วิธีเกาส์เซียนคืออะไร? วิธีเกาส์เซียนสำหรับการแก้เมทริกซ์

ปล่อยให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ต้องได้รับการแก้ไข (ค้นหาค่าดังกล่าวของสิ่งที่ไม่รู้จัก xi ที่เปลี่ยนแต่ละสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกัน)

เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:

1) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น ไม่ใช่ข้อต่อ).
2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด
3) มีวิธีแก้ปัญหาเดียว

ดังที่เราจำได้ว่ากฎของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์ไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีคำตอบมากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – ที่ทรงพลังที่สุดและ เครื่องมือสากลเพื่อหาทางแก้ไขให้กับระบบใดๆ สมการเชิงเส้น , ที่ ในทุกกรณีจะนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริธึมของวิธีการนั้นเองทั้งหมด สามกรณีทำงานเหมือนกัน ถ้าวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ ถ้าต้องการใช้วิธีเกาส์ คุณจะต้องมีความรู้เท่านั้น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งทำให้เข้าถึงได้แม้กระทั่งนักเรียนชั้นประถมศึกษา

การแปลงเมทริกซ์เสริม ( นี่คือเมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ บวกกับคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในวิธีเกาส์:

1) กับ โทรกิเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่ในบางสถานที่

2) ถ้าสัดส่วนปรากฏ (หรือมีอยู่) ในเมทริกซ์ (เช่น กรณีพิเศษ– เหมือนกัน) จากนั้นจึงตามด้วย ลบจากเมทริกซ์ทุกแถวยกเว้นหนึ่งแถว

3) หากแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็ควรจะเป็นเช่นนั้นด้วย ลบ.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถเป็นได้ คูณ (หาร)ไปยังจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

5) ไปที่แถวของเมทริกซ์ที่คุณสามารถทำได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์

ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1. “ การเคลื่อนที่โดยตรง” - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์แบบขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมาเป็นรูปแบบขั้นตอน "สามเหลี่ยม": องค์ประกอบของเมทริกซ์แบบขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับศูนย์ (เลื่อนจากบนลงล่าง) ตัวอย่างเช่น สำหรับประเภทนี้:

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ให้เราพิจารณาสมการแรกของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 1 เท่ากับ K ที่สอง สาม ฯลฯ เราแปลงสมการดังต่อไปนี้: เราหารแต่ละสมการ (สัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก รวมถึงเทอมอิสระ) ด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก x 1 ในแต่ละสมการ และคูณด้วย K หลังจากนั้น เราจะลบอันแรกออกจากสมการที่สอง ( ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และเงื่อนไขอิสระ) สำหรับ x 1 ในสมการที่สอง เราได้ค่าสัมประสิทธิ์ 0 จากสมการที่ถูกแปลงครั้งที่สาม เราจะลบสมการแรกจนกระทั่งสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรก โดยไม่ทราบค่า x 1 จะมีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0

2) เรามาดูสมการถัดไปกันดีกว่า ให้นี่คือสมการที่สองและสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 เท่ากับ M เราดำเนินการสมการ "ต่ำกว่า" ทั้งหมดตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น "ใต้" ไม่ทราบ x 2 จะมีศูนย์ในทุกสมการ

3) ไปยังสมการถัดไปและต่อๆ ไปจนกระทั่งสมการสุดท้ายที่ไม่รู้จักและคำอิสระที่เปลี่ยนแปลงยังคงอยู่

1. "การเคลื่อนที่ย้อนกลับ" ของวิธีเกาส์คือการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (การเคลื่อนที่จากล่างขึ้นบน) จากสมการ "ล่าง" สุดท้าย เราได้คำตอบแรกหนึ่งข้อ - x n ที่ไม่รู้จัก ในการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการเบื้องต้น A * x n = B ในตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น x 3 = 4 เราแทนค่าที่พบลงในสมการถัดไป "บน" แล้วแก้ด้วยความเคารพต่อค่าที่ไม่รู้จักถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 – 4 = 1 เช่น x 2 = 5 และต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมด

ตัวอย่าง.

มาแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:

ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน เราควรมีหน่วยอยู่ที่นั่น ปัญหาคือไม่มีหน่วยในคอลัมน์แรกเลย ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จึงไม่ช่วยแก้ปัญหาใดๆ ในกรณีเช่นนี้ หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ลงมือทำกันเถอะ:
1 ขั้นตอน - ไปที่บรรทัดแรกเราบวกบรรทัดที่สองคูณด้วย –1 นั่นคือเราคูณบรรทัดที่สองในใจด้วย –1 และเพิ่มบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านซ้ายบนมี "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราค่อนข้างดี ใครก็ตามที่ต้องการได้รับ +1 สามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย –1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

ขั้นตอนที่ 2 - บรรทัดแรกคูณด้วย 5 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง

ขั้นตอนที่ 3 - โดยหลักการแล้วบรรทัดแรกคูณด้วย –1 เพื่อความสวยงาม ป้ายของบรรทัดที่สามก็เปลี่ยนไปเช่นกัน และถูกย้ายไปยังอันดับที่สอง ดังนั้นใน "ขั้นตอน" ที่สอง เราก็มีหน่วยที่ต้องการ

ขั้นตอนที่ 4 - บรรทัดที่สามบวกเข้ากับบรรทัดที่สองคูณด้วย 2

ขั้นตอนที่ 5 - เส้นที่สามหารด้วย 3

เครื่องหมายที่บ่งบอกถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณ (โดยมากคือการพิมพ์ผิด) ถือเป็นบรรทัดล่างที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเราได้ค่าประมาณ (0 0 11 |23) ด้านล่าง และดังนั้น 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 ดังนั้น ด้วยความน่าจะเป็นระดับสูง เราสามารถบอกได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในช่วงประถมศึกษา การเปลี่ยนแปลง

ลองทำกลับกัน ในการออกแบบตัวอย่าง ตัวระบบมักจะไม่ได้ถูกเขียนใหม่ แต่สมการนั้น "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันขอเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวแบบย้อนกลับนั้นทำงานจากล่างขึ้นบน ใน ในตัวอย่างนี้มันกลายเป็นของขวัญ:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1 ดังนั้น x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

คำตอบ:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1

มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริธึมที่เสนอ เราได้รับ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

หารสมการที่สองด้วย 5 และสมการที่สามด้วย 3 เราได้:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราจะได้:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสามเรามี:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

หารสมการที่สามด้วย 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

คูณสมการที่สามด้วย 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ลบสมการที่สองจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์ขยายแบบ "ก้าว":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ดังนั้นเนื่องจากข้อผิดพลาดสะสมระหว่างการคำนวณ เราจึงได้ x 3 = 0.96 หรือประมาณ 1

x 2 = 3 และ x 1 = –1

ด้วยการแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สับสนในการคำนวณ และถึงแม้จะมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ แต่คุณก็จะได้รับผลลัพธ์

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้ง่ายต่อการโปรแกรมและไม่ได้คำนึงถึง คุณสมบัติเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าไม่ทราบ เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์และทางเทคนิค) เราจะต้องจัดการกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในชั้นเรียน! ติวเตอร์.

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

สมการเชิงเส้นสองระบบเรียกว่าสมมูลหากเซตของคำตอบทั้งหมดตรงกัน

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการคือ:

1. การลบสมการเล็กๆ น้อยๆ ออกจากระบบ เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
2. การคูณสมการด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
3. การบวกสมการที่ i ใดๆ เข้ากับสมการที่ j ใดๆ คูณด้วยจำนวนใดๆ

ตัวแปร x i เรียกว่าว่าง หากไม่อนุญาตให้ใช้ตัวแปรนี้ แต่อนุญาตให้ใช้ระบบสมการทั้งหมดได้

ทฤษฎีบท. การแปลงเบื้องต้นจะเปลี่ยนระบบสมการให้เป็นระบบที่เทียบเท่ากัน

ความหมายของวิธีเกาส์เซียนคือการแปลงระบบสมการดั้งเดิมและได้ระบบสมการที่ได้รับการแก้ไขแล้วหรือระบบที่ไม่สอดคล้องกันที่เทียบเท่ากัน

ดังนั้น วิธีเกาส์เซียนประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ลองดูสมการแรกกัน ลองเลือกสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์อันแรกแล้วหารสมการทั้งหมดด้วยมัน เราได้สมการที่ตัวแปรบางตัว x i เข้ามาด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1;
2. ลองลบสมการนี้ออกจากสมการอื่นๆ ทั้งหมด แล้วคูณด้วยตัวเลขจนค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x i ในสมการที่เหลือเป็นศูนย์ เราได้ระบบที่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่อตัวแปร x i และเทียบเท่ากับตัวแปรดั้งเดิม
3. หากสมการเล็กๆ น้อยๆ เกิดขึ้น (เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก แต่เกิดขึ้น เช่น 0 = 0) เราจะตัดสมการเหล่านั้นออกจากระบบ เป็นผลให้มีสมการน้อยลงหนึ่งสมการ
4. เราทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้านี้ไม่เกิน n ครั้ง โดยที่ n คือจำนวนสมการในระบบ แต่ละครั้งที่เราเลือกตัวแปรใหม่สำหรับ "กำลังประมวลผล" หากสมการไม่สอดคล้องกันเกิดขึ้น (เช่น 0 = 8) ระบบจะไม่สอดคล้องกัน

