื้น:

อัตราส่วนที่สองจะแสดงว่า 74 กม. (7,400,000 ซม.) ลดลงด้วยจำนวนเท่ากัน:

จากที่นี่เราพบว่า xเท่ากับ 3.7 ซม

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

ปัญหาที่ 1 จากเมล็ดฝ้าย 21 กก. ได้น้ำมัน 5.1 กก. เมล็ดฝ้าย 7 กิโลกรัม จะได้น้ำมันเท่าไหร่?

สารละลาย

อนุญาต xสามารถหาน้ำมันได้ 1 กิโลกรัมจากเมล็ดฝ้าย 7 กิโลกรัม มวลของเมล็ดฝ้ายและมวลของน้ำมันที่ได้นั้นเป็นปริมาณสัดส่วนโดยตรง จากนั้นการลดเมล็ดฝ้ายจาก 21 กก. เหลือ 7 กก. จะทำให้น้ำมันที่ได้ลดลงในปริมาณเท่าเดิม

คำตอบ:เมล็ดฝ้าย 7 กก. ให้น้ำมัน 1.7 กก.

ภารกิจที่ 2. ในบางพื้นที่ รางรถไฟรางเก่ายาว 8 ม. ถูกแทนที่ด้วยรางใหม่ยาว 12 ม. ถ้าถอดรางเก่า 360 รางออกจะต้องใช้รางใหม่ขนาด 12 เมตรจำนวนเท่าใด

สารละลาย

ความยาวของส่วนที่เปลี่ยนรางคือ 8 × 360 = 2880 ม.

อนุญาต xต้องใช้รางยาวสิบสองเมตรในการเปลี่ยน การเพิ่มความยาวของรางหนึ่งรางจาก 8 ม. เป็น 12 ม. จะทำให้จำนวนรางลดลงจาก 360 เป็น xสิ่งของ. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของรางและจำนวนมีความสัมพันธ์แบบผกผัน การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วน

คำตอบ:การเปลี่ยนรางเก่าจะต้องใช้รางใหม่ 240 อัน

ภารกิจที่ 3 นักเรียนในชั้นเรียน 60% ไปดูหนัง และอีก 12 คนที่เหลือไปชมนิทรรศการ มีนักเรียนกี่คนในชั้นเรียน?

สารละลาย

หากนักเรียน 60% ไปชมภาพยนตร์ และอีก 12 คนที่เหลือไปชมนิทรรศการ นักเรียน 40% จะคิดเป็น 12 คนที่ไปชมนิทรรศการ จากนั้นคุณสามารถสร้างสัดส่วนที่นักเรียน 12 คนปฏิบัติต่อ 40% เช่นเดียวกับคนอื่นๆ xนักเรียนเป็น 100%

หรือคุณสามารถสร้างสัดส่วนที่ประกอบด้วยอัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกันได้ จำนวนและเปอร์เซ็นต์การลงทะเบียนแตกต่างกันไปตามสัดส่วนโดยตรง แล้วเราก็เขียนได้ว่าจำนวนผู้เข้าร่วมเพิ่มขึ้นกี่เท่า, เปอร์เซ็นต์เพิ่มขึ้นกี่เท่า

ปัญหาที่ 5 คนเดินถนนใช้เวลาเดินทาง 2.5 ชั่วโมง ด้วยความเร็ว 3.6 กม./ชม. คนเดินเท้าจะใช้เวลาเท่าใดบนเส้นทางเดียวกันถ้าความเร็วของเขาคือ 4.5 กม./ชม

สารละลาย

ความเร็วและเวลาเป็นปริมาณแปรผกผันกัน เมื่อความเร็วเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เวลาในการเคลื่อนที่จะลดลงตามจำนวนที่เท่ากัน

ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงจำนวนครั้งที่ความเร็วของคนเดินถนนเพิ่มขึ้น:

ลองเขียนอัตราส่วนที่แสดงว่าเวลาของการเคลื่อนไหวลดลงด้วยจำนวนที่เท่ากัน:

เรามาเชื่อมโยงอัตราส่วนเหล่านี้ด้วยเครื่องหมายเท่ากับ หาสัดส่วนแล้วหาค่ากัน x

หรือคุณสามารถใช้อัตราส่วนของปริมาณที่มีชื่อเดียวกันได้ จำนวนเครื่องจักรที่ผลิตและเปอร์เซ็นต์ของเครื่องจักรเหล่านี้เป็นสัดส่วนโดยตรง เมื่อจำนวนเครื่องจักรเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เปอร์เซ็นต์จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ว่า 230 เครื่องนั้นมากกว่าหลายเท่า xเครื่องจักรมากกว่า 115% กี่เท่า 100%

คำตอบ:ตามแผน โรงงานควรจะผลิตเครื่องจักรได้ 200 เครื่อง

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม VKontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน การพึ่งพาซึ่งกันและกันเป็นลักษณะของทุกส่วนของสัดส่วนตลอดจนผลลัพธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง คุณสามารถเข้าใจวิธีสร้างสัดส่วนได้โดยทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติและสูตรของสัดส่วน เพื่อให้เข้าใจหลักการแก้สัดส่วนการพิจารณาตัวอย่างหนึ่งตัวอย่างก็เพียงพอแล้ว ด้วยการแก้สัดส่วนโดยตรงเท่านั้นคุณจึงเรียนรู้ทักษะเหล่านี้ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย และบทความนี้จะช่วยผู้อ่านในเรื่องนี้

คุณสมบัติของสัดส่วนและสูตร

1. การกลับตัวของสัดส่วน ในกรณีที่ความเท่าเทียมกันที่กำหนดดูเหมือน 1a: 2b = 3c: 4d ให้เขียน 2b: 1a = 4d: 3c (และ 1a, 2b, 3c และ 4d คือ จำนวนเฉพาะแตกต่างจาก 0)
2. การคูณเงื่อนไขที่กำหนดของสัดส่วนตามขวาง ใน การแสดงออกตามตัวอักษรดูเหมือนว่า: 1a: 2b = 3c: 4d และการเขียน 1a4d = 2b3c จะเทียบเท่ากับมัน ดังนั้น ผลคูณของส่วนปลายสุดของสัดส่วนใดๆ (ตัวเลขที่ขอบของความเท่ากัน) จะเท่ากับผลคูณของส่วนตรงกลางเสมอ (ตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของความเท่ากัน)
3. เมื่อวาดสัดส่วน คุณสมบัติในการจัดเรียงเงื่อนไขที่รุนแรงและเงื่อนไขกลางใหม่ก็มีประโยชน์เช่นกัน สูตรความเท่าเทียมกัน 1a: 2b = 3c: 4d สามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (เมื่อพจน์ตรงกลางของสัดส่วนถูกจัดเรียงใหม่)
   • 4d: 2b = 3c: 1a (เมื่อเงื่อนไขสุดขั้วของสัดส่วนถูกจัดเรียงใหม่)
4. คุณสมบัติของการเพิ่มขึ้นและลดลงช่วยในการแก้สัดส่วนได้อย่างสมบูรณ์แบบ เมื่อ 1a: 2b = 3c: 4d ให้เขียนว่า:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (เท่ากันโดยเพิ่มสัดส่วน)
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (เท่ากันโดยการลดสัดส่วน)
5. คุณสามารถสร้างสัดส่วนได้โดยการเพิ่มและการลบ เมื่อเขียนสัดส่วนเป็น 1a:2b = 3c:4d แล้ว:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (สัดส่วนเกิดจากการบวก)
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (สัดส่วนคำนวณโดยการลบ)
6. นอกจากนี้ เมื่อแก้สัดส่วนที่มีเศษส่วนหรือจำนวนมาก คุณสามารถหารหรือคูณทั้งสองพจน์ด้วยจำนวนเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น ส่วนประกอบของสัดส่วน 70:40=320:60 สามารถเขียนได้ดังนี้: 10*(7:4=32:6)
7. ตัวเลือกสำหรับการแก้สัดส่วนด้วยเปอร์เซ็นต์จะเป็นดังนี้ เช่น เขียนลงไป 30=100%, 12=x ตอนนี้คุณควรคูณพจน์กลาง (12*100) แล้วหารด้วยค่าสุดขั้วที่ทราบ (30) ดังนั้น คำตอบคือ: x=40% ในทำนองเดียวกัน หากจำเป็น คุณสามารถคูณพจน์สุดขั้วที่ทราบแล้วหารด้วยจำนวนเฉลี่ยที่กำหนด เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