ผลก็คือ หลังจากผ่านไปไม่กี่ขั้นตอน เราก็จะได้ระบบที่ได้รับการแก้ไขแล้ว (อาจมีตัวแปรอิสระ) หรือระบบที่ไม่สอดคล้องกัน ระบบที่อนุญาตแบ่งออกเป็นสองกรณี:

1. จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ ซึ่งหมายความว่าระบบถูกกำหนดไว้แล้ว
2. จำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ เรารวบรวมตัวแปรอิสระทั้งหมดทางด้านขวา - เราได้สูตรสำหรับตัวแปรที่อนุญาต สูตรเหล่านี้เขียนอยู่ในคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! ระบบสมการเชิงเส้นแก้ได้แล้ว! นี่เป็นอัลกอริธึมที่ค่อนข้างง่าย และเพื่อให้เชี่ยวชาญ คุณไม่จำเป็นต้องติดต่อครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ที่สูงกว่า ลองดูตัวอย่าง:

งาน. แก้ระบบสมการ:

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. ลบสมการแรกจากสมการที่สองและสาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. เราคูณสมการที่สองด้วย (−1) และหารสมการที่สามด้วย (−3) - เราได้สมการสองสมการโดยที่ตัวแปร x 2 เข้ามาด้วยค่าสัมประสิทธิ์ 1;
3. เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการแรก และลบออกจากสมการที่สาม เราได้รับตัวแปรที่อนุญาต x 2 ;
4. ในที่สุด เราก็ลบสมการที่สามออกจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 3
5. เราได้รับระบบที่อนุมัติแล้ว ให้จดคำตอบไว้

วิธีแก้ทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันคือ ระบบใหม่เทียบเท่ากับตัวแปรดั้งเดิม ซึ่งตัวแปรที่อนุญาตทั้งหมดจะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระ

เมื่อคุณอาจต้องการมัน การตัดสินใจร่วมกัน- ถ้าต้องทำขั้นตอนน้อยกว่า k (k คือจำนวนสมการที่มี) อย่างไรก็ตาม สาเหตุที่ทำให้กระบวนการสิ้นสุดในบางขั้นตอน l< k , может быть две:

1. หลังจากขั้นตอนที่ l เราได้ระบบที่ไม่มีสมการที่มีตัวเลข (l + 1) อันที่จริงมันก็ดีนะเพราะว่า... ยังคงได้รับระบบที่ได้รับอนุญาต - แม้จะเร็วกว่านี้เพียงไม่กี่ขั้นตอนก็ตาม
2. หลังจากขั้นตอนที่ l เราได้รับสมการโดยสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของตัวแปรเท่ากับศูนย์ และสัมประสิทธิ์อิสระแตกต่างจากศูนย์ นี่เป็นสมการที่ขัดแย้งกัน ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าการเกิดขึ้นของสมการไม่สอดคล้องกันโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นเป็นพื้นฐานที่เพียงพอสำหรับความไม่สอดคล้องกัน ในเวลาเดียวกันเราทราบว่าจากขั้นตอนที่ 1 ทำให้ไม่มีสมการเล็ก ๆ น้อย ๆ เหลืออยู่ - สมการทั้งหมดถูกขีดฆ่าทันทีในกระบวนการ

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. ลบสมการแรกคูณด้วย 4 จากสมการที่สอง เรายังเพิ่มสมการแรกเข้ากับสมการที่สาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. ลบสมการที่สามคูณด้วย 2 จากสมการที่สอง - เราจะได้สมการที่ขัดแย้งกัน 0 = −5

ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกันเนื่องจากมีการค้นพบสมการที่ไม่สอดคล้องกัน

งาน. สำรวจความเข้ากันได้และค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบ:

คำอธิบายของขั้นตอน:

1. เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (หลังจากคูณด้วยสอง) และสมการที่สาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1;
2. ลบสมการที่สองจากสมการที่สาม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการเหล่านี้เท่ากัน สมการที่สามจึงกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ในเวลาเดียวกัน ให้คูณสมการที่สองด้วย (−1)
3. ลบอันที่สองจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 2 ขณะนี้ระบบสมการทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้วเช่นกัน
4. เนื่องจากตัวแปร x 3 และ x 4 ว่าง เราจึงย้ายพวกมันไปทางขวาเพื่อแสดงตัวแปรที่อนุญาต นี่คือคำตอบ

ดังนั้น ระบบจึงมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน เนื่องจากมีตัวแปรที่อนุญาตสองตัว (x 1 และ x 2) และตัวแปรอิสระสองตัว (x 3 และ x 4)

ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16-18 นักคณิตศาสตร์ได้เริ่มศึกษาฟังก์ชันอย่างเข้มข้น ซึ่งต้องขอบคุณการเปลี่ยนแปลงมากมายในชีวิตของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์คงอยู่ไม่ได้หากไม่มีความรู้นี้ สำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อนสมการและฟังก์ชันเชิงเส้น แนวคิด ทฤษฎีบท และเทคนิคการแก้ปัญหาต่างๆ ได้ถูกสร้างขึ้น หนึ่งในวิธีการและเทคนิคที่เป็นสากลและมีเหตุผลในการแก้สมการเชิงเส้นและระบบของพวกมันคือวิธีเกาส์ เมทริกซ์ อันดับ ปัจจัยกำหนด - ทุกอย่างสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้การดำเนินการที่ซับซ้อน

SLAU คืออะไร

ในทางคณิตศาสตร์ มีแนวคิดเรื่อง SLAE ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เธอชอบอะไร? นี่คือชุดของสมการ m ที่มีปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่ต้องการ ซึ่งมักจะแสดงเป็น x, y, z หรือ x 1, x 2 ... xn หรือสัญลักษณ์อื่นๆ การแก้ปัญหาระบบที่กำหนดโดยใช้วิธีเกาส์เซียนหมายถึงการค้นหาสิ่งแปลกปลอมที่ไม่รู้จักทั้งหมด หากระบบมี หมายเลขเดียวกันไม่ทราบค่าและสมการ จึงเรียกว่าระบบลำดับที่ n

วิธีการแก้ SLAE ที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

ใน สถาบันการศึกษานักเรียนระดับมัธยมศึกษาศึกษาวิธีการต่างๆ ในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว บ่อยที่สุดสิ่งนี้ สมการง่ายๆประกอบด้วยสิ่งไม่รู้สองสิ่ง ดังนั้นวิธีการใดๆ ที่มีอยู่แล้วในการค้นหาคำตอบสำหรับสิ่งเหล่านั้นจึงใช้เวลาไม่นานนัก นี่อาจเป็นเหมือนวิธีการทดแทน เมื่ออีกสมการหนึ่งได้มาจากสมการหนึ่งและแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิม หรือวิธีการบวกลบทีละเทอม แต่วิธีเกาส์ถือเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดและเป็นสากลที่สุด ทำให้สามารถแก้สมการที่ไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุใดเทคนิคเฉพาะนี้จึงถือว่ามีเหตุผล มันง่ายมาก สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการเมทริกซ์คือไม่จำเป็นต้องเขียนสัญลักษณ์ที่ไม่จำเป็นซ้ำหลายครั้งโดยไม่ทราบค่า การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับสัมประสิทธิ์ก็เพียงพอแล้ว - และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้

SLAE นำไปใช้ในทางปฏิบัติที่ไหน?

วิธีแก้ SLAE คือจุดตัดกันของเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ในยุคคอมพิวเตอร์ไฮเทคของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาเกมและโปรแกรมอื่นๆ จำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว สิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทน และวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ตามมา บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์พัฒนาโปรแกรมเครื่องคิดเลขพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษซึ่งรวมถึงระบบสมการเชิงเส้นด้วย วิธีเกาส์ช่วยให้คุณคำนวณคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดได้ นอกจากนี้ยังใช้สูตรและเทคนิคแบบง่ายอื่นๆ อีกด้วย

เกณฑ์ความเข้ากันได้ของ SLAU

ระบบดังกล่าวจะสามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อเข้ากันได้เท่านั้น เพื่อความชัดเจน ให้เราแสดง SLAE ในรูปแบบ Ax=b มันมีวิธีแก้ปัญหาถ้า rang(A) เท่ากับ rang(A,b) ในกรณีนี้ (A,b) คือเมทริกซ์รูปแบบขยายที่สามารถหาได้จากเมทริกซ์ A โดยการเขียนใหม่ด้วยเงื่อนไขอิสระ ปรากฎว่าการแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นค่อนข้างง่าย

บางทีสัญลักษณ์บางตัวอาจไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีระบบ: x+y=1; 2x-3y=6. ประกอบด้วยสมการเพียงสองสมการซึ่งมี 2 ไม่ทราบ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย อันดับคืออะไร? นี่คือจำนวนบรรทัดอิสระของระบบ ในกรณีของเรา อันดับของเมทริกซ์คือ 2 เมทริกซ์ A จะประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับค่าที่ไม่รู้จัก และค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมาย “=” จะพอดีกับเมทริกซ์แบบขยายด้วย