หากคุณสนใจสูตรสัดส่วนเฉพาะ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุด สัดส่วนจะเป็นค่าความเท่าเทียมกัน (สูตร): a/b = c/d โดยที่ a, b, c และ d เป็นสี่ค่าที่ไม่ใช่ ตัวเลขศูนย์

สัดส่วน –ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสองนั่นคือ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ ก:ข = ค:ง หรือในความหมายอื่น ความเท่าเทียมกัน

ถ้า ก : ข = ค : ง, ที่ กและ งเรียกว่า สุดขีด, ก ขและ ค - เฉลี่ยสมาชิก สัดส่วน

ไม่มีทางหนีจาก "สัดส่วน" ได้ งานหลายอย่างไม่สามารถทำได้หากไม่มีมัน มีทางเดียวเท่านั้นที่จะจัดการกับความสัมพันธ์นี้และใช้สัดส่วนเป็นตัวช่วยชีวิต

ก่อนที่เราจะเริ่มพิจารณาปัญหาเรื่องสัดส่วน สิ่งสำคัญคือต้องจำกฎพื้นฐานของสัดส่วนก่อน:

เป็นสัดส่วน

ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง

หากไม่ทราบปริมาณในสัดส่วน ก็จะหาได้ง่ายตามกฎนี้

ตัวอย่างเช่น,

นั่นคือค่าสัดส่วนที่ไม่รู้จัก - ค่าของเศษส่วน ในตัวส่วน ซึ่งเป็นตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับปริมาณที่ไม่ทราบ , ในตัวเศษ – ผลคูณของเงื่อนไขที่เหลือของสัดส่วน (ไม่ว่าปริมาณที่ไม่ทราบนี้จะอยู่ที่ใด ).

ภารกิจที่ 1

จากเมล็ดฝ้าย 21 กก. ได้น้ำมัน 5.1 กก. เมล็ดฝ้าย 7 กิโลกรัม จะได้น้ำมันเท่าไหร่?

สารละลาย:

เราเข้าใจว่าการลดน้ำหนักของเมล็ดพืชตามปัจจัยบางประการทำให้น้ำหนักของน้ำมันที่ได้ลดลงตามปริมาณที่เท่ากัน นั่นคือปริมาณมีความสัมพันธ์กันโดยตรง

มากรอกตารางกัน:

ปริมาณที่ไม่รู้จักคือค่าของเศษส่วนในตัวส่วนซึ่ง - 21 - ค่าตรงข้ามกับค่าที่ไม่รู้จักในตารางในตัวเศษ - ผลคูณของสมาชิกที่เหลือของตารางสัดส่วน

ดังนั้นเราจึงพบว่าเมล็ดพืช 7 กิโลกรัมจะให้น้ำมัน 1.7 กิโลกรัม

ถึง ขวา เมื่อกรอกตาราง สิ่งสำคัญคือต้องจำกฎ:

ชื่อที่เหมือนกันจะต้องเขียนไว้ด้านล่างกัน เราเขียนเปอร์เซ็นต์เป็นเปอร์เซ็นต์ กิโลกรัมเป็นกิโลกรัม ฯลฯ

ภารกิจที่ 2

แปลงเป็นเรเดียน

สารละลาย:

เรารู้ว่า . มากรอกตารางกัน:

ภารกิจที่ 3

วงกลมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก พื้นที่ของวงกลมจะเป็นเท่าใดหากพื้นที่ของส่วนที่แรเงาคือ 27?