เหตุใด SLAE จึงสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้

ขึ้นอยู่กับเกณฑ์ความเข้ากันได้ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ เมื่อใช้วิธีการเรียงซ้อนแบบเกาส์เซียน คุณสามารถแก้เมทริกซ์และรับคำตอบที่เชื่อถือได้เพียงคำตอบเดียวสำหรับทั้งระบบ หากอันดับของเมทริกซ์ธรรมดาเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ แสดงว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

การแปลงเมทริกซ์

ก่อนที่จะไปสู่การแก้เมทริกซ์ คุณต้องรู้ว่าสิ่งใดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบของเมทริกซ์ มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นหลายประการ:

• ด้วยการเขียนระบบใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โจทย์ คุณสามารถคูณองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกันได้
• ในการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบมาตรฐาน คุณสามารถสลับแถวคู่ขนานสองแถวได้ รูปแบบบัญญัติบอกเป็นนัยว่าองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักจะกลายเป็นองค์ประกอบหนึ่ง และองค์ประกอบที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์
• สามารถเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวคู่ขนานของเมทริกซ์เข้าด้วยกันได้

วิธีจอร์แดน-เกาส์

สาระสำคัญของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นและสมการเอกพันธ์เชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนคือการค่อยๆ กำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป สมมติว่าเรามีระบบสองสมการโดยที่ไม่ทราบค่าสองตัว หากต้องการค้นหาคุณจะต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สมการนี้แก้ได้ง่ายมากด้วยวิธีเกาส์ จำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับแต่ละค่าที่ไม่รู้จักในรูปแบบเมทริกซ์ ในการแก้ปัญหาระบบ คุณจะต้องเขียนเมทริกซ์ขยายออกมา หากสมการใดสมการมีจำนวนค่าที่ไม่ทราบน้อยกว่า จะต้องใส่ "0" แทนองค์ประกอบที่ขาดหายไป วิธีการแปลงที่รู้จักทั้งหมดจะนำไปใช้กับเมทริกซ์: การคูณ การหารด้วยตัวเลข การบวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมเข้าด้วยกัน และอื่นๆ ปรากฎว่าในแต่ละแถวจำเป็นต้องปล่อยให้ตัวแปรตัวหนึ่งมีค่า "1" ส่วนที่เหลือควรลดลงเหลือศูนย์ เพื่อความเข้าใจที่แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาวิธีเกาส์พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ ของการแก้ระบบ 2x2

ขั้นแรก ลองใช้ระบบสมการพีชคณิตอย่างง่าย ซึ่งจะมีสิ่งไม่ทราบ 2 ตัว

ลองเขียนมันใหม่เป็นเมทริกซ์ขยายกัน

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ จำเป็นต้องมีการดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น เราจำเป็นต้องนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบมาตรฐานเพื่อให้มีเมทริกซ์อยู่ในแนวทแยงหลัก ดังนั้น เมื่อย้ายจากรูปแบบเมทริกซ์กลับมาที่ระบบ เราจะได้สมการ: 1x+0y=b1 และ 0x+1y=b2 โดยที่ b1 และ b2 เป็นคำตอบผลลัพธ์ในกระบวนการแก้ปัญหา

1. การกระทำแรกเมื่อแก้ไขเมทริกซ์แบบขยายจะเป็นดังนี้: แถวแรกจะต้องคูณด้วย -7 และเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องลงในแถวที่สองเพื่อกำจัดหนึ่งที่ไม่รู้จักในสมการที่สอง
2. เนื่องจากการแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์เกี่ยวข้องกับการลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จึงจำเป็นต้องดำเนินการเดียวกันกับสมการแรกและลบตัวแปรตัวที่สองออก ในการทำเช่นนี้ เราจะลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรกและรับคำตอบที่ต้องการ - คำตอบของ SLAE หรือตามที่แสดงในภาพ เราคูณแถวที่สองด้วยปัจจัย -1 และเพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองเข้ากับแถวแรก มันเหมือนกัน.

ดังที่เราเห็น ระบบของเราได้รับการแก้ไขโดยวิธี Jordan-Gauss เราเขียนมันใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ: x=-5, y=7

ตัวอย่างของโซลูชัน 3x3 SLAE

สมมติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่า วิธีเกาส์ทำให้สามารถคำนวณคำตอบได้แม้ในระบบที่ดูสับสนที่สุดก็ตาม ดังนั้น เพื่อที่จะเจาะลึกเกี่ยวกับวิธีการคำนวณ คุณสามารถไปดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ตัวอย่างที่ซับซ้อนมีสิ่งไม่รู้สามอย่าง

ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย และเริ่มทำให้ระบบอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

เพื่อแก้ปัญหาระบบนี้ คุณจะต้องดำเนินการมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้

1. ขั้นแรก คุณต้องทำให้คอลัมน์แรกมีองค์ประกอบหนึ่งหน่วยและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย -1 แล้วบวกสมการที่สองลงไป สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเราเขียนบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สองในรูปแบบที่แก้ไข
2. ต่อไป เราจะลบสิ่งเดียวกันอันแรกที่ไม่รู้จักนี้ออกจากสมการที่สาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย -2 และเพิ่มลงในแถวที่สาม ตอนนี้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกเขียนใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สาม - มีการเปลี่ยนแปลง ดังที่คุณเห็นจากผลลัพธ์ เราได้อันแรกที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และศูนย์ที่เหลือ อีกไม่กี่ขั้นตอน ระบบสมการโดยวิธีเกาส์เซียนจะได้รับการแก้ไขอย่างน่าเชื่อถือ
3. ตอนนี้คุณต้องดำเนินการกับองค์ประกอบอื่นๆ ของแถว การกระทำที่สามและสี่สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้ เราจำเป็นต้องหารเส้นที่สองและสามด้วย -1 เพื่อกำจัดเส้นลบบนเส้นทแยงมุม เราได้นำบรรทัดที่สามมาสู่แบบฟอร์มที่ต้องการแล้ว
4. ต่อไปเราจะนำบรรทัดที่สองมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน ในการทำเช่นนี้เราจะคูณองค์ประกอบของแถวที่สามด้วย -3 และเพิ่มเข้าไปในแถวที่สองของเมทริกซ์ จากผลปรากฏว่าเส้นที่ 2 ก็ลดลงตามฟอร์มที่เราต้องการด้วย ยังคงต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองสามรายการและลบค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากบรรทัดแรก
5. หากต้องการสร้าง 0 จากองค์ประกอบที่สองของแถว คุณต้องคูณแถวที่สามด้วย -3 แล้วบวกเข้ากับแถวแรก
6. ขั้นตอนเด็ดขาดต่อไปคือการเพิ่มในบรรทัดแรก องค์ประกอบที่จำเป็นแถวที่สอง วิธีนี้ทำให้เราได้รูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นคำตอบ

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์นั้นค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการ 4x4

เพิ่มเติมบางส่วน ระบบที่ซับซ้อนแก้สมการได้โดยวิธีเกาส์เซียน โปรแกรมคอมพิวเตอร์- จำเป็นต้องป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักลงในเซลล์ว่างที่มีอยู่และโปรแกรมจะคำนวณผลลัพธ์ที่ต้องการทีละขั้นตอนโดยอธิบายรายละเอียดแต่ละการกระทำ

อธิบายไว้ด้านล่าง คำแนะนำทีละขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้

ในขั้นตอนแรก ค่าสัมประสิทธิ์อิสระและตัวเลขสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกป้อนลงในเซลล์ว่าง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ขยายแบบเดียวกับที่เราเขียนด้วยตนเอง

และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดจะดำเนินการเพื่อนำเมทริกซ์แบบขยายมาสู่รูปแบบมาตรฐาน จำเป็นต้องเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป บางครั้งคำตอบอาจมาจากเลขเศษส่วน

การตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา

วิธี Jordan-Gauss ใช้สำหรับตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ หากต้องการทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์คำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ผลลัพธ์ลงในระบบสมการเดิม ด้านซ้ายของสมการจะต้องตรงกับด้านขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับ หากคำตอบไม่ตรงกัน คุณจะต้องคำนวณระบบใหม่หรือลองใช้วิธีอื่นในการแก้ SLAE ที่คุณรู้จัก เช่น การทดแทน หรือการลบและการบวกแบบทีละเทอม ท้ายที่สุดแล้วคณิตศาสตร์ก็เป็นวิทยาศาสตร์ที่มีจำนวนมากมาย เทคนิคต่างๆโซลูชั่น แต่โปรดจำไว้ว่า: ผลลัพธ์ควรเหมือนเดิมเสมอ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบใดก็ตาม

วิธีเกาส์: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเมื่อแก้ไข SLAE

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้นบ่อยที่สุด เช่น การถ่ายโอนค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบเมทริกซ์ไม่ถูกต้อง มีระบบที่ไม่ทราบค่าบางตัวหายไปจากสมการตัวใดตัวหนึ่ง ดังนั้น เมื่อถ่ายโอนข้อมูลไปยังเมทริกซ์แบบขยาย ข้อมูลเหล่านั้นอาจสูญหายได้ ส่งผลให้เมื่อแก้ระบบนี้แล้วผลลัพธ์อาจไม่ตรงกับความเป็นจริง