สารละลาย:

จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าเซกเตอร์ที่ไม่มีการแรเงานั้นสอดคล้องกับมุมใน (เช่น เนื่องจากด้านข้างของเซกเตอร์นั้นประกอบขึ้นด้วยเส้นแบ่งครึ่งของมุมฉากสองมุมที่อยู่ติดกัน) และเนื่องจากวงกลมทั้งหมดคือ เซกเตอร์สีเทาจึงคิดเป็น

มาทำตารางกันเถอะ:

พื้นที่ของวงกลมมาจากไหน?

ภารกิจที่ 4 หลังจากไถนาไปแล้ว 82% ก็ยังเหลือพื้นที่ให้ไถอีก 9 เฮกตาร์ พื้นที่ทั้งหมดเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

พื้นที่ทั้งหมดคือ 100% และเนื่องจากมีการไถ 82% ดังนั้น 100%-82%=18% ของพื้นที่จึงยังคงต้องไถ

กรอกตาราง:

จากที่เราได้รับว่าสนามทั้งหมดคือ (ฮ่า)

และภารกิจต่อไปคือการซุ่มโจมตี

ภารกิจที่ 5

รถไฟโดยสารแล่นครอบคลุมระยะทางระหว่างสองเมืองด้วยความเร็ว 80 กม./ชม. ใน 3 ชั่วโมง รถไฟบรรทุกสินค้าจะใช้เวลากี่ชั่วโมงเพื่อครอบคลุมระยะทางเท่ากันที่ความเร็ว 60? กม./ชม?

หากคุณแก้ไขปัญหานี้เหมือนกับปัญหาก่อนหน้านี้ คุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

เวลาที่รถไฟบรรทุกสินค้าใช้เดินทางในระยะทางเดียวกับรถไฟโดยสารคือชั่วโมง นั่นคือปรากฎว่าการเดินด้วยความเร็วต่ำกว่าเขาครอบคลุม (ในเวลาเดียวกัน) ระยะทางได้เร็วกว่ารถไฟที่มีความเร็วสูงกว่า

ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลคืออะไร?

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาปัญหาเกี่ยวกับปริมาณแล้ว เป็นสัดส่วนโดยตรงต่อกัน , นั่นคือ ความสูงมีค่าเท่ากันหลายครั้งก็ให้ ความสูงปริมาณที่สองที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเท่ากัน (แน่นอนว่าลดลงเช่นเดียวกัน) และที่นี่เรามีสถานการณ์ที่แตกต่างออกไป: ความเร็วของรถไฟโดยสาร มากกว่าความเร็วของรถไฟบรรทุกสินค้านั้นสูงกว่าหลายเท่า แต่รถไฟโดยสารต้องใช้เวลาในการครอบคลุมระยะทางเท่ากัน เล็กกว่าหลายครั้งเหมือนรถไฟบรรทุกสินค้า นั่นก็คือการเห็นคุณค่าซึ่งกันและกัน สัดส่วนผกผัน .

รูปแบบที่เราใช้จนถึงขณะนี้จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในกรณีนี้

สารละลาย:

เราให้เหตุผลดังนี้:

รถไฟโดยสารขบวนหนึ่งเดินทางเป็นเวลา 3 ชั่วโมงด้วยความเร็ว 80 กม./ชม. จึงเดินทางได้ 1 กม. ซึ่งหมายความว่ารถไฟบรรทุกสินค้าจะครอบคลุมระยะทางเท่ากันภายในหนึ่งชั่วโมง

นั่นคือถ้าเราสร้างสัดส่วน เราควรสลับเซลล์ของคอลัมน์ทางขวาก่อน จะได้รับ:h.

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม โปรดใช้ความระมัดระวังในการวาดสัดส่วน ขั้นแรก ให้พิจารณาว่าคุณกำลังเผชิญกับการพึ่งพาแบบใด - ทางตรงหรือทางผกผัน

กลับ