ข้อผิดพลาดสำคัญอีกประการหนึ่งอาจเขียนผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง มีความจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกจะสอดคล้องกับค่าแรกที่ไม่รู้จักจากระบบค่าที่สอง - ถึงค่าที่สองและอื่น ๆ

วิธีเกาส์อธิบายรายละเอียดการแก้สมการเชิงเส้น ด้วยเหตุนี้จึงง่ายต่อการดำเนินการที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์ที่ถูกต้อง นอกจากนี้นี้ การรักษาแบบสากลเพื่อค้นหาคำตอบที่เชื่อถือได้สำหรับสมการที่ซับซ้อน บางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้เมื่อแก้ไข SLAE

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบจาก nสมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: การกำจัดครั้งแรก x1ไม่รวมสมการทั้งหมดของระบบตั้งแต่สมการที่สองเป็นต้นไป x2จากสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม ไปเรื่อยๆ จนเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จักยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย เอ็กซ์เอ็น- กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากเสร็จสิ้นการก้าวหน้าไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนแล้ว จากสมการสุดท้ายที่เราพบ เอ็กซ์เอ็นโดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้ายที่เราคำนวณ เอ็กซ์เอ็น-1และอื่นๆ จากสมการแรกที่เราพบ x1- กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปเป็นสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ กำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x1จากสมการทั้งหมดของระบบเริ่มจากสมการที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย เข้ากับสมการที่สามของระบบ เราบวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ nในสมการที่เราบวกอันแรกคูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดงออก x1ผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบและนิพจน์ผลลัพธ์จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x1แยกออกจากสมการทั้งหมดโดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สอง คูณด้วย ลงในสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อๆ ไปในสมการที่สี่ nเราบวกอันที่สองเข้ากับสมการ คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x2แยกออกจากสมการทั้งหมดตั้งแต่สมการที่สาม

ต่อไปเราจะดำเนินการกำจัดสิ่งไม่รู้ออกไป x3ในกรณีนี้เราจะทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในภาพ

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ เอ็กซ์เอ็นจากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับ เอ็กซ์เอ็นเราพบ เอ็กซ์เอ็น-1จากสมการสุดท้าย เป็นต้น เราพบว่า x1จากสมการแรก

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นคือเทคนิคที่ใช้การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ( กฎของแครเมอร์- ข้อได้เปรียบของมันคือช่วยให้คุณสามารถบันทึกวิธีแก้ปัญหาได้ทันที สะดวกอย่างยิ่งในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นพารามิเตอร์บางตัว ข้อเสียคือความยุ่งยากในการคำนวณในกรณีนี้ จำนวนมากสมการ ยิ่งกว่านั้น กฎของแครเมอร์ไม่สามารถใช้ได้กับระบบที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ ในกรณีเช่นนี้ก็มักจะใช้ วิธีเกาส์เซียน.

เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบชุดเดียวกัน เทียบเท่า- แน่นอนว่ามีวิธีแก้ปัญหามากมาย ระบบเชิงเส้นจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการสลับสมการใดๆ หรือหากสมการใดสมการหนึ่งถูกคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ หรือหากสมการหนึ่งถูกบวกเข้ากับอีกสมการหนึ่ง

วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ) คือด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น ระบบจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของประเภทขั้นตอน ขั้นแรก เราใช้สมการที่ 1 กำจัดออก x 1 ของสมการต่อมาทั้งหมดของระบบ จากนั้นใช้สมการที่ 2 เรากำจัด x 2 จากสมการที่ 3 และสมการที่ตามมาทั้งหมด กระบวนการนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรงดำเนินต่อไปจนกระทั่งเหลือเพียงอันเดียวที่ไม่ทราบทางด้านซ้ายของสมการสุดท้าย เอ็กซ์เอ็น- หลังจากนี้ก็เสร็จแล้ว ผกผันของวิธีเกาส์เซียน– เราพบการแก้สมการสุดท้าย เอ็กซ์เอ็น- หลังจากนั้นใช้ค่านี้จากสมการสุดท้ายที่เราคำนวณ เอ็กซ์เอ็น–1 ฯลฯ เราพบอันสุดท้าย x 1 จากสมการแรก

สะดวกในการดำเนินการแปลงแบบเกาส์เซียนโดยทำการแปลงไม่ใช่ด้วยสมการเอง แต่ใช้เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ พิจารณาเมทริกซ์:

เรียกว่า เมทริกซ์ขยายของระบบเพราะนอกเหนือจากเมทริกซ์หลักของระบบแล้ว ยังมีคอลัมน์คำศัพท์อิสระอีกด้วย วิธีเกาส์เซียนมีพื้นฐานมาจากการลดเมทริกซ์หลักของระบบให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม (หรือรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีของระบบที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) โดยใช้การแปลงแถวเบื้องต้น (!) ของเมทริกซ์ขยายของระบบ

ตัวอย่างที่ 5.1แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน:

สารละลาย- ลองเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบแล้วใช้แถวแรกหลังจากนั้นเราจะรีเซ็ตองค์ประกอบที่เหลือ:

เราได้ศูนย์ในแถวที่ 2, 3 และ 4 ของคอลัมน์แรก:

ตอนนี้เราต้องการให้องค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์ที่สองใต้แถวที่ 2 มีค่าเท่ากับศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถคูณบรรทัดที่สองด้วย –4/7 แล้วบวกเข้ากับบรรทัดที่ 3 อย่างไรก็ตาม เพื่อไม่ให้ต้องจัดการกับเศษส่วน ให้สร้างหน่วยในแถวที่ 2 ของคอลัมน์ที่ 2 แทน

เพื่อให้ได้เมทริกซ์สามเหลี่ยม คุณต้องรีเซ็ตองค์ประกอบของแถวที่สี่ของคอลัมน์ที่ 3 โดยคุณสามารถคูณแถวที่สามด้วย 8/54 แล้วบวกเข้ากับแถวที่สี่ อย่างไรก็ตาม เพื่อไม่ให้จัดการกับเศษส่วน เราจะสลับแถวที่ 3 และ 4 และคอลัมน์ที่ 3 และ 4 และหลังจากนั้นเราจะรีเซ็ตองค์ประกอบที่ระบุเท่านั้น โปรดทราบว่าเมื่อจัดเรียงคอลัมน์ใหม่ ตัวแปรที่เกี่ยวข้องจะเปลี่ยนตำแหน่งและจะต้องจดจำไว้ การแปลงเบื้องต้นอื่นๆ ด้วยคอลัมน์ (การบวกและการคูณด้วยตัวเลข) ไม่สามารถทำได้!

เมทริกซ์แบบง่ายสุดท้ายสอดคล้องกับระบบสมการที่เทียบเท่ากับเมทริกซ์ดั้งเดิม:

จากตรงนี้ เมื่อใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน เราจะหาได้จากสมการที่สี่ x 3 = –1; จากที่สาม x 4 = –2 จากวินาที x 2 = 2 และจากสมการแรก x 1 = 1 ในรูปแบบเมทริกซ์ คำตอบจะเขียนเป็น

เราพิจารณากรณีที่ระบบมีความชัดเจน เช่น เมื่อมีวิธีแก้ไขเพียงวิธีเดียว มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากระบบไม่สอดคล้องกันหรือไม่แน่นอน

ตัวอย่างที่ 5.2สำรวจระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน:

สารละลาย- เราเขียนและแปลงเมทริกซ์ขยายของระบบ

เราเขียนระบบสมการอย่างง่าย:

ในสมการสุดท้ายปรากฎว่า 0=4 นั่นคือ ความขัดแย้ง. ส่งผลให้ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เช่น เธอ เข้ากันไม่ได้. à

ตัวอย่างที่ 5.3สำรวจและแก้ไขระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน:

สารละลาย- เราเขียนและแปลงเมทริกซ์ขยายของระบบ:

จากผลของการแปลง บรรทัดสุดท้ายจึงมีเพียงศูนย์เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าจำนวนสมการลดลงหนึ่ง:

ดังนั้น หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย จะเหลือสมการสองสมการ และสมการที่ไม่รู้จักอีกสี่อัน ได้แก่ "พิเศษ" ที่ไม่รู้จักสองตัว ปล่อยให้พวกเขา "ฟุ่มเฟือย" หรืออย่างที่พวกเขาพูด ตัวแปรอิสระ, จะ x 3 และ x 4. แล้ว

เชื่อ x 3 = 2กและ x 4 = ข, เราได้รับ x 2 = 1–กและ x 1 = 2ข–ก- หรือในรูปแบบเมทริกซ์

วิธีแก้ปัญหาที่เขียนในลักษณะนี้เรียกว่า ทั่วไปเพราะการให้พารามิเตอร์ กและ ข ความหมายที่แตกต่างกัน,ทุกอย่างสามารถอธิบายได้ การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ระบบ ก

กลับ